LeisdeNewton (1)

Prévia do material em texto

Notas de Aula 
 
 
 
 
 
  
    
 
Leis de Newton e Aplicações 
FÍSICA 
2018 
Professor Gomes 
 CAPÍTULO 
                            4 
Neste Capítulo 
1 Introdução 
2 Força e interações 
3 Primeira lei de Newton 
4 Segunda lei de Newton 
5 Massa e Peso 
6 Terceira lei de Newton 
7 Aplicações das leis de 
Newton 
8 Lei de Hooke 
9 Forças de atrito 
10 Resistência de um fluido e 
velocidade terminal 
www.professorgomes.com.br 
 
1 
 
NOTA DE AULA 
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 
 
 
LEIS DE NEWTON E SUAS APLICAÇÕES 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Como pode um rebocador pequeno rebocar um navio muito mais pesado do que ele? Por que ele precisa de 
uma longa distância para parar o navio depois do início do movimento? Por que seu pé se machuca mais quando você 
chuta uma rocha do que quando chuta uma bola de futebol? Por que é mais difícil controlar um carro que se desloca 
sobre uma pista de gelo do que quando ele se desloca sobre uma pista de concreto seco? As respostas a essas e outras 
questões semelhantes nos conduzem ao estudo da dinâmica, a relação entre o movimento e a força que o produz. Nos 
capítulos  anteriores,  estudamos  a  cinemática,  a  linguagem  para  descrever  o  movimento.  Agora  estamos  aptos  a 
entender o que faz os corpos se moverem da maneira como eles o fazem. 
Neste capítulo, para analisarmos os princípios da dinâmica, usaremos as grandezas deslocamento, velocidade e 
aceleração  juntamente  com  dois  conceitos  novos,  força  e  massa.  Esses  princípios  podem  ser  sintetizados  em  um 
conjunto de  três afirmações conhecidas como  leis de Newton do movimento. A primeira afirma que, quando a  força 
resultante  que  atua  sobre  um  corpo  é  igual  a  zero,  o movimento  do  corpo  não  se  altera.  A  segunda  lei  de Newton 
relaciona a força com a aceleração quando a força resultante que atua sobre um corpo não é igual a zero. A terceira lei é 
uma  relação  entre  as  forças  de  interação  que  um  corpo  exerce  sobre  os  outros.  Essas  leis,  baseadas  em  estudos 
experimentais do movimento de um corpo, são fundamentais sob dois aspectos. Em primeiro lugar, elas não podem ser 
deduzidas ou demonstradas a partir de outros princípios. Em segundo  lugar, elas permitem nosso entendimento dos 
tipos mais  comuns  de movimento;  elas  são  o  fundamento  da mecânica  clássica  (também  conhecida  como mecânica 
newtoniana). Contudo, as leis de Newton não são universais: elas necessitam de modificações para velocidades muito 
elevadas (próximas da velocidade da luz) e para dimensões muito pequenas (tal como no interior de um átomo).   
As leis do movimento foram claramente estabelecidas pela primeira vez por Sir Isaac Newton (1642‐1727), que 
as publicou em 1687 em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica  (Princípios Matemáticos da Filosofia 
Natural). 
 
 
 
 
 
FIGURA  1  Capa  da  obra  Philosophiae  Naturalis  Principia 
Mathematica. 
 
Muitos  outros  cientistas  anteriores  a  Newton  também  contribuíram  para  os  fundamentos  da  mecânica, 
incluindo  Copérnico,  Brahe,  Kepler  e  especialmente  Galileu  Galilei  (1564‐1642),  que  faleceu  no  mesmo  ano  do 
nascimento de Newton. Na verdade, de acordo com palavras do próprio Newton, "Se eu fui capaz de ver um pouco mais 
adiante do que outros homens, é porque eu montei nos ombros de gigantes". Agora é nossa vez de montarmos nos 
ombros de Newton e usar suas leis para entender como nosso mundo físico funciona. 
As  leis  de  Newton  podem  ser  enunciadas  de  modo  muito  simples,  embora  alguns  estudantes  tenham 
dificuldades para entendê‐las e utilizá‐las. A razão é que, antes de estudar  física, durante anos você caminhou,  jogou 
bola, empurrou caixas e fez dezenas de coisas que envolvem movimento. Durante esse período você desenvolveu um 
"senso comum", envolvendo ideias sobre o movimento e suas causas. Porém, muitas dessas ideias do "senso comum", 
embora  possam  funcionar  em  nossa  vida  diária,  não  se  combinam  com  uma  análise  lógica  nem  com  a  experiência. 
Grande  parte  da  tarefa  deste  capítulo —  e  do  restante  de  nosso  estudo  da  física —  consiste  em  ajudar  você  a  se 
convencer de que o "senso comum" deve ser substituído por outros tipos de análises. 
 
 
2 
2 FORÇA E INTERAÇÕES 
Na linguagem cotidiana, exercer uma força significa puxar ou empurrar. O conceito de força nos fornece uma 
descrição quantitativa da interação entre dois corpos ou entre o corpo e seu ambiente. Quando você empurra um carro 
atolado, você exerce uma força sobre ele. Uma locomotiva exerce uma força sobre o trem para puxar ou empurrar os 
vagões, um cabo de aço exerce uma força sobre a viga que ele sustenta em uma construção e assim por diante. 
Quando uma força envolve o contato direto entre dois corpos, ela é chamada de força de contato. Exemplos de 
força de contato são a  força de puxar ou empurrar exercida pela  sua mão, a  força de puxar exercida por uma corda 
sobre  um objeto  no  qual  ela  está  presa  e  a  força  que  o  solo  exerce  sobre  um  jogador  de  futebol.  Existem  também 
forças, denominadas forças de longo alcance, que atuam mesmo quando os corpos estão muito afastados entre si. Você 
já deve ter sentido o efeito de forças de longo alcance ao brincar com um par de ímãs. A gravidade também é uma força 
de longo alcance: para manter a Terra em órbita, o Sol exerce uma atração gravitacional sobre a Terra, mesmo a uma 
distância de 150 milhões de quilômetros. 
 FIGURA 1 Exemplos de forças aplicadas. Em cada caso, sobre o objeto, na zona delimitada por linhas tracejadas a força é 
exercida. Algum agente no ambiente de fora da área da caixa exerce uma força sobre o objeto. 
 
A força é uma grandeza vetorial; você pode puxar ou empurrar um objeto em diferentes direções e sentidos. 
Logo,  para  descrever  uma  força,  além  da  direção  e  do  sentido,  precisamos  descrever  seu  módulo,  que  especifica 
"quanto" ou  "a  intensidade"  com que  a  força  puxa ou empurra. A  unidade  SI  do módulo de uma  força é o newton, 
abreviado por N. 
 
3 PRIMEIRA LEI DE NEWTON 
Discutimos algumas propriedades das forças, mas até agora não dissemos nada sobre como as forças afetam o 
movimento.  Para  começar,  vamos  verificar  o  que  ocorre  quando  a  força  resultante  sobre  um  corpo  é  igual  a  zero. 
Quando  um  corpo  está  em  repouso,  e  se  nenhuma  força  resultante  atua  sobre  ele  (isto  é,  nenhuma  força  puxa  ou 
empurra  o  corpo),  você  certamente  concorda  que  esse  corpo  deve  permanecer  em  repouso.  Porém,  o  que  ocorre 
quando o corpo está em movimento e a força resultante sobre ele é igual a zero? 
Para  ver  o  que  ocorre  nesse  caso,  suponha  que  você  jogue  um disco  de  hóquei  sobre  o  topo  de  uma mesa 
horizontal e com a mão aplique sobre ele uma força horizontal (figura 2a). Depois que você parou de empurrar, o disco 
não continua a se mover indefinidamente; ele diminui de velocidade e para. Para que seu movimento continuasse, você 
teria de  continuar  a  empurrar  (ou  seja,  aplicar uma  força). O  "senso  comum"  levaria  você a  concluir  que  corpos em 
movimento devem parar e que seria necessário aplicar uma força para sustentar o movimento. 
Imagine  agora  que  você  empurre  o  disco  de  hóquei  sobre  um  assoalho  encerado  recentemente  (figura  2b). 
Depois que você parar de empurrar, o disco percorrerá uma distância maior antes de parar. Coloque‐o em uma mesa 
com um colchão de ar, de modo que ele  flutue dentro de uma camada de ar; nesse caso ele percorre uma distância 
muito maior (figura 2c). Em cada caso, o atrito, uma força de interação entre a superfície do disco e a superfície sobre a 
qual ele desliza, é responsável pela diminuição da velocidade do disco; a diferença entre os três casosé o módulo da 
força de atrito. O assoalho encerado exerce uma força de atrito menor do que a força de atrito da superfície do topo da 
mesa, de modo que o disco percorre uma distância maior antes de parar. As moléculas de ar exercem a menor força de 
atrito entre as três. Caso fosse possível eliminar completamente o atrito, a velocidade do disco não diminuiria nunca e 
não precisaríamos de nenhuma força para mantê‐lo em movimento. Portanto, o "senso comum" de que seria necessário 
aplicar uma força para sustentar o movimento é incorreto. 
Experiências  como as  que  acabamos de descrever mostram que,  quando  a  força  resultante  é  igual  a  zero,  o 
corpo ou está em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante. 
 
3 
 FIGURA 2 a) O disco de hóquei recebe um impulso  inicial, ele para em uma distância curta sobre a mesa. b) Em uma 
superfície encerada recentemente, a força de atrito diminui, e o disco percorre uma distância maior. c) Se ele se move 
em  um  colchão  de  ar  sobre  a  mesa,  a  força  de  atrito  é  praticamente  zero  e  ele  se  move  com  velocidade  quase 
constante. 
Uma  vez  iniciado  o  movimento,  não  seria  necessária  nenhuma  força  resultante  para  mantê‐lo.  Em  outras 
palavras: Quando a força resultante sobre um corpo é igual a zero ele se move com velocidade constante (que pode ser 
nula) e aceleração nula. Este é o enunciado da primeira lei de Newton. 
A tendência de um corpo de se manter deslocando, uma vez iniciado o movimento, resulta de uma propriedade 
denominada inércia. A tendência de um corpo parado se manter em repouso é também decorrente da inércia. Você já 
deve  ter  visto  a  seguinte  experiência.  A  louça  apoiada  em  uma  toalha  de mesa  não  cai  quando  a  toalha  é  puxada 
repentinamente. A força de atrito sobre a porcelana durante o intervalo de tempo muito curto não é suficiente para ela 
se mover, logo ela permanece praticamente em repouso. 
É relevante notar que na primeira lei de Newton o que importa é conhecer a força resultante. Por exemplo, um 
livro de  física em repouso sobre uma mesa horizontal possui duas  forças atuando sobre ele: uma força de cima para 
baixo  oriunda  da  atração  gravitacional  que  a  Terra  exerce  sobre  ele  (uma  força  de  longo  alcance  que  atua  sempre, 
independentemente da altura da mesa) e uma força de baixo para cima oriunda da reação de apoio da mesa (uma força 
de contato). A reação de apoio da mesa de baixo para cima é igual à força da gravidade de cima para baixo, de modo 
que a força resultante que atua sobre o livro (ou seja, a soma vetorial das duas forças) é igual a zero. De acordo com a 
primeira lei de Newton, se o livro está em repouso sobre a mesa ele deve permanecer em repouso. O mesmo princípio 
pode ser aplicado a um disco de hóquei se deslocando sobre uma superfície horizontal sem atrito: a soma vetorial da 
reação de apoio da superfície de baixo para cima e da força da gravidade de cima para baixo é  igual a zero. Uma vez 
iniciado o movimento do disco, ele deve continuar com velocidade constante porque a força resultante atuando sobre 
ele é igual a zero. 
Quando não existe nenhuma força atuando sobre um corpo, ou quando existem diversas forças com uma soma 
vetorial (resultante) igual a zero, dizemos que o corpo está em equilíbrio. No equilíbrio, o corpo ou está em repouso ou 
está em movimento com velocidade constante. Para um corpo em equilíbrio, a força resultante é igual a zero: 
F = 0               [1] 
SISTEMAS DE REFERÊNCIA INERCIAL 
Suponha que você esteja em um avião que acelera ao longo da pista de decolagem. Se você pudesse ficar em pé 
apoiado em patins ao longo do eixo no interior do avião, você se deslocaria para trás em relação ao avião à medida que 
o piloto acelerasse o avião. Ao contrário, durante a aterrissagem do avião, você começaria a se mover para trás até o 
avião parar: Tudo se passa como se a primeira lei de Newton não estivesse sendo obedecida; aparentemente não existe 
nenhuma força resultante atuando sobre você, embora sua velocidade esteja variando. O que existe de errado? O fato é 
que o avião está sendo acelerado em relação à Terra e este não é um sistema de referência adequado para a aplicação 
da  primeira  lei  de  Newton.  Essa  lei  vale  para  alguns  sistemas  de  referência  e  não  vale  para  outros.  Um  sistema  de 
referência para o qual a primeira lei de Newton seja válida denomina‐se sistema de referência inercial. A Terra pode ser 
considerada aproximadamente um sistema de referência inercial, mas nesse caso não é. Como a primeira lei de newton 
é usada para definir um sistema de referência inercial, algumas vezes ela é chamada lei da inércia.   
A figura 3 mostra como usar a primeira lei de Newton para compreender o que ocorre quando você viaja em um 
veículo em aceleração. Na figura 3a, o veículo está inicialmente em repouso, e a seguir começa a acelerar para a direita. 
Uma passageira sobre patins praticamente não possui nenhuma força resultante atuando sobre ela, visto que as rodas 
dos patins minimizam os  efeitos do atrito,  portanto,  ela  tende  a permanecer  em  repouso em  relação ao  sistema de 
referência inercial da Terra, de acordo com a primeira lei de Newton. Como o veículo acelera para a frente, ela se move 
para trás em relação ao veículo. Analogamente, se o veículo está em movimento e diminui de velocidade, ela tende a 
continuar em movimento com velocidade constante em relação à Terra (figura 3b). A passageira se move para a frente 
em  relação  ao  veículo.  Um  veículo  também  acelera  quando  se move  com  velocidade  constante mas  faz  uma  curva 
(figura 3c). Nesse caso, a passageira tende a continuar em movimento com velocidade constante em relação à Terra na 
 
4 
mesma linha reta; em relação ao veículo, ela se move lateralmente para fora da curva. 
 FIGURA 3 Viajando em um veículo em aceleração, a) Se você e o veículo estão inicialmente em repouso, você tende a 
permanecer em repouso quando o veículo acelera, b) Se você e o veículo estão inicialmente em movimento, você tende 
a permanecer em movimento quando o veículo diminui de velocidade, c) Você tende a continuar em linha reta quando 
o veículo faz uma curva. 
 
Em cada caso indicado na figura 3, um observador fixo no sistema de referência do veículo poderia ser levado a 
concluir que existe uma força resultante atuando sobre a passageira em cada caso. Esta conclusão está errada: a força 
resultante sobre a passageira é nula. O erro do observador do veículo é que ele está tentando aplicar a primeira lei de 
Newton a um sistema de referência que não é inercial, para o qual não vale a primeira lei de Newton (figura 4).   
 
 
 
FIGURA  4  Para  o  sistema  de  referência  deste  carro,  tudo  se 
passa  como  se  uma  força  estivesse  puxando  os  bonecos  de 
teste  para  a  frente  quando  o  carro  para  repentinamente. 
Contudo, essa força não existe, os bonecos devem continuar a 
se mover para a frente em virtude da primeira lei de Newton. 
 
Mencionamos  somente  um  sistema  de  referência  (aproximadamente)  inercial:  a  superfície  da  Terra.  Porém, 
existem muitos sistemas de referência inerciais. Caso você tenha um sistema de referência inercial A no qual seja válida 
a primeira  lei de Newton, então qualquer outro sistema de referência B que se mova em relação a A com velocidade 
relativa constante vB/A também será um sistema de referência inercial. Para provar isso, usamos a equação do capítulo 
anterior, que relaciona as velocidades relativas: 
P/A P/B B/Av v v     
Suponha  que  P  seja  um  corpo  que  se  desloca  com  velocidade  constante  vP/A em  relação  a  um  sistema  de 
referência inercial A. Pela primeira lei de Newton, a força resultante sobre o corpo é igual a zero. A velocidade relativa 
de P em relação a outro sistema de referência B possui um valor diferentevP/B = vP/A ‐ vB/A. Porém, a velocidade relativa 
vB/A entre  os  dois  sistemas  é  constante,  então  vP/B também  é  constante.  Logo,  o  sistema  de  referência  B  também  é 
inercial; a velocidade de P em relação a esse sistema é constante, a força resultante sobre P é nula e a primeira lei de 
Newton é válida em B. Observadores em B e em A não concordarão sobre a velocidade de P, mas concordarão que P se 
move com velocidade constante (aceleração nula) e que a força resultante sobre P é nula.   
 
4 SEGUNDA LEI DE NEWTON 
Ao discutirmos a primeira lei de Newton, vimos que quando não existe nenhuma força atuando sobre um corpo, 
ou quando a força resultante é igual a zero, o corpo se move com velocidade constante e aceleração nula. Na figura 5a, 
um disco de hóquei está deslizando para a direita  sobre uma pista de gelo, de modo que o atrito é desprezível. Não 
existe nenhuma força horizontal agindo sobre o disco; a reação de apoio da superfície de gelo de baixo para cima anula 
 
5 
a força da gravidade de cima para baixo. Sendo assim, a força resultante sobre o disco  F é igual a zero, a aceleração 
do disco é nula e ele se move com velocidade constante. 
Porém,  o  que  ocorre  quando  a  força  resultante  for  diferente  de  zero?  Na  figura  5b  aplicamos  uma  força 
horizontal constante no mesmo sentido do deslocamento do disco de hóquei. Então,  F é constante e possui a mesma 
direção e sentido de  v . Verificamos que durante o tempo em que a força está atuando, a velocidade varia a uma taxa 
constante, ou seja, o disco se move com aceleração constante. A velocidade escalar do disco aumenta, de modo que 
F   possuem a mesma direção e sentido. 
A  figura  5c  mostra  outra  experiência,  na  qual  invertemos  o  sentido  da  força  sobre  o  disco  de  modo  que  F está 
orientada  em  sentido  contrário  ao  de  v .  Também  nesse  caso,  o  disco  possui  uma  aceleração;  ele  se  move  com 
velocidade decrescente para a direita. Caso a força para a esquerda continue a atuar, ele por fim irá parar e começará a 
se acelerar para a esquerda. A aceleração  a nesse caso é para a esquerda, no mesmo sentido de F . Como no  caso 
anterior, a experiência mostra que a aceleração é constante quando  F é constante. 
Concluímos que a presença de uma força resultante que atua sobre um corpo produz uma aceleração no corpo. 
A  força  resultante e a aceleração possuem a mesma direção e o mesmo sentido.  Se o módulo da  força  resultante é 
constante, como nas figuras 5b e 5c, então o módulo da aceleração também é constante. 
 
 FIGURA 5 A aceleração de um corpo possui a mesma direção e o mesmo sentido da força resultante que atua sobre o 
corpo (nesse caso, um disco de hóquei se movendo sobre uma pista de gelo), a) Se  F = 0, o disco está em equilíbrio; a 
aceleração é nula e a velocidade é constante, b) Se  F está orientada para a direita, a aceleração é para a direita, c) Se 
F está orientada para a esquerda, a aceleração é para a esquerda. 
 
Essas  conclusões  sobre  força  resultante  e  aceleração  também valem para um movimento  em uma  trajetória 
curva. Por exemplo, a figura 6 mostra um disco de hóquei deslizando em um círculo horizontal sobre uma pista de gelo 
com atrito desprezível. Um fio ligado ao disco exerce sobre ele uma força de módulo constante orientada para o centro 
do círculo. O resultado é uma aceleração de módulo constante orientada para o interior do círculo. A velocidade escalar 
do disco é constante, logo identificamos um movimento circular uniforme, como foi discutido no capítulo anterior. 
 
 
 
 
 
FIGURA  6  Vista  superior  do  movimento  circular 
uniforme  de  um  disco  de  hóquei  em  uma  superfície 
horizontal  sem  atrito.  Em  qualquer  ponto  da 
trajetória,  a  aceleração  a   e  força  resultante  F  
estão orientadas no mesmo sentido, para o centro do 
círculo. 
 
A figura 7a mostra outra experiência para explorar a relação entre a aceleração e a força resultante que atua 
sobre um corpo. Aplicamos uma força horizontal constante sobre um disco de hóquei em uma superfície horizontal sem 
 
6 
atrito, usando um dinamômetro  (aparelho para medir  forças)  com a mola deformada de um mesmo valor.  Tanto na 
figura 5b quanto na figura 5c, essa força horizontal é igual à força resultante que atua sobre o disco. Fazendo variar o 
módulo  da  força,  a  aceleração  varia  com  a  mesma  proporção.  Dobrando‐se  a  força  resultante,  a  aceleração  dobra 
(figura  7b);  usando‐se  metade  da  força  resultante,  a  aceleração  se  reduz  à  metade  (figura  7c)  e  assim  por  diante. 
Diversas experiências análogas mostram que a aceleração é diretamente proporcional ao módulo da  força resultante 
que atua sobre o corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA  7  a)  A  aceleração  a   é  proporcional  à 
força  resultante  F .  b)  Dobrando‐se  a  força 
resultante,  a  aceleração  dobra,  c)  Usando‐se  a 
metade da força resultante, a aceleração se reduz 
à metade. 
 
Para um dado corpo, a  razão entre o módulo da  força  resultante | F | e o módulo da aceleração a = | a | é 
constante,  independentemente  do módulo  da  força  resultante.  Essa  razão  denomina‐se massa  inercial  do  corpo,  ou 
simplesmente massa, e será representada por m. Ou seja, m = | F |/a ou 
F    ma                                    [2] 
A equação (2) relaciona o módulo da força resultante que atua sobre o corpo com o módulo da aceleração que 
ela produz. Também vimos que a força resultante possui a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração, tanto no 
caso de uma trajetória retilínea quanto no caso de uma trajetória curvilínea. Newton sintetizou todas essas relações e 
resultados experimentais em uma única formulação denominada segunda lei de Newton: 
Quando uma força resultante externa atua sobre um corpo, ele se acelera. A aceleração possui a mesma direção 
e  o mesmo  sentido  da  força  resultante.  O  vetor  força  resultante  é  igual  ao  produto  da massa  do  corpo  pelo  vetor 
aceleração do corpo. 
Em símbolos 
F   ma                           [3] 
Existem pelo menos quatro aspectos da segunda lei de Newton que necessitam de atenção especial.   
Primeiro,  a  equação  (3)  é  uma  equação  vetorial.  Normalmente  ela  será  usada  mediante  a  forma  dos 
componentes,  escrevendo‐se  separadamente  uma  equação  para  cada  componente  da  força  e  a  aceleração 
correspondente: 
x x y y z zF    ma      F    ma     F    ma            [4] Esse conjunto de equações para cada componente é equivalente à equação (3). Cada componente da força resultante é 
igual à massa vezes o componente correspondente da aceleração. 
Segundo, a segunda lei de Newton refere‐se a forças externas. Com isso queremos dizer que essas forças são 
exercidas  por  outros  corpos  existentes  em  suas  vizinhanças.  É  impossível  um  corpo  afetar  seu  próprio  movimento 
exercendo uma força sobre si mesmo; se isso fosse possível, você poderia dar um pulo até o teto puxando seu cinto de 
baixo  para  cima!  É  por  isso  que  somente  forças  externas  são  incluídas  em  todas  as  somas  das  forças  indicadas  nas 
equações (3) e (4). 
Terceiro, as equações (3) e (4) são válidas apenas quando a massa m é constante. É fácil imaginar sistemas que 
possuem massas  variáveis,  como um  caminhão‐tanque  vazando  líquido,  um  foguete  se deslocando ou um vagão em 
movimento numa estrada de ferro sendo carregado com carvão. Porém tais sistemas são mais bem estudados mediante 
o conceito de momento linear; esse assunto será abordado posteriormente. 
Finalmente, a segunda  lei de Newton é válida somente em sistemas de referência  inerciais, como no caso da 
primeira lei de Newton. 
 
7 
 
 
 
O projeto de uma motocicleta de alto desempenho 
depende  fundamentalmente  da  segunda  leide 
Newton.  Para  maximizar  a  aceleração,  o  projetista 
deve  fazer  a  motocicleta  ser  o  mais  leve  possível 
(isto é, minimizar sua massa) e usar a máquina mais 
potente possível (isto é, maximizar a força motriz). 
 
 
5 MASSA E PESO 
A massa mede quantitativamente a inércia, já discutida anteriormente. Quanto maior a massa, mais um corpo 
"resiste" a ser acelerado. Esse conceito pode ser facilmente relacionado com nossa experiência cotidiana. Se você bater 
em uma bola de tênis e depois arremessar com a mesma força uma bola de basquete, vai notar que a bola de basquete 
possui uma aceleração menor do que a da bola de tênis. Quando uma força produz uma aceleração grande, a massa do 
corpo é pequena; quando uma força produz uma aceleração pequena, a massa do corpo é grande. 
Efetivamente, a massa de um corpo depende do número de prótons, nêutrons e elétrons que ele contém. Esse 
não  seria  um bom modo  para  a  definição  de massa,  visto  que  não  existe  nenhum método  prático  para  se  contar  o 
número dessas partículas. Contudo, o  conceito de massa  fornece a maneira mais  fundamental para  se  caracterizar  a 
quantidade de matéria contida em um corpo. 
O peso de um corpo é a força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Os termos massa e 
peso  em  geral  são  mal‐empregados  e  considerados  sinônimos  em  nossa  conversação  cotidiana.  É  extremamente 
importante que você saiba a diferença entre estas duas grandezas físicas. 
A massa caracteriza a propriedade da  inércia de um corpo. O peso de um corpo, por outro  lado, é a força de 
atração  gravitacional  exercida  pela  Terra  (ou  qualquer  outro  corpo  grande)  sobre  o  corpo.  A  experiência  cotidiana 
mostra que um corpo que possui massa grande também possui peso grande. É difícil lançar horizontalmente uma pedra 
grande porque ela possui massa grande, e é difícil  levantá‐la porque ela possui peso grande. Na  superfície da  Lua,  a 
dificuldade para lançar essa pedra horizontalmente seria a mesma, mas você poderia levantá‐la mais facilmente.   
Qualquer corpo de massa m deve possuir um peso com módulo w dado por 
w = mg                            [5] 
O peso de um corpo é uma  força, uma grandeza vetorial, de modo que podemos escrever a equação  (5)  como uma 
equação vetorial: 
w mg                                                                                      [6] 
Lembre‐se  de  que  g  é  o  módulo  de  g ,  a  aceleração  da  gravidade,  logo  g  é  sempre  um  número  positivo. 
Portanto, w, dado pela equação (5), é sempre um número positivo. 
ATENÇÃO ► As unidades SI de massa e de peso algumas vezes são mal‐empregadas em nossa vida diária. Expressões 
incorretas  como  "Esta  caixa  pesa  6  kg"  são  quase  universalmente  usadas.  Essa  frase  significa  que  a massa da  caixa, 
provavelmente determinada  indiretamente por pesagem, é  igual a 6 kg. Esse uso é tão arraigado que provavelmente 
não existe nenhuma esperança de alterá‐lo, porém você deve estar consciente de que o termo peso está sendo usado 
incorretamente no lugar de massa. Tome cuidado para evitar esse tipo de erro nos seus trabalhos! Em unidades SI, o 
peso (uma força) é medido em newtons, enquanto a massa é medida em quilogramas.   
 
 
 
 
 
FIGURA 8 Uma balança de braços iguais permite 
a  determinação  da  massa  de  um  corpo 
mediante comparação com um peso conhecido. 
 
 
6 TERCEIRA LEI DE NEWTON 
Uma força atuando sobre um corpo é sempre o resultado de uma interação com outro corpo, de modo que as 
forças sempre ocorrem em pares. Quando você chuta uma bola, a força para a frente que seu pé exerce sobre ela faz a 
bola se mover ao longo da sua trajetória, porém você sente a força que a bola exerce sobre seu pé. Quando você chuta 
 
8 
uma rocha, a dor que você sente decorre da força que a rocha exerce sobre seu pé. 
Nesses casos, a força que você exerce sobre o corpo é igual e contrária à força que o corpo exerce sobre você. A 
experiência mostra  que,  quando dois  corpos  interagem,  as  duas  forças  decorrentes  da  interação possuem  sempre  o 
mesmo módulo e a mesma direção, mas  sentidos contrários. Esse  resultado denomina‐se  terceira  lei de Newton. Na 
figura 9, FA/B é a força exercida pelo corpo A (primeiro índice inferior) sobre o corpo B (segundo índice inferior) e FB/A é a 
força exercida pelo corpo B (primeiro índice inferior) sobre o corpo A (segundo índice inferior). O enunciado matemático 
da terceira lei de Newton é 
A/B B/AF F 
                        [7] 
Expressa em palavras, 
Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B (uma "ação"), então o corpo B exerce uma força sobre 
o  corpo  A  (uma  "reação").  Essas  duas  forças  têm  o  mesmo  módulo  e  a  mesma  direção,  mas  possuem  sentidos 
contrários. Essas duas forças atuam em corpos diferentes. 
Nesse enunciado, a "ação" e a "reação" são duas forças opostas; algumas vezes nos referimos a elas como um 
par  de  ação  e  reação.  Isso  não  significa  nenhuma  relação  de  causa  e  efeito;  qualquer  uma  das  forças  pode  ser 
considerada  como  a  "ação"  ou  como  a  "reação".  Algumas  vezes  dizemos  simplesmente  que  as  forças  são  "iguais  e 
contrárias", querendo dizer que elas têm o mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem sentidos contrários. 
 
 
 
FIGURA 9 Quando um corpo A exerce uma força FA/B 
sobre um corpo B, então o corpo B exerce uma força 
FB, sobre o corpo A, que possui o mesmo módulo e a 
mesma direção, mas sentido contrário:  A/B B/AF   F 
   
 
Enfatizamos que as duas  forças na  terceira  lei de Newton atuam em corpos diferentes.  Isso é  importante na 
solução de problemas envolvendo a terceira lei de Newton ou a segunda lei de Newton, que dizem respeito a forças que 
atuam sobre um corpo. Por exemplo, a força resultante que atua sobre a bola de futebol americano da figura 9 é a soma 
vetorial do peso da bola com a força  A/BF
 que o pé exerce sobre a bola. Nessa soma você não deve incluir a força  B/AF

porque essa força é exercida sobre o pé e não sobre a bola. 
Na figura 9, a ação e a reação são forças de contato que estão presentes somente enquanto os dois corpos se 
tocam. Porém a terceira lei de Newton também se aplica para as forças de longo alcance que não necessitam do contato 
físico entre os corpos, como no caso da atração gravitacional. Uma bola de pingue‐pongue exerce sobre a Terra uma 
força gravitacional de baixo para cima de mesmo módulo que a  força gravitacional de cima para baixo exercida pela 
Terra sobre a bola. Quando você deixa a bola cair, a bola e a Terra se aproximam. O módulo da força resultante sobre 
cada um desses corpos é o mesmo, mas a aceleração da Terra é extremamente microscópica por causa de sua massa 
gigantesca. 
Outro  exemplo  da  terceira  lei  de  Newton  é mostrado  na  figura  10.  A  força  mpF exercida  pelo martelo  (m  = 
martelo, p = prego) sobre o prego (a ação) é igual em módulo e oposta à força  pmF
 exercida pelo prego sobre o martelo 
(a reação). Essa última força para o movimento para frente do martelo quando ele bate no prego. 
Você pode experimentar a terceira lei diretamente se der um soco contra uma parede ou se chutar uma bola 
com o pé descalço. Você sente a força de volta em sua mão ou em seu pé. Você deve ser capaz de identificar as forças 
de ação e de reação nesses casos.   
 
 
 
FIGURA  10  A  terceira  lei  de Newton:  A  força  mpF  
exercida  pelo  martelo  sobre  o  prego  é  igual  em 
módulo e oposta em direção à força  pmF   exercida 
pelo prego sobre o martelo. 
 
A Terra exerce uma força gravitacional  gF sobre qualquer corpo. Se o corpo for um monitor de computador em 
repouso sobre uma mesa, como no desenho na figura 11a (M = monitor, T = Terra, m = mesa), a força de reação é a 
força  exercida  pelo monitor  sobre  a  Terra,dada  por MT TmF   F 
  . O monitor  não  se  acelera,  pois  ele  é  segurado  pela 
mesa. A mesa exerce sobre o monitor uma força para cima mMN  F
  , chamada força normal. Essa força  impede que o 
 
9 
monitor caia da mesa; ela pode ter qualquer valor necessário, até o limite de quebrar a mesa. A partir da segunda lei de 
Newton, vemos que, como o monitor tem aceleração nula, segue‐se que N ‐ mg = 0, ou N = mg. A força normal equilibra 
a força gravitacional sobre o monitor, de forma que a força resultante sobre o monitor é nula. A reação a  N   é a força 
exercida para baixo pelo monitor sobre a mesa,  Mm mMF   F 
  . Observe que as forças agindo sobre o monitor são gF e N  , 
como mostrado na  figura 11b. As duas  forças de  reação  MT MmF e F
  são exercidas  sobre corpos diferentes do monitor. 
Lembre‐se, as duas forças em um par ação‐reação sempre agem sobre dois corpos diferentes. 
   FIGURA 11 a) Quando um monitor de computador está sobre uma mesa, várias forças estão agindo (M = monitor, T = 
terra, m = mesa). b) O diagrama de corpo  livre para o monitor. As  forças agindo sobre o monitor são a  força normal 
mMN   F
  e a força gravitacional g TMF  F  . Estas são as únicas forças agindo sobre o monitor e as únicas forças que devem 
aparecer em um diagrama de corpo livre para o monitor. 
 
7 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON 
As três leis de Newton contêm todos os princípios básicos necessários para a solução de uma grande variedade 
de problemas de mecânica. Estas leis possuem formas muito simples, mas sua aplicação em situações específicas pode 
apresentar desafios reais. Esta seção apresenta algumas técnicas úteis. 
Quando  você  usar  a  primeira  lei  de  Newton,  F = 0 ,  para  uma  situação  de  equilíbrio,  ou  a  segunda  lei  de 
Newton,  F =ma  , para uma  situação  sem equilíbrio,  você deve aplicá‐las  a um corpo especificado.  É  absolutamente 
necessário definir logo de início o corpo sobre o qual você está falando. Isso pode parecer trivial, mas não é. Depois de 
escolher o corpo, você deve  identificar as forças que atuam sobre ele. Não confunda as forças que atuam sobre esse 
corpo com as forças exercidas por ele sobre outros corpos. Somente as forças que atuam sobre o corpo entram no  F . 
Para auxiliar a identificação das  forças pertinentes, desenhe um diagrama do corpo  livre. O que é  isso? É um 
diagrama que mostra o corpo escolhido "livre" das suas vizinhanças, com vetores desenhados para mostrar o módulo, a 
direção e o  sentido de  todas as  forças que atuam  sobre o  corpo.  Já mostramos alguns diagramas do  corpo  livre nas 
figuras 9, 10 e 11. Seja cuidadoso e não esqueça de incluir todas as forças que atuam sobre o corpo, tomando cuidado 
para não incluir as forças que esse corpo exerce sobre outros corpos. Em particular, as duas forças de um par de ação e 
reação nunca devem aparecer em um diagrama do corpo livre porque elas nunca atuam sobre o mesmo corpo. Além 
disso,  as  forças  que  um  corpo  exerce  sobre  si mesmo  nunca  devem  aparecer  porque  forças  internas  não  afetam  o 
movimento do corpo. 
Exemplos: 
 
Uma  velocista  ganha  uma  grande  aceleração  para  a  frente 
quando ela começa uma competição pressionando para trás a 
cunha  do  bloco  de  partida.  O  bloco  exerce  sobre  ela  uma 
grande força de reação normal  N . Essa força deve possuir um 
grande componente horizontal Nx que acelera a velocista e um 
componente vertical Ny menor. Caso esse componente vertical 
seja  igual  ao módulo do  seu peso w, a  componente da  força 
resultante na vertical é nula e não existe aceleração ao longo 
da vertical. 
 
 
10 
 
 
 
Quando submerso na água, o corpo de uma pessoa 
recebe uma força de empuxo B de baixo para cima. 
Essa força é equilibrada pelo peso da mergulhadora 
w.  Nessas  circunstâncias,  o  movimento  da 
mergulhadora depende da força da água sobre ela, 
devida a correntes na água e à reação da força que a 
mergulhadora  exerce  sobre  a  água  com  o 
movimento das suas pernas e dos seus braços. 
 
 
 
 
 
Um jogador de basquete pula empurrando seus pés contra 
o solo. As forças que atuam sobre ele são o seu peso w e a 
reação  do  solo  que  o  empurra  para  cima.  Quando  o 
jogador está no ar, a única força que atua sobre ele é seu 
peso; sua aceleração é de cima para baixo, mesmo quando 
ele  está  subindo.  Seu  adversário  está  submetido  ao  seu 
próprio peso e à força normal  N   exercida sobre ele pelo 
solo. 
 
 
Neste tópico apresentamos algumas aplicações simples das leis de Newton para corpos que estão em equilíbrio 
(a = 0) ou que estão acelerando sob a ação de forças externas constantes. Vamos supor que os corpos se comportem 
como partículas de forma que não precisamos nos preocupar com movimento de rotação ou com outras complicações. 
Nesta seção também aplicaremos alguns modelos de simplificação adicionais. Desprezamos os efeitos do atrito para os 
problemas  que  envolvem  movimento.  Isso  é  equivalente  a  dizer  que  as  superfícies  são  sem  atrito.  Normalmente 
desprezamos as massas de quaisquer cordas ou  fios envolvidos no problema. Nessa aproximação, o módulo da  força 
exercida em qualquer ponto ao longo de um fio é o mesmo em todos os pontos ao longo do fio. Quando se colocam os 
problemas,  os  termos  leve e de massa desprezível  são utilizados para  indicar que uma massa é para  ser desprezada 
quando você resolve o problema. Esses dois termos são sinônimos nesse contexto. 
Quando aplicamos as leis de Newton a um corpo, estamos interessados apenas nas forças externas que agem 
sobre o corpo. Por exemplo, na figura 11 as únicas forças externas agindo sobre o monitor são gN e F  . As reações a essas 
forças,  Mm MTF e F
  , agem  sobre  a mesa  e  sobre  a  Terra,  respectivamente,  e  não  aparecem na  segunda  lei  de Newton 
quando aplicada ao monitor. Não pode deixar de ser enfatizada a importância de desenhar um diagrama de corpo livre 
apropriado para garantir que você está considerando as forças corretas. 
Quando um corpo como um bloco está sendo puxado por uma corda ou um fio ligado a ele, a corda exerce uma 
força sobre o corpo. O módulo dessa força é chamado tensão na corda. Sua direção é ao longo da corda, afastando‐se 
do corpo. 
Considere uma caixa sendo puxada para a direita  sobre uma superfície horizontal  sem atrito,  como na  figura 
12a. Suponha que você queira saber a aceleração da caixa e a força exercida pelo chão sobre ela. Em primeiro  lugar, 
observe que a força horizontal sendo aplicada sobre a caixa atua por meio da corda. A força exercida pela corda sobre a 
caixa é representada pelo símbolo T e seu módulo é a tensão na corda. 
Como estamos interessados apenas no movimento da caixa, temos de ser capazes de identificar todas as forças 
externas agindo sobre ela. Essas  forças estão  ilustradas no diagrama de corpo  livre na  figura 12b. Além da  força T, o 
diagrama de corpo livre para a caixa inclui a força gravitacional  gF e a força normal  N
   exercida pelo chão sobre a caixa. 
As reações às forças que listamos ‐ a saber, a força exercida pela caixa sobre a corda, a força exercida pela caixa sobre a 
Terra, e a força exercida pela caixa sobre o chão ‐ não estão incluídas no diagrama de corpo livre, pois elas agem sobre 
outros corpos e não sobre a caixa. 
Aplicamos  agora  a  segunda  lei  de  Newton  à  caixa.  Primeiro  temos  de  escolher  um  sistema  de  coordenadas 
apropriado. Nesse caso é conveniente utilizar o sistema de coordenadas mostrado na figura 12b, com o eixo x horizontal 
e o eixo y vertical. 
 
11 
 FIGURA 12 a) Uma caixa sendo puxada para a direita sobre uma superfície sem atrito, b) O diagrama de corpo livre que 
representa as forças externas sobre a caixa. 
 
Podemos aplicar a segunda lei de Newton na direção x, nadireção y, ou em ambas as direções, dependendo do 
que  nos  for  pedido  para  encontrar  no  problema.  Além  disso,  podemos  ser  capazes  de  utilizar  as  equações  de 
movimento para a partícula com aceleração constante que discutimos no capítulo 2. Contudo, você deve utilizar essas 
equações apenas quando a aceleração for constante, o que é o caso se a força resultante é constante. Por exemplo, se a 
força  T  na  figura  12  é  constante,  então  a  aceleração  na  direção  x  também  é  constante,  pois  a  =  T/m.  Portanto,  se 
precisarmos encontrar a posição ou velocidade da caixa em algum instante de tempo, poderemos usar as equações de 
movimento com aceleração constante. 
 
8 LEI DE HOOKE 
Quando  pensamos  em  algo  “elástico”  logo  associamos  em  alguma  coisa  que  pode  ser  “esticada”  ou 
“comprimida”  através  da  aplicação  de  uma  força,  por  exemplo,  uma  mola.  Roberth  Hooke  (1635‐1703)  estudou 
cuidadosamente  várias  situações em que uma mola  sofria deformações.  Considere uma mola  com  seu  comprimento 
natural  L0  fixada  por  uma  das  suas  extremidades  a  um  suporte  como  na  figura  13.  Ao  aplicarmos  uma  força  de 
intensidade  F  a  mola  distenderá  passando  a  ter  um  comprimento  L1  ou  L2  dependendo  da  intensidade  da  força.  A 
diferença entre L0 e L1 ou L2 será a deformação x sofrida pela mola, ou seja, o quanto ela foi esticada. 
Vejam na figura 13 que ao acrescentarmos massas de diferentes pesos (forças) também temos uma mudança 
no alongamento da mola, e quanto maior a força aplicada (casos 1 e 2) maior é o valor da deformação x (compare x1 e 
x2). Isso mostra que há uma relação direta entre a força aplicada e a deformação sofrida pela mola. 
Hooke  também  estudou  a  deformação  sofrida  em  várias  molas  diferentes  (mais  rígida  ou  menos  rígida)  ao 
acrescentar  massas  com  o  mesmo  peso  (compare  L1  e  L3).  Ele  conclui  que  o  valor  da  distensão  da  mola  também 
dependia do tipo de material da qual ela era feita, e quanto mais rígida fosse a mola maior deveria ser a força aplicada 
para produzirmos uma mesma deformação x (compare L1 com L3). 
 
 
 
FIGURA  13  a)  Várias  situações  de  uma  mola 
sofrendo  deformações.  A  mola  com  o  seu 
comprimento  natural  L0;  comprimento  L1  e  L2 
após aplicação da força F1 e F2 (devido ao peso 
das massas  de  100g  e  250g); mola mais  rígida 
após  com  o  comprimento  final  L3  após  a 
aplicação da força F1. b) As forças que atuam no 
sistema massa‐mola. 
 
Experimentalmente  sabemos  (e  a  3ª  Lei  de  Newton  confirma)  que  ao  exercermos  uma  força  sobre  a  mola 
puxando  para  baixo  (pendurando  os  blocos)  a mola  exercerá  uma  força  de  intensidade  oposta  à  força  peso  com  o 
intuito de  restaurar o  seu estado  “relaxado”  (ou natural)  em que  se encontrava  inicialmente. A esta  força  contrária, 
chamada muitas vezes de “força restauradora”, Hooke chamou de força elástica da mola. Assim, para pequenos valores 
de x comparando ao comprimento L0 da mola, podemos escrever: 
Fe = ‐kx              [8] 
sendo k a constante da mola cujo valor depende da mola usada e x a deformação da mola. Essa expressão é conhecida 
como a Lei de Hooke. 
Quando retiramos a força que causou a deformação à tendência da mola é voltar ao seu comprimento inicial, 
mas nem sempre  isso ocorre. Pode acontecer de a mola ficar com um comprimento diferente de L0 ao ser retirada a 
força (o bloco de massa), situação em que não se aplica a Lei de Hooke.   
 
12 
Nos casos em que a mola volta a seu comprimento inicial ao ser retirada a força dizemos que ela obedece a Lei 
de Hooke e que a deformação é elástica. 
No caso real, a mola tem um comportamento elástico até um determinado valor x’, que varia de acordo com a 
mola. Acima deste valor crítico ela passa a não obedecer a Lei de Hooke e dependendo da intensidade da força aplicada 
pode até se romper (“quebrar”). É por este motivo que a Lei de Hooke só é válida quando o valor de “x” (deformação – 
quanto ela se esticou) for pequeno em comparação com L0 (comprimento natural da mola). 
 
9 FORÇAS DE ATRITO 
Nesta seção estudaremos o atrito, uma força importante em muitos aspectos de nossa vida cotidiana. O óleo no 
motor de um automóvel minimiza o atrito entre as partes móveis, porém se não fosse o atrito entre os pneus do carro e 
o solo, não poderíamos guiar um carro nem fazer curvas. O arraste do ar — a força de atrito exercida pelo ar sobre um 
corpo que nele se move — faz aumentar o consumo de combustível de um carro, mas possibilita o uso do paraquedas. 
Sem  o  atrito,  os  pregos  pulariam  facilmente,  os  bulbos  das  lâmpadas  seriam  desenroscados  sem  nenhum  esforço  e 
caminhar seria impossível.   
Em  nível  microscópico,  a  força  de  atrito  e  a  força  normal  decorrem  de  interações  intermoleculares 
(fundamentalmente de natureza elétrica) entre duas superfícies rugosas nos pontos onde elas se tocam (figura 14). A 
área efetiva de contato é geralmente muito menor do que a área total da superfície. À medida que um bloco desliza 
sobre um piso, ligações microscópicas se formam e se rompem, e o número total dessas ligações é variável; portanto, a 
força de atrito quando o bloco está em movimento não é  rigorosamente constante. Alisar as  superfícies em contato 
pode  na  verdade  fazer  aumentar  o  atrito,  visto  que mais moléculas  se  tornam  aptas  a  formar  ligações;  juntar  duas 
superfícies  lisas de um mesmo metal pode produzir uma "solda a  frio". Os óleos  lubrificantes  fazem diminuir o atrito 
porque uma película de óleo se forma entre as duas superfícies (como no caso do pistão e das paredes do cilindro no 
motor de um carro) impedindo‐as de entrar em contato efetivo. 
 
 
 
 
FIGURA  14  A  força  de  atrito  e  a  força  normal 
decorrem  de  interações  entre  moléculas  nos  pontos 
mais elevados das superfícies de contato entre o bloco 
e o piso. 
 
Quando você tenta arrastar uma caixa cheia de livros, ela pode não se mover porque o solo exerce uma força 
igual e contrária. Essa força denomina‐se força de atrito estático fs. Na figura 15a a caixa está em repouso equilibrada 
pela ação do peso w e pela força normal N exercida de baixo para cima pelo solo sobre a caixa, que possui o mesmo 
módulo do peso. Agora amarramos uma corda na caixa (figura 15b) e aumentamos gradualmente a tensão T na corda. 
No  início, a caixa permanece em repouso porque, à medida que T cresce, a  força de atrito estático fs  também cresce 
(permanecendo com o mesmo módulo de T). 
Em dado ponto, T  torna‐se maior do que o máximo valor da  força de atrito estático  fs que a superfície pode 
exercer. Então a caixa "quebra o vínculo" (a tensão é capaz de quebrar as ligações moleculares entre as superfícies da 
caixa e do solo) e começa a deslizar. A figura 15c mostra um diagrama das forças quando T atingiu esse valor crítico. 
Quando T supera esse valor, a caixa não está mais em equilíbrio. Para um dado par de superfícies, o valor máximo de fs 
depende da força normal. A experiência mostra que esse valor máximo (fs)max é aproximadamente proporcional a reação 
normal; chamamos o fator de proporcionalidade de μs (pronuncia‐se "mi, índice s") de coeficiente de atrito estático. Na 
tabela 1 são apresentados alguns valores típicos de μs. Em uma situação particular, a força de atrito estático pode ter 
qualquer valor entre zero (quando não existe nenhuma outra paralela à superfície) até um valor máximo dado por μsN. 
Em símbolos, 
fs≤ μsN                  [9] 
Essa equação não é uma relação vetorial, e sim uma relação entre módulos de vetores. O sinal de igual só vale 
quando a  força T, paralela à superfície, atingiu seu valor crítico e o movimento está na  iminência de começar  (figura 
15c). Quando T for menor do que esse valor (figura 15b), o sinal da desigualdade é válido.Nesse caso é necessário usar 
a condição de equilíbrio ( F 0  ) para achar fs. Quando não existe nenhuma força aplicada (T = 0), como na figura 15a, 
então também não existe nenhuma força de atrito estático (fs = 0). 
 
13 
 FIGURA 15 a), b), c) Quando não existe movimento relativo entre as superfícies. O módulo da força de atrito estático fs é 
menor do que ou igual a μsN. d) Quando existe movimento relativo, o módulo da força de atrito cinético fc é igual a μcN. 
 
O tipo de atrito que atua quando um corpo está deslizando sobre uma superfície denomina‐se força de atrito 
cinético fc (figura 15d). O adjetivo "cinético" e o índice inferior "c" ou "k" servem para você lembrar‐se de que existe um 
movimento relativo entre as duas superfícies. O módulo da força de atrito cinético geralmente cresce quando a força 
normal cresce. Para arrastar uma caixa cheia de livros você realiza uma força maior do que para arrastá‐la quando ela 
está vazia. Esse princípio  também é usado no  sistema de  freio de um carro, quanto mais as pastilhas de  freio  forem 
comprimidas contra o disco de freio, maior é o efeito da freada. Em muitos casos verifica‐se experimentalmente que o 
módulo da força de atrito cinético fc é proporcional ao módulo N da força normal. Em tais casos, podemos escrever 
fc= μcN                [10] 
onde μc (pronuncia‐se: "mi, índice c") possui um valor constante denominado coeficiente de atrito cinético. Quanto mais 
deslizante for uma superfície, menor é o seu coeficiente de atrito. Como se trata da razão entre duas grandezas, μc é um 
número puro sem unidades. 
Logo que o deslizamento começa (figura 15d), a força de atrito normalmente diminui; manter a caixa deslizando 
é mais fácil do que produzir o  início do movimento. Portanto, o coeficiente de atrito cinético é geralmente menor do 
que o coeficiente de atrito estático para um dado par de superfícies, conforme mostra a tabela 1. Quando para t = 0 
começamos sem nenhuma força aplicada (T = 0) e gradualmente aumentamos a força, ocorrerá uma pequena variação 
da força de atrito, conforme indicado no gráfico da figura 15. 
Em alguns casos, as superfícies podem alternadamente aderir (atrito estático) e deslizar (atrito cinético). Essa é 
a  causa  daquele  som  horrível  feito  pelo  giz  quando  ele  é  colocado  numa  posição  errada  ao  escrevermos  sobre  o 
quadro‐negro. Outro fenômeno de aderência‐deslizamento é o ruído que o limpador de para‐brisa faz quando o vidro 
está seco; ainda outro exemplo é o violento som produzido quando os pneus deslizam no asfalto.   
A  tabela  1 mostra  alguns  valores  típicos  de  μc  e  μk.  Embora  esses  valores  sejam  dados  com  dois  algarismos 
significativos, eles são apenas aproximados, visto que força de atrito cinético pode depender da velocidade do corpo em 
relação à superfície. Vamos ignorar esses efeitos. 
 
Superfícies em contato  μs  μk 
Cobre sobre aço  0.53  0.36 
Aço sobre aço  0.74  0.57 
Alumínio sobre aço  0.61  0.47 
Borracha sobre concreto  1.0  0.8 
Madeira sobre madeira  0.25‐0.5  0.2 
Madeira encerada sobre neve úmida  0.14  0.1 
Teflon sobre teflon  0.04  0.04 
Articulações sinoviais em humanos  0.01  0.003 
A Tabela 1 Fonte: Serway R. A.. Física. Editorial McGraw‐Hill. (1992) 
 
14 
10 RESISTÊNCIA DE UM FLUIDO E VELOCIDADE TERMINAL 
Se você colocar sua mão para fora da janela de um carro que se move com alta velocidade, ficará convencido da 
existência da resistência de um fluido, a força que um fluido (um gás ou um líquido) exerce sobre o corpo que se move 
em seu seio. O corpo que se move exerce uma força sobre o fluido para afastá‐lo do seu caminho. Pela terceira lei de 
Newton o fluido exerce sobre o corpo uma força igual e contrária. 
A  força  da  resistência  de  um  fluido  possui  direção  e  sentido  sempre  contrários  aos  da  direção  e  sentido  da 
velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a 
velocidade do corpo através do fluido. Compare esse comportamento com o da força de atrito cinético entre superfícies 
em contato, que normalmente não depende da velocidade. Para baixas velocidades, o módulo da força de resistência de 
um fluido é aproximadamente proporcional à velocidade do corpo v: 
f = kv              [11] 
onde k é um fator de proporcionalidade que depende da forma e do tamanho do corpo e das propriedades do fluido. 
Quando o movimento ocorre no ar para velocidades de uma bola de  tênis  lançada ou para velocidades maiores que 
esta, a força é aproximadamente proporcional a v2 em vez de v. Ela é então chamada de arraste do ar, ou simplesmente 
arraste. Aviões, gotas de água caindo e carros que se movem com velocidades elevadas, todos sofrem a ação do arraste 
do ar. Nesse caso, a equação (11) deve ser substituída por 
f = Dv2              [12] 
Devido à dependência com v, o arraste do ar cresce rapidamente com a velocidade. O arraste do ar sobre um 
automóvel  é  desprezível  para  baixas  velocidades,  mas  comparável  com  a  resistência  de  rolamento  quando  o  carro 
atinge a velocidade máxima permitida para uma auto‐estrada. O valor de D depende da forma e do tamanho do corpo e 
da densidade do ar. Convidamos você a mostrar que as unidades da constante k na equação (11) são Ns/m ou kg/s e 
que as unidades da constante D na equação (12) são Ns2 /m2 ou kg/m. 
Por causa dos efeitos da resistência do fluido, um objeto caindo em um fluido não terá aceleração constante. 
Para descrever seu movimento não podemos usar as fórmulas do movimento com aceleração constante deduzidas no 
capítulo  2.  Em  vez  disso,  é  necessário  fazer  nova  solução,  aplicando  a  segunda  lei  de  Newton.  Vamos  considerar  o 
seguinte caso. Você deixa cair uma pedra em um lago profundo e ela cai até o fundo. Nesse caso, a força de resistência 
do fluido é dada pela equação (11). Qual é a aceleração, a velocidade e a posição da pedra em função do tempo? 
O diagrama do corpo livre está indicado na figura 16. Consideramos o sentido positivo como de cima para baixo 
e desprezamos a força de empuxo da água. Não existe nenhum componente x, e a segunda lei de Newton fornece 
yF mg ( kv) ma      
Quando a pedra começa o movimento v = 0, a força resistiva é nula, e a aceleração inicial é a = g. À medida que 
sua  velocidade  aumenta,  a  força  resistiva  também  aumenta,  até  que  finalmente  ela  se  torna  igual  ao  peso.  Nesse 
instante, mg ‐ kv = 0, a aceleração se anula e não ocorrerá mais nenhum aumento de velocidade. A velocidade final vt, 
denominada velocidade terminal, é dada por mg ‐ kvt = 0 ou vt = mg/k          [13] 
 
 
 
 
 
FIGURA 16 Diagrama do corpo livre para um corpo 
caindo em um fluido. 
 
A figura 17 mostra como a aceleração, a velocidade e a posição da pedra variam em função do tempo. À medida 
que o tempo passa, a aceleração tende a zero, e a velocidade tende ao valor vt (lembre‐se de que escolhemos o sentido 
positivo do eixo Oy como de cima para baixo). A inclinação do gráfico de y contra t tende a ficar constante à medida que 
a velocidade se torna constante. 
Para ver  como os gráficos na  figura 17  foram deduzidos, devemos achar a  relação entre velocidade e  tempo 
durante  o  intervalo  antes  de  o  corpo  atingir  a  velocidade  terminal.  Voltamos  à  segunda  lei  de  Newton,  que  agora 
escrevemos na forma 
dvm mg kvdt    
Depois de reagrupar os termos e substituir mg/k por vt, integramos ambos os membros, notando que v = 0 quando t = 0: 
v t
0 0t
dv k dtv v m    
 
15 
e as integrais fornecem 
(k/m)tt
t t
v v k vln t ou 1 ev m v
      
e finalmente 
(k/m)t
tv v [1 e ]               [14] 
 FIGURA 17 As curvas inferiores mostram os gráficos da aceleração, da velocidade e da posição em função do tempo para 
um corpo caindo em um fluido, supondo‐se a resistênciado fluido proporcional a v. As curvas superiores mostram as 
grandezas correspondentes imaginando a inexistência da resistência do fluido. 
 
Note que v só se torna igual à velocidade terminal vt no limite quando t tende ao infinito; a pedra não atinge o 
valor‐limite em nenhum intervalo de tempo infinito. 
A derivada de v fornece a em função do tempo, e a integral de v fornece y em função do tempo. Deixamos para 
você a tarefa de completar as deduções; os resultados são 
(k/m)ta ge             [15] 
(k/m)t
t
my v t (1 e )k
                [16] 
Agora examine novamente a figura 17 que mostra os gráficos das três últimas equações. 
Ao deduzirmos a velocidade terminal na equação (13), admitimos que a resistência do fluido era proporcional à 
velocidade. Para um objeto caindo no ar com velocidade elevada, de modo que a resistência do fluido seja proporcional 
a v2, como na equação (12), convidamos você a provar que a velocidade terminal vt é dada por 
t
mgv D             [17] 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01 Na ausência de atrito do ar, afirma‐se que todos os corpos caem com a mesma aceleração. Um corpo mais pesado é 
puxado para a Terra com mais força do que um corpo leve. Por que o corpo mais pesado não cai mais rápido? 
SOLUÇÃO 
É de fato verdade que o corpo mais pesado é puxado com força maior. A intensidade da força é determinada pela massa 
gravitacional  do  corpo.  A  resistência  à  força,  e,  portanto,  à mudança  no movimento  do  corpo,  é  representada  pela 
massa inercial. Assim, se um corpo tem o dobro de massa de outro corpo, ele é puxado para a Terra com o dobro da 
força, mas ele também apresenta o dobro da resistência a ter seu movimento modificado. Esses fatores se cancelam, de 
forma  que  a mudança  no movimento,  a  aceleração,  é  a mesma  para  todos  os  corpos,  independentemente  de  suas 
massas. 
 
02 Quando dois corpos com massas desiguais são pendurados verticalmente por uma polia  leve, sem atrito, como na 
figura abaixo, a montagem é chamada máquina de Atwood. Esse aparelho é utilizado algumas vezes em laboratório para 
medir a aceleração de queda livre. Calcule o módulo da aceleração dos dois corpos e a tensão no fio. 
 
 
16 
SOLUÇÃO 
Pense na representação mental sugerida pela figura acima ‐ enquanto um corpo sobe, o outro corpo desce. Como os 
corpos estão ligados por um fio inextensível, eles têm de ter o mesmo módulo de aceleração. Os corpos na máquina de 
Atwood  estão  sujeitos  à  força  gravitacional  assim  como  às  forças  exercidas  pelos  fios  ligados  a  eles. Modelamos  os 
corpos  como  partículas  sob  a  ação  de  uma  força  resultante.  Os  diagramas  de  corpo  livre  para  os  dois  corpos  estão 
mostrados na figura abaixo.   
 Duas  forças  agem  em  cada  corpo:  a  força  para  cima  T  exercida  pelo  fio  e  a  força  gravitacional  para  baixo.  Em  um 
problema como este, no qual a polia é modelada como não tendo massa e sem atrito, a tensão no fio nos dois lados da 
polia é a mesma. Se a polia tem massa ou se está sujeita a uma força de atrito, as tensões nos dois  lados não são as 
mesmas. 
Nesses tipos de problema envolvendo fios que passam por polias, temos de ser cuidadosos com a convenção de sinais. 
Observe que se m1 sobe, então m2 desce. Assim, m1 subindo e m2 descendo devem ser representados equivalentemente 
no que diz respeito à convenção de sinais. Podemos fazer isso definindo nossa convenção de sinais com a direção para 
cima como positiva para m1 e a direção para baixo como positiva para m2, como mostrado na figura do enunciado. 
Com essa convenção de sinais, o módulo da força resultante exercida sobre m1 é dado por T ‐ m1g, enquanto o módulo 
da força resultante sobre m2 é dado por m2g ‐ T. Escolhemos os sinais das forças de forma consistente com as escolhas 
da direção positiva para cada corpo. 
Quando a segunda lei de Newton é aplicada a m1, encontramos 
y 1 1F T m g m a        (1) 
Similarmente, para m2 encontramos 
y 2 2F m g T m a        (2) 
Adicionando (1) a (2), T se cancela e ficamos com 
‐ m1g + m2g = m1a + m2a   
Dessa equação obtém‐se a aceleração a, 
2 1
1 2
m ma gm m
    
      (3) 
Substituindo (3) em (1) encontramos 
2 1
1 2
2m mT gm m
    
      (4) 
Se m2 > m1, a aceleração dada por (3) é positiva, isto é, m1 sobe e m2 desce. Isso é consistente com a sua representação 
mental? Se m1 > m2, a aceleração é negativa e as massas se deslocam na direção oposta. 
Casos Especiais: Quando m1 = m2, (3) e (4) nos fornecem a = 0 e T = m1g = m2g, como esperaríamos intuitivamente para 
o caso equilibrado. Também, se m2 >> m1, a = g (um corpo em queda livre) e T = 0. Esperaríamos que m1 tivesse pouco 
efeito para uma massa tão grande como m2 nesse caso, de forma que m2 está simplesmente caindo. Vemos assim que 
nossos resultados estão consistentes com nossas previsões intuitivas nessas duas situações‐limites. 
 
03 Dois blocos de massas m1 e m2, com m1 > m2, são colocados em contato entre si sobre uma superfície horizontal sem 
atrito, como na figura (a). Uma força horizontal constante F é aplicada a m1 da forma mostrada na figura,   
 a) Encontre o módulo da aceleração do sistema de dois blocos. 
b) Determine o módulo da força de contato entre os dois blocos. 
SOLUÇÃO 
 
17 
Os dois  blocos  têm de  ter  a mesma aceleração,  pois  estão  em  contato  entre  si  e  permanecem em  contato  entre  si. 
Modelamos o sistema de dois blocos como uma partícula sob a ação de uma força resultante. Como F é a única força 
horizontal exercida sobre o sistema, temos 
x(sistema) 1 2F F (m m )a     
1 2
Fa m m        (1) 
A força de contato é interna do sistema de dois blocos. Assim, não podemos encontrar essa força modelando o sistema 
todo como uma partícula única. Precisamos agora tratar cada um dos dois blocos individualmente como uma partícula 
sob a ação de uma força  resultante. Traçamos primeiro um diagrama de corpo livre para cada bloco, como mostrado 
nas figuras (b) e (c), em que a força de contato é representada por P.   
 Vemos da figura (c) que a única força horizontal agindo sobre m2 é a força de contato P12 (a força exercida por m1 sobre 
m2), que é direcionada para a direita. Aplicando a segunda lei de Newton a m2 obtém‐se 
x 12 2F P m a         (2) 
Substituindo em (2) o valor da aceleração a dada por (1) obtém‐se 
2
12 2
1 2
mP m a Fm m
     
    (3) 
 
04 Um cavalo puxa um trenó com força horizontal, fazendo‐o acelerar como na figura abaixo. A terceira lei de Newton 
diz que o trenó exerce uma força de mesmo módulo e direção oposta sobre o cavalo. Em vista disso, como pode o trenó 
acelerar ‐ essas forças não se cancelam? 
 SOLUÇÃO 
Ao  aplicar  a  terceira  lei  de  Newton,  é  importante  lembrar  que  as  forças  envolvidas  agem  sobre  corpos  diferentes. 
Observe que a força exercida pelo cavalo age sobre o trenó, enquanto a força exercida pelo trenó age sobre o cavalo. 
Como essas forças agem sobre corpos diferentes, elas não se cancelam. 
As forças horizontais exercidas apenas sobre o trenó são a força para frente T exercida pelo cavalo e a força de atrito 
para trás ftrenó entre o trenó e a superfície (figura seguinte).   
 Quando T é maior do que ftrenó, o trenó acelera para a direita. 
As forças horizontais exercidas apenas sobre o cavalo são a força de atrito para frente fcavalo exercida pelo chão e a força 
para trás T exercida pelo trenó (figura).   
 A resultante dessas duas forças faz que o cavalo acelere. Quando fcavalo é maior do que T, o cavalo acelera para a direita. 
 
18 
As  duas  forças  descritas  no  texto  do  problema  agem  sobre  corpos  diferentes,  de  forma  que  não  se  cancelam.  Se 
consideramos o trenó e o cavalo como um sistema, as duas forças descritas são  internas do sistema e, portanto, não 
podem afetar omovimento do sistema. 
 
05 Uma certa força dá ao objeto m1 a aceleração 12,0 m/s2. A mesma força dá ao objeto m2 a aceleração 3,30 m/s2. Que 
aceleração daria a um objeto cuja massa fosse   
a) a diferença entre m1 e m2 e   
b) a soma de m1 e m2. 
SOLUÇÃO 
a) De acordo com a segunda lei de Newton (na coordenada x): 
F = m1a1      (1) 
F = m2a2      (2) 
Igualando‐se (1) e (2): 
m2 = m1a1/a2      (3) 
Mas: 
F = (m2 ‐ m1)a3      (4) 
a3 = F/m2 – m1      (5) 
Substituindo‐se (1) e (3) em (5): 
21 1 1 2
3
1 1 21 1
2
m a a aa 4,55m / sa a am ma
  
 
b) Procedendo de maneira semelhante ao item (a), porém usando‐se (m1 + m2) em (4) ao invés de (m2 ‐ m1), obtém‐se: 
21 2
4
1 2
a aa 2,58m / sa a   
 
06 Como um objeto de 450 N poderia ser baixado de um teto utilizando‐se uma corda que suporta somente 390 N sem 
se romper? 
SOLUÇÃO 
O objeto de peso  P   deve  ser abaixado com uma aceleração  a   tal que a  tensão na  corda não ultrapasse  seu valor 
limite (TMAX). Considere o seguinte esquema da situação: 
 Aplicando‐se a segunda lei de Newton à coordenada y do sistema: 
y y
MAX
F ma
PT P ag
 
 
 
2MAXTa g 1 1,3m / sP
        
Esta é a aceleração mínima com que o corpo deve ser abaixado (sinal negativo) para que a corda não se rompa. 
 
07 Um balão de pesquisas com massa total M desce verticalmente com aceleração a para baixo. Quanto de lastro deve 
ser atirado para fora da gôndola para dar ao balão a mesma aceleração a para cima, supondo que não varie a força de 
flutuação para cima exercida pelo ar sobre o balão? 
 
 
19 
SOLUÇÃO 
Balão acelerado para baixo: 
 
x x
1
F ma
E P Ma
 
    
E M(g a)          (1) 
Balão acelerado para cima: 
 
y y
2
F ma
E P (M m)a
E (M m)a (M m)g
E M(a g) m(a g)
 
  
   
   
 
m(a g) M(a g) E          (2) 
Substituindo‐se (1) em (2): 
m(a g) M(a g) M(a g)
2Mam g a
    
 
 
 
08 Um macaco de 11 kg está subindo por uma corda sem massa, amarrada a uma caixa de 15 kg que passa por um galho 
(sem atrito) da árvore.   
   a) Qual a aceleração mínima com que o macaco deve subir pela corda de modo a levantar do chão a caixa de 15 kg? Se, 
depois de a caixa ter sido levantada do chão, o macaco parar de subir e somente se segurar à corda, quais serão agora   
b) a aceleração do macaco e   
c) a tração na corda? 
SOLUÇÃO 
a) Considere o seguinte esquema: 
        CAIXA    MACACO 
 A condição mínima para que a caixa seja  levantada do solo é que sua  força normal e sua aceleração sejam nulas. As 
 
20 
forças que agem na caixa nessas condições são a tensão na corda (T) e o peso da caixa (PT): 
Forças na caixa: 
y TF T P 0     
T = mTg       (1) 
Forças no macaco: 
y y
M M
F ma
T P m a
 
   
M
M
T m ga m
       (2) 
Substituindo‐se (1) em (2): 
2T M T
M M
m m g ma 1 g 3,56m / sm m
      
 
b) Agora a situação é a seguinte: 
CAIXA    MACACO 
 Forças na caixa: 
T’ ‐ PT = mT(‐a’) 
T’ = mTg ‐ mTa’      (3) 
Forças no macaco: 
T’ – PM = mMa’ 
T’ – mMg = mTa’     (4) 
Substituindo‐se (3) em (4): 
mTg – mTa’ – mMg = mMa’ 
2T M
T M
m ma' g 1,5m / sm m
   
c) De (3): 
T’ = 124,5N ou T’ = 0,12kN 
 
09 Duas partículas, cada uma de massa m, estão conectadas por uma corda  leve de comprimento 2L, como mostra a 
figura. 
   Uma força F constante é aplicada no ponto médio da corda  (x = 0) e  faz um ângulo reto com a posição  inicial desta. 
Mostre  que  a  aceleração  de  cada  massa  na  direção  perpendicular  a  F  é  dada  por   x 1/22 2
F.xa
2m L x


  na  qual  x  é  a 
distância perpendicular de uma das partículas à linha de ação de F. Discuta a situação quando x = L. 
SOLUÇÃO 
Considere o seguinte esquema da situação: 
           
 
21 
Seja a o módulo da aceleração de cada massa (a1 e a2, no esquema). 
x
xa acos aL           (1) 
Aceleração do ponto O em y, que está sujeito apenas à força F: 
F = ‐2ma0          (2] 
O esquema mostra que: 
1/22
2 1/2
0 y 2
xa a asen a(1 cos ) a 1 L
             
 
1/22 2
0 2
L xa a L
     
      (3) 
Substituindo‐se (3) em (2): 
1/22 2
2
L xF 2ma L
    
 
2 2 1/2
F La 2m (L x )        (4) 
Substituindo‐se (4) em (1): 
x 2 2 1/2
F xa 2m (L x )   
 
10  Na  superfície  interior  de  um  recipiente  de  vidro  tampado,  encontra‐se  uma  mosca  presa  à  sua  parede.  Este 
recipiente está em equilíbrio em cima de uma balança muito sensível. O que acontecerá com o marcador da balança se 
o inseto desprender‐se da parede e voar na horizontal, para cima, ou para baixo, dentro do recipiente? 
SOLUÇÃO 
Ao desprender‐se da parede do recipiente e mantendo‐se ao mesmo nível, a mosca pressiona o ar agitando suas asas 
com uma força equivalente ao seu peso (devido a terceira lei de Newton) e, esta pressão, é transmitida às paredes do 
recipiente. Consequentemente, a balança deve permanecer no mesmo estado de equilíbrio enquanto o  inseto estava 
pousado na parede. Assim se mantém enquanto a mosca estiver no mesmo nível. 
Solução I ‐ Se a mosca voar para cima ou para baixo a balança deverá se mover um pouco. Para determinar para onde o 
marcador irá se mover devemos considerar o movimento do centro de massa CM do sistema mosca‐recipiente pois, não 
estamos  interessados nos movimentos  individuais, do recipiente ou da mosca, e sim do sistema como um todo. Para 
isso basta  analisarmos o movimento do CM do  sistema que é  um ponto que  se  comporta  como uma partícula,  cuja 
massa é igual a massa total do sistema. 
Suponhamos inicialmente que a balança, juntamente com a mosca dentro do recipiente, se encontre situado dentro de 
algum ponto do Universo e livre de quaisquer influências externas. Então, o que acontecerá com o recipiente se a mosca 
começar  a  voar? Como as  forças  ao  sistema  só  são  internas,  a  posição do CM deverá  ser  conservada.  Para que  isso 
ocorra, se uma força interna eleva a mosca, para que o CM de tal sistema se conserve, o recipiente deverá se deslocar 
um pouco para baixo. Ao contrário, se o  inseto baixa, o  jarro deverá subir um pouco para que o centro de massa do 
sistema mosca‐recipiente permaneça no mesmo ponto. Se a mosca voar na horizontal, o recipiente se deslocará para 
esquerda, se a mosca for para direita, e vice versa na horizontal. 
Daí podemos concluir que, como o recipiente,  juntamente com a mosca, não se encontra em um ponto qualquer do 
universo, e sim em cima de uma balança, se a mosca sobe, o ponteiro descerá e, se ela baixar, ele subirá e, se ela se 
manter na horizontal, o ponteiro nada acusará .   
Solução II ‐ Devemos também levar em consideração que o voo da mosca para cima ou para baixo deve ser acelerado. 
Um movimento  uniforme,  ou  seja,  por  inércia  e,  portanto  sem  intervenção  de  uma  força,  será  incapaz  de  alterar  a 
pressão que o recipiente exerce sobre o prato da balança.   
Consideremos, então, a resultante das forças que atuam na mosca: N é a força responsável pela ascensão e mg é a força 
peso da mosca. Assim a equação do movimento para mosca fica ma = N ‐ mg, levando à expressão 
N = ma + mg          (1)   
para força de ascensão que é a responsável pela reação na balança. 
A reação que mede a balança é dado por   
R = N + Mg,          (2)   
onde M é a massa o recipiente. 
Antes da mosca se desprender da parede a balança está medindo   
R = N + Mg = mg +Mg = (m+M) g.    (3) 
 
22 
Se a mosca estiver subindo ou descendo, em movimento uniforme da equação (1) resulta, a = 0, N = mg. Portanto a 
reação da balança equação (2) se iguala a equação (3). Ou seja, tudo se comporta como se a mosca estivesse presa na 
parede do recipiente como no início. O mesmo acontece para mosca voando na horizontal ou paradaflutuando no meio 
do recipiente. 
  
11 Um bloco de massa M é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma corda de massa m, como 
mostra a figura. Uma força horizontal P é aplicada a uma das extremidades da corda. 
 a) Mostre  que  a  corda  tem de  se  curvar, mesmo que  seja  de  uma quantidade  imperceptível.  Então,  supondo que  o 
encurvamento seja desprezível, calcule   
b) a aceleração da corda e do bloco,   
c) a força que a corda exerce no bloco, e   
d) a tração no ponto médio da corda. 
SOLUÇÃO 
a) Considere um elemento da corda cuja massa é ∆m e, da mesma forma que o conjunto M +m, possui aceleração a. 
 Como o elemento de massa ∆m tem aceleração apenas no eixo x: 
y
d e
F 0
T sen T sen mg 0
 
     
d e
mgsen T T
         (1) 
Para a corda ficar esticada, é preciso que θ = 0, ou seja que senθ = 0. De acordo (1), isso implica em ∆m = 0 ou Td + Te = 
∞. Como nenhumas dessas alternaƟvas é fisicamente possível, conclui‐se que θ ≠ 0. 
b) Supondo que θ = 0 e analisando o conjunto M + m: 
x xF ma
P (M m)a
 
   
Pa M m        (2) 
c) 
 
 
x xF ma   
cbF Ma       (3) 
Substituindo‐se (2) em (3): 
cb
MF PM m   
d)   
 
x xF ma   
 
23 
m
mT M a2
           (4) 
Substituindo‐se (2) em (4): 
m
m
m PT M 2 M m
(m 2M)PT 2(M m)
     
 
 
 
12 Uma  caixa  de  10  kg  é  colocada  sobre uma balança que  está  dentro de  um elevador. O  elevador  parte  do  térreo 
acelera a uma taxa de 2 m/s2 e ao parar no 10° andar ele desacelera com mesma taxa de 2 m/s2. Determine o peso da 
caixa e a leitura da balança   
a) quando o elevador está parado,   
b) quando o elevador está partindo do térreo e   
c) quando o elevador está parando no 10° andar. 
SOLUÇÃO 
A primeira coisa a ser compreendida é que a balança “marca” a força que a caixa faz sobre ela; esta será a leitura da 
balança. Agora, a força que a caixa faz sobre a balança tem mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário à força 
que a balança faz sobre a caixa (Ação e reação). A figura seguinte mostra um diagrama das forças que atuam na caixa. A 
componente normal (só tem ela) da força de contato é, justamente, a força que a balança faz sobre a caixa. 
Desta forma, nós precisamos, apenas, determinar o valor da normal para cada caso. 
Da 2ª lei de Newton temos: 
N   P  ma     
 a) O peso da caixa é a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: 
P = mg = 98 N 
Quando o elevador está parado, a = 0. Então da 2ª Lei de Newton fica: 
N ‐ P = 0 → N = P = 98 N 
que é a leitura da balança. Portanto a balança marcará 98 N. 
b) O peso da caixa continua sendo a força que a Terra faz sobre a caixa e vale: 
P = mg = 98 N 
Quando o elevador está partindo do térreo, a aceleração é para cima (figura a). Assim, 
N ‐ P = ma 
Usando os valores do problema, encontramos: 
N = mg + ma 
N = m( g+ a) = 10 × (9,8 + 2) N = 118N 
Portanto a balança marcará 118 N. 
c) O peso da caixa é sempre a força que a Terra faz sobre a caixa: 
P = mg = 98 N 
Quando o elevador está parando no 10° andar, a aceleração é para baixo (figura b). Então, 
N ‐ P = ‐ma 
Vetores que têm o mesmo sentido aparecem com o mesmo sinal na equação. 
É o que acontece, agora, com os vetores peso e aceleração. Usando os valores do problema, encontramos: 
N = m (g ‐ a) = 10× (9,8 ‐ 2)N = 78N 
Portanto a balança marcará 78 N. 
 
13 Um bloco de massa m desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um ângulo θ com o piso de um 
elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguintes casos:   
a) O elevador desce com velocidade constante v.   
 
24 
b) O elevador sobe com velocidade constante v.   
c) O elevador desce com aceleração a.   
d) O elevador desce com desaceleração a. 
e) O cabo do elevador se rompe.   
f) No item (c) acima, qual é a força exercida sobre o bloco pelo plano inclinado? 
SOLUÇÃO 
a) Estando o elevador  com velocidade  constante, o  comportamento do bloco em  relação à  rampa é  idêntico ao que 
seria caso o elevador estivesse em repouso. 
 Segunda lei de Newton em x, onde aB é a aceleração do bloco: B 
x x
B
B
F ma
mgsen ma
a gsen
 
 
 
 
b) Semelhante ao item (a): 
Ba gsen   
c) Como o elevador acelera para baixo, existe a componente ax que se soma a gx para acelerar o bloco rampa abaixo. 
 
x x
B
B
F ma
mgsen masen ma
a (g a)sen
 
  
  
 
Embora tenham sido somadas duas acelerações em x para o bloco (ax e gx), a aceleração do bloco em relação à rampa é 
menor. No caso limite do elevador descer com aceleração igual a g (queda livre), o bloco também cairia em queda livre. 
Isso faria com que a aceleração do bloco em relação à rampa seja zero (veja o item (e) abaixo). 
d) Semelhante ao item (c), diferindo apenas pelo sinal de a: 
Ba (g a)sen    
e) Semelhante ao item (c), sendo a = g: 
aB = 0 
f)  y yF ma   
N mgcos macos
N m(g a)cos
    
    
 
14 Sabendo‐se que no sistema mostrado na figura abaixo a1 = 3 m/s2, e a2 = 5 m/s2, o Professor Gomes pede que se 
determine a tensão na corda que suspende o bloco 3. Além disso, m3 = 4 kg, g = 10 m/s2 e não há atrito. 
 
 
25 
SOLUÇÃO 
Observando o diagrama do corpo livre teremos: 
 Do movimento da polia encontramos que a aceleração a3 é dada por: 
a3 = (a1 + a2)/2 
a3 = (‐3 + 5)/2 = 1 m/s2 
Fy = Fr 
T – P3 = m3a3 
T = 4.1 + 4.10 = 44 N 
 
15 Sobre as massas M1 e M2 atuam as forças F1 = bt e F2 = 2bt, que estão ligados por um fio que pode resistir a tensão T, 
onde b é uma constante. O Professor Gomes pede que se determine o instante em que o fio irá se romper. 
 SOLUÇÃO 
Da 2° Lei de Newton: 
Fr = mt.a 
F2 – F1 = (m1 + m2).a 
2bt – bt = (m1 + m2).a 
bt = (m1 + m2).a   (1) 
Observando o diagrama do corpo livre teremos: 
                            
F2 – T = m2.a    (2) 
T – F1 = m1.a    (3) 
De (2) e (3) obtemos a aceleração: 
1 2
Ta 2m m   
Substituindo em (1) obtemos o tempo com o qual acorda se romperá: 
1 2
1 2
(m m )Tt b (2m m )
   
 
16 Um macaco de massa 20 kg está segurando uma corda vertical. A corda não se quebra quando uma massa de 25 kg é 
suspensa, mas quebrará se a massa exceder 25 kg. Qual é a aceleração máxima com que o macaco pode subir ao longo 
da corda? 
SOLUÇÃO 
Da 2° Lei de Newton: 
ma = Tmáx – mg com Tmáx = 25g, logo, 
a = g/4 = 10/4 = 2,5 m/s2 
 
 
26 
17 Um macaco de massa m  sobe por  uma  corda pendurada  sobre uma polia  fixa. A extremidade oposta da  corda  é 
amarrada a um peso de massa M situado numa mesa horizontal (ver figura).   
 Desprezando o atrito, determine a aceleração de ambos os corpos (em relação à placa) e a tensão da corda para os três 
casos: 
(1) o macaco não se move em relação à corda; 
(2) o macaco se move para cima em relação à corda com aceleração b; 
(3) o macaco se move para baixo em relação ao cabo com uma aceleração b. 
SOLUÇÃO: 
(1) Se o macaco estiver em repouso na corda, a aceleração de ambos os corpos será a mesma, igual a1. As equações do 
movimento são F1 = Ma1, mg ‐ F1 = ma1 onde F1 é a tensão da corda. 
(2) Se o macaco se movendo para cima em relação à corda com uma aceleração b, o movimento de ambos os corpos 
será diferente: o peso se moverá com uma aceleração a2 e o macaco com uma aceleração a2’ = a2  ‐ b. A equação de 
movimentos assumirá a forma F2 = Ma2, mg ‐ F2 = ma2’ 
(3) O movimento descendente do macaco em relação à corda com a aceleração b é descrito pelas mesmas equações; só 
é  necessário  mudar  o  sinal  de  b.  A  aceleração  descendente  do  macaco  em  relação  à  corda  não  pode  exceder  a 
aceleração devido à gravidade. Portanto, a3 ≥ 0 e F3 ≥ 0. 
 
18 Um bloco de 0,5 kg é lançado sobre uma superfície horizontal, a uma velocidade de 10 m/s. Se você tiver uma força 
de resistência (total) proporcional à sua velocidade