4 MecanicaFluidosII Transiente MEC2345

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1
ESCOAMENTOS EM REGIME TRANSIENTE
 Regime transiente: são escoamentos que apresentam 
variação com o tempo  /t  0
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (r=cte, m=cte)
3. 2-D (largura b >> d)   / z = 0
4. L >> d   / x = 0
5. Escoamento horizontal, gravidade 
vertical
6. p=patm=cte
7. laminar
d
Exemplo: Escoamentos Próximo à uma 
Parede Abruptamente Posta em 
Movimento
2
Continuidade:
 
ctev
z
w
y
v
x
u
==








0
4050 )()(
00 ===


VcteV
t
 rrr )(
0=v
Condição de contorno: y=0 ; v=0
ityuV

),(=
Vpg
tD
VD 

2= mrr
Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas
Q.M.L. (Navier-Stokes):
Q. M. L - direção x
     
)()(
)()()(
)(
)()()( 304060
50
300040
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu 












 m
rr =
=

2
2
y
u
t
u




=
Condições de contorno, t >0
1) y=0; u =uo
2) y ∞ ; u=0
Condição inicial
1) t ≤ 0 ; u =0
para  y 
 = viscosidade
cinemática;  = m/r (m2/s)
Adimensionalizando
a velocidade
ou
u
U =
2
2
y
u
t
u




=
4
o número 4 é introduzido por conveniência, como será visto no resultado final
tU
t
U d
d
~
2
Podemos estimar a variação da espessura de penetração d com o tempo, 
analisando a equação de momentum 
t
y


4
=
d

y
=
Espera-se que a medida que o tempo passa, d cresce, mas a forma do perfil 
mantenha-se similar. Então é conveniente adimensionalisar a coordenada 
vertical com a espessura de penetração d, tal que U= U(y/d)
2
2
y
U
t
U



 =
Mudança de variáveis: U= U(, t) onde  = y/(4  t)0.5 e t = t 
Para introduzir a mudança de variáveis na equação de conservação, é preciso 
utilizar a regra da cadeia
U= U(, t) onde  = y/(4  t)0.5 e t = t 
mas
t
U
t
U
t
U

t
t







=
t
t
y
t



2
123
2
1
4
==  /)(
5
y
U
y
U
y
U

t
t







=
yty



==
4
1
10 ==
ty 
t

t
;
t
U
yy
U
y
U
y 







4
1
2
2






=




=





2
2
42
t
t






=
UUU
substituindo
Condições de contorno
1) =0; U =Uo
2)  ∞ e t=0; U=0
t
U
y
U


4
1


=
t











=
U
t
U
t
U
2
Utilizando separação de variáveis: U(, t) = H() T(t)
6
Condições de contorno
1) t=0 ; T =finito  l=0 e T = constante
T=1 e U() = H()
t
t






=
UUU
24
2
2
2
2
42
t
t
d
Hd
d
Td
d
Hd
THT =
2214
2
2
lt t == d
Hd
d
Hd
d
Td
HHT
t
tl d
T
Td
4
2
= CT lnlnln = tl
4
2
4
2l
t

= CT
7
Resultando em
02
2
2
= 

d
Ud
d
Ud
Condições de contorno e inicial
1)  = 0 ; U =1 
2)   ∞ ; U  0 
A condição de contorno (1) corresponde a condição de não deslizamento, enquanto
que a condição (2) engloba a condição inicial e no infinito, pois  = y/(4  t)0,5
Para integrar esta equação diferencial ordinária de 2a. 
ordem, observa-se que esta equação é de 1a. ordem para


d
Ud
=
02 = 


d
d 

d
d
2= 1
2 Clnln = 
22
11


 == eC
d
Ud
eC  =

  
0
21
2
CdeCU ''
8
Condições de contorno e inicial
1)  = 0 ; U =1  C2 = 1


21
0
1
2
=

=


'
' de
C
 =

  
0
21
2
CdeCU ''
)()(')(
' 
  erfcerf121
0
2
= ==
 deU
então
2)   ∞ ; U  0 
erf é a função erro e erfc é a função complementar








=








=
)(),(
)(),(
t
y
utyu
t
y
utyu
o
o


4
erfc
4
erf1
A espessura de penetração pode ser definida como a distância da placa onde 
a velocidade é 1% de uo. Neste caso,   2, logo 
td 4=
9
Exemplo: Escoamento transiente entre duas placas 
paralelas
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (r=cte, m=cte)
3. 2-D (largura w >> b)   / z = 0
4. L >> b   / x = 0
5. Escoamento horizontal, gravidade 
vertical
6. p=patm=cte
7. laminar
Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é
o que implica que
0= V

ityuV

),(=
10
Exemplo: Escoamento transiente entre duas placas 
paralelas
     
)()(
)()()(
)(
)()()( 304060
50
300040
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
p
gwvu 












 m
rr =
=

Vpg
tD
VD 

2= mrr
Q. M. L - direção z e y satisfeitas de acordo com as hipótese listadas
Q.M.L. (Navier-Stokes):
Q. M. L - direção x
2
2
y
u
t
u




=
11
Vimos que a equação de conservação de quantidade de movimento se 
reduz a
2
2
y
u
t
u




=
Condições de contorno, t >0
1) y=0; u =vo
2) y=b, u=0
Condição inicial
1) t ≤ 0 ; u =0
para 0 < y ≤ b
Adimensionalizando


 

t
 2
2 2
21 b
t
bt
ref
UU
ref
==
o
u
U
v
=
b
y
=
reft
t

t =
2
2


t
 UU
=
2b
t 
t =
O tempo característico corresponde aproximadamente ao 
tempo para o momentum se difundir em uma distância b
Condições de contorno e inicial
1) t ≤ 0 ; U =0 2)=0; U=1
3) =1; U=0
12
Primeiro vamos encontrar a solução em regime permanente
2102
2
CCU
d
Ud
== 
 

Condições de contorno, 
1) =0; U∞ =1
2) =1, U ∞ =0
 = 1)(U
Condições de contorno
1) =0; U∞=1  C2=1
2) =1; U ∞ =0  C1=-1
Substituindo na equação diferencial obtém-se
0
2
2
=
d
Ud
2
2


t
 tt UU =
Condições de contorno e inicial 
1) t=0; Ut =U∞ 2) =0, U t =0
3) =1, U t =0
Procura-se solução do tipo: 
),()( t tUUU = 
U∞ é a solução em regime permanente e Ut é a parte transiente da solução que 
desaparece quando t ∞
13
Para resolver
Vamos assumir uma solução do tipo
2
2


t
 tt UU =
)()( t gfU t =
Separação de 
variáveis
Substituindo na equação diferencial e dividindo por f g obtém-se
2
211
t d
fd
d
gd
fg
=
Como t e  são variáveis independentes, e como o lado direito só depende de 
e o esquerdo de t, então ambos os lados devem ser iguais a mesma constante. 
Vamos definir esta constante como – c2, o que nos permite escrever
gc
d
gd 2=
t
02
2
2
= fc
d
fd

t2ceAg =
)(cos)(sin  cCcBf =
Problema de 
Sturm-Liouville
 )cos()sin( t cCcBeAU ct = 
2
)(sin nBf nn =
Condições de contorno
1) =0, U t =0  C = 0
2) =1, U t =0  sin (c) = 0 , pois B =0 implica em solução trivial Ut=0
Porém existem infinitos valores c que satisfazem esta condição, i.e., 
são os auto-valores
cn=n , n= 0, 1, 2,  3, ..... 
Para cada auto-valores, existe uma auto-função correspondente fn efunção gn
n= 0, 1, 2,  3, ..... 
t 22n
nn eAg

=
14
15
Aplicando a condição inicial: t=0, U t = U∞ temos
Para determinar as constantes Dn precisamos explorar a condição de 
ortogonalidade.
=

=1
1
n
n nD )sin( 
Cada produto gn fn satisfaz a equação diferencial, então a solução 
completa é a soma do todas as soluções particulares
 =

=n
nt nnDU )sin()exp( t 22
onde Dn = An Bn. 
Como o termo n=0 é nulo e sin ( n  )=  sin (n   ), podemos omitir 
o valor nulo e negativos de n.
 =

=1
22
n
nt nnDU )sin()exp( t
16
ORTOGONALIDADE DE AUTO-FUNÇÕES
Considere a equação: 
Esta equação é típica em problemas uni-dimenisonais de transferência de calor e 
mecânica dos fluidos. 
Considere a equação submetida a condições de contorno homogêneas no 
intervalo (a, b).
  032212
2
= yxfxf
xd
yd
xf
xd
yd
)()()( l
02
2
2
= fc
d
fd

A solução deste problema irá gerar autofunções jn (x) correspondentes a 
autovalores ln (x).
A equação do exemplo transiente nas placas é um caso particular desta 
equação, com y = f, f1=f2=0 e f3=1. l=c é o auto-valor
17
A equação anterior pode ser reescrita como:
 )  )  )  02 =





yxxq
dx
dy
xp
d
d
x
l
 )
 )
 )  )  )
 )  )  )
 )






==
=
=


dxxf
dxxf
exffxpx
xfxpxq
exp
1
1
33
2com

No exemplo do escoamento transiente entre placas: 
p(x) =1 ; q(x)=0 ;  (x) =1
18
Funções ortogonais: Sejam jn (x) e jm (x) duas auto-funções 
correspondentes a auto-valores ln e lm distintos. Estas funções 
são ortogonais num intervalo (a, b) com respeito a função peso 
(x) pois:
)(;)()()( nmdxxxx
b
a
mn = 0jj
Voltando ao exemplo: Para determinar as constantes 
Dn vamos utilizar a condição de ortogonalidade.
então
    
nmquando1/2
nmquando0
1
01
1
1
0
1
==
=

=
=  

dmnDdm
n
n
m
)sin()sin()sin()(
)/(
,...,, 321
2
== n
n
Dn 
)sin()(  =

=
n
n
nD
1
1 )sin()sin()sin()(  =

=
mnm
n
nD
1
1
19
A solução final é
Observações: 
 Exceto para os primeiros instantes de tempo, a série infinita converge 
rapidamente, isto é, somente os primeiros termos contribuem de forma 
apreciável.
No limite dos instantes de tempo inicias, essa solução é equivalente a 
solução de uma única parede colocada em movimento abruptamente. 
Pois para os primeiros instantes de tempo, o movimento do fluido só 
ocorre próximo a placa inferior, como se o fluido “não sentisse” a 
presença da parede em y=b. 
 





=

=1
2221
n
nn
n
U )sin()exp()(),( tt
20
Exemplo: Escoamento próximo ao uma placa 
oscilante com descolamento X(t)= Xo sin t
(Problema de Stokes)
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes 
(r=cte, m=cte)
3. 2-D (largura b >> d) 
 / z = 0
4. L >> d   / x = 0
5. Escoamento horizontal, 
gravidade vertical
6. p=patm=cte
7. laminar
Como já vimos
ityuV

),(=
2
2
y
u
t
u




=
)cos(),( tXtu
ov
otd
dX 

==0
21
Condições de contorno, t >0
1) y=0 ; u =vo cos ( t)
2) y ∞, u 0
Deseja-se a solução periódica permanente, isto é, após o 
desaparecimento do transiente inicial logo, a condição inicial não é 
necessária.
As partículas de fluido estarão sujeitas a oscilações com freqüência , 
porém com ângulo de fase e amplitude que são função somente da 
posição.
Para a obtenção desta solução “permanente periódica” é 
conveniente utilizar uma técnica baseada em números complexos. A 
solução desejada é a solução assintótica para t  ∞.
22
Números Complexos: definições básicas
Um número é complexo quando possui uma parte imaginária, i.e., uma 
parte proporcional a . Este número pode ser representado 
no plano como mostrado na figura.
1=i
Observações:
 Representação cartesiana: a + b i
Representação polar: r (cos q + i sin q) = r eiq
 (a + b i ) = a é a parte real de a + b i 
{a + b i} = b é a parte imaginária 
23
(a + b i )2 = a 2 - b2 + 2 a b i
(a + b i ) (a - b i ) = a 2 + b2
(a + b i )-1 = (a - b i ) /[(a + b i ) (a - b i ) ]= (a - b i ) / (a 2 + b2)
Para encontrar (i)0,5 na forma a+bi, proceder como segue
120
2
22
222
==
===
baeba
ibabaibaibiai )(
então
)( ii = 1
2
1
 )
)( ii
i
i
i
=== 1
2
11
2

26
Condições de contorno, t >0
1) y=0 ; u =vo cos ( t)= vo { e
i t}
2) y ∞, u 0
Voltando ao Escoamento próximo a 
uma placa oscilante com descolamento 
X(t)= Xo sin t
2
2
y
u
t
u




=
THU =
2
2
21 l 



==
y
H
t
T
HT
02 =l= T
dt
dT
)exp( tAT 2l=
H
y
H

l

 2
2
2
=

l2
iraizes =
-

















= yiDyiCH 
l

l 22
expexp
ADDACC ';' == )exp(expexp tyiDyiCU 2
22 l
l

l


























=
 ))exp()()][exp()cos(; tDCtiVtVUy oo 20 l =
l i= 2 oVDC =
27
)( ii = 1
2
1
)()( 1
2
1
1
2
1
1 =





== iiiii
)()( iiiii =





= 1
2
1
1
2
1

)( iy
i
iyi =







 
=








1
2
2





l

 ) )exp()(exp)(exp tiyiDyiDVU o 




























= 1
2
1
2
00 = DVUy o; )exp()(exp tiyiVU o 









= 1
2
}{}{),( /(//)( tyiyo
tiiy
o eeeetyu
  == 2221 vv
)/cos(),(
/  2v 2 ytetxu yo = 
28
Finalmente a solução é
Observações:
 O perfil de velocidade possui a forma de uma oscilação harmônica 
amortecida, cuja amplitude é , na qual uma camada de fluido 
a uma distância y possui um atraso com respeito ao movimento 
da parede.
 A influência do movimento da placa no fluido encontra-se restrita a 
Duas camadas de fluidos, separadas uma distância igual a ,
oscilam em fase.
)/cos(),(
/  2v 2 ytetxu yo = 
 2
v
/y
o e

 2/y
 25 /y
 22 //
29
Exemplo: Inicialização de Escoamento
em Duto Circular
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes 
(r=cte, m=cte)
3. 2-D (axi-simétrico)   / q = 0
4. L >> R   / x = 0
Como já vimos, a equação da continuidade incompressível é
o que implica que
0= V

itruV

),(=
qq eveveuV rx  = 
 
qq q cos; ggsenggr == 
gq g
 
D=2 R 
r 
x 
r 
q 
gr 
5. Escoamento horizontal, gravidade 
vertical
6. Laminar
7. Fluido em repouso
8. t  0, gradiente de pressão imposto
30
Q. M. L - direção x
  




















=













= )()(
)()()( 54
540
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
t
u
r
u
r
rrx
p
uvv


q



q
q






m
r

Condiçõesde contorno : 1) r=0 U=finito 2) r=1 U=0
Condição inicial: 1) t=0 U=0












=
r
u
r
rrx
p
t
u



m
r 
 1






=




t
 UU 1
1
2Rxp
u
U

m
/
=
Adimensionalizando
R
r
=
2R
t 
t =
Condições de contorno : 1) =0 U=finito 2) =1 U=0
Condição inicial: 1) t=0 U=0
31
),()( t tUUU = 
01
1
=




 





U






=




t
 tt UU 1
Condições de contorno : 
1) =0 U∞=finito  C1=0
2) =1 U ∞ =0  C2=1/4
21
2
4
CCU = 

ln
Condições de contorno : 1) =0 U∞=finito 2) =1 U ∞ =0
1)  =0 Ut=finito 2) =1 U t =0
e inicial 3) t =0 Ut = - U∞
)(
21
4
1
=U
01
1
=




 





U
32
)()(),( tt TU t =






=




t
 tt UU 1






=


t d
d
d
d
d
Td
T
111
T
d
Td 2l
t
=
l



21 =





d
d
d
d
2l=
Funções de Bessel
)exp( tl2= oCT
33
Funções de Bessel
 )  )  )  02 =





yxxq
dx
dy
xp
xd
d l









=

=
=





2
1
2
2
202
ps
p
ps
Definindospx
dx
d
x
dx
d sp

m
qq










=

m
 mq
1
2
1
xxGeralSolução
p
:
(soluções particulares)
Real
Fracioário
Zero ou Inteiro
Funções de Bessel
de 1a e 2a espécie
Imaginário Fracioário
Zero ou Inteiro
Funções de Bessel 
Modificadas de
1a e 2a espécie


 )n=
 )
nn JJ
YouJJ  
 )n=
 )
nn I
ou

  

= 2sp
rx=q
Obs. Se trate-se de equações equidimensional, cuja solução geral é do tipo 
34
 )  )  )
 )
 )
 )  )  )
 )






sen
mxJmxJ
mxY
kk
mx
xmJ
k
k
k


=

=

 =
cos
!
/
1Γ
2
1
2
0
 )  )
 )  )
 )





=
==
sen
nnnn
1ΓΓ
Γ1Γ !
onde função Gama:
Funções de Bessel
 )
 ) 







=
==
2121Γ
01Γ
//
!
35
Funções de Bessel 
Modificada
 )
 )
 )
 )
 )  )
 )








sen
mxmx
mx
kk
mx
mx
k
k

=


=


=

2
1Γ
2
0
2
!
36
 ) 
 )
 )
 ) 
 )  )  )
 )  )
 ) 
 )  )  )
 )  )  )



=
=
=




=
=
=



=
=
=



















paramxmxm
YJparamxmxm
mx
xd
d
paramxmxm
YJparamxmxm
mx
xd
d
paramxm
YJparamxm
mx
xd
d
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1
,,
,,
,,

 )   )
 )
 )   )
 )



=
=
=




=
=
=
























paramxmx
KYJparamxmx
mxx
d
d
paramxmx
IYJparamxmx
mxx
d
d
x
x
1
1
1
1
,,
,,
Derivadas das Funções de Bessel:
Caso 
especial, 
para 
0=
37
p = 1; s = 1; m = 1; v = 0;  = l real 
função peso w) = 
Voltando ao problema
)()( ll oo YCJC 21 =
02 =




 l


 d
d
d
d









=

=
=





2
1
2
2
202
ps
p
ps
Definindospx
dx
d
x
dx
d sp

m
qq
Condições de contorno : 
1) =0  = finito  C2=0
2) =1  = 0  Jo(ln)=0
 ltl=

=
t
1
2
n
nonn JAU )()exp(
)()exp( ltlt nonn JAU 2=
t TU =
38
Condição inicial : t =0 Ut =  U∞
=

=1
21
4
1
n
non JA )()( l

 
=
1
0
2
1
0
21
4
1
l
l
dJ
dJ
A
no
no
n
)(
)()(
2
1
3
1
50 )]([,
/)(
n
nn
n
J
J
A
l
ll
=
)( nn
n
J
A
ll 1
3
2
=
 =

=1
2
1
3
2 21
4
1
n
non
nn
J
J
U )()exp(
)(
)( ltlll
 )212
2
2
50
2
)]([)]([,
)/()(
nno
nn
n
JJ
J
A
ll
ll

=
0
22 23
1
2
2
=
=
)(
)()()(
no
n
no
n
n
n
n
J
JJJ
l
l
l
l
l
l
l
mas
39
As primeras raizes da função de Bessel encontram-se na tabela
abaixo para valores positivo de n inteiro. Podem ser encontradas em
Mathematica usando o comando BesselJZero[n, k].
n Jo(ln) J1(ln)
J2(ln) J3(ln) J4(ln) J5(ln)
1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715
2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386
3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002
4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801
5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178
40
 =

=1
2
1
3
2 21
4
1
n
non
nn
J
J
U )()exp(
)(
)( ltlll
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Velocidade U_{adim)
et
a=
r/R
Grafico de V x t
 
 
tau=0.0
tau=0.1
tau=0.2
tau=0.3
tau=0.4
reg perm
41
clc;
clear;
nn=1;
lambda_old(nn)=1;
for nn=1:1:12;
dif=1;
for iter=1:1:100 
lambda(nn)=lambda_old(nn)+besselj(0,lambda_old(nn))/besselj(1,lambda_old(nn));
dif=abs(lambda(nn)-lambda_old(nn));
lambda_old(nn)=lambda(nn);
end
lambda_old(nn+1)=lambda_old(nn)+2.5;
end 
lambda
42
for i=1:1:5
tau(i)=0.1*(i-1);
for j=1:1:11
eta(j)=0.1*(j-1);
vel_infty(j)=0.25*(1-eta(j)*eta(j));
velocidade_t(j)=0;
for n=1:1:12
dn=-2/(lambda(n)^3*besselj(1,lambda(n)));
velocidade_t(j)=velocidade_t(j)+
dn*exp(-lambda(n)^2*tau(i))*besselj(0,lambda(n)*eta(j));
end
vel(I,j)=vel_infty(j)+velocidade_t(j);
end
for j=1:1:11
vel_1(j)=vel(1,j);
vel_2(j)=vel(2,j);
vel_3(j)=vel(3,j); 
vel_4(j)=vel(4,j);
vel_5(j)=vel(5,j);
end
figure(1)
plot(vel_1 ,eta,vel_2,eta,vel_3,eta,vel_4,eta,vel_5,eta,vel_infty,eta);
legend('tau=0.0','tau=0.1','tau=0.2','tau=0.3','tau=0.4','reg perm') ;
title('Grafico de V x t');
ylabel('eta=r/R');
xlabel('Velocidade U_{adim)');