Introdução à Análise Diferencial e Integral do Movimento Fluido

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Síntese de Pesquisa
Introdução à Análise Diferencial e Integral do Movimento Fluido
Aluna
Joyce Ingrid Venceslau de Souto
Questionário
1. No exemplo 4.14 (Fox, McDonald e Pritchard, 8ª edição) do regador giratório, o vetor velocidade considerado para efeitos dos fluxos de fluidos e da conservação da massa é a velocidade relativa na descarga dos jatos, enquanto na avaliação da quantidade de movimento angular [equação (1) do exemplo] é o vetor velocidade do jato em relação ao sistema de coordenadas inercial XYZ. Comente e justifique porque essa diferença do vetor velocidade deve ser considerada.
A equação do momento da quantidade de movimento para um volume de controle fixo e não deformado pode ser derivada usando-se uma derivada material do momento angular de uma partícula (omitida aqui), que dará
	Onde todas as velocidades são expressas em termos do referencial inercial, fixo, XYZ. No caso dos cálculos envolvendo considerações acerca do fluxo dos fluidos e da conservação de massa, foi necessária utilizar a denotação de velocidade relativa na descarga dos jatos porque, com relação a origem do referencial, a geometria da tubulação de descarga infere que a saída dos jatos está em movimento relativo com o ponto O, se um observador estivesse posto em cima deste.
Além disso, o fato de que o volume de controle inercial está fixo em relação ao referencial XYZ, infere-se que na eq. 1 se deve utilizar as velocidades “absolutas”, ou seja, como o VC está fixo ao referencial inercial, não existe movimento relativo entre o volume de controle e o referencial utilizando, descartando a necessidade de utilizar o termo de velocidade relativa. Diferentemente disso, se fosse considerado um VC rotativo, na equação integral da conservação do movimento angular, seria necessário denotar o vetor velocidade com relação ao referencial xyz deste porque existiria, de fato, um movimento relativo do VC com relação ao referencial inercial XYZ.
Ademais, outro fato que contribui para essa diferença de abordagens para o vetor velocidade, tendo em vista o VC fixo, é a extremidade do braço horizontal do regador. Observa-se que no exemplo o VC tem suas fronteiras passando circunferencialmente ao redor do ponto de origem e, dada a geometria do aspersor, as áreas e velocidades de descarga, apesar de ser uniformes nas saídas do jato, não estão ao longo do VC em todas as coordenadas referenciais, sendo necessária fazer suas descrições a partir da decomposição vetorial e utilizando o termo “relativo” quando se tratava de análises de fluxo e conservação de massa. Somado a isso, o tamanho da extremidade do braço horizontal é desprezado com relação ao comprimento R dele, dessa forma, sua contribuição pode ser desprezada na formulação integral da conservação do movimento angular. 
2. A partir da equação da continuidade vetorial, obtenha a EDP da conservação da massa para o sistema de coordenadas cilíndricas, partindo do balanço de massas nas faces de um elemento diferencial mostrado na Fig. 5.2 do livro do Fox, McDonald e Pritchard (8ª edição). A partir desse resultado, justifique porque o operador vetorial nabla é formulado pela equação (3.19) da mesma referência bibliográfica;
Figura 1 - Volume de controle diferencial em coordenadas cilíndricas.
Fonte: Fox, McDonald e Pritchard (8ª ed.)
	A partir da Fig. 1, sabe-se que o volume do volume de controle diferencial é igual a:
 (1)
Enquanto a massa de fluido no volume de controle é:
 (2)
	A vazão mássica, conforme ilustrado na Figura 1, no volume de controle diferencial, é dada por:
 (3)
	Para o fluxo líquido através do volume de controle, lidamos com uma face de cada vez. Começando com as faces normais à orientação , o fluxo líquido na entrada e saída de VC é dado, respectivamente, através das seguintes expressões
 (4)
 (5)
Então, o fluxo líquido na direção é dado pelo seguinte:
 (6)
Nota-se que o fluxo de massa líquida para fora ou na direção tem um termo adicional que é a mudança de área em comparação com as coordenadas cartesianas. Essa mudança cria uma equação diferencial diferente com complicações adicionais. Prosseguindo com os desenvolvimentos matemáticos, sendo , o último termo nesta equação pode ser descartado para que, dessa forma, o fluxo líquido nas faces de orientação seja
 (7)
	O fluxo líquido de massa na direção é um pouco mais simples de calcular, uma vez que as áreas das faces de entrada e saída são as mesmas. Na superfície de controle, a vazão mássica na direção é dada por
 (8)
	Agora, analisando a direção , tem-se que a área da face é a de um setor de ângulo . Assim, tem-se
 (9)
	Então, o fluxo de entrada e saída de massa nas faces inferior e superior são, respectivamente,
 (10)
 (11)
Assim sendo, o fluxo líquido de massa na direção , tem-se que:
 (12)
Finalmente, unindo as Eqs. 3,7,8 e 12, teremos a equação da continuidade, dada por: 
 (13)
	Dividindo a Eq. 13 por e reorganizando os componentes da velocidade, tem-se que
 (14)
	Frente a isso, e sabendo que a equação diferencial geral para a conservação da massa é dada através da seguinte expressão:
 (15)
	Faz-se a comparação entre as Eqs. 14 e 15, infere-se que o operador vetorial (nabla) para as coordenadas cilíndricas é dado por:
 (16)
3. Lembrando que a função corrente é definida de modo a satisfazer identicamente a equação da continuidade, como essa função se relacionaria com as componentes do vetor velocidade em um escoamento permanente, incompressível e tridimensional em uma geometria cilíndrica? 
	Até agora, considerava-se fluxos confinados a um plano, com campos de velocidade da forma , invariante ao longo do eixo z, sem componente nesta direção. Da mesma forma, fluxos axissimétricos, como
 (1)
	Em coordenadas polares cilíndricas, têm apenas duas componentes diferentes de zero e duas coordenadas efetivas. Tratando-se de um fluxo de potencial invíscido, incompressível e axissimétrico, a equação da continuidade se reduz a , considera-se as coordenadas cilíndricas, , e é o eixo do escoamento axissimétrico, de acordo com a Figura 1, além de considerar que são as velocidades nas respectivas direções. Para fluxos incompressíveis axissimétricos, define-se
 (2)
Onde é uma (escalar) função corrente de Stokes, diferente da função corrente usada em escoamento bidimensional, sendo ela definida como
 (3)
; (4) 
 E cuja definição garante automaticamente que a equação de continuidade será satisfeita. Para comprovar isso, tem-se que
 (5)
	Figura 1 – Escoamento tridimensional axissimétricos considerando coordenadas cilíndricas.
Fonte: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/9781118713075.app4
Ademais, a função corrente de Stokes tem propriedades análogas às funções de escoamento bidimensional. Sendo elas:
a. é constante nas linhas de corrente;
Assim, é constante na direção do escoamento. Para escoamentos axissimétricos, é útil observar tubos de corrente: superfície de revolução abrangida por todas as linhas de fluxo através de um círculo em torno do eixo de simetria, e são superfícies de constante.
Figura 2 – Tubo de corrente.
Fonte: http://www1.maths.leeds.ac.uk/~kersale/2620/Notes/m2620.pdf
b. Relação entre vazão volumétrica e tubos de corrente.
O fluxo de volume, ou vazão volumétrica, entre dois tubos de corrente com e é dado por:
Prova:
4. Um analista afirma que "a expressão da derivada substantiva relaciona as descrições euleriana e lagrangiana" ao medir a taxa de variação total de uma quantidade (escalar ou vetorial, por exemplo) ao longo do movimento de uma partícula fluida. Essa afirmação é correta? Justifique sua resposta.
	Sim. Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar, ou vetor, seguindo uma partícula de fluido. A taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial lagrangiano, porém ela é medida a partir de um referencial euleriano. Sendo é uma variável genérica, sua derivada substancial é expressa por:
	Onde o primeiro termo é o que representa a transiência do movimento e o demais termos, que seriamrepresentados vetorialmente por , refletem a advecção/convecção como, por exemplo, o movimento da partícula partindo de um ponto com baixa velocidade para um de alta velocidade, seguindo, dessa forma, uma trajetória preferencial. Para contextualizar a proposição, deve-se observar que todas as leis físicas – conservação da massa, conservação das quantidades de movimento linear e angular, e 1ª e 2ª leis da Termodinâmica - são definidas para um referencial lagrangiano, logo elas são aplicadas a corpos/partículas que possuem massa definida, ou seja, para sistemas. Então, quando se define essas equações para um fluido, cuja característica básica é a deformação contínua sob ação de esforços, é necessário ajustar o equacionamento das leis básicas a partir de um referencial Euleriano, cujo princípio é o de definir os campos vetoriais a partir do seu estado, que é expresso em função do espaço e do instante de tempo, levando em consideração uma região do escoamento – denominado de volume de controle, podendo este ser fixo, inercial ou acelerado – e não um sistema.
5. Quais as limitações de aplicação das equações de Navier-Stokes e de Euler de acordo com as características e classificações de um determinado escoamento?
		Para aplicar as equações de Navier-Stokes, apresentada na forma vetorial logo abaixo, considerando que elas estabelecem que mudanças no momento e na velocidade de uma partícula fluída resultam das mudanças na pressão e nas forças viscosas (similar ao atrito) atuando no fluido, assume-se que o fluido é newtoniano, ou seja, o fluido é contínuo e o tensor de tensões é, no máximo, uma função linear do tensor taxa de deformação – segundo uma constante, nesse caso, que é a viscosidade () -, e não há efeito da translação ou rotação nem de histerese; o fluido é isotrópico e, portanto, as suas propriedades independem da direção escolhida para descrevê-lo. Ademais, outra hipótese considerada na formulação das equações de Navier-Stoker é a de fluido homogêneo, ou seja, as propriedades do fluido não mudam com a sua posição.
		Apesar da hipótese de Stokes ser válida tanto para gases quanto para líquidos, observa-se que existe uma limitação quanto a aplicação das equações de Navier-Stokes, tanto do ponto de vista de desenvolvimento analítico quanto sua validação experimental. Sabe-se que as equações de Navier-Stokes só podem ser solucionadas analiticamente em casos bastante simples e, caso contrário, métodos numéricos precisam ser aplicados para encontrar uma solução. Somado a isso, a hipótese do contínuo e a linearidade do fluido, junto ao fato de que são simplificações utilizadas na derivação dessas equações, nem sempre poderiam ser consideradas como razoáveis tendo em vista muitos casos reais, então resultados obtidos com as mesmas condições iniciais e de contorno podem apresentar soluções muito diferentes se, por exemplo, em um caso o escoamento for laminar e, em outro, turbulento. Inclusive, as equações de Navier-Stokes não foram resolvidas para um escoamento turbulento, uma vez que sua própria característica infere uma condição inicial na qual todas as variáveis dependentes sejam conhecidas, uma vez que o escoamento será tridimensional e não-permanente em consequência de ser turbulento, e essas informação são difíceis, se não impossíveis, de se obter.
Já se tratando da equação de Euler, mostrada na forma vetorial abaixo, por ser derivada das de Navier-Stokes, tudo o que foi considerado anteriormente continua sendo válido no presente caso, porém, com um adicional: considera-se que o escoamento é invíscido, ou seja, a viscosidade é nula (), logo não existe força viscosa atuando, só apenas as forças devido ao gradiente de pressão e à atração gravitacional. 
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