Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Unidade II MATEMÁTICA Prof. Me. Antônio Palmeira Conteúdo da Unidade II Relações. Funções. Sistemas de Equações. Plano Cartesiano O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y. O ponto de cruzamento dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos eixos x e y e tem o zero como marcador. Os eixos x e y dividem o plano em quatro áreas, os quadrantes, que são organizados no sentido anti-horário e numerados em ordem crescente, com início em 1. Plano Cartesiano Fonte: Livro-texto. Par ordenado Um par ordenado (a;b) representa um único ponto no plano cartesiano e vice-versa. O par ordenado pode ser representado matematicamente da seguinte forma: Fonte: Livro-texto. Pontos representados no plano cartesiano Fonte: Livro-texto. Produto cartesiano (AxB) O produto cartesiano de AxB é o conjunto de todos os pares ordenados (x;y), tal que x pertença ao conjunto A e y ao B, sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios. A notação matemática que representa o produto cartesiano é: A x B = {x |x ∈ A e y ∈ B}. Existem diversas formas de representar o produto cartesiano, tais como a notação de conjuntos, o diagrama de flechas e o próprio plano cartesiano. Exemplos de produto cartesiano (AxB) A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos: Fonte: Livro-texto. Exemplos de produto cartesiano (BxA) A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos: Fonte: Livro-texto. Exemplos de produto cartesiano (AxA) A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos: Fonte: Livro-texto. Relações A relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB, sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios. Uma relação R de A em B é denotada pelo símbolo R: A → B. Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos: AxB = {(-2;0), (-2;1), (-2;3), (3;0), (3;1), (3;3)} Podemos ter: R1= {(-2;0), (-2;1), (-2;3)} R2= {(-2;3), (3;0)} R3= {(-2;0), (-2;1), (3;1), (3;3)} Domínio e imagem de uma Relação Domínio de R ou D(R) é o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B: D(R) = {1, 2, 4}; Imagem de R ou Im(R) é o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos um elemento de A: Im(R) = {0, 4, 6, 8}. Fonte: Livro-texto. Interatividade Dados os conjuntos A = {5;3} e B = {0;1;2}, qual dos itens a seguir não é um par ordenado do produto cartesiano AxB? a) (5;0) b) (5;1) c) (5;2) d) (3;0) e) (0;3) Funções Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, definida por uma regra (ou lei) de formação f, na qual cada elemento de A é relacionado com apenas um elemento de B. A função é denotada por f: A B. Exemplos: R1 não é função. Fonte: Livro-texto. Exemplos R2 não é função. R3 é função. Fonte: Livro-texto. Função do 1º grau (função linear ou afim) Função do 1º grau é toda função definida pela regra (ou lei) y = ax + b, com a e b R e a 0. Principais características da função do 1º grau: O gráfico da função do 1º grau é sempre uma reta. Quando a > 0, a função é crescente. Quando a < 0, a função é decrescente. A constante b, denominada por coeficiente linear da reta, é o intercepto do gráfico no eixo y. Função do 1º grau A raiz da função é o valor de x para o qual y = 0. Ela indica o intercepto do eixo horizontal. Para se obter o gráfico de uma função do 1º grau, basta obter a raiz e o intercepto do eixo y, dado pelo coeficiente b. Exemplo 1: y = 2x + 6 Raiz: 0 = 2x + 6 2x = -6 x = -3 O intercepto do eixo y ocorre em y = 6 A função é crescente pois a > 0. Gráfico Fonte: Livro-texto. Exemplo Exemplo 2: y = -2x + 6 Cálculo da raiz: 0 = -2x + 6 2x = 6 x = 3 O intercepto do eixo y ocorre em y = 6 A função é decrescente, pois a < 0 Gráfico: Gráfico Fonte: Livro-texto. Exemplo Exemplo 3: y = 2x Nesse caso, o intercepto do eixo y é 0, que também coincide com a raiz. Para traçar o gráfico, vamos atribuir um valor para x, digamos x = 1: y = 2.1 = 2 Agora podemos traçar o gráfico, que passa pela origem e pelo ponto (1,2). A função é crescente. Gráfico Fonte: Livro-texto. Interatividade Sobre a função y = 4x + 12 , podemos afirmar que: a) É uma reta decrescente que intercepta o eixo vertical em 12. b) É uma reta crescente que intercepta o eixo horizontal em -12. c) É uma parábola que intercepta o eixo vertical em 12. d) É uma reta crescente que intercepta o eixo vertical em 12. e) É uma reta crescente que intercepta o eixo vertical em -12. Função do 2º grau Função do 2º grau é toda função definida pela regra (ou lei) y = ax² + bx + c, com a, b e c R e a ≠ 0. A função poderá ter 0, 1 ou 2 raízes, conforme o sinal do discriminante . O seu gráfico é uma curva denominada parábola. Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima, e se a < 0 a concavidade será voltada para baixo. A parábola tem um ponto de inflexão, denominado vértice. Função do 2º grau O vértice da parábola é dado pelas coordenadas: Toda parábola tem um trecho crescente e um trecho decrescente, separados pelo xV. Toda parábola tem um extremante, dado pelo yV. Se ela for voltada para cima, o extremante é um ponto de mínimo. Se ela for voltada para baixo, o extremante é um ponto de máximo. O intercepto do eixo y é dado pelo coeficiente c. a b xV 2 a yV 4 Exemplo y = x² – 4x – 5 = (-4)² - 4.1.(-5) = 16 + 20 = 36 Raízes: x1 = 5 e x2 = -1 Vértice: O intercepto do eixo y é -5. A concavidade é voltada para cima. 2 64 1.2 36)4( x 2 2 4 1.2 )4( Vx 9 1.4 36 Vy Gráfico Fonte: Livro-texto. Exemplo A função é decrescente para x < 2 e crescente para x > 2. A função atinge ponto de mínimo em y = -9. Exemplo 2: y = -x² + 6x – 9 = 6² - 4.(-1).(-9) = 36 – 36 = 0 Raiz: Vértice: O intercepto do eixo y é -9. 3 2 6 )1.(2 06 x 3 )1.(2 6 Vx 0Vy Gráfico Fonte: Livro-texto. Exemplo Observe a concavidade voltada para baixo, pois a < 0. A função é crescente para x < 3 e decrescente para x > 3. A função atinge ponto de máximo em y = 0. Função exponencial Uma função exponencial dada pela regra (ou lei) y = ax , em que a é um número real positivo e diferente de 1. Essa função será crescente se a > 1 e decrescente se a < 1. Seu gráfico é uma curva denominada exponencial, que corta o eixo vertical no ponto y = 1. O gráfico não corta o eixo horizontal, ou seja, a função não tem raiz. Exemplo 1. y = 2x (2 elevado a x) Para construir o gráfico, fazemos uma tabela na qual atribuímos alguns valores para x e calculamos cada y correspondente: x y -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8 Gráfico Fonte: Livro-texto. Exemplo 2. y = (1/2)x x y -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 Gráfico Fonte: Livro-texto. Interatividade Sobre o gráfico da função do 2° grau y = -x2 -1, podemos afirmar que se trata de: a) Reta decrescente que intercepta o eixo horizontal em -1. b) Parábola com concavidade para baixo e que intercepta o eixo vertical em 1. c) Parábola com concavidade para cima e ponto de vértice (0,-1). d) Parábola com concavidade para baixo e ponto de vértice (0,-1).e) Reta decrescente que intercepta o eixo vertical em -1. Logaritmo Definição: Exemplos: Função logarítmica A função logarítmica de base a é uma função dada pela regra (lei) sendo a número real positivo e diferente de 1. Se a < 1, a função é decrescente. Se a > 1, a função é crescente. A função corta o eixo horizontal em x = 1 Exemplo: 1. Construímos uma tabela na qual atribuímos alguns valores convenientes para x e calculamos cada y correspondente: Exemplos x y = log2x 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 Gráfico Fonte: Livro-texto. Sistema de equações É um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas. Se o sistema tiver mais incógnitas do que equações, ele será indeterminado. Se não houver uma solução comum para todas as equações, o sistema será impossível. Se houver uma única solução para o sistema, então ele será possível e determinado. Sistema 2x2 A solução pode ser obtida isolando-se uma incógnita em uma equação e substituindo-a na outra. Exemplo: Isolando y na 1ª equação, temos: y = 11 – 10x Substituindo na 2ª equação: 5x – 3.(11 – 10x) = 2 5x – 33 + 30x = 2 35x = 35 x = 1 y = 11 – 10.1 = 1 235 1110 yx yx Sistema 3x3 É resolvido por meio da regra de Cramer. Calcula-se o determinante do sistema (D) e os determinantes das incógnitas (Dx, Dy e Dz). A solução é dada por x = Dx/D, y = Dy/D e z = Dz/D O determinante do sistema (D) é formado pelos coeficientes das incógnitas. O determinante Dx é formado com base em D, substituindo os coeficientes de x pelos termos independentes. Construímos Dy e Dz de forma análoga. Exemplo Assim, temos: x = 20/4 = 5 y = 12/4 = 3 e z = 8/4 = 2 4 111 111 111 D 20 110 114 1110 Dx 12 101 141 1101 Dy 8 011 411 1011 Dz Interatividade A solução do sistema é: a) x = -1 e y = 6 b) x = 3 e y = 2 c) x = 1 e y = 4 d) x = 6 e y = -1 e) x = 4 e y = 1 ATÉ A PRÓXIMA!
Compartilhar