Aula 02 Juros Simples

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Economia da Engenharia II
Aula 2 – Juros Simples
Prof. Guilherme Tessarolo
Relembrando...
• Incerteza em relação ao futuro
• Perda da oportunidade de aplicar o capital hoje
• Perda do poder de compra do dinheiro 
(Inflação)
O valor do dinheiro é afetado pelo efeito do tempo
É necessário que saibamos utilizar as técnicas
que movimentam os fluxos financeiros ao longo
do tempo
FLUXO DE CAIXA - Linha do Tempo
Convenção:
– Seta para baixo: saída de dinheiro; depósito,
pagamento a terceiro, aplicação, investimento.
VALOR NEGATIVO =
– Seta para cima: entrada de dinheiro; saque,
recebimento, resgate, retorno de investimento.
VALOR POSITIVO =
Diagrama de fluxo de caixa
++ + +
- - -
Tempo
Entradas de 
Caixa (+)
Saídas de 
Caixa (-)
Fluxo de caixa – Exemplo 1
Exemplo 1.15 ( Blank & Tarquin , 2008)
Um empresário planeja tomar emprestado R$ 10.000,00 para
financiar suas operações. A taxa de juros pactuada foi de
8%a.a. . O valor será quitado em uma prestação no final do 5 º
ano.
0 1 2 3 4 5
VP =R$ 10.000 i=8%a.a
VF = ?
Fluxo de caixa – Exemplo 2
Um pai deseja depositar um valor em um fundo de
investimento daqui a 2 anos, que permite saques de R$ 4.000
por ano para cobrir os gastos do filho em uma universidade
durante 5 anos, a ser iniciada daqui a 3 anos. Se a taxa de
retorno é de 15,5% a.a., construa o fluxo de caixa.
Exemplo 1.17 ( Blank & Tarquin , 2008)
VP =?
i=15%a.a
0 1 2 3 4 5 6 7
P = 4000
Voltando ao exemplo 1 ...
0 1 2 3 4 5
VP =R$ 10.000 i=8%a.a
VF = ?
Parâmetros básicos
• Valor Presente
• Valor Futuro
• Período de capitalização
• Taxa de juros
Voltando ao exemplo 1 ...
0 1 2 3 4 5
VP =R$ 10.000 i=8%a.a
VF = ?
VF = VP * (FATOR)
• Taxa de juros
• Tempo
Fator de capitalização
O fator de capitalização que determina a forma com 
que o juros será calculado
• Capitalização Simples 
• Capitalização Composta 
• Capitalização Contínua
Critérios de capitalização dos juros
Regime de capitalização simples
• Se comporta como uma progressão aritmética
• Crescimento Linear
• Os juros incidem apenas sobre o capital inicial da 
operação
𝑱 = 𝑽𝑷 . 𝒊 . 𝒏
EXEMPLO
0 1 2 3 4 5
VP =R$ 10.000 i=8%a.a
VF = ?
ANO SALDO JUROS SALDO FINAL
CRESCIMENTO 
ANUAL
0 - - 10.000 - 
1 10.000 8% x 10.000 = 800 10.800 800 
2 10.800 8% x 10.000 = 800 11.600 800 
3 11.600 8% x 10.000 = 800 12.400 800 
4 12.400 8% x 10.000 = 800 13.200 800 
5 13.200 8% x 10.000 = 800 14.000 800 
Desenvolvimento da formula
I. VF = VP + Juros
II. J = VP . i . n
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 + 𝑉𝑃 . 𝑖 . 𝑛
𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 ∗ (𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
Resumindo...
Dado um principal (VP), ele deverá render juros (J) a
uma taxa constante (i) por um determinado número
de períodos (n), gerando um montante (VF). O juro
produzido em determinado momento não rende mais
juros.
Os juros calculados de cada intervalo de tempo
sempre são calculados sobre o capital inicial
emprestado ou aplicado.
𝑽𝑭 = 𝑽𝑷 ∗ (𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
ATENÇÃO!!!
TAXA DE JUROS 
PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO 
e
devem estar sempre na 
MESMA BASE
Prazos
Toda operação envolve dois prazos:
• O prazo da taxa é a o prazo a que se refere a taxa de juros
• O prazo de capitalização (ocorrência dos juros)
Exemplo em que são iguais: crédito direto ao consumidor
promovido pelas Financeiras. A taxa cobrada é definida ao
mês e os juros capitalizados também mensalmente
Exemplo em que são diferentes: Caderneta de Poupança.
A taxa de juros é de 6% ao ano, mas é agregada ao principal
(capitalizada) todo mês através de um percentual proporcional
de 0,5%.
A Taxa Proporcional será obtida da divisão da taxa de juros
considerada na operação pelo número de vezes em que
ocorrerão os juros
Assim para uma taxa de juros de 18% ao ano, capitalizado
mensalmente o percentual de juros que incidirá sobre o capital a
cada mês será
Taxas
𝑻𝒂𝒙𝒂 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 =
𝟏𝟖%
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟓% 𝐚𝐨𝐦ê𝐬
Taxas
As taxas de juros simples são ditas Taxas Equivalentes
quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo
intervalo de tempo, produzem o mesmo valor linear de
juros
Exemplo:
Em juros simples um capital de R$500.000, se aplicado a
2,5%a.m ou 15%a.s pelo prazo de um ano, produz o mesmo
montante linear de juros.
J(2,5%am) = R$500.000 x 0,025 x 12 = R$150.000
J(15%as) = R$500.000 x 0,15 x 2 =R$150.000
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
1o Grupo – Dados VP, n, i, achar VF
Ex: Um capital de R$ 50.000,00 estará aplicado à taxa
de juros simples de 2% ao mês durante 3 anos.
Determinar o valor do montante dessa aplicação.
3 anos = 36 meses (taxa e prazo compatíveis)
VF = VP (1 + i * n)
VF = 50.000 (1 + 0,02 * 36)
VF = 50.000 * 1,72
VF = 86.000
Resposta: O montante é de R$ 86.000,00
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
2o Grupo – Dados VF, n, i, achar VP
Ex: Sabendo-se que o montante resgatado no
vencimento foi de R$ 117.800,00, determinar o
principal aplicado durante o prazo de 8 meses na
taxa de 3% ao mês.
VF = VP (1 + i * n)
117.800 = VP (1 + 0,03 * 8)
117.800 = VP * 1,24
VP = 117.800 / 1,24 = 95.000
Resposta: O principal aplicado foi de R$ 95.000,00
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
3o Grupo – Dados VF, n, VP, achar i
Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$
172.000,00, o principal aplicado de R$ 100.000,00 e o
prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal
relativa a aplicação.
1 ano = 12 meses
VF = VP (1 + i * n)
172.000 = 100.000 (1 + i * 12)
172.000 / 100.000 = 1 + i * 12
1,72 - 1 = 12 * i
i = 0,72 / 12 = 0,06
Resposta: A taxa de juros da aplicação é de 6% am
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA
4o Grupo – Dados VF, VP, i , achar n
Ex: Conhecendo o montante resgatado de R$
368.000,00, o principal aplicado de R$ 200.000,00 e a
taxa de juros de 7% ao mês simples, determinar o
prazo da aplicação.
VF = VP (1 + i * n)
368.000 = 200.000 (1 + 0,07 * n)
368.000 / 200.000 = 1 + 0,07 * n
1,84 = 1 + 0,07 * n
1,84 – 1= 0,07 * n
n = 0,84 / 0,07 = 12
Resposta: O prazo da aplicação é de 12 meses.
JUROS EXATOS
JUROS COMERCIAIS
JUROS BANCÁRIOS
Taxa de juros baseadas nos juros comerciais 
Aplicação dos juros baseada nos juros exatos
Mês = exata de dias 
Ano = 365 dias (ou 366, se bissexto)
Mês = 30 dias
Ano = 360 dias
SITUAÇÕES ESPECIAIS
ANTECIPAÇÃO DE JUROS
Um empresário deseja captar recursos para investir em
um novo projeto. Para isso, pretende tomar um
empréstimo junto ao banco.
Uma das linhas de crédito deste banco oferece
empréstimo de R$ 5.000,00 pelo prazo de 10 meses a
uma taxa de 2,5% ao mês juros simples. No entanto, esta
modalidade exige que os juros sejam pagos
antecipadamente.
Qual a taxa efetiva cobrada pelo banco?
SITUAÇÕES ESPECIAIS
INCIDÊNCIA DE IMPOSTO DE RENDA
Um investidor aplicou R$ 50.000,00 por um período de 8
meses em um fundo de investimento que paga 6% ao
mês a juros simples. A alíquota de Imposto de Renda
para este tipo de investimento é de 17,5%.
Qual a taxa de juros efetiva desta aplicação?
SITUAÇÕES ESPECIAIS
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA
Um título com valor de face de R$ 1.000,00 vence em
120 dias. Para uma taxa de juros simples de 5% ao mês,
qual o valor desse título:
(A) Hoje;
(B) Dois meses antes do seu vencimento;
(C) Um mês após o seu vencimento.
Exercício 1
Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00
resgatando R$ 21.456,00 quatro meses depois.Calcular a taxa
mensal de juros simples auferida nesta aplicação.
Exercício 2
Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses,
quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que
remunera à taxa linear de 12% ao ano?
Exercício 3
Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que
um capital triplique de valor após 2 anos.
Exercícios
Exercícios
Exercício 4
Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias.
Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se
calcular o valor deste título: (A) hoje; (B) dois meses antes do
seu vencimento; (C) Um mês após o seu vencimento.
Exercício 5
Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e
R$56.000,00 cada. O primeiro título vence em 2 meses e o
segundo um mês após. O devedor deseja propor a substituição
destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5º
mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples,
determine o valor deste pagamento único.
Exercício 6
Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:
R$35.000,00 vencíveis no fim do 3 meses.
R$65.000,00 vencíveis no final de 5 meses.
Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas
reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança
de rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o
valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma
que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas
datas de vencimento sem deixar saldo final na conta.
Exercícios
Exercício 7
Uma dívida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O
devedor pretende resgatar a dívida pagando R$ 4.800,00 hoje,
R$ 14.000,00 daqui a 2 meses e o restante um mês após a data
de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento
definido como a data focal da operação, e sabendo-se ainda que
a taxa de juros linear adotada nesta operação é de 34% ao ano,
determine o montante do pagamento.
Exercícios
UFG – ISS/Goiânia – 2016) Uma pessoa antes de tomar
emprestado uma quantia de R$ 100 000,00, avalia três
propostas: a primeira, à taxa de 5% ao mês, durante 8
meses; a segunda, à taxa de 4% ao mês, durante 12 meses; a
terceira, à taxa de 3% ao mês, durante 24 meses; todas a
juros simples. O valor dos juros a serem pagos, em reais, à
proposta em que pagará menos juros, é:
(A) 72 000,00
(B) 60 000,00
(C) 48 000,00
(D) 40 000,00
Exercícios
ESAF – RECEITA FEDERAL – 2003) Os capitais de R$
2.500,00, R$ 3.500,00, R$4.000,00 e R$ 3.000,00 são
aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas
mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a
taxa média mensal de aplicação destes capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%
Exercícios
ESAF – RECEITA FEDERAL – 2002) Os capitais de R$
2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são
aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante
dois, três, quatro e seis meses, respectivamente.
Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.
a) quatro meses
b) quatro meses e cinco dias
c) três meses e vinte e dois dias
d) dois meses e vinte dias
e) oito meses
Exercícios