FÓRMULA DE MASON PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE SISTEMA DE CONTROLES DINÂMICOS

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1 
2.3- DIAGRAMAS DE BLOCOS E DE FLUXO DE SINAL. 
FÓRMULA DE MASON 
DIAGRAMA DE BLOCOS – DB 
Os sistemas de controle, geralmente, são constituídos por vários componentes ou 
“partes” interligadas. Para mostrar estas interconexões e também destacar os 
pontos de entrada e de saída dos sinais considerados, usa-se um tipo de diagrama 
denominado “diagrama de blocos”. Estes diagramas são compostos por três 
componentes: 
a) BLOCO FUNCIONAL: indica a operação matemática que age sobre o 
sinal de entrada para produzir o sinal de saída. É importante observar que 
o bloco funcional é orientado, o que significa que o sentido do fluxo de 
sinais é bem definido. 
BLOCO 
FUNCIONAL
F(s)
C(s)R(s)
 
Figura 2.11 
b) SOMADOR: detector de erro ou ponto de adição: produz como sinal de 
saída a soma algébrica dos sinais de entrada. 
+R(s) C(s) = R(s) + B(s)
B(s)
+
 
Figura 2.12 
c) PONTO DE JUNÇÃO ou de ramificação: é o ponto onde um sinal é 
captado para ser levado a outro ponto do diagrama de blocos. 
X(s)
PONTO DE JUNÇÃO
 
Figura 2.13 
 
 
 
 
 2 
TERMINOLOGIA BÁSICA 
Considere o diagrama ilustrativo abaixo: 
CONTROLADOR
Gc(s)
PLANTA
G(s)
DISPOSITIVOS 
DIVERSOS
H(s)
+
R(s) E(s)
B(s)
C(s)
 
Figura 2.14 
1) PLANTA OU PROCESSO: é o objeto físico a ser controlado. 
Exemplos: caldeira, motor, nível de um líquido em um reservatório, etc. 
2) REALIMENTAÇÃO: é a ação do sinal de saída sobre o sinal de entrada 
ou de referência para gerar o sinal de erro ou de comando. A 
realimentação pode ser positiva ou negativa. A realimentação negativa é 
usada para estabelecer a diferença entre o sinal de referência e o sinal de 
saída, ou seja, gerar um sinal de erro que irá atuar sobre o sistema visando 
a atingir os objetivos desejados. A realimentação positiva ocorrerá em 
casos especiais e será vista em outro ponto do programa. 
+R(s)
B(s)
+
C(s) 
à REALIMENTAÇÃO
 
Figura 2.15 
3) SISTEMA DE MALHA FECHADA: é um sistema com realimentação. 
Neste tipo de sistema o sinal de saída é comparado com o sinal de entrada 
para gerar o sinal de comando. 
Exemplo: refrigerador. 
+R(s)
B(s)
+
G(s)
H(s)
C(s) 
E(s)
 
Figura 2.16 
 
 3 
4) SISTEMA DE MALHA ABERTA: é aquele em que o sinal de saída não 
interfere no sinal de comando. Isto quer dizer que o sinal de saída não é 
medido nem realimentado para comparação com o sinal de entrada. 
Exemplos: lavadora de roupas, sinal de trânsito de tempo fixo. 
F(s)R(s) C(s) 
Figura 2.17 
5) SERVOMECANISMO: é um sistema de controle de malha fechada no 
qual a saída é uma posição mecânica, velocidade ou aceleração. 
 
CONSTRUÇÃO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS 
Algumas vezes deseja-se construir um diagrama de blocos a partir de um sistema 
ou um conjunto de equações. Como ilustração considere o circuito elétrico RLC 
série abaixo: e R L Ci 0
e
 
Figura 2.18 
De maneira resumida as etapas para construção de um DB, são : 
a) escrever as equações que descrevem o comportamento dinâmico do 
sistema; 
b) aplicar a Transformada de Laplace a estas equações; 
c) desenhar o DB correspondente a cada uma delas; 
d) unir os diversos diagramas obtidos em um único diagrama que será DB 
desejado. 
Para este circuito iremos considerar a entrada como sendo a fonte de tensão, e 
como saída, a tensão no capacitor. Nesta situação temos: 
a) Equações que descrevem o comportamento do circuito (modelo 
matemático). 
 4 
i) 
    0
di
e Ri L e 0
dt
 ii) 
 
t
0
0
1
e idt
C
 
b) Transformada de Laplace das equações acima: 
i) 
           0E s R.I s sL.I s E s 0
 ii) 
 0
1
E I s
sC
 
 
   


0E s E s
I s
R sL
 
c) Diagrama de blocos da equação i) : 
 
 
 
Figura 2.19 
 Diagrama de blocos da equação ii) 
1
sC
I(s)
 0E s
 
Figura 2.20 
 
 
d) Unindo os diagramas de blocos teremos: 
+E(s)
-

1
R sL
1
sC  0E s
 
Figura 2.21 
O diagrama de blocos acima é então o diagrama de blocos do circuito elétrico. 
Observe que o sinal de entrada está à esquerda e o sinal de saída à direita do DB. 
 
 
 
+E(s)
-

1
R sL
I(s)
 0E s
 5 
REDUÇÃO OU SIMPLIFICAÇÃO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS 
O que será mostrado a seguir é que um diagrama de blocos mais complexo, ou 
seja, com um número maior de laços pode ser simplificado ou reorganizado pela 
combinação de dois ou mais blocos em um só. Isto será feito sob regras que não 
alterem a dinâmica do sistema original. Veremos que à medida que o diagrama vai 
sendo simplificado, o número de blocos funcionais vai diminuindo e a 
complexidade das funções de transferência vai aumentando devido ao 
aparecimento de novos pólos e zeros. 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS 
1) Alteração da ordem das parcelas, redução de somadores ou 
desmembramento: 
 
 
 
Figura 2.22 a 
 
 
 
 
 
Figura 2.22 b 
2) Blocos em Cascata 
 
 
Figura 2.23 
3) Blocos em Paralelo 
 
 
Figura 2.24 
 
+ +
A
B
A - B
C
A - B +C
-
+ +
A
B
A+C
C
A-B +C
-
+
B
-
C
A
A - B +C
+ +
A
B
A - B
C
A - B +C
-
G1 G2
A.G1 A.G1G2A G1G2
A
A.G1G2
G1
G2
A
+
AG1 + AG2AG1
AG2
G1 + G2
A AG1 + AG2
 6 
4) Mover um bloco para depois de um somador 
 
 
 
Figura 2.25 
 
5) Mover um bloco para antes de um somador 
 
 
 
Figura 2.26 
 
6) Mover um bloco para depois de um ponto de junção 
 
 
 
Figura 2.27 
7) Mover um bloco para antes de um ponto de junção 
 
 
 
 
Figura 2.28 
 
 
 
 
G +
-
A AG
B
AG - B G
A
+
-
1
G

B
A
G
B
AG - B
B
G
G+
-
A
B
AG - BGA - B G
G
A
B
AG
BG
+
-
AG - BG
A AG
G
AG
A
G
G
AG
AG
A
G
AG
A
G
A AG
1
G
A
AG
 7 
8) Forma Canônica de um sistema com realimentação: eliminação do laço 
de realimentação. 
Considere o diagrama de blocos abaixo que é denominado de forma canônica de 
um DB: 
+R(s)
B(s)
+
G(s)
H(s)
C(s) 
E(s)
 
Figura 2.29 
Para este diagrama definimos : 
a) 
( )G S 
 função de transferência de canal ou ramo direto 
b) 
( )H S 
 função de transferência de realimentação 
c) 
)()( SHSG
 função de transferência de malha aberta - FTMA 
Observe que : 
)()(
)(
)(
SHSG
SE
SB

 
d) 
)()(1
)(
)(
)(
)(
SHSG
SG
SR
SC
SF


 

 função de transferência de malha 
fechada ou global - FTMF. 
Vejamos como foi obtida a FTMF : do diagrama de blocos temos : 
( ) ( ) ( )E S R S B S 
 

 

 
( ) ( ) ( )B S H S C S
 

 

 
( ) ( ) ( )C S G S E S
 

 

 
Substituindo 

 em 

, temos : 
( ) ( )[ ( ) ( )]C S G S R S B S 
 

 

 
Substituindo 

 em 

, temos : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C S G S R S G S H S C S 
 
ou 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C S G S H S C S G S R S
 
ou 
( )[1 ( ) ( )] ( ) ( )C S G S H S G S R S
 
 8 
 Sendo assim chegamos 
( ) ( )
( ) :
( ) 1 ( ) ( )
C S G S
F S
R S G S H S
 

 ; 
 ( Obs. 
:
 significa igual por definição ). 
PROPRIEDADE : Todo diagrama de blocos de um sistema monovariável pode 
ser reduzido a um único bloco funcional. Veja o exemplo a seguir: 
Exemplo 2.9 – Reduzir o DB abaixo a um único bloco funcional e determinar afunção de transferência do sistema: 
+
-
+ G1 +
-
G2 G3
R
H1
H2
C
 
Figura 2.30 a 
Solução: a) movendo o bloco 
1G
 para depois do somador temos : 
+
-
+ G1+
-
G2 G3
R
H1
C
2
1
H
G
 
Figura 2.30 b 
b) eliminando o laço : 
1G
 
2G
 
1H
 , temos : 
+
-
+
-
G3
R C
2
1
H
G

1 2
1 2 1
G G
1 G G H
 
 9 
Figura 2.30 c 
c) eliminando o laço superior temos : 
+
-
R
C
 
1 2 3
1 2 1 2 3 2
G G G
1 G G H G G H
 
Figura 2.30 d 
d) eliminando o laço resultante obtemos finalmente : 
R
C
  
1 2 3
1 2 1 2 3 2 1 2 3
G G G
1 G G H G G H G G G
 
Figura 2.30 e 
SISTEMAS MULTIVARIÁVEIS 
As regras para redução de diagrama de blocos podem ser também, em alguns 
casos, aplicadas em sistemas multivariáveis para simplificar o diagrama original. 
É importante observar que em um sistema multivariável lidamos com matrizes de 
transferência e, portanto não é possível reduzir o DB a um único bloco funcional. 
Veja os exemplos que seguem. 
 Exemplo 2.10 – Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência. 
G1(s)
R(s)
+
-
+
H(s)
G2(s)
D(s)
C
 
Figura 2.31 
 
 
 
 
 
 10 
Exemplo 2.11 – Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência. 
+
-
R1(s)
G1(s) +
C1(s)
+
-
R2(s)
G2(s) G3(s)
C2(s)
 
 Figura 2.32 
DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL – DFS 
DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL – DFS 
O diagrama de blocos de um sistema é um tipo de modelo matemático 
amplamente usado no estudo dos sistemas de controle. Entretanto quando lidamos 
com sistemas com vários laços ou seja muitas interconexões, a aplicação das 
regras para simplificação do diagrama pode acabar se transformando em um 
trabalho complexo. Uma forma alternativa para lidarmos com diagramas de 
blocos mais complexos é usar o denominado diagrama de fluxo de sinal – DFS. 
Este tipo de diagrama é mais simples e mais adequado ao uso de uma fórmula, ( 
fórmula de Mason ), que permite determinar a função de transferência de um 
sistema sem usar as regras de redução de DB já vistas. 
Um Diagrama de fluxo de Sinal – DFS, é então um DB simplificado e é 
basicamente constituído por : 
a) NÓ : é a representação gráfica de uma variável ou sinal ; 
b) RAMO : é a representação gráfica de uma operação, às vezes denominada 
de transmitância. O ramo liga dois nós e é orientado. A transmitância 
corresponde à função de transferência de um bloco funcional. 
 
PRINCIPAIS DEFINIÇÕES : 
1) Caminho ou percurso – é uma trajetória constituída por ramos e 
percorrida nos sentidos indicado; 
2) Nó de entrada – é aquele que só possui ramos de saída ou eferentes; 
3) Nó de saída – é aquele que só possui ramos de chegada ou aferentes; 
4) Nó misto – é aquele que possui ramos de entrada e de saída; 
5) Caminho direto – é uma trajetória que liga um nó de entrada a um nó de 
saída e não cruza nenhum nó mais de uma vez; 
6) Ganho de um caminho – é o produto das transmitâncias ao longo do 
mesmo; 
 11 
7) Laço – é um caminho que termina no mesmo nó em que começou e não 
cruza nenhum nó mais de uma vez 
8) Laços que não se tocam ou disjuntos – são os que não tem nenhum nó 
em comum. 
 
EXEMPLO de um diagrama de fluxo de sinal: 
 
 
1 2 3 4 5 6 7
8
2 1
-1
3
S
1
S
1
S
1
1
1
S 2
1
S-2
2
1
S
)(SU
)(1 SY
)(2 SY
 
No diagrama de fluxo de sinal acima temos : 
Nós : 1, 2 e 3 

 é um caminho; 
Nós : 3, 4, 5 e 2 

 é também um caminho; 
Nós : 4, 5, 2, 3 

 também é um caminho; 
Nó 1: 

 é um nó de entrada, ( um ramo eferente); 
Nós 7 e 8 : 

 são nós de saída, ( um ramo aferente); 
Nós : 2, 3, 4, 5 e 6 

 são nós mistos, ( ramos eferentes e aferentes); 
Nós : 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 

 é um caminho direto entre o nó 1, (entrada) e o nó 7, 
(saída). 
O ganho deste caminho é : 
)2)(1(
2
2 

SSS
G
; 
Nós : 1, 2, 6 e 7 

 é um outro caminho direto entre o nó 1, (entrada) e o nó 7, 
(saída); 
O ganho deste caminho é : 
S
G
6

; 
Nós : 1, 2, 3 e 8 

 é um caminho direto entre o nó 1, (entrada) e o nó 8, (saída); 
 12 
O ganho deste caminho é : 
)2)(1(
2


SS
G
; 
Nós 2, 3 e 2 : 

 formam um laço, (laço 1); 
Nós 4, 5 e 4 : 

 formam um laço, (laço 2); 
Nós 2, 3, 4, 5 e 2 : 

 formam um laço, (laço 3); 
Laço 1 e laço 2 : 

 laços que não se tocam, (laços disjuntos); 
Laço 1 e laço 3 : 

 têm os nós 2 e 3 como nós comuns; 
Laço 2 e laço 3 : 

 têm os nós 4 e 5 como nós comuns; 
FÓRMULA DE MASON – ( S. J. Mason ) : 
A fórmula de ganho de Mason tem como objetivo calcular a função de 
transferência, 
)(SF
, entre um nó de entrada e um nó de saída em um diagrama de 
fluxo de sinal. Sendo assim, para sistemas multivariáveis, será aplicada m x r 
vezes onde m o número de entradas e r o de saídas. 
 






1
1
)(
i
iiPSF
 onde: 
 
 
  fedcba LLLLLL1
 
 aL
 - soma dos ganhos dos diferentes laços do diagrama. 
 cbLL
 - soma dos produtos dos ganhos de todas as possíveis combinações 
de laços que não se tocam, considerados dois a dois. 
 fed LLL
 - soma dos produtos dos ganhos de todas as possíveis 
combinações de laços que não se tocam, considerados três a 
três. ( E assim sucessivamente ). 
iP
 - ganho do i-ésimo caminho direto. 
i
 - é o i-ésimo cofator de 

. É obtido anulando-se na expressão de 

, as parcelas que têm como fator ou fatores, os laços que 
tocam o i-ésimo caminho direto. 
F S( )
 - é a função de transferência considerada 

 - é o determinante do sistema 

 - é o número de caminhos diretos do diagrama 
 13 
 ROTEIRO PARA APLICAÇÃO DA FÓRMULA DE MASON 
1) Considere um nó de entrada e um de saída. Identifique os caminhos 
diretos e calcule os respectivos ganhos. 
2) Identifique os laços do diagrama e calcule os respectivos 
ganhos; 
3) Calcule 
 aL
 , 
 cbLL
 , 
 fed LLL
, ...; 
4) Calcule 

. 
5) Para cada caminho direto, calcule os respectivos cofatores 
 ,,, 21 
 
6) Calcule 
)(SF
 para o nós de entrada e saída considerados : 






1
1
)(
i
iiPSF
 
7) Se o sistema for multivariável determine as demais funções de 
transferência e escreva a matriz de transferência 
)(SG
. 
NOTA : Os itens 2, 3 e 4 são calculados uma única vez se o sistema for 
multivariável. 
 CONSTRUÇÃO DE UM DFS A PARTIR DE UM DB. 
Para construir um diagrama de fluxo de sinal a partir de um diagrama de 
blocos observe que : 
1) a entrada e a saída de um bloco funcional transformam-se em nós; 
2) o bloco funcional transforma-se em um ramo; 
3) somadores e pontos de junção transformam-se em nós mistos 
 
EXEMPLOS : para cada sistema abaixo pede-se construir o correspondente 
diagrama de fluxo de sinal e usando a fórmula de Mason determine a função de 
transferência : 
Exemplo 2.12 
+
-
U(s)
G1(s) +
Y(s)
G2(s)
-
 
Figura 2.35 a 
Solução : o diagrama de fluxo de sinal correspondente é : 
G1(s)
-1
1 1 G2(s)
-1
U(s)
1
Y(s)
 
 Figura 2.35 b 
 14 
Aplicando a fórmula de Mason, teremos : 
   
 
 

 
 
1 1 2
1 1
2 2
P G s .G s
L G s
L G s
 
   
   
    



a 1 2 1 2
b c 1 2
L L L G s G s
L .L G s .G s
 
        a b c 1 2 1 21 L L .L 1 L L L .L
 
           1 2 1 21 G s G s G s .G s
 
 1 1
 
 
   
       


    
    

1 2
i i 1 1
i 1 1 2 1 2
1.G s .G s .11 1
F s P .P
1 G s G s G s .G s
 logo : 
 
   
       

  
1 2
1 2 1 2
G s .G s
F s
1 G s G s G s .G s
 
Exemplo 2.13 
+
-
U(s)
G1(s) +
Y(s)
G2(s)
-
 
Figura 2.36 a 
Solução : o diagrama de fluxo de sinal correspondente é : 
 
G1(s)
-1
1 G2(s)
-1
U(s)
1
Y(s)
 
 Figura 2.36 b 
 
 15 
Aplicando a fórmula de Mason, teremos : 
   
 
 

 
 
1 1 2
1 1
2 2
P G s .G s
L G s
L G s
 
         a 1 2 1 2 b cL L L G s G s ; L .L não existe
 
              a 1 2 1 21 L 1 L L 1 G s G s
 
 1 1
 
 
   
   


    
   

1 2
i i 1 1
i 1 1 2
1.G s .G s .11 1
F s P .P
1 G s G s
 logo : 
 
   
   

 
1 2
1 2
G s .G s
F s
1 G s G s
 
Exemplo 2.14 – sistema multivariável : H1
G1
G3
G2
+
+
-U(s)
Y1(s)
Y2(s)
 
Figura 2.37 a 
Solução : o diagrama de fluxo de sinal correspondente é : 
1 G1 G2 Y1(s)
-H1
U(s)
G3 1
1
Y2(s)
 
Figura 2.37 b 
 
 16 
Observe que este sistema tem 1 entrada e 2 saídas como indicado abaixo : 
u
m = 1
y
r = 2
 
Figura 2.38 
A fórmula de Mason será então aplicada 2 vezes : 
     
 
 
 
   
 
11
r x m 2 x 1
21
F s
G s G s : G s
F s
 
Utilizando a Fórmula de Mason : 
I. Cálculo de 
 11F s
: 
 
 
 

1
11
Y s
F s
U s
 
1) 
1 1 2P G .G
 
2) 
 1 1 1L G .H
 
3) 
       a 1 1 2L L G s G s
 
 b cL .L ; etc não existem
 
4) 
       a 1 1 11 L 1 L 1 G .H
 
5) 
 1 1
 
6) 
 


   
  
 1 211 i i 1 2
i 1 1 1 1 1
1 1 G .G
F s P .G .G
1 G .H 1 G .H
 ; logo : 
  

1 2
11
1 1
G .G
F s
1 G .H
 
 
 
 17 
II. Cálculo de 
 21F s
: 
 
 
 

2
21
Y s
F s
U s
 
1) 
1 1P G
 
2 3P G
 
2) ( já calculado ) : 
 1 1 1L G .H
 
3) ( já calculado ) : 
   a 1 1 1L L G .H
 
4) ( já calculado ) : 
       a 1 1 11 L 1 L 1 G .H
 
5) 
 1 1
 
  2 1 11 G .H
 
6) 
   

     
 

2
21 i i 1 1 2 2
i 1
1 1
F s P P P
 
      

21 1 3 1 1
1 1
1
F s G .1 G . 1 G .H
1 G .H
 ; logo : 
 
 


1 3 1 3 1
21
1 1
G G G .G .H
F s
1 G .H
 
Sendo assim, temos: 
 
 
 
 
  
  
1 2
1 1
1 3 1 3 1
1 1
G .G
1 G .H
G s
G G G .G .H
1 G .H
 
 
OBSERVAÇÃO: 
     Y s G s .H s
 
 
 
 
   
   
    
1 1 2
2 1 3 1 3 11 1
Y s G .G1
. .U s
Y s G G G .G .H1 G .H
 
Por simplificação no DB temos: 
 18 
G3
G2
+
U(s)
Y1(s)
Y2(s)

1
1 1
G
1 G H
 
Figura 2.39 
Vemos facilmente que : 
  

1 2
11
1 1
G .G
F s
1 G .H
 
 
 
  
 
1 3 1 3 11
21 3
1 1 1 1
G G G .G .HG
F s G
1 G .H 1 G .H
 
O que confirma os resultados obtidos via Mason.