servomec II

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DESCRIÇÃO
Histórico sobre os principais desenvolvimentos e as contribuições na área de sistemas de controle. Terminologia básica. Classificação de sistemas.
Representação de sistemas dinâmicos em espaço de estado. Conceitos básicos sobre a modelagem. Modelos em espaço de estado. Exemplos de
modelagem de sistemas elétricos e mecânicos. Métodos de realização da função de transferência. Cálculo da função de transferência a partir de um
modelo em espaço de estado. Análise de estabilidade. BIBO estabilidade. Estabilidade interna. Cálculo de autovalores. Transformação de
similaridade.
PROPÓSITO
Compreender a modelagem sob a forma de espaço de estado, visando à análise e aplicação no controle de sistemas dinâmicos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever a terminologia empregada na área de sistemas de controle
MÓDULO 2
Formular modelos em espaço de estado para os sistemas dinâmicos
MÓDULO 3
Calcular realizações de funções de transferência de sistemas dinâmicos
MÓDULO 4
Analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos
MODELAGEM DE SISTEMAS DE CONTROLE EM ESPAÇO DE
ESTADOS
MÓDULO 1
 Descrever a terminologia empregada na área de sistemas de controle
INTRODUÇÃO
Na primeira metade do século XX, mais precisamente nos anos 1940 e 1950, foi desenvolvida o que hoje é conhecida por Teoria de Controle
Clássico. Tal teoria é composta, basicamente, pelas seguintes ferramentas e técnicas: o diagrama de Resposta em Frequência, que também é
conhecido por diagrama de Bode; a técnica e o gráfico do Lugar das Raízes ou Root Locus; o diagrama e o critério de Nyquist, e, finalmente, o
diagrama de Nichols. 
Em termos de aplicações de sistemas de controle automáticos, entre as primeiras e mais co nhecidas, pode-se citar o controlador centrífugo de uma
máquina a vapor, criado por James Watt em 1778; os trabalhos de Minorsky sobre pilotagem de navios, em 1922, e, em termos militares, as
primeiras versões de radares antiaéreos, que surgiram durante a Segunda Guerra Mundial. 
A teoria de controle clássico é baseada no domínio da frequência, ou seja, os métodos e modelos utilizados são do tipo frequencial. Toda a teoria é
suportada por desenvolvimentos matemáticos, como as conhecidas transformadas de Laplace e de Fourier. Em função da natureza frequencial, os
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javascript:void(0)
modelos normalmente empregados nas técnicas de controle clássico são as funções de transfe rência (FT). 
Quando o sistema analisado apresenta um comportamento linear e pode ser modelado dessa forma, a sua função de transferência apresenta um
formato racional, isto é, como a razão de dois polinômios em s, conforme exemplificado a seguir:
JAMES WATT
James Watt (1736-1819) foi um matemático e engenheiro britânico. Construtor de instrumentos científicos, destacou-se pelos melhoramentos
que introduziu no motor a vapor, que se constituíram num passo fundamental para a Revolução Industrial.
FONTE: WIKIPEDIA
NICOLAS MINORSKY
Nicolas Minorsky ou também Nikolai Fyodorovich Minorsky (1885-1970) foi um engenheiro mecânico russo radicado nos Estados Unidos. É
conhecido por sua análise teórica e a primeira proposta de aplicação de controladores PID em sistemas de direção automática de navios da
Marinha dos Estados Unidos.
FONTE: WIKIPEDIA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso ocorre, naturalmente, em diversas áreas do conhecimento, como em circuitos lineares, siste mas mecânicos modelados por equações
diferenciais ordinárias, etc. Essa aplicabilidade em múlti plas áreas do conhecimento e, em particular, nos diversos ramos de engenharia, torna a
teoria de sistemas de controle uma ferramenta bastante versátil. Observe que, por meio dela, um problema físico específico de determinada área do
conhecimento é transformado em um problema matemá tico, a ser tratado pelas metodologias disponíveis.
É importante perceber que um bom projeto de controle está associado à existência de um modelo matemático. Não que seja impossível, na prática,
realizar o controle de determinado sistema sem ter um modelo, mas os resultados, certamente, serão bem mais precários do que aqueles
envolvendo o ferramental matemático disponível.
Os modelos, por melhor que sejam, são aproximações do comportamento real do sistema dinâmico sob estudo. Uma infinidade de modelos pode ser
ajustada para certo sistema, de acordo com a complexidade exigida. Contudo, deve-se procurar um meio termo, isto é, um modelo que não seja
demasiadamente simples, a ponto de não representar, condizentemente, o comportamento do sistema dinâmico real desejado. Por outro lado,
também não deve ser mais complexo do que o necessário, pois dificultaria ou impossibilitaria o seu emprego, seja pelo excesso de tempo no
processamento computacional, seja pela dificul dade no tratamento matemático.
A Figura 1 apresenta a concepção normalmente desejada para a obtenção de um modelo. Submetendo-se o sistema e o modelo com a mesma
entrada u(t), deseja-se ajustar o modelo de maneira que sua saída yM(t) apresente valores numericamente iguais ou próximos, segundo algum
critério bem definido, ao que for medido na saída yS(t) do sistema dinâmico.
G(s)= s
2+3s+1
s3+4s2+2s+7
 
Fonte: Autor
 Figura 1 – Respostas do sistema e do modelo a partir do mesmo sinal de entrada.
As áreas de estudo que tratam mais diretamente da produção de modelos são as de modelagem e de identificação. Na área de modelagem,
buscam-se técnicas que utilizem as equações relaciona das com as grandezas físicas dos fenômenos envolvidos, a fim de se obter um modelo. Já o
foco da área de identificação é voltado para o ajuste de modelos numéricos em formatos (espaço de estado, função de transferência, etc.)
previamente determinados, a partir de medições dos sinais de entrada e de saída no sistema real em estudo.
TERMINOLOGIA
A seguir, são apresentados alguns termos utilizados com frequência na área de sistemas de con trole, conforme OGATA (2003) e FRANKLIN et al.
(2013):
SISTEMA, PLANTA OU PROCESSO
Matematicamente, é o agente transformador que gera o sinal de saída a partir do sinal de entrada. Representam um conjunto de equipamentos
ordenados de maneira a executar determinada operação. Apresentam o mesmo significado dentro da disciplina, mas a utilização de algum deles
pode ser mais indicada em determinadas condições. Por exemplo, é costume se referir a um processo químico, e não a um sistema químico.
PERTURBAÇÃO OU DISTÚRBIO
Sinal indesejável que tende a afetar o comportamento do sistema e, consequentemente, de sua saída. Por exemplo, os ruídos que afetam os
sensores utilizados nos sistemas são típicos sinais indesejáveis, chamados de perturbação.
SISTEMA DE CONTROLE EM MALHA ABERTA
Aquele sistema em que a saída não tem efeito sobre a ação de controle. Por exemplo, a máquina de lavar. Representa um sistema cuja entrada é a
roupa suja e a saída é a roupa lavada. Entretanto, não existe garantia de que, após a máquina completar seu ciclo, a roupa lavada estará limpa.
SISTEMA DE CONTROLE EM MALHA FECHADA
Também chamado de sistema de controle realimentado. Nesse tipo de sistema, a saída mantém uma relação prescrita com algum sinal de entrada
de referência, gerando um sinal de erro, que é utilizado como um meio de controle. Por exemplo, o ferro de passar roupas. Ajusta-se o seletor
(entrada de referência) para determinada temperatura. Quando o ferro alcança essa temperatura (saída do sistema), o aparelho interrompe
automaticamente a alimentação de energia. Após algum tempo, quando a temperatura do ferro cai abaixo de certo limite, o aparelho volta a ligar e
aquecer até alcançar a temperatura selecionada novamente.
SISTEMA REGULADOR
São controles que, quando acionados, fazem com que o sistema controlado retorne à sua posição inicial. Por exemplo, um satélite em órbita na
Terra. Para que o satélite funcione corretamente, ele deverá manter suas antenasalinhadas com a região que deverá receber o sinal transmitido.
Ocorre que, periodicamente, há um desalinhamento das antenas do satélite em órbita. O sistema regulador é, então, acionado para que suas
antenas retornem para o alinhamento previsto.
SERVOMECANISMOS 
(OU SERVOSSISTEMAS)
Normalmente, esse termo é utilizado como referência de um sistema de controle mecânico. Por exemplo, o freio ABS dos automóveis é um
servomecanismo.
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS
A seguir, estão apresentados alguns conceitos e classificações importantes sobre sistemas:
A) LINEARES VERSUS NÃO LINEARES
Os sistemas lineares são aqueles que atendem ao princípio da superposição. Esse princípio é formado por duas propriedades:
Aditividade
A propriedade de aditividade significa que, se submetermos, na entrada do sistema, a soma de dois sinais de entradas distintos, então a resposta do
sistema deverá ser a soma das respostas individuais de cada entrada.

Homogeneidade
Já a propriedade de homogeneidade significa que, se o sinal de entrada for amplificado de um fator A, então a resposta gerada pelo sistema também
será amplificada pelo mesmo fator A.
Na Figura 2, essas propriedades são apresentadas graficamente.
 
Fonte: Autor
 Figura 2 – Resposta do sistema para (a) entrada u1(t) e entrada u2(t); (b) entrada u1(t) + u2(t) [propriedade da aditividade]; (c) entrada Au1(t)
[propriedade da homogeneidade].
Caso, ao menos, uma dessas propriedades não seja atendida, então o sistema será não linear. Nesta disciplina, serão considerados apenas os
sistemas lineares.
B) CONTÍNUO VERSUS DISCRETO 
Embora seja costume dizer sistema contínuo e sistema discreto, a notação correta deveria ser sistema a tempo contínuo e sistema a tempo
discreto. No primeiro caso, o tempo t é uma variável real. 
Já no segundo, o tempo somente é considerado em múltiplos inteiros de T, isto é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
T é conhecido como período de discretização ou período de amostragem.
Um sistema dis creto é mais apropriado para a realidade digital, uma vez que os sinais de entrada e de saída pas sam a ser representados como
conjuntos de valores e armazenados sob a forma de vetor. Além disso, os sinais passam a adotar a seguinte notação: u(t) = u(kT) = u(k), já que T é
t = kT , com k ∈ {... , −1, 0, + 1, ...}
uma constante (valor fixo).
 COMENTÁRIO
Observe que, tanto para sistemas contínuos como para discretos, os sinais u(t), y(t), ... ou u(k), y(k), ... são valores reais.
Na Figura 3, encontra-se ilustrado um sinal u para um sistema contínuo e para um sistema discreto.
 
Fonte: Autor
 Figura 3 – Sinal u(t) para (a) sistema contínuo e (b) sistema discreto.
Vale observar que o gráfico do sinal u é exatamente o mesmo em ambos os sistemas. Entretanto, no sistema discreto, somente existem valores de u
para os pontos em t = kT, com T = 2 s para o caso ilustrado na Figura 3(b). 
Neste tema, serão abordados tanto sistemas contínuos como sistemas discretos.
C) DINÂMICOS VERSUS INSTANTÂNEOS
Um sistema dinâmico é um sistema com memória, isto é, a saída desse sistema depende do sinal submetido em sua entrada, mas também de seu
estado anterior. Essa memória corresponde às condições iniciais do sistema.
 EXEMPLO
No caso de um circuito contendo capacitor, a resposta desse circuito dependerá do sinal submetido na entrada do circuito, mas também da carga
inicialmente armazenada no capacitor.
Em contrapartida, os sistemas instantâneos são aqueles que não possuem memória. É o caso, por exemplo, de um resistor. Se a entrada for a
tensão aplicada no resistor, e a saída, a corrente elé trica que passará por ele, então o valor da corrente em determinado instante dependerá,
exclusivamente, da tensão aplicada nesse mesmo instante.
D) INVARIANTE NO TEMPO VERSUS VARIANTE NO TEMPO 
Um sistema invariante no tempo é aquele que mantém o mesmo comportamento ao longo do tempo, independentemente do momento em que a
entrada for submetida.
 EXEMPLO
No caso de um circuito, independentemente de determinado sinal de tensão elétrica ser aplicado hoje ou amanhã na entrada do circuito, a resposta
será igual, apenas deslocada no tempo.
Em um sistema variante no tempo, o seu comportamento se altera com um tempo.
 EXEMPLO
Considere um carro novo como um sistema. As entradas são os comandos do motorista, e a saída é o comportamento do carro na estrada. Pois
bem, como o carro possui pneus novos, apre sentará o mesmo comportamento se ocorrer uma frenagem brusca hoje ou daqui a uma semana.
Entretanto, se for considerado um intervalo de tempo mais longo, digamos dois anos, seus pneus já estarão gastos e, consequentemente, o
comportamento do carro em uma frenagem hoje, com os pneus novos, será diferente daquele em dois anos, com os pneus carecas. Nesse caso,
consideran do o lapso temporal de dois anos, o carro seria um sistema variante no tempo.
Observe que, em intervalos de tempo menores, um sistema variante no tempo pode se transfor mar em um sistema invariante no tempo. 
Neste tema, serão considerados apenas sistemas invariantes no tempo.
E) RELAXADO VERSUS NÃO RELAXADO 
Sistema relaxado é aquele que apresenta condições iniciais nulas.
 EXEMPLO
No caso de um circuito contendo capacitor, ele estará relaxado quando o capacitor estiver descarregado.
Em contra partida, os sistemas não relaxados apresentam condições iniciais não nulas. Nesse caso, o circuito estaria como o capacitor carregado,
apresentando um valor de tensão não nulo entre seus termi nais. 
Neste tema, serão considerados ambos os casos.
F) DETERMINÍSTICO VERSUS ESTOCÁSTICO 
Sistema determinístico é aquele em que o modelo não apresenta dependência com variáveis alea tórias. O modelo pode ser variante no tempo, ou
seja, altera-se com o passar do tempo, mas não depende de probabilidade. Um sistema estocástico, por outro lado, é aquele que envolve variáveis
aleatórias. 
Neste tema, será considerado apenas sistemas determinísticos.
G) CAUSAIS VERSUS NÃO CAUSAIS
Modelos não causais
São aqueles existentes na matemática, mas não na realidade física. As suas respostas atuais podem depender de entradas que ocorrerão no futuro.

Modelos causais
São aqueles em que a resposta atual é consequência das entradas passadas e das atuais, bem como das condições iniciais do sistema.
Neste tema, somente há interesse em sistemas causais.
H) NÚMERO DE ENTRADAS E NÚMERO DE SAÍDAS 
De acordo com o número de entradas e o número de saídas existentes no sistema, este apresenta nomenclatura diferente. No caso de o sistema
apresentar apenas uma entrada e uma saída, este será chamado de sistema monovariável ou sistema SISO (single input single output). 
Por outro lado, caso o sistema apresente mais de uma entrada e/ou mais de uma saída, será dito sistema multivariável. Esse tipo de sistema é
ainda classificado como MISO (multiple input single output), quando possui várias entradas e uma única saída.
 COMENTÁRIO
Se o sistema tiver apenas uma entrada e múltiplas saídas, também é conhecido por sistema SIMO (single input multiple output). Finalmente, quando
o sistema apresenta múltiplas entradas e múltiplas saídas, é conhecido como sistema MIMO (multiple input multiple output).
Neste tema, todos esses tipos de sistemas poderão ser abordados indistintamente.
TEORIA NA PRÁTICA
Uma esposa, em casa, conversando com seu marido, engenheiro, menciona que o ferro elétrico de passar roupas deles, comprado há 20 anos,
continua funcionando muito bem, como se tivesse sido adquirido ontem. Se imaginarmos esse ferro elétrico como um sistema, cuja entrada seria o
comando de temperatura no seletor e sua saída seria a temperatura mantida pelo ferro elétrico, poderíamos classificar esse sistema como invariante
no tempo?
RESOLUÇÃO
CLASSIFICANDO O SISTEMA
MÃO NA MASSA
1. UM SISTEMA MULTIVARIÁVEL CONTENDO 10 ENTRADAS E 1 SAÍDA É CONHECIDO POR:
A) MIMO
B) SISO
C) SIMO
D) MISO
E) FIFO
2. COM RELAÇÃO AOS SISTEMAS CONTÍNUOSE AOS SISTEMAS DISCRETOS, É CORRETO AFIRMAR QUE, NOS
SISTEMAS:
A) Discretos, os sinais de resposta assumem apenas valores discretos.
B) Contínuos, os sinais de resposta assumem tanto valores contínuos como valores discretos.
C) Contínuos, os sinais de resposta existem apenas em determinados instantes de tempo.
D) Contínuos e também nos discretos, os sinais de resposta assumem valores contínuos.
E) Contínuos, a variável tempo é vista de forma discreta.
3. UM CIRCUITO QUE CONTÉM APENAS UM RESISTOR, UM CAPACITOR E UM DIODO APRESENTARÁ,
POSSIVELMENTE, UM COMPORTAMENTO:
A) Linear e causal.
B) Linear e não causal.
C) Não linear e causal.
D) Não linear e não causal.
E) Linear ou não linear, mas não causal.
4. SUPONHA QUE UMA MÁQUINA DE LAVAR ROUPAS TENHA SEU CICLO DE LAVAGEM INTERROMPIDO, AINDA
CHEIA DE ÁGUA E SABÃO, EM FUNÇÃO DA QUEDA DE ENERGIA POR PROBLEMAS COM A CONCESSIONÁRIA.
CONSIDEREMOS A MÁQUINA DE LAVAR COMO UM SISTEMA, EM QUE A ENTRADA É A ROUPA SUJA E A SAÍDA É
A ROUPA LAVADA PELA MÁQUINA. COM O RETORNO DA ENERGIA E A RETOMADA DE SEU CICLO, DO PONTO
DE VISTA DE CLASSIFICAÇÃO, ESSA SITUAÇÃO CARACTERIZA UM SISTEMA:
A) Variante no tempo
B) Não relaxado
C) Linear
D) Não causal
E) Não linear
5. CONSIDERE UMA FUNÇÃO F COMO UM SISTEMA QUE RECEBE VALORES EM X E FORNECE VALORES EM Y,
OU SEJA, Y = F(X). SE F(X) = X2. NESSE CASO, SERIA POSSÍVEL AFIRMAR QUE O SISTEMA É:
A) Linear, pois atende o princípio da superposição.
B) Linear, pois a função é invariante no tempo.
C) Não linear, pois a função é causal.
D) Não linear, pois não atende a propriedade de aditividade e nem a de homogeneidade.
E) Não linear, embora atenda a propriedade de aditividade.
6. CONSIDERE UMA FUNÇÃO F COMO UM SISTEMA QUE RECEBE VALORES EM X E FORNECE VALORES EM Y,
OU SEJA, Y = F(X). SE F(X) = 4X, ENTÃO SERIA POSSÍVEL AFIRMAR QUE O SISTEMA É:
A) Linear, pois atende o princípio da superposição.
B) Linear, pois a função é variante no tempo.
C) Não linear, pois a função é não causal.
D) Não linear, pois não atende a propriedade de aditividade nem a de homogeneidade.
E) Não linear, embora atenda a propriedade de homogeneidade.
GABARITO
1. Um sistema multivariável contendo 10 entradas e 1 saída é conhecido por:
A alternativa "D " está correta.
Nesse caso, em particular, o sistema é multivariável, visto que possui 10 entradas. Contudo, é um caso particular do sistema MIMO, pois apresenta
uma única saída. Logo, é denominado sistema MISO (multiple input single output).
2. Com relação aos sistemas contínuos e aos sistemas discretos, é correto afirmar que, nos sistemas:
A alternativa "D " está correta.
Nos sistemas discretos, o que ocorre de forma discreta é a variável tempo. Todos os sinais de entrada e de saída assumem valores quaisquer reais.
3. Um circuito que contém apenas um resistor, um capacitor e um diodo apresentará, possivelmente, um comportamento:
A alternativa "C " está correta.
Quando o diodo está reversamente polarizado, apresenta um comportamento não linear. Os sistemas não causais são abstrações matemáticas e,
consequentemente, não podem ser materializados em um circuito.
4. Suponha que uma máquina de lavar roupas tenha seu ciclo de lavagem interrompido, ainda cheia de água e sabão, em função da queda
de energia por problemas com a concessionária. Consideremos a máquina de lavar como um sistema, em que a entrada é a roupa suja e a
saída é a roupa lavada pela máquina. Com o retorno da energia e a retomada de seu ciclo, do ponto de vista de classificação, essa situação
caracteriza um sistema:
A alternativa "B " está correta.
MÁQUINA DE LAVAR
Veja a resolução no vídeo a seguir:
5. Considere uma função f como um sistema que recebe valores em x e fornece valores em y, ou seja, y = f(x). Se f(x) = x2. Nesse caso,
seria possível afirmar que o sistema é:
A alternativa "D " está correta.
LINEARIDADE
Veja a resolução no vídeo a seguir:
6. Considere uma função f como um sistema que recebe valores em x e fornece valores em y, ou seja, y = f(x). Se f(x) = 4x, então seria
possível afirmar que o sistema é:
A alternativa "A " está correta.
Observe que, se y1 = f(x1), então f(ax1) = 4ax1 = a4x1 = ay1. Portanto, f atende a propriedade da homogeneidade. Da mesma forma, se y2 = f(x2),
então f(x1 + x2) = 4(x1 + x2) = 4x1 + 4x2 = y1 + y2. Portanto, f atende a propriedade da aditividade. Logo, f seria um sistema linear.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O OPERADOR H COMO UM SISTEMA QUE RECEBE O SINAL X(T) E FORNECE, COMO RESPOSTA,
O SINAL Y(T), OU SEJA, Y(T) = H(X(T)). SE H(X(T)) = 5 DX(T)/DT, ENTÃO É CORRETO AFIRMAR QUE H(·) É UM
OPERADOR:
A) Linear, pois atende o princípio da superposição.
B) Não linear, pois não atende a propriedade da homogeneidade.
C) Não linear, pois não atende a propriedade da aditividade.
D) Não linear, pois não atende nem a propriedade da homogeneidade nem da aditividade.
E) Não linear, pois atende o princípio da superposição.
2. ANALISANDO UM CIRCUITO RC COMO UM SISTEMA, É CORRETO AFIRMAR QUE SEU COMPORTAMENTO
SERÁ, PREDOMINANTEMENTE:
A) Não causal.
B) Variante no tempo.
C) Não linear, podendo estar relaxado ou não.
D) Estocástico.
E) Linear, podendo estar relaxado ou não.
GABARITO
1. Considere o operador H como um sistema que recebe o sinal x(t) e fornece, como resposta, o sinal y(t), ou seja, y(t) = H(x(t)). Se
H(x(t)) = 5 dx(t)/dt, então é correto afirmar que H(·) é um operador:
A alternativa "A " está correta.
 
Para verificar se um sistema é linear, basta testar as propriedades da aditividade e da homogenei dade. Assim, no caso da aditividade, considere que
y1=H(x1) e y2=H(x2). Seja yS a saída para a en trada x1 + x2 , então: yS = H(x1 + x2) = 5 d(x1 + x2)/dt = 5 dx1/dt + 5 dx2/dt = y1 + y2.
Como yS corresponde à soma das respostas de x1 e x2 , o operador H(·) atende a propriedade da aditividade. Para testar a homogeneidade,
considere yS a saída para a entrada ax1, com a sendo um escalar não nulo. Assim:yS = H(ax1) = 5 d(ax1)/dt = a5 dx1/dt = ay1.
Como a saída yS corresponde à saída y1 amplificada no mesmo valor a que a entrada x1, o operador H(·) atende a propriedade da homogeneidade.
Portanto, H(·) é um operador linear.
2. Analisando um circuito RC como um sistema, é correto afirmar que seu comportamento será, predominantemente:
A alternativa "E " está correta.
 
Considerando que a corrente elétrica que passa por um capacitor é proporcional à derivada da tensão a que este se encontra submetido, pode-se
vislumbrar que as relações entre as tensões e as correntes no circuito se darão por meio equações diferenciais ordinárias, com coeficientes
constantes. Dessa forma, é possível afirmar que o circuito apresentará um comportamento linear. O fato de estar relaxado ou não corresponde às
situações do capacitor estar inicialmente descarregado ou com alguma tensão entre seus terminais.
MÓDULO 2
 Formular modelos em espaço de estado para os sistemas dinâmicos
INTRODUÇÃO
Neste módulo, será apresentada a modelagem em espaço de estado de sistemas dinâmicos, empregada na teoria de controle moderno, que é
desenvolvida no domínio do tempo.
Esse tipo de modelo é muito utilizado em aplicações de controle, para a análise e simulação de sistemas, principalmente nos casos de maior ordem
e complexidade, que necessitam de computadores digitais.
Nesses modelos, as leis que regem a dinâmica do sistema são organizadas sob a forma de um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem,
em que surgem três tipos de variáveis, ou seja, as variáveis de estado, as variáveis de entrada e as variáveis de saída. 
Como será discutido mais adiante, um mesmo sistema poderá ser modelado por meio de inúme ras realizações em espaço de estado. De acordo
com OGATA (2003), se os fenômenos envolvidos puderem ser expressos por equações diferenciais ordinárias, os modelos em espaço de estado
encontram aplicabilidade não somente nos sistemas físicos que surgem nos ramos de engenharia, mas também em sistemas biológicos,
econômicos,sociais e outros.
Na teoria de controle clássico, o modelo matemático utilizado se encontra sob a forma de função de transferência. Logicamente, conforme será visto,
para um mesmo sistema, haverá uma corres pondência entre a sua função de transferência e os modelos em espaço de estado. Isso quer dizer que,
conhecida a função de transferência, será possível transformá-la em um modelo em espa ço de estado. Essa operação é conhecida, na literatura, por
realização da função de transferên cia. Da mesma forma, conhecido um modelo em espaço de estado, será possível calcular e deter minar sua
correspondente função de transferência.
CONCEITOS BÁSICOS
Antes de prosseguir, considere alguns conceitos básicos sobre esse tipo de modelo, conforme abordado em Ogata (2003) e Franklin, Powell e Naeini
(2013):
ESTADO
O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis, conhecidas por variáveis de estado, tais que o conhecimento delas no instante t
= t0, juntamente com o sinal de entrada u(t) para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0. 
VARIÁVEIS DE ESTADO
Consiste no menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado do sistema dinâmico modelado. Se, pelo menos, n variáveis x1, x2, ..., xn são
necessárias para descrever o comportamento do sistema dinâmico e, sendo conhecidos o sinal de entrada u(t) para t ≥ t0, bem como o estado inicial
do sistema em t = t0, então os estados futuros desse sistema poderão ser completamente determinados para qualquer t > t0, e esse conjunto de n
variáveis será chama do de variáveis de estado. 
Observe que os estados futuros são os valores assumidos pelas variáveis de estado em certo instante t > t0, isto é: x1(t), x2(t), ..., xn(t). 
O valor de n também determina a ordem do modelo em espaço de estado.
 EXEMPLO
Se n = 2, então teremos dois estados: x1 e x2; e um modelo em espaço de estado de 2ª ordem.
Dependendo da forma como são escolhidas, as variáveis de estado podem apresentar um significado físico e serem, inclusive, mensuráveis na
prática, ou apresentar apenas um sentido matemático.
 EXEMPLO
Em determinado modelo de um circuito RLC, o estado x1 pode representar a tensão sobre o capacitor.
Também é possível determinar modelos em espaço de estado para um sistema, sem que os esta dos apresentem significado físico, isto é, com estes
sendo apenas variáveis matemáticas. Nesses casos, a correspondência entre o sistema real e o modelo, quando este estiver bem ajustado, será
dada somente em relação ao sinal de saída y(t), visto que ambos serão submetidos ao mesmo sinal de entrada u(t) e terão iniciado seus
funcionamentos a partir das mesmas condições iniciais.
VETOR DE ESTADO
É o vetor que contém, ordenadamente, as n variáveis necessárias para descrever o comportamento dinâmico do sistema modelado. O vetor é
designado, normalmente, por x ou x. Desse modo, o vetor de estado será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x–– =
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
x1
x2
⋮
xn
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
ESPAÇO DE ESTADO
É o espaço n-dimensional gerado pelas variáveis de estado, com cada uma delas formando um dos eixos de coordenadas. Assim, por exemplo, em
um sistema de 2ª ordem, existiriam duas variáveis de estado: x1 e x2. O vetor de estado seria x = [x1 x2]T, e o espaço de esta do seria a região do
plano x1 x x2, contendo os possíveis valores das trajetórias do vetor de estado. Se x1 e x2 puderem assumir quaisquer valores reais, então o espaço
de estado será o próprio espa ço vetorial R2.
MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO
O modelo em espaço de estado é formado pelas equações de estado e pelas equações algébricas de saída. Nessas equações, existem três tipos de
variáveis, isto é:
OS ESTADOS
x1(t), x2(t), ... , xn(t)
AS ENTRADAS
u1(t), u2(t), ...
AS SAÍDAS
y1(t), y2(t), ...
Assim, por exemplo, simplificando a notação, em um modelo em espaço de estado de 3ª ordem, SISO, existiriam as seguintes variáveis: estados
x1=x1(t), x2 e x3; entrada u1 e saída y1. 
Se fosse um modelo MIMO de 4ª ordem, com três entradas e duas saídas, existiriam as seguintes variáveis: estados x1, x2, x3 e x4; entradas u1, u2
e u3, e saídas y1 e y2. 
As equações de estado são aquelas em que a primeira derivada de cada estado é escrita em fun ção dos estados, das entradas e, no caso de
modelos variantes no tempo, com a dependência explícita de t. 
Assim, as equações de estado seriam apresentadas da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo equivalente, as equações algébricas de saída poderiam ser escritas como:
⋅
x1 = = f1(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⋅
x2 = = f2(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⋮
⋅
xn = = fn(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
dx1(t)
dt
dx2(t)
dt
dxn(t)
dt
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, em termos gerais, o modelo contínuo em espaço de estado pode ser apresentado como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que x é o vetor de estados e y é o vetor de saídas, de acordo com:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo f e g os vetores contendo, respectivamente, as funções dos estados e as funções de saída:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y1(t) = g1(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
y2(t) = g2(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⋮
ym(t) = gm(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
ẋ––(t) = f––(x––,u––, t)
y
–
(t) = g
–
(x––,u––, t)
x––(t)=
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
x1(t)
x2(t)
⋮
xn(t)
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
y
–
(t)=
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
y1(t)
y2(t)
⋮
ym(t)
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
f
––
(x––,u––, t)=
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
f1(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
f2(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⋮
fn(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
g
–
(x––,u––, t)=
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
g1(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
g2(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⋮
gn(x1,x2, … ,xn,u1,u2, … ,ur, t)
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
Nesse tema, os modelos considerados serão lineares e invariantes no tempo. Dessa forma, não haverá uma dependência explícita com a variável de
tempo t no modelo. Além disso, por se rem lineares, as funções f1, f2, ... das equações de estado se apresentarão sob a forma de combi nações
lineares dos estados e das entradas, de acordo com:
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim como as funções g1, g2, ... nas equações de saída:
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reescrevendo as equações em (1) e (2) sob a forma matricial, chega-se no formato tradicional dos modelos contínuos em espaço de estado para
sistemas lineares [1, 2]:
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que A, B, C e D são as matrizes que definem o modelo em espaço de estado.
MATRIZES DO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO
As matrizes do modelo são denominadas da seguinte forma: 
A – matriz da dinâmica ou matriz de estado;
B – matriz de entrada;
C – matriz de saída;
D – matriz de transmissão direta. 
É importante observar que essas matrizes do modelo em espaço de estado devem possuir dimen sões compatíveis com o sistema que estiver sendo
modelado.
Agora, veremos dois exemplos para entender melhor. Considere, no exemplo 1, a questão das dimensões das matrizes A, B, C e D do modelo em
espaço de estado.
ẋ1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn + b11u1 + … + b1rur
ẋ2 = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn + b21u1 + … + b2rur
⋮
ẋn = an1x1 + an2x2 + … + annxn + bn1u1 + … + bnrur
y1 = c11x1 + c12x2 + … + c1nxn + d11u1 + … + d1rur
y2 = c21x1 + c22x2 + … + c2nxn + d21u1 + … + d2rur
⋮
ym = cm1x1 + cm2x2 + … + cmnxn + dm1u1 + … + dmrur
ẋ––(t) = Ax––(t) + Bu––(t)
y
–
(t) = Cx––(t) + Du––(t)
EXEMPLO 1
Considere um sistema de 4ª ordem, MISO, com 2 entradas. Quais seriam as dimensões das matrizes A, B, C e D do modelo em espaçode estado? 
RESOLUÇÃO
Como o sistema é de 4ª ordem, o vetor de estado x ∈ R4x1. Além disso, como existem 2 entradas, a dimensão do vetor de entradas será u ∈ R2x1.
Analisando as dimensões das matrizes e dos vetores nas equações de estado, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
para que as operações matriciais sejam viáveis, A ∈ R4x4 e B ∈ R4x2. Da mesma forma, analisando as equações de saída:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível concluir que C ∈ R1x4 e D ∈ R1x2.
No exemplo, a seguir, apresenta-se como poderão ser calculadas as matrizes A, B, C e D do modelo em espaço de estado em um circuito linear.
EXEMPLO 2 
Considere o circuito RC, na Figura 4, com R1=2 Ω e C1=3 F, em que vi(t) é o sinal de tensão submetido na entrada do circuito e vo(t) é o sinal de
tensão sobre o capacitor, escolhido como a saída do sistema. 
 
Fonte: Autor
 Figura 4 – Circuito RC.
Observe que o circuito inserido no retângulo pontilhado, na Figura 4, pode ser visto como um sistema, tendo por entrada o sinal vi(t) e por saída o
sinal vo(t), conforme está ilustrado na Figura 5:
[4 × 1] = A[4 × 1] + B[2 × 1]
[1 × 1] = C[4 × 1] + D[2 × 1]
 
Fonte: Autor
 Figura 5 – Circuito RC visto como um sistema, com entrada vi(t) e saída vo(t).
Determine um modelo em espaço de estado para o circuito do sistema na Figura 5.
RESOLUÇÃO
Como existe apenas uma malha no circuito, considere i(t) a corrente que circulará nessa malha. Como i(t) passa pelo capacitor, tem-se:
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, pela Lei de Kirchhoff das tensões:
 (5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (4) em (5), obtém-se:
 (6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que corresponde à equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona a variável de saída vo(t) com a variável de entrada vi(t). A ordem do modelo em
espaço de estado equivalerá à ordem da EDO. Como a EDO é de 1ª ordem (maior grau entre as derivadas existentes), haverá apenas um estado no
modelo. 
Reescrevendo a equação em (6):
 (7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um passo importante na determinação do modelo em espaço de estado é a escolha dos sinais que serão utilizados como estados. Vamos adotar
como estado a tensão sobre o capacitor, isto é, x1(t)= vo(t). Além disso, como existe somente um único estado x = [x1] = [vo]. Dado que o sistema é
do tipo SISO e há apenas um estado, as dimensões das matrizes do modelo serão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
i(t)= C1
dvo(t)
dt
vi(t) = R1i(t) + vo(t)
vi(t) = R1C1 + vo(t)
dvo(t)
dt
v̇o(t)= = − vo(t)+ vi(t)
dvo(t)
dt
1
R1C1
1
R1C1
A1×1;  B1×1;  C1×1  e  D1×1
Utilizando (7) e sabendo que x = [x1] = [vo], chega-se a:
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse exemplo, a equação de estado em (8) corresponde à equação em (4). A equação de saída é o estado x1, portanto:
 (9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando as equações (8) e (9), determina-se o modelo em espaço de estado:
 (10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, substituindo os valores de R1 e C1, chega-se aos valores numéricos das matrizes que definem o modelo em espaço de estado do
circuito RC da Figura 4:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observações:
Em circuitos lineares, a atribuição dos estados deve, preferencialmente, recair sobre as tensões dos capacitores e sobre as correntes que
passam pelos indutores;
Em circuitos lineares, a ordem da EDO corresponde, normalmente, ao número de elementos reativos existentes no circuito, isto é, à soma do
número de capacitores e indutores no circuito;
O número de estados do modelo em espaço de estado equivale à ordem da EDO, que relaciona o sinal de entrada com o sinal de saída.
A seguir, apresenta-se a modelagem em espaço de estado de um sistema mecânico.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o sistema mecânico do tipo massa-mola, ilustrado na Figura 6. A entrada desse sistema é a força F(t) aplicada sobre o bloco de massa M
e, o sinal de saída, será a posição y(t) do bloco. A superfície em que se desloca o bloco não apresenta atrito. O bloco encontra-se inicialmente em
repouso.
ẋ(t)= [− ]x(t) +[ ]vi(t)1R1C1
1
R1C1
vo(t) =[1]x(t) +[0]vi(t)
⎧
⎨⎩
ẋ(t) = [− ]x(t) +[ ]vi(t)
vo(t) =[1]x(t) +[0]vi(t)
1
R1C1
1
R1C1
A = [−1/6];  B = [1/6];  C = [1]  e  D = [0].
 
Fonte: Autor
 Figura 6 – Conjunto massa-mola-amortecedor.
De forma simplificada, o conjunto mecânico massa-mola-amortecedor, na Figura 6, pode ser visto como o sistema na Figura 7:
 
Fonte: Autor
 Figura 7 – Conjunto massa-mola-amortecedor visto como um sistema.
Determine o modelo em espaço de estado para o sistema mecânico na Figura 7.
RESOLUÇÃO
MODELANDO E ESPAÇO DE ESTADO
MÃO NA MASSA
1. COMO É DENOMINADA A MATRIZ D DO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO?
A) Matriz de transição de estado
B) Matriz de entradas
C) Matriz de saída
D) Matriz de transmissão direta
E) Matriz de transmissão indireta
2. EM UM SISTEMA SISO DE 4ª ORDEM, MODELADO EM ESPAÇO DE ESTADO, QUAIS SÃO AS DIMENSÕES DA
MATRIZ DE SAÍDA?
A) 4 x 1
B) 1 x 4
C) 4 x 4
D) 1 x 1
E) 2 x 4
3. EM UM SISTEMA MIMO DE 5ª ORDEM, COM 4 ENTRADAS E 2 SAÍDAS, QUAIS SÃO AS DIMENSÕES DA MATRIZ
DA DINÂMICA EM SUA REALIZAÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO?
A) 4 x 2
B) 2 x 4
C) 2 x 2
D) 4 x 4
E) 5 x 5
4. EM UM CIRCUITO RLC PASSIVO, CONTENDO VÁRIOS RESISTORES, DOIS CAPACITORES E UM INDUTOR, QUAL
DEVERÁ SER, PROVAVELMENTE, A ORDEM DO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO DO SISTEMA MASSA-MOLA: 
 
 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE X1 REPRESENTA A POSIÇÃO DO BLOCO DE MASSA E X2 SUA VELOCIDADE. SE, AO ESTADO X1, FOR
ATRIBUÍDA A VELOCIDADE DO BLOCO E, AO X2, A POSIÇÃO, COMO FICARIA A NOVA MATRIZ DE SAÍDA?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
ẋ–– = [
0 1
]x–– +[
0
]F(t)−k
M
−b
M
1
M
y(t) = [1 0]x–– + [0]F(t)
[ 0 0 ]
[ 0 1 ]
[ 1 0 ]
[ 1 1 ]
[ 2 0 ]
6. SE AS MATRIZES DE UM MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO POSSUEM UMA DAS DIMENSÕES COMO A: 4; B: 1;
C: 4 E D: 1, ENTÃO ESSE MODELO PODE SER:
A) MIMO, de 4ª ordem.
B) SISO, de 2ª ordem.
C) SIMO, de 4ª ordem.
D) MIMO, com 2 entradas.
E) MIMO, com 4 saídas.
GABARITO
1. Como é denominada a matriz D do modelo em espaço de estado?
A alternativa "D " está correta.
A matriz D apresenta esse nome, pois interliga, diretamente, a entrada do sistema com sua saída.
2. Em um sistema SISO de 4ª ordem, modelado em espaço de estado, quais são as dimensões da matriz de saída?
A alternativa "B " está correta.
A matriz de saída é a matriz C do modelo, que relaciona os estados com as variáveis de saída. Como o modelo é SISO, possui apenas uma saída e,
por ser de 4ª ordem, apresenta quatro estados. Assim, como a matriz C pré-multiplica o vetor de estados, que é 4 x 1, ela deverá apresentar as
dimensões 1 x 4, a fim de gerar o sinal de saída.
3. Em um sistema MIMO de 5ª ordem, com 4 entradas e 2 saídas, quais são as dimensões da matriz da dinâmica em sua realização em
espaço de estado?
A alternativa "E " está correta.
DIMENSÕES DO MODELO
Veja a resolução no vídeo a seguir:
4. Em um circuito RLC passivo, contendo vários resistores, dois capacitores e um indutor, qual deverá ser, provavelmente, a ordem do
modelo em espaço de estado?
A alternativa "C " está correta.
O total de elementos reativos (dois capacitores e um indutor) no circuito RLC determinará a ordem da EDO e, consequentemente, do modelo em
espaço de estado, a menos que os capacitores estejam em série ou em paralelo. Assim,a ordem será 2 + 1 = 3.
5. Considere o seguinte modelo em espaço de estado do sistema massa-mola: 
 
 
 
ẋ–– = [
0 1
]x–– +[
0
]F(t)−k
M
−b
M
1
M
y(t) = [1 0]x–– + [0]F(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que x1 representa a posição do bloco de massa e x2 sua velocidade. Se, ao estado x1, for atribuída a velocidade do bloco e, ao x2, a
posição, como ficaria a nova matriz de saída?
A alternativa "B " está correta.
Se fizermos x=[x2 x1]T, os coeficientes na matriz de saída também serão invertidos, mas a equação de saída será mantida, isto é, continuará
fornecendo a posição do bloco. Assim, C=[0 1].
6. Se as matrizes de um modelo em espaço de estado possuem uma das dimensões como A: 4; B: 1; C: 4 e D: 1, então esse modelo pode
ser:
A alternativa "C " está correta.
TIPO DE MODELO
Veja a resolução no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O SEGUINTE MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO DO SISTEMA MASSA-MOLA: 
 
 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE X1 REPRESENTA A POSIÇÃO DO BLOCO DE MASSA E X2 SUA VELOCIDADE. SE FOR ESCOLHIDO COMO
ESTADO X1 A VELOCIDADE DO BLOCO E PARA O ESTADO X2, A SUA POSIÇÃO, QUAL SERÁ O NOVO VALOR DO
ELEMENTO A12 DA MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE ESTADOS?
A) 1
B) 0
C) b/M
D) –b/M
ẋ–– = [
0 1
]x–– +[
0
]F(t)−k
M
−b
M
1
M
y(t) = [1 0]x–– + [0]F(t)
E) –k/M
2. EM UM SISTEMA LINEAR SISO, MODELADO SOB A FORMA DE ESPAÇO DE ESTADO COM 3 ESTADOS, QUAIS
SERIAM AS DIMENSÕES DA MATRIZ DE ENTRADA B?
A) 1 x 2
B) 2 x 1
C) 1 x 3
D) 3 x 1
E) 3 x 3
GABARITO
1. Considere o seguinte modelo em espaço de estado do sistema massa-mola: 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que x1 representa a posição do bloco de massa e x2 sua velocidade. Se for escolhido como estado x1 a velocidade do bloco e para o
estado x2, a sua posição, qual será o novo valor do elemento a12 da matriz de transição de estados?
A alternativa "E " está correta.
 
Ao alterar a posição de um estado no vetor, haverá uma reorganização das equações de estado. Os elementos das matrizes serão os mesmos,
apenas em posições diferentes, e continuam multiplicando os mesmos estados. Com a alteração da ordem dos dois estados, o elemento a21 passa
a ser o a12.
2. Em um sistema linear SISO, modelado sob a forma de espaço de estado com 3 estados, quais seriam as dimensões da matriz de entrada
B?
A alternativa "D " está correta.
 
Como o sistema é SISO, possuirá apenas uma entrada e uma saída. Além disso, existem 3 estados, de forma que o vetor x ∈ R3x1. Analisando as
equações de estado de maneira que as dimensões das matrizes e vetores permitam realizar as operações matemáticas necessárias:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
conclui-se que A ∈ R3x3 e B ∈ R3x1, que é a única possibilidade.
MÓDULO 3
 Calcular realizações de funções de transferência de sistemas dinâmicos
ẋ–– = [
0 1
]x–– +[
0
]F(t)−k
M
−b
M
1
M
y(t) = [1 0]x–– + [0]F(t)
[3 × 1] = A[3 × 1] + B[1 × 1]
INTRODUÇÃO
Neste módulo, apresentaremos como poderá ser feita a realização de uma função de transferência, que significa a determinação de um modelo em
espaço de estado correspondente. Além disso, também mostraremos como se calcula a função de transferência, a partir de um modelo em espaço
de estado que tenha sido fornecido. 
Tanto as funções de transferência como os modelos em espaço de estado são tipos de modelos que permitem representar a dinâmica de sistemas
físicos. Nesse sentido, seria razoável existirem mecanismos que transformassem a função de transferência em um modelo de espaço de estado, e
vice-versa.
REALIZAÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Ocorre que, para determinado sistema, a sua representação sob a forma de função de transferência é única. O mesmo já não ocorre para as
representações sob a forma de espaço de estado. Isso quer dizer que, conhecida a função de transferência, existirão diversas possibilidades para
representá-la sob a forma de espaço de estado. Por outro lado, essa gama de modelos em es paço de estado, quando transformados, chegarão na
mesma função de transferência. 
Na Figura 8, encontra-se ilustrada a situação descrita.
 
Fonte: Autor
 Figura 8 – Modelagem de um sistema por função de transferência e em espaço de estado.
Basicamente, existem duas maneiras de obter um modelo em espaço de estado a partir da função de transferência. 
A primeira pode ser por meio da utilização da transformada inversa de Laplace na função de transferência, obtendo-se a equação diferencial
ordinária (EDO) da dinâmica do sistema analisado, entre as variáveis de entrada e de saída. Em seguida, utiliza-se o processo do exemplo 2, visto
no módulo 2, escolhendo-se convenientemente o sinal que será atribuído a cada estado, para a de terminação do modelo em espaço de estado.
Vantagem
A vantagem, nesse caminho, é que os estados apresentarão significado físico, isto é, são sinais que existirão no sistema modelado, como tensões
elétricas, correntes elétricas, velocidades lineares etc.

Desvantagem
A desvantagem é que uma má escolha dos sinais que serão considerados estados poderá levar a um insucesso na obtenção do modelo em espaço
de estado.
Essa primeira maneira será ilustrada no exemplo a seguir.
EXEMPLO 3 
Considere o seguinte circuito RC:
 
Fonte: Autor
 Figura 9 – Circuito RC
Determine a FT do circuito e transforme na EDO, de maneira que o modelo em espaço de estado possa ser determinado em seguida.
RESOLUÇÃO
Tendo em vista que se deseja encontrar a função de transferência do circuito, o circuito RC será redesenhado na Figura 10, no domínio da
frequência, substituindo cada componente por sua correspondente impedância.
 
Fonte: Autor
 Figura 10 – Circuito RC no domínio da frequência.
Como se trata de um circuito simples, a função de transferência pode ser calculada diretamente por meio do divisor de tensão. Assim:
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a EDO, basta manipular a equação em (16), de modo que:
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, aplicar a transformada inversa em (17):
G(s)= = =
Vo(s)
Vi(s)
1/sC1
R1+1/sC1
1
R1C1s+1
(R1C1s + 1)Vo(s) = Vi(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir desse ponto, basta seguir a solução do exemplo 2 para obter uma realização em espaço de estado.
A segunda maneira, que é a mais usual, consiste na utilização de uma realização canônica. Segundo Ogata (2003) e Franklin, Powell e Naeini
(2013), as realizações canônicas mais conhecidas são:
OBSERVADOR
OBSERVABILIDADE
CONTROLADOR
CONTROLABILIDADE
A transformação da função de transferência em um modelo em espaço de estado acaba sendo um processo mecânico. Os coeficientes dos
polinômios do numerador e do denominador da função de transferência são substituídos, diretamente, em determinadas posições das matrizes do
modelo em espaço de estado, levando a determinação das matrizes A, B, C e D.
Vantagem
A vantagem desse modo é que a metodologia sempre funcionará, independentemente da realização canônica escolhida.

Desvantagem
A desvantagem, entretanto, é que os estados dos modelos obtidos não possuirão significado físico, ou seja, serão apenas variáveis matemáticas que
auxiliam no cálculo da resposta (sinal de saída) desses modelos.
Considere uma função de transferência no seguinte formato:
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função de transferência deve ser própria para que seja realizável. Dividindo o poli nômio do numerador pelo o do denominador, é
possível reescrever G(s) como:
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
R1C1 + vo(t)= vi(t)
dvo(t)
dt
G(s)= c0s
n+c1sn−1+⋯+cnsn+a1sn−1+⋯+an
G(s) = c0 +
b1s
n−1+b2sn−2+⋯+bn
sn+a1sn−1+⋯+an
Nesse formato, é possível realizar a função de transferência em (19), substituindo seus coeficien tes nas posições indicadas das matrizes A, B, C e D
do modelo em espaço de estado, conforme indicado a seguir:
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa realização é conhecida como forma canônica observador. 
Observe que o valor na matriz D (transmissão direta) do modelo corresponde à razão dos termos de maior grau dos polinômios do numerador e do
denominador em (18), quando estes possuem o mesmo grau. Se, na função de transferência, o grau do polinômio do numerador é menor do que o
do denominador, então, D = 0. 
O exemplo 4, a seguir, apresenta como poderá ser feita a realização de uma FT.
EXEMPLO 4
Encontre uma realização para a seguinte função de transferência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Reescrevendo a função de transferência, dividindo o polinômio no numerador pelo o denominador, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, é possível determinar a realização canônica observador, substituindo os coeficientes da função de transferência como:
ẋ =
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
−a1 1 0 ⋯ 0
−a2 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
−an−1 0 0 ⋯ 1
−an 0 0 ⋯ 0
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
x +
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
b1
b2
⋮
bn−1
bn
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
u
y =[ 1 0 ⋯ 0 ]x–– + [c0]u
G(s)= 2s
3+13s2+31s+32
s3+6s2+11s+6
G(s) = 2 + s
2+9s+20
s3+6s2+11s+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É comum ver representações gráficas de uma realização. Partindo da realização canônica observa dor em (20), verifica-se que a primeira equação de
estado é:
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que pode ser implementada por meio do diagrama em blocos na Figura 11:
 
Fonte: Autor
 Figura 11 – Implementação em diagrama da equação (21).
No diagrama, o elemento integrador corresponde à memória do modelo. Compondo analogamente as demais equações do modelo em (20), obtém-
se o diagrama em blocos da realização canônica observador, conforme é indicado na Figura 12.
 
Fonte: Autor
 Figura 12 – Diagrama em blocos da realização canônica observador.
Da mesma forma que a realização canônica observador, existem outras realizações conhecidas. A seguir encontra-se a realização canônica
controlador, que é a forma dual de (20):
ẋ–– =
⎡
⎢
⎣
−6 1 0
−11 0 1
−6 0 0
⎤
⎥
⎦
x–– +
⎡
⎢
⎣
1
9
20
⎤
⎥
⎦
u
y =[ 1 0 0 ]x–– + [2]u
ẋ1 = − a1x1 + x2 + b1u
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que essa última realização pode ser obtida a partir da forma canônica observador, fazendo a transposta da matriz A e alternando-se as matrizes
B e C.
Ao empregar uma das formas canônicas para realizar determinada função de transferência, pressupõe-se que os polinômios do numerador e do
denominador não possuam fatores em comum. Em outras palavras, se existirem raízes comuns, essas deveriam ser eliminadas antes da
substituição dos coeficientes nas matrizes da realização canônica escolhida.
 COMENTÁRIO
Quando isso ocorre, a realiza ção é dita mínima. Se os fatores comuns não forem eliminados, teremos uma realização não mínima, e a ordem do
modelo será maior do que a necessária.
Vimos, no início deste módulo, que uma função de transferência pode ser realizada por diversos modelos em espaço de estado. Vejamos, agora,
como transformar um modelo em espaço de estado numa função de transferência.
CÁLCULO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A PARTIR DO MODELO
EM ESPAÇO DE ESTADO
Considere o seguinte modelo em espaço de estado de um sistema SISO:
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace em (23) e fazendo as condições iniciais nulas:
(24)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a primeira equação em (24):
ẋ =
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
−a1 −a2 ⋯ −an−1 −an
1 0 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0 0
0 0 ⋯ 1 0
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
x +
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
1
0
⋮
0
0
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
u
y =[ b1 b2 ⋯ bn ]x + [c0]u
ẋ––(t) = Ax––(t) + Bu(t)
y(t) = Cx––(t) + Du(t)
sX––(s) = AX––(s) + BU(s)
Y (s) = CX––(s) + DU(s)
(25)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (25) na segunda equação em (24):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente:
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exemplo, a seguir, apresenta a aplicação da fórmula em (26) para determinar a função de transferência.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o sistema massa-mola-amortecedor, com sua EDO e um modelo em espaço de estado:
 
Fonte: Autor
(sI − A)X––(s) = BU(s)
X––(s) = (sI − A)
−1
BU(s)
Y (s) = [C(sI − A)−1B + D]U(s)
G(s)= = C(sI − A)
−1
B + D
Y (s)
U(s)
M + b + ky(t)= F(t)
d2y(t)
dt2
dy(t)
dt
ẋ–– = [
0 1
]x–– +[
0
]F(t)−k
M
−b
M
1
M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calcule a sua função de transferência diretamente, a partir da EDO, e compare com a obtida a partir do modelo em espaço de estado.
RESOLUÇÃO
CÁLCULO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO , COMO FICARIA A MATRIZ DE SAÍDA NA FORMA CANÔNICA CONTROLADOR
NA REALIZAÇÃO DE G(S)?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. UTILIZANDO A FORMA CANÔNICA CONTROLADOR PARA REALIZAR , COMO FICARIA A MATRIZ
DE TRANSMISSÃO DIRETA?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. UTILIZANDO A FORMA CANÔNICA CONTROLADOR PARA REALIZAR , QUAL SERÁ O VALOR DO
ELEMENTO A12 DA MATRIZ DE ESTADOS?
y(t)= [1 0]x–– + [0]F(t)
G(s)=
( 5s+8 )
( s2+4 )
C  =  [8    5]
C  =  [5    8]
C  =  [1    4]
C  =  [4    1]
C  =  [4    8]
G(s)=
( 5s + 8 )
( s2+ 4 )
D  =  [0]
D  =  [2]
D  =  [4]
D  =  [5]
D  =  [8]
G(s)=
( 5s+8 )
( s2+4 )
A) +4
B) +1
C) 0
D) –1
E) –4
4. UTILIZANDO A FORMA CANÔNICA OBSERVADOR PARA REALIZAR , QUAL SERÁ O VALOR DO
ELEMENTO A21 DA MATRIZ DE ESTADOS?
A) +4
B) +1
C) 0
D) –1
E) –4
5. UTILIZANDO A FORMA CANÔNICA OBSERVADOR PARA REALIZAR , QUAL SERÁ O VALOR DO
ELEMENTO B21 DA MATRIZ DE ENTRADA?
A) +8
B) +5
C) +4
D) +1
E) 0
6. (PETROBRÁS – 2010) SEJA UM SISTEMA LINEAR E INVARIANTE NO TEMPO, DEFINIDO PELO SEU MODELO EM
ESPAÇO DE ESTADOS:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Y(S)/U(S) É:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
G(s)=
( 5s + 8 )
( s2+ 4 )
G(s)=
( 5s + 8 )
( s2+ 4 )
[ ẋ1
ẋ2
]=[−3 1
−2 1,5
][x1
x2
]+[ 1
4
]u
y =[ 1 0 ][x1
x2
]
(s + 2, 5)/(s2 + 1, 5s  + 3, 5)
(s + 2, 5)/(s2 + 1, 5s – 2, 5)  
(s + 2, 5)/(s2 + 3, 5s  + 1, 5)
(s + 1, 5)/(s2 + 3, 5s – 2, 5)
(s + 1, 5)/(s2 + 3, 5s + 1, 5)
1. Considerando , como ficaria a matriz de saída na forma canônica controlador na realização de G(s)?
A alternativa "B " está correta.
Nesse caso, pela função de transferência fornecida, b1= 5 e b2= 8. Pela forma canônica controlador, observa-se que a matriz C = [b1 b2] e,
consequentemente, C = [5 8].
2. Utilizando a forma canônica controlador para realizar , como ficaria a matriz de transmissão direta?
A alternativa "A " está correta.
Pela forma canônica controlador, verifica-se que o elemento da matriz D é a razão dos coeficientes de maior grau dos polinômios do numerador e do
denominador da função de transferência, quando o grau é o mesmo. No caso, o coeficiente em s2 no numerador é zero, logo D = [0].
3. Utilizando a forma canônica controlador para realizar , qual será o valor do elemento a12 da matriz de estados?
A alternativa "E " está correta.
REALIZAÇÃO CANÔNICA
Veja a resolução no vídeo a seguir:
4. Utilizando a forma canônica observador para realizar , qual será o valor do elemento a21 da matriz de estados?
A alternativa "E " está correta.
Utilizandoa forma canônica observador, nota-se que o elemento a21 da matriz de estados será obtido, nesse caso, a partir do termo independente do
polinômio no denominador da FT, que é 4. Assim, a21 = –4. 
5. Utilizando a forma canônica observador para realizar , qual será o valor do elemento b21 da matriz de entrada?
A alternativa "A " está correta.
Utilizando a forma canônica observador, ocorre que o elemento b21 da matriz de entrada cor responderá ao termo independente do polinômio no
numerador da FT, ou seja, b21 = 8.
6. (Petrobrás – 2010) Seja um sistema linear e invariante no tempo, definido pelo seu modelo em espaço de estados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função de transferência Y(s)/U(s) é:
A alternativa "B " está correta.
FT DA REALIZAÇÃO
G(s)=
( 5s+8 )
( s2+4 )
G(s)=
( 5s + 8 )
( s2+ 4 )
G(s)=
( 5s+8 )
( s2+4 )
G(s)=
( 5s + 8 )
( s2+ 4 )
G(s)=
( 5s + 8 )
( s2+ 4 )
[ ẋ1
ẋ2
]=[−3 1
−2 1,5
][ x1
x2
]+[ 1
4
]u
y =[ 1 0 ][ x1
x2
]
Veja a resolução no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A REALIZAÇÃO DE UM SISTEMA DE 1ª ORDEM COM AS SEGUINTES MATRIZES:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL DEVERÁ SER O POLINÔMIO DO NUMERADOR DA FT?
A) s + 2
B) 2s + 1
C) 2s + 12
D) 2s + 14
E) 4s + 4
2. CONSIDERE O MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO DO CIRCUITO RC A SEGUIR:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
QUAL É A SUA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA?
A) R1/(C1 s + 1)
B) 1/(R1C1 s + 1)
C) C1/(R1 s + 1)
D) 1/(C1 s + R1)
E) R1C1/(R1C1 s + 1)
GABARITO
1. Considere a realização de um sistema de 1ª ordem com as seguintes matrizes:
A = [–  6],  B = [+2],  C = [+1]  e  D = [+2]
⎧
⎨⎩
ẋ(t) = [− ]x(t) +[ ]vi(t)
vo(t) =[1]x(t) +[0]vi(t)
1
R1C1
1
R1C1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual deverá ser o polinômio do numerador da FT?
A alternativa "D " está correta.
 
Calculando a FT:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere o modelo em espaço de estado do circuito RC a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Qual é a sua função de transferência?
A alternativa "B " está correta.
 
Substituindo as matrizes do modelo em (26):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
o que coincide com a função de transferência determinada em (16) no exemplo 3, diretamente calculada a partir do circuito.
MÓDULO 4
 Analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos
INTRODUÇÃO
Neste módulo, serão apresentados os seguintes conceitos:
BIBO ESTABILIDADE
Se refere à estabilidade externa de um sistema dinâmico, analisado a partir de sua função de transferência. Permite determinar se o sistema é
estável ou instável do ponto de vista entrada-saída.
ESTABILIDADE INTERNA
A = [–  6],  B = [+2],  C = [+1]  e  D = [+2]
G(s) = C(s–A)−1B + D = 1(s– (– 6))−12 + 2 = 2/(s + 6) + 2 = (2s + 14)/(s + 6).
⎧
⎨⎩
ẋ(t) = [− ]x(t) +[ ]vi(t)
vo(t) =[1]x(t) +[0]vi(t)
1
R1C1
1
R1C1
G(s) = = 1[s − (− )]
−1
( )+0 = =Y (s)
U(s)
1
R1C1
1
R1C1
1
R1C1
s+ 1
R1C1
1
R1C1s+1
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Se refere à estabilidade interna de um sistema dinâmico, analisado a partir do modelo em espaço de estado que descreve o comportamento dos
vários blocos (subsistemas) que compõem esse sistema. Permite determinar, a partir do modelo, se o sistema é estável internamente ou não.
Um sistema é considerado instável quando a sua resposta cresce indefinidamente e sem uma dependência direta com a excitação na entrada. Na
prática, significa que uma das seguintes possibilidades ocorrerá com alguns dos equipamentos que compõem o sistema:
Poderão queimar, isto é, deixarão de funcionar corretamente após sofrer dano físico em algum componente ou no fusível de proteção.
OU
Em equipamentos mais sofisticados com determinadas proteções, o sinal de saída irá saturar em determinado nível e, dependendo da situação, a
operação normal não poderá ser retomada.
Além dos conceitos de estabilidade interna e externa, discutiremos também neste módulo que um sistema dinâmico apresenta infinitas realizações
em espaço de estado e que o mecanismo para modificar uma realização em outra é conhecido por transformação de similaridade.
BIBO ESTABILIDADE
Nos modelos sob a forma de função de transferência (FT), é possível analisar a estabilidade por meio das posições de seus polos no plano s. Os
polos de uma FT G(s) são as raízes do polinômio no denominador de G(s) ou, equivalentemente, os valores da variável complexa s que, quando
substi tuídos na função G(s), fazem com que ela tenda para infinito. 
Também é importante comentar o conceito de zero de uma FT, que são os valores da variável complexa s que, quando substituídos na função G(s),
fazem com que ela tenda para zero. As raízes do polinômio do numerador serão os zeros da FT.
EXEMPLO 5
Suponha a seguinte FT:
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine as posições dos polos e dos zeros de G(s).
RESOLUÇÃO
Para determinar os polos de G(s), basta calcular as raízes da equação s2+5s+6 = 0:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como e , então p1 e p2 são polos de G(s).
G(s)= 3s+6
s2+5s+6
s2 + 5s + 6  =  0
(s + 2)(s + 3) = 0 → s = p1 =– 2  ou  s = p2 =– 3
G(p1) = ∞ G(p2) = ∞
Da mesma forma, para calcular os zeros de G(s), basta encontrar a raiz de 3s+6 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como G(z1) = 0, z1 é um zero de G(s).
 OBSERVAÇÕES
Para que uma FT seja realizável, em outras palavras, para que uma FT possa ser transformada em um modelo em espaço de estado, o grau
do polinômio do denominador deverá ser maior ou igual ao do numerador.
O polinômio, no denominador da função de transferência, é conhecido como polinômio carac terístico.
A ordem da FT corresponde ao grau do polinômio do denominador.
Como os polos correspondem às raízes do polinômio do denominador, o número de polos será sempre o mesmo da ordem da FT.
O número de zeros finitos pode ser menor do que o número de polos, conforme o exemplo 5 acima. Entretanto, o número de zeros é sempre o
mesmo do número de polos. Observe que os zeros que estiverem faltando estarão no infinito. No exemplo 5, G(s) possui dois polos e um zero
finito. O segundo zero se encontra no infinito, pois G(∞) = 0 e, dessa forma, s = z2 = ∞ é um zero de G(s).
Visto o conceito de polos de uma função de transferência, é possível definir o conceito de BIBO (bounded input bounded output) estabilidade como:
Um sistema modelado pela FT G(s) será BIBO estável se todos os seus polos estiverem localizados no semiplano s esquerdo aberto.
Dizer que um sistema é BIBO estável significa que, quando a entrada do sistema for excitada com um sinal de amplitude limitada (finita), então o
sinal de resposta sempre será limitado (finito) e, consequentemente, o sistema será estável, pois não existe uma excitação possível que produza
uma resposta ilimitada. 
Na Figura 13, encontra-se ilustrada a região do plano s em que todos os polos deverão estar localizados para que a FT seja BIBO estável.
 
Fonte: Autor
 Figura 13 – Região no plano s em que os polos deverão estar localizados para que o sistema seja BIBO estável.
 EXEMPLO
3s + 6 = 3(s + 1)  = 0 → s = z1 =– 1
Como a FT G(s) em (28) possui todos os seus polos no semiplano s esquerdo, o sistema modelado por ela será BIBO estável. Para verificar se todos
os polos se encontram no semiplano s esquerdo, basta verificar que as partes reais das posições dos polos sejam todas negativas.
É importante observar que, se existir ao menos um polo da FT sobre o semiplano s direito ou sobre o eixo imaginário, o sistema modelado pela FT
não mais será BIBO estável. Além disso, cabe mencionar que as posições dos zerosnão influenciarão na estabilidade do sistema. Quando todos os
zeros de G(s) estiverem no semiplano s esquerdo, diz-se que o sistema é de fase mínima.
POR QUE TODOS OS POLOS DEVEM TER PARTE REAL NEGATIVA PARA
QUE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SEJA BIBO ESTÁVEL?
Suponhamos uma função de transferência genérica, como em (19). Como Y(s) = G(s)U(s) e U(s) é também uma função racional, no final Y(s),
também apresentará a mesma forma de G(s), ou seja, também será uma função racional. Logo, sempre poderá ser fatorada do seguinte modo, com
m ≤ n:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em seguida, decomposta em frações parciais como:
(29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, ao se aplicar a transformada inversa de Laplace para determinar a resposta y(t) no tempo, nota-se que y(t) apresentará o seguinte formato,
para t ≥ 0:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consequentemente, caso a parte real de ao menos um dos polos seja positiva, fará com que y(t) cresça indefinidamente, mostrando que o sistema
não será BIBO estável.
ESTABILIDADE INTERNA
Para tratar sobre estabilidade de modelos em espaço de estado, é importante conhecer o conceito de autovalor e autovetor de uma matriz
quadrada. 
Considere a seguinte equação:
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y (s)= k0(s−z1)(s−z2)⋯(s−zm)(s−p1)(s−p2)⋯(s−pn)
Y (s)= + + ⋯ +a1(s−p1)
a2
(s−p2)
an
(s−pn)
y(t) = a1ep1t + a2ep2t + ⋯ + anepnt
Av = λv
Em que A∈Rnxn é uma matriz quadrada, v∈Rn um vetor não nulo e λ um escalar. Nessas condições, λ é dito um autovalor da matriz A e v um
autovetor de A, associado ao autovalor λ.
 COMENTÁRIO
Normalmente, quando um vetor multiplica uma matriz quadrada, o resultado é outro vetor, com módulo e direção distintas do vetor inicial. O autovetor
é uma direção especial da matriz, pois o vetor que resulta na multiplicação apresenta a mesma direção do inicial, possuindo apenas o módulo modi -
ficado por um fator λ, que é o autovalor.
Para calcular os autovalores de uma matriz, deve-se realizar as seguintes operações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, como v é um vetor não nulo, para que o sistema de equações tenha solução, é necessário que:
(31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exemplo, a seguir, apresenta o cálculo dos autovalores de uma matriz.
EXEMPLO 6 
Calcule os autovalores da seguinte matriz:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Aplicando, novamente, a fórmula em (31), obtém-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os autovalores da matriz B são λ1 = +3 + j2 e λ2 = +3 – j2.
 OBSERVAÇÕES:
λv–Av = 0
(λI –  A)v = 0
det(λI –  A) = 0
B =[
3 2
−2 3
]
det(λI − B) = det([
λ − 3 −2
2 λ − 3
]) = (λ − 3)(λ − 3) + 4 = λ2 − 6λ + 13 = 0
O número de autovalores de uma matriz é o mesmo da dimensão dela.
Os autovalores de uma matriz real podem ser números reais ou complexos. Se forem complexos, surgirão como pares conjugados.
Para determinar os autovalores, será necessário o cálculo do determinante de uma matriz e, em seguida, das raízes de uma equação. Com
exceção de casos particulares, para matrizes com ordem superior a 3, esses cálculos poderão exigir a utilização de computador ou de
calculadora científica.
Iniciamos este módulo tratando sobre os polos de uma função de transferência e a relação da posição deles com a estabilidade do sistema.
NO ENTANTO, QUAL É A RELAÇÃO DESSES ASSUNTOS COM OS
AUTOVALORES DE UMA MATRIZ?
Um modelo sob a forma de espaço de estado será assintoticamente estável, se as partes reais de todos os autovalores da matriz de estado forem
negativos. Além disso, caso a realização seja mínima, todos os autovalores serão numericamente iguais aos polos da função de transferência
correspondente. Note que esse fato vincula uma função de transferência com suas correspondentes realizações em espaço de estado.
O exemplo, a seguir, mostra que os autovalores de uma realização são numericamente iguais aos polos da função de transferência.
EXEMPLO 7 
Considere a função de transferência apresentada no exemplo 5. Determine uma realização dessa função e calcule seus autovalores. Mostre que
esses autovalores coincidem com os polos da função de transferência.
RESOLUÇÃO
Por conveniência, será empregada a forma canônica controlador, apresentada em (22). Consequentemente, a realização da função de transferência
em (28) será:
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, no exemplo 5, as posições dos polos foram calculadas em s1=–2 e s2=–3.
Para determinar os autovalores no modelo em espaço de estado, basta aplicar a fórmula em (31) e calcular as raízes da equação. Assim:
ẋ–– =[
−5 −6
1 0
]x–– + [
1
0
]u
y =[ 3 6 ]x–– + [0]u
det(λ[
1 0
0 1
] − [
−5 −6
1 0
]) = det([
λ + 5 6
−1 λ
]) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consequentemente, λ1 = – 2 e λ2 = – 3. Note que os autovalores da matriz de estado coincidem, numericamente, com os polos da função de
transferência determinados no exemplo 5.
TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE
Considere o seguinte modelo sob a forma de espaço de estado, em que xa representa o vetor de estados, u o sinal de entrada e y o sinal de saída:
(33)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seja, então, T uma matriz quadrada, não singular, cuja dimensão equivale ao número de estados no vetor xa, de modo que um novo vetor de
estados xn possa ser obtido por meio de T:
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou, reescrevendo (34):
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo (35) na equação de estado em (33), obtém-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente, substituindo (35) na equação de saída em (33), chega-se ao seguinte modelo com o novo vetor de estado xn:
(36)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(λ + 5)λ + 6 = λ2 + 5λ + 6 = 0
ẋ––a = Ax––a + Bu
y = Cx––a + Du
x––n = Tx––a
x––a = T
−1x––n
T −1ẋ––n = AT
−1x––n + Bu
ẋ––n = TAT
−1x––n + TBu
ẋ––n = TAT
−1x––n + TBu
y = CT −1x––n + Du
Ora, como o modelo em (36) também relaciona a entrada u com a saída y, podemos afirmar que se trata de uma outra realização do mesmo sistema
representado pelo modelo em (33), com as seguintes matrizes:
(37)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A mudança de realização do sistema por meio de (37) é conhecida como transformação de simila ridade. Basta escolher uma matriz quadrada T, não
singular, com dimensão compatível, para gerar uma nova realização para o sistema. Dessa forma, é possível concluir que uma mesma função de
transferência apresenta infinitas realizações.
A seguir, ilustra-se uma aplicação da transformação de similaridade.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere a seguinte realização do sistema massa-mola-amortecedor:
 
Fonte: Autor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que x1 representa a posição do bloco de massa e x2 sua velocidade. Determine uma nova reali zação em que o estado x1 seja a velocidade do
bloco e o estado x2 seja a posição do bloco.
RESOLUÇÃO
TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE
An = TAT −1, Bn = TB, Cn = CT −1 e Dn = D
ẋ–– = [
0 1
]x–– +[
0
]F(t)−k
M
−b
M
1
M
y(t) = [1 0]x–– + [0]F(t)
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE A SEGUINTE MATRIZ:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
OS AUTOVALORES DA MATRIZ C SÃO:
A) –2 e 2
B) –2 e 4
C) –1 e –2
D) –4 e 2
E) 2 e 4
2. CONSIDERE A SEGUINTEFUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
É CORRETO AFIRMAR QUE O SISTEMA:
A) Será BIBO estável, pois todos os polos de G(s) estão no semiplano s direito.
B) Será BIBO estável, pois todos os polos de G(s) estão no semiplano s esquerdo.
C) Será BIBO estável, pois todos os zeros de G(s) estão no semiplano s esquerdo.
D) Não será BIBO estável, pois todos os polos de G(s) estão no semiplano s direito.
E) Não será BIBO estável, pois um dos polos de G(s) está no semiplano s direito.
3. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
O SISTEMA SERÁ BIBO ESTÁVEL?
A) Não, pois todos os polos de G(s) estão no semiplano s direito.
B) Não, pois todos os polos de G(s) estão sobre o eixo imaginário.
C) Sim, pois todos os polos de G(s) estão sobre o eixo imaginário.
D) Sim, pois todos os polos de G(s) estão no semiplano s direito.
E) Sim, pois todos os polos de G(s) estão no semiplano s esquerdo.
4. SE A É A MATRIZ DE ESTADO DE DETERMINADO SISTEMA:
C =[ 4 0
−1 −2
]
G(s)= 4s
2+24s+28
s2−2s−8
G(s)= 5s+8
s2+4
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ENTÃO, OS AUTOVALORES DO SISTEMA ESTARÃO EM:
A) –2 , –1 e +4
B) –1 , +3 e +5
C) –4 , –1 e +5
D) +1, +2 e +4
E) –1, +1 e +5
5. AO APLICAR UMA TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE NA REALIZAÇÃO DE UM SISTEMA, A NOVA
REALIZAÇÃO:
A) Manterá a mesma matriz da dinâmica
B) Manterá a mesma matriz de saída.
C) Manterá a mesma matriz de entrada.
D) Manterá o mesmo significado dos estados.
E) Possuirá os mesmos autovalores.
6. AO APLICAR UMA TRANSFORMAÇÃO DE SIMILARIDADE NA REALIZAÇÃO DE UM SISTEMA, A FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA DA NOVA REALIZAÇÃO:
A) Será a mesma da realização anterior.
B) Possuirá polos em outras posições.
C) Possuirá zeros em outras posições.
D) Poderá ter seus polos modificados.
E) Poderá aumentar a ordem.
GABARITO
1. Considere a seguinte matriz:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os autovalores da matriz C são:
A alternativa "B " está correta.
Ao aplicar a fórmula (31), chega-se na equação (λ – 4)(λ + 2) = 0, cujas raízes –2 e 4 são os autovalores da matriz C.
2. Considere a seguinte função de transferência de um sistema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É correto afirmar que o sistema:
A =
⎡
⎢
⎣
4 2 1
0 −1 4
0 0 −2
⎤
⎥
⎦
C =[ 4 0
−1 −2
]
G(s)= 4s
2+24s+28
s2−2s−8
A alternativa "E " está correta.
Os polos da FT G(s), que correspondem às raízes do polinômio do denominador, são –2 e 4. Para que o sistema seja BIBO estável, todos os seus
polos devem ter parte real negativa, o que não corre com o polo em s = 4.
3. Considere a seguinte função de transferência de um sistema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sistema será BIBO estável?
A alternativa "B " está correta.
BIBO ESTABILIDADE
Veja a resolução no vídeo a seguir:
4. Se A é a matriz de estado de determinado sistema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, os autovalores do sistema estarão em:
A alternativa "A " está correta.
AUTOVALORES
Veja a resolução no vídeo a seguir:
5. Ao aplicar uma transformação de similaridade na realização de um sistema, a nova realização:
A alternativa "E " está correta.
Ao realizar uma transformação de similaridade, as matrizes do modelo e, consequentemente, os significados dos estados, serão alterados. O que
caracteriza a transformação de similaridade é a manutenção do comportamento dinâmico no novo modelo e, portanto, também seus autovalores.
6. Ao aplicar uma transformação de similaridade na realização de um sistema, a função de transferência da nova realização:
G(s)= 5s+8
s2+4
A =
⎡
⎢
⎣
4 2 1
0 −1 4
0 0 −2
⎤
⎥
⎦
A alternativa "A " está correta.
Como a transformação de similaridade mantém o comportamento dinâmico no novo modelo, a função de transferência será a mesma da realização
anterior. Lembre-se de que a função de transferência de um sistema é única.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A SEGUINTE MATRIZ:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
QUAIS SERÃO OS AUTOVALORES DE A?
A) λ1 = –4 e λ2 = +5
B) λ1 = +2 e λ2 = +5
C) λ1 = -2 e λ2 = -5
D) λ1 = +2 e λ2 = –5
E) λ1 = –4 e λ2 = –5
2. CONSIDERE UM SISTEMA, CUJO MODELO EM ESPAÇO DE ESTADO É O APRESENTADO A SEGUIR:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
CONSIDERANDO OS AUTOVALORES DA MATRIZ DE ESTADOS, PODE-SE AFIRMAR QUE ESSE MODELO:
A) É assintoticamente estável, pois a parte real do autovalor sobre o eixo real é negativa.
B) É assintoticamente estável, pois as partes reais de todos os autovalores são negativas.
C) É assintoticamente estável, pois todos os autovalores estão no semiplano complexo direito.
D) Não é assintoticamente estável, pois os autovalores conjugados possuem partes reais positivas.
E) Não é assintoticamente estável, pois alguns autovalores estão no semiplano esquerdo.
GABARITO
1. Considere a seguinte matriz:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quais serão os autovalores de A?
A =[−2 4
0 −5
]
ẋ–– =
⎡
⎢
⎣
−2 0 0
0 1 1
0 −4 1
⎤
⎥
⎦
x–– +
⎡
⎢
⎣
1
9
20
⎤
⎥
⎦
u
A =[−2 4
0 −5
]
A alternativa "C " está correta.
 
Aplicando a fórmula em (31), obtém-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, os autovalores da matriz A são λ1 = –2 e λ2 = –5
2. Considere um sistema, cujo modelo em espaço de estado é o apresentado a seguir:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando os autovalores da matriz de estados, pode-se afirmar que esse modelo:
A alternativa "D " está correta.
 
Para verificar se o modelo é estável, deve-se analisar seus autovalores. Como a matriz da dinâmica é bloco diagonal, o cálculo dos autovalores é
facilitado e fornece:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as partes reais dos autovalores λ2 e λ3 são positivas, é possível concluir que o sistema não será assintoticamente estável. Note que os
autovalores complexos sempre aparecem aos pares conjugados.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema, você deu os primeiros passos na teoria de controle moderno, que é baseada no domínio do tempo e nos modelos em espaço de
estado. 
No módulo 1, foi apresentado um breve histórico sobre a evolução da área de controle, além da terminologia básica e dos conceitos mais
importantes relacionados com a classificação de sistemas. 
No módulo 2, foram introduzidos os modelos em espaço de estado na sua forma mais genérica, voltada para a modelagem de sistemas não lineares
e, em seguida, a forma mais conhecida e utilizada, voltada para os sistemas lineares, em que o modelo é representado pelas matrizes A, B, C e D.
Alguns exemplos interessantes de modelagem em espaço de estado com focos em circuitos elétri cos e sistemas mecânicos foram apresentados e
discutidos. 
Em seguida, a essência foi o cálculo da função de transferência associada a um modelo em espaço de estado e o caminho inverso, co nhecido por
realização da função de transferência, em que um dos métodos mais utilizados con siste no emprego das realizações canônicas. 
det(λI − A) = det([
λ + 2 −4
0 λ + 5
]) =(λ + 2)(λ + 5) = 0
ẋ–– =
⎡
⎢
⎣
−2 0 0
0 1 1
0 −4 1
⎤
⎥
⎦
x–– +
⎡
⎢
⎣
1
9
20
⎤
⎥
⎦
u
λ1 =– 2;   λ2 = +1 + j2;   e  λ3 = +1– j2.
Finalmente, no módulo 4, o foco foi a análise de esta bilidade de modelos na forma de função de transferência e em espaço de estados. Os conheci -
mentos apresentados neste Tema são importantíssimos na modelagem, na análise e no controle de sistemas dinâmicos, bem como para a simulação
do comportamento desses sistemas em com putadores