Circuitos em Corrente Alternada

Prévia do material em texto

ELETRICIDADE 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Felipe Neves Souza 
 
 
CONVERSA INICIAL (estrutura e objetivos da aula) 
Nesta aula serão estudados circuitos em corrente alternada, os quais compõem 
a grande maioria dos equipamentos elétricos existentes. Será apresentada 
uma nova forma de trabalhar com grandezas alternadas, que é o fasor. Além 
disso, será abordado o conceito de impedância, em que todos os elementos 
(resistores, capacitores e indutores) serão representados por impedâncias. Em 
seguida serão apresentadas as relações entre impedâncias e as leis de 
Kirchoff com fasores para realização da análise de circuitos em corrente 
alternada. 
Até o momento, o nosso estudo estava limitado a circuitos em tensão/corrente 
contínua. Agora iremos abordar os circuitos em tensão/corrente alternada, 
cujos valores não são constantes no decorrer do tempo. 
Os sistemas em corrente alternada são os mais utilizados nos equipamentos 
elétricos, visto que a geração, transmissão e distribuição de energia elétrica se 
dá na maior parte em corrente alternada (CA), o estudo desta forma de energia 
é fundamental para a continuidade do nosso curso de engenharia elétrica. 
 
TEMA 1 – SENÓIDES E FASORES 
1.1 Senóides 
Nas aulas anteriores, realizamos as análises de circuitos elétricos utilizando corrente 
contínua (CC), ou seja, a corrente não varia ao longo do tempo. 
Porém, agora continuaremos nossos estudos utilizando as fontes senoidais, que 
apresentam uma variação de amplitude ao longo do tempo, também chamado de 
corrente alternada (CA). O comportamento de uma fonte senoidal pode representada 
por uma função seno ou cosseno. 
A equação abaixo descreve o comportamento de uma fonte de tensão senoidal: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡 + 𝜙) 
Sendo 𝑉𝑚 a amplitude da senóide, 𝜔 a frequência angular em radianos por segundo 
(𝑟𝑎𝑑/𝑠), 𝜙 o ângulo de fase e (𝜔. 𝑡 + ∅) é o argumento da senóide. 
A figura abaixo ilustra o comportamento da senóide com 𝜙 = 0 ao longo do tempo. 
Figura 1 – Tensão senoidal 
 
 
 
3 
Desta figura pode-se observar que a senóide apresenta oscilações entre valores 
positivos e negativos em intervalos de tempos regulares, por isso esta função é 
denominada periódica. O intervalo de tempo para que a senóide passe por todos os 
seus valores possíveis, ou seja, complete um ciclo completo é chamado de período da 
função (T) e é medido em segundos. 
𝑇 =
2. 𝜋
𝜔
 
O número de ciclos por segundo é chamado de frequência cíclica, ou simplesmente 
frequência e é medido em Hertz (Hz). A frequência de uma senóide é o inverso do 
período: 
𝑓 =
1
𝑇
 
E portanto, 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
O ângulo de fase (𝜙) determina o valor da função senoidal no instante de tempo t = 0, 
portanto, fixa o ponto onde o período irá começar. Mudar o ângulo de fase significa 
deslocar a onda senoidal ao longo do eixo dos tempos. Um ângulo 𝜙 > 0 irá deslocar 
a onda para a esquerda e para 𝜙 < 0 a onda irá deslocar-se para a direita. É 
importante ressaltar que o ângulo de fase não provoca nenhuma variação na 
amplitude máxima (Vm) ou ná frequência angular (𝜔). 
Considere agora as duas senóides representadas pelas equações abaixo e ilustradas 
na figura a seguir. Elas possuem a mesma amplitude e frequência, porém com fases 
distintas. A primeira delas tem fase igual a zero (𝜙 = 0), enquanto a segunda possui 
fase uma ∅ diferente de zero. 
𝑣1(𝑡) = V𝑚. s𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝑣2(𝑡) = 𝑉𝑚. s𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) 
Figura 2 – Duas fontes senoidais com fases distintas 
 
Pode-se observar que a função 𝑣2(𝑡) inicia o seu ciclo antes da função 𝑣1(𝑡), portanto 
podemos dizer que a função 𝑣2(𝑡) está adiantada em relação a 𝑣1(𝑡) ou que, 𝑣1(𝑡) 
está atrasado em relação a 𝑣2(𝑡). Caso o valor 𝜙 ≠ 0, dizemos que 𝑣1 e 𝑣2 estão fora 
de fase e se 𝜙 = 0, dizemos que 𝑣1 e 𝑣2 estão em fase e isto significa que elas 
possuem os valores máximos, mínimos e nulos nos mesmos instantes de tempo. 
Diferentes senóides podem estar em fase sem necessariamente possuírem a mesma 
amplitude. 
 
 
4 
Conforme já mencionado, uma senóide pode ser expressa utilizando uma função seno 
ou cosseno. Quando comparamos duas senóides é preciso que a amplitude em 
amabas as equações sejam positivas. Para isso, basta utilizar as seguintes 
identidades trigonométricas: 
𝑆𝑒𝑛(𝐴 ± 𝐵) = 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝐶𝑜𝑠(𝐵) ± 𝑆𝑒𝑛(𝐵) 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 
𝐶𝑜𝑠(𝐴 ± 𝐵) = 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 𝐶𝑜𝑠(𝐵) ∓ 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 𝑆𝑒𝑛(𝐴) 
Com estas identidades trigonométricas, podemos comprovar que: 
𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 180°) = −𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 ± 180°) = −𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 90°) = 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 90°) = −𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) 
𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 90°) = −𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 90°) = 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Desta forma, com estas identidades, podemos transformar uma função seno em uma 
função cosseno subtraindo 90°. 
s𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) = cos(𝜔𝑡 + 𝜙 − 90°) 
Outra característica importante de uma tensão ou corrente senoidal é o seu valor 
eficaz ou RMS (root mean square). O valor eficaz para uma periódica senoidal é obtido 
através da equação abaixo: 
𝑉𝑅𝑀𝑆 = √
1
𝑇
∫ 𝑉𝑚
2. 𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜙). 𝑑𝑡
𝑡0+𝑇
𝑡0
 
Resolvendo, temos que: 
𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉𝑚
√2
 
Observa-se que o valor eficaz da tensão depende somente da amplitude máxima, não 
sofrendo nenhuma influência da frequência ou ângulo de fase. 
1.2 Fasores 
Um fasor é um número complexo que representa as informações de amplitude e 
ângulo de fase de uma função senoidal. A utilização da representação fasorial irá nos 
possibilitar realizar de uma forma mais fácil a análise de circuitos lineares com fontes 
senoidais. 
O conceito de fasor é baseado na identidade de Euler, que relaciona a função 
trigonométrica com a função exponencial: 
𝑒±𝑗𝜙 = 𝐶𝑜𝑠(𝜙) ± 𝑗 𝑆𝑒𝑛(𝜙) 
Em que podemos afirmar: 
𝐶𝑜𝑠(𝜙) = 𝑅𝑒(𝑒𝑗𝜙) 
𝑆𝑒𝑛(𝜙) = 𝐼𝑚(𝑒𝑗𝜙) 
Em que 𝑅𝑒 e 𝐼𝑚 significam a parte real e a parte imaginária do fasor, respectivamente. 
 
 
5 
Para obter uma representação fasorial de uma senoide, está deve estar expressa 
utilizando a função cosseno, de modo que ela possa ser escrita como a parte real de 
um número complexo. 
Considere uma fonte de tensão expressa através da seguinte função no domínio do 
tempo: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
Aplicando a identidade de Euler podemos reescreve-la da seguinte forma: 
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑒(𝑉𝑚 𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝜙)) = 𝑅𝑒(𝑉𝑚 𝑒
𝑗𝜙. 𝑒𝑗𝜔𝑡) 
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑒(�̇�. 𝑒𝑗𝜔𝑡) 
Em que a sua representação no domínio dos fasores será: 
�̇� = 𝑉𝑚 𝑒
𝑗𝜙 
Ou então: 
�̇� = 𝑉𝑚∠𝜙 
O ponto em cima da letra V, indica que �̇� é a representação fasorial da senóide 𝑣(𝑡). 
Um fasor também pode ser indicado por uma letra em negrito (V). Desta equação 
Examinando a equação �̇�. 𝑒𝑗𝜔𝑡, podemos dizer que o fasor de uma senóide pode ser 
considerado como um fasor rotacional, em que este gira em um círculo de raio Vm no 
sentido anti-horário com uma velocidade angular 𝜔. Dessa forma, na representação de 
um fasor o termpo 𝑒𝑗𝜔𝑡 está implicitamente presente. 
Um fasor é representado na forma polar, e um vetor girante no plano complexo 
equivale a representação de uma grandeza senoidal, conforme a animação a seguir, 
em que a projeção no eixo vertical do vetor girante é igual à amplitude da senóide. 
Figura 3 – Representação de um fasor girando no sentido anti-horário 
 
TEMA 2 – MATEMÁTICA COM NÚMEROS COMPLEXOS 
Antes de começarmos a resolver circuitos envolvendo fasores é preciso relembrar 
alguns conceitos sobre números complexos, os quais podem ser escritos na forma 
retangular, polar ou exponencial. 
A representaçãode um número complexo na forma retangular é dada pela equação 
abaixo. 
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
 
 
6 
Em que z é um número complexo e j é a unidade imaginária, sendo 𝑗 = √−1. Os 
termos x e y são chamados de parte real e parte imaginária, respectivamente. 
Vale ressaltar que em matemática é utilizado a letra i para representar os números 
imaginários, porém, em engenharia a letra i é designada à correntes elétricas, por isso 
iremos representar números complexos utilizando a letra j. 
Como 𝑗 = √−1, temos que: 
1
𝑗
= −𝑗 
1
𝑗. 10
= −𝑗. 0,1 
𝑗2 = −1 
𝑗3 = 𝑗. 𝑗2 = −𝑗 
𝑗4 = 𝑗2. 𝑗2 = 𝑗 
Um número complexo representado na forma retangular nada mais é do que um ponto 
no plano que contém o eixo real (Re) e o eixo imaginário (Im), semelhante ao plano 
cartesiano, conforme apresentado na figura a seguir. Além da forma retangular, um 
número complexo pode ser representado de duas outras formas diferentes, sendo 
uma delas a forma polar e a forma exponencial, conforme as equações abaixo, sendo 
respectivamente: 
𝑧 = 𝑟∠𝜙 
𝑧 = 𝑟 𝑒𝑗𝜙 
Em que 𝑟 é a magnitude e 𝜙 é a fase. 
Figura 4 – Número complexo z representado no plano dos números complexos 
 
Para realizar a transformação de um número complexo da forma retangular para a 
polar, basta utilizar as propriedades do triângulo, ou seja: 
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
𝜙 = 𝑡𝑔−1 (
𝑦
𝑥
) 
E um número complexo na forma polar pode ser escrito na forma retangular usando: 
𝑥 = 𝑟. cos(𝜙) 
𝑦 = 𝑟. sen(𝜙) 
 
 
7 
Ou seja: 
𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟. cos(𝜙) + 𝑗 𝑟. sen(𝜙) 
Dado o número complexo 𝑧 = 3 + 𝑗4, vamos obter a sua representação na forma polar: 
𝑟 = √32 + 42 = 5 
𝜙 = 𝑡𝑔−1 (
4
3
) = 53,13° 
Portanto, 
𝑧 = 3 + 𝑗4 = 5∠53,13° 
Agora dado o número 𝑧 = 10∠126,87°, vamo encontrar a sua forma retangular: 
𝑧 = 10. cos(𝜙126,87°) + 𝑗10. sen(126,87°) 
𝑧 = −6 − 𝑗8 
As operações matemáticas de adição e subtração de números complexos, torna-se 
mais fácil utilizando a forma retangular. Considere os dois números complexos abaixo: 
𝑧1 = 𝑥1 + 𝑗𝑦1 = 𝑟1∠𝜙1 
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑗𝑦2 = 𝑟2∠𝜙2 
A soma entre eles será dada por: 
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 + 𝑦2) 
Enquanto a subtração será dada por: 
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2) + 𝑗(𝑦1 − 𝑦2) 
Entretanto, as operações de multiplicação e divisão pode ser realizada mais facilmente 
na forma polar. 
Para a multiplicação devemos realizar: 
𝑧1 . 𝑧2 = 𝑟1. 𝑟2∠(𝜙1 + 𝜙2) 
Utilizando a forma retangular, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 
e lembrar que 𝑗2 = −1: 
𝑧1. 𝑧2 = 𝑥1. 𝑥2 + 𝑗. 𝑥1. 𝑦2 + 𝑗. 𝑦1. 𝑥2 + 𝑗
2. 𝑦1. 𝑦2 
𝑧1. 𝑧2 = (𝑥1. 𝑥2 − 𝑦1. 𝑦2) + 𝑗( 𝑥1. 𝑦2 + 𝑦1. 𝑥2) 
E por fim, para a divisão: 
𝑧1
𝑧2
=
𝑧1
𝑧2
∠(𝜙1 − 𝜙2) 
A tabela a seguir apresenta outras operações matemáticas: 
Tabela 1 - Operações matemáticas com fasores 
Recíproco 
1
z1
=
1
𝑟
∠(−𝜙) 
Raiz quadrada √𝑧 = √𝑟 ∠ (
𝜙
2
) 
Complexo conjugado 𝑧∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑟∠(−𝜙) = 𝑟 𝑒−𝑗𝜙 
 
 
8 
TEMA 3 – IMPEDÂNCIAS E ADMITÂNCIAS 
Agora que vimos como representar a tensão e corrente no domínio da frequência ou 
domínio fasorial, precisamos aprender como aplicar estes conceitos nos elementos 
passivos. Para isso, precisamos transformar as relações corrente-tensão do domínio 
do tempo para domínio fasorial de cada um destes elementos. 
3.1 Resistores 
Primeiramente considere um resistor alimentado por uma fonte de tensão senoidal, a 
qual faz circular uma corrente no resistor 𝑖𝑅(𝑡) = 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙). Pela Lei de Ohm, a 
tensão que surge nos seus terminais será: 
𝑣𝑅 = 𝑅𝑖𝑅 = 𝑅 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
A forma fasorial desta tensão é: 
𝑉𝑅 = 𝑅 𝐼𝑚∠𝜙 
Como a representação fasorial da corrente é: 
𝐼𝑅 = 𝐼𝑚∠𝜙 
Então: 
𝑉𝑅 = 𝑅 𝐼𝑅 
Analisando a última equação, percebemos que a relação fasorial entre o fasor da 
tensão e o fasor da corrente continua sendo a Lei de Ohm e na figura a seguir 
encontram-se ilustrados os casos com a tensão e corrente no domínio do tempo (a) e 
os fasores da corrente e da tensão no resistor (b). 
Figura 5 – Relação corrente-tensão para um circuito no domínio do tempo (a) e 
fasorial (b) 
 
 (a) (b) 
Quando um resistor é alimentado por uma fonte de tensão senoidal, a corrente que irá 
fluir através dele também será senoidal. Para circuitos puramente resistivos, as formas 
de onda estarão em fase, ou seja, as duas terão picos de máximo, mínimo e nulos nos 
mesmos instantes de tempo, conforme apresentado na figura abaixo. 
Figura 6 –Gráfico de tensão e corrente para um circuito resistivo 
 
 
9 
 
O diagrama de fasorial para este circuito está apresentado na figura abaixo. Como a 
as duas formas de onda estão em fase, os fasores são sobrepostos, representado que 
não há defasagem entre eles. 
 
Figura 7 –´Fasores de tensão e corrente para um circuito resistivo 
 
3.2 Indutores 
Quando um indutor é alimentado por uma fonte senoidal, o comportamento entre os 
fasores da tensão e da corrente são diferentes do caso do resistor. Considere um 
indutor alimentado por uma fonte de tensão senoidal, a qual faz circular uma corrente 
no indutor da seguinte forma: 
𝑖𝐿 = 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 
Nós sabemos que a tensão nos terminais de um indutor é obtida da seguinte forma: 
𝑣𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
[𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙)] 
𝑣𝐿 = −𝜔 𝐿 𝐼𝑚 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡𝜙) 
Porém, pelas identidades trigonométricas, vimos que: 
−𝑆𝑒𝑛(𝐴) = 𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 90°) 
Desta forma, podemos escrever a tensão nos terminais do indutor da seguinte forma: 
𝑣𝐿 = 𝜔 𝐿 𝐼𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙 + 90°) 
Transformando do domínio do tempo para o domínio fasorial: 
𝑉�̇� = 𝜔 𝐿 𝐼𝑚 𝑒
𝑗(𝜙+90°) = 𝜔 𝐿 𝐼𝑚 𝑒
𝑗𝜙𝑒𝑗90° = 𝜔 𝐿 𝐼𝑚∠(𝜙𝑒
𝑗90°) 
A partir da identidade de Euler, 𝑒𝑗90° = 𝑗. Além disso, sabe-se que 𝐼𝑚∠𝜙 = 𝐼�̇�. Desta 
forma, finalmente teremos: 
𝑉�̇� = 𝑗. 𝜔. 𝐿. 𝐼�̇� 
 
 
10 
Analisando a equação anterior, podemos concluir que a amplitude da tensão no 
indutor é de 𝜔. 𝐿. 𝐼𝑚 e a fase é de 𝜙 + 90°. Desta forma, podemos concluir que quando 
uma fonte senoidal alimenta um indutor, uma corrente senoidal defasada de 90° da 
tensão circulará no indutor, conforme a figura a seguir: 
Figura 6 –Gráfico de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
O diagrama fasorial de um indutor alimentado por uma fonte senoidal também se 
encontra ilustrado na figura a seguir. Neste diagrama fasorial, nota-se que os fasores 
estão a 90° um do outro, em que pelo sentido positivo no sentido anti-horário da 
frequência angular, o fasor da tensão está adiantado do da corrente (ou a corrente 
está atrasada da tensão). 
Figura 7 –´Fasores de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
3.3 Capacitores 
Quando um capacitor é alimentado por uma fonte senoidal, o comportamento entre os 
fasores da tensão e da corrente são diferentes do caso do resistor e do indutor. 
Considere um capacitor alimentado por uma fonte de tensão senoidal 
𝑣𝐶 = 𝑉𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙), a qual faz circular uma corrente no capacitor da seguinte forma: 
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣𝐶
𝑑𝑡
= 𝐶
𝑑
𝑑𝑡
(𝑉𝑚 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙)) 
𝑖𝐶 = −𝜔 𝐶 𝑉𝑚 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) 
Utilizando o desenvolvimento realizado com um indutor ligado a uma fonte de tensão 
senoidal, de forma análoga podemos analisar a situação de um capacitor ligado a uma 
fonte de tensão senoidal, e o fasor da corrente será o seguinte: 
𝐼�̇� = 𝑗. 𝜔. 𝐶. 𝑉�̇� 
Desta forma: 
 
 
11 
𝑉�̇� =
𝐼�̇�
𝑗. 𝜔. 𝐶
 
Analisando esta equação, podemos concluir que a amplitude da tensão no capacitoré 
de 
1
𝑗.𝜔.𝐶
. 𝐼𝑚 e a fase é de 𝜙 − 90°. Desta forma, nota-se que quando uma fonte senoidal 
alimenta um capacitor, uma corrente senoidal defasada de 90° da tensão circulará no 
capacitor, conforme a figura a seguir: 
Figura 8 –Gráfico de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
Desta forma, o diagrama fasorial de um capacitor alimentado por uma fonte senoidal 
também se encontra ilustrado na figura a seguir. No diagrama fasorial ilustrado na 
figura a seguir, nota-se que os fasores estão a 90° um do outro, em que pelo sentido 
positivo no sentido anti-horário da frequência angular, o fasor da tensão está atrasado 
do da corrente (ou a corrente está adiantada da tensão). 
Figura 9 – Fasores de tensão e corrente para um circuito indutivo 
 
Agora que já sabemos a relação fasorial das tensões e correntes com os três 
elementos passivos (resistores, capacitores e indutores), estas relações podem ser 
reescritas em termos da razão entre a tensão fasorial pela corrente fasorial, mais 
conhecida por impedância. 
Em outras palavras, a impedância (𝑍) de um circuito é a razão da tensão fasorial �̇� 
pela corrente fasorial 𝐼,̇ medida em Ohms (Ω). 
𝑍 =
�̇�
�̇�
 
Semelhante à Lei de Ohm, podemos reescrever esta equação da seguinte forma: 
�̇� = 𝑍. 𝐼 ̇
 
 
12 
A impedância representa a oposição do circuito ao fluxo de corrente senoidal. Apesar 
da impedância ser a razão entre dois fasores, ela não é um fasor, pois não 
corresponde a uma grandeza senoidal variante no tempo. A simbologia utilizada para 
representação de uma impedância encontra-se ilustrada na figura a seguir. 
Figura 10 – Simbologia para impedância 
 
As impedâncias de resistores, indutores e capacitores podem ser obtidas diretamente 
a partir das seguintes equações, respectivamente: 
𝑉𝑅
𝐼𝑅
= 𝑍 = 𝑅 
𝑉𝐿
𝐼𝐿
= 𝑍 = 𝑗𝜔𝐿 
𝑉𝐶
𝐼𝐶
= 𝑍 =
1
𝑗𝜔𝐶
 
Um fato muito importante deve ser levado em consideração quando falamos sobre 
impedâncias, pois é possível observar que as impedâncias de capacitores e indutores 
são função da frequência do sinal senoidal que está aplicado sobre eles. Pelas 
equações anteriores, nota-se que a impedância de um indutor é diretamente 
proporcional à frequência do sinal, enquanto a impedância de um capacitor é 
inversamente proporcional à frequência do sinal. 
Em resumo, uma análise destas equações nos permite concluir que nos casos 
extremos das frequências, teremos: 
 Para uma frequência nula (𝜔 = 0), ou seja, quando a fonte de alimentação é 
contínua (não é alternada), a impedância do indutor é nula (curto circuito) e a 
impedância do capacitor é infinita (circuito aberto); 
 Para frequências elevadas (𝜔 → ∞), a impedância de um indutor é infinita 
(curto circuito) enquanto que a impedância de um capacitor é nula (curto 
circuito). 
A impedância é uma grandeza complexa, podendo ser representada na forma 
retangular da seguinte forma: 
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 
Em que, 𝑅 é a resistência e X é denominada reatância. 
A reatância pode ser positiva ou negativa, sendo positiva quando o circuito possui uma 
característica indutiva e sendo negativa quando o circuito possui uma característica 
capacitiva. Desta forma, uma impedância 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 é indutiva, pois a corrente estará 
atrasada em relação à tensão. Por outro lado, uma impedância 𝑍 = 𝑅 − 𝑗𝑋 é 
capacitiva, pois a tensão estará atrasada em relação à corrente. A impedância, 
 
 
13 
resistência e a reatância são todas medidas em Ohms (Ω). A impedância também 
pode ser expressa na forma polar: 
𝑍 = |𝑍|∠𝜃 
Conforme já demonstrado, a conversão da forma polar para retangular e vice-versa é 
dada por: 
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = |𝑍|∠𝜃 
Sendo: 
|𝑍| = √𝑅2 + 𝑋² 
𝜃 = 𝑇𝑔−1 (
𝑋
𝑅
) 
Com isto, teremos: 
𝑅 = |𝑍| 𝐶𝑜𝑠(𝜃) 
𝑋 = |𝑍| 𝑆𝑒𝑛(𝜃) 
Em alguns casos de circuitos é conveniente trabalharmos com o recíproco da 
impedância, denominado admitância (𝑌), medida em Siemens (𝑆). A admitância de um 
circuito é a relação entre o fasor corrente e o fasor tensão existentes no elemento: 
𝑌 =
1
𝑍
=
𝐼̇
�̇�
 
Como a admitância é o recíproco da impedância, esta que por sua vez é um número 
complexo, fazendo com que a admitância também seja um número complexo que 
pode ser representado da seguinte forma: 
𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵 
Em que 𝐺 é a condutância e B é denominada susceptância, ambas com unidades em 
Siemens (𝑆). 
A partir das equações anteriores, teremos: 
𝐺 + 𝑗𝐵 =
1
𝑅 + 𝑗𝑋
 
𝐺 + 𝑗𝐵 =
1
𝑅 + 𝑗𝑋
×
𝑅 − 𝑗𝑋
𝑅 − 𝑗𝑋
 
Desta forma, chegamos às seguintes expressões: 
𝐺 =
𝑅
𝑅2 + 𝑋2
 
𝐵 = −
𝑋
𝑅2 + 𝑋2
 
Observando a equação de G, percebe-se que ao contrário de circuitos puramente 
resistivos, 𝐺 ≠
1
𝑅
, exceto quando 𝑋 = 0. 
3.4 Combinação de impedâncias 
Assim como os resistores, capacitores e indutores, as impedâncias também podem 
ser combinadas em série e paralelo para que possamos realizar simplificações de 
circuitos e facilitar a sua análise. 
 
 
14 
Considere as 𝑁 impedâncias conectadas em série ilustradas na figura abaixo. Este 
circuito é alimentado por uma fonte de tensão �̇� que faz com que uma corrente elétrica 
𝐼 ̇ se estabeleça no circuito, provocando as diferenças de potencial (𝑉1̇, 𝑉2̇, … , 𝑉�̇�) em 
cada impedância do circuito (𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍𝑁). 
Este circuito, por apresentar todas as impedâncias conectadas em série e percorridas 
pela mesma corrente elétrica, pode ser representado por apenas uma impedância 
equivalente (𝑍𝑒𝑞), em que o fasor da tensão (�̇�) e o fasor da corrente (𝐼)̇ não se 
alteram. 
Figura 11 – Associação de impedância em série 
 
= 
 
A impedância equivalente do circuito (𝑍𝑒𝑞) é calculada da seguinte forma: 
𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍𝑁 
Se o número de impedâncias conectadas em série for igual a dois (𝑁 = 2), teremos 
um circuito bastante utilizado denominado divisor de tensão, conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
Figura 12 – Divisor de tensão 
 
As tensões 𝑉1̇ e 𝑉2̇ podem ser calculadas da seguinte forma: 
𝑉1̇ =
𝑍1
𝑍1 + 𝑍2
 �̇� 
𝑉2̇ =
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
 �̇� 
Considere o circuito ilustrado na figura a seguir com 𝑁 impedâncias em paralelo 
conectadas a uma fonte �̇� na qual circula uma corrente 𝐼.̇ 
 
Figura 13 – Associação de impedância em paralelo 
 
 
15 
 
Este circuito também pode ser representado pela mesma fonte de tensão �̇� conectada 
a uma impedância equivalente 𝑍𝑒𝑞 na qual irá consumir a mesma corrente elétrica 𝐼.̇ 
A forma de cálculo da impedância equivalente de N impedâncias ligadas em paralelo é 
realizada da seguinte forma: 
1
𝑍𝑒𝑞
 =
1
𝑍1
+
1
𝑍2
+ ⋯ +
1
𝑍𝑁
 
Se o número de impedâncias conectadas em paralelo for igual a dois (𝑁 = 2), teremos 
um circuito bastante utilizado denominado divisor de corrente, conforme ilustrado na 
figura a seguir. 
Figura 14 – Divisor de corrente 
 
As correntes 𝐼1 e 𝐼2 podem ser calculadas da seguinte forma: 
𝐼1 =
𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
 𝐼 
𝐼2 =
𝑍1
𝑍1 + 𝑍2
 𝐼 
3.5 Transformação Delta-Estrela ou Triângulo-Estrela (Δ-Y) 
Assim como a transformação Δ-Y vista com os resistores, esta transformação também 
pode ser aplicada em fasores. Considere o circuito da figura a seguir, em que as 
impedâncias 𝑍1, 𝑍2 e 𝑍3 estão conectados em Δ. Estas três impedâncias podem ser 
transformadas no conjunto em Y formado pelas impedâncias 𝑍𝐴, 𝑍𝐵 e 𝑍𝐶. 
Figura 14 – Transformação triângulo-estrela para impedâncias 
 
 
 
16 
A forma de cálculo das transformações Δ − 𝑌 e também da transformação contrária 
(Y − Δ) encontram-se na tabela abaixo. 
Tabela2 - Transformação DELTA-ESTRELA e ESTRELA-DELTA 
Transformação 𝚫 − 𝐘 Transformação 𝒀 − 𝚫 
𝑍𝐴 =
𝑍1𝑍2
𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3
 
 
𝑍1 =
𝑍𝐴𝑍𝐵 + 𝑍𝐴𝑍𝐶 + 𝑍𝐵𝑍𝐶
𝑍𝐶
 
 
𝑍𝐵 =
𝑍1𝑍3
𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3
 
 
𝑍2 =
𝑍𝐴𝑍𝐵 + 𝑍𝐴𝑍𝐶 + 𝑍𝐵𝑍𝐶
𝑍𝐵
 
 
𝑍𝐶 =
𝑍2𝑍3
𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3
 𝑍3 =
𝑍𝐴𝑍𝐵 + 𝑍𝐴𝑍𝐶 + 𝑍𝐵𝑍𝐶
𝑍𝐴
 
 
TEMA 4 – MÉTODOS DE ANÁLISE POR TENSÃO DOS NÓS NO DOMÍNIO 
FASORIAL 
Conforme apresentado no tema anterior, as impedâncias representam as relações 
entre fasores de tensão e corrente, dessa forma podemos dar continuidade ao estudo 
da análise de circuitos em corrente alternada. 
A aplicação das leis de Kirchhoff se dará de forma similar ao visto anteriormente. A lei 
de Kichhoff das as correntes (LCK) será dada pela somatória de todas as correntes 
fasoriais que entram e saem de um só é igual a zero. Já a lei de kirchhoff das tensões 
será a somatória de todas as tensões fasoriais de uma malha será sempre igual a 
zero. 
Sendo assim, a aplicação dos métodos de analise das tensões dos nós e o método de 
análise das correntes de malhas será igual ao apresentando em aulas anteriores, com 
a diferença de que usaremos fasores no lugar das resistências. 
Considere o circuito da figura abaixo, nele temos conectado uma fonte de tensão 
senoidal com o valor de 𝑣 = 20 c𝑜𝑠(4𝑡) 𝑉. Vamos determinar o valor da corrente ix 
utilizando o método de análise nodal. 
Figura 15 – Circuito no domínio do tempo 
 
O primeiro passo para aplicação deste método em circuitos de corrente alternada é de 
converter o circuito para o domínio fasorial. Em seguida, deve-se resolver o problema 
 
 
17 
aplicando o método da tensão dos nós e por último, deve-se converter o fasor para 
sua forma senoidal novamente. 
Da fonte de tensão de 𝑣 = 20 c𝑜𝑠(4𝑡) 𝑉, sabemos que o argumento da senóide é dada 
por (𝜔. 𝑡), portanto frequência angular da fonte de tensão é 𝜔 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠. 
O valor da fonte de tensão no domínio fasorial será: 
𝑣 = 20 𝐶𝑜𝑠(4𝑡) 
 
⇒ 𝑉 = 20 ∠0° 𝑉 
Para os elementos passivos basta obter o valor de sua impedância: 
Resistor de 10 Ω 
 
⇒ Z1 = 10 Ω 
Indutor de 1 𝐻 
 
⇒ Z2 = 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗4 Ω 
Indutor 0,5 𝐻 
 
⇒ Z3 = 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗2 Ω 
Capacitor de 0,1 𝐹 
 
⇒ Z4 =
1
𝑗𝜔𝐶
= −𝑗2,5 Ω 
Dessa forma, o circuito no domínio fasorial está apresentado na figura abaixo. 
Figura 15 – Circuito no domínio fasorial 
 
Agora, aplicar o método de análise nodal. Primeiramente foi definido o nó de 
referência e os demais nomeados como 𝑉1̇ e 𝑉2̇. Em seguida, convencionou-se os 
sentidos das correntes em cada um dos ramos do circuito, conforme ilustrado na 
figura. O próximo passo consiste em aplicar a LCK em cada um dos nós: 
Para o nó 𝑉1̇: 
𝐼1 = 𝐼𝑋 + 𝐼2 
Aplicando a lei de Ohm para reescrever cada uma das correntes em função das 
tensões dos nós, teremos: 
20∠0° − 𝑉1̇
10
=
𝑉1̇
−𝑗. 2,5
+
𝑉1̇ − 𝑉2̇
𝑗4
 
Conforme demonstrado anteriormente, temos que 
1
𝑗
= −𝑗 𝑒 
1
−𝑗
= 𝑗 
Portanto, 
1
−𝑗. 2,5
. 𝑉1̇ = 𝑗. 0,4. 𝑉1̇ 
E 
 
 
18 
1
𝑗. 4
. (𝑉1̇ − 𝑉2̇) = −𝑗. 0,25. (𝑉1̇ − 𝑉2̇) 
Substituindo na equação: 
20
10
−
𝑉1̇
10
= 𝑗. 0,4. 𝑉1̇ − 𝑗. 0,25. (𝑉1̇ − 𝑉2̇) 
2 − 0,1. 𝑉1̇ = 𝑗. 0,4. 𝑉1̇ − 𝑗. 0,25. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,25. 𝑉2̇ 
Organizando a equação: 
0,1. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,4. 𝑉1̇ − 𝑗. 0,25. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,25. 𝑉2̇ = 2 
Colocando 𝑉1̇ e 𝑉2̇ em evidencia: 
(0,1 + 𝑗0,15)𝑉1̇ + 𝑗0,25𝑉2̇ = 2 
Aplicando a LCK no nó 𝑉2̇: 
𝐼2 + 𝐼3 = 𝐼4 
Neste circuito temos uma fonte de corrente dependente, assim como ocorre com as 
fontes de corrente independente, a corrente que flui por esse ramo será o próprio valor 
da fonte, então teremos 𝐼3 = 2. 𝐼𝑋 
A corrente 𝐼�̇�
̇ será dada por: 
𝐼�̇� =
𝑉1̇
−𝑗. 2,5
 
Aplicando a lei de Ohm para reescrever as correntes em função das tensões dos nós e 
substituindo 𝐼�̇�: 
𝑉1̇ − 𝑉2̇
𝑗4
+ 2
𝑉1̇
−𝑗2,5
=
𝑉2̇
𝑗2
 
−𝑗. 0,25. (𝑉1̇ − 𝑉2̇) + 2. (𝑗0,4. 𝑉1̇) = −𝑗0,5. 𝑉2̇ 
−𝑗. 0,25. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,25. 𝑉2̇ + 𝑗0,8. 𝑉1̇ + 𝑗0,5. 𝑉2̇ = 0 
𝑗. 0,55. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0 
Agora, basta resolver o sistema linear de duas equações e duas incógnitas: 
{
(0,1 + 𝑗0,15)𝑉1̇ + 𝑗0,25𝑉2̇ = 2
𝑗. 0,55. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0
 
A resolução deste sistema ocorre da mesma forma que os anteriores, porém, 
utilizando números complexos. Resolvendo pelo método de escalonamento de Gauss, 
vamos multiplicar a primeira equação pelo número real -3, assim teremos o termo 
j.0,75 multiplicando 𝑉2̇ nas duas equações: 
{
(−3). (0,1 + 𝑗0,15)𝑉1̇ + (−3). (𝑗0,25. 𝑉2̇) = (−3) . ( 2)
𝑗. 0,55. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0
 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 
{
(−0,3 − 𝑗0,45)𝑉1̇ − 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = −6
𝑗. 0,55. �̇�1 + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0
 
Somando as duas equações: 
(−0,3 − 𝑗0,45)𝑉1̇ + 𝑗. 0,55. 𝑉1̇ − 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = −6 + 0 
(−0,3 + 𝑗0,1). 𝑉1̇ = −6 
 
 
19 
𝑉1̇ =
−6
(−0,3 + 𝑗0,1)
=
6∠180°
0,316∠161,56°
 
𝑉1̇ = 18,974𝑉1∠18,435° V 
Ou na forma retangular: 
𝑉1̇ = 18 + 𝑗. 6 𝑉 
Para obter o valor de 𝑉2, basta substituir 𝑉1̇ em qualquer uma das equações anteriores. 
𝑗. 0,55. 𝑉1̇ + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0 
𝑗. 0,55. (18 + 𝑗. 6) + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0 
Aplicando a propriedade da multiplicação distributiva: 
𝑗. 9,9 + 𝑗2. 3,3 + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0 
Sabendo que 𝑗2 = −1 
𝑗. 9,9 − 3,3 + 𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 0 
Isolando o termo 𝑉2̇ 
𝑗. 0,75. 𝑉2̇ = 3,3 − 𝑗. 9,9 
𝑉2̇ =
3,3 − 𝑗. 9,9
𝑗. 0,75
=
10,435∠ − 71,565°
0,75∠90°
 
𝑉2̇ = 13,914∠ − 161,565° 𝑉 
Para finalizar o exercício, basta substituir o valor de 𝑉1̇ na equação de 𝐼�̇�: 
𝐼�̇� =
𝑉1̇
−𝑗. 2,5
=
18,97∠18,435°
2,5∠ − 90°
 
𝐼�̇� = 7,59∠108,4° 𝐴 
Convertendo para o domínio do tempo: 
𝑖𝑋 = 7,59 𝐶𝑜𝑠(4𝑡 + 108,4°) 𝐴 
TEMA 5 – MÉTODOS DE ANÁLISE POR CORRENTES DE MALHA NO 
DOMÍNIO FASORIAL 
Assim como o método de análise nodal, podemos aplicar o método de análise de 
malhas em um circuito no domínio fasorial, porém, as incógnitas das equações serão 
as correntes fasoriais em cada uma das malhas. 
Considere o circuito no domínio fasorial apresentado na figura a seguir. Note que as 
fontes já foram dadas como fasores e os elementos passivos já estão apresentados 
como impedâncias. 
 Para este circuito, vamos obter os valores das correntes de malha utilizando o método 
de análise de malha. O primeiro passo consiste em determinar o sentido das correntes 
em cada uma das malhas e em seguinda aplicar a LTK em cada uma delas. 
Figura 16 – Circuito no domínio fasorial 
 
 
20 
 
Aplicando a LTK na malha 1: 
𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 0 
Aplicando a lei de Ohm para reescrever cada uma das tensões em função da corrente: 
8. 𝐼1̇ + 𝑗. 10(𝐼1̇ − 𝐼3̇) − 𝑗. 2. (𝐼1̇ − 𝐼2̇) = 0 
(8 + 𝑗. 8). 𝐼1̇ + 𝑗. 2. 𝐼2̇ − 𝑗. 10. 𝐼3̇ = 0 
Aplicando a LTK na malha 2: 
Figura 17 – Circuito no domínio fasorial 
 
𝑉3 + 𝑉6 + 𝑉4 + 𝑉5 = 0 
−𝑗. 2. (𝐼2̇ − 𝐼1̇) + [−𝑗. 2. (𝐼2̇ − 𝐼3̇)] + 4. 𝐼2̇ + 𝑗20 = 0 
𝑗. 2. 𝐼1̇ + (4 − 𝑗. 4). 𝐼2̇ + 𝑗. 2. 𝐼3̇ = −𝑗20 
Analisando a malha 3, vamos observar que a corrente 𝐼3̇ será igual ao próprio valor da 
fonte de corrente, portanto: 
𝐼3̇ = 5 𝐴 
Substituindo 𝐼3̇ nas equações anteriores, vamos obter o seguinte sistema linear: 
{
(8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ + 𝑗. 2. 𝐼2̇ = 𝑗50
𝑗. 2. 𝐼1̇ + (4 − 𝑗. 4). 𝐼2̇ = −𝑗30
 
 
 
21 
Para resolver este sistema, podemos multiplicar a primeira equação por − 𝑗. 2 e a 
segunda equação por (8 + 𝑗. 8), assim ao somar as duas equações teremos o termo 𝐼1̇multiplicado por zero. 
{
(−𝑗. 2). (8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ + (−j. 2). (𝑗. 2. 𝐼2)̇ = (−j. 2) . (𝑗50)
(8 + 𝑗. 8). (𝑗. 2. 𝐼1)̇ + (8 + 𝑗. 8). (4 − 𝑗. 4). 𝐼2̇ = (8 + 𝑗. 8). (−𝑗30)
 
{
(−𝑗. 16 − 𝑗2. 16)𝐼1̇ − j
2. 4. 𝐼2̇ = −𝑗
2100
(𝑗. 16 + 𝑗2. 16)𝐼1̇ + (32 − j32 + j32 − 𝑗
2. 32). 𝐼2̇ = (−j. 240 − 𝑗
2240)
 
{
(16 − 𝑗. 16)𝐼1̇ + 4. 𝐼2̇ = 100
(−16 + 𝑗. 16)𝐼1̇ + 64. 𝐼2̇ = 240 − j. 240
 
Somando as duas equações: 
(16 − 𝑗. 16 − 16 + 𝑗. 16)𝐼1̇ + (4 + 64). 𝐼2̇ = 100 + 240 − j. 240
̇ 
(4 + 64). 𝐼2̇ = 340 − j. 240
̇ 
𝐼2̇ =
340 − j. 240
68
=
416,173∠ − 35,218°
68∠0°
 
𝐼2̇ = 6,12∠ − 35,218° 𝐴 
𝐼2̇ = 5 − 𝑗. 3,529 𝐴 
Substituindo 𝐼2̇ em uma das equações anteriores: 
(8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ + 𝑗. 2. 𝐼2̇ = 𝑗50 
(8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ + 𝑗. 2. (5 − 𝑗. 3,529 ) = 𝑗50 
(8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ + 𝑗. 2. (5 − 𝑗. 3,529 ) = 𝑗50 
(8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ + (7,059 + 𝑗10) = 𝑗50 
(8 + 𝑗. 8)𝐼1̇ = −7,059 − 𝑗10 + 𝑗50 
Isolando 𝐼1̇: 
𝐼1̇ =
−7,059 + 𝑗40
8 + 𝑗. 8
=
40,618∠100°
11,314∠45°
 
𝐼1̇ = 3,59∠55° A 
E assim, foram obtidas todas as três correntes de malhas dos circuitos. A partir delas é 
possível obter a tensão fasorial de cada um dos elementos do circuito. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, foram apresentados os circuitos em corrente alternada, em que a 
utilização de fasores facilita sua análise. Além disso, foi apresentado o conceito de 
impedância, que é de fundamental importância para o curso de engenharia elétrica, 
visto que ele será abordado na maioria das disciplinas. 
 
 
22 
A análise fasorial simplifica o entendimento do comportamento de diversos circuitos 
elétricos. Uma das formas mais utilizadas da aplicação de fasores é para realizar a 
representação do sistema elétrico desde a usina geradora de eletricidade, passando 
pelas linhas de transmissão de energia até as nossas residências, conforme ilustrado 
na figura a seguir. 
 
 
 
 
Figura 18 – Sistema elétrico 
 
Os equipamentos existentes no sistema elétrico (transformadores, linhas de 
transmissão, etc.) não são ideais e podem ser representados por componentes 
resistivos, capacitivos e indutivos. O fato de que o sistema elétrico é em corrente 
alternada nos permite trabalharmos com fasores e impedâncias, fazendo com que a 
análise do circuito elétrico que representa o sistema seja mais fácil de compreender ao 
invés da utilização de grandezas senoidais. 
As concessionárias de energia utilizam os diagramas simplificados do sistema como o 
da figura anterior para poder monitorar os valores das tensões elétricas que saem do 
gerador, entram e saem das linhas de transmissão para que o valor da tensão em 
nossas residências esteja dentro dos limites estabelecidos. 
Esta análise com fasores permite que eles corrijam estas tensões, visto que em todos 
os sistemas reais existem perdas, as quais podem variar conforme o horário de pico 
de utilização de energia dentre outros fatores. 
Os sistemas reais são mais complexos do que o mostrado neste exemplo, pois alguns 
componentes ainda necessitam ser estudados para que possamos analisar a situação 
mais próxima da realidade. 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
 
 
23 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12ª ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON.J.W.; Riedel,S.A. Circuitos elétricos. 10ª ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015.