EXERCICIO Topografia Metodo_Analitico e GABARITO

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO – IT 501 
 
1. Uma superfície de terras foi levantada através do método do caminhamento perimétrico seguindo 
o sentido anti-horário. Os seus vértices reais foram amarrados por irradiação e intersecção. Abaixo 
estão transcritos os dados provenientes do levantamento, assim como elementos da planilha do 
cálculo das coordenadas retangulares dos vértices da poligonal básica. 
 
Planilha do cálculo: 
 Coordenadas relativas Coordenadas absolutas 
E Ai Az D(m) Rumos X Y X Y 
1 45°34’30” 69°58’50” 949,36 150 150 
2 64°25’40” 721,98 
3 69°59’20” 912,52 
 
Registro de Campo: 
RÉ E V Ap D(m) 
3 1 1A 194°17’20” 23,45 
 
1 2 2A 176°34’10’ 19,80 
 
2 3 3A 200°55’40” 37,60 
 
 
GABARITO: Os dados em marrom foram dados no enunciado do exercício. 
 
E Ai Ai corrigido Az D(m) Rumos 
1 45°34’30” 45°34’40” 69°58’50” 949,36 69°58’50” NE 
2 64°25’40” 64°25’50” 314°24’40” 721,98 45°35’20” NO 
3 69°59’20” 69°59’30” 204°24’10” 912,52 24°24’10”SO 
∑ 179°59’30” 180° 2583,86 
 
1) 1º Controle Angular: 
∑Ai = 180° (n-2); sendo “n” o número de vértices da poligonal básica. 
∑Ai = 180° (3-2) = 180° 
 
 180° - 179°59’30” = 0°0”30”; divide este valor pelo número de vértices (neste caso 3) 
 0°0”30”/ 3 = 0°0”10” (soma este valor em cada Ai). Neste caso é soma pois estava faltando para fechar 
180°. 
 
2) Cálculo dos Azimutes: Azn = Azn-1 + Ai corrigido + 180° 
 
Az2 = Az1 + Ai2 corrigido + 180° 
Az3 = Az2 + Ai3 corrigido - 180° 
 
3) Cálculo dos Rumos: 
 
Os rumos são calculados com base nos azimutes. É só verificar a circunferência de rumos que 
foi dada em aula. Não esquecer de colocar nos rumos o quadrante, caso contrário estará 
errado. 
Azimute no 1º quadrante: Az = Ru 
Azimute no 2º quadrante: Az + Ru = 180° 
Azimute no 3º quadrante: Az – Ru = 180° 
Azimute no 4º quadrante: Az + Ru = 360° 
Obs.: Com base nos dados ao lado, 
calcular as coordenadas dos vértices 
reais e determinar a área da superfície 
através do Método Analítico. 
4) Cálculo das coordenadas relativas da poligonal básica: 
 
Para o cálculo das coordenadas da poligonal básica se preenche as quatro primeiras colunas 
da tabela abaixo, multiplicando a distância de cada estação pelo seno ou cosseno do rumo. Os 
resultados são colocados na coluna correspondente a orientação do seu rumo. (Exemplo: o 
rumo 1 está a NE, seus resultados serão colocados no norte e no leste). 
 
O somatório de leste e oeste deveria ser igual e de norte e sul também. Isto quase nunca 
ocorre, então deve-se proceder as correções das coordenadas relativas. 
 
- Calcula-se os erros das projeções: 
ex = ∑leste - ∑oeste = 891,996 - 892,743 = -0,747 
ey = ∑norte - ∑sul = 830,246 - 830,998 = -0,752 
 
- Calcula-se o fator de correção de cada eixo: 
SD = somatório das distâncias 
cx = ex/ SD = -0,747 / 2583,86 = -0,000289 
cy = ey/ SD = -0,752 / 2583,86 = -0,000291 
 
- Calcula-se os valores de ∆x e ∆y e preenche na tabela abaixo: 
∆x = D x cx (o D é o de cada estação, multiplicado sempre pelo mesmo valor de cx). 
 Exemplo vértice 1: ∆x = 949,36 x (- 0,000289) = -0,274 
∆y = D x cy (o D é o de cada estação, multiplicado sempre pelo mesmo valor de cy). 
 Exemplo vértice 1: ∆y = 949,36 x (- 0,000291) = -0,276 
 
- Calcula-se os valores de x e y (coordenadas relativas) corrigidos: 
Não esquecer os sinais das projeções calculadas 
x corrigido = projeção calculada - ∆x 
 Exemplo estação 1: x1 corrigido = 891,996 – (-0,274) = 892,27 
y corrigido = projeção calculada - ∆y 
 Exemplo estação 1: y1 corrigido = 325,003 – (-0,276) = 325,279 
 
- Calcula-se os valores de x e y (coordenadas absolutas): 
As coordenadas absolutas da estação 1 são dadas no exercício, as demais são calculadas da 
seguinte forma: 
x absoluto = x absoluto anterior + x relativo anterior 
x2 absoluto = 150 + 892,27 = 1042,27 
x3 absoluto = 1042,27 + (-515,528) = 526,742 
y absoluto = y absoluto anterior + y relativo anterior 
y2 absoluto = 150 + 325,279 = 475,279 
y3 absoluto = 475,279 + 505,453 = 980,732 
 
 Coordenadas relativas 
 (-)
 
 (-)
Coordenadas relativas 
corrigidas 
Coordenadas absolutas 
D x sen Ru (x) D x cos Ru (y) 
E E (+) O (-) N (+) S (-) ∆x ∆y x y x y 
1 891,996 325,003 0,274 0,276 892,27 325,279 150 150
2 515,737 505,243 0,209 0,210 -515,528 505,453 1042,27 475,279 
3 377,006 830,998 0,264 0,266 -376,742 -830,732 526,742 980,732 
∑ 891,996 892,743 830,246 830,998 - - 0,0 0,0 - - 
 
 
 
135,34 131,70 
1060,43 483,16 
511,05 1014,90 
135,34 131,70 
 
5) Cálculos das coordenadas dos vértices reais: 
 
- Calcula-se os azimutes dos vértices do terreno: 
 
Azn = Az ponto de ré + Apn + 180° 
 
Exemplo para vértice 1A: Az1A = Az3 + Ap - 180° = 204°24’10” + 194°17’20” – 180° = 218°41’30” 
 
- Calcula-se as coordenadas relativas dos vértices reais: 
Para este cálculo se multiplica-se a distância do vértice real do terreno pelo seno do azimute 
(x) e pelo cosseno do azimute (y) e preenche a tabela abaixo. 
 
- Calcula-se as coordenadas absolutas dos vértices reais: 
 
x absoluto = x absoluto estação amarrada + x relativo vértice real 
Exemplo para vértice 1A: x1A = x1absoluto + x1A relativo = 150 + (-14,66) = 135,34 
 
y absoluto = y absoluto estação amarrada + y relativo vértice real 
Exemplo para vértice 1A: y1A = y1absoluto + y1A relativo = 150 + (-18,30) = 131,70 
 
 
 
RÉ 
 
E 
 
V 
 
Ap 
 
D(m) 
 
Azimute 
Coordenadas relativas Coordenadas absolutas 
D x sen Az D x cos Az 
x y x y 
3 1 1A 194°17’20” 23,45 218°41’30” -14,66 -18,30 135,34 131,70 
1 2 2A 176°34’10’ 19,80 66°33’ 18,16 7,88 1060,43 483,16 
2 3 3A 200°55’40” 37,60 335°20’20” -15,69 34,17 511,05 1014,90 
 
6) Cálculo da área: 
 
O cálculo da área se dá por uma matriz dos valores das coordenadas dos vértices reais do 
terreno. O resultado da matriz é iguala duas vezes a área do terreno. 
 
 
2 x área = 
 
 
2 x área = 1208926,57 – 523934,12 
Área = 342496,23m
2
 
___________________________________________________________________________ 
 
2. Conhecidos os azimutes de uma poligonal básica, determinar os demais elementos 
analíticos da mesma, preenchendo os quadros abaixo. 
 
E AZ RU D(m) x y ∆x ∆y 
1 15°56’43” 728,31 
2 123°41’24” 360,48 
3 161°33’54” 632,37 
4 278°07’48” 707,40 
 
 Obs.: Caminhamento: Horário 
-39,48 -1,29 
195,21 645,59 
766,85 -131,41 
-39,48 -1,29 
 
 
 
 Coordenadas relativas corrigidas Coordenadas absolutas 
E X Y X Y 
1 0 0 
2 
3 
4 
Considerando que, os dados abaixo correspondem às amarrações dos vértices reais, 
determinar as coordenadas retangulares dos mesmos e a área da superfície de terras por eles 
limitada. 
 1A (170°; 39,50m); 2A (349°15’; 54,80m); 4A (134°; 73,00) 
 
Obs.: o ângulo dos vértices reais informado é o positivo; não existe nenhum vértice real 
amarrado no vértice “3” da poligonal básica. 
 
GABARITO: Os dados em marrom foram dados no enunciado do exercício. 
Neste exercício só colocarei as tabelas preenchidas, pois a forma de cálculo é a mesma. 
 
- Não precisa calcular os ângulos internos, pois os azimutes já são informados. 
 
E Az Ru D(m) 
1 15°56’43” 15°56’43” NE 728,31 
2 123°41’24” 56°18’36” SE 360,48 
3 161°33’54” 18°26’06” SE 632,37 
4 278°07’48” 81°52’12” NO 707,40 
∑ - - 2428,56 
 
 Coordenadas relativas 
 (-)
 
 (+)
Coordenadas relativas 
corrigidas 
Coordenadas absolutas 
D x sen Ru (x) D x cos Ru (y) 
E E (+) O (-) N (+) S (-) ∆x ∆y x y x y 
1 200,08 700,29 0,0900,135 200,17 700,16 0 0 
2 299,94 199,96 0,045 0,067 299,98 -200,03 200,17 700,16 
3 199,97 599,92 0,078 0,117 200,05 -600,04 500,15 500,13 
4 700,29 100,04 0,088 0,131 -700,20 99,91 700,20 -99,91 
∑ 699,99 700,29 800,33 799,88 - - 0,0 0,0 - - 
 
A tabela a seguir foi montada com as informações fornecidas no enunciado: 
 
 
RÉ 
 
E 
 
V 
 
Ap 
 
D(m) 
 
Azimute 
Coordenadas relativas Coordenadas absolutas 
D x sen Az D x cos Az 
x y x y 
4 1 1A 170° 39,50 268°07’48” -39,48 -1,29 -39,48 -1,29 
1 2 2A 349°15’ 54,80 185°11’43” -4,96 -54,57 195,21 645,59 
3 4 4A 134° 73,00 115°33’54” 65,85 -31,50 766,85 -131,41 
 
 
 
2 x área = 
 
 
2 x área = - 52129,68 – 500006,94 
Área = 276068,31m
2
 (ignora o sinal).