IA LOGICA FUZZY

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Inteligência Artificial
Ciência da Computação
Profº Adilson Marques
Lógica Fuzzy (Lógica Difusa ou Nebulosa)
- extensão da lógica boolena. (ela não 
substitui)
- um valor lógico fuzzy (difuso) é um valor 
qualquer no intervalo de valores entre 0 e 1.
• Lógica Fuzzy 
Usamos conceitos subjetivos para classificar 
ou considerar algo sobre certas situações.
Siga “alguns metros”.
O dia está “parcialmente” nublado.
Preciso perder “alguns” quilos para ficar “bem”.
Nossa moeda é “estável”.
O time está com “altos e baixos” no torneio.
Todos os termos entre aspas são fuzzy. 
• Lógica Fuzzy 
Lógica Fuzzy 
Tem por objetivo modelar modos de 
raciocínio aproximados ao invés de precisos.
• Lógica Fuzzy 
Lógica Fuzzy 
Objetiva fazer com que as decisões tomadas pela máquina 
se aproximem cada vez mais das decisões humanas.
A)principalmente ao trabalhar com uma grande variedade 
de informações vagas e incertas, as quais podem ser 
traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou 
menos, talvez, depende etc. 
B)antes do surgimento da lógica fuzzy essas informações 
não tinham como ser processadas. 
• Lógica Fuzzy 
Por que usar Lógica Fuzzy?
@Grande parte da compreensão humana sobre os 
acontecimentos dos fatos é imprecisa.
Em muitos casos, a precisão pode ser um tanto 
quanto inútil, por outro lado, instruções vagas 
podem ser melhor interpretadas e realizadas.
• Lógica Fuzzy 
Por que usar Lógica Fuzzy?
Na Lógica Binária (clássica), as proposições são 
unicamente:
Verdadeiras V
Falsas F
Fuzzy Trabalha com a INCERTEZA.
• Lógica Fuzzy 
Existem domínios de aplicação nos quais a incerteza é parte 
inerente do problema devido a dados ausentes ou imprecisos 
e/ou relações causa-efeito não determinísticas.
• Lógica Fuzzy 
Por que usar Lógica Fuzzy?
Raciocínio com Incerteza exige:
a)Quantificação de Incerteza
b)Método de combinação dos valores de Incerteza
• Lógica Fuzzy 
10
Grau de crença ���� Teoria das Probabilidades
�Ex. 80% dos pacientes com dor de dentes têm
cáries.
Uma probabilidade de 0.8 não significa “80% 
verdade” mas sim um grau de crença de 80% na 
regra, ou seja, em 80% dos casos a regra é 
verdadeira
Grau de Crença versus Grau de Verdade 
• Lógica Fuzzy 
11
Grau de verdade ���� Lógica Fuzzy
�Ex. Mario é alto
a proposição é verdadeira para uma altura de
Mario 1.65m ?
...mais ou menos....
Observar que não há incerteza, estamos seguros
da altura de Mario.
O termo linguístico “alto” é vago, como
interpretá-lo.
A Teoria de conjuntos Fuzzy permite especificar quão bem um objeto
satisfaz uma descrição vaga.
Grau de Crença versus Grau de Verdade 
• Lógica Fuzzy 
Por que usar Lógica Fuzzy?
Na lógica fuzzy, as proposições podem ter valores 
intermediários entre “Verdadeiro” e “Falso”.
A veracidade destas é uma função que pode assumir 
qualquer valor entre:
0 – Absolutamente Falso
1 – Absolutamente Verdadeiro.
• Lógica Fuzzy 
Por que usar Lógica Fuzzy?
Com isso...
As sentenças passarão a ter um Grau de Pertinência*
• Lógica Fuzzy 
Sobre o Grau de Pertinência.
- Está no intervalo entre {0, 1}.
- Possibilita a transição gradual...
...da falsidade para a verdade...
Pertinência é neste caso uma associação ao 
pertencer ou não.
• Lógica Fuzzy 
Sobre o Grau de Pertinência.
-Não existe uma base formal para determinar o 
grau de pertinência.
Ele é escolhido experimentalmente ou 
empiricamente.
• Lógica Fuzzy 
Sobre o Grau de Pertinência.
- Permite representar valores como:
Quente - Morno – Frio – Gelado
Ótimo – Bom – Razoável – Ruim - Péssimo 
• Lógica Fuzzy 
Exemplo de representação em conjuntos.
• Lógica Fuzzy 
• Lógica Fuzzy 
Eixo X – horizontal (valores 10, 20,...50)
Eixo Y – Vertical (0 e 1)
Se observar poderá comparar que na representação 
clássica o valor trinta assume a condição de 
“pertencer ao conjunto), pois atinge o valor 1.
Já no gráfico fuzzy, o valor 30 é assumido 
gradualmente, atendendo um valor pertinente, ou 
não.
• Lógica Fuzzy 
Na teoria clássica, os conjuntos são
denominados "crisp“, e um dado elemento do 
universo em discurso(domínio) pertence ou não 
pertence ao referido conjunto.
Na teoria dos conjuntos "fuzzy" existe um grau de 
pertinência de cada elemento a um determinado conjunto.
• Lógica Fuzzy 
Podemos verificar que não existe uma fronteira bem 
definida para decidirmos quando um elemento pertence 
ou não ao respectivo conjunto.
Com os conjuntos "fuzzy" podemos definir critérios e graus 
de pertinência para tais situações.
A função característica (crisp sets) pode ser generalizada 
de modo que os valores designados aos elementos do 
conjunto universo U pertençam ao intervalo de números 
reais de 0 a 1 inclusive, isto é [0,1].
• Lógica Fuzzy 
Estes valores indicam o GRAU DE PERTINÊNCIA dos 
elementos do conjunto U em relação ao conjunto A, 
isto é, quanto é possível para um elemento x 
de U pertencer ao conjunto A.
Tal função é chamada de FUNÇÃO DE 
PERTINÊNCIA e o conjunto A é definido 
como "CONJUNTO FUZZY".
• Lógica Fuzzy 
EXEMPLO
• Lógica Fuzzy 
Dado o Conjunto Universo.
U ={5,10,20,30,40,50,60,70,80} e 
Considerar os seguintes conjuntos "fuzzy“:
A={crianças}, B={jovens}, C={adultos} e D={velhos} 
Para estes, atribuímos os graus de pertinência dos 
elementos do conjunto U em uma tabela:
segue............................................
• Lógica Fuzzy 
• Lógica Fuzzy 
IDADE Criança Jovem Adulto Velho
5 0 1 0 0
10 0 1 0 0
20 0 0.8 0.8 0.1
30 0 0.5 1 0.2
40 0 0.2 1 0.4
50 0 0.1 1 0.6
60 0 0 1 0.8
70 0 0 1 1
80 0 0 1 1
• Lógica Fuzzy 
IDADE Criança Jovem Adulto Velho
5 0 1 0 0
10 0 1 0 0
20 0 0.8 0.8 0.1
30 0 0.5 1 0.2
40 0 0.2 1 0.4
50 0 0.1 1 0.6
60 0 0 1 0.8
70 0 0 1 1
80 0 0 1 1
Qual o significado deste 
valor 1 na tabela?
• Lógica Fuzzy 
IDADE Criança Jovem Adulto Velho
5 0 1 0 0
10 0 1 0 0
20 0 0.8 0.8 0.1
30 0 0.5 1 0.2
40 0 0.2 1 0.4
50 0 0.1 1 0.6
60 0 0 1 0.8
70 0 0 1 1
80 0 0 1 1
E qual a representatividade do valor 
0,2 como grau de pertinência?
• Lógica Fuzzy 
IDADE Criança Jovem Adulto Velho
5 0 1 0 0
10 0 1 0 0
20 0 0.8 0.8 0.1
30 0 0.5 1 0.2
40 0 0.2 1 0.4
50 0 0.1 1 0.6
60 0 0 1 0.8
70 0 0 1 1
80 0 0 1 1
Observe atentamente a passagem gradual proposta pela função de 
pertinência
Conjuntos Fuzzy
Conjuntos com limites imprecisos. 
Exemplo.
• Lógica Fuzzy 
Conjuntos Fuzzy
Altura
(m)
1.75
1.0
Conjunto Clássico
1.0
Função de
pertinência
Altura
(m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Fuzzy
A = Conjunto de pessoas altas
.8
1.70
• Lógica Fuzzy 
Características da Lógica Fuzzy
A Lógica Difusa está baseada em palavras e não em números, ou 
seja, os valores verdades são expressos lingüisticamente. Por 
exemplo: quente, muito frio, verdade, longe, perto, rápido, 
vagaroso, médio, etc.
-Possui vários modificadores de predicado como por 
exemplo: muito, mais ou menos, pouco, bastante, médio, etc.
-Possui também um amplo conjunto de quantificadores, como por 
exemplo : poucos, vários, em torno de, usualmente.
-Faz uso das probabilidades lingüísticas, como por exemplo 
: provável, improvável, que são interpretados como números 
fuzzy e manipulados pela sua aritmética.
-Manuseia todos os valores entre 0 e 1, tomando estes, como um 
limite apenas. 
• Lógica Fuzzy 
Conjuntos Fuzzy
Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é 
caracterizado por uma função de pertinência µA, a qual 
mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
µA:X�[0,1]
Desta forma, a funçãode pertinência associa a cada 
elemento x pertencente a X um número real µA(x) no 
intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do 
elemento x ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para 
o elemento x pertencer ao conjunto A.
• Lógica Fuzzy 
Conjuntos Fuzzy
A função de pertinência µA(X) indica o grau de 
compatibilidade entre x e o conceito expresso por A:
µA(x) = 1 indica que x é completamente compatível com 
A;
µA(x) = 0 indica que x é completamente incompatível 
com A;
0 < µA(x) < 1 indica que x é parcialmente compatível com 
A, com grau µA(x) .
crisp
pode ser visto como um conjunto nebuloso específico 
(teoria de conjuntos clássica)
µA {0,1} pertinência do tipo “tudo ou nada”, “sim ou não” 
e não gradual como para os conjuntos nebulosos
• Lógica Fuzzy 
Conjuntos Fuzzy
• Lógica Fuzzy 
Função característica do conjunto “crisp”
Conjuntos Fuzzy
• Lógica Fuzzy 
Conjuntos Fuzzy
Definição formal:
Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de 
pares ordenados:
• Lógica Fuzzy 
}|))(,{( XxxxA A ∈= µ
Conjunto
fuzzy
Função de
pertinência
Universo ou
Universo de discurso
Conjuntos Fuzzy
Conjuntos Normais: função característica - medida de pertença 
associada ao conjunto A
Conjunto Vago (incerto): quando os elementos têm um grau de 
pertinência relativamente ao conjunto.
Exemplo
U = {x | x é uma idade entre 0 e 100}
A = conjunto das idades jovens
• Lógica Fuzzy 
Conjuntos Fuzzy
Representações
Funções de pertinência representadas em computador 
podem ser: contínuas ou discretas.
No caso contínuo, a função de pertinência é uma função 
matemática, possivelmente um programa.
No caso discreto, a função de pertinência e o universo 
são pontos de uma lista (vetor).
• Lógica Fuzzy 
Universo Discreto
• X = {SF, Boston, LA} 
(discreto e não ordenado)
▫ C = “Cidade desejável para se 
viver”
▫ C = {(SF, 0.9), (Boston, 0.8), 
(LA, 0.6)}
• X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(discreto)
▫ A = “Número de filhos razoável”
▫ A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), 
(4, .6), (5, .2), (6, .1)}0 2 4 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X = Número de filhos
G
r
a
u
 
d
e
 
P
e
r
t
i
n
ê
n
c
i
a
(a) Universo Discreto
• Lógica Fuzzy 
Universo Contínuo
• X = (Conjunto de 
números reais positivos) 
(contínuo)
▫ B = “Pessoas com idade em 
torno de 50 anos”
▫ B = {(x, µB(x) )| x em X}
µ B x
x
( ) =
+
−



1
1
50
10
2
0 50 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X = Idade
G
r
a
u
 
d
e
 
P
e
r
t
i
n
ê
n
c
i
a
(b) Universo Contínuo
• Lógica Fuzzy 
Inferência Fuzzy 
• Etapa na qual as proposições (regras) são definidas e 
são examinadas paralelamente;
• Engloba a:
▫ Definição das proposições
▫ Análise das Regras
▫ Criação da região resultante
• Lógica Fuzzy 
Inferência Fuzzy
� O mecanismo chave do modelo Fuzzy é a proposição.
� A proposição é o relacionamento entre as variáveis do 
modelo e regiões Fuzzy.
� Na definição das proposições, deve-se trabalhar com:
� Proposições Condicionais
if W is Z then X is Y
� Proposições Não-Condicionais
X is Y
• Lógica Fuzzy 
Inferência Fuzzy
• AGREGRAÇÃO
▫ Calcula a importância de uma determinada 
regra para a situação corrente.
• COMPOSIÇÃO
▫ Calcula a influência de cada regra nas 
variáveis de saída.
• Lógica Fuzzy 
Defuzzificação
• Etapa na qual as regiões resultantes são 
convertidas em valores reais (Crisp) para a 
variável de saída do sistema.
• Ela corresponde a ligação funcional entre as regiões Fuzzy
e o valor esperado.
• Lógica Fuzzy 
Exemplo
• Objetivo do sistema: 
• Um analista de projetos de 
uma empresa quer 
determinar o risco de um 
determinado projeto;
▫ Quantidade de dinheiro e de 
pessoas envolvidas no projeto.
• Representação das variáveis 
de entrada:
� Base de conhecimento:
1. Se dinheiro é adequado ou 
pessoal é pequeno então 
risco é pequeno;
2. Se dinheiro é médio e 
pessoal é alto, então risco 
é normal
3. Se dinheiro é inadequado, 
então risco é alto
• Lógica Fuzzy 
Fuzzificação
75,0)(&25,0)( == dd mi µµ
Dinheiro
Inadequado
Médio
Adequado
35
.25
.75
Baixo Alto
Pessoal
60
.2
.8
8,0)(&2,0)( == pp ab µµ
• Lógica Fuzzy 
Avaliação das regras
• Ou →
máximo;
• e →
mínimo.
Adequado
Regra 1:
Baixo0,0
ou0,2
Risco
médio
Regra 2:
Alto
0,25
e
0,8
Risco
Risco
Inadequado
Regra 3:
0,75
• Lógica Fuzzy 
Há algo no seu cotidiano de sala de aula em que 
podemos utilizar lógica fuzzy?
• Lógica Fuzzy 
Pense............
• Lógica Fuzzy 
Sistema de notas da universidade......????
• Lógica Fuzzy 
Por que o sistema de notas é um exemplo fuzzy?
• Lógica Fuzzy 
Qual o conjunto fuzzy existente?
• Lógica Fuzzy 
Processo de Transformação ou Processo de Inferência Fuzzy
a) transformar os dados de entrada em valores de 
pertinência – de acordo com uma função de pertinência.
b) unificação das saídas de todas as regras (agregação).
c) conversão da unificação das saídas no valor esperado para 
uma variável de saída do sistema. 
d) avaliação das regras.
• Lógica Fuzzy