Exercícios de Cálculo III

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MONITORIA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – MATHEUS FARIA 
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Lista de exercícios 
 
I – Parametrização 
 
1 – Os exercícios a seguir fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro 
para o movimento de uma partícula no plano 𝑥𝑦. Identifique e resolva-os: 
a. 𝑥 = 3𝑡 , 𝑦 = 9𝑡² 
b. 𝑥 = −√𝑡 , 𝑦 = 𝑡 
c. 𝑥 = 2𝑡 − 5 , 𝑦 = 4𝑡 − 7 
d. 𝑥 = 3 − 3𝑡 , 𝑦 = 2𝑡 
e. 𝑥 = cos(2𝑡) , 𝑦 = sin(2𝑡) 
f. 𝑥 = cos(𝜋 − 𝑡) , 𝑦 = sin(𝜋 − 𝑡) 
g. 𝑥 = 4 cos(𝑡) , 𝑦 = 2 sin(𝑡) 
h. 𝑥 = 4 sin(𝑡) , 𝑦 = 5 cos(𝑡) 
i. 𝑥 = sin(𝑡) , 𝑦 = cos(2𝑡) 
j. 𝑥 = 𝑡² , 𝑦 = 𝑡6 − 2𝑡4 
 
2 – Encontre a parametrização pelos segmentos de reta: 
a. 𝐴(−1, −3) 𝑎 𝐵(4,1) 
b. 𝐴(−1,3) 𝑎 𝐵(3, −2) 
c. 𝐴(2,3) 𝑎 𝐵(−1, −1) 
d. 𝐴(−1,2) 𝑎 𝐵(0,0) 
 
3 – Encontre a parametrização pelos segmentos de curva: 
a. A metade inferior da parábola 𝑥 − 1 = 𝑦² 
b. Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro para o movimento 
de uma partícula que começa no ponto (2,0) e traça a metade superior do círculo 
𝑥² + 𝑦² = 4 quatro vezes. 
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c. A circunferência 𝑥² + 𝑦² = 4 
d. A circunferência 𝑥² + 𝑦² = 9 
e. A circunferência 𝑥² + 𝑦² = 25, 𝑦 ≥ 0 
f. A circunferência 𝑥² = 49 − 𝑦2, 𝑦 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≥ 0 
g. A circunferência 𝑥 = √4 − 𝑦² no primeiro quadrante, sentido anti-horário até a 
função 𝑦 = 𝑥. 
h. A circunferência 𝑦 = √25 − 𝑥² no primeiro quadrante, sentido anti-horário a 
partir da função 𝑦 = 𝑥. 
 
II – Integral de Linha de Campos Escalares 
 
1 – Calcule: 
a. ∫ (𝑥 + 𝑦)
𝑐
𝑑𝑠 onde 𝐶: 𝐴(0,1,0) 𝑎 𝐵(1,0,0) é o segmento de reta. 
b. ∫ (𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2)
𝑐
𝑑𝑠 onde 𝐶: 𝐴(0,1,1) 𝑎 𝐵(1,0,1) é o segmento de reta. 
c. ∫ (𝑥𝑦 + 𝑦 + 𝑧)
𝑐
𝑑𝑠 ao longo da curva 𝑟(𝑡) = 2𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + (2 − 2𝑡)�⃗⃗� no intervalo 
0 ≤ 𝑡 ≤ 1. 
d. Encontre a integral de linha de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 sobre o segmento de reta 
de 𝐴(1,2,3) 𝑎 𝐵(0, −1,1). 
e. ∫ 𝑥
𝑐
𝑑𝑠 onde 𝐶: 𝐴(0,0) 𝑎 𝐵(4,2) é o segmento de reta. 
f. ∫ 𝑥
𝑐
𝑑𝑠 onde 𝐶: 𝐴(0,0) 𝑎 𝐵(2,4) é a curva parabólica 𝑦 = 𝑥². 
g. ∫ √𝑥 + 2𝑦
𝑐
𝑑𝑠 onde 𝐶: 𝐴(0,0) 𝑎 𝐵(1,4) é o segmento de reta. 
h. ∫ √𝑥 + 2𝑦
𝑐
𝑑𝑠, achando o valor de 𝐶1 𝑈 𝐶2 onde 𝐶1: 𝐴(0,0) 𝑎 𝐵(1,0) é o 
segmento de reta e 𝐶2: 𝐴(1,0) 𝑎 𝐵(1,2) é o segmento de reta. 
i. ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥
𝑐
+ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝑦 ao longo da curva 𝑦 = 𝑥² de 𝐶: 𝐴(−1,1) 𝑎 𝐵(2,4). 
 
 
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2 – Encontre as integrais de linha ao longo do caminho C dado na figura: 
 
a. ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
𝑐
 𝑑𝑦 
 
 
 
 
c. ∫ (𝑥 + √𝑦𝑐 ) 𝑑𝑠 
 
 
 
 
 
b. ∫ √𝑥 + 𝑦𝑐 𝑑𝑥 
 
 
 
 
d. ∫
1
𝑥²+𝑦²+1𝑐
 𝑑𝑠 
 
 
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III – Integral de Linha de Campos Vetoriais 
 
1 – O F é o campo de velocidade de um fluido escoando através de uma região no 
espaço. Encontre o escoamento ao longo da curva dada na direção de t crescente. 
a. 𝐹 = −4𝑥𝑦𝑖 + 8𝑦𝑗 + 2�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + �⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
b. 𝐹 = 𝑥²𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 + 𝑦²�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = 3𝑡𝑗 + 4𝑡�⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
c. 𝐹 = (𝑥 − 𝑧)𝑖 + 𝑥�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = cos (𝑡)𝑖 + sin (𝑡)�⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
d. 𝐹 = 3𝑦𝑖 + 2𝑥𝑗 + 4𝑧�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 𝑡4 �⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
e. 𝐹 = 𝑧𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 + (−𝑦2)�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = 𝑡²𝑖 + 𝑡𝑗 + √𝑡�⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
f. 𝐹 = (𝑦 − 𝑥2)𝑖 + (𝑧 − 𝑦2)𝑗 + (𝑥 − 𝑧2)�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡2𝑗 + 𝑡3�⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
g. 𝐹 = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 + 2�⃗⃗� ; 𝑟(𝑡) = [−2 cos(𝑡)]𝑖 + [2 sin(𝑡)]𝑗 + 2𝑡�⃗⃗� ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
h. 𝐹 = 𝑥²𝑖 − 𝑥𝑦𝑗; 𝑟(𝑡) = [cos(𝑡)]𝑖 + [sin(𝑡)]𝑗; 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
 
IV – Campos Conservativos 
 
1 – Mostre que F é conservativo e determine a sua função potencial: 
a. 𝐹 = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦�⃗⃗� 
b. 𝐹 = [𝑦𝑠𝑖𝑛(𝑧)]𝑖 + [𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑧)]𝑗 + [𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑧)]�⃗⃗� 
c. 𝐹 = 2𝑥𝑖 + 3𝑦𝑗 + 4𝑧�⃗⃗� 
d. 𝐹 = (𝑦 + 𝑧)𝑖 + (𝑥 + 𝑧)𝑗 + (𝑥 + 𝑦)�⃗⃗� 
e. 𝐹 = 𝑒𝑦+2𝑧(𝑖 + 𝑥𝑗 + 2𝑥�⃗⃗�) 
f. 𝐹 = [𝑒𝑥 cos(𝑦) + 𝑦𝑧]𝑖 + [𝑥𝑧 − 𝑒𝑥 sin(𝑦)]𝑗 + (𝑥𝑦 + 𝑧)�⃗⃗� 
g. 𝐹 = [𝑒𝑥+𝑦 + 1]𝑖 + 𝑒𝑥+𝑦𝑗 
h. 𝐹 = (𝑦𝑧 + 1)𝑖 + (𝑥𝑧 + 1)𝑗 + (𝑥𝑦 + 1)�⃗⃗� 
i. 𝐹 = [ln(𝑥) + 𝑠𝑒𝑐2(𝑥 + 𝑦)]𝑖 + [𝑠𝑒𝑐2(𝑥 + 𝑦) +
𝑦
𝑦2+𝑧2
] + [
𝑧
𝑦²+𝑧²
] �⃗⃗� 
 
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V – Teorema de Green 
 
1 – Resolva: 
a. ∮ 𝑥𝑦 𝑑𝑦 − 𝑦2𝑑𝑥
𝑐
 , onde C é o quadrado do primeiro quadrante formado pelas 
retas 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1. 
b. O fluxo exterior do campo 𝐹 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 através do quadrado delimitado pelas 
retas 𝑥 = 1, 𝑥 = −1, 𝑦 = 1, 𝑦 = −1. 
c. ∮ 𝑥4 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑐
 , onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de 
reta de (0,0) 𝑎 (1,0) , de (1,0) 𝑎 (0,1) e de (0,1) 𝑎 (0,0). 
d. ∮ (3𝑦 − 𝑒sin(𝑥)) 𝑑𝑥 + (7𝑥 + √𝑦4 + 1)𝑑𝑦
𝑐
 ; 𝐶: 𝑥² + 𝑦² = 9 
 
VI – Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: Variáveis 
Separáveis 
 
1 – Encontre a solução do problema: 
a. 𝑦′ = 2𝑥 
b. 𝑦′ = 3 − 2𝑦 
c. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 − 𝑦²)
1
2 
d. 𝑦′ − 𝑦 = 0 
e. 𝑦′ − 𝑥𝑦3 = 0 
f. 𝑦′ = 𝑦𝑥² 
g. 𝑦′ =
𝑥𝑒𝑥
2𝑦
 
h. 𝑥′ = cos(𝑥). cos(3𝑢) , 𝑥 = 𝑥(𝑢) 
i. 𝑦′ = 1 + 𝑥 + 𝑦² + 𝑥𝑦² 
j. 𝑦′ +
4𝑥
9𝑦
= 0 , dado a equação da elipse: (
𝑥
𝑎
)
2
+ (
𝑦
𝑏
)
2
= 1 
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k. 𝑦′ − 𝑦2 = 1 
l. Ache a solução {
(𝑥2 + 1)𝑦′ + 𝑦2 + 1 = 0
𝑦(0) = 1
, dado: tan(𝑎 + 𝑏) =
tan(𝑎)+tan(𝑏)
1−tan(𝑎).tan(𝑏)
 
m. √𝑥 𝑑𝑦 +
1
𝑦4
 𝑑𝑥 = 0 
n. 𝑣′ =
3𝑣2−1
3𝑣
 .
1
𝑥
 , 𝑣 = 𝑣(𝑥) , 𝑣 =
𝑦
𝑥
 
o. 𝑥 𝑑𝑣 −
1
(2− 
2
9𝑣2+1
)
 𝑑𝑥 = 0 , 𝑣 = 𝑣(𝑥) , 𝑣 =
𝑦
𝑥
 
p. 𝑣′ =
𝑣²−6𝑣+2
3−𝑣
 .
1
𝑥
 , 𝑣 = 𝑣(𝑥) , 𝑣 =
𝑦
𝑥
 
q. 𝑣′ =
𝑣√𝑣
1−√𝑣
 .
1
𝑥
 , 𝑣 = 𝑣(𝑥) , 𝑣 =
𝑦
𝑥
 
 
2 – Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita: 
a. 𝑦′ = 𝑦² − 2𝑥𝑦2 , 𝑦(0) = −
1
6
 
b. 𝑦′ =
(1−2𝑥)
𝑦
 , 𝑦(1) = −2 
c. 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑒−𝑥𝑑𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 1 
d. 
𝑑𝑟
𝑑𝜃
=
𝑟²
𝜃
 , 𝑟(1) = 2 
e. 𝑦′ =
2𝑥
(𝑦+𝑥²𝑦)
 , 𝑦(0) = −2 
f. 𝑦′ = 𝑥𝑦3(1 + 𝑥2)− 
1
2 , 𝑦(0) = 1 
g. 𝑦′ =
2𝑥
(1+2𝑦)
 , 𝑦(2) = 0 
h. 𝑦′ = −4𝑥𝑦2 , 𝑦(0) = 1 
i. 𝑦′ = 3𝑥2𝑦 , 𝑦(0) = 3 
j. 𝑦′ = 𝑥³ − 2 sin(𝑥) , 𝑦(0) = 3 
k. {
√(𝑥² − 16)𝑑𝑦 − √(𝑦2 + 16)𝑑𝑥 = 0
𝑦(5) = 0
 
l. {
𝑒𝑥𝑑𝑥 − 𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑦(0) = 1
 
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3 – A taxa de variação da quantidade de uma substância é proporcional à quantidade de 
substância presente. Sabe-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa 
proporcional a uma quantidade presente. Se inicialmente a quantidade de material é 
50mg e se observa que após 2 horas perde-se 10% da massa original, determine: 
a. A expressão para a massa restante em um tempo arbitrário t. 
b. A massa restante após 4 horas. 
c. O tempo necessário para a massa inicial fique reduzida até a metade. 
 
4 – O nucleotídeo radioativo Tório 234 desintegra-se a uma taxa proporcional a 
quantidade presente. Se 100mg desse material reduziram-se a 82,04mg em uma semana, 
determine: 
a. A expressão que de a quantidade presenteem um determinado instante. 
b. O tempo necessário para que uma massa do material decaia para metade do seu 
valor original. 
5 - Encontre a equação de uma curva que corte o eixo x no ponto 2 e cuja reta tangente 
em qualquer ponto (x,y) tenha inclinação 𝑥𝑒−𝑦. 
 
6 – No instante 𝑡 = 0, um tanque contém 25g de sal dissolvidas em 50 litros de água. 
Então água salgada, contendo 4g de sal por litro, é acrescentada ao tanque a uma taxa de 
2 litros por minuto e a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. 
a. Quanto haverá no tanque num instante de tempo arbitrário, t? 
b. Quanto de sal haverá no tanque após 25 minutos? 
 
7 – Considere um tanque usado em determinados experimentos em hidrodinâmica. 
Depois de um experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta com 
uma concentração de 1grama por litro. Para preparar o tanque para o próximo 
experimento, ele é lavado com água fresca fluindo a uma taxa de 2 litros por minuto, e a 
solução bem misturada flui para fora à mesma taxa. Encontre o tempo gasto até a 
concentração de tinta no tanque atingir 1% de seu valor original. 
 
8 – Um tanque contém inicialmente 120 litros de água pura. Uma concentração de 𝛾 
gramas por litro de sal entra no tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, e a mistura 
bem mexida sai do tanque à mesma taxa. 
a. Encontre uma expressão para a quantidade de sal no tanque em qualquer instante 
t em termos de 𝛾. 
b. Qual é a taxa de concentração de sal em relação ao tempo que entra no tanque 
após 1 hora e com 50g de sal acumulados no tanque? 
c. Determine a quantidade de sal no tanque no instante de 𝑡 = 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
d. Quanto tempo levará para o tanque ter 25g de sal? 
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9 – Um tanque contém inicialmente 100 galões de água fresca. Joga-se, então, água 
contendo 
1
2
 libra de sal por galão a uma taxa de 2 galões por minuto e permite-se que a 
mistura saia do tanque à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque ao final de 
10 minutos. 
 
10 – Suponha que determinada quantia 𝑆𝑜 está investida a uma taxa anual de retorno r 
capitalizada continuamente. 
a. Encontre o tempo t necessário para a soma original dobrar de valor em função de r. 
b. Determine t se 𝑟 = 7%. 
c. Encontre a taxa de retorno que precisa ser alcançada se o investimento inicial 
deve dobrar em 8 anos. 
 
 
VII – Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: Fatores 
Integrantes 
 
1 – Resolvam os seguintes problemas: 
a. 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 
b. 𝑥𝑦′ + 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑥 > 0 
c. 𝑦′ = 𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1 
d. {
𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥²𝑒2𝑥
𝑦(0) = −1
 
e. {
𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 −
sin(𝑥)
𝑥
𝑦(𝜋) = 1
 
 
2 – A taxa de variação de um corpo é proporcional à diferença de temperatura ente um 
corpo e o meio. Um corpo a temperatura inicial de 50°F que é colocado ao ar livre onde 
a temperatura ambiente é de 100°F. Após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60°F. 
a. O tempo necessário para temperatura do corpo atingir 75°F. 
b. A temperatura do corpo após 20 minutos. 
 
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3 – A taxa de variação de um corpo é proporcional à diferença de temperatura ente um 
corpo e o meio. A barra de ferro previamente aquecida a 1200°F é resfriada em um 
tanque de água mantida a temperatura constante de 50°F. A barra resfria 200°F no 
primeiro minuto. Determine quanto tempo levará até que a barra resfrie outros 200°F. 
 
4 – Suponha que uma salmoura contendo 0,3kg/L entre um tanque cheio com 400 litros 
de água, contendo 2 kg de sal. Se a salmoura entrar a 10 L/min, a mistura flui no mesmo 
ritmo. Encontre a massa de sal no tanque após 10 minutos. Considere que A indica o 
número de quilos de sal no tanque em t minutos após o processo iniciar e use o fato de 
que taxa de aumento em A = taxa de entrada – taxa de saída. 
 
5 – De acordo com a lei de resfriamento de Newton, se um objeto na temperatura T for 
imerso em um meio tendo a temperatura constante M, então a taxa de mudança de T é 
proporcional à diferença na temperatura T – M. Isso gera a equação diferencial 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑀). 
a. Resolva a equação diferencial para T. 
b. Um termômetro com uma temperatura de 100°F é colocado em um meio tendo 
uma temperatura constante de 70°F. Depois de 6 minutos, o termômetro indica 
80°F. Qual é a leitura após 20 minutos? 
 
 
VIII – Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem: 
Variação de Parâmetro 
 
1 – Resolva as equações diferenciais pelo método de variação de parâmetro: 
a. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥² 
b. 𝑦′ + 3𝑦 = 𝑒2𝑥 , 𝑦(0) = 1 
c. 𝑦′ − 𝑦 = 𝑥 
d. 𝑦′ − 𝑦 = 𝑒2𝑥 − 1 
e. 𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2𝑒
2𝑥
 , 𝑦(0) = −1 
 
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IX – Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem: 
Homogêneas 
 
1 – Em cada um dos problemas ache a solução geral da equação diferencial dada. 
Encontre os valores das constantes se houver condição inicial. 
a. 𝑦′′ + 2𝑦′ − 3𝑦 = 0 
b. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 
c. 6𝑦′′ − 𝑦′ − 𝑦 = 0 
d. 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 𝑦 = 0 
e. 𝑦′′ + 5𝑦′ = 0 
f. 4𝑦′′ − 9𝑦 = 0 
g. 𝑦′′ − 9𝑦′ + 9𝑦 = 0 
h. 𝑦′′ − 2𝑦′ − 2𝑦 = 0 
i. 𝑦′′ + 𝑦′ − 2𝑦 = 0 
j. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = −1 
k. 6𝑦′′ − 5𝑦′ + 𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 4, 𝑦′(0) = 0 
l. 𝑦′′ + 3𝑦′ = 0 , 𝑦(0) = −2 , 𝑦′(0) = 3 
m. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0 
n. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 
o. 9𝑦′′ + 6𝑦′ + 𝑦 = 0 
p. 4𝑦′′ + 12𝑦′ + 9𝑦 = 0 
q. 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 0 
r. 16𝑦′′ + 24𝑦′ + 9𝑦 = 0 
s. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 0 
t. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 6𝑦 = 0 
u. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 0 
v. 𝑦′′ + 6𝑦′ + 13𝑦 = 0 
w. 4𝑦′′ + 9𝑦 = 0 
x. 𝑦′′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1 
y. 𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0 
z. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦 (
𝜋
2
) = 0, 𝑦′ (
𝜋
2
) = 2 
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X – Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem: Não 
Homogêneas 
 
1 – Em cada um dos problemas ache a solução geral da equação diferencial dada. 
Encontre os valores das constantes se houver condição inicial. 
a. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥2 
b. 𝑦′′ − 2𝑦 = sin(4𝑥) 
c. 𝑦′′ − 4𝑦′ + 5𝑦 = 𝑒−𝑥 
d. 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑥³, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 0 
e. 𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑥𝑒𝑥, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 1 
f. 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 3𝑒2𝑥 
g. 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 2 sin(𝑥) 
h. 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 3𝑒2𝑥 + 2 sin(𝑥) 
i. 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = −8𝑒𝑥 cos(2𝑥) 
j. 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 2𝑒−𝑥 
k. 𝑦′′ − 6𝑦′ + 9𝑦 = 𝑒3𝑥 
l. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 3𝑥 
m. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 10𝑒3𝑥 
n. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = sin(𝑥) 
o. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 10𝑒3𝑥 + sin(𝑥) 
p. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−2𝑥 
q. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−𝑥 
r. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−2𝑥 + 𝑒−𝑥 
s. 𝑦′′ + 4𝑦 = 5𝑥²𝑒𝑥 
 
 
 
 
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Respostas 
 
 
I – Parametrização 
 
1 . 
a. 𝑦 = 𝑥² 
b. 𝑥 = −√𝑦 
c. 𝑦 = 2𝑥 + 3 
d. 3𝑦 = 6 − 2𝑥 
e. 𝑥² + 𝑦² = 1 
f. 𝑥² + 𝑦² = 1 
g. 
𝑥²
16
+
𝑦²
4
= 1 
h. 
𝑥²
16
+
𝑦²
25
= 1 
i. 2𝑥² + 𝑦 = 1 
j. 𝑦 = 𝑥³ − 2𝑥² 
 
2 . 
a. {
𝑥 = −1 + 5𝑡
𝑦 = −3 + 4𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
b. {
𝑥 = −1 + 4𝑡
𝑦 = 3 − 5𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
c. {
𝑥 = 2 − 3𝑡
𝑦 = 3 − 4𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
d. {
𝑥 = −1 + 𝑡
𝑦 = 2 − 2𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
 
3 . 
a. {
𝑥 = 𝑡² + 1
𝑦 = 𝑡
 , 𝑡 ≤ 0 
b.{
𝑥 = 2 cos 𝑡
𝑦 = 2 sin 𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜋 
c. {
𝑥 = 2 cos 𝑡
𝑦 = 2 sin 𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
d. {
𝑥 = 3 cos 𝑡
𝑦 = 3 sin 𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
e. {
𝑥 = 5 cos 𝑡
𝑦 = 5 sin 𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
f. {
𝑥 = 7 cos 𝑡
𝑦 = 7 sin 𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
g. {
𝑥 = 2 cos 𝑡
𝑦 = 2 sin 𝑡
 , 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
4
 
h. {
𝑥 = 5 cos 𝑡
𝑦 = 5 sin 𝑡
 ,
𝜋
4
≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
 
II – Integral de Linha de 
Campos Escalares 
 
1 . 
a. √2 
b. −√2 
c. 
13
2
 
d. 3√14 
e. 4√5 
f. 
17√17−1
12
 
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g. 2√17 
h. 
5√5−1
3
 
i. 
69
4
 
 
2 . 
a. 36 
b. 2√3 − 4 
c. 
5√5+7√2−1
6
 
d. 0 
 
III – Integral de Linha de 
Campos Vetoriais 
 
1 . 
a. 48 
b. 24 
c. 𝜋 
d. 
13
3
 
e. 
17
20
 
f. 
29
60
 
g. 0 
h. −
2
3
 
 
 
 
IV – Campos Conservativos 
 
1. 
a. 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑐 
b. 𝑓 = 𝑥𝑦 sin(𝑧) + 𝑐 
c. 𝑓 = 𝑥² +
3𝑦²
2
+ 2𝑧² + 𝑐 
d. 𝑓 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 + 𝑐 
e. 𝑓 = 𝑥𝑒𝑦+2𝑧 + 𝑐 
f. 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑒𝑥 cos(𝑦) +
𝑧²
2
+ 𝑐 
g. 𝑓 = 𝑒𝑥+𝑦 + 𝑥 + 𝑐 
h. 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑐 
i. 𝑓 =
1
2
ln(𝑦2 + 𝑧2) + 𝑥 ln(𝑥) −
𝑥 + tan(𝑥 + 𝑦) + 𝑐 
 
V – Teorema de Green 
 
1. 
a. 
2
3
 
b. 4 
c. 
1
6
 
d. 36𝜋 
 
 
 
 
 
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VI – Equações Diferenciais 
Ordinárias de Primeira Ordem: 
Variáveis Separáveis 
 
1. 
a. 𝑦 = 𝑥² + 𝑐 
b. 𝑦 =
1
2
[
1
𝐴𝑒2𝑥
− 3] 
c. 𝑦 = sin(ln(𝑥) + 𝑐) 
d. 𝑦 = 𝐴𝑒𝑥 
e. 𝑦 = √
1
𝑥²+𝑐
 
f. 𝑦 = 𝑐𝑒
𝑥³
3 
g. 𝑦 = √𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐 
h. sec(𝑥) + tan(𝑥) = 𝐴𝑒
sin(𝑢)
3 
i. 𝑦 = tan (
𝑥²
2
+ 𝑥 + 𝑐) 
j. (
𝑥
√2
2
)
2
+ (
𝑦
√2
3
)
2
= 𝑐 
k. 𝑦 = tan(𝑥 + 𝑐) 
l. 𝑦 =
1−𝑥
1+𝑥
 
m. 𝑦 = √𝑐2 − 10√𝑥
5
 
n. 𝑦 = √𝑐𝑥4 +
𝑥²
3
 
o. 
2𝑦
𝑥
−
2
3
tan−1 (
3𝑦
𝑥
) = ln(𝑥) + c 
p. 𝑦2 − 6𝑥𝑦 + 2𝑥2 = 𝑐 
q. 𝑦 = 𝑐𝑒
−2
√
𝑦
𝑥 
 
 
2 . 
a. 𝑦 =
1
𝑥²−𝑥−6
 
b. 𝑦 = √2𝑥 − 2𝑥2 + 4 
c. 𝑦 = √2𝑒𝑥(−𝑥 + 1) − 1 
d. 𝑟 =
2
−2 ln(𝜃)+1
 
e. 𝑦 = √2 ln(1 + 𝑥2) + 4 
f. 𝑦 = [3 − 2√1 + 𝑥²]
− 
1
2
 
g. 𝑦 =
−1+√4𝑥²−15
2
 
h. 𝑦 =
1
2𝑥2−1
 
i. 𝑦 = 3𝑒𝑥
3
 
j. 𝑦 =
𝑥4
4
+ 2 cos(𝑥) + 𝑐 
k. 2(𝑦 + √𝑦2 + 16) =
(𝑥 + √𝑥2 − 16) 
l. 𝑦 = √2𝑒𝑥 − 1 
 
3 . 
a. 𝑄 = 50𝑒−0,0527𝑡 
b. 𝑄 = 40,5 
c. 𝑡 ≅ 13,153 
 
4. 
a. 𝑄 = 100𝑒−0,0283𝑡 
b. 𝑡 ≅ 24,5 
 
5. 𝑦 = ln (
𝑥²
2
− 1) 
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6. 
a. 𝑚 = 200 − 175𝑒− 
𝑡
25 
b. 𝑚 ≅ 136 
 
7. 𝑡 = 460,5 
 
8. 
a. 𝑄 = 120𝛾 [1 − 𝑒−
𝑡
60] 
b. 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 =
1,32 𝑔/𝑚𝑖𝑛 
c. 𝑄 ≅ 22,5 𝑔 
d. 𝑡 ≅ 23 𝑚𝑖𝑛 
 
9. 𝑄 ≅ 9,06 𝑙𝑏 
10. 
a. 𝑡 =
ln 2
𝑟
 
b. 𝑡 = 9,9 𝑎𝑛𝑜𝑠 
c. 𝑟 = 8,7% 
 
VII – Equações Diferenciais 
Ordinárias de Primeira Ordem: 
Fatores Integrantes 
1 . 
a. 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥 − 𝑥 − 1 
b. 𝑦 = ln(𝑥) − 1 +
𝑐
𝑥
 
c. 𝑦 = 𝑒2𝑥 + 1 + 𝑐𝑒𝑥 
d. 𝑦 = 𝑒2𝑥 (
𝑥³
3
− 1) 
e. 𝑦 = −
cos(𝑥)+𝜋²−1
𝑥2
 
 
2. 
a. 𝑡 = 15,4 𝑚𝑖𝑛 
b. 𝑇 = 79,5°𝐹 
 
3. 𝑡 = 2,24 𝑚𝑖𝑛 
 
4. 𝐴 = 28,1 𝐾𝑔 
 
5. 
a. 𝑇 = 𝑀 + 𝐴𝑒𝑘𝑡 
b. 𝑇 = 70,7°𝐹 
VIII – Equações Diferenciais 
Ordinárias de Primeira Ordem: 
Variação de Parâmetro 
 
1 . 
a. 𝑦 = 𝑥²𝑒−𝑥² + 𝑐𝑒−𝑥² 
b. 𝑦 =
𝑒2𝑥
5
+
4
5
𝑒−3𝑥 
c. 𝑦 = −𝑥 − 1 + 𝑐𝑒𝑥 
d. 𝑦 = 𝑒𝑥² + 1 + 𝑐𝑒𝑥 
e. 𝑦 = 𝑒2𝑥 (
𝑥3
3
− 1) 
 
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IX – Equações Diferenciais 
Ordinárias de Segunda Ordem: 
Homogêneas 
 
1. 
a. 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑥 + 𝐶2𝑒
−3𝑥 
b. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 
c. 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑥
2 + 𝐶2𝑒
−
𝑥
3 
d. 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑥 + 𝐶2𝑒
𝑥
2 
e. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
−5𝑥 
f. 𝑦 = 𝐶1𝑒
3𝑥
2 + 𝐶2𝑒
− 
3𝑥
2 
g. 𝑦 = 𝐶1𝑒
(
9+3√5
2
)𝑥
+ 𝐶2𝑒
(
9−3√5
2
)𝑥
 
h. 𝑦 = 𝐶1𝑒
(
2+2√3
2
)𝑥
+ 𝐶2𝑒
(
2−2√3
2
)𝑥
 
i. 𝑦 = 𝑒𝑥 
j. 𝑦 =
5
2
𝑒−𝑥 −
1
2
𝑒−3𝑥 
k. 𝑦 = −8𝑒
𝑥
2 + 12𝑒
𝑥
3 
l. 𝑦 = −1 − 𝑒−3 
m. 𝑦 = 2𝑒−𝑥 − 𝑒−2𝑥 
n. 𝑦 = 𝐶1𝑒
𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
𝑥 
o. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−
𝑥
3 + 𝐶2𝑥𝑒
−
𝑥
3 
p. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−
3𝑥
2 + 𝐶2𝑥𝑒
− 
3𝑥
2 
q. 𝑦 = 𝐶1𝑒
3𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
3𝑥 
r. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−
3𝑥
4 + 𝐶2𝑥𝑒
− 
3𝑥
4 
s. 𝑦 = 𝑒𝑥[𝐶1 cos(𝑥) + 𝐶2 sin(𝑥)] 
t. 𝑦 = 𝑒𝑥[𝐶1 cos(√5𝑥) +
𝐶2 sin(√5𝑥)] 
u. 𝑦 = 𝑒−𝑥[𝐶1 cos(𝑥) + 𝐶2 sin(𝑥)] 
v. 𝑦 = 𝑒−3𝑥[𝐶1 cos(2𝑥) +
𝐶2 sin(2𝑥)] 
w. 𝑦 = 𝐶1 cos (
3𝑥
2
) + 𝐶2 sin (
3𝑥
2
) 
x. 𝑦 =
1
2
sin(2𝑥) 
y. 𝑦 = 𝑒−2𝑥[cos(𝑥) + 2 sin(𝑥)] 
z. 𝑦 = −𝑒𝑥−
𝜋
2 sin(2𝑥)
 
X – Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem: Não 
Homogêneas 
 
1. 
a. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−2𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 +
1
2
𝑥² −
3
2
𝑥 +
7
4
 
b. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑒
2𝑥 +
1
40
cos(4𝑥) −
1
20
sin(4𝑥) 
c. 𝑦 = 𝑒2𝑥 [𝐶1 cos(𝑥) + 𝐶2 sin(𝑥) +
1
10
𝑒−𝑥] 
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d. 𝑦 =
2
3
cos(𝑥) +
11
2
sin(𝑥) +
1
2
𝑒𝑥 + 𝑥³ − 6𝑥 
e. 𝑦 = 𝑒𝑥 [
1
2
𝑥² − 𝑥 + 2] 
f. 𝑦 = 𝐶1𝑒
4𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 −
1
2
𝑒2𝑥 
g. 𝑦 = 𝐶1𝑒
4𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 −
5
17
sin(𝑥) +
3
17
cos(𝑥) 
h. 𝑦 = 𝐶1𝑒
4𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 −
5
17
sin(𝑥) +
3
17
cos(𝑥) 
i. 𝑦 = 𝐶1𝑒
4𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 + 𝑒𝑥 [
10
13
cos(2𝑥) +
2
13
sin(2𝑥)] 
j. 𝑦 = 𝐶1𝑒
4𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑥 −
2𝑥
5
𝑒−𝑥 
k. 𝑦 = 𝐶1𝑒
3𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
3𝑥 +
𝑥²
2
𝑒3𝑥 
l. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 +
3𝑥
2
−
9
4
 
m. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 +
1
2
𝑒3𝑥 
n. = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 −
3
10
cos(𝑥) +
1
10
sin(𝑥) 
o. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 +
1
2
𝑒3𝑥 −
3
10
cos(𝑥) +
1
10
sin(𝑥) 
p. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 − 𝑥𝑒−2𝑥 
q. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 
r. 𝑦 = 𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 − 𝑥𝑒−2𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥 
s. 𝑦 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥) + 𝑒
𝑥 [𝑥² −
4𝑥
5
−
2
25
]