Lista 1 - Análise A - 2015 - Brietzke

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MAT01057 – 2015 LISTA 1 Prof. Eduardo
1. Use induc¸a˜o para demonstrar:
(i) 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
, ∀n ∈ N .
(ii) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 , ∀n ∈ N .
(iii) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
, ∀n ∈ N .
(iv) 12 + 32 + 52 + · · ·+ (2n− 1)2 = n (2n− 1) (2n+ 1)
3
, ∀n ∈ N .
2. Para quais n ∈ N tem-se 2n + 3 ≤ 2n? Fac¸a uma tabela com os valores de 2n + 3 e de 2n para
os primeiros valores de n. Examinando sua tabela fac¸a uma conjectura a respeito do n0 a partir do
qual a desigualdade vale. Prove sua conjectura por induc¸a˜o.
3. Para expoentes pares pode-se melhorar a Desigualdade de Bernoulli. Prove que
(1 + x)2n ≥ 1 + 2nx, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
Sugesta˜o: Use que (1 + x)2n =
(
(1 + x)2
)n
.
4. Defina uma func¸a˜o sobrejetiva f : N → N tal que ∀n ∈ N o conjunto f−1({n}) seja infinito.
Observac¸a˜o sobre a notac¸a˜o: Neste exerc´ıcio na˜o estamos falando em func¸a˜o inversa. Para
existir a func¸a˜o inversa precisar´ıamos da hipo´tese adicional de que f e´ bijetiva. Mas para qualquer
func¸a˜o f : X → Y , dado um subconjunto B ⊆ Y , temos a imagem inversa de B por f , definida por
f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}. Assim, no exerc´ıcio acima f−1({n}) = {m ∈ N | f(m) = n}.
Sugesta˜o: Comece organizando uma lista em que cada nu´mero natural aparec¸a uma infinidade de
vezes. Existem outras maneiras de definir uma func¸a˜o que na˜o seja dar uma equac¸a˜o.
5. Suponhamos que se deseje calcular a raiz quadrada a de um nu´mero positivo b > 0, isto e´, a > 0
tal que a2 = b. Se tivermos x > 0 um valor aproximado, i.e., x2 ≈ b, enta˜o y = b
x
tambe´m e´ uma
aproximac¸a˜o para
√
b, com xy = b.
(i) Justifique que para esses dois valores aproximados de
√
b, temos que um deles e´ maior e o
outro e´ menor do que o valor exato, sendo portanto de esperar que o ponto me´dio entre eles,
m =
x+ y
2
, seja uma aproximac¸a˜o melhor do que cada um deles.
(ii) Com base na observac¸a˜o do item anterior, os antigos babiloˆnios desenvolveram um me´todo
iterativo para encontrar a raiz quadrada
√
b. Escolhendo c > 0 arbitrariamente, definimos
recursivamente
x1 = c
xn+1 =
1
2
(
xn +
b
xn
)
Considere o caso particular b = 2, c = 1. Escreva os quatro primeiros termos da sequeˆncia
x1, x2, x3, x4. Prove que xn =
pn
qn
, com pn e qn definidos recursivamente por
p1 = q1 = 1, pn+1 = p
2
n + 2q
2
n, qn+1 = 2pnqn .
(iii) Mostre, por induc¸a˜o, que para todo n ∈ N, pn e´ ı´mpar, pn e qn sa˜o primos entre si (ou seja, a
frac¸a˜o pn/qn ja´ esta´ em forma reduzida) e que vale
x2n − 2 =
1
q2n
, ∀n ≥ 2
(que nos diz que essas aproximac¸o˜es de
√
2 sa˜o todas por excesso e nos da´ uma ideia do erro
cometido).
2