201644 115954 Apostila +FIsica+III 1BIM

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Engenharia Civil
Física III - EAD
2016/1
Prof. Msc. Moacir Cézar
1
A Lei de Coulomb – Força elétrica
 Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais diferentes se atraem.
 Prótons: carga elétrica positiva; elétrons: carga elétrica negativa.
 Corpo elétricamente neutro: a soma algébrica das cargas positivas do núcleo e das cargas
negativas dos elétrons cancelam-se.
 Corpo eletrizado: objeto que perdeu ou recebeu elétrons.
 Condutores e isolantes. Nos condutores, os elétrons livres, mais externos, se movem de uma
região à outra, o que não ocorre nos isolantes.
A interação elétrica entre duas partículas eletrizadas é descrita em termos das forças que elas
exercem mutuamente. O módulo da força elétrica que a carga 1 exerce na carga 2, separadas por
uma distância r, é dado por:
F=k
|q1 q2|
d2
onde F= força de atração ou repulsão entre as cargas, em newtons (N). k=8,98755.109 N.m2.C-2 
9,0.109 N.m2.C-2 = constante eletrostática. q1, q2 = carga elétrica da partícula, em coulomb (C). d é a
distância entre as cargas elétricas, em metros (m).
A Lei de Coulomb também pode ser expressa da seguinte forma:
F= 1
4 πεo
|q1q2|
d2
 onde 
o4
1

= k = 8,98755.109 N.m2.C-2 9,0.109 N.m2.C-2 , onde o = 8,854185.10-12 C2.N-1.m-2 
 
 
 
2
O Campo Elétrico
O Campo elétrico é a região de influência de uma carga elétrica, manifestada através da força
elétrica que atua sobre uma carga de teste colocada neste campo. Define-se o campo elétrico E

, no
ponto P, como a força F

 exercida pela carga q sobre a carga de teste q0, dividida por q0.
O campo elétrico no ponto P será: 
0q
FE



Módulo do campo elétrico para uma carga puntiforme: Ei=
kqi
ri2
= 1
4 πε0
qi
d i2
 
Campo elétrico resultante num ponto P, devido ao campo elétrico de N cargas geradoras:
 E=E1+E2+E3
A unidade de campo elétrico, no S.I., é o newton por coulomb (N/C).
As linhas de campo elétrico constituem um auxílio para visualizar o campo. A linha de campo é
traçada de tal maneira que sua direção e sentido em qualquer ponto são os mesmos que os do
campo elétrico nesse ponto. A figura a seguir mostra alguns exemplos de linhas de campo.
O Potencial Elétrico
O Potencial devido a partículas carregadas.
V= 1
4 πεo
∑
qi
d i
 ,
onde di é a distância entre a carga i e o ponto P. O potencial elétrico é dado, no S.I., em J/C que
recebe o nome de volt (V).
3
 Diferença de potencial.
o
ba
ba q
UUVV 
 Em um campo elétrico constante, a diferença de potencial entre os pontos a e b é dada por:
xEVV ba 
 Campo elétrico em termos do potencial:
z
VE
y
VE
x
VE zyx 








 Estas equações mostram que a unidade de campo elétrico também pode ser o volt/metro (V/m).
 Superfícies Equipotenciais
É uma superfície na qual o potencial é constante. A energia potencial de um corpo eletrizado é a
mesma em todos os pontos desta superfície. Com isto, não há trabalho realizado para mover o
corpo eletrizado em tal superfície. Portanto, a superfície equipotencial, em qualquer ponto, deve
ser perpendicular ao campo elétrico neste ponto.
Figura mostrando as linhas de força do campo elétrico e as superfícies equipotenciais.
4
Exemplos: 
1. Uma carga de 5 mC é colocada em x = 0, e uma segunda de 7 mC é colocada em x = 100 cm. Em que
posição deve se colocar uma terceira carga para que a força resultante sobre ela, devido às outras
duas, seja nula?
2. Quando uma carga de prova de 5 nC é colocada num certo ponto, sofre uma força de 2 x 10 -4 N na
direção X. Qual o campo elétrico neste ponto ?
3. Uma carga positiva q1 = 8 nC está na origem e uma outra carga positiva q2 = 12 nC está em x = 4 m. (a)
Determinar o campo elétrico deste sistema de cargas em x =7 m; (b) Determinar o ponto, sobre o eixo
dos X, onde o campo elétrico é nulo.
4. Uma partícula cuja carga é q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B, ao longo de uma linha reta. A
distância total é d = 0,5 m. O campo elétrico é uniforme ao longo desta linha, na direção de A para B,
com módulo E = 200 N/C. Determinar a força sobre q, o trabalho realizado pelo campo e a diferença de
potencial VA – VB.
5. Três partículas carregadas eletricamente são colocadas sobre um triângulo equilátero de lado d = 40 
cm, conforme mostra a figura a seguir. Calcule o módulo da força resultante em Q3 e faça também um 
esboço do vetor força elétrica resultante.
 
 
6. Na figura, as linhas tracejadas representam superfícies equipotenciais de um campo elétrico; as
linhas cheias I, II, III, IV e V representam cinco possíveis trajetórias de uma partícula de carga q,
positiva, realizadas entre dois pontos dessas superfícies, por um agente externo que realiza trabalho
mínimo.
A trajetória em que esse trabalho é maior, em módulo, é:
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
5
A Corrente elétrica
A corrente elétrica: carga resultante que flui através da área, por unidade de tempo.
 i=dQdt
No S. I., a corrente elétrica é dada em ampére (A = C/s). A densidade de corrente (J) também é uma 
grandeza importante, por definição ela é igual a corrente por unidade de área transversal do 
condutor.
 
 J= iA
A densidade de corrente em um condutor depende do campo elétrico E

 e da natureza do condutor.
Em metais, temos:
 
J
E
 onde  = resistividade do material (.m)
Quanto maior a resistividade, maior será a intensidade do campo elétrico necessária para
estabelecer uma dada densidade de corrente (característica do material).
Resistência Elétrica
Consideremos um segmento de um fio condutor dado pela figura abaixo:
A diferença de potencial V, entre as extremidades, é dada por:
 LEV  E

= campo elétrico uniforme ao longo do condutor.
 E
L
V

Como 
J
E
 , temos que, JE  , então: 
 J
L
V  , como 
A
iJ  temos:
 i
A
LV
A
i
L
V   
 
1
 Onde a quantidade 
A
L
 ,para um material em particular é chamado de resistência elétrica R, ou
seja,
 
A
LR 
 
Então, iRV  (Lei de Ohm)
com V sendo a diferença de potencial, medido em volts, R é a resistência elétrica do condutor, em
ohm () e i é a intensidade da corrente elétrica através do condutor, em ampére (A).
Potência Elétrica
 A taxa de ganho ou perda de energia é chamada de potência (P), ou seja,
 iv
t
wP ab  ou P = V i
 A unidade de potência, no S.I., é o joule por segundo (J/s) que é chamado de watt (W).
 O trabalho também pode ser expresso da seguinte maneira,
 w = PΔt
Se a potência for expressa em quilowatt (kW) e o tempo em horas (h), o trabalho será expresso
em quilowatt-hora (kWh).
 
 Como V = R i, a potência dissipada por uma resistência será dada por:
P = V i = R i i  P = R i2 
ou, fazendo 
R
Vi  , temos: P = 
R
V 2
Resistores
Resistores são dispositivos que convertem parte da energia elétrica recebida em energia térmica
(efeito joule).
 Associação de resistores em série:
2
- A corrente elétrica i é a mesma em todos os resistores.
- A diferença de potencial V é dada por: V = V1 + V2 
- Como V = R i, temos: 
R i = R1 i + R2 i  R = R1 + R2 , onde Req = resistor equivalente.
 Associação de resistores emparalelo:
- A ddp é a mesma em todos os resistores
 - A corrente elétrica total i é dada por: i = i1 + i2 
 - Como V = R i, temos: i = V/R, então:
 
 V
R
= V
R1
+ V
R2
  
1
R
= 1
R1
+ 1
R2
 , onde Req = resistor equivalente
 
Exemplos
1. Um fio de cobre tem 80 m de comprimento e seção transversal de 0,4 mm2. A resistividade do
cobre é 1,72.10-8 m. Determine a resistência desse fio.
2. Três resistores iguais são ligados em série. Quando se aplica uma certa tensão a esta combinação, a 
potência total consumida é de 10 W. Que potência seria consumida se os três resistores fossem ligados em
paralelo à mesma tensão? 
3. Considere a figura para: (a) calcular a resistência equivalente no circuito; (b) Determinar as
correntes elétricas em cada resistor. (c) calcular a potência dissipada em cada resistor.
1
CAPACITORES
Capacitores são dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente, carga elétrica e energia
em circuitos. São constituídos por dois condutores, isolados entre si, mas muito próximos um do
outro, que quando estão carregados, tem cargas elétricas iguais, porém, de sinais opostos. 
A Capacitância (C): é a medida da capacidade de armazenamento de carga para uma determinada
diferença de potencial nos terminais do capacitor.
V
QC 
 No S.I., a unidade de capacitância é o farad (F): 1 F = 1 C/V.
2
 Capacitor de placas paralelas: Sejam duas placas planas, paralelas, de área A cada uma,
eletrizadas e separadas por uma distância d.
Da Lei de Gauss, temos que:
   A
QEQdAE
oo
n

Do potencial elétrico, temos: Vab = E d , substituindo a expressão do campo elétrico nesta
equação:
 d
AC
d
A
V
Q
A
dQV oo
abo
ab



onde, C é capacitância do capacitor, A é área de cada placa e d a distância entre as placas.
Dielétricos:
Um material não-condutor, como vidro, papel ou madeira, é um dielétrico. Quando o espaço
entre os dois condutores de um capacitor for ocupado por dielétrico, a capacitância do capacitor
aumenta por um fator K, característico do dielétrico, e denominado de constante dielétrica. A
razão deste aumento está na diminuição do campo elétrico, entre as placas do capacitor,
provocado pela presença do dielétrico. Assim, para uma dada carga elétrica nas placas, a
diferença de potencial fica diminuída e a razão Q/V fica aumentada.
Um dielétrico enfraquece o campo elétrico entre as placas de um capacitor, pois, na presença
de um campo elétrico externo, as moléculas no dielétrico são polarizadas, resultando numa carga
superficial nas faces do dielétrico, produzindo um campo elétrico adicional na direção oposta à do
campo externo.
Se o campo elétrico entre as placas de um capacitor sem dielétrico for Eo, o campo com o
dielétrico é:
 
K
EE o
onde K é a constante dielétrica. Num capacitor de placa planas e paralelas, com uma separação d, a
diferença de potencial entre as placas é:
K
V
K
dEdEV oo 
1
onde V é a diferença de potencial com o dielétrico e Vo = Eo d é a diferença de potencial sem o
dielétrico. A nova capacitância é:
o
oo
CKCou
V
QK
K/V
Q
V
QC 
A capacitância de um capacitor de placas planas e paralelas, com um dielétrico de constante
dielétrica K é então:
o
o Konde
d
A
d
AKC   é a permissividade do dielétrico
 
 Capacitor cilíndrico: Cabo coaxial
 Associação de capacitores em série:
1
Carga total na associação: Q = Q1 = Q2
1
ca1 C
QVVV  
2
bc2 C
QVVV 
)VV()VV(VVV bccaba 





2121
21 C
1
C
1Q
C
Q
C
QVVV
21 C
1
C
1
Q
V

....
C
1
C
1
C
1
21eq
 
 (capacitor equivalente série)
Capacitância de um cabo 
coaxial de comprimento L, 
com condutor interno de raio
Ra e condutor externo de raio 
Rb.
 
 )R/R(ln
L2C
ab
o

 Associação de capacitores em paralelo:
Energia elétrica armazenada em um capacitor
Quando uma bateria carrega um capacitor, realiza trabalho ao transferir portadores de carga de uma
placa para outra, elevando a energia potencial dos portadores. Essa energia potencial aumentada
dos portadores de carga constitui a energia elétrica armazenada em um capacitor.
Como o potencial elétrico V é dado por: q
UV  , onde U é a energia potencial elétrica, temos que a
variação de energia potencial de um sistema quando a carga dq é transferida pela bateria é
dU = V dq
para determinarmos a energia potencial total U armazenada no capacitor ao carregá-lo de zero até
Q, fazemos a seguinte integração:

Q
0
Q
0
Q
0
dqq
C
1dq
C
qdqVU
C2
QU
2

 Utilizando a definição de capacitância, 
V
QC  , temos as seguintes expressões para a energia
potencial elétrica de um capacitor carregado:
 
2
VQU
2
VCU
C2
QU
22
 
2
VCQ 11 
VCQ 22 
Carga total na associação: Q = Q1 + Q2
Q = C1 V + C2 V = (C1 + C2) V
21 CCV
Q

Ceq = C1 + C2 + ... 
 (capacitor equivalente paralelo) 
Exemplos:
1. Duplicando-se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor, é CORRETO afirmar que:
a) a carga e a capacitância do capacitor também são duplicadas.
b) a carga e a capacitância do capacitor permanecem constantes.
c) a carga do capacitor é duplicada, mas sua capacitância permanece constante.
d) a carga e a capacitância do capacitor são reduzidas à metade dos valores iniciais.
e) a carga do capacitor é duplicada e sua capacitância é reduzida à metade.
2. No circuito, C1=4 µF, C2=6 µF e C3=5 µF e a ddp entre a e b igual a 65 V. (a) Qual é a capacitância
equivalente da combinação?; (b) Qual é a ddp em cada capacitor?; (c) Qual é a carga em cada
capacitor?; (d) Qual é a energia potencial elétrica armazenada em cada capacitor?
1
	O Campo Elétrico
	O Potencial Elétrico
	4. Uma partícula cuja carga é q = 3x10-9 C move-se do ponto A ao ponto B, ao longo de uma linha reta. A distância total é d = 0,5 m. O campo elétrico é uniforme ao longo desta linha, na direção de A para B, com módulo E = 200 N/C. Determinar a força sobre q, o trabalho realizado pelo campo e a diferença de potencial VA – VB­.
	A Corrente elétrica
	A corrente elétrica: carga resultante que flui através da área, por unidade de tempo.
	Resistência Elétrica
	Potência Elétrica
	Resistores
	Exemplos
	CAPACITORES
	Capacitores são dispositivos utilizados para armazenar, temporariamente, carga elétrica e energia em circuitos. São constituídos por dois condutores, isolados entre si, mas muito próximos um do outro, que quando estão carregados, tem cargas elétricas iguais, porém, de sinais opostos.
	Energia elétrica armazenada em um capacitor