Sexta Lista de CDI 3 Integração Múltipla Parte II LISTA FINAL Engenharia Civil (3)

Prévia do material em texto

Sexta Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
Cálculo Vetorial - Integração Múltipla - Parte II
Professor: Marcelo Roberto Mana (mana.marcelo@gmail.com)
Curso: Engenharias: Ambiental, Civil, Computação e Elétrica
Entrega: No dia da P2
ATENÇÃO!: O Trabalho Deve ser Entregue Em Papel A4 Com Capa
Leiam:
Then this ebony bird beguiling my sad fancy into smiling,
By the grave and stern decorum of the countenance it wore,
�Though thy crest be shorn and shaven, thou,� I said, �art sure no craven,
Ghastly grim and ancient Raven wandering from the Nightly shore-
Tell me what thy lordly name is on the Night's Plutonian shore!�
Quoth the Raven �Nevermore.�
(The Raven - by Edgar Allan Poe, January 1845)
Diante da ave feia e escura,
Naquela rígida postura,
Com o gesto severo - o triste pensamento
Sorriu-me ali por um momento,
E eu disse: �Ó tu que das noturnas plagas
Vens, embora a cabeça nua tragas,
Sem topete, não és ave medrosa,
Dize os teus nomes senhoriais:
Como te chamas tu na grande noite umbrosa?�
E o Corvo disse: �Nunca mais.�
(Trad. Machado de Assis - 1883)
Questões:
1. Inverta a ordem de integração.
a)
4∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
12x∫
3x2
f(x, y)dy⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx b)
a∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
√
a2−x2∫
a2−x2
2a
f(x, y)dy⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦dx c)
pi∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
sinx∫
0
f(x, y)dy⎤⎥⎥⎥⎥⎦dx
2. Calcule ∫ ∫
S
xy dxdy, onde o campo de integração S está limitado pelos eixos coordenados
e pelo arco do astróide (hipociclóide) dado por x
2
3 + y 23 = R 23 , com x ≥ 0 e y ≥ 0.
3. Calcule o centro de massa da região B.
(a) δ(x, y) = y e B o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
(b) B = {(x, y) ∈ R2 ∣ x2 + 4y2 ≤ 1, y ≥ 0} e a densidade é proporcional à distância do ponto
ao eixo x.
4. Calcule.
(a) ∫ ∫
B
(x2 + y2) dxdy onde B = {(x, y) ∈ R2 ∣ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
(b) ∫ ∫
S
x2 dxdy onde S = {(x, y) ∈ R2 ∣ 4x2 + y2 ≤ 1}.
(c) ∫ ∫
T
sin(4x2 + y2) dxdy onde T = {(x, y) ∈ R2 ∣ 4x2 + y2 ≤ 1} e y ≥ 0.
(d)
1∫
0
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
√
2−x2∫
x2
√
x2 + y2 dy⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦dx
5. Calcule.
(a) ∫ ∫ ∫
B
xyz dxdydz onde B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2.
(b) ∫ ∫ ∫
B
x dxdydz onde B é o conjunto 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e x + y ≤ z ≤ x + y + 1.
6. Calcule o volume do conjunto dado.
(a) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5 − x2 − 3y2.
(b) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 e 0 ≤ z ≤ x + y2.
(c) x2 + 4y2 + 9z2 ≤ 1.
7. Calcule.
(a) ∫ ∫ ∫
B
x dxdydz onde B é o conjunto: x ≥ 0 e x2 + y2 + z2 ≤ 4.
(b) ∫ ∫ ∫
B
z dxdydz onde B é o conjunto: z ≥ 0 e 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4.
(c)
1∫
0
√
1−y2∫
0
√
4−x2−y2∫
0
z dzdxdy
8. Calcule o volume do elipsóide.
x2
a2
+ y2
b2
+ z2
c2
≤ 1
9. Calcular ∫ ∫ ∫
T
x dxdydz, onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 25,
pelo plano x + y + z = 8 e pelo plano xy.
2
10. Calcular ∫ ∫ ∫
T
y dxdydz, onde T é a região delimitada pelos planos coordenados e pelo
plano
x
3
+ y
2
+ z = 1.
11. Calcule o volume do sólido B dado por x2 + y2 − 2x ≤ 0, 0 ≤ z ≤ x + y, x ≥ 0 e y ≥ 0.
3