Apostila de GeoGebra

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1. Interface e Ferramentas
Nesse texto apresentamos o Software GeoGebra em linhas gerais. Fazemos uma
breve abordagem de seu desenvolvimento, apresentamos sua interface, algumas funciona-
lidades e os passos necessários para construção de alguns objetos.
1.1 Apresentação
O GeoGebra é um programa/aplicativo com finalidades didáticas para ser utilizado
em situações de ensino e aprendizagem de matemática. Com ele é possível realizar cálculos
aritméticos, algébricos e utilizar múltiplas representações gráficas de objetos matemáticos.
Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo é o idealizador do projeto do
programa e é um de seus principais desenvolvedores em conjunto com Yves Kreis da
Universidade de Luxemburgo.
Os desenvolvedores do GeoGebra permitem que ele seja baixado do site oficial
(www.geogebra.org) e instalado em computadores ou em dispositivos móveis com sistemas
operacionais diversos.
1.2 Interface
A interface padrão do GeoGebra instalado em um computador, ao ser carregado,
apresenta a seguinte configuração.
1 Barra de Menus
A Barra de Menus disponibiliza opções para salvar o projeto em arquivo (.ggb) e
para controlar configurações gerais.
2 Barra de Ferramentas
A Barra de Ferramentas concentra todas as ferramentas úteis para construir pontos,
retas, figuras geométricas, obter medidas de objetos construídos, entre outros. Cada
ícone dessa barra esconde outros ícones que podem ser acessados clicando com o
mouse em seu canto inferior direito.
3 Janela de Álgebra
Área em que é exibida as coordenadas, equações, medidas e outros atributos dos
objetos construídos.
1.3 Janela de Visualização Versus Janela de Álgebra 2
4 Entrada
Campo de texto para digitação de comandos.
5 Janela de Visualização
Área de visualização gráfica de objetos que possuam representação geométrica e que
podem ser desenhados com o mouse, após clicar nos ícones da Barra de Ícones.
As construções exibidas na Janela de Visualização também podem ser realizadas via
comandos digitados na Entrada.
6 Lista de Comandos
Listagem de comandos predefinidos. Entre eles há comandos relacionados aos ícones
da Barra de Ferramentas.
1.3 Janela de Visualização Versus Janela de Álgebra
O GeoGebra recebeu esse nome pela possibilidade de operar com as representações
aritmética, álgebrica e geométrica conjuntamente. Isso significa que um objeto construído
com o mouse ou digitando sua sintaxe na Entrada pode possuir mais de uma representação:
geométrica e aritmética ou algébrica.
Veja na Janela de Visualização representada na figura abaixo exibe um triângulo
construído em um plano cartesiano.
1.4 Barra de Ferramentas 3
Janela de Álgebra e Janela de Visualização
Observe que na Janela de Visualização está representado geometri-
camente um triângulo com vértices A, B e C e lados a, b e c.
Observe também que no lado esquerdo da tela, na Janela de Álge-
bra, são exibidas as coordenadas de cada vértice desse triângulo, a medida
de cada um dos lados a, b e c e a área do triângulo (11 cm2) que foi nomeado
automaticamente pelo GeoGebra como t1.
1.4 Barra de Ferramentas
A Barra de Ferramentas localizada na parte superior do GeoGebra
é composta de doze conjuntos de ícones com as ferramentas necessárias
para o usuário construir, movimentar, obter medidas e modificar atributos
de objetos construídos.
Ao abrir o GeoGebra a Barra de Ferramentas apresenta a seguinte
configuração visual.
1.4 Barra de Ferramentas 4
Para ativar uma ferramenta clique em seu ícone. No entanto, para cada conjunto
de ícones há apenas um visível, veja a seguir como acessar os ícones ocultos.
1 Clique no canto inferior esquerdo do ícone que contenha a ferramenta que
deseja utilizar.
2 Selecione a ferramenta.
3 A ferramenta selecionada fica ativa e seu ícone ocupa o lugar de destaque do
conjunto que ela pertence.
Na imagem da Barra de Ferramentas abaixo está indicado como é nomeamos cada
conjunto de ferramentas.
1.5 Contruções no GeoGebra 5
1.5 Contruções no GeoGebra
Para realizar uma construção selecione a ferramenta desejada na Barra de Ícones e
clique na Janela de Visualização ou digite os valores de entrada solicitados pelo GeoGebra.
Considere os seguintes problemas.
Construção 1.1 Construir um círculo de Centro A que passe por um ponto B. �
1 Selecione a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos.
2 Clique em qualquer região da Janela de Visualização para marcar o centro A
do círculo.
Depois, arraste o mouse e clique em um local distinto do ponto A, marcando
assim o ponto B pertencente a circunferência.
1.5 Contruções no GeoGebra 6
Importante
Ao concluir uma construção, a ferramenta utilizada continua ativa. Caso o mouse seja
clicado na Janela de Visualização, é iniciada uma nova construção de um novo objeto.
Para que isso não ocorra é recomendável que ao término de uma construção seja seleci-
onada a ferramenta Mover clicando em seu ícone ou pressionando a tecla ESC.
Construção 1.2 Construir um círculo de centro A com raio r = 3 cm. �
1 Selecione a ferramenta Círculo dados centro e raio.
2 Clique em qualquer região da Janela de Visualização para marcar o centro A
do círculo. Após marcar o ponto A o GeoGebra exibe a seguinte janela.
1.5 Contruções no GeoGebra 7
3 Digite a medida do raio (3) na caixa de texto. Em seguida, clique em OK
para que o GeoGebra construa o círculo.
2. Linhas Retas
Nesse texto abordamos a construção de linhas retas: retas, semirretas, segmen-
tos de reta e vetores. Abordamos também a construção de caminhos poligonais. Essas
ferramentas estão disponíveis no conjunto de ícones que nomeamos de Linhas Retas (ter-
ceiro conjunto de ícones da esquerda para direta).
2.1 Retas
O terceiro ícone da barra de ferramentas reúne as ferramentas necessárias para a
construção de linhas retas, entre elas, retas, semirretas, segmentos de retas e vetores.
Para construir uma reta basta clicar em Reta e, em seguida, clicar em dois pontos
na Janela de Visualização. Os pontos são construídos no momento em que se clica na
Janela de Visualização, ou ainda podem ser utilizados pontos construídos anteriormente.
Uma reta pode ainda ser construída por meio do comando
Reta(<Ponto>, <Ponto>)
ao digitá-lo na Entrada. Por exemplo, para construir uma reta pelos pontos (1, 2) e (3, 5),
basta digitar o seguinte comando na Entrada.
2.2 Semirreta 9
Na figura abaixo apresentamos duas retas construídas e exibidas na Janela de
Visualização.
A reta f foi cons-
truída selecionando a fer-
ramenta Reta e, em se-
guida, clicando-se em dois
pontos na Janela de Vi-
sualização. A reta g foi
construída digitando, na
Entrada, o comando:
Reta((0, 0), (2, 2))
Na primeira cons-
trução o GeoGebra exibe
a reta e os pontos pe-
los quais ela é definida.
Na segunda é construída e
exibida apenas a reta.
2.2 Semirreta
O processo para construção de semirretas com o mouse é semelhante ao de cons-
trução de retas. Deve-se clicar na opção Semirreta e, em seguida, clicar em dois pontos
na Janela de Visualização.
Ao digitar o comando Semirreta na Entrada o GeoGebra apresenta duas possibi-
lidades de sintaxe.
Na primeira sintaxe,
Semirreta(<Ponto Inicial>, <Ponto>),
é necessário apenas digitar dois pontos para obter uma semirreta. Por exemplo, digitando
Semirreta((0, 0), (1, 1)),
constrói-se uma semirreta com origem em (0, 0) passando por (1, 1).
Na segunda sintaxe,
Semirreta(<Ponto Inicial>, <Vetor Diretor>),
é preciso construir um vetor previamente ou aninhar o comando Vetor no comando Se-
mirreta. Por exemplo, digitando-se
Semirreta((0, 0), u)
constrói-se uma semirreta com origem em (0, 0) e paralela ao vetor u previamente cons-
truído. Já, com o comando
Semirreta((0, 0), Vetor((2, 3), (4, 5)),
constrói-se uma semirreta com origem em (0, 0) e paralela ao vetor definido pelos pontos
(2, 3) e (4, 5).
2.3Segmentos 10
2.3 Segmentos
Há duas opções para construção de segmentos no GeoGebra: Segmento e Segmento
com Comprimento Fixo.
Ao selecionar a opção Segmento, em seguida, clicar em dois pontos na Janela de
Visualização é construído um segmento cujas extremidades são os pontos construídos com
os cliques do mouse ou pontos construídos em passo anterior.
Na segunda opção, Segmento com Comprimento fixo, clica-se em um ponto na Ja-
nela de Visualização. Em seguida, deve-se inserir um valor em uma caixa aberta automa-
ticamente pelo software e, por último, clicar em OK para que o segmento seja construído.
Segmentos também podem ser construídos por meio de comandos. Para isso, basta
utilizar uma das seguintes sintaxes:
Segmento(<Ponto>, <Ponto>) constrói um segmento a partir de dois pontos;
Segmento(<Ponto>, <Comprimento>) constrói um segmento com comprimento
fixo.
2.4 Vetores
No caso de vetores o GeoGebra oferece duas opções no ícone de construção de
linhas retas: Vetor e Vetor a partir de Um Ponto. Utilizou-se cada uma dessas opções
para a construção dos vetores u e v.
2.4 Vetores 11
Para construir o vetor u selecionou-se a ferramenta Vetor e, em seguida, clicou-
se em dois pontos na Janela de Visualização: A e B. Obtém-se resultado semelhante
digitando o seguinte comando
Vetor((−3, 4), (3, 6)).
Os pares ordenados (−3, 4) e (3, 6) são digitados substituindo as expressões <Ponto Ini-
cial> e <Ponto final> no comando
Vetor(<Ponto Inicial>, <Ponto Final>).
O vetor v foi construído a partir de um ponto C e do vetor u. Nessa construção foi
selecionada a ferramenta Vetor a partir de um ponto, clicou-se no ponto C e, por último,
no vetor u.
Na Entrada ainda é possível construir um vetor tendo como parâmetro um único
ponto:
Vetor(<Ponto>)
Nesse caso, o vetor tem como origem o ponto (0, 0) e ponto final o ponto dado
como parâmetro. Por exemplo, digitando o comando
Vetor((5, 3))
constrói-se o seguinte vetor.
2.5 Caminho Poligonal 12
2.5 Caminho Poligonal
Um caminho poligonal é um conjunto de segmentos consecutivos. Para construí-lo
no GeoGebra basta clicar na opção Caminho Poligonal e clicar em pontos da Janela de
Visualização. Para concluir a construção deve-se clicar no ponto inicial da poligonal.
A construção abaixo foi realizada a partir da sequência de cliques: A, B, C, D, E
e A.
As sintaxes desse comando digitáveis na Entrada são:
CaminhoPoligonal(<Ponto>, . . . , <Ponto>)
CaminhoPoligonal(<Lista de Pontos>)
Na primeira sintaxe obtém-se um caminho poligonal tendo como parâmetros pontos
já existentes,
CaminhoPoligonal(A, B, C, D, E),
ou pontos que são definidos juntamente com o comando,
CaminhoPoligonal((1, 2), (3, 1), (4, 0), (3, 4)).
2.5 Caminho Poligonal 13
É possível ainda construir um caminho poligonal a partir de uma lista de pontos.
Por exemplo, digita-se na Entrada uma lista L com os pontos (−5, 0), (−1, 3), (2,−4) e
(6, 2).
Em seguida, digita-se o comando para obter o caminho poligonal a partir de L, ou
seja,
CaminhoPoligonal(L).
O nome do caminho poligonal construído anteriormente é f . Note que na Janela
de Álgebra é representado f = 19.83, ou seja, seu nome igualado a seu comprimento.
3. Perpendicular, Paralela, Bissetriz e Mediatriz
Nesse texto abordamos a construção de retas perpendiculares, retas paralelas, bis-
setrizes e mediatrizes. Para isso, utilizamos as ferramentas reunidas no quarto ícone da
Barra de Ferramentas, da esquerda para direita.
3.1 Retas Perpendiculares
Com a utilização da ferramenta Reta Perpendicular podemos construir retas per-
pendiculares a uma reta, a uma semirreta, a um segmento e a um vetor. Para construir
uma reta perpendicular a uma reta, basta clicar na ferramenta Reta Perpendicular e, em
seguida, clicar na reta e por último clicar em um ponto sobre a reta ou não pertencente
a ela.
Na figura abaixo a reta g é perpendicular à reta f por um ponto A não pertencente
a f . A reta h é perpendicular à reta f por um ponto B pertencente a f .
3.2 Retas Paralelas 15
O processo de construção de retas perpendiculares a semirretas, segmentos de retas
e vetores é semelhante ao processo de construção descrito anteriormente.
É possível ainda construir uma reta perpendicular digitando comandos na Entrada.
Para isso, utilizamos uma das seguintes sintaxes:
Perpendicular(<Ponto>, <Reta>)
Perpendicular(<Ponto>, <Segmento>)
Perpendicular(<Ponto>, <Vetor>)
3.2 Retas Paralelas
Para construir retas paralelas, primeiramente clicamos no ícone Reta Paralela, em
seguida, clicamos em um dos objetos para o qual se deseja construir uma reta paralela,
ou seja, em uma reta, semirreta, segmento de reta ou vetor. Por último, clicamos sobre
um ponto para que seja construída e exibida a reta paralela.
Na imagem abaixo aparece apenas uma reta na Janela de Visualização, mas ob-
servando atentamente a Janela de Álgebra é possível perceber que as retas f e g possuem
a mesma equação. Ao construir uma reta g paralela a f clicamos sobre um ponto na reta
f . Assim, as retas f e g são paralelas e coincidentes.
3.3 Bissetrizes 16
3.3 Bissetrizes
No GeoGebra é possível construir bissetrizes a partir de duas retas ou de três
pontos. As retas de cor vermelha na imagem abaixo são bissetrizes construídas com a
ferramenta Bissetriz.
Na primeira construção que aparece mais à esquerda na Janela do GeoGebra cons-
truímos duas bissetrizes, clicando na ferramenta Bissetriz e, em seguida, clicando em cada
uma das retas r e s.
Na segunda construção, após selecionar Bissetriz, clicamos em A, B e C e foi obtida
uma bissetriz passando por B (o segundo ponto clicado).
Note que na primeira construção o GeoGebra construiu e exibiu duas bissetrizes
cada uma relativa a um dos ângulos formados entre as retas r e s. Já, na segunda
construção, foi construída apenas uma bissetriz passando pelo segundo ponto clicado.
Podemos interpretar que esse ponto seja o vértice entre duas retas: uma por AB e outra
por BC.
O mesmo resultado seria obtido usando as seguintes sintaxes na Entrada:
Bissetriz(<Reta>, <Reta>)
Bissetriz(<Ponto>, <Ponto>, <Ponto>)
3.4 Mediatrizes 17
3.4 Mediatrizes
Uma mediatriz pode ser construída a partir de dois pontos ou de um segmento.
Para isso, basta clicar na ferramenta Mediatriz e, em seguida, clicar no segmento ou em
dois pontos.
(a) Mediatriz construída a partir de um segmento. (b) Mediatriz construída a partir de dois pontos.
Omesmo resultado pode ser obtido digitando-se os seguintes comandos na Entrada.
Mediatriz(<Ponto>, <Ponto>)
Mediatriz(<Segmento>)
4. Polígonos
Nesse texto abordamos a construção de polígonos com a utilização do mouse e por
meio da digitação de comandos na Entrada.
4.1 Polígonos
A ferramenta Polígono possibilita cons-
truir polígonos a partir de pontos já construí-
dos na Janela de Visualização ou mesmo a
partir de pontos criados no momento do uso
da ferramenta. Assim, para construir um po-
lígono basta clicar na ferramenta Polígono e
clicar em pontos a sua escolha na Janela de
Visualização. A construção deve ser finalizada
clicando novamente no ponto em que a cons-
trução foi iniciada.
4.1 Polígonos 19
É possível ainda construir um polígono digitando comandos na Entrada. Para isso,
utiliza-se uma das seguintes sintaxes:
Polígono(<Ponto>, . . . , <Ponto>)
Esse comando constrói um polígono a partir de um conjunto de pontos específicos,
por exemplo,
Polígono((0, 0), (2, 3), (1, 5))
constrói um polígono de vértices (0, 0), (2, 3) e (1, 5) que são os parâmetros do
comando. Supondo que os pontos A = (0, 0), B = (2, 3) e C = (1, 5) estivessem
construídos no GeoGebra. Nesse caso, digitando
Polígono(A, B, C)
na Entrada obtemos o mesmo resultado descrito anteriormente.
Polígono(<Lista de Pontos>)
Com essa sintaxe é possível construir um polígono a partir de uma lista depontos.
Assim, dada uma lista de pontos L = {(0, 0), (2, 3), (1, 5)}, basta digitar
Polígono (L)
na Entrada para obter um polígono.
4.2 Polígono Regular 20
4.2 Polígono Regular
Com a ferramenta Polígono Regular obtemos polígonos a partir de dois pontos e
de um número natural que indica a quantidade de lados ou vértices. Para construir um
polígono regular basta clicar em Polígono Regular, escolher dois pontos e, em seguida,
o GeoGebra carrega uma janela em que deve-se digitar um número ou o nome de uma
variável que representa a quantidade de vértices.
Após digitar o número de vértices, ou a variável, clicando-se em OK obtém-se um
polígono regular.
O mesmo resultado pode ser obtido usando a seguinte sintaxe na Entrada:
Polígono(<Ponto>, <Ponto>, <Número de Vértices>).
4.3 Polígonos Rígidos 21
4.3 Polígonos Rígidos
O GeoGebra possui uma ferramenta com a qual é possível construir polígonos não
deformáveis, ou seja, polígonos cuja forma não é afetada ao movimentar um vértice ou
um lado. Essa ferramenta é chamada Polígono Rígido. Clicando na ferramenta Polígono
Rígido podemos construir um polígono de cinco lados conforme exibido abaixo.
Como podemos observar o GeoGebra retornou apenas os dois primeiros pontos
clicados, A e B, e um polígono rígido. Nesse caso se movermos o ponto A todo o polígono
é movido juntamente. Se movermos o ponto B, o polígono é girado em torno do ponto A.
Portanto, em nenhum dos casos o polígono é deformado.
5. Isometrias no Plano
Isometrias no plano é um tópico de estudo da Geometria das Transformações e
sua abordagem visa propiciar conceituações de congruência e de semelhança, procurando
desenvolver a capacidade de perceber se duas figuras têm ou não a mesma forma e o
mesmo tamanho independente da posição que elas ocupam no plano.
Nesse texto vamos abordar algumas isometrias utilizando o GeoGebra.
5.1 Simetria de Translação
Na simetria de translação obtém uma imagem da figura original deslocada uma
medida c dada, a qual pode ser representada por um vetor.
5.1 Simetria de Translação 23
No GeoGebra é possível obter um polígono pol2 a partir de um polígono pol1, por
exemplo. Inicialmente construímos um polígono pol1 e um vetor u.
Clicando em Translação por um Vetor e, em seguida, clicando no polígono e no
vetor obtemos a figura transladada.
O mesmo resultado pode ser obtido digitando
Transladar(<Objeto>, <Vetor>)
com os seguintes parâmetros e obtemos outro polígono pol2 transladado por u.
5.1 Simetria de Translação 24
Utilizando o comando
Sequência(<Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>),
juntamente com o comando Transladar podemos obter uma sequência de polígonos trans-
ladados por múltiplos do vetor u.
O comando
Sequência(<Expressão>, <Variável>, <Valor inicial>, <Valor final>)
possibilita criar sequências de números, de pontos, de segmentos, de polígonos, entre
outros. O comando deve ser digitado uma expressão em uma variável a sua escolha, por
exemplo:
Para obter os seis primeiros números pares
Sequência(2 ∗ n, n, 0, 5)
Para obter dez pontos da função f(x) = 2 ˆ x
Sequência((n, f(n)), n, 1, 10)
Nos comandos acima o n é a variável do comando e os dois próximos valores
determinam os limites mínimo e máximo em que o comando deve ser executado.
5.2 Simetria de Rotação 25
5.2 Simetria de Rotação
Na simetria de rotação, obtemos a imagem de um objeto por meio de um giro em
torno de um ponto fixo, chamado de centro de rotação.
A ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo permite obter uma
figura B girando uma figura A.
Assim, com a ferramenta Rotação em torno de um Ponto por um Ângulo ativa,
clica-se na figura e no ponto. O GeoGebra exibe uma caixa com um campo para ser
preenchido com a medida do Ângulo. Além disso, há opções para escolha do sentido do
giro.
5.2 Simetria de Rotação 26
Definida a amplitude do ângulo e o sentido do giro, clica-se em OK para que seja
obtida a imagem girada pelo ponto O (centro de rotação).
É possível ainda obter a imagem girada de uma figura digitando-se comandos na
Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes:
Girar(<Objeto>, <Ângulo>)
Girar(<Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>)
As duas sintaxes acima apresentam diferenças quanto aos resultados obtidos. Na
primeira a imagem girada é obtida em relação à origem, ou seja, o ponto (0, 0), já que não
é especificado o centro de rotação. E na segunda, a imagem girada é obtida em relação a
um centro escolhido arbitrariamente.
Da mesma forma que fizemos com o comando Transladar, podemos utilizar o co-
mando
Girar(<Objeto>, <Ângulo>, <Ponto>)
aninhado ao comando Sequência para obter uma série de polígonos que correspondem a
giros de pol1 em torno do ponto O.
5.3 Simetria de Reflexão 27
5.3 Simetria de Reflexão
Na simetria de reflexão há um segmento passando pela figura ou fora dela que atua
como espelho, refletindo a imagem desenhada. Esse segmento recebe o nome de eixo de
simetria.
O eixo e divide a figura em duas partes iguais ou congruentes. A figura A e sua
simétrica, a figura B, estão a mesma distância do eixo e.
No GeoGebra podemos obter imagens refletidas utilizando as ferramentas Reflexão
em Relação a uma Reta ou Reflexão em Relação em Relação a um Ponto. Com uma das
ferramentas selecionadas, clica-se na figura a qual deseja-se obter a imagem refletida e
clica-se na reta (ou ponto).
É possível ainda obter a imagem refletida de uma figura digitando-se comandos na
Entrada. Para isso, utiliza-se uma das seguintes sintaxes:
Reflexão(<Objeto>, <Ponto>)
Reflexão(<Objeto>, <Reta>)
6. Objetos e suas Propriedades
Quando construímos um objeto no GeoGebra, por exemplo, um polígono, uma reta,
um ponto, eles são exibidos na Janela de Visualização com atributos como cor, espessura
da linha, transparência/opacidade, entre outras características que são predefinidas pelo
próprio programa. Essas características ou atributos podem ser modificadas pelo usuário
do programa e como realizá-las é o tema desse capítulo.
6.1 Janela de Propriedades
Clicando com o botão direito do mouse sobre um objeto na Janela de Visualização
ou sobre seu nome na Janela de Álgebra podemos acessar a Janela de Propriedades.
Na Janela de Propriedades visualizamos cinco abas: Básico, Cor, Estilo, Avançado
e Programação. Na aba Básico é possível modificar atributos de um ou mais objetos
selecionados.
Em nossa imagem exemplo acima selecionamos o triângulo ABC t1. Ao acessar as
propriedades desse objeto que são exibidas na Janela de Propriedades abaixo, visualizamos
6.1 Janela de Propriedades 29
as definições e atributos desse triângulo.
A opção Fixar Objeto quando selecionada fixa o objeto na Janela de Visualização
não permitindo que ele seja movido com o ponteiro do mouse. A opção Definir como
Objeto Auxiliar faz com que o nome do objeto componha uma lista de objetos que não
são exibidos por padrão na Janela de Álgebra. Por exemplo, o triângulo t2 abaixo e seus
elementos foram selecionados por meio de um retângulo. Para isso, clicou-se com o botão
direito do mouse e manteve tal botão pressionado até seleção envolver a todos os objetos
com o movimento do mouse.
Com os objetos selecionados, clicou-se em propriedades, foi acessada a aba Básico
e definidos os objetos como auxiliares.
6.1 Janela de Propriedades 30
O triângulo DEF , representado na cor verde na imagem abaixo, foi definido como
objeto auxiliar. Como podemos notar t2 e seus elementos são exibidos na Janela de
Visualização, mas não são exibidos na Janela de Álgebra.
Esse recurso do GeoGebra permite que objetos e suas nomenclaturas que foram
úteis na construção, mas que não são úteis ao utilizar o GeoGebra em uma aula ou em
uma apresentação, não desviem a atenção do usuário. No entanto, caso necessitarmos, é
possível exibir as nomenclaturas dos objetosauxiliares na Janela de Álgebra. Para isso,
realizamos os seguintes passos.
1 Clicamos no ícone que aparece ao lado de Janela de Álgebra.
2 Clicamos em Objetos Auxiliares e eles são exibidos na Janela de Álgebra.
6.1 Janela de Propriedades 31
Na aba Cor é possível
modificar a cor do objeto se-
lecionado a partir de uma pa-
lheta de cores predefinidas no
software. Clicando em outro é
possível ainda acrescentar co-
res que não são apresentadas
na palheta. Para isso, devemos
modificar os valores dos contro-
les deslizantes.
Para controlar a transparência ou opacidade do objeto modificamos os valores do
controle de transparência para valores de 0 a 100. Sendo que no valor zero a figura é
totalmente transparente e no 100, totalmente opaca.
Na aba Estilo são disponibilizadas opções que permitem modificar a espessura e o
estilo da linha.
E além disso, modificar o preenchimento de objetos.
6.1 Janela de Propriedades 32
As imagens abaixo são exemplos de aplicação da opção preenchimento.
A opção Inverter Preenchi-
mento permuta o preenchimento do
objeto com o plano de fundo.
No exemplo ao lado, antes
de selecionarmos Inverter Preenchi-
mento, o plano de fundo era de cor
branca e o polígono estava preenchido
com a malha Tijolos.
7. Interface 3D
Neste texto abordamos como exibir e explorar a Janela de Visualização 3D do
GeoGebra. Abordamos como construir objetos como prismas e pirâmides. Em seguida,
exploramos alguns comandos de 3D disponível na Janela de Comandos e com eles cons-
truímos os moldes dos poliedros regulares. Por fim, abordamos como construir uma pilha
de cubos usando o comando Sequência integrado ao comando Transladar.
7.1 Janela de Visualização 3D
Acessando o menu Exibir e clicando em Janela de Visualização 3D, o GeoGebra
carrega esta janela apresentando-a ao lado das janelas já carregadas no software. A Janela
de Visualização 3D pode também ser exibida teclando conjuntamente as teclas Ctrl, Shift
e 3.
A vantagem desta nova janela na suíte de trabalho do GeoGebra não está apenas em
novas possibilidades de construção de objetos tridimensionais, mas em sua integração às
Janelas de Visualização 1 e 2, a Planilha e a Janela CAS. No exemplo abaixo apresentamos
7.1 Janela de Visualização 3D 34
como, a partir de um polígono regular construído na Janela de Visualização, obter uma
pirâmide na Janela de Visualização 3D.
1 Construa três controles deslizantes para determinar o raio r de uma circun-
ferência, a altura h de uma pirâmide e a quantidade de lados do polígono
inscrito na circunferência n. Os controles r e h devem ter valor mínimo 0,
valor máximo 6 e incremento 0.1. O controle n deve ter valor mínimo 3, valor
máximo 20 e incremento 1.
2 Utilizando o comando
Sequência(<Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>)
integrado ao comando
Girar(<Objeto>, <Ângulo>),
construa uma lista de pontos que correspondam a giros do ponto de coordena-
das (r, 0) em torno de (0, 0). Para isso, digite o seguinte comando no campo
Entrada.
Após teclar Enter, o GeoGebra retorna uma sequência de pontos exibidos no
plano xy da Janela de Vizualização, bem como, da Janela de Visualização 3D.
7.2 Ferramentas e Comandos 3D 35
3 A partir da lista de pontos construída no passo anterior, obtenha um polígono
digitando o seguinte comando no campo Entrada. O polígono será exibido nas
duas janelas de visualização.
4 Clique na Janela de Visualização 3D para que ela fique ativa e clique em Fazer
extrusão para Pirâmide ou Cone. Em seguida, clique no polígono e digite h
na caixa que solicitar a altura da pirâmide. Com n = 6 obtém-se o seguinte
resultado.
7.2 Ferramentas e Comandos 3D
A barra de ícones da Janela de Visualização 3D oferece um conjunto de ferramentas
úteis para construir objetos, realizar movimentos e modificar propriedades de objetos.
Segue a descrição dos passos necessários para construir um cubo e sua planificação.
1 Com a Janela de Visualização exibida e a Janela de Visualização 3D exibida
e ativa, clique na ferramenta Cubo e, em seguida, clique em dois pontos do
plano xy.
7.2 Ferramentas e Comandos 3D 36
O GeoGebra retorna um cubo cuja medida da aresta é dada pela distância
entre os pontos clicados ou construídos no momento da utilização da fer-
ramenta.
Note que o GeoGebra exibe na Janela de Visualização a face e os pontos
contidos no plano xy.
2 Clique na ferramenta Planificação e clique no cubo.
O GeoGebra retornará a planificação do cubo em ambas as janelas de visu-
alização. Além disso, construirá um controle deslizante e exibirá na Janela
de Visualização com valor mínimo 0, valor máximo 1 e incremento 0.1. Esse
controle permite controlar a abertura do molde do cubo. Quando o valor
do controle for zero, o molde do cubo fica completamente fechado, ou seja,
obtém-se o cubo montado. E, com valor 1, o molde é totalmente aberto. Em
outras palavras, com valor 1 obtém-se a planificação do cubo.
De acordo com o processo apresentado acima, para utilizar a ferramenta Planifi-
cação é necessário construir previamente um poliedro. Porém, utilizando os comandos
de 3D é possível integrar dois comandos e obter a planificação de um cubo sem que seja
necessário ter construído o cubo previamente.
7.2 Ferramentas e Comandos 3D 37
Ao digitar o comando
Planificação(Cubo((0, 0, 0), (1, 0, 0), EixoZ), 0.7)
no campo Entrada, o GeoGebra retorna o molde do cubo de aresta de comprimento 1 e
70% aberta.
O exemplo acima é um caso de construção que só é possível de ser realizada utili-
zando comandos no campo Entrada.
Veja a seguir como construir todos poliedros de Platão e suas planificações por
meio de comandos.
1 Com o GeoGebra carregado e exibindo a Janela de Álgebra, a Janela de
Visualização e a Janela de Visualização 3D, construa um controle deslizante
i com valor mínimo 0, valor máximo 1 e incremento 0.01.
7.2 Ferramentas e Comandos 3D 38
2 No campo Entrada, digite
Planificação(Tetraedro((0, 0, 0), (1, 0, 0), EixoZ), i)
para construir o molde de um tetraedro a partir dos pontos (0, 0, 0) e (1, 0, 0)
e cuja abertura é controlada pelo controle deslizante i.
(a) i = 0.1 (b) i = 0.3 (c) i = 0.8
3 Digite
Planificação(Cubo((0, 0, 0), (1, 0, 0), EixoZ), i)
para construir o molde de um hexaedro regular (cubo).
(a) i = 0.1 (b) i = 0.4 (c) i = 0.8
7.2 Ferramentas e Comandos 3D 39
4 Digite
Planificação(Octaedro((0, 0, 0), (1, 0, 0), EixoZ), i)
no campo Entrada para construir o molde de um octaedro.
(a) i = 0 (b) i = 1
5 Digite
Planificação(Dodecaedro((0, 0, 0), (1, 0, 0), EixoZ), i)
para obter o molde de um dodecaedro.
(a) i = 0 (b) i = 0.4
7.3 Uma Pilha de Cubos 40
6 Por último, com o comando
Planificação(Icosaedro((0, 0, 0), (1, 0, 0), EixoZ), i)
é possível obter o molde de um icosaedro.
(a) i = 0.4 (b) i = 1
7.3 Uma Pilha de Cubos
Utilizando o comando Sequência em conjunto com o comando Transladar é possível
obter uma pilha de cubos na Janela de Visualização 3D. Veja como realizar esta construção
utilizando os passos abaixo.
1 Com o GeoGebra carregado e exibindo a Janela de Álgebra, a Janela de
Visualização e a Janela de Visualização 3D, construa um controle deslizante
n com valor mínimo 0, valor máximo 10 e incremento 1. Com esse controle
será possível determinar a quantidade de cubos da base da pilha. Construa
também dois vetores u e v: u = (1, 0, 0) e v = (0.5, 0, 1).
7.3 Uma Pilha de Cubos 41
2 Utilizando o comando Sequência aninhado com o comando Transladar obte-
nha um conjunto de n pontos transladados por meio do vetor um. Para isso,
digite
L_1 = Sequência(Transladar((0, 0, 0), Vetor(i u)), i, 0, n - 1)
no campo Entrada.
3 A partir dos pontos de L1, construa um conjunto de cubos. Essa lista vai
tomar dois a dois os elementos de L1 para pontos bases do cubo. Digite
L_2 = Sequência(Cubo(Elemento(L_1,i), Elemento(L_1, i + 1), EixoZ), i, 1, n)
no campo Entrada.
7.3 Uma Pilha de Cubos 42
4 Neste passo, utilizando o comando
ParteDaLista(<Lista>, <Posição Inicial>, <Posição Final>)
será transladada na direção do vetor v os n− 1 elementos de uma linha para
a linha superior. Para obter esse resultado, digite
L_3 = Sequência(Transladar(ParteDaLista(L_2, 1, n - 1 - i), Vetor(i v)), i, 1, n-1).
8. Funções
Nesse texto apresentamos algumas noções sobre como explorar funções no GeoGebra.
8.1 Comando Função
Entre os diversos comandos que o GeoGebra possui, há o comando Função que
tem a seguinte sintaxe:
Função(<Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>)
Com esse comando obtemos uma função representada graficamente na Janela de
Visualização e algebricamente na Janela de Álgebra. Por exemplo, ao digitarmos
f(x) = Função(x ˆ 2, -1, 2)
na Entrada obtemos.
8.2 Funções com Parâmetros Modificáveis 44
Como podemos observar na figura, a partir do comando
f(x) = Função(x ˆ 2, -1, 2),
o GeoGebra construiu f(x) = x2 na Janela de Álgebra e plotou o gráfico dessa função de
(−1, f(−1)) a (2, f(2)).
É possível construir uma função no GeoGebra sem utilizar o comando Função. Por
exemplo, para construir a função g(x) = 2x3, podemos digitar uma das duas sintaxes a
seguir:
g(x) = 2 * x ˆ 3
2 * x ˆ 3
Nesses casos não é possível delimitar o intervalo conforme fizemos com
f(x) = Função(x ˆ 2, -1, 2)
para obter a função f(x) no intervalo (-1, 2).
8.2 Funções com Parâmetros Modificáveis
O uso de controles deslizantes permite analisar funções de forma dinâmica, pois,
podemos utilizá-los para definir vários parâmetros de uma função: limites de intervalos
em que a função é definida, coeficientes da função, expoentes de uma função polinomial,
entre outros.
Vamos construir uma função f(x) = ax2 + bx + c e plotar seu gráfico em um
intervalo I = (x1, x2). Para isso, siga os passos abaixo.
1 Construa cinco controles deslizantes na Janela de Visualização.
2 Na Entrada digite o comando
f(x) = Função(a * x ˆ 2 + b * x + c, x_1, x_2).
8.3 Operações com Funções 45
Após realizar esses passos obtém-se uma função f(x), polinomial do 2o grau, em
que é possível controlar o intervalo de plotagem de seu gráfico e os valores dos coeficientes
a, b e c.
8.3 Operações com Funções
Em Matemática é comum operarmos funções para obtenção de novas funções, por
exemplo, dadas duas funções f = f(x) e g = g(x), podemos obter outras operando com
f e com g.
h(x) = f(x) + g(x)
p(x) = f(x) * g(x)
q(x) = f(x) / g(x)
e(x) = f(x) ˆ g(x)
No GeoGebra é possível fazer essas operações com funções. Para isso, considere
duas funções no GeoGebra f(x) = x e g(x) = x2.
8.4 Funções Compostas 46
Digitando
h(x) = f(x) + g(x)
p(x) = f(x) * g(x)
q(x) = f(x) / g(x)
e(x) = f(x) ˆ g(x)
na caixa de entrada, obtém-se funções por meio de cálculos realizados com f e g e que
depende diretamente dessas funções. Na imagem abaixo, foram ocultadas as funções f e
g e aparece somente o gráfico de q(x) = f(x) / g(x) na Janela de Visualização.
8.4 Funções Compostas
Assim como operação entre funções, no GeoGebra é possível fazer obter funções
compostas.
8.4 Funções Compostas 47
No exemplo ilustrado abaixo, construímos duas funções
f(x) = (x + 1) ˆ 2
g(x) = sqrt(x).
Para compor a função h(x), que corresponde a g(f(x)), digitamos na caixa de
entrada o seguinte comando:
h(x) = g(f(x)).
O GeoGebra exibe o gráfico da função h(x) na Janela de Visualização e, na Janela de
Álgebra, é exibida a expressão da função.
Nesse caso, a função g(f(x)) está descrita na Janela de Álgebra como
h(x) =
√
(x+ 1)2.
Para obter uma expressão mais simplificada da função h(x), basta dar um duplo clique
na expressão da função. Abrirá uma caixa Redefinir.
Antes da definição da função deve-se digitar o comando expandir. O GeoGebra me
devolve a expressão da função simplificada. Nesse caso a expressão torna-se
h(x) = |x+ 1|.
Não haverá nenhuma modificação no gráfico da função, apenas em sua expressão.
9. Planilha
Nesse texto apresentamos a Janela Planilha do GeoGebra e alguns de seus recursos
para trabalhar em conjunto com as janelas de Álgebra e de Visualização.
9.1 Planilha, Células e Conteúdo
Para abrir a planilha no GeoGebra basta clicar no menu Exibir e acessar a opção
Planilha.
9.1 Planilha, Células e Conteúdo 49
Essa ação faz carregar a Planilha no lado direito do GeoGebra conforme a figura
abaixo.
Em uma célula da planilha é possível digitar valores numéricos, coordenadas de
pontos, funções, segmentos, polígonos, entre outros. Nas células A1 a A5 foram digitados
as seguintes entradas:
A1: -3
A2: (1, 1)
A3: 3x
A4: Segmento[(2, 2), (4, 3)]
A5: Polígono[(-1, 1), (-3, 2), (-2, 3)]
A partir dessas entradas o GeoGebra exibiu um valor numérico em A1, as coorde-
nadas de um ponto em A2, a expressão da função em A3, o comprimento do segmento
em A4 e a área do polígono em A5. Exibiu ainda a representação gráfica desses objetos
na Janela de Visualização.
Note que o ponto (1, 1) não foi exibido na Janela de Visualização. Para exibi-lo
basta clicar com o botão direto do mouse na célula A2 e, em seguida, clicar em Exibir
Objeto.
9.2 Ícones de Cálculos 50
9.2 Ícones de Cálculos
Na imagem abaixo são apresentados alguns valores que foram digitados nas células
A1 a A5 da Planilha. Utilizando as ferramentas da Barra de Ícones da Planilha podemos
calcular a soma, a média, o máximo, o mínimo e a quantidade de números desse intervalo.
Apresentamos, a seguir, o processo para calcular a soma das células do intervalo
A1 : A5.
1 Clique com o mouse na célula A1 e arraste até a célula A5. Isso faz com que
o intervalo A1 : A5 fique selecionado.
2 Na Barra de Ícones da Planilha clique em Soma.
9.3 Listas e Tabelas 51
Esse procedimento têm como resultado a soma do conteúdo das células seleciona-
das. O GeoGebra apresenta a soma na célula imediatamente abaixo da seleção.
9.3 Listas e Tabelas
Na imagem abaixo aparece a Planilha do GeoGebra e o intervalo de células A1 : C3
preenchido com valores de 1 a 9.
Utilizando as opções do terceiro ícone da Barra de Ícones da Planilha podemos
compor listas, matrizes, tabelas e caminhos poligonais a partir do conteúdo de uma Pla-
nilha.
Veja o processo para obter uma lista a partir de um intervalo de células da Planilha.
1 Com o mouse selecione o intervalo de células. Na Barra de ícones clique em
Lista.
9.3 Listas e Tabelas 52
2 É exibida uma janela com as seguintes opções.
A opção Objetos Dependentes cria uma lista vinculada a planilha. Assim, se o
valor de uma célula for modificado, esse valor é atualizado na lista. Selecionando a opção
Objetos Livres é criada uma lista desvinculada da planilha.
A partir dos dados exibidos no item 1 e escolhendo Ordem das Linhas, o GeoGebra
cria:
Lista1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Escolhendo a opção Ordem da Coluna, o GeoGebra retorna a seguinte lista:
Lista2 = {1, 4, 7, 2, 5, 8, 3, 6, 9}
Com os mesmos valores selecionados podemos clicar em Matriz. Com esse proce-
dimento criamos uma matriz a partir da planilha que é exibida na Janela de Álgebra.
9.3 Listas e Tabelas 53
O GeoGebra possui um conjunto de comandos que permite operar com matrizes.
Veja alguns comandos a seguir:
Determinante(<Matriz>)
MatrizInversa(<Matriz>)
MatrizTransposta(<Matriz>)
Posto(<Matrix>)
10. Comandos
Nesse texto abordamos como construir objetos utilizando comandos digitáveis no
campo Entrada. Além disso, abordamos como realizar transformações e ações com co-
mandos simples e compostos.
10.1 Campo de Entrada
Na parte inferior do software GeoGebra é exibido o campo Entrada, uma caixa de
texto em que podemos digitar comandos para construir objetos, executar transformações,
obter medidas,entre outras possibilidades. Há ainda, ao lado da Entrada, dois ícones, um
para inserção de caracteres especiais e outro para abrir a janela Ajuda de comandos.
10.2 Caracteres Especiais 55
10.2 Caracteres Especiais
Para inserir um símbolo que pode ser uma letra grega ou um sinal de operação,
por exemplo, siga os passos abaixo.
1 Enquanto digita um comando clique no ícone de caracteres especiais.
2 Clique no símbolo especial.
O símbolo especial é inserido no comando.
10.3 Ajuda
Clicando no ícone indicado na figura é aberta uma listagem de comandos do
software.
10.4 Sintaxe de Comandos 56
Cada um dos itens da listagem corresponde a
um título de uma categoria que reúne uma quantidade
de comandos. Clicando no sinal ao lado do título do
tópico abre-se uma persiana com os comandos rela-
cionados àquele tópico.
10.4 Sintaxe de Comandos
A sintaxe de um comando diz respeito a como ele deve ser escrito, incluindo os pa-
râmetros necessários, para que o comando execute sua função. Vejamos alguns exemplos:
CírculoInscrito(<Ponto>, <Ponto>, <Ponto>)
Comando para construção de um círculo inscrito a partir de três pontos. Os pa-
râmetros necessários para o funcionamento correto desse comando são três pontos,
dois a dois não coincidentes.
1 Na Janela de Visualização foram construídos três pontos: A =(2,1), B =(5,4)
e C =(1,5).
2 Digitando CírculoInscrito(A, B, C) ou CírculoInscrito((2, 1), (5, 4), (1, 5)),
obtém-se o círculo abaixo.
10.4 Sintaxe de Comandos 57
Bissetriz(<Reta>, <Reta>)
Bissetriz(<Ponto>, <Ponto>, <Ponto>)
O comando Bissetriz possui duas sintaxes, ou seja, podemos escrever como parâme-
tros o nome, a equação ou a referência a duas retas na primeira forma. Na segunda
sintaxe, podemos fazer referência a três pontos.
Comprimento(<Vetor>)
Comprimento(<Ponto>)
Comprimento(<Lista>)
Comprimento(<Texto>)
Comprimento(<Lugar Geométrico>)
Comprimento(<Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>)
Comprimento(<Função>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final>)
Comprimento(<Curva>, <Valor de t Inicial>, <Valor de t Final>)
Comprimento(<Curva>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final>)
Comprimento(<Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>)
Comprimento(<Curva>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>)
Comprimento(<Função>, <Variável>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final>)
Comprimento(<Curva>, <Variável>, <Ponto Inicial>, <Ponto Final>)
O comando Comprimento possui várias sintaxes com as quais são realizadas ações
diferentes. Digitando na Entrada
Comprimento(<Vetor>)
é retornado o comprimento do vetor dado como parâmetro. Digitando
Comprimento(<Ponto>)
é retornado a distância de um ponto a (0, 0). Digitando
Comprimento(<Lista>)
é retornada a quantidade de elementos de uma lista.
Na imagem abaixo aparecem três pontos (A, B, C), um vetor u e uma lista cons-
truída a partir dos três pontos, L_1 = {A, B, C}.
10.5 Ajuda Online 58
Digitando
C_1 = Comprimento(L_1),
obtemos a quantidade de elementos da Lista, ou seja, C1 = 3. Digitando
C_2 = Comprimento(u),
obtemos C2 = 2, 24, ou seja, o comprimento do vetor u. E, por último, digitando
C_3 = Comprimento(A)
o GeoGebra retorna C3 = 1, 41, ou seja, a distância de A a (0, 0).
10.5 Ajuda Online
O site oficial do GeoGebra disponibiliza um canal
de ajuda para muitos comandos do programa.
É possível acessar essa ajuda de duas maneiras. Na
primeira delas, selecione (na janela Ajuda que exibe os co-
mandos do GeoGebra) o comando para o qual você deseja
ajuda, em seguida, clique no botão Exibir Ajuda Online,
que fica na parte interior da janela Ajuda. Isso fará com
que seu navegador carregue a página de ajuda do comando
selecionado.
Vale destacar que há muitos textos de ajuda escritos
em português, mas, em sua maioria, os textos estão escritos
em inglês.
A outra possibilidade para exibir a ajuda online
consiste em acessar o site www.geogebra.org e clicar na
aba Ajuda (canto superior direito da tela). Em seguida,
clicar em Comandos (também no canto superior direito da
tela). O site exibirá uma lista dos comandos do GeoGebra na qual é possível clicar no
nome daquele comando para o qual se quer obter mais informações.
11. Comando Sequência
A partir da digitação de alguns parâmetros no comando Sequência é possível pro-
duzir sequências numéricas e geométricas, e é o que propomos nesse texto. Para isso,
abordamos as sintaxes do comando e sua utilização na construção de sequências numéri-
cas e de sequências de objetos transformados a partir de uma figura matriz.
11.1 Sintaxe do Comando Sequência
O GeoGebra apresenta três sintaxes para o comando Sequência. Na primeira delas
devemos escrever como parâmetro apenas um valor final:
Sequência(<Valor Final>).
A partir dessa entrada o software retorna uma lista de números naturais de 1 até o Valor
Final.
1 Se o valor final for 10
2 O GeoGebra exibe a seguinte sequência na Janela de Álgebra
A expressão
Sequência(<Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>)
corresponde a segunda sintaxe disponível no GeoGebra.
11.1 Sintaxe do Comando Sequência 60
Como parâmetros essa sintaxe exige uma expressão, a explicitação de uma variável,
um valor inicial e um valor final. Por exemplo, se determinarmos que a expressão da nossa
sequência é n+ 1.
A variável deverá ser a mesma que foi declarada na expressão. Como na expressão
a variável é n, no parâmetro Variável também devemos declarar a variável como n. Caso
contrário, n seria interpretada como um valor numérico.
O valor inicial e o valor final delimitam os limites da sequência obtida.
No exemplo ilustrado abaixo o valor inicial é 2 e o valor final 8.
Teclando ENTER o GeoGebra exibirá a seguinte lista na Janela de Álgebra.
Como o valor inicial é 2 e a expressão n+ 1, o GeoGebra retorna 3 como primeiro
elemento da lista, ou seja, somando 1 ao valor do primeiro valor de n (2 + 1 = 3). Essa
operação é realizada com n variando de 1 a 8. Assim, o último valor calculado é 9
(8 + 1 = 9).
A terceira sintaxe do comando Sequência é muito parecida com a segunda. Nessa,
é apenas acrescentado o parâmetro incremento.
Sequência(<Expressão>, <Variável>, <Valor Inicial>, <Valor Final>, <Incremento>)
Caso seja escolhida como expressão n+ 1 na variável n, valor inicial 1, valor final
30 e incremento 5, devemos digitar a seguinte expressão na Entrada.
O GeoGebra opera, nesse caso, com o primeiro n valendo 1, o segundo valendo 6,
o terceiro 11, ou seja, soma 5 (incremento) ao valor do n anterior. Com isso o software
retorna a seguinte lista de valores na Janela de Álgebra.
É importante observar que 27 é o último valor da lista numérica que o GeoGebra
exibe ao digitarmos os parâmetros acima. Ele foi calculado a partir de n = 26. O próximo
valor de n seria 26+5 = 31 que aplicado na expressão n+1 resultaria em 32, que é maior
que 30, valor estipulado com limite.
11.2 Comando Sequência e Controle Deslizante 61
11.2 Comando Sequência e Controle Deslizante
A segunda e a terceira sintaxe do comando Sequência, permitem que determine-
mos alguns de seus parâmetros com os valores de controles deslizantes. Dessa forma, ao
movimentarmos o slide do controle deslizante os valores da lista são alterados.
1 Podemos determinar como parâmetro Valor Final de uma sequência o valor
de um controle deslizante a. O GeoGebra retorna uma lista que dependente
do valor do controle deslizante.
2 Ao movermos o slide do controle deslizante a, os valores da lista são alterados
e o GeoGebra recalcula automaticamente os valores sequência.
No exemplo acima, o valor do controle deslizante foi alterado para 7 e, como era o
parâmetro Valor Final da sequência, a lista de valores foi alterada na Janela de Álgebra,
exibindo, assim, os 7 primeiros valores.
Esse é apenas um exemplo de como relacionar os valores de um controle deslizante
aos parâmetros de uma sequência. Nessecaso, definimos que o parâmetro Valor Final
seria definido pelos valores do controle deslizante mas, ao invés desse, poderíamos definir
Valor Inicial ou Incremento como parâmetros dependentes do valor do controle deslizante.
Cada um desses casos torna a sequência dependente do valor do controle deslizante de
uma maneira particular a cada caso.
11.3 Elementos de uma Sequência
Dada uma sequência, podemos fazer operações com cada elemento dessa sequência
separadamente. Isso é possível com o comando
Elemento(<Lista>, <Posição do Elemento>).
Com esse comando é possível aplicar uma determinada ação em um elemento específico
de uma lista.
11.3 Elementos de uma Sequência 62
1 Considere duas sequências numéricas construídas com comando Sequência.
2 Podemos obter uma lista3, que seja uma lista dos pares ordenados formados
pelo elemento 1 da lista1 com o elemento 1 da lista2; elemento 2 da lista1 com
elemento 2 da lista2 e assim sucessivamente, com o seguinte comando
2 O GeoGebra retorna a seguinte lista da Janela de Álgebra.
Além de obter a lista3 na Janela de Álgebra, o GeoGebra exibe, na Janela de
Visualização, a representação gráfica desses pares ordenados.
11.4 Sequência e Comando Girar 63
11.4 Sequência e Comando Girar
No exemplo anterior, mostramos uma possibilidade de utilização do comando
Sequência em conjunto com o comando Elemento. Nesse exemplo exploramos uma ma-
neira de combinar os comandos Sequência e Girar.
1 Construímos um polígono qualquer na Janela de Visualização do GeoGebra.
Em seguida, construímos um controle deslizante α, variando entre 0◦ e 360◦,
com incremento 1◦.
2 No campo Entrada digitamos o comando Sequência aninhado com comando
Girar. Como no exemplo do comando Elemento, o comando Girar ficará no
lugar do parâmetro Expressão no comando Sequência.
3 Nesse caso, vamos aplicar o comando Girar no polígono que obtemos (q1)
anteriormente e como parâmetro Ângulo, iremos declarar α ∗ i, ou seja ângulo
controlado pelo controle deslizante multiplicado pela variável i da sequência.
11.4 Sequência e Comando Girar 64
4 Os parâmetros Valor Inicial e Valor Final foram declarados 1 e 10, respecti-
vamente. A partir desse comando é possível obter, na Janela de Visualização,
uma sequência de 11 polígonos (o polígono original e os outros 10, derivados
do comando sequência) que giram de acordo com o ângulo α, valor atribuído
ao controle deslizante.
Conforme alteramos o valor do controle deslizante, a posição dos polígonos
é alterada na Janela de Visualização. Na imagem acima aparecem apenas 8
polígonos pois estão sobrepostos uns sobre os outros.
12. Janela CAS
CAS é a abreviação de Computer Algebra System que, em português, significa
Sistema de Computação Algébrica.
No GeoGebra há um sistema de computação algébrica que pode ser acessado por
meio do menu Exibir e clicando em Janela CAS.
No Layout acima a Janela CAS está exibida entre a Janela de Álgebra e a Janela
de Visualização. Veja, a seguir, alguns resultados ao serem digitados as seguintes entradas
nas linhas 1, 2, 3 e 4, respectivamente: sqrt(8), 9/12, 2 ˆ 5 e x ˆ 2/(x ˆ 3 – x):
66
É importante ressaltar que as expressões numéricas e algébrica foram digitadas nas
linhas da Janela CAS enquanto estava ativa a Avaliação Simbólica. Isso faz com que o
processamento interno avalie e processe as entradas e, em seguida, apresente resultados sob
suas formas mais simplificadas. Nesse caso, as entradas numéricas não são apresentadas
sob números na forma decimal, por exemplo, 9/12 é apresentado na forma 3/4 e não na
forma 0,75.
Se forem selecionadas cada uma das linhas 1 a 4 e clicado em Avaliação Numérica,
os resultados dos cálculos são apresentados com um sinal de aproximação (≈) e sob forma
decimal quando as entradas forem numéricas.
Após digitar uma entrada e clicar em Manter Entrada, a saída na linha será apre-
sentada conforme os valores e as expressões digitadas pelo usuário.
Na Janela CAS é possível fatorar expressões numéricas e algébricas. Por exemplo,
nas linhas 1 a 3 com a Avaliação Simbólica ativa foi digitado: 72, x ˆ 2−1 e x ˆ 2−x−6.
Em seguida, clicou-se em cada uma das linhas e, em seguida, no ícone Fatorar. Na figura
abaixo dos resultados obtidos.
67
A Janela CAS permite também, a partir de entradas escritas na forma fatorada,
obter resultados expandidos. Por exemplo, com a opção Manter Entrada ativada foram
digitadas três expressões nas linhas 1 a 3: (x− 1)(x ˆ 3−x ˆ 2+1), (x− 1)/(sqrt(x)− 1)
e (x−4) ˆ 4. Em seguida, clicou-se na ferramenta Expandir e foram obtidos os resultados
apresentados na figura abaixo.
A seguir são apresentados os passos para a resolução de uma equação diferencial
na Janela CAS do GeoGebra.
1 Na primeira linha digite a equação diferencial: f ′(x) := x/y ˆ 2 e tecle ENTER.
2 Na linha 2, digite o comando para resolver a equação diferencial da linha 1:
ResolverEDO($1).
68
3 Para visualizar o gráfico de um caso particular da solução obtida na linha 2, é
preciso substituir a constante c1 por um valor numérico. Para tanto, construa
um controle deslizante a com valor mínimo -5, valor máximo 5 e incremento
0.1. Em seguida, na linha 3 digite
Substituir($2, c_1, a)
e clique no pontinho abaixo do número da linha para ser possível visualizar o
gráfico.
4 Para visualizar um conjunto de soluções da equação diferencial digite o se-
guinte comando na linha 4:
Sequência(Substituir($2, c_1, i), i, -10a, 10a, 0.5).
13. Lugar Geométrico
Nesse texto abordamos o uso da ferramenta Lugar Geométrico a partir da realiza-
ção de algumas construções.
13.1 Ferramenta Lugar Geométrico
A ferramenta Lugar Geométrico pode ser encontrada no quarto ícone da Barra de
Ferramentas (da esquerda para a direta)
Segundo a ajuda dessa ferramenta devemos selecionar o ponto do lugar geométrico
e, depois, o ponto sobre o objeto ou o controle deslizante. Devemos observar que o ponto
do lugar geométrico deve ser dependente do ponto sobre o objeto ou do controle deslizante.
Se não houver relação entre esses objetos, o GeoGebra não constrói o lugar geométrico.
13.2 Lugar Geométrico e Controle Deslizante 70
13.2 Lugar Geométrico e Controle Deslizante
Veja a seguir um exemplo de como obter um lugar geométrico usando um ponto
dependente de um controle deslizante.
1 Construímos um controle deslizante a, com valor inicial -5, valor final 5 e
incremento 0.1.
2 Construímos um ponto A digitando o seguinte comando na Entrada.
Desse modo o ponto fica dependente do controle deslizante a. Se alterarmos os
valores do controle deslizante, esse ponto se moverá na horizontal de x = −5
a x = 5.
3 Habilitando o rastro do ponto A animando o controle deslizante a, obtemos.
O rastro é o conjunto formado por alguns pontos que possuem coordenadas (a, 2).
Se aplicarmos a ferramenta Lugar Geométrico nesse caso, o GeoGebra exibe na Janela
de Visualização um segmento que ocupa a mesma posição do rastro do ponto A. Com a
ferramenta Lugar Geométrico selecionada, devemos clicar sobre o ponto A (ponto sobre
o lugar geométrico) e, depois, no controle deslizante a.
13.3 Parábola 71
13.3 Parábola
A parábola é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de um ponto, o
foco, e de uma reta diretriz. Assim, para construirmos a parábola precisamos construir
um ponto que, ao ser movimentado, se mantenha sempre a mesma distância do foco e da
diretriz.
1 Construímos uma reta a por AB e um ponto C sobre a reta.
O ponto assim construído, quando movimentado com o ponteiro do mouse,
desliza somente sobre a reta.
2 Construímos um ponto D não pertencente a reta.
13.3 Parábola 72
3 Com a ferramenta Mediatriz selecionada clicamos nos pontos C e D.
4 Traçamos a perpendicular a reta a por C e marcamos a interseção da mediatriz
e da reta perpendicular.
Ao movimentarmos o ponto C sobre a reta diretriz, com o rastrode E habilitado,
obtemos um conjunto de pontos equidistantes de D e da reta AB, ou seja, pontos sobre
uma parábola.
13.4 Equação do Lugar Geométrico 73
Com a ferramenta Lugar Geométrico selecionada, clicando em E e, em seguida,
em C, obtemos uma parábola como lugar geométrico.
13.4 Equação do Lugar Geométrico
Para obter a equação de um lugar geométrico podemos digitar na Entrada o co-
mando
EquaçãoDoLugarGeométrico(<Lugar Geométrico>).
Por exemplo, para obter a equação da parábola construída anteriormente, basta
digitar
EquaçãoDoLugarGeométrico(lg1)
na Entrada. O GeoGebra retorna sua equação na Janela de Álgebra.
Esse comando ainda tem uma segunda sintaxe:
EquaçãoDoLugarGeométrico(<Ponto do Lugar Geométrico>, <Ponto Móvel>).
Nessa sintaxe digitamos as coordenadas do ponto que estará sobre a curva do lugar
geométrico e do ponto que deslizará sobre uma reta ou curva.
14. Novas Ferramentas
O GeoGebra oferece em sua instalação padrão um conjunto de ferramentas aces-
síveis por meio da Barra de Ferramentas e um conjunto com comandos que permitem
construir objetos, realizar transformações, executar ações. Além disso, oferece a possibi-
lidade de o usuário criar suas próprias ferramentas, exibi-las na Barra de Ferramentas e
usá-las por meio de comandos na Entrada. Nesse texto abordamos o processo de constru-
ção de uma nova ferramenta no GeoGebra e de como integrá-la a outras ferramentas e à
planilha.
14.1 Círculo Dado o Diâmetro
É possível construir um círculo no GeoGebra a partir de três pontos, a partir do
centro e da medida do raio, a partir do centro e de um ponto pertencente a circunferência.
No entanto, não há uma ferramenta que possibilite construir um círculo a partir de dois
pontos cuja distância determine a medida de seu diâmetro. Apresentamos a seguir como
construir essa ferramenta.
1 Construa dois pontos na Janela de Visualização.
2 Encontre o ponto médio desses pontos. O que pode ser feito utilizando a fer-
ramenta Ponto Médio ou digitando, na Entrada, o comando PontoMédio(A,B).
14.1 Círculo Dado o Diâmetro 75
3 Utilizando a ferramenta Círculo dados Centro e um de seus Pontos, clique em
M e, em seguida, clique em A ou B e obtenha um círculo.
4 Tecle ESC para ativar o ponteiro e clique no nome ou no objeto final de sua
construção, ou seja, no círculo.
5 Clique no menu Ferramentas. E, depois, clique em Criar uma Nova Fer-
ramenta.
6 Abre-se uma janela com três abas: Objetos Finais, Objetos Iniciais e Nome e
Ícone. Na aba Objetos Finais selecione os objetos que deseja como resultado
do uso da ferramenta que está construindo.
Como selecionamos o círculo antes de acessar a opção Criar uma Nova Fer-
ramenta, o GeoGebra lista o círculo como o único objeto final.
14.1 Círculo Dado o Diâmetro 76
7 Na aba Objetos Iniciais devem ser escolhidos os objetos que são fundamentais
para a construção do objeto final. Nesse caso devem ser os pontos A e B que
determinam a medida do diâmetro do círculo.
8 Na aba Nome e Ícone você deve digitar um nome para sua ferramenta. En-
quanto digita, o GeoGebra sugere uma sintaxe para o comando relacionado a
essa ferramenta. Você pode aceitar ou modificar essa sintaxe.
Em Ajuda digite os procedimentos que o usuário deve executar após clicar
nessa ferramenta. Nesse caso, o usuário deve clicar em dois pontos. Clicando
em Ícone é possível selecionar uma imagem de seu computador para ser usada
como imagem do ícone na Barra de Ferramentas.
Por último, clique em Concluído para finalizar a construção da nova fer-
ramenta.
Após concluir a construção da ferramenta Círculo dado o Diâmetro a Barra de
Ferramentas passa a exibi-la como o último ícone, conforme mostra a imagem abaixo.
Deletar a circunferência e os pontos que foram úteis para a construção dessa fer-
ramenta não afeta seu funcionamento. Para utilizar a ferramenta Círculo dado o Diâmetro
você pode:
clicar em seu ícone e depois clicar em dois pontos A e B e obter um círculo; este foi
o processo de construção do círculo c por A e B.
14.2 Uma Nova Ferramenta Usada Com o Comando Sequência 77
clicar em seu ícone e construir o círculo clicando em diferentes pontos da Janela de
Visualização sem que existam pontos pré-construídos; processo utilizado na cons-
trução do círculo d.
digitar o comando
CírculoDiâmetro(<Ponto>, <Ponto>)
na Entrada; mudando os parâmetros para (12, 2) e (15, 4), ou seja,
CírculoDiâmetro((12, 2), (15, 4)),
obtém-se o círculo e.
14.2 Uma Nova Ferramenta Usada Com o Comando Sequência
A ferramenta Círculo dado o Diâmetro tem como objeto final um círculo, ou seja,
ao utilizá-la de uma das formas abordadas anteriormente você obterá como produto a
construção de apenas um objeto. No entanto é possível construir ferramentas que resultam
em mais de um objeto final, por exemplo, uma ferramenta que a partir de três pontos
construa um triângulo com seu círculo inscrito como mostra a figura abaixo.
14.2 Uma Nova Ferramenta Usada Com o Comando Sequência 78
Ferramentas que produzem apenas um objeto podem ser facilmente utilizadas em
conjunto com o comando Sequência. Por exemplo, suponha que você tenha que construir
círculos cujos diâmetros são dados pelas distâncias de pares de pontos consecutivos que
foram construídos sobre uma reta como exibido na imagem abaixo.
1 Na Entrada digite o seguinte comando.
Isso terá como resultado uma lista de pontos na ordem em que aparecem sobre
a reta (da esquerda para a direita).
2 Digite na Entrada
Sequência(CírculoDiâmetro(P(i), (P(i + 1)), i, 1, 9).
Esse comando constrói uma sequência de círculos com o comando CírculoDiâmetro
tomando como parâmetros pares de pontos consecutivos da lista P .
14.3 Uma Nova Ferramenta Usada em Planilha 79
14.3 Uma Nova Ferramenta Usada em Planilha
Agora vamos abordar como utilizar uma nova ferramenta em conjunto com a pla-
nilha do GeoGebra. Para tanto, tomamos como exemplo a ferramenta Círculo dado o
Diâmetro que construímos anteriormente. Vamos utilizá-la para construir círculos cujos
diâmetros sejam delimitados por pontos sobre a curva de uma espiral de Arquimedes.
1 Clique na ferramenta Controle Deslizante e construa um controle deslizante
para determinar a medida de um ângulo com os parâmetros que aparecem na
figura abaixo.
2 Construa outro controle deslizante n para selecionar valores naturais de 1 a
20.
14.3 Uma Nova Ferramenta Usada em Planilha 80
3 Na Entrada digite o comando
Curva(t cos(t), t sen(t), t, 0, 20α).
Com esse comando o GeoGebra retornará a expressão da Espiral de Arquime-
des na Janela de Álgebra e seu gráfico na Janela de Visualização. Além disso,
nomeará essa função paramétrica de a.
4 Na Entrada digite o seguinte comando:
O GeoGebra retornará uma sequência de vinte e um pontos sobre a curva a.
14.3 Uma Nova Ferramenta Usada em Planilha 81
5 Clique no menu Exibir e acesse a opção Planilha para que seja exibida a
planilha do GeoGebra. Na célula A1, digite 1 e, na célula A2, digite = A1+1.
Em seguida, clique com o mouse no canto direito inferior da célula A2 e arraste
até a célula A20.
A fórmula de A2 será copiada para as demais células exibindo números de 1
a 20 no intervalo de A1 a A20.
6 Na célula B1 digite o comando:
Esse comando tem como resultado um círculo cujas extremidades do diâmetro
são os elementos 1 e 2 da lista Pontos, pois A1 = 1 e n = 1 (A1 é a primeira
célula da coluna A e n é o controle deslizante).
A equação do círculo é exibida na célula B14 e seu gráfico na Janela de
Visualização.
14.3 Uma Nova Ferramenta Usada em Planilha 82
7 Clique no canto inferior direito da célula B1 e arraste até a célula B20. Isso
fará com que o GeoGebra copie e cole a expressão de B1 nas células de B2,
B3, B4, . . . , B20.
8 Por último, selecione as células A1, A5, A9 e A17. Para isso, clique em
uma delas, segure a tecla Ctrl e cliquenas demais. Depois, com a tecla Ctrl
ainda pressionada, clique com o botão direto do mouse sobre uma das células
selecionadas e acesse a opção Propriedades : mude a cor para vermelha e a
transparência para 25. Realize o mesmo processo para os blocos (A2, A6,
A10, A18), (A3, A7, A11, A19) e (A4, A8, A12 e A20), escolhendo as cores
verde, amarela e azul.
14.3 Uma Nova Ferramenta Usada em Planilha 83
Modificando os controles deslizantes para valores específicos obtemos as seguintes
imagens.
15. Superfícies
No texto que segue são abordados os passos necessários para obter uma superfície
a partir de uma função f : I → R, sendo I = (a, b), ou seja, a partir da curva de uma
função no plano cartesiano vamos obter sua revolução no espaço.
1 Construa dois controles deslizantes. O primeiro nomeie de a com valor mínimo
-10; valor máximo 10 e incremento 0.1. O segundo, nomeie de b, com valor
mínimo a, valor máximo 10 e incremento 0.1. Em seguida, construa uma
função digitando na Entrada:
f(x) = sen(x) + 2, a ≤ x ≤ b.
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2 Para obter superfícies de revolução em torno dos eixos x, y e z da Janela
de Visualização 3D, utilize o comando superfície que permite parametrizar a
função como se queira. Digite o comando
Superfície(f(t) * cos(α), f(t) * sen(α), t, t, a, b, α, 0, 2 pi)
e obtenha uma revolução da função f em torno do eixo z.
3 Digitando o comando
Superfície(f(t) cos(α), t, f(t) sen(α), t, a, b, α, 0, 2 pi),
obtém-se uma revolução da função f em torno do eixo y.
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Para obter a revolução em torno do eixo x, basta digitar
Superfície(t, f(t) cos(α), f(t) sen(α), t, a, b, α, 0, 2 pi)
na Entrada.
Seguem outros exemplos de funções parametrizadas em torno do eixo z.
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