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Unidade IV
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Prof. Marcelo Seita
Trigonometria
 Do grego: tri (três) + gonos (ângulos) + metron (medida).
Estudo das propriedades dos triângulos.
0
Trigonometria
 Hipotenusa: hypós (abaixo) + teínein (esticado).
hipoteínousa
o esticado abaixo
Ângulos
 Babilônicos (±𝟐𝟎𝟎𝟎 a.C.): numeração base 60 e 𝝅=3
 Do latim gradus: passo, distância.
Fonte: http://www.brasilescola.com/upload/e/ Untitled-6(40).jpg
Ângulos
Fonte: https://blogdoenem.com.br/wp-content/uploads/2016/03/5-4.gif
Ângulos
Graus Radianos
360º 2𝜋
180º 𝜋
90º
𝜋
2
60º
𝜋
3
45º
𝜋
4
30º
𝜋
6
Pitágoras
 A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados 
dos catetos.
Fonte: https://pt-static.z-dn.net/files/d63/ 
bbb69a47b08823923b61ce94fb1b675f.jpg 
Seno & Cosseno
60º
60º 60º
1 1
1
1 1
1
2
1
2
3
2
Seno & Cosseno
1
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟒
1
𝟏
𝟒
Seno & Cosseno
30º
1
𝟏
𝟐
3
2𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎° =
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟔
=
𝟏
𝟐
Seno & Cosseno
30º
1
1
2
𝟑
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎° =
𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟔
=
𝟑
𝟐
Seno & Cosseno
30º
1
1
2
𝟑
𝟐𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎° =
𝟑
𝟐
𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟑
=
𝟑
𝟐
Seno & Cosseno
30º
1
𝟏
𝟐
3
2𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° =
𝟏
𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟑
=
𝟏
𝟐
Seno & Cosseno
0 b
a
𝜶
1
𝒔𝒆𝒏 𝜶 =
𝒂
𝒄
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒃
𝒄
Interatividade
Calcule a expressão e escolha a alternativa com a resposta 
correta:
𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟐
+ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝝅 =?
a) 𝟐
b) 1
c) 𝟎
d) -1
e) -2
Tangente
cosx
se
n
x
1
1
tg
x
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
=
𝒕𝒈𝒙
𝟏
𝒕𝒈𝒙 =
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
Ângulos notáveis
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0
1
2
2
2
3
2
1
Cosseno 1
3
2
2
2
1
2
0
Tangente 0
3
3
1 3 ∄
Sinais: Seno
(0,0)
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
++
- -
Sinais: Cosseno
(0,0)
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
+
-
-
+
Relação Fundamental
cosx
se
n
x
1
1
𝒂𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐
𝟏 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐
𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔𝒙𝟐 = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝒙𝟐
Lei dos cossenos
ab
c
A B
C
h
H
𝐇𝐁𝐂: 𝒉𝟐 + (𝒄 −𝒎)𝟐= 𝒂𝟐
m
𝐇𝐀𝐂: 𝒉𝟐 + 𝒎𝟐 = 𝒃𝟐
-
(𝒄 −𝒎)𝟐−𝒎𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒄𝒎
𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶 =
𝒎
𝒃
𝒎 = 𝒃𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒄𝒃𝒄𝒐𝒔𝜶
Lei dos cossenos
3
8
x
60º
𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 + 𝟖𝟐 − 𝟐. 𝟑. 𝟖. 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎°
𝒙 = 𝟕
𝒙𝟐 = 𝟗 + 𝟔𝟒 − 𝟒𝟖.
𝟏
𝟐
Um outra resolução
3
8
x
60º
h
𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° =
𝒉
𝟑
𝒉 = 𝟑. 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° = 𝟑.
𝟑
𝟐
z y
𝟑𝟐 = 𝒛𝟐 +
𝟑 𝟑
𝟐
𝟐
𝐳 =
𝟑
𝟐
𝐲 = 𝟖 −
𝟑
𝟐
𝐲 =
𝟏𝟑
𝟐
𝒙𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐 =
𝟑 𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟏𝟑
𝟐
𝟐
𝒙 = 𝟕
𝟑𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒛𝟐
Lei dos senos
A
B C
a
bc
diâmetro = 2r 𝒂
𝒔𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝑪
= 𝟐𝒓
A’ 𝑨 = 𝑨′
𝒔𝒆𝒏𝑨′ =
𝒂
𝟐𝒓
𝟐𝒓 =
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝑨′
=
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝑨
Lei dos senos
C
A B
c
𝟓 𝟐
x
45º 30º
𝒙
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°
=
𝟓 𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°
𝒙
𝟏
𝟐
=
𝟓 𝟐
𝟐
𝟐
𝒙 = 𝟓
Uma outra solução
C
A B
c
𝟓 𝟐
x
45º 30º
h
𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓° =
𝒉
𝒙
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° =
𝒉
𝟓 𝟐
𝒉 = 𝒙𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°
𝒉 = 𝟓 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°
𝒙
𝟐
𝟐
= 𝟓 𝟐
𝟏
𝟐
𝒙 = 𝟓
Interatividade
Sabendo-se que 𝒔𝒆𝒏𝒙 =
𝟏
𝟐
, quanto vale 𝒄𝒐𝒔𝒙?
a)
𝟐
𝟐
b)
𝟏
𝟐
c)
𝟑
𝟐
d)
𝟑
𝟑
e) 1
Números Complexos
16
4
4 𝟏𝟔 = 𝟒
Números Complexos
𝒙𝟐 + 𝟏 =0
𝒙 = −𝟏
Números Complexos
 Latim: complecti (formado de duas partes)
𝒁 = (𝒙 + 𝒚𝒊)
 1545 Cardano e 1572 Bombelli: equações cúbicas
 1637 Descartes: raiz imaginária
 1702 Leibniz: anfíbio
 1748 Euler: 𝑖
 1832 Gauss: números complexos
Números Complexos
 Possibilita que grandezas que variam senoidalmente ou 
cossenoidalmente em função do tempo sejam representados 
por vetores bidimensionais.
 É mais fácil operar (somar, multiplicar etc.) com números 
complexos de diferentes módulos e argumentos do que 
operar com funções trigonométricas (senos e cossenos).
Números Complexos
 Aplicações
 Engenharia de Controle
 Física (buracos negros)
 Engenharia elétrica (análise de circuitos)
 Geometria Fractal
 Aerodinâmica
 Computação Quântica
Números Complexos
𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃
número imaginário
parte real
parte imaginária
 Se a=0: imaginário puro
 Se b=0: número real
 Se 𝒂 ≠ 𝟎 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎: número imaginário
Operações
 Conjugado de um número complexo 
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
ത𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
Ex: 
𝒛 = 𝟑 + 𝟐𝒊  ത𝒛 = 𝟑 − 𝟐𝒊
𝒛 = 𝟐𝒊  ത𝒛 = −𝟐𝒊
𝒛 = 𝟑  ത𝒛 = 𝟑
Operações
Adição: 
soma-se separadamente os componentes reais
dos complexos
Ex.:
𝒛𝟏 = 𝟏 + 𝟐𝒊 e 𝒛𝟐 = 𝟑 − 𝟒𝒊
𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝟒 − 𝟐𝒊
Operações
 Propriedades da adição:
 Associativa: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑 = 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑
 Comutativa: 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝒛𝟐 + 𝒛𝟏
 Elemento neutro: 𝒛𝟏 + 𝒆 = 𝒆 + 𝒛𝟏
 Elemento oposto: 𝒛𝟏 +𝒘 = 𝒘 + 𝒛𝟏 = 𝟎
 Subtração
Ex.:
 𝒛𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒊 e 𝒛𝟐 = 𝟑 − 𝟒𝒊
 𝒛𝟏 − 𝒛𝟐 = −𝟐 + 𝟐𝒊
Operações
 Multiplicação
Seja 𝒛𝟏 = 𝒂 + 𝒃𝒊 e 𝒛𝟐 = 𝒄 + 𝒅𝒊, 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔:
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅𝒊 + 𝒃𝒊𝒄 + 𝒃𝒊𝒅𝒊 = 𝒂𝒄 − 𝒃𝒅 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 𝒊
Ex.:
𝒛𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒊 e 𝒛𝟐 = 𝟑 − 𝟒𝒊
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝟏. 𝟑 − −𝟐 . −𝟒 + 𝟏. −𝟒 + −𝟐 . 𝟑 𝒊
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝟑 − 𝟖 + −𝟏𝟎 𝒊
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = −𝟓 − 𝟏𝟎𝒊
Operações
 Divisão
𝒛𝟏 = 𝟐 e 𝒛𝟐 = 𝟑 + 𝟓𝒊
𝟐
𝟑 + 𝟓𝒊
=
𝟐
𝟑 + 𝟓𝒊
.
𝟑 − 𝟓𝒊
𝟑 − 𝟓𝒊
=
𝟔 − 𝟏𝟎𝒊
𝟗 + 𝟐𝟓
=
𝟔 − 𝟏𝟎𝒊
𝟑𝟒
=
𝟑 − 𝟓𝒊
𝟏𝟕
Interatividade
Dado o número complexo abaixo, calcule seu quadrado e 
assinale a alternativa correspondente:
𝒛 = 𝟐 + 𝟓𝒊
a) 𝒛𝟐 = 𝟏𝟗 − 𝟏𝟎𝐢
b) 𝒛𝟐 = 𝟏𝟗 − 𝟐𝟎𝐢
c) 𝒛𝟐 = −𝟏𝟗 + 𝟏𝟎𝐢
d) 𝒛𝟐 = 𝟐𝟗 + 𝟐𝟎𝐢
e) 𝒛𝟐 = −𝟏𝟗 + 𝟐𝟎𝐢
Representação geométrica e forma cartesiana
 Plano de Argand-Gauss
𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊
Im
Real4
2
(4,2)
Representação geométrica e forma cartesiana
 Plano de Argand-Gauss
𝒛 = −𝟑𝒊 Im
Real
-3
(0,-3)
Módulo
 Distância entre a origem (0,0) do plano e o ponto em questão
𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊
𝝆 = 𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝝆 = 𝒛 = 𝟒𝟐 + 𝟐𝟐
𝝆 = 𝒛 = 𝟐𝟎
𝝆 = 𝒛 = 𝟐 𝟓
Im
Real4
2
(4,2)
(0,0)
Argumento
 É a medida do ângulo formado pelo ponto no plano de Argand 
com vértice na origem e lado no eixo das abscissas
Im
x
Q
(0,0)
𝝆
𝜽
b
a
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒃
𝝆
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒂
𝝆
𝒛 = 𝟑 + 𝒊
𝝆 = 𝒛 = 𝟑
𝟐
+ 𝟏𝟐
𝝆 = 𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟑
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟏
𝟐
∴
𝜽 = 𝟑𝟎°
Forma trigonométrica
Da trigonometria temos que:
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒂
𝒛
e 𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒃
𝒛
 O que nos permite escrever
𝒂 = 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒛 e 𝒃 = 𝒔𝒆𝒏𝜽. 𝒛
 Logo
𝒛 = 𝒛 . 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒛 . 𝐬𝐞𝐧𝜽
(coordenadas polares)
Forma trigonométrica
𝒛 = 𝒛 . 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒛 . 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝒛 = 𝟏 + 𝒊
𝒛 = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟏
𝟐
=
𝟐
𝟐
→ 𝜽 = 𝟒𝟓° 𝒐𝒖
𝝅
𝟒
∴ 𝒂 = 𝒛 . 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓°
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟏
𝟐
=
𝟐
𝟐
→ 𝜽 = 𝟒𝟓° 𝒐𝒖
𝝅
𝟒
∴ 𝒃 = 𝒛 . 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°
Forma trigonométrica
Logo, a forma trigonométrica é dada por:
𝒛 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝒊. 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°
Ou ainda:𝒛 = 𝟐𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟒
+ 𝒊. 𝟐𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟒
Multiplicação na forma trigonométrica
𝒛𝟏 = 𝝆𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏
𝒛𝟐 = 𝝆𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽𝟐
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝝆𝟏. 𝝆𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏 + 𝜽𝟐)
𝒛𝟏 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝟑𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°
𝒛𝟐 = 𝟓𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓° + 𝟓𝒊𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓°
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝟑. 𝟓. 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟓° + 𝟒𝟓° + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟑𝟓° + 𝟒𝟓°)
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = 𝟏𝟓. 𝒄𝒐𝒔𝟕𝟓° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟕𝟓°
Divisão na forma trigonométrica
𝒛𝟏 = 𝝆𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏
𝒛𝟐 = 𝝆𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽𝟐
𝒛𝟏: 𝒛𝟐 = 𝝆𝟏: 𝝆𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐)
𝒛𝟏 = 𝟏𝟎(𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎°)
𝒛𝟐 = 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°)
𝒛𝟏: 𝒛𝟐 = 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° − 𝟑𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝟗𝟎° − 𝟑𝟎°)
𝒛𝟏: 𝒛𝟐 = 𝟓. 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°
Potenciação
Dado o número complexo
𝒛 = 𝝆 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
Temos que
𝒛 𝟐 = 𝝆. 𝝆. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝜽 + 𝜽
Portanto, é fácil notar que
𝒛𝟐 = 𝝆𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
O que nos permite generalizar
𝒛𝒏 = 𝝆𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒏𝜽
Potenciação
Sendo 𝒛 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° , 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 (𝒛)𝟏𝟎
𝒛 𝟏𝟎 = 𝝆𝟏𝟎(𝒄𝒐𝒔𝟏𝟎. 𝟑𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎. 𝟑𝟎°)
𝒛 𝟏𝟎 = 𝝆𝟏𝟎(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝟎°)
Interatividade
Dados os números complexos abaixo, calcule a divisão 
𝒛𝟏
𝒛𝟐
e 
assinale a alternativa correta:
𝒛𝟏 = 𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔𝝅 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝝅
𝒛𝟐 = 𝟐 + 𝟐𝒊
a) 𝟐𝟎(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟎𝟓° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎𝟓°)
b) 𝟓(𝒄𝒐𝒔𝟒° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟒°)
c) 𝟓(𝒄𝒐𝒔𝟏𝟑𝟓° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓°)
d) 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎°)
e) 𝟓(𝒄𝒐𝒔𝟏𝟑𝟓° − 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟏𝟑𝟓°)
ATÉ A PRÓXIMA!