Lista 2 - CM201 Cálculo I.pdf

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Universidade Federal do Parana´
2a Lista de Exerc´ıcios - CM201 Ca´lculo I
Professor: Cleber de Medeira 12/09/2013
1. (a) Explique o que esta´ “errado” na seguinte igualdade:
x2 + x− 6
x− 2 = x+ 3.
(b) Explique por que a expressa˜o abaixo esta´ correta:
lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 = limx→2(x+ 3).
2. Calcule os seguintes limites.
(a) lim
x→0
(x3 − 3x2 + 4x)
(b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
(c) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
(d) lim
h→0
(3 + h)2 − 9
h
(e) lim
h→3
|h− 3|
(f) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2
(g) lim
h→0
(4 + h)2 − 16
h
(h) lim
h→0
(1 + h)4 − 1
h
(i) lim
h→0
cos(x+ h)− cosx
h
(j) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
(k) lim
x→p
x3 − p3
x− p
(l) lim
t→9
9− t
3−√t
(m) lim
x→7
√
x+ 2− 3
x− 7
(n) lim
x→−4
1
4
+ 1
x
4 + x
(o) lim
x→9
x2 − 81√
x− 3
(p) lim
x→2
4
√
x− 4√2
x− 2
(q) lim
t→0
1
t
√
1 + t
− 1
t
(r) lim
x→0
senx
x+ x2 senx
(s) lim
x→1
1− x2
sen(1− x)
(t) lim
x→0
1− cosx
x
3. Mostre (usando a definic¸a˜o) que lim
x→p
f(x) = L⇐⇒ lim
x→p
(f(x)− L) = 0.
4. Calcule e prove usando a definic¸a˜o os seguintes limites:
(a) lim
x→1
3x− 1
(b) lim
x→1
4x− 3
(c) lim
x→0
x3
(d) lim
x→1
√
x
(e) lim
x→−3
x2 − 9
x+ 3
5. Encontre o valor do limite se ele existir e caso na˜o exista justifique o porque.
(a) lim
x→1−
|x− 1|
x− 1
(b) lim
x→1+
|x− 1|
x− 1
(c) lim
x→−4−
|x+ 4|
x+ 4
(d) lim
x→0−
( 1
x
− 1|x|
)
(e) lim
x→0+
( 1
x
− 1|x|
)
6. Considere as func¸o˜es
(i) f(x) =
{
4− x2 se x ≤ 2
x− 1 se x > 2 (ii) g(x) =
{
x se x 6= 2
0 se x = 2 (iii) h(x) =

x2 se x < 2
pi se x = 2
x+ 2 se x > 2
Analise se existem os seguintes limites: (a) lim
x→2
f(x) (b) lim
x→2
g(x) (c) lim
x→2
h(x).
7. (a) Se 1 ≤ f(x) ≤ x2 + 2x+ 2, ∀x ∈ R, encontre lim
x→−1
f(x).
(b) Se 3x ≤ f(x) ≤ x3 + 2, para 0 ≤ x ≤ 2, encontre lim
x→1
f(x).
8. Use o Teorema do Confronto para mostrar que
(a) lim
x→0
√
x3 + x2 sen(pi/x) = 0
(b) lim
x→0
x2 cos 20pix = 0
(c) lim
x→0
x4 cos
2
x
= 0
(d) lim
x→0+
√
xesen(pi/x) = 0
9. A func¸a˜o maior inteiro e´ definida por [x] = max{n ∈ Z; n ≤ x} ([x] e´ o maior inteiro que e´ ≤ x). Sendo n ∈ Z, calcule os
seguintes limites:
(a) lim
x→n−
[x]
(b) lim
x→n+
[x]
(c) lim
x→n−
x− [x]
(d) lim
x→n+
x− [x]
(e) lim
x→0+
2x
[ 1
2x
]
10. Verifique se existe um nu´mero real a de forma que o limite a seguir exista.
lim
x→−2
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2 .
No caso afirmativo encontre os valores de a e calcule o limite.
11. Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas no respectivo ponto a.
(a) f(x) = ln |x− 2|, a = 2
(b) f(x) =
{ 1
x− 1 se x 6= 1
2 se x = 1
, a = 1
(c) f(x) =
{
ex se x < 0
x2 se x ≥ 0 , a = 0
(d) f(x) =
 x
2 − x
x− 1 se x 6= 1
1 se x = 1
, a = 1
(e) p(x) =
{
x2 se x < 1√
x se x ≥ 1 , a ∈ R
(f) q(x) =
{
senx se x < pi
4
cosx se x ≥ pi
4
, a = pi
4
12. Suponha que |f(x)− f(1)| ≤ (x− 1)2 para todo x real. Mostre que f e´ cont´ınua em x = 1.
13. Suponha que |f(x)| ≤ x2 para todo x real. Mostre que f e´ cont´ınua em x = 0.
14. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ Lipschitz se existe uma constante K > 0 tal que
|f(x)− f(y)| ≤ K|x− y|, ∀ x, y ∈ R.
Verifique que, se f : R→ R e´ Lipschitz, enta˜o f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
15. Determine o valor de L ∈ R para que as func¸o˜es a seguir sejam cont´ınuas em R.
(a) f(x) =

x2 + x− 6
x− 2 se x 6= 2
L se x = 2
(b) f(x) =

x2 − 81√
x− 3 se x 6= 9
L se x = 9
(c) f(x) =

√
x+ 2− 3
x− 7 se x 6= 7
L se x = 7
(d) f(x) =
{
x2 − 1 se |x| ≥ 1
L se |x| < 1 .
16. Encontre os valores das constantes A,B e C de modo que as func¸o˜es dadas a seguir sejam cont´ınuas.
(a) f(x) =

3x se x ≤ 2
Ax+B se 2 < x < 5
−6x se x ≥ 5
(b) h(x) =
{
Cx+ 1 se x ≤ 3
Cx2 − 1 se x > 3
17. Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas com f(3) = 5 e lim
x→3
(2f(x)− g(x)) = 4, encontre g(3).
18. (a) Seja f : [0, 1]→ R uma func¸a˜o cont´ınua tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1]. Justifique por que existe c ∈ [0, 1]
tal que f(c) = c.
(b) Seja f(x) = x3 − pix2 + 2. Mostre que a func¸a˜o f possui uma raiz real (isto e´, existe c ∈ R tal que f(c) = 0).
(c) Seja f(x) = 2x3 − x2 +√2. Mostre que existe c ∈ R tal que f(c) = 5.
Sugesta˜o: Use o Teorema do Valor Intermedia´rio.
19. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→3−
1
3− x
(b) lim
x→0−
2x+ 1
x
(c) lim
x→3+
x− pi
x− 3
(d) lim
x→1+
x+ 1
x2 − 1
(e) lim
x→2
1
|x− 2|
(f) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 2x+ 1
(g) lim
x→0
cosx
x2
(h) lim
x→0
sen2 x
x4
(i) lim
x→0
x2
(x+ 1) tg2 x
2
20. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→+∞
(x4 − 3x+ 2)
(b) lim
x→−∞
(3x3 + 2x+ 1)
(c) lim
x→−∞
5
x2 + 1
(d) lim
x→+∞
x2 + x
x
(e) lim
x→+∞
x
x2 + x
(f) lim
x→+∞
2x3 + 3x− 1
x3
(g) lim
x→+∞
x2 − 1
x2 + 1
(h) lim
x→+∞
2x2 − 1
x4 + 2
(i) lim
x→−∞
5x3 + 2x3 − 1
x3 − x2
(j) lim
x→+∞
2x3 + 3x− 1
x3 + 1
(k) lim
x→+∞
√
x− 1− x
(l) lim
x→+∞
√
x+ a−√x
3