ANÁLISE COMBINATÓRIA

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AULA 01
III TRIMESTRE
Introdução ao Princípio Fundamental da Contagem(PFC) 
Tema:
OBJETIVOS:
AULA 01
Resolver problemas de contagem envolvendo o princípio multiplicativo, permutação, arranjo e combinações simples.
2
Falar o objetivo da atividade
Análise Combinatória
A análise combinatória é a parte da matemática que estuda a quantidade de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades de ocorrência. 
Trata-se de um ramo matemático com parte teórica relativamente curta, sendo sua maior dificuldade a interpretação dos problemas propostos envolvendo diferentes situações de contagem.
Introdução ao Princípio 
Fundamental da Contagem (PFC)
Você já deve ter feito algumas perguntas do tipo:
Quantos números de telefone de oito dígitos podem existir?
Em uma classe de 40 alunos, quantas são as possíveis escolhas para dois representantes de classe?
Tem ideia 
de como se 
calcula?
Introdução ao Princípio 
Fundamental da Contagem (PFC)
Como você pode perceber, contar não é um processo tão simples. 
Por isso é necessário estabelecer métodos de contagem. 
Este é o objetivo principal da 
Análise Combinatória.
Contar uma a uma, que é um processo elementar, não é viável em muitas situações. 
Os processos de contagem 
são desenvolvidos através do 
Princípio Fundamental da Contagem, 
também chamado de Princípio Multiplicativo.
Analisaremos algumas situações.
Exemplo 01
Para ir à praia, Mônica pretende colocar um biquíni e uma canga. Sabendo que ela possui cinco biquínis diferentes e três modelos de canga, determine o número de maneiras distintas de Mônica se vestir. 
Exemplo 01
O Princípio Fundamental da Contagem pode ser ilustrado com o auxílio de uma árvore de enumeração .
Árvore 
das 
Possibilidades
Resolução
Visualize esta situação na Árvore das Possibilidades: 
Canga 1
Canga 3
Canga 2
Opções 
De Biquínis: 
5
5 . 3 = 
15 possibilidades
Biquíni 1
Canga 1
Canga 3
Canga 2
Biquíni 2
Canga 1
Canga 3
Canga 2
Biquíni 3
Canga 1
Canga 3
Canga 2
Biquíni 4
Canga 1
Canga 3
Canga 2
Biquíni 5
Número de 
possibilidades 
De Cangas: 
3
Exemplo 02
Determine conjunto de números de dois algarismos distintos formados a partir dos dígitos 1, 2 e 3.
Visualize esta situação na Árvore das Possibilidades: 
1
2
3
2
3
1
3
1
2
Número de possibilidades 
para o primeiro algarismo:
 3
Número de possibilidades para o segundo algarismo: 
2
3 . 2 = 
6 possibilidades
Momento de Produção
Exemplo 01
Um experimento consiste em lançar um dado e uma moeda sobre uma mesa. 
Um resultado desse experimento é por exemplo, o par(5, coroa), isto é, face 5 no dado e face coroa na moeda. 
Escreva todos os 
possíveis resultados.
Determine
quantos são 
os resultados.
Exemplo 01
Face do dado
Face na moeda
 6 
CARA
COROA
CARA
COROA
CARA
COROA
CARA
COROA
CARA
COROA
CARA
COROA
Podemos ilustrar esta situação 
por meio da
Árvore das 
Possibilidades
6 . 2 = 12
Face 1
Face 2
Face 3
Face 4
Face 5
Face 6
2 
Total de Possibilidades
Introdução ao Princípio 
Fundamental da Contagem (PFC)
Os processos de contagem 
são desenvolvidos através do 
Princípio Fundamental da Contagem, 
também chamado de Princípio Multiplicativo.
Na aula 01...
 Então o produto n1 · n2 · n3 · ...· nk é o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento.
- n1 é o número de possibilidades na 1a etapa;
- n2 é o número de possibilidades na 2a etapa;
 ......................................................................
- nk é o número de possibilidades na k-ésima etapa.
Se um acontecimento pode ser analisado em etapas sucessivas e independentes de modo que:
Exemplo 01
Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja comer e quer montar sua refeição, quantas possibilidades de escolha ela terá ?
ACONTECIMENTO
Escolha de uma salada
Escolha de um prato de carne
Escolha de uma bebida
Escolha de uma sobremesa
Nº de possibilidades
2
4
5
3
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
Exemplo 01
2 x 4 x 5 x 3 = 
120 maneiras.
Exemplo 04
Os números dos telefones de uma cidade tem 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os números não devem começar com zero.
P1
Os algarismos que devem ser colocados em cada posição P são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
P3
P4
 9 
P5
P2
P6
P7
P8
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, 
o número máximo de telefones é: 
10 
10 
10 
10 
10 
10 
10 
Temos 10 opções, para cada posição. 
Entretanto, temos 9 opções para a 1ª posição,
 pois não podemos começar com o número zero.
9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =
90 000 000
Exemplo 05
(EEAR-2009)Com os algarismos 1,2,4,5 e 7 a quantidade de números de três algarismos distintos que se pode formar é:
a)100 b)80 c)60 d)30
As casas da esquerda para a direita representam as centenas, dezenas e as unidades.
C
D
U
 5 poss. 4 poss. 3 poss.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
 5 x 4 x 3 = 
60 maneiras.
Princípio da Preferência(PP)
Se uma situação de contagem trouxer alguma restrição(uma condição especial), a primeira etapa deverá sempre satisfazer tal restrição. Se houver mais de uma restrição, daremos preferência para iniciar a contagem do ponto em que a restrição for maior.
Exemplo 06
De quantos modos cinco pessoas podem se sentar em um carro de cinco lugares, se somente se duas delas dirigem?
Lugar A
Lugar B
Lugar C
LugarD
Lugar E
2
4
3
2
1
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
2 . 4. 3. 2. 1 = 48
Exemplo 07
Quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4?
U
D
C
4
. 5
= 100
. 5
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
Momento de Produção
Exemplo 01
A seleção brasileira de futebol irá disputar um torneio internacional com outras cinco seleções, no sistema “todos jogam contra todos uma única vez”. Quais as possíveis sequências de resultados, vitória (V), empate (E) e derrota (D), da equipe brasileira nesse torneio?
3
Jogo 1
Jogo 2
Jogo 3
Jogo 4
Jogo 5
3 
possibilidades
3 
possibilidades
3 
possibilidades
3 
possibilidades
3 
possibilidades
. 3
. 3
. 3
. 3
= 243
Momento de Produção
Exemplo 01
22
Momento de Produção
Exemplo 02
Num pronto socorro, há sete pessoas esperando para serem atendidas e um banco com três lugares. De quantas maneiras diferentes essas pessoas podem sentar-se enquanto esperam? 
Momento de Produção
Exemplo 02
7
Lugar 1
Lugar 2
Lugar 3
Qualquer uma das 7 pessoas.
. 6
. 5
= 210
Qualquer uma das 6 pessoas restantes.
Qualquer uma das 5 pessoas restantes.
Fatorial
Considere n um número Natural. O fatorial de n, indicado por n!, é definido pelo produto:
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2. 1, para n > 1.
Importante:
1! = 1
0! = 1
Exemplo 01
Calcule:
2!
=
2
. 
1
2
=
3!
=
2
. 
1
6
=
. 
3
4!
=
2
1
24
=
3
4
. 
. 
. 
5!
=
2
1
120
=
3
4
. 
. 
. 
5
. 
Produto do n números Naturais consecutivos de n a 1.
Exemplo 02
Fernandes na sua viagem para o Caribe levou 6 malas de cores diferentes . Quantas opções diferentes existem para um funcionário do Aeroporto colocar todas as malas na esteira uma a uma para o embarque?
6!
=
2
1
720 opções
=
3
4
. 
. 
. 
5
. 
6.
Propriedade Fundamental dos Fatoriais
Exemplo 02
Simplifique: 
4!
7.6.5.4!
= 210
= 7.6.5
Ao desenvolvermos um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, podemos interromper onde for conveniente, indicando os últimos fatores na notação fatorial.
Exemplo 03
Simplifique: 
12.11.10!
10!
= 132
= 12 . 11
Os agrupamentos em que a ordem dos elementos 
é importante são chamados arranjos ou permutações.
Diferenciaremos esses dois tipos 
de agrupamentos mais adiante.
Quandoa ordem dos elementos não é importante são chamados combinação.
Agrupamentos
São agrupamentos que diferem um do outro pela 
ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Observe que os agrupamentos
Embora tenham os mesmos 
algarismos, são números 
diferentes entre si.
123, 132, 213, 231, 312, 321, 
Arranjo Simples
32
Arranjos simples de n elementos distintos tomados
p a p, com n ≥ p, é todo agrupamento ordenado
formado por P elementos escolhidos entre os
n elementos dados. E calculamos assim:
Arranjos Simples 
Exemplo 01
Em uma competição de 20 jogadores, quantas são as possibilidades de se formar um pódio com os três primeiros lugares? 
6.840 possibilidades
Exemplo 02
Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule o número das sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.
Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequência através do arranjo de 12, tomados 6 a 6.
665.280 possibilidades
Exemplo 03
Numa corrida de oito cavalos, quantos são os resultados possíveis para os dois primeiros lugares, sendo que não pode haver empate?
56 possibilidades
Exemplo 04
As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o segundo e o terceiro lugares nesse concurso?
= 60
60 maneiras
Exemplo 05
Os deputados federais do nosso país trabalham no Congresso Nacional durante seus mandatos de quatro anos . Para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente da Câmara Federal, candidataram-se dez deputados federais. De quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita?
= 90
90 maneiras
Exemplo 06
Quantos números de três algarismos distintos podemos formar usando os algarismos: 1, 3, 5, 6, 8 e 9?
120 números
Exemplo 07
Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos são disputados?
Como o torneio é disputado em dois turnos , o time A , por exemplo , enfrenta o time B duas vezes . Logo , o problema consiste em formar os arranjos dos 6 times tomados 2 a 2 ,isto é :
= 30
30 jogos
Combinação Simples
As Combinações são agrupamentos em que não se
considera a ordem dos elementos, mudanças na
ordem dos elementos não altera o agrupamento.
O número total de Combinações é calculado da seguinte forma:
Arranjo
Combinação
Situação 1
Eleger uma comissão de dois alunos para representantes de sala, em que ambos terão o mesmo cargo.
Situação 2
Eleger uma comissão de dois alunos em que o primeiro será o porta-voz da classe e o outro será o secretário.
Identificando o tipo de agrupamento
Combinação
Arranjo
Situação 1.
As possíveis classificações dos quatro primeiros colocados no Campeonato Brasileiro de Futebol.
Situação 2.
Escolher três pontos turísticos diferentes para visitar em Salvador.
Identificando o tipo de agrupamento
Exemplo 01
Com 8 frutas distintas , quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas?
56 saladas diferentes.
Exemplo 02
Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá escolher as 3 questões?
20 maneiras diferentes.
Exemplo 03
De quantos modos distintos João pode escolher quatro entre as nove camisetas regata que possui para levar em uma viagem para Feira de Santana?
126 maneiras diferentes.
Exemplo 04
Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Escolhas do levantador
2 possibilidades.
47
Exemplo 04
Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Escolhas dos atacantes
252 possibilidades.
Exemplo 04
Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Logo,teremos:
Escolhas do levantador
x
Escolhas dos atacantes
2 possibilidades
x
252 possibilidades.
504 formas de escolher o time.
Exemplo 05
Com um conjunto de 10 peças distintas, calcule o número de grupos diferentes, de três peças, que podem ser formados.
O grupo de peças ABC não é diferente do grupos ACB, BAC, etc. Logo como a ordem não importa, temos: 
120 grupos diferentes.
Exemplo 06
 Seja M um conjunto de 20 elementos. Determine número de subconjuntos de M que contém exatamente 18 elementos.
Um conjunto é determinado por seus elementos independente da ordem.
190 subconjuntos.
Exemplo 07
 Itacaré é uma excelente opção para o turismo. A cidade possui oito pontos turísticos e um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos para o passeio. De quantos modos diferentes um hóspede pode escolher, aleatoriamente, três destes locais?
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