Resumão de matemática

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Matemática	Letícia Cardoso
Matemática	Letícia Cardoso
1. CONJUNTOS
Não possui definição, mas tem como noção intuitiva o agrupamento de qualquer tipo e quantidade de objetos. Com esta noção, podemos identificar alguns conjuntos, conforme os exemplos a seguir:
O conjunto dos dias da semana. 
O conjunto dos meses do ano.
 O conjunto das letras do nosso alfabeto. 
O conjunto das matérias que você está estudando em seu colégio.
ELEMENTO é qualquer um dos objetos que compõe o conjunto. Com base nos exemplos sobre conjuntos, podemos obter os seguintes exemplos:
Quinta-feira é um elemento do conjunto dos dias da semana, pois quinta-feira compõe este conjunto. 
Dezembro é um elemento do conjunto dos meses do ano, pois dezembro compõe este conjunto. 
A letra α (alfa) não é elemento do conjunto das letras do nosso alfabeto, pois α não compõe este conjunto, e sim o conjunto das letras do alfabeto grego. 
A matéria Matemática é um elemento do conjunto das matérias que você estuda em seu colégio.
1.1 Representação dos conjuntos
Os conjuntos serão designados ou identificados por letras maiúsculas do nosso alfabeto e serão representados entre chaves, onde os elementos são discriminados e separados por vírgula: 
A {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}
Ou entre chaves, baseado em uma propriedade comum de todos os seus elementos. 
A {x x é dia da semana} 
B {x x é mês do ano} 
C {x x é letra do nosso alfabeto}
Observação:
Onde encontramos a simbologia x x devemos ler da seguinte maneira: “x tal que x”, que possui o significado “o elemento x deste conjunto deve satisfazer a condição...”. 
Os conjuntos podem ainda ser representados pelo chamado Diagrama de Venn como mostrado a seguir:
Tipos de Conjuntos
Finito: É um conjunto que possui um número determinado de elementos. 
Infinito: É um conjunto que possui um número indeterminado de elementos. 
Ex: n {0, 1, 2, 3, ...} 
Unitário: É um conjunto que possui um único elemento. 
Vazio: É um conjunto que não possui elementos. Sua representação é dada por: 
duas chaves sem elemento ({ }).
pelo símbolo ().
Na matemática existe um símbolo que substitui a palavra pertence e a expressão não pertence é substituída pelo seguinte símbolo. Veja:
 
Para estabelecer relações entre os conjuntos usamos os seguintes símbolos.
EXERCICIOS 
Dados os conjuntos a seguir: 
A {segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo} 
B {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro} 
C {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z} 
D {Português, Matemática, História, Geografia, Ciência, Educação Artística, Inglês, Educação Física} 
E {Alagoas} 
Preencha as lacunas com ou ∈ e 
Português ..... D 
terça ..... B 
a ...... E 
outubro ...... B 
r ..... A 
Alagoas ...... E
Escreva quais e quantos são os elementos de cada conjunto. 
Exemplo: A {x ∈ N| x ≥ 5} → {5, 6, 7, 8, ...}.
Este conjunto possui infinitos elementos.
A { x ∈ N| x < 4} Lê-se A é o conjunto dos números naturais que são menores que 4.
B { x ∈ N| x ≤ 7} Lê-se B é o conjunto dos números naturais que são menores ou iguais a sete. 
C { x ∈ N| x > 3} Lê-se C é o conjunto dos números naturais que são maiores que 3. 
 D { x ∈ N| x ≥ 10} Lê-se D é o conjunto dos números naturais que são maiores ou iguais a 10.
Observações:
A relação “está contido” ou a sua negação é utilizada do menor para o maior conjunto. 
A relação “contém” ou a sua negação é utilizada do maior para o menor conjunto. 
1.3 Subconjunto 
Sejam N e M dois conjuntos. Dizemos que N é subconjunto de M se, e somente se, N está contido em M. Ex:
Se N = {2, 3, 4, 5} e M = {5, 2, 4, 3}, então N = M, pois os elementos de N estão em M (N M) e os elementos de M estão em N (M N).
Operações com conjuntos
UNIÃO (REUNIÃO): Sejam N e M dois conjuntos quaisquer. Desta maneira, temos que a união entre os conjuntos N e M (N M) é um conjunto formado por elementos de N ou por elementos de M. 
N   M {x | x ∈ N ou x ∈ M}
Exemplo:
Sejam os conjuntos M {0, 1, 3, 5} e N {2, 3, 4, 5}. Desta maneira, M   N {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Representando em diagrama temos:
INTERSECÇÃO. Sejam N e M dois conjuntos quaisquer. Desta maneira, temos que a intersecção entre N e M (N M) é um conjunto formado por elementos que estão em N e M simultaneamente. 
N M {x | x ∈ N ou x ∈ M }
Exemplo:
Sejam os conjuntos N {2, 3, 4, 5} e M {0, 1, 3, 5}. Desta maneira, N M {3, 5}. Representando em diagrama temos: 
Observação: 
Se M N, então M e N são denominados conjuntos disjuntos. 
DIFERENÇA. Sejam M e N dois conjuntos quaisquer. Desta maneira, temos que a diferença entre M e N (M - N) é um conjunto formado pelos elementos que pertencem a M e não pertencem a N. 
M - N = {x | x ∈ M e x N}
Exemplo 
Sejam os conjuntos M {2, 3, 4, 5} e N {0, 1, 3, 5}. Desta maneira, M - N {0, 1}. Representando no diagrama a seguir: 
EXERCICIOS 
Represente os seguintes conjuntos:
Conjunto dos meses do ano
Conjunto dos dias da semana
Conjunto dos dias da semana que começam por t
Conjunto dos dias da semana que começam por x
Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3}, determine todos os subconjuntos dele.
Dados os conjuntos:
A = {0, 1, 3}
B = {0, 3, 5}
C = {3, 7, 8}
 Determine:
A U B
	
A B
A U C
	
AC
B U C
	
B C
QUESTÃO 24 – PROCESSO SELETIVO IFES 2015
Produto cartesiano
Um par ordenado é formado pelos valores de x e y agrupados, os quais determinam pontos no plano cartesiano. A coordenada (x, y) indica que os valores de x estão atribuídos à abscissa (eixo x) e os valores de y à ordenada (eixo y). 
Produto cartesiano é a multiplicação entre pares ordenados envolvendo conjuntos distintos
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado, formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, sendo indicado por:
Logo:
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produto cartesiano A x Bo conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde  
QUESTÃO 18 – PROCESSO SELETIVO IFES 2018
1.6 Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)
Os diagramas são utilizados como uma representação gráfica de proposições relacionadas a uma questão de raciocínio lógico. Esse tema é muito cobrado em provas que tenha por matéria raciocínio lógico para concursos, em questões que envolvem o termo “todo”, “algum” e “nenhum”.
Esses elementos podem ser demonstrados da seguinte forma:
Extensão: Os elementos são separados por chaves; {1,2,3,4…}
Compreensão: Escreve-se a caraterística em questão do conjunto mencionado.
Diagrama de Venn: Os elementos são inseridos em uma figura fechada e aparecem apenas uma vez.
Todo A é B: Nesse caso o conjunto A é um subconjunto do B, sendo que A está contido em B.
Nenhum A é B: Nesse caso os dois conjuntos não tem elementos comuns.
Algum A é B: Esse diagrama representa a situação em que pelo menos um elemento de A é comum ao elemento de B.
EXERCICIOS
Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama, pode-se afirmar que:
a) todos os músicos são felizes.
b) não há cantores que são músicos e felizes.
c) os cantores que não são músicos são felizes.
d) os felizes que não são músicos não são cantores.
e) qualquer músico feliz é cantor.
7. Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhumadas classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é:
a) 21
b) 14
c) 16
d) 19
e) 12
2. ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
2.1 Números naturais ( ℕ )
O conjunto dos números naturais é formado pelos primeiros números que nasceram naturalmente, como o próprio nome sugere. Ele é composto por todos os números inteiros e positivos e é representado pelo símbolo ℕ dessa forma: 
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Como podemos perceber este conjunto é ordenado, ou seja, tem uma ordem definida e é infinito.
Observação:
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
2.2 Números inteiros (ℤ)
O conjunto dos números inteiros contém o conjunto ℕ , dos números naturais e ainda o oposto desses números naturais mais o número zero. Eis o conjunto ℤ :
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Repare que ℕ⊂ℤ . No conjunto ℤ distinguimos dois subconjuntos:
Conjunto dos números inteiros não negativos ( ℤ+ )
ℤ+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números inteiros não positivos ( ℤ- )
ℤ- = {..., -3, -2, -1, 0}
Repare que o zero é elemento neutro, ou seja, não tem sinal, portanto não pode ser considerado nem positivo e nem negativo, por isso consta em ambos os subconjuntos do conjunto dos números inteiros. Em geral convencionamos ainda o seguinte: um asterístico (*) acrescido à letra que designa o conjunto, significa que o zero foi excluído do mesmo. Assim:
ℤ* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
ℤ*+ = {1, 2, 3, 4, …}
2.3 Números Racionais (Q)
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes. Por exemplo:
Em forma de fração ordinária:  ; ; e todos os seus opostos. Esses números tem a forma  com a,  b  Z  e  b ≠ 0.
Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
Esses números têm a forma  com a , b  Z e b ≠ 0.
Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica: São dízimas periódicas simples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma  : com a, b  Z e b ≠ 0.
Q = {x = , com a Z e b Z*}
Outros subconjuntos de Q:
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.
Q*  É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q– É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*– É o conjunto dos números racionais negativos.
2.3.1 Representação Geométrica
Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.
2.3.2 Operações com números racionais
 Adição e Subtração
Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.
Exemplo 1: Qual é a soma:
 Exemplo 2: Calcule o valor da expressão
 
2.4 Números Reais
O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ….
Números Inteiros (Z): …, –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …..
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498…., 3,141592….
Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:
N  Z  Q  I = R ou Q  I = R
Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.
O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto.
A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais.
De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.
2.3.1 Propriedades do conjunto dos números reais
As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto.
→ O conjunto dos números reais é um conjunto completo
Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo.
→ O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado
Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.
2.4 Fatores primos
Qualquer número inteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). Ao processo que recebe como argumento um número e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos.
Exemplos
O fator primo de 6 é 2 e 3 (6 = 2 × 3).
5 tem apenas um fator primo: ele mesmo (5 é número primo).
100 tem dois fatores primos: 2 e 5 (100 = 2² × 5²).
2, 4, 8, 16, etc. Cada um deles tem apenas único fator primo: 2. (2 é primo, 4 = 2², 8 = 2³, etc.)
1 não tem fator primo.
2.4.1 Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
	1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
	
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.
2.5 Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8 = 24. Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 8 = 120.
O MMC é muito útil quando se adicionam ou subtraem frações, pois é necessárioum mesmo denominador comum durante esses processos. Não é necessário que esse denominador comum seja o MMC, mas a sua escolha minimiza os cálculos.
Propriedade fundamental do MMC: Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do MMC destes números.
Exemplo 1: os múltiplos comuns positivos de 8, 12 e 28 são exatamente os múltiplos positivos de 168, o seu MMC, ou seja, são 168, 336, 504,…
Exemplo 2: encontre o menor número inteiro positivo de três algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 3, 4 e 15.
Solução: pela propriedade fundamental do MMC, o número desejado será o menor número de três algarismos múltiplo do MMC de 3, 4 e 15. Como MMC 3, 4, 15 = 60, então o menor múltiplo de três algarismos é o 120. 
O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 120 e 36
120  2                 36   2
60    2                 18   2
30    2                  9    3
15    3                  3    3
5      5                  1    22.32
1      23.3.5
M.M.C ( 120, 36) = 23.32.5 = 360
O M.M.C também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.
120   –   36   2
60     –   18   2
30     –   9     2
15     –   9     3
5       –   3     3
5       –   1     5
1       –   1     23.32.5 = 360
OBS: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b.
M.M.C.(a,b) . M.D.C. (a,b) = a . b
O produto entre o M.M.C e M.D.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.
2.6 Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.
Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número.
Propriedade fundamental do MDC: Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.
Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três números.
O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. Podendo ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
Exemplo: 120 e 36
120   2                  36    2
60     2                  18    2
30     2                   9     3
15     3                   3     3
5       5                  1      22.32
1       23.3.5
M.D.C ( 120, 36) = 22.3 = 12
O M.D.C também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.
120 –   36   2 ( * )
60   –   18   2 ( * )
30   –   9     2
15   –   9     3 ( * )
5     –   3     3
5     –   1     5
1     –   1     22.3 = 12
EXERCICIOS
8. Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:
a) 18 e 60						b) 210 e 462
9. Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?
5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.
6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.
7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.
9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.
2.7 Expressões literais e algébricas
2.7.1 Equações Literais
As equações literais possuem outras letras além da variável x, essas letras representam valores reais. Recebendo o nome de equações literais do 1º grau na incógnita x. Exemplos:
 xb = 6
2ax + 3a = bx
px + n = p
2x + 4m = x + 9m
2ax – 4ax = 3b + x
ax – 8x = 6a + 8
Resolução de Equações Literais
Exemplo 1:
3x + 3m = x + 9m
3x – x = 9m – 3m
2x = 6m
x = 6m/2
x = 3m
Exemplo 2
3ax – 2(ax + b) = 6b + x
3ax – 2ax – 2b = 6b + x
ax – x = 6b + 2b
ax – x = 8b
x(a – 1) = 8b
2.7.2 Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Veja alguns exemplos de expressões algébricas:
	2x – 5
	3a + 2y
	x² + 7x
	5 + x – (5x – 2)
	10y – 10x
	a² – 2ab + b²
Simplificação de Expressões Algébricas
y + y + y = 3y —— pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também).
m – 7m = -6m —— pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também).
5 . (x + 2) – 8 . x ——– utilizando a propriedade distributiva
5x + 10 – 8x———- 5x e 8x são monômios semelhantes
-3x + 10———como -3x e 10 não são semelhantes então não pode somar.
Concluímos que:
5 . (x + 2) – 8 . x = -3x + 10
 Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim:
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
2.8 Produtos Notáveis 
São produtos de polinômios muito usados no cálculo algébrico. Vejamos a seguir alguns casos especiais. 
Quadrado da soma de dois números
Sejam a e b dois números quaisquer. Sua soma será representada por (a + b), e o seu quadrado por (a + b) 2 . Assim:
 
Portanto, (a + b) . (a + b) = a² + 2ab + b²
Exemplo: Efetue (3x + 4y) ²: 
Quadrado da diferença de dois números
Sejam a e b dois números quaisquer. Sua diferença será representada por (a - b), e o seu quadrado por (a - b) ² . Assim:
Tem-se: (a - b)² = a ² - 2ab + b²
Exemplo: Efetue (3x - 4y) 2:
Produto da soma pela diferença de dois números
Sejam a e b dois números quaisquer. Sua soma será representada por (a+ b) e sua diferença por (a - b); o produto, por (a + b) . (a - b). Assim:
Portanto, (a + b) . (a - b) = a ² - b²
Exemplo: Efetue (3x + 4y) . (3x- 4y):Cubo da soma de dois números
Sejam a e b dois números quaisquer. Sua soma será representada por (a + b) e o seu cubo por: 
(a + b)3:
(a + b) . (a + b) . (a + b)
(a + b)² . (a + b)
(a² + 2ab + b² ) . (a + b)
Assim:
Portanto, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da diferença de dois números
Sejam a e b dois números quaisquer. Sua soma será representada por (a - b) e o seu cubo por: 
(a - b)3:
(a - b) . (a - b) . (a - b)
(a - b)² . (a - b)
(a² - 2ab + b² ) . (a - b)
Assim:
Tem-se: (a — b)2 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
EXERCICIOS
10. Calcule usando produtos notáveis:
a) (2x + 3y)2
b) (2x — 3y)2
c) (2x + 3y)(2x — 3y) 
d) (2x + 3y)3
e) (2x — 3y)3
2.9 Equações
Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos). São exemplos de equações as seguintes igualdades:
x+8=15
x³-9x²-7=4
3sen(x)+25cos(x)=18
3x4-x3+5x²-34x+1211=0
Nesses exemplos, as letras  x e y são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir. A equação x+8=15 pode ser interpretada como uma pergunta: “qual o número que somado com 8 dá 15?”. Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de x nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado x=7.
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é m=6; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é y=6.
Observação: Uma solução da equação pode ser compreendida como a raiz de uma função.
Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de x, como nos exemplos:
x(x+5)=x²+5x
sen²x+cos²x=1
Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação:
X²-3x=0.
Ela é satisfeita para exatamente dois valores de  x, a saber,  {x=0} x=0 e  x=3.
Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo:
(x+1)²=x²+2x+1
É uma identidade, mas:
(x+1)²=2x²+x+1
É uma equação cujas soluções são x = 0 e  x=1.
Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal (≡).
2.10 Problemas e inequações do 1º e 2º grau
2.10.1 Inequações do 1º grau
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Significado dos sinais:
>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0
Resolvendo uma inequação de 1° grau
Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:
Exemplo 1: 			-2x + 7 > 0
Solução:			 -2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2. 
Exemplo 2: 					2x – 6 < 0
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3
Portanto a solução da inequação e x < 3
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2: 
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x = 3
2.10.2 Problemas e inequações do 2º grau
Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.
Onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0.
Para solução dos problemas na maioria das vezes utilizamos  a fórmula de Bhaskara igual na equação de 2º grau que só é diferente no sinal de igualdade (=) que é substituído pelos demais.
 Exemplo: Resolva a inequação (x + 4)(x – 4) < 0
No primeiro membro da inequação, há um produto notável conhecido como “produto da soma pela diferença”. Aplicando-o, podemos reescrever a inequação da seguinte forma:
(x + 4)(x – 4) < 0
x² – 16 < 0
x² < 16
– √16 < x < √16
– 4 < x < 4
 
Sendo assim, os valores de x para que a inequação seja válida são todos os números reais tais que – 4 < x < 4.
 Exemplo 2: Resolva a inequação do 2° grau (3x – 1)(x + 1) ≥ 0.
Primeiramente, vamos aplicar a propriedade distributiva para resolver a inequação:
(3x – 1)(x + 1) ≥ 0
3x² + 3x – x – 1 ≥ 0
3x² + 2x – 1 ≥ 0
 
Em seguida, usaremos a Fórmula de Bhaskara:
 
 
 
 
 
Portanto, os valores de x para que a inequação seja maior ou igual a zero são todos os números reais tais que ⅓ ≤ x ≤ – 1.
2.11 Sistema de equações do 1º e 2º grau
2.11.1 Sistema de equações de 1º grau
Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas (matemática, química, física, engenharia,…). Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.
1º) MÉTODO DA ADIÇÃO
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
Exemplo:
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x
2º passo: Substituir y = – 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
3º passo: dar a solução do sistema. 			S = { (4, -2) }
2º) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
Exemplo:
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.
2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.
3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2
4º passo: dar a solução do sistema.				S = { (4, -2) }
 
2.11.2 Sistema de equação do 2º Grau
Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição.
No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, podendo haver mais soluções nesse caso.
Exemplo 1:
 
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y =6
x = 6 – y
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + y² = 20
(6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2)
y² – 6y + 8 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4
a = 1, b = –6 e c = 8
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:
Para y = 4, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 4
x = 2
Par ordenado (2; 4)
Para y = 2, temos:
x = 6 – y
x = 6 – 2
x = 4
Par ordenado (4; 2)					S = {(2: 4) e (4; 2)}
2.12 Equação biquadrada 
Toda equação de grau 4, redutível à forma ax4 + bx2 + c = 0, que pode ser convertida em uma equação de 2º grau.
2x4 – 7x2 – 4 = 0
Sabe-se que x4 = (x2)2. Portanto, poderás substituir x2 por y, e ao substituir x2 por y, terá uma equação de 2º grau na incógnita y
2x4 – 7x2 – 4 = 0
2y2 – 7y – 4 = 0 → fazendo x2 = y
Resolvendo como uma equação de 2º grau, utilizaremos o teorema de Bhaskara:
Solução da equação de 2° grau: S={4,-1/2}
Como x2 = y, faça a substituição das raízes encontradas para a equação em y para encontrar as raízes da equação biquadrada.
Para y=−1/2 tem-se:
Solução da equação biquadrada: S = {– 2, 2}
EXERCICIOS
11. Determine o conjunto solução das seguintes equações biquadradas: 
x4 – 5x² + 4 = 0.
4x4 – 9x² + 2 = 0. 
c) 3x² * (x² – 5) = 5 – x².�
2.13 Equações irracionais
 Todas as equações que tem pelo menos uma incógnita ou variável no radicando são consideradas como equações irracionais.
Exemplos:
Nos dois exemplos a incógnita x esta dentro da raiz (radicando).
Resolução da equação irracional
Resolva a equação: 
Passos para resolução:
1º  Isole o radical no primeiro membro da equação, isto é, passe para o segundo membro todos os termos, deixando o radical sozinho no primeiro membro da equação.
2º  Eleve ao quadrado, cubo, quarta potência… ( conforme o índice do radical), ambos os membros da equação, para eliminar a raiz quadrada, cúbica, quarta, respectivamente e liberar a incógnita do radical
 3º    Resolva a equação e encontre o valor de x.
x + 3 = 64        x = 64 – 3     x = 61
 
Todo valor encontrado para a incógnita dever verificar a igualdade estabelecida numa  equação irracional.
Verificação:
Substitua o valor encontrado para a incógnita, neste caso x ,é raiz da equação irracional. Veja:
EXERCICIOS
Quais são os resultados naturais da inequação a seguir?
2x – 18 > 4x – 38
a) x > 10
b) x < 10
c) x = 10
d) x é um número natural
e) x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 3, x = 5, x = 6, x = 7, x = 8 e x = 9
Sabendo que um quadrado possui quatro lados congruentes, que condição deve ser cumprida para que a área de um quadrado seja maior que seu perímetro?
a) Os lados do quadrado devem ser iguais
b) A medida do lado do quadrado deve ser maior que 10
c) A medida do lado do quadrado deve ser menor que 10
d) A medida do lado do quadrado deve ser maior que 4
e) A medida da diagonal do quadrado deve ser maior que a medida do lado.
 �
2.14 O Sistema Métrico Decimal 
É parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição.
Múltiplos e submúltiplos do metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
	Múltiplos
	Unidade
Fundamental
	Submúltiplos
	quilômetro
	hectômetro
	decâmetro
	metro
	decímetro
	centímetro 
	milímetro
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
	1.000m
	100m
	10m
	1m
	0,1m
	0,01m
	0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias.
Medida de tempo
2.14.1 Transformação de km/h para m/s
A transformação entre as unidades de velocidade quilômetro por hora (km/h) e metro por segundo (m/s) é feita por meio do fator 3,6.
O fator de conversão utilizado é o 3,6 em virtude das correspondências entre as unidades de medida de espaço e tempo, sendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s. Veja o exemplo da transformação de 72 km/h para m/s.
Vemos aqui que 72 km/h corresponde a 20 m/s, ou seja, um móvel que, em 1 h, desloca-se 72 km ou 20 m a cada segundo.
2.15 Razão e Proporção
2.15.1 Razão
A etimologia latina de razão, ratio, não possui ralação com a ideia de faculdade que permite a distinguir a relação entre as coisas da realidade ou juízo, mas sim a ideia de quociente, divisão, a noção que a matemática assimilou. Por isso,razão é o quociente entre dois números A e B, com B ≠ 0. Assim, a razão entre os números A e B pode ser dita “razão de A para B” e representada como:
Uma razão também pode identificada pela representação A : B. É importante saber que, em uma razão, A sempre será chamado de antecedente, enquanto B será sempre chamado de consequente.
Exemplo: Se uma bicicleta possui 54 dentes em uma coroa dianteira e 27 dentes na coroa traseira, a razão da marcha da bicicleta será 54 : 27 ou 2 : 1. Isso significa que a roda traseira gira duas vezes cada vez que o pedal gira uma vez. Então, se a razão for de 54 : 11, por exemplo, a roda traseira vai girar aproximadamente cinco vezes para cada vez que o pedal girar.
2.15.2 Proporção
Dados quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser expressa da seguinte forma:
Uma proporção também pode ser expressa como a igualdade entre os produtos (A . D) e (B . C), da seguinte forma: A.D = B.C.
É importante saber que os números A, B, C e D são denominados termos, sendo que os números A e B são os dois primeiros termos e os números C e D são os dois últimos termos da relação de proporção. Os números A e C são os antecedentes de cada razão, enquanto os números B e D são os consequentes de cada razão que compõem a relação de proporção. Em uma relação de proporção A e D são os extremos B e C são os meios. Além disso, a divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K da razão.
QUARTA PROPORCIONAL
Dados três números A, B e C, nesta ordem, é um número X para completar com os outros três uma relação de proporção, obtém-se:
Observando a relação acima é possível concluir que a Quarta Proporcional é, simplesmente a chamada Regra de Três.
PROPORÇÃO CONTÍNUA
É aquela que tem os termos meios iguais: A.D = B.C, com B = C. O valor comum dos meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos, pois, por exemplo:
Sendo assim, é possível perceber que a média proporcional entre 2 e 8 é 4, já que: 8.2 = 4.4
Grandezas Diretamente Proporcionais
É um tipo de proporção que envolve duas grandezas e quando uma delas é aumentada a outra também aumenta na mesma proporção ou diminuindo uma delas a outra também diminui na mesma proporção. Sendo duas grandezas A e B diretamente proporcionais, então, a relação estabelecida entre elas é: A/B = K ou A = B.K.
Grandezas Inversamente Proporcionais
É o tipo de proporção que envolve duas grandezas e quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporção ou diminuindo uma delas a outra aumenta na mesma proporção. Sendo duas grandezas A e B inversamente proporcionais, então, a relação estabelecida entre elas é: A.B = K ou A = K/B
EXERCICIOS
A razão  é igual a 10. Determine a razão .
A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?
A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mêsé de . O que resta coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a quantia que aplicarei na caderneta de poupança?
Um paciente necessita de reidratação endovenosa feita por meio de cinco frascos de soro durante 24 h. Cada frasco tem um volume de 800 mL de soro. Nas primeiras quatro horas, deverá receber 40% do total a ser aplicado. Cada mililitro de soro corresponde a 12 gotas. O número de gotas por minuto que o paciente deverá receber após as quatro primeiras horas será 
16 
20 
24 
34 
40
2.16 Divisão em partes proporcionais
Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas: 
	A
�
p
	=
	B
�
q
A solução segue das propriedades das proporções:
	A
�
p
	=
	B
�
q
	=
	A + B
�
p + q
	=
	M
�
p + q
	= K
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
	A
�
2
	=
	B
�
3
	=
	A + B
�
5
	=
	100
�
5
	= 20
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo 2: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
	A
�
8
	=
	B
�
3
	=
	A - B
�
5
	=
	60
�
5
	= 12
Segue que A=96 e B=36.
Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1,X2,...,Xn diretamente proporcionais aos pesos p1,p2,...,pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, tomando X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
	X1
�
p1
	=
	X2
�
p2
	=...=
	Xn
�
pn
A solução segue das propriedades das proporções:
	X1
�
p1
	=
	X2
�
p2
	 =...= 
	Xn
�
pn
	=
	X1 + X2 +...+ Xn
�
p1 + p2 +...+ pn
	=
	M
�
P
	= K
Exemplo 1: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e P=2+4+6=12. Assim:
	A
�
2
	=
	B
�
4
	=
	C
�
6
	=
	A + B + C
�
2 + 4 + 6
	=
	120
�
12
	=10
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo 2: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
	A
�
2
	=
	B
�
4
	=
	C
�
6
	=
	2 A + 3 B - 4 C
�
2×2 + 3×4 - 4×6
	=
	120
�
-8
	= – 15
logo A=-30, B=-60 e C=-90.
2.17 Regra de três (Simples e Composta)
A regra de três é um processo matemático para a resolução de muitos problemas que envolvem duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Nesse sentido, na regra de três simples, é necessário que três valores sejam apresentados, para que assim, descubra o quarto valor.
Em outras palavras, a regra de três permite descobrir um valor não identificado, por meio de outros três. A regra de três composta, por sua vez, permite descobrir um valor a partir de três ou mais valores conhecidos.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, o aumento de uma implica no aumento da outra na mesma proporção.
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, o aumento de uma implica na redução da outra.
Exercício 1: Para fazer o bolo de aniversário utilizamos 300 gramas de chocolate. No entanto, faremos 5 bolos. Qual a quantidade de chocolate que necessitaremos?
Inicialmente, é importante agrupar as grandezas da mesma espécie em duas colunas, a saber:
	1 bolo
	300 g
	5 bolos
	x
Nesse caso, x é a nossa incógnita, ou seja, o quarto valor a ser descoberto. Feito isso, os valores serão multiplicados de cima para baixo no sentido contrário:
1x = 300 . 5
1x = 1500 g
Logo, para fazer os 5 bolos, precisaremos de 1500 g de chocolate ou 1,5 kg.
Note que trata-se de um problema com grandezas diretamente proporcionais, ou seja, fazer mais quatro bolos, ao invés de um, aumentará proporcionalmente a quantidade de chocolate acrescentado nas receitas.
Exercício 2: Para chegar em São Paulo, Lisa demora 3 horas numa velocidade de 80 km/h. Assim, quanto tempo seria necessário para realizar o mesmo percurso numa velocidade de 120 km/h?
Da mesma maneira, agrupa-se os dados correspondentes em duas colunas:
	80 km/h
	3 horas
	120 km/h
	x
Observe que ao aumentar a velocidade, o tempo do percurso diminuirá e, portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais. Em outras palavras, o aumento de uma grandeza, implicará na diminuição da outra. Diante disso, invertemos os termos da coluna para realizar a equação:
	120 km/h
	3 horas
	80 km/h
	x
120x = 240
x = 240/120
x = 2 horas
Logo, para fazer o mesmo trajeto aumentando a velocidade o tempo estimado será de 2 horas.
Regra de Três Composta
Exemplo 1: Para ler os 8 livros indicados pela professora para realizar o exame final, o estudante precisa estudar 6 horas durante 7 dias para atingir sua meta. Porém, a data do exame foi antecipada e, portanto, ao invés de 7 dias para estudar, o estudante terá apenas 4 dias. Assim, quantas horas ele terá de estudar por dia, para se preparar para o exame?
Primeiramente, agruparemos numa tabela, os valores fornecidos acima:
	Livros
	Horas
	Dias
	8
	6
	7
	8
	x
	4
Observe que ao diminuir o número de dias, será necessário aumentar o número de horas de estudo para a leitura dos 8 livros. Portanto, tratam-se de grandezas inversamente proporcionais e, por isso, inverte-se o valor dos dias para realizar a equação:
	Livros
	Horas
	Dias
	8
	6
	4
	8
	x
	7
6/x = 8/8 . 4/7
6/x = 32/56 = 4/7
6/x = 4/7
4 x = 42
x = 42/4
x = 10,5 horas
Exemplo 2: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
	Horas
	Caminhões
	Volume
	8
	20
	160
	5
	x
	125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação édiretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
Logo, serão necessários 25 caminhões.
EXERCICIOS
Se uma vela de 360 mm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir?
20 minutos 
30 minutos 
2h 36 min 
3h 20 min 
3h 28
Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: 
90 dias 
80 dias 
12 dias 
36 dias 
64 dias
2.18 Porcentagem 
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual(50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos:
Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
 Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Exemplo 1: Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Exemplo 2: Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
	Acréscimo ou Lucro
	Fator de Multiplicação
	10%
	1,10
	15%
	1,15
	20%
	1,20
	47%
	1,47
	67%
	1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação =  1 – taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
	Desconto
	Fator de Multiplicação
	10%
	0,90
	25%
	0,75
	34%
	0,66
	60%
	0,40
	90%
	0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00
2.19 Juros
2.19.1 Juros Simples
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funciona a capitalização no sistema de juros simples.
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:
J = C * i * t, onde
J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano…)
M = C + J
M = montante final
C = capital
J = juros
Exemplo 1: Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?
Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses
J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240
M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440
O montante produzido será de R$ 1.440,00.
Exemplo 2: Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação.
O montante final foi o equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.
EXERCICIOS
17. Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.
Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?
Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?
2.19.2 Juros Compostos:
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.
Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?
A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.
No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:
M = C * (1 + i)t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação
Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.
Exemplo1: Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12 
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 2: Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?
M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02
M = C * (1 + i)t
15237,43 = C * (1 + 0,02)10
15237,43 = C * (1,02)10
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
O capital é de R$ 12.500,00.
Calculando a taxa de juros da aplicação.
EXERCICIOS
20. Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?
Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89?
2.20 Polinômios
Os polinômios são expressões algébricas formadas por monômios, que são formados por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Utilizamos as operações de adição, subtração, multiplicação. O polinômio poderá ter raiz, fração ou potenciação.
Monômios são aquelas expressões com um único produto resultante de uma parte literal e um coeficiente numérico. É o caso de expressões como 2x, 5xy, y/4 ou x2, por exemplo.
Binômios, por sua vez, são aqueles polinômios formados por dois monômios distintos, separados por um operador matemático. Alguns exemplos destas expressões são: 2x +xy e 14z – z2, por exemplo.
Trinômios, como é de se imaginar, consistem naquelas expressões algébricas com três monômios distintos, separados por operadores matemáticos.
Um polinômio, propriamente dito, é uma expressão algébrica com qualquer quantidade de monômios. Fala-se que um polinômio é uma expressão algébrica de infinitos monômios.
Classificação de polinômios quanto ao grau
O grau de um polinômio é definido pelo grau de elevação da variável com maior valor de elevação daquela expressão. Não é necessário que a expressão seja completa por outros monômios elevados a um grau diferente daquele que nomeia a classificação.
Um polinômio de primeiro grau é aquela em que todas as variáveis são elevadas apenas ao seu primeiro grau. É o caso de uma expressão como:
2x + 4 – y
Um polinômio de 2º grau é aquele em que o monômio com maior grau de elevação é de segundo grau. É o caso do exemplo:
2x + x2
Um polinômio de 3º grau, em que o monômio a ser elevado pelo expoente mais alto possui mais de uma variável. Neste caso, soma-se os expoentes dos monômios, de forma que a expressão torna-se de terceiro grau.
x³ – 4x² + 3x – 4=0
Classificação dos polinômios quanto ao tipo
Há, ainda,dois tipos de polinômios classificados na matemática, divididos entre completos e incompletos. Os polinômios completos são aqueles nos quais a ordem dos expoentes dos polinômios são completos, ou seja, há a ordem decrescente completa dentro daquela expressão algébrica.
É o caso de um exemplo como:
x5 + x4 – x3 + x2 – x
Percebe-se, neste caso, a ordem completa dos expoentes sendo representada na expressão, o que nomeia seu tipo.
Os polinômios incompletos, por sua vez, são aqueles em que, ao contrário do caso anterior, não há a ordem completa decrescente dos expoentes da expressão. Neste caso, seja apenas um expoente ou quase todos que estejam “faltando” na expressão, considera-se ele incompleto.
 
Polinômios iguais
 Dois polinômios podem ser denominados iguais ou idênticos, quando assumem os mesmos valores numéricos para os coeficientes correspondentes. Veja a seguir um exemplo:
Exemplo 1: Determine os coeficientes do polinômio ay² + by + c , para que ele seja igual ao polinômio y² + 3y + 1.
ay² + by + c = y² + 3y + 1
Para que os polinômios sejam iguais, seus coeficientes devem ser idênticos, sendo assim, os coeficientes do polinômio ay² + by + c, são:
a = 1
b = 3
c = 1
Agora é possível verificar a igualdade entre os dois polinômios
1y² + 3y + 1 = 1y² + 3y + 1
Operações com Polinômios
 Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:
Adição de Polinômios
Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte literal).
(- 7x3 + 5 x2y – xy + 4y) + (- 2x2y + 8xy – 7y)
– 7x3 + 5x2y – 2x2y – xy + 8xy + 4y – 7y
– 7x3 + 3x2y + 7xy – 3y
Subtração de Polinômios
O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. Após eliminar os parênteses, devemos juntar os termos semelhantes. 
(4x2 – 5ky + 6k) – (3x – 8k)
4x2 – 5xk + 6k – 3xk + 8k
4x2 – 8xk + 14k
 
Multiplicação de Polinômios
Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, repete-se e soma-se os expoentes.
(3x2 – 5x + 8) . (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 – 5x – 16x + 8
-6x3 + 13x2 – 21x +8
Divisão de Polinômios
Observação: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.
Fatoração de Polinômios
Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos:
Fator Comum em Evidência
ax + bx = x (a + b)
Exemplo: 4x + 20 = 4 (x + 5)
Agrupamento
ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
Exemplo: 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y)
Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Exemplo: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Exemplo: x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
Diferença de Dois Quadrados
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
Exemplo: x2 – 25 = (x + 5) . (x – 5)
Cubo Perfeito (Adição)
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Exemplo: x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3
Cubo Perfeito (Diferença)
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
Exemplo: y3 – 9y2 + 27y – 27 = y3 – 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 – 33 = (y – 3)3
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Ângulos 
Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.
Ângulo agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus
Ângulo reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°
 Ângulo obtuso: É um ângulo cuja medida esta entre 90 graus e 180 graus
Ângulo raso: Ângulo raso é o ângulo que mede exatamente 180 graus, os seus lados são semi-retas opostas.
Ângulos Adjacentes: Os ângulos adjacentes, que são aqueles que não têm pontos comuns, podem ser complementares ou suplementares.
Ângulos complementares: Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
 Ângulos suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
 Ângulos Congruentes: São aqueles que têm a mesma medida.
Ângulos Consecutivos: São aqueles que possuem em comum um lado e um vértice.
Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV): São aqueles cujos lados se opõem aos lados de outro ângulo.
Ângulos replementares: dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos explementares: Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.
3.2 Retas paralelas
Duas retas distintas são paralelas quando possuem a mesma inclinação, ou seja, possuem o mesmo coeficiente angular. Além disso, a distância entre elas é sempre a mesma e não possuem pontos em comum.
Retas paralelas, concorrentes e perpendiculares
As retas paralelas não se cruzam. Na figura abaixo representamos as retas paralelas r e s. Retas paralelas (r // s)
Diferente das retas paralelas, as retas concorrentes se cruzam em um único ponto.
Se duas retas se cruzam em um único ponto e o ângulo formado entre elas no cruzamento for igual a 90º as retas são chamadas de perpendiculares.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Uma reta é transversal a uma outra se possuem apenas um ponto em comum.
Duas retas paralelas r e s, se forem cortadas por uma reta t, transversal a ambas, formará ângulos como representados na imagem abaixo.
Na figura, os ângulos que apresentam a mesma cor são congruentes, ou seja possuem mesma medida. Dois ângulos de cores diferentes são suplementares, ou seja, somam 180º.
Por exemplo, os ângulos a e c apresentam mesma medida e a soma dos ângulos f e g é igual a 180º.
Os pares de ângulos recebem nomes de acordo com a posição que ocupam em relação as retas paralelas e a reta transversal. Sendo assim, os ângulos podem ser:
Correspondentes
Alternos
Colaterais
Ângulos correspondentes
Dois ângulos que ocupam a mesma posição nas retas paralelas são chamados de correspondentes. Eles apresentam a mesma medida (ângulos congruentes). Os pares de ângulos com a mesma cor representados abaixo são correspondentes.
Na figura, os ângulos correspondentes são:
a e e
b e f
c e g
d e h
Ângulos Alternos
Os pares de ângulos que estão em lados opostos da reta transversal são chamados de alternos. Esses ângulos também são congruentes. Os ângulos alternos podem ser internos, quando estão entre as retas paralelas e externos, quando estão fora das retas paralelas.
Na figura, os ângulos alternos internos são:
c e e
d e f
Os ângulos alternos externos são:
a e g
b e h
Ângulos colaterais
São os pares de ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal. Os ângulos colaterais são suplementares (somam 180º).Também podem ser internos ou externos.
Na figura, os ângulos colaterais internos são:
d e e
c e f
Os ângulos colaterais externos são:
a e h
b e g
TEOREMA DE TALES
Num mesmo plano um feixe de retas paralelas determinam, em duas retas transversais, segmentos de retas proporcionais.
Exemplo 1: Os pontos A, A´, B, B´, C, C´ foram obtidos pelo cruzamento das retas paralelas r, s e q com as retas transversais t e v.
Segundo o teorema de Tales, teremos a seguinte relação:
EXERCÍCIOS
 Observando os ângulos entre as retas paralelas e a reta transversal, determine os ângulos indicados na figura:
Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.
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3.3 Triângulos
Além disso, todo triângulo é convexo, isto é, é impossível escolher dois pontos A e B no interior de um triângulo e obter parte do segmento AB no exterior dessa figura.
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Cada um dos elementos do triângulo
CLASSIFICAÇÕESDOS TRIÂNGULOS
Existem diversas maneiras de classificar�� HYPERLINK "https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/classificacao-triangulos.htm"  �� HYPERLINK "https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/classificacao-triangulos.htm" triângulos. As duas mais comuns levam em consideração as medidas de seus lados e as medidas de seus ângulos:
1 – Triângulo escaleno: triângulo que possui todos os lados com medidas diferentes.
2 – Triângulos isósceles: triângulo que possui dois lados com medidas iguais.
3 – Triângulo equilátero: triângulo que possui todos os lados com medidas iguais.
4 – Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos internos menores que 90°.
5 – Triângulo obtusângulo: possui exatamente um ângulo interno maior que 90°.
6 – Triângulo retângulo: possui exatamente um ângulo interno igual a 90°.
PROPRIEDADES
A seguir, confira uma lista com as principais propriedades que envolvem os triângulos:
1 – A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°.
2 – A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é sempre igual a 360°.
3 – A soma das medidas de dois lados de um triângulo é sempre maior que a medida do terceiro lado. Essa propriedade é chamada de d�� HYPERLINK "https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/condicao-existencia-um-triangulo.htm" esigualdade triangular.
4 – O maior lado de um triângulo é sempre oposto ao seu maior ângulo. Por consequência, o menor lado de um triângulo é sempre oposto ao seu menor ângulo, assim como o lado “médio” é oposto ao “ângulo médio”.
5 – O lado diferente de um triângulo isósceles é chamado de base. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
6 – Todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°.
7 – A altura de um triângulo isósceles, relativa à base, é também mediana e bissetriz.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Considerado uma das principais descobertas da Matemática. Descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. Observe:
Catetos: a e b
Hipotenusa: c
Triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c
O Teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”
a² + b² = c²
QUESTÃO 16 – PROCESSO SELETIVO IFES 2013
A professora Fernanda passou uma lista com 40 exercícios para serem feitos durante o recesso de 10 dias. Paulo recebeu a lista e no primeiro dia resolveu 2/5 dos exercícios. No dia seguinte resolveu 1/3 do que sobrou e finalizou no terceiro dia a lista. Nesse último dia de trabalho, ele resolveu: 
a) 8 exercícios 
b) 10 exercícios 
c) 12 exercícios 
d) 14 exercícios 
e) 16 exercícios
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3.4 Polígonos Convexos
Um poligono é convexo quando todos os pontos de um segmento de reta que possui as extremidades no interior do polígono também estão dentro dele. Sendo assim, se for possível encontrar pelo menos um segmento de reta que possui as extremidades dentro do polígono e, ao mesmo tempo, um ponto fora dele, esse polígono não será convexo.
A imagem a seguir, à esquerda, mostra como são os polígonos convexos e, à direita, como encontrar retas que estão fora do polígono, mesmo com suas extremidades no interior dele.
Exemplo de polígono convexo, à esquerda, e não convexo, à direita
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Um polígono convexo qualquer possui os seguintes elementos:
Lados: segmentos de reta que compõem a linha usada para definir os polígonos;
Vértices: pontos de encontro entre os lados de um polígono;
Diagonais: segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono;
Ângulos internos: ângulo entre dois segmentos de reta adjacentes no interior do polígono;
Ângulos externos: ângulo entre um lado e o prolongamento do lado adjacente a ele.
PROPRIEDADES DE UM POLÍGONO CONVEXO
Em qualquer polígono convexo, o número de lados, de ângulos (internos ou externos) e de vértices é igual; E a soma das medidas dos ângulos internos é dada pela seguinte expressão:
S = (n – 2)180
*n é o número de lados do polígono, e S é o resultado da soma dos ângulos internos.
Em um polígono regular, a soma das medidas dos ângulos externos sempre é igual a 360°.
3.5 Principais quadriláteros convexos
Quadrilátero é um polígono de quatro lados. Onde, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos. Sendo convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices. Veja o exemplo a seguir: 
 
Quadrilátero convexo e quadrilátero côncavo 
PRINCIPAIS QUADRILÁTEROS
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3.6 Círculo E Circunferência
Círculo e circunferência são duas figuras geométricas muito parecidas, o que pode ocasionar dúvidas sobre as suas definições. Vamos à diferenciação:
 
Definição de circunferência
Uma circunferência é um conjunto de pontos pertencentes ao plano que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto C. Em outras palavras, dada a distância “r” e o ponto fixo C, qualquer ponto A que possui a distância de A até C igual a r é um ponto pertencente à circunferência. Matematicamente, podemos representar essa última relação da seguinte maneira:
dAC = r
Tendo em vista a distância entre dois pontos obtida na Geometria Analítica e considerando as coordenadas de A (x,y) e de C (a,b), a relação acima pode ser reescrita da seguinte maneira:
dAC = r
√[(a – x)2 + (b – y)2] = r
(a – x)2 + (b – y)2 = r2
Na Geometria Analítica, essa equação é chamada de equação da circunferência com centro C (a,b) e raio r.
O ponto C é conhecido como centro da circunferência e a distância r é chamada de raio. A figura geométrica formada por um conjunto de pontos desse tipo é a seguinte:
Circunferência de centro C e raio r
O ponto C não pertence à circunferência, pois a circunferência é apenas o círculo verde. O ponto A, por sua vez, pertence à circunferência.
 
Definição de círculo
O círculo, por sua vez, é uma figura geométrica plana que é definida da seguinte maneira:
Círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circunferência e seus pontos internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência.
Círculo: área colorida
Tomando novamente os conhecimentos vindos da Geometria Analítica, a equação do círculo é praticamente igual à equação da circunferência. A diferença encontra-se no fato de o círculo ser um conjunto de pontos menor ou igual ao raio. A partir disso, temos a seguinte equação:
dAC ≤ r
√[(a – x)2 + (b – y)2] ≤ r
(a – x)2 + (b – y)2 ≤ r2
Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circunferência é que o círculo é toda a área interna de uma circunferência. Já essa última é apenas o contorno de um círculo.
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Propriedades básicas do círculo e da circunferência
O ponto C, centro da circunferência, não pertence a ela, mas pertence ao círculo. Dessa maneira, dado um ponto A qualquer (lembrando que dAC é a distância entre A e C), as posições relativas entre A e uma circunferência são:
1 – A é ponto da circunferência, se dAC = r;
2 – A é ponto externo à circunferência, se dAC > r;
3 – A é ponto interno à circunferência, se dAC < r;
As posições relativas entre A e o círculo são:
1 – A é ponto do círculo, se dAC ≤ r
2 – A é ponto externo ao círculo, se dAC > r
Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda. Quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Desse modo, o diâmetro tem o comprimento igual ao comprimento de dois raios e, além disso, é a maior corda encontrada em qualquer circunferência.
Circunferênciacontendo um exemplo de corda e um exemplo de diâmetro 
Dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento de seu raio, o número encontrado sempre será, aproximadamente, 6,28. Dessa maneira, pode-se escrever a seguinte relação:
C = 6,28
r          
Dividindo ambos os membros por 2, obtemos o seguinte resultado:
C = 3,14
2r          
Esse resultado é o mesmo da divisão anterior, mas realizado com o diâmetro da circunferência no lugar do raio. Dessa maneira, é possível encontrar o comprimento de uma circunferência tendo em mãos apenas o comprimento de seu raio (ou diâmetro). Assim, é possível definir a fórmula para o comprimento da circunferência:
C = 2πr, em que π é aproximadamente 3,14
O mesmo se aplica ao cálculo do comprimento ou perímetro de um círculo. Contudo, não é possível calcular a área de uma circunferência. A área que é calculada, na realidade, é a área do círculo, e a fórmula utilizada para isso é a seguinte:
A = π.r2
3.7 Polígonos regulares
Polígonos regulares são polígonos convexos que possuem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos congruentes.
O pentágono e o eneágono regulares, representados na imagem com alguns de seus ângulos, são polígonos
Um polígono é uma linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam e que estão em um mesmo plano. Dessa maneira, os polígonos são figuras geométricas formadas por lados, os quais são justamente os segmentos de reta dados na definição.
Um polígono é dito regular quando possui três características:
1 – é convexo;
2 – todos os seus lados possuem a mesma medida;
3 – todos os seus ângulos são congruentes.
Para compreender melhor essa definição e antes de apresentar os primeiros exemplos, vale relembrar o que são polígonos convexos, já que esse é um requisito para que sejam regulares.
Definição de polígono convexo
Um polígono é convexo quando, dados os pontos A e B quaisquer em seu interior, todos os pontos do segmento AB também estão no interior do polígono, independentemente da localização dos pontos AB.
Se, pelo menos um ponto do segmento AB estiver no exterior do polígono, ele é dito não convexo.
��
Na imagem acima, à esquerda, um exemplo de um polígono em que, independentemente da localização dos pontos A e B, todos os pontos do segmento AB sempre estarão em seu interior. Já à direita, um exemplo de polígono em que os dois pontos A e B estão em seu interior, mas uma parte do segmento AB está fora do polígono.
Um polígono também pode ser dito não convexo quando ele possui “reentrâncias”.
Exemplo de polígono regular
O polígono presente na imagem a seguir não possui reentrâncias, possui todos os lados com medidas iguais e tem todos os ângulos congruentes. Assim sendo, ele é um polígono regular.
��
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Propriedades dos polígonos regulares
1ª – Todo polígono regular de n lados possui também n arestas, n ângulos internos, n vértices e n ângulos externos. A figura a seguir mostra um exemplo de polígono regular com todas essas medidas e elementos:
��
2ª – Somente dos polígonos regulares, ou daqueles em que existam mais hipóteses a considerar, será possível descobrir a medida de cada ângulo interno. No caso dos polígonos regulares, basta calcular a soma dos ângulos internos e depois dividir esse resultado pelo número de ângulos que foi somado. Evidentemente, esse número é igual ao número de lados do polígono.
Também podemos desenvolver uma fórmula para esse procedimento. Seja L a medida de um ângulo interno de um polígono regular, ele pode ser dado por:
L = (n – 2)180
     n
Em que n é o número de lados do polígono.
Por exemplo, no eneágono, cada ângulo interno mede 140°, pois:
L = (n – 2)180
      n
L = (9 – 2)180
      9
L = (7)180
     9
L = 1260
     9
L = 140°
3ª – A medida de cada um dos ângulos externos de um polígono regular pode ser obtida dividindo a soma dos ângulos externos do polígono pelo número de ângulos externos que ele possui. Lembrando que a quantidade de ângulos externos é igual à quantidade de lados.
Em termos matemáticos, temos o seguinte, considerando que M seja cada ângulo externo:
M = 360
       n
No eneágono, por exemplo, cada ângulo externo mede 40°, pois:
M = 360
       n
M = 360
       9
M = 40°
3.8 Relações Métricas Referentes à Circunferência
A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as medidas procuradas. 
Cruzamento entre duas cordas 
O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. Observe:
AP * PC = BP * PD 
Exemplo 1
x * 6 = 24 * 8 
6x = 192 
x = 192/6 
x = 32 
Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto 
Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. Observe:
RP * RQ = RT * RS 
Exemplo 2
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x * (42 + x) = 10 * (30 + 10) 
x2 + 42x = 400 
x2 + 42x – 400 = 0 
Aplicando a forma resolutiva de uma equação do 2º grau:
Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x = 8. 
Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto 
Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa.
(PQ)2 = PS * PR 
Exemplo 3
x2 = 6 * (18 + 6) 
x2 = 6 * 24 
x2 = 144 
√x2 = √144 
x = 12
3.9 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:
Sendo:
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
Semelhança e relações métricas
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:
Usando que  encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:
Teorema de Pitágoras
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Exemplos
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a