Construções Geométricas Fundamentais 2

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EPG1000 – DESENHO BÁSICO
Profª. Raquel Petry Brondani Schmidt
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA
UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À TÉCNICA DE 
DESENHO
Construções Geométricas Fundamentais
(5)
ÂNGULO
 É a região do plano formada por duas semi-retas que se interseptam
em um ponto comum (vértice)
 O intrumento utilizado para medições de ângulos é o transferidor
 A unidade de medida mais utilizada é o grau
 É designado por três letras: uma no vértice e duas nas extremidades
de seus lados: 𝒓𝑽𝒔 ou 𝑨𝑽𝑩
 Também pode ser designado por uma letra grega na sua abertura: 𝜶
 A medição de ângulos
é sempre feita pela sua
abertura
V: vértice do ângulo
Vr e Vs: semi-retas
r
s
V
A
B
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS QUANTO À GRANDEZA
ângulo agudo (<90°)
ângulo reto (=90°)
ângulo obtuso (>90° e <180°)
ângulo raso (=180°)
ângulo pleno (=360°)
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS QUANTO À SOMA DE SUAS 
GRANDEZAS
α
β
α
β
α
β
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
Teorema: “Dois ângulos quaisquer estão entre si como os arcos
compreendidos entre seus lados e descritos de seus vértices com o
mesmo raio”
Transportar ângulos: significa construir um ângulo igual a outro dado 
V
V´
1. Dado o ângulo α
2. Compasso com raio qualquer R,
ponta seca em V, determinar 1 e 2
3. Compasso com mesmo raio R,
ponta seca em V’, determinar 1’ em
𝑉′𝐵′
4. Compasso com raio 12, ponta seca
em 1’, determinar 2’
5. Unir 2’ e V’ para determinar o
ângulo transportado
α
A
B
OPERAÇÕES GRÁFICAS COM ÂNGULOS
Somar ângulos: significa transportar os dois ângulos para o mesmo
vértice, um na sequência do outro
+
V U X
=
Subtrair ângulos: significa transportar os dois ângulos para o
mesmo vértice, um dentro do outro
-
V U X
=
A
B
α
C
D
β
A
B
C
D
α
β
OPERAÇÕES GRÁFICAS COM ÂNGULOS
Determinar a bissetriz do ângulo: significa determinar a reta que
divide um ângulo em duas partes iguais
1° caso – ângulo de vértice (V) acessível
V
1. Dado o ângulo 𝛼
2. Compasso com raio qualquer R,
ponta seca em V, determinar 1 e 2
3. Compasso com raio qualquer R1,
maior que a metade da distância
12, ponta seca em 1, traçar arco
(idem no ponto 2), determinar 3
4. Unir 3 e V para determinar a
bissetriz do ângulo 𝛼
A
B
α
OPERAÇÕES GRÁFICAS COM ÂNGULOS
r
s
Determinar a bissetriz do ângulo: significa determinar a reta que
divide um ângulo em duas partes iguais
2° caso – ângulo de vértice inacessível
1. Dadas as retas r e s
2. Com esquadro, traçar
perpendiculares a r e s
3. Marcar distância d qualquer
4. Traçar linhas auxiliares
paralelas r’ e s’, distantes d
unidades a r e s,
respectivamente (equidistantes
a r e s)
5. A partir do ponto P, traçar a
bissetriz do ângulo formado
OPERAÇÕES GRÁFICAS COM ÂNGULOS
Dividir um ângulo reto em três partes iguais
1. Dado o ângulo reto 𝛼
2. Compasso com raio qualquer R,
ponta seca em V, determinar 1 e 2
3. Compasso com mesmo raio R,
ponta seca em 1, determinar 3
4. Compasso com mesmo raio R,
ponta seca em 2, determinar 4
5. Unir V e 3, V e 4 para dividir o
ângulo reto em três partes iguais a
30° cada
V
A
B
OPERAÇÕES GRÁFICAS COM ÂNGULOS
Dividir um ângulo agudo (ou obtuso) em três partes iguais
s
r
V
1. Dadas as retas r e s
2. Compasso com raio
qualquer R, ponta seca em
V, traçar uma circunferência
e determinar pontos 1 e 2
3. Traçar a bissetriz do ângulo
e determinar o ponto 4 na
interseção entre a bissetriz
e a circunferência
4. Determinar o ponto 5, sendo
𝑉4 = 45
5. Prolongar r e s e determinar
os pontos 6 e 7 na
interseção com a
circunferência
6. Unir 5 e 6, 5 e 7, determinar
os pontos 8 e 9 na
circunferência
7. Unir V e 8, V e 9 para dividir
o ângulo dado em três
partes iguais
OPERAÇÕES GRÁFICAS COM ÂNGULOS
CIRCUNFERÊNCIA X CÍRCULO
1. Circunferência: linha curva, plana e
fechada, em que qualquer um de seus pontos
fica à mesma distância de um outro ponto
denominado centro (todos os pontos
equidistantes do centro).
2. Círculo: porção do plano limitada pela
circunferência (superfície plana, área).
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
Raio: distância compreendida entre o centro e a
extremidade da circunferência
Diâmetro: corda que passa pelo centro da
circunferência, também chamado de corda
máxima
Corda: segmento determinado por dois pontos
quaisquer da circunferência
Arco: cada uma das partes em que uma
circunferência fica dividida por dois de seus
pontos
Flecha: segmento do raio compreendido entre o
arco e a corda perpendicular ao raio
Secante: reta que intercepta a circunferência em
dois pontos
Tangente: linha ou superfície que toca outra
linha ou superfície num só ponto
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Circunferências exteriores Circunferências tangentes exteriores
Circunferências secantes Circunferências tangentes interiores
Se OO’ > R+r Se OO’ = R+r
Se R+r > OO’ > R-r Se OO’ = R-r
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Circunferências interiores Circunferências concêntricas
Se OO’ < R-r Se OO’ = zero
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
Traçar uma circunferência que passe por três pontos dados, não
em linha reta
1. Dados os pontos A, B e C
não colineares
2. Unir os pontos A, B e C
3. Traçar as mediatrizes dos
segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶
4. As mediatrizes se
interceptam no ponto O
5. Compasso com raio 𝑂𝐴, 𝑂𝐵
ou 𝑂𝐶 , ponta seca em O,
traçar a circunferência
A
B
C
CIRCUNFERÊNCIAS
Determinar o centro de uma circunferência
1. Dada a circunferência
2. Marcar três pontos
quaisquer na circunferência
A, B e C
3. Traçar duas cordas 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶
4. Traçar as mediatrizes das
cordas
5. As mediatrizes se
interceptam no ponto O que
é o centro da circunferência
CIRCUNFERÊNCIAS
Determinar o centro de um arco
1. Dado o arco 𝐴𝐵
2. Marcar um ponto qualquer C
3. Traçar duas cordas 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶
4. Traçar as mediatrizes das
cordas
5. As mediatrizes se
interceptam no ponto O que
é o centro do arco
A
B
CIRCUNFERÊNCIAS
O
1. Dada a circunferência de centro O e diâmetro 𝐴𝐵
2. Dividir 𝐴𝐵 em 7 partes iguais (sempre em 7 partes iguais)
3. Marcar o diâmetro 𝐴𝐵 três vezes em uma linha auxiliar a partir de B (obter os pontos
C, D e E)
4. A partir do ponto E, marcar 1/7 𝐴𝐵 para obter o ponto F
5. Unir B e F. 𝐵𝐹 é a circunferência retificada
B
A
Retificar uma circunferencia: significa “desenrolar” uma
circunferência completa ou parte dela, tornando-a uma linha reta
 Processo de Arquimedes
CIRCUNFERÊNCIAS
Retificação de meia circunferencia
 Processo de Kochansky
ou Terquem
1. Dada a circunferência de centro O
2. Traçar o diâmetro 𝐴𝐵 e, perpendicularmente, o diâmetro 𝐶𝐷
3. Traçar uma reta auxiliar paralela a 𝐶𝐷 passando pelo ponto B
4. Compasso com o raio da circunferência R, ponta seca em C, determinar o ponto E
5. Unir 𝑂𝐸 e determinar F na reta auxiliar
6. A partir de F, marcar o raio R três vezes para determinar G, H e I
7 . Unir A e I. 𝐴𝐼 é a meia circunferência retificada
O
CIRCUNFERÊNCIAS
• CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. 3. ed. Rio de Janeiro:
Imperial Novo Milênio, 1967.
• BACHMANN, A.; FORBERG, R. Desenho técnico. 4. ed. Porto
Alegre: Globo, 1979.
• SILVA, E. O.; ALBIERO, E. Desenho técnico fundamental.São
Paulo: EPU, 1977.
• FREDO, B. Noções de geometria e desenho técnico. São Paulo:
Ícone, 1994.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS