Univesp lic matematica CAlculo 2Exerc Apoio sem 4

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cálculo II
EXERCÍCIOS DE APOIO
ExErcício 1
Obtenha a equação geral e vetorial do plano tangente ao 
gráfico da função f(x,y) = 2x2 - y3, no ponto de coordena-
das (2,1,7).
ExErcício 2
Sejam z =  x2y + 3xy, onde x =  3t e y =  t2.
a. Determine dz
dt
 em função de x, y e t.
b. Calcule dz
dt
 para t  =  1.
ExErcício 3
Sejam z =  x3y2 - x2y , onde x =  t3 e y =  2t2.
a. Determine dz
dt
 em função de x, y e t.
b. Calcule dz
dt
 para t  =  -1.
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 2
ExErcício 4
Sejam z =  ln(x2 + y2) , onde x =  et e y =  e-t.
a. Determine dz
dt
 em função de x, y e t.
b. Calcule dz
dt
 para t  =  0.
ExErcício 5
A pressão P, o volume V e a temperatura T de um mol de um gás ideal, 
estão relacionados por meio da fórmula PV = 3,8T. Determine a taxa de 
variação do volume quando a temperatura é 300 e está aumentando com 
taxa de variação de 0,3/s e a pressão é de 80 e está aumentando com a 
taxa de 0,5/s.
ExErcício 6
A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa plana é dada 
por z =  f(x,y) = x2y - x. Uma partícula se desloca nesta placa pelo traço 
da curva y(t) = (t2 - 3t,2t). Determine a taxa de variação de temperatura, 
sofrida por esta partícula, no instante t = 1.
ExErcício 7
Seja z =  x2 + y2, onde x =  s2t - 2t e y =  3st.
a. Calcule ∂z
∂s
(s,t)  e ∂z
∂t
 (s,t).
b. Calcule ∂z
∂s
(1,-1)  e ∂z
∂t
 (1,-1).
ExErcício 8
Seja z =  x3y - 3x2y, onde x =  r.cosθ e y =  r.senθ.
a. Determine ∂z
∂r
(r,θ)  e ∂z (r,θ).
b. Calcule ∂z
∂r
2, π
4
e  ∂z
∂θ
2, π
4
.
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 3
ExErcício 9
Seja y =  g(x) uma função diferenciável definida implicitamente pela 
equação xy2 - 2xy + 3x2 =  3.
a. Expresse dy
dx
 =  g'(x)  em função de x e de y.
b. Calcule g’(1).
ExErcício 10
Determine a equação da reta tangente à curva de nível 2 da fun-
ção z =  f(x,y) = x2y + 2xy - y2 no ponto de coordenadas (1,2).
ExErcício 11
Determine o Polinômio de Taylor de ordem 2 de  f(x,y) = 2ex
2
 ⋅ y3, desen-
volvido no ponto (0,1).
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 4
GABARITO
ExErcício 1
f(x,y)  =  2x2 - y3  ⇒  f(2,1)  =  7
∂f
∂x
 (x,y)  =  4x  ⇒  ∂f
∂x
 (2,1)  =  8
∂f
∂y
 (x,y)  =  -3y2  ⇒  ∂f
∂y
 (2,1)  =  -3
Plano tangente:
z  =  f(2,1) + (x - 2)∂f
∂x
(2,1) + (y - 1)∂f
∂y
 (2,1)  =  7 + 8(x - 2) - 3(y - 1)
z  =  -6 + 8x - 3y
ExErcício 2
a. dz
dt
=  ∂z
∂x
⋅ dx
dt
+ ∂z
∂y
⋅ dy
dt
=  (2xy + 3y).3 + (x2 + 3x).2t
b. Se t  =  1, temos x  =  3.1 e y  =  12, logo x  =  3 e y  =  1.
Assim, dz
dt
 (1)  =  (2.3.1 + 3.1).3 + (32 + 3.3).2.1  =  63
ExErcício 3
a. dz
dt
=  ∂z
∂x
⋅ dx
dt
+ ∂z
∂y
⋅ dy
dt
  =  (3x2y2 - 2xy).3t2 + (2x3y - x2).4t
b. Se t  =  -1, temos x  =  -1 e y  =  2.
Assim, dz
dt
 (-1)  =  (3.1.4 - 2.(-1).2).3 + (2(-1).2 - 1).(-4)  =  68
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 5
ExErcício 4
a. dz
dt
=  ∂z
∂x
⋅ dx
dt
+ ∂z
∂y
⋅ dy
dt
=  1
x2 + y2
.2x.et +  1
x2 + y2
.2y.(-e-t)  =  2(xe
t - ye-1)
x2 + y2
b. Se t  =  0, temos x  =  1 e y  =  1.
Assim, dz
dt
 (0)  =  2(1 - 1)
1 + 1
  =  0
ExErcício 5
Representando por t o tempo decorrido, então em um certo instante temos:
T  =  300, dT
dt
  =  0,3    P  =  80, dP
dt
  =  0,5
PV  =  3,8T  ⇔  V  =  3,8  T
P
⇒ dV
dt
=  ∂V
∂T
⋅ dT
dt
+ ∂V
∂P
⋅ dP
dt
=  3,8
P
⋅ dT
dt
- 3,8T
P 2
⋅ dP
dt
  = 
=  3,8
80
⋅ 0,3 - 3,8.300
802
 ⋅ 0,5  =  0,1033125
ExErcício 6
dz
dt
  =  ∇f(x,y).y'(t)
∇f(x,y)  =  ∂f
∂x
, ∂f
∂y
=  (2xy - 1,x2), y'(t)  =  (2t - 3,2)
Se t  =  1, temos x  =  -2 e y  =  2, logo ∇f(x(1),y (1))  =  (-9,4)
y'(1)  =  (-1,2), portanto, dz
dt
=  (-9,4).(-1,2)  =  17
ExErcício 7
a. ∂z
∂s
=  ∂z
∂x
⋅ ∂x
∂s
+ ∂z
∂y
⋅ ∂y
∂s
  =  2x.2st + 2y.3t
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 6
∂z
∂t
  =  ∂z
∂x
⋅ ∂x
∂t
+ ∂z
∂y
⋅ ∂y
∂t
  =  2x(s2 - 2) + 2y.3s
b. Se (s,t)  =  (1,-1), temos x  =  1 e y  =  -3, logo
∂z
∂s
 (1,-1)  =  2.1.2.1.(-1) + 2.(-3).3(-1)  =  14
∂z
∂t
 (1,-1)  =  2.1(12 - 2) + 2(-3).3.1  =  -20
ExErcício 8
a. ∂z
∂r
=  ∂z
∂x
⋅ ∂x
∂r
+ ∂z
∂y
⋅ ∂y
∂r
  =  (3x2y - 6xy).cosθ + (x3 - 3x2).senθ
∂z
∂θ
  =  ∂z
∂x
⋅ ∂x
∂θ
+ ∂z
∂y
⋅ ∂y
∂θ
  =  (3x2y - 6xy).(-rsenθ) + (x3 - 3x2).rcosθ
b. Se (r,θ)  = 2, π
4
⇒ x  =  2 e y  =  2.
Assim, ∂z
∂r
2, π
4
=  (6 2  - 12).  2
2
+ (2 2  - 6).  2
2
  =  8 - 9 2
∂z
∂θ
  2, π
4
  =  (6 2  - 12).(- 2 ) + (2 2  - 6).  2   =  -8 + 6 2
ExErcício 9
a. Seja  z  =  f(x,y)  =  xy2 - 2xy + 3x2, como  y  =  g(x), z também é função
de x,
dz
dx
  =  ∂f
∂x
 ⋅ dx
dx
 + ∂f
∂y
 ⋅ dy
dx
  =  (y2 - 2y + 6x)1 + (2xy - 2x) dy
dx
  =  0,
pois a função y = g(x) é dada implicitamente pela equação z = 3 cons-
tante, logo
dy
dx
  =  - y
2 - 2y + 6x
2xy - 2x
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 7
b. Se x  =  1 ⇒ y2 - 2y + 3  =  3 ⇔ y2 - 2y =  0, logo y  =  2  ou y  =  0.
Assim, para y  =  0  ⇒  g'(1)  =  dy
dx
 (1)  =  - 0 - 0 + 6
0 - 2
  =  3
e para y  =  2  ⇒  g'(1)  =  dy
dx
(1) =  - 4 - 4 + 6
4 - 2
  =  -3
ExErcício 10
Vamos supor que existe uma parametrização para esta curva de nível da 
forma  γ(x)  =  (x,g(x)), onde g é uma função diferenciável, com  y(1)  =  (1,2). 
Então a reta procurada terá equação vetorial:
m: x  =  γ(1) + t. γ'(1), t ∈ ℝ
A existência desta parametrização equivale a dizer que existe uma fun-
ção y = g(x) dada implicitamente pela equação f(x,y) = 2.
Note que y'(1)  =  (1,g'(1)), assim precisamos encontrar  g'(x)  =  dy
dx
Temos:  z  =  f(x,y)  =  x2y + 2xy - y2  =  2, logo
dz
dx
  =  ∂f
∂x
⋅ dx
dx
+ ∂f
∂y
⋅ dy
dx
=  (2xy - 2y)1 + (x2 + 2x - 2y) dy
dx
  =  0, assim temos
dy
dx
  =  -  2xy - 2y
x2 + 2x -2y
 , para  x  =  1  e  y  =  2, temos:
g'(1)  =  dy
dx
(1) =  -  4 - 4
1 + 2 -4
  =  0  ⇒  y'(1)  =  (1,0)
Finalmente,  m: x  =  (1,2) + t.(1,0), t ∈ ℝ.
ExErcício 11
f(x,y)  =  2ex
2
 ⋅ y3. Daí segue:  f(0,1)  =  2
∂f
∂x
 (x,y)  =  4xex
2
y 3  ⇒   ∂f
∂x
 (0,1)  =  0
Cálculo II / Aulas 13–16 Exercícios 8
∂f
∂y
 (x,y)  =  6ex
2
y2  ⇒   ∂f
∂y
 (0,1)  =  6
∂2f
∂x2
(x,y)  =  4ex
2
y 3 + 8x2ex
2
y 3  ⇒  ∂
2f
∂x2
 (0,1)  =  4
∂2f
∂x∂y
(x,y)  =  12xex
2
y 2  ⇒  ∂
2f
∂x∂y
 (0,1)  =  0
∂2f
∂y 2
(x,y)  =  12ex
2
y   ⇒  ∂
2f
∂x2
 (0,1)  =  12
Q(x,y)  =  2 + 6(y - 1) + 2x2 + 6(y - 1)2