Lista 2 - EDO

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LISTA 2 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIAS
Tema: Introdução às EDOs, Equações Lineares de Primeira Ordem, Equações Separáveis e
Equação de Bernoulli, Equações Exatas (Parte 1)
Professor: Gustavo de Sousa
Exercício 1. Encontre a função y = g(x) que está definida implicitamente pela relação
√
x2 − y2 + arccos
(
x
y
)
= 0, y 6= 0.
Sugestão: não tente isolar o y, essa expressão só se anula quando arccos
(
x
y
)
6 0.
Exercício 2. Explique por que
√
x2 − y2 + arcsin
(
x
y
)
= 0
não define y como uma função implícita y = g(x).
Sugestão: oberve primeiro em quais pontos essa expressão está definida, e depois note que ela
só se anula quando arcsin
(
x
y
)
6 0.
Exercício 3. Prove que as funções a seguir são soluções as equações diferenciais escritas no
mesmo item. Encontre um conjunto (intervalo ou união de intervalos) comum onde a equação
e a sua solução fazem sentido.
(a) Função: y = e−x, equação: y′ + y = 0.
(b) Função: x arcsin x+
√
1− x2, equação: y′′ = 1√
1− x2
.
(c) Função: r = a sec2 θ, equação: cos θdr
dθ
− 2r sin θ.
(d) Função: y =
√
16− x2, equação x+ yy′ = 0.
Exercício 4. Explique por que a equação diferencial∣∣∣∣∣dydx
∣∣∣∣∣+ |y|+ 1 = 0
não tem solução.
Exercício 5. Nos itens a seguir, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(a) y′ − y = 2xe2x, y(0) = 1
(b) y′ + 2y = xe−2x, y(1) = 0
1
(c) xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1/2, x > 0
(d) y′ + (2/x)y = (cosx)/x2, y(π) = 0, x > 0
(e) y′ − 2y = e2x, y(0) = 2
(f) xy′ + 2y = sin x, y(π/2) = 1
(g) x3y′ + 4x2 = e−x, y(−1) = 0, x < 0
(h) xy′ + (x+ 1)y = x, y(log 2) = 1, x > 0
Exercício 6. Encontre o valor de y0 para o qual o problema de valor inicial
y′ − y = 1 + 3 sin x, y(0) = y0
tem limite finito quando x→∞.
Exercício 7. Mostre que as soluções de 2y′ + xy = 2 tem o mesmo limite (finito) quando
x→∞ e encontre esse limite.
Sugestão: A solução geral dessa equação só pode ser escrita na forma de integral indefinida, pois∫
ex
2/4dx não pode ser escrito em termos de funções elementares. Tente calcular o limite limx→∞ y(x)
utilizando a regra de L’Hôpital no primeiro termo de y(x).
Exercício 8. Mostre que se a e λ são constantes positivas, e b é um número real qualquer,
então toda solução y da equação
y′ + ay = be−λx
tem a propriedade limx→∞ y(x) = 0.
Sugestão: Considere os casos a = λ e a 6= λ separadamente.
Exercício 9 (O método da Variação de Parâmetros). Considere o seguinte método para
resolver a equação linear de primeira ordem
y′ + p(x)y = g(x). (1)
(a) Se g é a função identicamente nula, mostre que a solução de (1) é
y = A exp
[
−
∫
p(x)dx
]
(2)
(b) Se g não é identicamente nula, assuma que a solução de (1) seja da forma
y(x) = A(x) exp
[
−
∫
p(x)dx
]
, (3)
onde A é agora uma função de x. Por substituição de (3) na equação dada (1), mostre que
A deve satisfazer a condição
A′(x) = g(x) exp
[∫
p(x)dx
]
. (4)
2
(c) Encontre A(x) a partir da equação (4). Então substitua esse resultado na equação (3) e
então determine y. Observe que a solução obtida é a mesma encontrada com o método do
fator integrante, feito em aula.
Exercício 10. Em cada um dos itens a seguir, encontre uma família de soluções das equações
diferenciais:
(a) y′ = x
2
y
(b) y′ = x
2
y(1 + x3)
(c) y′ + y2 sin x = 0
(d) y′ = 3x
2 − 1
3 + 2y
(e) y′ = (cos2 x)(cos2 2y)
(f) xy′ = (1− y2)1/2
(g) dy
dx
= x− e
−x
y + ey
(h) dy
dx
= x
2
1 + y2
Exercício 11. Encontre uma solução particular satisfazendo a condição inicial dada nos itens
a seguir.
(a) dy
dx
+ y = 0, y(1) = 1
(b) sin x cos 2y + y′ cos x sin 2y = 0, y(0) = π2
(c) (1− x)y′ = x(y + 1), y(2) = 1
(d) yy′ + x = 3xy2, y(2) = 1
(e) y′ = ex+y, y(0) = 0
Exercício 12. Resolva a equação dy
dx
= ay + b
cy + d , cy + d 6= 0, a 6= 0.
Exercício 13. Encontre uma família de soluções para as seguintes equações diferenciais:
(a) y′ = 5y − 4x
y
(b) v dv
dx
= v2 − e2xv3
(c) dx
dt
= x
t
−
√
x, t > 0
(d) y′ = y − y3
3
Exercício 14. Há um modelo para a variação populacional em que se supõe que a taxa de
variação da população no instante t seja proporcional à população neste instante, com coeficiente
de proporcionalidade λ = α−β, sendo α o coeficiente de natalidade e β o de mortalidade. Desse
modo, a variação da população p = p(t) é regida pela equação linear dp
dt
= λp. Suponha que a
população no instante t = 0 seja p0.
(a) O que acontece com a população se α = β?
(b) Sendo α 6= β, determine a população no instante t. O que acontecerá com a população se
α > β? E se α < β?
Exercício 15. Considerando fatores inibidores para a variação da população, foi proposta
uma modificação para o modelo do exercício anterior, onde se supõe então um nível máximo
γ = limt→∞ p(t) que a população possa atingir e que há um fator inibidor proporcional ao
quadrado da população e com coeficiente ε = λ
γ
. Então, neste modelo, a variação da população
é regida pela equação de Bernoulli dp
dt
= λp − εp2, onde se supõe λ > 0. Suponha que a
população no instante t = 0 seja p0.
(a) Resolva equação.
(b) Supondo p0 < γ, para que valor de p a taxa de variação
dp
dt
é máxima? Qual o valor
máximo para esta taxa de variação?
(c) Em que instante t o valor da taxa de variação é máximo?
Exercício 16. Um outro modelo para a variação populacional e dado, também, por uma
equação de Bernoulli é dp
dt
= λp− εpα, α > 1 e ε = λ
γα−1
, onde se supõe que γ = limt→∞ p(t) é
o valor máximo para a população. Supondo p(0) = p0, resolva a equação.
Exercício 17. A equação de Bernoulli dp
dt
= αp2/3 − βp é um modelo usado para a variação
do peso p = p(t) de uma espécie de peixe, onde α e β são constantes positivas e que dependem
da espécie em estudo. Suponha p(0) = 0. (O peixe ao nascer é tão pequeno que o seu peso é
quase zero.) Resolva a equação.
Exercício 18. A equação diferencial
y′ = f0(x) + f1(x)y + f2(x)y2, f2(x) 6= 0, (5)
é chamada uma Equação de Ricatti. Se y1(x) é uma solução particular dessa equação, mostre
que a substituição
y = y1 +
1
u
, y′ = y′1 −
1
u2
u′,
tranforma (5) na equação linear de primeira ordem
u′ + [f1(x) + 2f2(x)y1]u = −f2(x).
4
Exercício 19. Utilizando o exercício acima, encontre a solução geral de cada uma das seguintes
Equações de Ricatti, sendo dada uma solução particular y1.
(a) y′ = x3 + 2
x
y − 1
x
y2, y1(x) = −x2
(b) y′ = 2 tan x secx− y2 sin x, y1(x) = secx.
Exercício 20. Encontre uma família de soluções das equações a seguir, admitindo que o coe-
ficiente de y′ é 6= 0.
(a) 2xy + (x2 + y2)y′ = 0
(b) (x+
√
y2 − xy)y′ − y = 0, y > 0, x < y
(c) x+ y − (x− y)y′ = 0
(d) 2x2y + y3 + (xy2 − 2x3)y′ = 0
Exercício 21. Encontre uma solução particular satisfazendo a condição inicial nos itens a
seguir.
(a) x2 + y2 = 2xyy′, y(−1) = 0, x < 0
(b) xey/x + y = xy′, y(1) = 0, x > 0
(c) y′ − y
x
+ csc y
x
= 0, y(1) = 0, x > 0
(d) xy − y2 − x2y′ = 0, y(1) = 1
Exercício 22. Uma substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à sua quantidade
presente (enquanto todos os átomos tem igual probabilidade de desintegrar, a probabilidade
de desintegração é proporcional à quantidade de átomos restantes). Se A(t) é a quantidade
no tempo t, isto significa que A′(t) = −cA(t) para alguma constante c > 0 (que representa a
probabilidade de um átomo desintegrar).
(a) Encontre A(t) em termos da quantidade A0 = A(0) inicial da substância.
(b) Mostre que existe um número τ (a “meia-vida” da substância radioativa) com a propriedade
que A(t+ τ) = A(t)2 .
Exercício 23. Um ponto P está se movendo ao longo de um segmento de reta AB de compri-
mento 107, enquanto outro ponto Q se move ao longo de uma semirreta. A velocidade de P é
sempre igual à distância de P a B (em outras palavras, se P (t) é a posição de P no tempo t,
então P ′(t) = 107 − P (t)), enquanto Q se move com velocidade constante Q′(t) = 107. (Veja a
Figura 1.) A distância percorrida pelo ponto Q no tempo t é chamada de Logaritmo Neperiano
da distância de P a B no tempo t. Em outras palavras,
107t = NapLog[107 − P (t)].
5
Esta foi a definição original de Logaritmo dada por Napier (1550-1617)em sua publicação
de 1614, Mrifici logarithmonum canonis description (Uma descrição das maravilhosas leis dos
Logaritmos); trabalho que foi feito antes da notação de expoentes ser inventada! O número 107
foi escolhido porque as tabelas de Napier (inventadas para cálculos astronômicos e de navegação)
listariam logaritmos de senos de ângulos, cujos melhores cálculos disponíveis tinham sete casas
decimais, e Napier queria evitar frações. Prove que
NapLog x = 107 log 10
7
x
. (6)
Figura 1: Representação do Problema.
Exercício 24 (Uma prévia do próximo assunto!). (a) Prove que se α é uma raiz da equação
polinomial
anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, (7)
então a função y(x) = eαx satisfaz a equação diferencial
any
(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y′ + a0y = 0. (8)
(b) Prove que se α é uma raiz dupla (multiplicidade 2) de (7), então y(x) = xeαx também
satisfaz (8). Dica: lembre que se α é uma raiz dupla de um polinômio f(x) = 0, então f ′(α) = 0.
(c) Prove que se α é uma raiz de (7) de ordem r, então y(x) = xkeαx é solução de (8) para
0 ≤ k ≤ r − 1.
(d) Se (7) tem n raízes reais (contadas com multiplicidades), entãoo item acima nos dá n
soluções y1, . . . , yn de (8). Prove que neste caso a função c1y1 + · · ·+ cnyn também satisfaz
(8), para quaisquer c1, . . . , cn ∈ R.
Veremos depois um Teorema que afirma que as soluções dadas no item (d) são as únicas
soluções de (8), supondo que (7) tem apenas raízes reais. Nos exercícios a seguir provamos
casos especiais deste Teorema.
Exercício 25. Suponha que f : R → R satisfaça f ′′ − f = 0 e f(0) = f ′(0) = 0. Prove que
f = 0 como segue.
(a) Mostre que f 2 − (f ′)2 = 0.
6
(b) Suponha que f(x) 6= 0 para todo x em algum intervalo (a, b). Mostre que ou f(x) = cex
ou então f(x) = ce−x para todo x ∈ (a, b), para alguma constante c ∈ R.
(c) Se f(x0) 6= 0 para x0 > 0, digamos, então existe um número a ∈ R tal que 0 ≤ a ≤ x0 e
f(a) = 0, enquanto f(x) 6= 0 para a < x < x0. (Por quê?) Use esse fato e a parte (b) para
deduzir uma contradição.
Exercício 26 (Continuando o exercício anterior). (a) Mostre que se f : R→ R satisfaz f ′′ −
f = 0, então f(x) = aex + be−x para alguns a, b ∈ R. (Primeiro tente ver quem seriam a, b
em função de f(0) e f ′(0), e então use o problema anterior.)
(b) Mostre também que f(x) = a senh x+ b cosh x para alguns (outros) a, b ∈ R.
(c) Encontre todas as funções f : R→ R satisfazendo f (n) = f (n−2).
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Respostas de alguns Exercícios
Exercício 1. A função é y = g(x) = x, x 6= 0.
Exercício 3. Vejamos os intervalos em cada item:
(a) R;
(b) (−1, 1);
(c) θ 6= ±π2 ,±
3π
2 ,± · · · ;
(d) (−4, 4).
Exercício 5.
(a) y = 3ex + 2(x− 1)e2x
(b) y = (x2 − 1)e−2x/2
(c) y = (3x4 − 4x3 + 6x2 + 1)/12x2
(d) y = (sin x)/x2
(e) y = (x+ 2)e2x
(f) y = x−2[(π2/4)− 1− x cosx+ sin x]
(g) y = −(1 + x)e−x/x4, x 6= 0
(h) y = (x− 1 + 2e−x)/x, x 6= 0
Exercício 10
(a) 3y2 − 2x3 = c, y 6= 0
(b) 3y2 − 2 log |1 + x3| = c, x 6= 1, y 6= 0
(c) 1
y
+ cos x = c, y 6= 0, e a solução constante y = 0
(d) 3y + y2 − x3 + x = c, y 6= −32
(e) 2 tg 2y − 2x− sen 2x = c, se cos 2y 6= 0; também y = ±(2n+ 1)π4 para qualquer inteiro n.
(f) y = sen[log |x|+ c] se x 6= 0 e |y| < 1; também as funções constantes y = ±1
(g) y2 − x2 + 2(ey − e−x) = c, com y + ey 6= 0
(h) 3y + y3 − x3 = c
Exercício 11
8
(a) y = e1−x
(b) cos2 x cos 2y = −1
(c) (y + 1)(1− x) = e−x
(d) 3y2 = 1 + 2e3x2−12
(e) ex + e−y = 2
Exercício 12
x = c
a
y + ad− bc
a2
log |ay + b|+ k, a 6= 0, ay + b 6= 0, ou a função constante y = − b
a
Exercício 13
(a) y2 = ke10x + 20x+ 225
(b) v =
(
ke−x + 13e
2x
)−1
, ou a função constante v = 0
(c) x = (k
√
t− t)2
(d) y2 = 1
ke−2x + 1 , ou a função constante y = 0
Exercício 14
(a) A solução da equação é p(t) = p0eλt, t ≥ 0. Se α = β, teremos λ = 0 e, então, p(t) = p0
para t ≥ 0, ou seja, a população se manterá constante e igual a p0.
(b) A população no instante t é p(t) = p0eλt, t ≥ 0. Se α > β, λ > 0 e, então, a população
estará crescendo exponencialmente, Se α < β, λ < 0 e, então, limt→∞ p(t) = 0, ou seja, a
população tenderá à extinção.
Exercício 15
(a) A equação dp
dt
= λp− �p2 é uma equação de Bernoulli e, também, de variáveis separáveis.
Resovendo-a, obtemos p = λ
λke−λt + �. Tendo em vista a condição p(0) = p0 e � =
λ
γ
,
resulta p = γp0(γ − p0)e−λt + p0
, t ≥ 0. Observe que para t tendendo a ∞, p tende a γ.
(b) Como dp
dt
= λp − �p2, o valor máximo de dp
dt
ocorrerá no instante em que p for o vértice
da parábola z = λp − �p2, ou seja, no instante em que p = λ2� =
γ
2 . No instante t1 em
que dp
dt
é máximo deveremos ter γ2 =
γp0
(γ − p0)e−λt1 + p0
, ou seja, t1 = −
1
λ
log
[
p0
γ − p0
]
.
Observe que no instante t1, em que
dp
dt
é máximo, estará ocorrendo um ponto de inflexão no
9
gráfico de p = p(t). Se p0 <
γ
2 , no intervalo (0, t1) o gráfico de p = p(t) terá a concavidade
voltada para cima, ou seja, neste intervalo a população estará crescendo a taxas crescentes
e, no intervalo (t1,+∞), o gráfico terá a concavidade para baixo, ou seja, neste intervalo,
a população estára crescendo a taxas decrescentes.
Exercício 16
A solução p = p(t) é dada implicitamente pela equação p1−α = ke(1−α)λt + γ1−α, onde
k = p1−α0 − γ1−α.
Exercício 17
p(t) =
(
α
3
)3 1− e
(
−
βt
3
)
3
.
Exercício 19.
(a) u′ +
(2
x
+ 2x
)
u = 1
x
, y = −x2 + 2x
2ex
2
ex2 + c
(b) u′ − 2u tan x = sin x, y = 1cosx +
3 cos2 x
c− cos3 x .
Exercício 20
(a) 3x2y + y3 = C
(b) y = C exp(−2
√
1− x/y)
(c) arctan(y/x)− 12 log(x
2 + y2) = C
(d) x
2
y2
+ log xy = C, x 6= 0, y 6= 0
Exercício 21
(a) y2 = x2 + x
(b) log x+ e−y/x = 1
(c) log x− cos y
x
+ 1 = 0
(d) x = e(x/y)−1
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