Notas_de_Aula01_Calculo(Professora Celia)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS - DCEN
DISCIPLINA: Cálculo II Data: 02=03=12
PROFESSOR: Antonio Gomes Nunes
ALUNO(A):
NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO II DOS
PROFESSORES ANTONIO/CÉLIA/RONALDO
Capítulo 1
Funções Transcendentes e Funções
Trigonométricas Inversas
1.1 Funções Inversas
A ideia da função inversa é resolver uma equação y = f(x) para x como função de y;
digamos x = f�1(y) de tal maneira que as igualdades
i) f�1(f(x)) = x; 8 x no domínio de f ,
ii) f(f�1(y)) = y; 8 y no domínio de f�1
sejam satisfeitas.
De…nição 1.1 (Função Injetora) Uma função f(x) é injetora no domínio D se f(x1) 6=
f(x2) sempre que x1 6= x2 em D:
De…nição 1.2 (Função Inversa) Seja f uma função injetora num domínio D com imagem
S: A função inversa f�1 é de…nida por
f�1(a) = b se f(b) = a:
O domínio de f�1 é S e a imagem de f�1 é D:
1
Exemplo 1.1 As funções f(x) = x3 e f�1(y) = 3
p
y são funções inversas:
Observação 1.1 É importante entender que uma função está determinada pela lei que
a de…ne e não pela letra usada para a variável independente. Assim, f�1(y) = 3
p
y;
f�1(x) = 3
p
x; etc.
Exemplo 1.2 As funções f(x) = ex e f�1(x) = lnx são inversas.
Observação 1.2 Nem toda função possui inversa. Por exemplo, f : R ! R de…nida por
f(x) = x2 não possui inversa. Mas, se de…nirmos f de R+ em R+ então y = f(x) = x2
admite inversa x = f�1(y) =
p
y:
Observação 1.3 Uma função que é crescente em dado intervalo, satisfazendo f(x2) > f(x1)
quando x2 > x1; é injetora e tem inversa. Funções decrescentes também têm inversas.
Exercício 1 Determine a inversa de f(x) =
1
2
x + 1 e represente gra…camente. Calcule
também a derivada de f e a derivada de f�1: Qual a relação existente entre suas derivadas?
1.2 Derivadas de Funções Inversas
Existe uma relação de reciprocidade entre as derivadas ou os coe…cientes angulares de
f e f�1: Se o coe…ciente angular de y = f(x) no ponto (a; f(a)) é f 0(a) e f 0(a) 6= 0, então
o coe…ciente angular de y = f�1(x) no ponto (f(a); a) é o recíproco 1=f 0(a): Considerando
b = f(a); então
(f�1)0(b) =
1
f 0(a)
=
1
f 0(f�1(b))
:
Teorema 1.1 (REGRA DA DERIVADA PARA FUNÇÕES INVERSAS) Se y = f(x) é
uma função de…nida em um intervalo aberto I e f 0(x) existe e nunca é nulo em I, então f�1
é derivável em qualquer ponto de seu domínio e
(f�1)0(b) =
1
f 0(f�1(b))
: (1.1)
Isto é, o valor de (f�1)0 no ponto b do domínio de f�1 é a recíproca do valor de f 0 no ponto
a = f�1(b):
2
Exemplo 1.3 Aplique o Teorema 1.1 para a função f(x) = x2: x > 0:
Observação 1.4 A equação (1.1) as vezes nos permite encontrar valores particulares de
f�1 sem saber a fórmula para f�1:
Exercício 2 Seja f(x) = x2 � 2: Determine o valor de f�1 em x = 6 = f(2) sem achar
uma fórmula para f�1(x):
Exercício 3 Sabendo que a função exponencial f(x) = ex é derivável em R; aplique o
Teorema 1.1 para encontrar a derivada de sua inversa f�1(x) = lnx:
1.3 Funções Exponenciais e Logarítmicas
1.3.1 A Função Logaritmo Natural
O logaritmo natural de um número positivo x; denotado por lnx; é o valor de uma
integral.
De…nição 1.3 A função logaritmo natural é de…nida por
lnx =
Z x
1
1
t
dt; x > 0:
O domínio da função logaritmo natural é o intervalo (0;+1):
Se x > 1; então lnx é a área sob o grá…co da curva y = 1=t de t = 1 a t = x:
Para 0 < x < 1; lnx fornece o negativo da área sob o grá…co da curva y = 1=t de t = x
a t = 1: Neste caso, lnx =
Z x
1
1
t
dt = �
Z 1
x
1
t
dt:
Para x = 1; temos
ln 1 =
Z 1
1
1
t
dt = 0:
3
A Derivada da Função Logaritmo Natural
Como lnx =
R x
1
1
t
dt para x > 0; segue do Teorema Fundamental do Cálculo que
d
dx
(lnx) =
d
dx
Z x
1
1
t
dt =
1
x
:
Logo,
d
dx
(lnx) =
1
x
; x > 0: (1.2)
Teorema 1.2 Se u é uma função derivável de x; então:
1.
d
dx
(lnu) =
1
u
du
dx
; se u > 0:
2.
d
dx
(ln juj) = 1
u
du
dx
; se u 6= 0:
Exercício 4 Dado y = ln(3x2 � 6x+ 8); calcule dy
dx
:
Exercício 5 Dado f(x) = 5x ln(
p
cosx); calcule f 0(x):
Exercício 6 Dado y = ln j4 + 5x� 2x3j ; calcule dy
dx
:
Exercício 7 Dado f(x) = jxj ; calcule f 0(x):
Propriedades da Função Logaritmo Natural A função lnx tem as seguintes
propriedades algébricas:
1. ln(ax) = ln a+ lnx; a > 0; x > 0:
2. ln
�a
x
�
= ln a� lnx; a > 0; x > 0:
3. ln
�
1
x
�
= � lnx; x > 0:
4. ln (xr) = r lnx; sendo r qualquer número racional.
Essas propriedades são decorrentes da equação (1.2) e do teorema do valor médio para
derivadas.
4
O Grá…co e a Imagem da Função Logaritmo Natural
Proposição 1.1 A função lnx é crescente para x > 0:
Demonstração. A derivada
d
dx
(lnx) =
1
x
é positiva para x > 0; logo lnx é uma função
crescente de x:
Proposição 1.2 O grá…co da função lnx é côncavo para baixo.
Demonstração. A segunda derivada, �1=x2; é negativa, logo o grá…co de lnx é côncavo
para baixo.
Observação 1.5 Segue da nossa intuição geométrica que quando x se torna muito grande
positivo, lnx se torna muito grande positivo. Isto é,
lim
x!1
lnx =1:
Temos também,
lim
x!0+
lnx = lim
t!1
ln
�
1
t
�
= lim
t!1
(� ln t) = � lim
t!1
ln t = �1:
A função lnx é contínua (pois é derivável) em (0;+1) e pelo Teorema do Valor
Intermediário assume qualquer valor real. Portanto, concluímos que a sua imagem é a reta
real inteira, o que leva ao grá…co de y = ln x mostrado acima.
1.4 Integrais envolvendo Logaritmos Naturais
Se u é uma função derivável diferente de zero, entãoZ
1
u
du = ln juj+ C
pois
d
du
(ln juj+ C) = 1
u
:
5
Exemplo 1.4 Vamos calcular as integrais:
a)
Z �5
�9
1
x+ 1
dx b)
Z
x
x2 + 7
dx c)
Z
(lnx)2
x
dx:
1.4.1 Integrais das Funções: Tangente, Cotangente, Secante e
Cossecante
1.
R
tan x dx = � ln jcosxj+ C
2.
R
cotx dx = ln jsin xj+ C
3.
R
sec x dx = ln jsec x+ tan xj+ C
4.
R
csc x dx = ln jcsc x� cotxj+ C:
Exemplo 1.5 Vamos calcular as integrais:
a)
Z
tan(4x)dx b)
Z
1
cos(5x)
dx c)
Z
x cot(x2)dx:
1.5 A Função Exponencial Natural
A função ln; por ser uma função crescente com domínio (0;1) e imagem (�1;1)
possui uma inversa com domínio (�1;1) e imagem (0;1) chamada Função Exponencial
Natural e denotada por " exp ":
De…nição 1.4 A função Exponencial Natural é de…nida por:
y = exp x() x = ln y; para todo número real x:
Como consequência de exp ser a inversa de ln; temos:
i) exp(lnx) = x, 8 x > 0
ii) ln(expx) = x, 8 x 2 R:
6
O grá…co de y = expx pode ser obtido re‡etindo-se o grá…co de lnx em relação à reta
y = x: Note que
lim
x!1
expx =1 e lim
x!�1
expx = 0:
De…nição 1.5 (O número e): O número "e" é aquele número no domínio do logaritmo que
satisfaz
ln(e) =
Z e
1
1
t
dt = 1
Isto é,
exp(1) = e:
O número "e" é um número irracional, aproximadamente igual a 2; 71828:
Se r é um número racional arbitrário, então
ln er = r ln r = r(1) = r: (1.3)
Uma vez que lnx é injetora e ln(exp r) = r; segue de (1.3) que
exp r = er:
Isto motiva a seguinte de…nição.
De…nição 1.6 Se x é um número real, então expx = ex e
y = ex se e somente se x = ln y:
7
Esta é a razão para chamarmos exp uma função exponencial e referimo-nos a ela como
função exponencial de base e: A partir de agora escreveremos ex em vez de expx para
denotar valores da função exponencial natural. Assim,
i) ln ex = x para todo x 2 R
ii) elnx = x para todo x > 0:
Teorema 1.3 Se x; x1 e x2 são números reais e r é um número racional, então:
i) ex1exx = ex1+x2 ii) e�x =
1
ex
iii)
ex1
ex2
= ex1�x2 iv) (ex)r = erx:
1.5.1 A Derivada e a Integral de ex
A função exponencialé derivável, uma vez que é a inversa de uma função derivável cuja
derivada nunca é zero. Calcularemos sua derivada usando o Teorema (1.1).
Teorema 1.4 A função y = ex é derivável e
d
dx
(ex) = ex:
Observação 1.6 Como ex > 0; sua derivada também é positiva em qualquer ponto, portanto
é uma função crescente e contínua para qualquer x
Teorema 1.5 Se u = g(x) e g é derivável, então
d
dx
(eu) = eu � du
dx
:
Exemplo 1.6 Calcule a derivada de cada função abaixo.
a) y = x2ex b) y = e
p
x2+1:
Teorema 1.6 Se u = g(x) e g é derivável, entãoZ
eudu = eu + C:
Exemplo 1.7 Calcule as integrais
a)
Z
x2ex
3
dx b)
Z 2
1
e3=x
x2
dx:
8
1.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas Gerais
1.6.1 A Função Exponencial Geral
Como a = eln a para qualquer número positivo a, podemos pensar em ax como�
eln a
�x
= ex ln a: Estabelecemos, assim, a seguinte de…nição.
De…nição 1.7 (Funções Exponenciais Gerais): Sejam a > 0 e x um número real qualquer.
A função exponencial de base a é de…nida por:
ax = ex ln a:
Pela primeira vez, temos um signi…cado preciso para um expoente irracional.
Se a = e; a de…nição leva a ax = ex ln a = ex ln e = ex�1 = ex:
O Teorema (1.3) também é válido para ax: Por exemplo,
ax1 � ax2 = ex1 ln a � ex2 ln a
= ex1 ln a+x2 ln a
= e(x1+x2) ln a
= ax1+x2 :
Teorema 1.7 Se a > 0; então
d
dx
(ax) = ax ln a:
Teorema 1.8 Se a > 0 e u é uma função derivável de x, então au é uma função derivável
de x e
d
dx
(au) = au ln a � du
dx
Exemplo 1.8 Calcule a derivada das funções:
a) y = 10x b) y = 2x
2
c) y = 3tanx d) y = (x2 + 1)10 + 10x
2+1:
9
Teorema 1.9 (Regra Geral da Potência): Seja n 2 R e seja f(x) = xn de…nida para
qualquer x > 0: Então
f 0(x) = nxn�1:
Exercício 8 Calcule a derivada das funções:
a) f(x) = x
p
2 b) f(x) = (1 + e2x)� c) f(x) = xx; x > 0:
Teorema 1.10 Se a > 0, a 6= 1 e u é uma função derivável de x, entãoZ
audu =
au
ln a
+ C:
Exemplo 1.9 Calcular as integrais
a)
Z
3xdx b)
Z
x3(x
2)dx c)
Z 1
0
3�xdx d)
Z
5sin(2x) cos(2x)dx:
1.6.2 A Função Logaritmo Geral
Se a é qualquer número positivo diferente de 1, a função ax é injetora e tem uma derivada
não nula em qualquer ponto. Tem, portanto, uma inversa derivável chamada de logaritmo
de x na base a e denotada por loga x:
De…nição 1.8 Para qualquer número positivo a 6= 1; loga x é a função inversa de ax: Assim,
y = loga x se e somente se x = a
y:
Por exemplo,
log6 36 = 2; pois 36 = 6
2:
Quando a = e; temos que y = loge x signi…ca que x = e
y; isto é, y = lnx: Portanto,
lnx = loge x:
Vamos expressar loga x em termos de logaritmos naturais: De x = a
y; temos
lnx = ln(ay)
= y ln a
10
ou seja,
y =
lnx
ln a
:
Como y = loga x; então
loga x =
lnx
ln a
: (1.4)
Teorema 1.11 Para quaisquer números x1 > 0 e x2 > 0; a > 0; a 6= 1; temos
1. loga x1x2 = loga x1 + loga x2
2. loga
x1
x2
= loga x1 � loga x2
3. loga
1
x1
= � loga x1
4. loga x
x2
1 = x2 loga x1:
Derivada da Função Logaritmo Geral
A função y = loga x é derivável para x > 0; a > 0 e a 6= 1. A partir da fórmula (1.4) de
mudança de base, obtemos
d
dx
(loga x) =
1
x ln a
:
Se u é uma função derivável de x; então:
d
dx
(loga juj) =
1
u ln a
� du
dx
:
Exemplo 1.10 Calcule a derivada das funções
a) y = log2(x
2 + 5) b) y = log 3
p
(2x+ 5)2:
Teorema 1.12 lim
h!0
(1 + h)1=h = e:
11
1.7 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas
1.7.1 A Função Arco Seno
Consideremos a função f(x) = sin x de…nida em [��=2; �=2]. Temos que a imagem de f
é o intervalo [�1; 1] e f 0(x) = cosx > 0; para todo x 2 (��=2; �=2) : Logo, f é crescente em
[��=2; �=2] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = sinx possui inversa
de…nida no intervalo [�1; 1], chamada função arco seno e denotada por f�1(x) = arcsin x
ou f�1(x) = sin�1 x: Assim,
y = arcsinx se e somente se x = sin y:
Temos ainda que
�
f�1
�0
(x) =
1
f 0(f�1(x))
=
1
cos(arcsinx)
=
1
cos y
; 8x 2 (�1; 1): (1.5)
Mas,
cos2 y + sin2 y = 1 ) cos2 y = 1� sin2 y
ou seja,
cos y =
p
1� x2; pois cos y > 0 8y 2 (��=2; �=2): (1.6)
Substituindo (1.6) em (1.5), obtemos
�
f�1
�0
(x) =
1p
1� x2 ; para todo x 2 (�1; 1):
Desta forma, a função arco seno é derivável no intervalo (�1; 1) e
d
dx
(arcsinx) =
1p
1� x2 :
1.7.2 A Função Arco Cosseno
Consideremos a função f(x) = cosx de…nida em [0; �]. Temos que a imagem de f é
o intervalo [�1; 1] e f 0(x) = � sin x < 0; para todo x 2 [0; �] : Logo, f é decrescente em
[0; �] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cosx possui inversa de…nida
12
no intervalo [�1; 1], chamada função arco cosseno e denotada por f�1(x) = arccos x ou
f�1(x) = cos�1 x: Assim,
y = arccosx se e somente se x = cos y:
Além disso,�
f�1
�0
(x) =
1
f 0(f�1(x))
=
1
� sin(arccos x) =
1
� sin y ; 8x 2 (�1; 1): (1.7)
Mas,
cos2 y + sin2 y = 1 ) sin2 y = 1� cos2 y
ou seja,
sin y =
p
1� x2; pois sin y > 0 8y 2 (0; �): (1.8)
Substituindo (1.8) em (1.7), obtemos�
f�1
�0
(x) = � 1p
1� x2 ; para todo x 2 (�1; 1):
Desta forma, a função arco cosseno é derivável no intervalo (�1; 1) e
d
dx
(arccos x) = � 1p
1� x2 :
1.7.3 A Função Arco Tangente
Consideremos a função f(x) = tanx de…nida em (��=2; �=2). Quando x se aproxima
de �=2 a tan x assume valores positivos arbitrariamente grandes e quando x se aproxima
de ��=2 a tan x assume valores negativos arbitrariamente grandes. Isto signi…ca que as
retas x = ��=2 e x = �=2 são assítotas verticais da função f(x) = tanx: Temos que a
imagem de f é o conjunto dos números reais e f 0(x) = sec2 x = 1 + tan2 x > 0; para todo
x 2 (��=2; �=2) : Logo, f é crescente em (��=2; �=2) e portanto é injetiva. Pelo Teorema
(1.1), a função f(x) = tanx possui inversa de…nida em R, chamada função arco tangente
e denotada por f�1(x) = arctanx ou f�1(x) = tan�1 x: Assim,
y = arctan x se e somente se x = tan y:
13
Além disso,
�
f�1
�0
(x) =
1
f 0(f�1(x))
=
1
sec2(arctanx)
=
1
sec2 y
=
1
1 + tan2 y
=
1
1 + x2
; 8x 2 R: (1.9)
Desta forma, a função arco tangente é derivável em R e
d
dx
(arctanx) =
1
1 + x2
:
1.7.4 A Função Arco Cotangente
Consideremos a função f(x) = cotx de…nida no intervalo (0; �). Temos que f 0(x) =
� csc2 x < 0; para todo x 2 (0; �) : Logo, f é decrescente em (0; �) e portanto é injetiva.
Além disso, a imagem de f é o conjunto dos números reais.
Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cotx possui inversa de…nida em R, chamada função
arco cotangente e denotada por f�1(x) = arccotx ou f�1(x) = cot�1 x: Assim,
y = arccotx se e somente se x = cot y:
Usaremos a identidade,
arccotx =
�
2
� arctanx; 8x 2 R
para obter a derivada da função arccot x:
Temos,
d
dx
(arccotx) =
d
dx
(
�
2
� arctanx)
= � d
dx
(arctanx)
= � 1
1 + x2
:
Desta forma, a função arco cotangente é derivável em R e
d
dx
(arccotx) = � 1
1 + x2
:
14
1.7.5 A Função Arco Secante
Consideremos a função f(x) = sec x de…nida em [0; �=2) [ (�=2; �] : Temos que
f 0(x) = sec x � tan x = 1
cosx
� sin x
cosx
=
sin x
cos2 x
> 0; para todo x 2 (0; �=2) [ (�=2; �):
Logo, f é crescente em [0; �=2)[ (�=2; �] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função
f(x) = cotx possui inversa de…nida em (�1;�1][ [1;+1), chamada função arco secante
e denotada por f�1(x) = arcsecx ou f�1(x) = sec�1 x: Assim,
y = arcsec x se e somente se x = sec y:
Além disso,
�
f�1
�0
(x) =
1
f 0(f�1(x))
=
1
f 0(arcsecx)
=
1
sec y � tan y (1.10)
=
1
x tan y
; 8x 2 (�1;�1) [ (1;+1): (1.11)
Mas,
tan2 y = sec2 y � 1 =) tan y = �
p
sec2 y� 1 = �
p
x2 � 1: (1.12)
Substituindo (1.12) em (1.10), obtemos
�
f�1
�0
(x) =
1
�xpx2 � 1 :
Como (f�1)0 (x) > 0; 8x 2 (�1;�1) [ (1;+1) então
�
f�1
�0
(x) =
1
jxjpx2 � 1 :
Desta forma, a função arco secante é derivável em (�1;�1) [ (1;+1) e
d
dx
(arcsecx) =
1
jxjpx2 � 1 :
1.7.6 A Função Arco Cossecante
Consideremos a função f(x) = cscx de…nida em [��=2; 0) [ (0; �=2] : Temos que
f 0(x) = � csc x � cotx = � cosx
sin2 x
< 0; 8x 2 (��=2; 0) [ (0; �=2): Logo, f é decrescente em
15
[��=2; 0) [ (0; �=2] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = csc x possui
inversa de…nida em (�1;�1][ [1;+1), chamada função arco cossecante e denotada por
f�1(x) = arccscx ou f�1(x) = csc�1 x: Assim,
y = arccsc x se e somente se x = csc y:
Usaremos a identidade,
arccsc x =
�
2
� arcsec x; jxj > 1:
para obter a derivada da função arccot x:
Temos,
d
dx
(arccscx) =
d
dx
(
�
2
� arcsec x)
= � d
dx
(arcsecx)
= � 1jxjpx2 � 1 :
Desta forma, a função arco cossecante é derivável em (�1;�1) [ (1;+1) e
d
dx
(arccscx) = � 1jxjpx2 � 1 :
Em resumo, se u é uma função derivável de x; então:
1.
d
dx
(arcsinu) = 1p
1�u2
du
dx
; juj < 1
2.
d
dx
(arccosu) = � 1p
1�u2
du
dx
; juj < 1
3.
d
dx
(arctanu) =
1
1 + u2
du
dx
4.
d
dx
(arccotu) = � 1
1 + u2
du
dx
5.
d
dx
(arcsecu) =
1
jujpu2 � 1
du
dx
; juj > 1
6.
d
dx
(arcsecu) = � 1jujpu2 � 1
du
dx
; juj > 1:
16
Exercício 9 Derive as seguintes funções:
a) y = arcsin(x2) b) y = cos�1(1=x) c) y = arctan(
p
x)
d) y = arccot
�
2x
3
�
e) y = arcsec
�
2
3x
�
f) y = arccsc
�p
x2 + 9
�
17
Capítulo 2
Introdução
Nessas notas não temos nenhuma pretenção de sermos originais, queremos apenas
digitar um material confortável para o acompanhamento do curso de Cálculo II oferecido
na UFERSA no ano de 2011, primeiro semestre. A base para essas notas são os livros de
Cálculo de Hamilton Luiz Guidorizzi, “Um Curso de Cálculo” volumes I e II, o livro do
Celso A. Silva Barbosa, “Cálculo Diferencial e Integral: Funções de uma Variável”, o livro
de Diva Marília Flemming e Mirian Buss Gonçalves, “Cálculo A: Funções Limites, Derivação
e Integração”. O texto vai incompleto e …cará completamente pronto uma primeira versão
ao …nal da disciplina de Cálculo II, assim é o nosso desejo. Estão as provas dos resultados
por fazer, os exemplos por completar, capítulos e até seções por completar.
18
Capítulo 3
Primitivas
3.1 Introdução
Sabemos do Cálculo I que a derivada de uma função constante é zero. Entretanto, uma
função pode ter derivada zero em todos os pontos do seu domínio e não ser constante; por
exemplo f : R n f0g ! R dada por
f(x) =
8<: 1; x > 0�1; x < 0
é tal que f 0(x) = 0; 8x 2 R n f0g (seu domínio), mas f não é constante. O problema aí
não estar na função e sim no seu domínio, o domínio da f não é um domínio conexo; um
domínio é dito conexo quando dados quaisquer dois pontos nele existe uma reta que os une
inteirinha contida no conjunto.
O teorema que segue é uma consuquência do Teorema do Valor Médio (TVM)
apresentado no curso de Cálculo I: Se f é contínua em [a; b] e diferenciável em (a; b), então
existe pelo menos um ponto c 2 (a; b) tal que f(b) � f(a) = f 0(c)(b � a). Ele nos diz que
se f tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo, então f será constante neste
intervalo, mais precisamente temos:
Seja f contínua no intervalo [a; b]. Se f 0 (x) = 0, para todo x em (a; b), então existe
uma constante k tal que f (x) = k; para todo x em [a; b]:
19
A prova desse torema foi feita em sala de aula.
Sejam f e g duas funções contínuas no intervalo [a; b]. Se f 0 (x) = g0 (x) para todo x em
(a; b), então existirá uma constante k tal que g (x) = f (x) + k; para todo x em [a; b]:
A prova foi feita em sala de aula.
3.1.1 Primitiva de uma função
Seja f uma função de…nida num intervalo I � R: Uma primitiva de f em I é uma
função F também de…nida em I; tal que
F 0 (x) = f (x)
para todo x em I:
Fizemos vários exemplos em sala de aula.
Sendo F uma primitiva de f em I; então para toda constante k; F (x) + k é também
uma primitiva de f em I: Por outro lado, vimos anteriormente que , se duas funções têm
derivadas iguais em I, elas se diferem em I por uma constante. Segue que as primitivas de
f em I são as funções da forma F (x) + k; com k constante. Logo,
Y = F (x) + k; k 2 R
é uma família das primitivas de de f em I: A notaçãoZ
f (x) dx;
será usada para representar a família das primitivas de f; isto é,
Z
f (x) dx = F (x) + k:
Na notação Z
f (x) dx;
a função f denomina-se integrando. Uma primitiva de f será, também, denominada uma
integral inde…nida de f: É comum referir-se a
R
f (x) dx como integral inde…nida de f:
20
Em sala de aula citamos algumas propriedades da Integral Inde…nida e …zemos vários
exemplos, aplicando essas propriedades.
3.2
3.3 Integrais que Produzem Funções Trigonométricas
Inversas
1.
R 1p
1� x2dx = arcsinx+ C; jxj < 1
2.
R 1
1 + x2
dx = arctan x+ C
3.
R 1
x
p
x2 � 1dx = arcsec jxj+ C; jxj > 1:
As integrais (1), (2) e (3) podem ser facilmente generalizadas:
1.
R 1p
a2 � x2dx = arcsin
�x
a
�
+ C; a > 0; jxj < a
2.
R 1
a2 + x2
dx =
1
a
arctan
�x
a
�
+ C:
3.
R 1
x
p
x2 � a2dx =
1
jaj arcsec
���x
a
���+ C; a 6= 0 e jxj > jaj :
Exercício 10 Calcule as integrais:
a)
Z
1p
4� x2dx b)
Z
x2
5 + x6
dx c)
Z
1
x
p
x4 � 9dx
d)
Z
dxp
8x� x2 e)
Z
3x+ 2p
1� x2dx:
21
Capítulo 4
Técnicas de Integração
4.1 Mudança de Variável
Sejam f (x) e F (x) duas funções tais que F 0 (x) = f (x) para todo x em I. Suponhamos
que g seja outra função tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F: Podemos
considerar a função composta F � g: Pela regra da cadeia , temos,
[F � g]0 (x) = [(F � g) (x)]0 = F 0 (g (x)) g0 (x) = f (g (x)) g0 (x) ;
isto é, F (g (x)) é uma primitiva de f (g (x)) g0 (x) para tod x em I: Então, temos:Z
f (g (x)) g0 (x) dx = F (g (x)) + k: (4.1)
Fazendo u = g (x) ; então du = g0 (x) dx: Substituindo em 4.1, obtemosZ
f (u) du = F (u) + k:
Na prática, devemos então de…nir uma função u = g (x) conviniente, de tal forma que a
integral obtida seja simples.
Exemplos 1 Vamos calcular as integrais a seguir pelo método de mudança de variável.
1:
R � 2x
1 + x2
�
dx 2:
R
sin2 x cosxdx 3:
R
sin(x+2)dx 4:
R
tgxdx 5:
R dx
(3x� 5)8
6:
R du
u2 + a2
7:
R dx
x2 + 6x+ 13
8:
R p
t2 � 2t4dt; t > 0 9: R px� 2
x+ 1
dx
22
4.2 Integração por Partes
Se f e g são funções deriváveis de x; a regra do produto diz que
d
dx
[f(x)g(x)] = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x):
Em termos de integrais inde…nidas, essa equação se tornaZ
d
dx
[f(x)g(x)] dx =
Z
[f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)] dx
ou Z
d
dx
[f(x)g(x)] dx =
Z
f 0(x)g(x)dx+
Z
f(x)g0(x)dx:
Assim, Z
f(x)g0(x)dx =
Z
d
dx
[f(x)g(x)] dx�
Z
f 0(x)g(x)dx
o que leva à fórmula da integração por partesZ
f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)�
Z
f 0(x)g(x)dx: (4.2)
Sejam u = f(x) e v = g(x): Então,
du = f 0(x)dx e dv = g0(x)dx
e substituindo em (4.2), obtemos: Z
udv = uv �
Z
vdu: (4.3)
Supondo que tando f 0 quanto g0 sejam contínuas ao longo do intervalo [a; b] ; o Teorema
Fundamental do Cálculo nos leva a fórmula de integração por partes para integrais de…nidas:Z b
a
f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)]ba �
Z b
a
f 0(x)g(x)dx ou (4.4)Z b
a
udv = uv]ba �
Z b
a
vdu; se u = f(x) e v = g(x):
Exemplo 4.1 (Integral do Logaritmo Natural)
R
lnxdx = x lnx� x+ C
Exemplo 4.2 Vamos calcular as integrais
a)
Z
x cosxdx b)
Z
xexdx c)
Z
x2exdx
d)Z
arcsinxdx d)
Z 4
0
xe�xdx e)
Z
ex cosxdx:
23
4.3 Integração de Funções Racionais por Frações
Parciais
Recorde que uma função racional é da forma
p(x)
q(x)
; onde p(x) e q(x) são polinômios e
q(x) 6= 0: Quando o grau de p(x) é menor que o grau de q(x); a função racional p(x)
q(x)
é
chamada função racional própria.
Vamos descrever um método para calcular
R p(x)
q(x)
dx; onde
p(x)
q(x)
é uma função racional
própria. A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações
mais simples. Para isto, usaremos alguns resultados importatntes da Álgebra, que serão
apresentados a seguir.
Proposição 4.1 Se q(x) é um polinômio com coe…cientes reais, q(x) pode ser expresso como
um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coe…cientes reais.
Exemplos 2 a) q(x) = x2�3x+2 = (x�2)(x�1): b) q(x) = x3�x2+x �1 = (x2+1)(x�1):
c) q(x) = x2 � 2x� 3 = (x+ 1)(x� 3):
De…nição 4.1 Um polinômio quadrático é irredutível se não puder ser escrito como o
produto de dois fatores lineares com coe…cientes reais.
Proposição 4.2 Toda função racional própria pode ser expressa como uma soma
p(x)
q(x)
= F1(x) + F2(x) + � � �+ Fn(x) (4.5)
onde F1(x); F2(x); : : : ; Fn(x) são funções racionais da forma
A
(ax+ b)k
ou
Ax+B
(ax2 + bx+ c)k
(4.6)
nos quais os denominadores são fatores de q(x):
A soma (4.5) é a decomposição em frações parciais de
p(x)
q(x)
e cada termo Fi(x);
i = 1; : : : ; n é uma fração parcial.
24
Exemplo 4.3 A função racional
5x� 3
x2 � 2x� 3 pode ser escrita como
5x� 3
x2 � 2x� 3 =
2
x+ 1
+
3
x� 3 :
No caso do exemplo acima, o método das frações parciais consiste em achar
constantes A e B tais que
5x� 3
x2 � 2x� 3 =
A
x+ 1
+
B
x� 3 :
Diretrizes para obter a decomposição de uma função racional p(x)=q(x)em
frações parciais
1. O grau de p(x) dever ser menor que o grau de q(x): Se não for, divida p(x) por q(x) e
trabalhe com o resto.
2. Devemos fatorar q(x) completamente em fatores lineares (ax + b)k e/ou quadráticos
irredutíveis (ax2 + bx+ c)k; onde k é um inteiro não negativo.
3. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados da Álgebra
e não serão demonstradas:
(a) Fatores Lineares: Para cada fator da forma (ax+b)m; ondem é a maior potência
de ax+ b que divide q(x); associe a soma de m frações parciais
A1
ax+ b
+
A2
(ax+ b)2
+ � � �+ Am
(ax+ b)m
:
(b) Fatores Quadráticos: Para cada fator da forma (ax2+bx+c)n; onde n é a maior
potência de ax2 + bx+ c que divide q(x); associe a soma de n frações parciaiss
B1x+ C1
ax2 + bx+ c
+
B2x+ C2
(ax2 + bx+ c)2
+ � � �+ Bnx+ Cn
(ax2 + bx+ c)n
:
4. A1; A2; : : : ; Am; B1; B2; : : : ; Bn e C1; C2; : : : ; Cn são constantes a serem
determinadas.
25
Exemplo 4.4 (Fatores Lineares Distintos) Calcule as integrais usando frações parciais.
a)
Z
1
x2 � 1dx b)
Z
x2 + 4x+ 1
(x� 1)(x+ 1)(x+ 3)dx
Exemplo 4.5 (Um Fator Linear Repetido) Calcule a integralZ
6x+ 7
(x+ 2)2
dx:
Exemplo 4.6 (Integrando com um fator quadrático irredutível no denominador) Calcule as
integrais
a)
Z
1
x(x2 + 1)
b)
Z �2x+ 4
(x2 + 1)(x� 1)2dx:
Exemplo 4.7 (Um fator quadrático irredutível repetido) Calcule a integralZ
4x3 � x
(x2 + 5)2
dx:
Exemplo 4.8 (Integrando uma fração imprópria) Calcule a integralZ
2x3 � 4x2 � x� 3
x2 � 2x� 3 dx:
4.4 Integrais Trigonométricas
4.4.1 Produtos de Potências de Senos e Cossenos
Vamos calcular integrais da formaZ
sinm x � cosn xdx (4.7)
onde m e n são inteiros não negativos (positivos ou zero). Os três casos possíveis estão
descritos a seguir.
Caso 1: Se m é ímpar; escrevemos m = 2k+1 e usamos a identidade sin2 x = 1�cos2 x
para obter
sinm x = sin2k+1 x =
�
sin2 x
�k
sin x = (1� cos2 x)k sin x:
26
Então, realizamos a substituição u = cos x; du = � sin xdx:
Caso 2: Se m é par e n é ímpar; escrevemos n = 2k + 1 e usamos a identidade
cos2 x = 1� sin2 x para obter
cosn x = cos2k+1 x =
�
cos2 x
�k
cosx = (1� sin2 x)k cosx:
Então, realizamos a substituição u = sinx; du = cos xdx:
Exemplo 4.9 Calcular as integrais
a)
Z
sin3 xdx b)
Z
cos5 xdx c)
Z
sin3 x cos2 xdx d)
Z
sin2 x cos5 xdx:
Caso 3: Se tantom quanto n são pares em (4.7), usamos as identidades trigonométricas
sin2 x =
1� cos 2x
2
e cos2 x =
1 + cos 2x
2
que são consequências da fórmula do cosseno da soma:
cos(2x) = cos(x+ x) = cosx cosx� sin x sin x:
Exemplo 4.10 Calcule as integrais
a)
Z
sin2 xdx b)
Z
cos2(2x)dx c)
Z
sin2 x cos4 xdx d)
Z �=4
0
p
1 + cos 4xdx:
4.4.2 Integrais de Potências de tan x e sec x
Já sabemos como integrar a tangente e a secante e seus quadrados. Para integrar
potências maiores, usamos as identidades
sec2 x = 1 + tan2 x e tan2 x = sec2 x� 1
e integramos por partes quando necessário, a …m de reduzir potências maiores a potência
menores.
Exemplo 4.11 Calcule as integrais
a)
Z
tan4 xdx b)
Z
sec3 xdx c)
Z
tan3 x sec5 xdx d)
Z
tan2 x sec4 xdx:
27
4.4.3 Produtos de Senos e Cossenos
Se um integrando tem uma das formas
sin(mx) cos(nx); sin(mx) sin(nx) ou cos(mx) cos(nx)
podemos aplicar integração por partes duas vezes para calcular tais integrais. Neste caso é
mais simples usar as identidades:
1. sin (a) cos (b) =
1
2
[sin(a+ b) + sin(a� b)]
2. sin(a) sin(b) =
1
2
[cos(a� b)� cos(a+ b)]
3. cos(a) cos(b) =
1
2
[cos(a� b) + cos(a+ b)]
Exemplo 4.12 Calcule as integrais
a)
Z
sin(3x) cos(5x)dx b)
Z
cos(5x) cos(3x)dx:
Exercício 11 Calcule as integrais
a)
Z
sin(5x) cos(2x)dx b)
Z
cos(4x) cos(3x)dx c)
Z
sin(7u) sin(3u)du:
4.5 Integração por Substituição Trigonométrica
Usamos substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo expressões do
tipo
p
a2 � x2;
p
a2 + x2 ou
p
x2 � a2
onde a é uma constante positiva.
Caso 1: A função integrando envolve
p
a2 � x2:
28
Neste caso, usamos x = a sin �: Então, dx = a cos �d�: Supondo que ��
2
� � � �
2
;
temos:
p
a2 � x2 =
p
a2 � a2 sin2 x
=
q
a2(1� sin2 x)
=
p
a2 cos2 x
= a cos �:
Caso 2: A função integrando envolve
p
a2 + x2:
Neste caso, usamos x = a tan �: Então, dx = a sec2 �d�: Supondo que ��
2
< � <
�
2
;
temos:
p
a2 + x2 =
p
a2 + a2 tan2 �
=
q
a2(1 + tan2 �)
=
p
a2 sec2 �
= a sec �:
Caso 3: A função integrando envolve
p
x2 � a2:
Neste caso, usamos x = a sec �: Então, dx = sec � tan �d�: Supondo que 0 � � < �
2
ou
� � � < 3�
2
; temos:
p
x2 � a2 =
p
a2 sec2 � � a2
=
p
a2(sec2 � � 1)
=
p
a2 tan2 �
= a tan �:
Exemplos 3 Calcule as integrais
1.
R p9� x2
2x2
dx
2.
R 1
x2
p
x2 + 9
dx
29
3.
R dx
x3
p
x2 � 16
4.
R x2
(4� x2)3=2dx
5.
R dxp
25x2 � 4 ; x >
2
5
6.
R 2
0
dx
(x2 + 4)2
.
30
Capítulo 5
Aplicações da Integral De…nida
5.1 Área de uma região no plano
5.1.1 Áreas sob curvas
Se f é uma função contínua em [a; b] e f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; a área da região limitada
pelo grá…co de f; pelas retas x = a, x = b e o eixo x é dada por
A =
Z b
a
f(x)dx:
Se f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; então a área da região limitada pelo grá…co de f; pelas retas
x = a, x = b e o eixo x é dada por
A = �
Z b
a
f(x)dx:
Exemplo 5.1 Calcule a área da região limitada pela curva y = x2 � 4x; o eixo x e as retas
x = 1 e x = 3:
Exemplo 5.2 Calcule a área da região limitada pelo grá…co da função y = 1� x; o eixo x
e as retas x = �1 e x = 2:
Exemplo 5.3 Calcule a área da região limitada pela curva y = 4� x2 e o eixo x:
31
5.1.2 Área entre curvas
Consideremos duas funções f e g contínuas no intervalo [a; b] ; tal que f(x) � g(x)
8x 2 [a; b] : A áreada região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x) e as retas x = a e
x = b é
A =
Z b
a
[f(x)� g(x)] dx:
Exemplo 5.4 Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = �x2 + 4x:
Exemplo 5.5 Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = x+ 2:
Exemplo 5.6 Calcule a área da região limitada por y =
p
x; y = 0 e y = x� 2:
5.1.3 Integração em y
Consideremos agora uma região compreendida entre os grá…cos de duas funções x = f(y)
e x = g(y); com f e g contínuas e f(y) � g(y) 8y 2 [c; d] :Neste caso, a área da região limitada
pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e as retas y = c e y = d é dada por
A =
Z d
c
[f(y)� g(y)] dy:
Exemplo 5.7 Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x� 2 e y = x� 5:
Exemplo 5.8 Calcule a área da região limitada por y =
p
x; y = 0 e y = x� 2:
Exemplo 5.9 Calcule a área da região limitada por �x = y2 e x = �2:
Exercício 12 Encontre a área da região delimitada pela curva y = xe�x e pelo eixo x de
x = 0 até x = 4:
Exercício 13 Encontre a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 = 9:
32
5.2 Volume de um sólido
5.2.1 Método das Fatias
De…nição 5.1 Uma seção transversal de um sólido S é a região plana formada pela
interseção entre S e um plano.
Da geometria clássica, sabemos que o volume de um cilindro que tem uma área de base
A e altura h é
V = A � h:
Essa equação serve de base para de…nirmos os volumes de muitos sólidos não cilíndricos
usando o método das fatias.
Se a seção transversal do sólido S em cada ponto x no intervalo [a; b] é uma região de
área A(x); e A é uma função contínua de x; podemos de…nir e calcular o volume do sólido
S como uma integral de…nida como veremos a seguir.
Dividimos [a; b] em n subintervalos de largura �xi e fatiamos o sólido por planos
perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição a = x0 < x1 � � � < xn�1 < xn = b:
Aproximamos a fatia situada entre o plano em xi�1 e o plano em xi por um sólido cilíndrico
com área de base A(xi) e altura �xi = xi � xi�1: O volume Vi desse sólido cilíndrico é
A(xi) ��xi, aproximadamente o mesmo valor da fatia:
Volume da i-ésima fatia � Vi = A(xi) ��xi:
O volume V do sólido inteiro S é, então, aproximado pela soma desses volumes cilíndricos:
V �
nX
i=1
Vi =
nX
i=1
A(xi) ��xi
que é uma soma de Riemann para a função A(x) em [a; b] : Esperamos que as aproximações
dessas somas melhorem à medida que aumentamos o número de fatias, isto é, fazendo n!1:
Assim, teremos
V = lim
n!1
nX
i=1
A(xi) ��xi =
Z b
a
A(x)dx:
33
De…nição 5.2 O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja
área da seção transversal por x é um função integrável A(x) é
V =
Z b
a
A(x)dx:
Exemplo 5.10 Um pirâmide com 3 m de altura tem uma base quadrada com 3 m de lado. A
seção transversal da pirâmide, perpendicular à altura x m abaixo do vértice, é um quadrado
com x m de lado. Determine o volume da pirâmide.
5.2.2 Sólidos de Revolução: O método do disco
Um sólido de revolução é obtido através da rotação de uma região do plano xy
em torno de uma reta chamada eixo de rotação. Para determinar o volume de um
sólido de revolução precisamos observar que a seção transversal é um disco e, portanto,
A(x) = �(raio)2:
Caso 1: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x; de uma região
compreendida entre o eixo x e a curva y = R(x); a � x � b é:
V =
Z b
a
� [R(x)]2 dx
onde R(x)é o raio da seção transversal, que corresponde a distância entre a fronteira da
região bidimensional e o eixo de revolução.
Exemplo 5.11 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida
entre a curva y =
p
x; 0 � x � 4 em torno do eixo x:
Exemplo 5.12 O círculo x2 + y2 = a2 é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera.
Determine seu volume.
Caso 2: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y; de uma região
compreendida entre o eixo y e a curva x = R(y); c � y � d é:
V =
Z d
c
� [R(y)]2 dy
34
onde R(y)é o raio da seção transversal, que corresponde a distância entre a fronteira da
região bidimensional e o eixo de revolução.
Exemplo 5.13 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de…nida pela
curva y = x3 e pelas retas x = 0 e y = 8 em torno do eixo y:
Caso 3: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y = c; de uma
região compreendida entre a reta y = L e a curva y = R(x); a � x � b é:
V =
Z b
a
� [R(x)� L]2 dx:
Caso 4: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = c; de uma
região compreendida entre a reta x = M e a curva x = R(y); c � y � d é:
V =
Z d
c
� [R(y)�M ]2 dy:
Exemplo 5.14 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de…nida pela
curva y =
p
x e pelas retas y = 1 e x = 4 em torno da reta y = 1:
Exemplo 5.15 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de…nida pela
curva x =
1
2
y2 + 1 e pelas retas x = �1; y = �2 e y = 2 em torno da reta x = �1:
5.2.3 Sólidos de Revolução: o método do anel
Se a região que giramos para gerar um sólido não atingir ou cruzar o eixo de revolução,
o sólido resultante terá um orifício no meio. As seções transversais perpendiculares ao eixo
de revolução serão anéis e não discos. As dimensões de um anel típico são
Raio externo: R(x) e Raio interno: r(x):
A área do anel é
A(x) = � [R(x)]2 � � [r(x)]2 = � �[R(x)]2 � [r(x)]2� :
De acordo com a de…nição de volume, temos
V =
Z b
a
�
�
[R(x)]2 � [r(x)]2� dx:
35
Exemplo 5.16 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x; da
região de…nida pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = �x+ 3:
Exemplo 5.17 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x; da
região de…nida pela curva y =
1
4
(13� x2) e pela reta y = 1
2
(x+ 5):
Exemplo 5.18 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y; da
região de…nida pela curva y = x2 e pela reta y = 2x no primeiro quadrante.
5.2.4 Método das cascas cilíndricas
Suponhamos que um sólido S é gerado pela rotação, em torno da reta vertical x = L;
da região D delimitada pelo grá…co de uma função contínua não negativa y = f(x) e o eixo
x ao longo do intervalo fechado …nito [a; b] : Pressupomos a � L; portanto a reta vertical
x = L pode tocar a região, mas não atrvessá-la. O eixo de rotação é perpendicular ao eixo
que contém o intervalo natural de integração.
Seja P uma partição do intervalo [a; b] formada pelos pontos a = x0 < x1 < � � � < xn = b
e seja ci o ponto médio do i-ésimo subintervalo [xi�1; xi] : Aproximamos a região D usando
retângulos com base nessa partição de [a; b] : O i-ésimo retângulo tem altura f(ci) e largura
�xi = xi�xi�1: Girando esse retângulo em torno da reta vertical x = L; geramos uma casca
cilíndrica de volume Vi. Imagine agora que estamos cortando e desenrolando essa casca
cilíndrica para obter um sólido plano retangular (aproximadamente) plano. O volume da
casca cilíndrica é o volume da fatia retangular (aproximadamente) plana, isto é,
largura� altura� espessura
ou seja,
Vi = 2�(ci � L)f(ci)�xi:
Fazemos uma aproximação para o volume do sólido S somando os volumes das cascas
geradas pelos n retângulos com base em P: Assim,
V �
nX
i=1
Vi:
36
O limite dessa soma de Riemann quando n!1 fornece o volume do sólido como uma
integral de…nida:
V = lim
n!1
nX
i=1
Vi = lim
n!1
nX
i=1
2�(ci � L)f(ci)�xi =
Z b
a
2�(x� L)f(x)dx:
Exemplo 5.19 A região compreendida pelo eixo x e pela parábola y = f(x) = 3x� x2 gira
em torno da reta x = �1 para gerar o formato de um sólido. Qual o volume do sólido?
Exemplo 5.20 A região limitada pela curva y =
p
x; pelo eixo x e pela reta x = 4 gira em
torno do eixo x gerando um sólido. Determine o volumedesse sólido usando o método das
cascas cilíndricas.
Exemplo 5.21 A região limitada pelos grá…cos de y =
p
x; y = 1 e x = 4 gira em torno da
reta y = �2 gerando um sólido. Determine o volume desse sólido usando o método.
Exercício 14 Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado
pala rotação da região de…nida pela curva y =
p
x pelo eixo x e pela reta x = 4 em tono do
eixo indicado
a) x = 4 b) y = 2 c) eixo y:
5.3 Comprimento de Curvas Planas
Sabemos o que signi…ca o comprimento de um segmento de reta, mas, sem o recurso do
cálculo diferencial e integral, não temos uma noção precisa do comprimento de uma curva
ondulante. Por exemplo, como um engenheiro de rodovias estima o custo para pavimentar
uma rodovia montanhosa e cheia de curvas com base em seu comprimento total? Para
responder essa pergunta, você precisa saber calcular o comprimento de uma curva.
A ideia de aproximar o comprimento da curva que vai do ponto A ao ponto B
subdividindo-a em várias partes e unindo os sucessivos pontos de divisão com segmentos
de reta remonta à Grécia antiga, quando Arquimedes usou esse método para aproximar o
37
perímetro de uma circunferência. Assim, o perímetro de uma circunferência é de…nido como
o limite dos perímetros dos polígonos regulares nela inscritos inscritos.
O grá…co de uma função y = f(x) num intervalo [a; b] pode ser um segmento de reta ou
uma curva qualquer. Seja C uma curva dada pelo grá…co da função y = f(x) no intervalo
[a; b] : Queremos determinar o comprimento da curva C:
Se o grá…co de y = f(x) no intervalo [a; b] é um segmento de reta, então, pelo Teorema
de Pitágoras, o comprimento L do segmento AB; onde A(a; f(a)) e B(b; f(b)) é:
L =
p
(b� a)2 + (f(b)� f(c))2 = d(A;B):
Suponhamos agora que o grá…co de y = f(x) no intervalo [a; b] é uma curva qualquer.
Seja C uma curva de equação y = f(x); onde f é contínua e derivável em [a; b] : Vamos
determinar o comprimento da curva C:
Seja P uma partição de [a; b] dada por
a = x0 < x1 < � � � < xn = b:
Sejam Q0; Q1; : : : ; Qn os correspondentes pontos sobre a curva C: Unindo os pontos
Q0; Q1; : : : ; Qn; obtemos uma poligonal cujo comprimento nos dá uma aproximação do
comprimento L da curva C; de A até B: Assim,
L � d(Q0; Q1) + d(Q1; Q2) + � � �+ d(Qn�1; Qn) =
nX
i=1
d(Qi�1; Qi):
Mas,
d(Qi�1; Qi) =
p
(xi � xi�1)2 + (f(xi)� f(xi�1))2 (5.1)
e como f é derivável em [a:b] podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em cada subintervalo
[xi�1; xi] ; i = 1; : : : ; n e escrever:
f(xi)� f(xi�1) = f 0(ci)(xi � xi�1) (5.2)
38
para algum ci 2 (xi�1; xi): Fazendo �xi = xi � xi�1 e substituindo (5.2) em (5.1), obtemos
d(Qi�1; Qi) =
q
(�xi)2 + [f 0(ci)�xi]
2
=
q
(�xi)2(1 + [f 0(ci)]
2)
=
q
1 + [f 0(ci)]
2 ��xi
Assim,
L �
nX
i=1
q
1 + [f 0(ci)]
2 ��xi (5.3)
que é uma soma de Riemann da função g(x) =
q
1 + [f 0(x)]2 no intervalo [a; b] : Fazendo
n!1, temos que cada�xi; i = 1; : : : ; n torna-se muito pequeno e a soma (5.3) se aproxima
do que entendemos ser o comprimento da curva C; de A até B: Desta forma,
L = lim
n!1
nX
i=1
q
1 + [f 0(ci)]
2 ��xi (5.4)
desde que o limite exista.
Se f 0(x) é contínua em [a; b] ; então g(x) =
q
1 + [f 0(x)]2 é contínua em [a; b] e portanto
o limite (5.4) existe e
L =
Z b
a
q
1 + [f 0(x)]2dx: (5.5)
Observação 5.1 Se a curva tem equação x = f(y) no intervalo [c; d] em vez de y = f(x);
então seu comprimento é dado por
L =
Z d
c
q
1 + [f 0(y)]2dy:
Exemplo 5.22 Calcule o comprimento da curva dada por y = x2=3 � 1 entre os pontos
A(8; 3) e B(27; 8):
Exemplo 5.23 Calcule o comprimento da curva dada por x =
1
2
y3 +
1
6y
� 1; 1 � y � 3:
Exemplo 5.24 Determine o comprimento da curva y =
�x
2
�2=3
de x = 0 a x = 2:
39
5.3.1 Comprimento de uma curva dada por suas equações
paramétricas
Sejam 8<: x = x(t)y = y(t) (5.6)
duas funções da mesma variável real t; t 2 [a; b] : Então, a cada valor de t correspondem dois
valores x e y: Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P; podemos dizer
que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado no palno xy: Se as funções
x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b; o ponto P (x(t); y(t)) descreve
uma curva C no plano. As equações (5.6) são chamadas equações paramétricas da curva C
e t é chamado parâmetro.
Talvez ajude imaginar a curva como a trajetória de uma partícula que parte do ponto
A = (x(a); y(a)); no instante t = a; e se dirige ao ponto B = (x(b); y(b)):
Muitas curvas importantes costumam ser representadas na forma paramétrica. Em
geral, as equações paramétricas são úteis porque, em diversas situações, elas simpli…cam os
cálculos.
Se a função x = x(t) admite uma inversa t = t(x); então as equações paramétricas (5.6)
de…nem uma função de x que podemos representar pela composta y = y(t(x)):
Exemplo 5.25 As equações
8<: x = 2t+ 1y = 4t+ 3 de…nem uma função y(x) na forma
paramétrica.
Exemplo 5.26 As equações paramétricas de uma reta são:
8<: x = x0 + aty = y0 + bt ; t 2 R e
a; b 2 R:
Exemplo 5.27 As equações
8<: x = a cos ty = a sin t ; t 2 [0; 2�] ; onde a é uma constante positiva,
representam uma circunferência de centro na origem e raio a:
40
Exemplo 5.28 As equações
8<: x = a cos ty = b sin t ; t 2 [0; 2�] ; onde a e b são constantes
positivas, representam uma elipse de centro na origem e semi-eixos a e b:
Derivada de uma função na forma paramétrica: Seja y uma função de x de…nida
pelas equações paramétrica 8<: x = x(t)y = y(t) ; t 2 [a; b] : (5.7)
Suponhamos que as funções y = y(t); x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis. Podemos
ver a função y = y(x); de…nida pelas equações (5.7) como uma função composta y = y(t(x)):
Aplicando a regra da cadeia, temos:
dy
dx
= y0(t(x)) � t0(x): (5.8)
Como x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis, então pelo Teorema da Função
Inversa,
t0(x) =
1
x0(t(x))
=
1
x0(t)
: (5.9)
Substituindo (5.9) em (5.8), obtemos
dy
dx
=
y0(t)
x0(t)
:
Exemplo 5.29 Calcular a derivada da função y(x) de…nida pelas equações paramétricas8<: x = 2t+ 1y = 4t+ 3 :
Vamos, agora, calcular o comprimento L de uma curva C; dada na forma paramétrica,
pelas equações 8<: x = x(t)y = y(t) ; t 2 [t0; t1]
onde x = x(t) e y = y(t) são funções contínuas com derivadas contínuas e x0(t) 6= 0 para todo
t 2 [t0; t1] : Tais funções são chamadas continuamente deriváveis, e a curva C de…nida
por elas de curva lisa.
41
Se y = y(x) é a equação cartesiana da curva C; então já vimos que
L =
Z b
a
s
1 +
�
dy
dx
�2
dx; x(t0) = a e x(t1) = b: (5.10)
Fazendo a mudança de variável x = x(t); dx = x0(t)dt e usando que
dy
dx
=
y0(t)
x0(t)
em (5.10),
obtemos
L =
Z b
a
s
1 +
�
dy
dx
�2
dx
=
Z t1
t0
s
1 +
�
y0(t)
x0(t)
�2
x0(t)dt
onde x(t0) = a e y(t1) = b: Portanto,
L =
Z t1
t0
q
[x0(t)]2 + [y0(t)]2dt:
Exemplo 5.30 Calcule o comprimento da circunferência
8<: x = cos ty = sin t ; t 2 [0; 2�] :
Exemplo 5.31 Calcular o comprimento da hipociclóide (ou astóide)
8<: x = 2 cos3 ty = 2 sin3 t ;
t 2 [0; 2�] :
5.4 Área de uma região no plano (Forma Paramétrica)
Caso 1: Seja R uma região do plano limitada pelo grá…co de f; pelas retas x = a;
x = b e o eixo x; onde y = f(x) é contínua, f(x) � 0 8x 2 [a; b] é dada por
8<: x = x (t)y = y (t) ;
t 2 [t0; t1] ; com x(t0) = a e x(t1) = b: Se x = x(t) tem inversa t = t(x); então podemos
escrever y = y(t(x)): Neste caso, a área da região R é
A =
Z b
a
f(x)dx =
Z b
a
y(t(x))dx:
42
Fazendo a substituição x = x(t), dx = x0(t)dt; obtemos
A =
Z t1
t0
y(t)x0(t)dt:
Exemplo 5.32 Calcular a área da região limitada pelaelipse
8<: x = 2 cos ty = 3 sin t ; t 2 [0; 2�] :
Caso 2: Seja R uma região do plano limitada pelos grá…cos de f e g; pelas retas x = a
e x = b; onde f e g são funções contínuas em [a; b] ; com f(x) � g(x); 8x 2 [a; b] ; dadas na
forma paramétrica:
y1 = f(x) é dada por
8<: x1 = x1 (t)y1 = y1 (t) ; t 2 [t0; t1]
y2 = g(x) é dada por
8<: x2 = x2 (t)y2 = y2 (t) ; t 2 [t2; t3]
onde x1(t0) = x2(t2) = a e x1(t1) = x2(t3) = b:
Neste caso, a área da região R é
A =
Z b
a
[f(x)� g(x)] dx
=
Z b
a
f(x)dx�
Z b
a
g(x)dx
=
Z t1
t0
y1(t)x
0
1(t)dt�
Z t3
t2
y2(t)x
0
2(t)dt:
Exemplo 5.33 Calcular a área entre as elipses
8<: x = 2 cos ty = 4 sin t ; e
8<: x = 2 cos ty = sin t ;
t 2 [0; 2�] :
43
Capítulo 6
Integrais Impróprias
6.1 Integrais com Limites de Integração In…nitos
De…nição 6.1 Seja f uma função contínua em [a;+1) : De…ne-se:Z +1
a
f(x)dx = lim
b!+1
Z b
a
f(x)dx:
Se o limite existe, dizemos que a integral imprópria
R +1
a
f(x)dx converge e o limite é o
valor da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.
Exemplo 6.1 A integral imprópria
R +1
1
1
x2
dx converge ou diverge?
De…nição 6.2 Seja f uma função contúnua no intervalo (�1; b] : De…ne-se:Z b
�1
f(x)dx = lim
a!�1
Z b
a
f(x)dx:
Se o limite existe, dizemos que a integral imprópria
R b
�1 f(x)dx converge e o limite é o valor
da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.
Exemplo 6.2 A integral imprópria
R 0
�1 e
xdx converge ou diverge?
De…nição 6.3 Seja f contínua no intervalo (�1;+1) : De…ne-se:Z +1
�1
f(x)dx =
Z c
�1
f(x)dx+
Z +1
c
f(x)dx:
44
onde c é qualquer número real. Se cada integral imprópria
R c
�1 f(x)dx e
R +1
c
f(x)dx
converge, dizemos que a integral imprópria
R +1
�1 f(x)dx converge. Se qualquer uma delas
divergir, a integral imprópria
R +1
�1 f(x)dx diverge.
Exemplo 6.3 A integral imprópria
R +1
�1
dx
1 + x2
converge ou diverge?
Exemplo 6.4 A integral imprópria
R +1
1
1
x
dx converge ou diverge?
6.2 Integrais Impróprias com Integrandos In…nitos
De…nição 6.4 Se f é contínua em [a; b) e lim
x!b�
f(x) = �1; de…ne-se:
Z b
a
f(x)dx = lim
t!b�
Z t
a
f(x)dx:
Se o limite existe, dizemos que a integral imprópria
R b
a
f(x)dx converge e o limite é o valor
da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.
Exemplo 6.5 A integral imprópria
R 1
0
1p
1� xdx converge ou diverge?
De…nição 6.5 Se f é contínua em (a; b] e lim
x!a+
f(x) = �1; de…ne-se:
Z b
a
f(x)dx = lim
t!a+
Z b
t
f(x)dx:
Se o limite existe, dizemos que a integral imprópria
R b
a
f(x)dx converge e o limite é o valor
da integral imprópria. Caso contrário, a integral imprópria diverge.
Exemplo 6.6 A integral imprópria
R 1
0
1p
x
dx converge ou diverge?
Exemplo 6.7 A integral imprópria
R 1
0
1
x2
dx converge ou diverge?
45
De…nição 6.6 Se f é contínua em [a; b] ; exceto no ponto c; a < c < b e tem limites laterais
in…nitos em c; de…ne-se: Z b
a
f(x)dx =
Z c
a
f(x)dx+
Z b
c
f(x)dx:
Se cada integral imprópria
R c
a
f(x)dx e
R b
c
f(x)dx converge, dizemos que a integral imprópriaR b
a
f(x)dx converge. Se qualquer uma delas divergir, a integral imprópria
R b
a
f(x)dx diverge.
Exemplo 6.8 A integral imprópria
R 4
1
dx
(x� 2)2=3 converge ou diverge?
Exemplo 6.9 A integral imprópria
R +1
0
1p
x
dx converge ou diverge?
Exemplo 6.10 Para quais valores de p a integral imprópria
R +1
1
dx
xp
converge e para quais
valores de p ela diverge.
46
Capítulo 7
Formas Indeterminadas e a Regra de
L’Hôpital
(Regra de L’Hôpital) Sejam f e g funções deriváveis em um intevalo aberto I contendo
c e tal que g0(x) 6= 0 em I se x 6= c: Se f(c) = g(c) = 0; isto é, se f(x)
g(x)
tem a forma
indeterminada
0
0
em x = c; então
lim
x!c
f(x)
g(x)
= lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
desde que o limite lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
exista ou lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
= �1:
Exemplo 7.1 Calcule os limites
(a) lim
x!0
sinx
x
(b) lim
x!�2
2x2 + 3x� 2
3x2 � x� 14 (c) limx!0
ex + e�x � 2
1� cos(2x) :
A regra de L’Hôpital também aplica-se à forma indeterminada
1
1 : Se f(x) ! �1 e
g(x)! �1 quando x! c; então
lim
x!c
f(x)
g(x)
= lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
desde que o limite lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
exista ou lim
x!c
f 0(x)
g0(x)
= �1: Na notação x! c; o c pode ser …nito
ou in…nito e, além disso, x! c pode ser substituído pelos limites laterais x! c+ ou x! c�:
47
Exemplo 7.2 Calcule os limites
(a) lim
x!+1
lnx
x2
(b) lim
x!+1
ex
x2
:
As Formas Indeterminadas 0 � 1 e 1�1
Podemos, às vezes, lidar com as formas indeterminadas 0 � 1 e 1 �1. Neste caso,
usamos a álgebra para convertê-las nas forma
0
0
ou
1
1 :
Exemplo 7.3 Calcular os limites
(a) lim
x!+1
x2(e1=x � 1) (b) lim
x!0+
x lnx (c) lim
x!0+
�
csc x� 1
x
�
:
Potências Indeterminadas 00;10, 11
Se f(x) = [g(x)]h(x) tem uma das formas indeterminadas 00;10, 11 em x = c aplicamos
o lagaritmo natural, isto é, ln f(x) = ln [g(x)]h(x) ; e usamos a Regra de L’Hôpital para
encontrar o limite lim
x!c
ln f(x): Calculando a exponencial do valor encontrado, obtemos o
limite da função original. Esse procedimento é justi…cado pela continuidade da função
exponencial.
Se lim
x!c
ln f(x) = L; então lim
x!c
f(x) = lim
x!c
eln f(x) = e
lim
x!c ln f(x) = eL:
Aqui c pode ser …nito ou in…nito.
Exemplo 7.4 Calcule os limites
(a) lim
x!0+
x1= lnx (b) lim
x!+1
x1=x (c) lim
x!0+
(1 + 3x)1=2x:
48
Capítulo 8
Sequências e Séries de Números Reais
8.1 Sequências de Números Reais
De…nição 8.1 Uma sequência de números reais é uma função
f : N ! R
n 7! f(n) = an
; n � 1:
Notação: (an)n2N ou (a1; a2; a3; : : : ; an; : : :) ou simplesmente (an): an é dito o termo geral
da sequência.
Exemplo 8.1 (n)n2N ou (1; 2; 3; 4; : : : ; n; : : :)
Exemplo 8.2
�
1
n
�
n2N
ou
�
1;
1
2
;
1
3
; : : : ;
1
n
; : : :
�
Exemplo 8.3
�
1
2n�1
�
n2N
ou
�
1;
1
2
;
1
22
; : : : ;
1
2n�1
; : : :
�
Exemplo 8.4 ((�1)n)n2N ou (�1; 1;�1; 1; : : : ; (�1)n; : : :)
Exemplo 8.5 (2)n2N ou (2; 2; 2; : : : ; 2; : : :)
Exemplo 8.6
�
1; 2;
1
3
; 2;
1
5
; : : :
�
ou
8<: 2; se n é par1
n
; se n é ímpar
:
49
De…nição 8.2 A sequência (an) converge para o número L se, para cada número positivo
�; existe um inteiro positivo N (possivelmente dependendo de �) tal que
n > N ) jan � Lj < �:
Se (an) converge para L; escrevemos
lim
n!+1
an = L ou n! L
e chamamos L de limite da sequência.
Se esse número L não existe, dizemos que (an) diverge.
Exemplo 8.7 Mostre que lim
n!+1
1
n
= 0:
Exemplo 8.8 As sequências (n)n2N e (
p
n)n2N divergem, pois conforme n aumenta, os
seus termos …cam maiores que qualquer número prede…nido. Descrevemos o comportamento
dessas sequências da seguinte maneira:
lim
n!1
n =1 e lim
n!1
p
n =1
8.1.1 Subsequências
Seja (an) uma sequência de números reais e considere o subconjunto in…nito de N :
fn1 < n2 < n3 < � � � < nk < nk+1 < � � � g :
A nova sequência bk = f(nk) = ank é dita uma subsequência de (an):
Exemplo 8.9 Considere a sequência
((�1)n)n2N ou (�1; 1;�1; 1; : : : ; (�1)n; : : :) :
Temos que �
(�1)2n�
n2N = (1)n2N = (1; 1; 1; 1; : : :) e�
(�1)2n�1�
n2N = (�1)n2N = (�1;�1;�1; : : :)
são subsequências de ((�1)n)n2N :
50
Teorema 8.1 Se an ! a então toda subsequência (ank) de (an) também converge para a:
Observação 8.1 "Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para limites
distintos entãoa sequência não converge."
Exemplo 8.10 ((�1)n)n2N não converge, pois (�1)2n ! 1 e (�1)2n�1 ! �1:
Exemplo 8.11
�
1; 2;
1
3
; 2;
1
5
; : : :
�
não converge, pois as subsequências (2; 2; 2; : : :) e
(1;
1
3
;
1
5
; : : : ;
1
2n� 1 ; : : :) convergem para limites diferentes.
8.1.2 Sequências Monótonas
Uma sequência (an) é dita crescente se
a1 � a2 � a3 � a4 � � � � � an � � � �
e é dita decrescente se
a1 � a2 � a3 � a4 � � � � � an � � � �
Quando a1 < a2 < a3 < a4 < � � � < an < � � � ; (an) é dita estritamente crescente e no
caso em que
a1 > a2 > a3 > a4 > � � � > an > � � �
(an) é dita estritamente decrescente.
Uma sequência (an) que é crescente ou decrescente é dita monótona.
Exemplo 8.12
�
1
n
�
n2N
é estritamente decrescente.
Exemplo 8.13 (n)n2N é estritamente crescente .
Exemplo 8.14 A sequência (1; 2; 2; 3; 3; : : :) é crescente:
Exemplo 8.15 A sequência
�
1;
1
2
;
1
2
;
1
3
;
1
3
; : : :
�
é decrescente.
51
8.1.3 Sequências Limitadas
Uma sequência (an) é dita limitada quando existe um número C � 0 tal que
janj � C; 8n 2 N:
Exemplo 8.16 ((�1)n)n2N é limitada, pois j(�1)nj � 1;8n 2 N:
Exemplo 8.17 (sin(n))n2N é limitada, pois jsin(n)j � 1;8n 2 N:
Exemplo 8.18 A sequência (n)n2N = (1; 2; 3; 4; : : : ; n; : : :) é limitada inferiormente por 1,
mas não tem limite superior. Logo, não é limitada.
Observação 8.2 "Toda sequência convergente é limitada, no entanto uma sequência
limitada pode não ser convergente."Por exemplo, a sequência ((�1)n)n2N é limitada mas
não é convergente.
Teorema 8.2 Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Exemplo 8.19 Aplique o Teorema anterior para mostrar que a sequência
�
n
n+ 1
�
n2N
é
convergente.
Teorema 8.3 (Teorema da Função Contínua para Sequências) Seja (an) uma sequência de
números reais. Se an ! L e se f for uma função contínua e de…nida para todo an; então
f(an)! f(L):
Exemplo 8.20 Mostre que
r
n
n+ 1
! 1:
8.1.4 Propriedades dos Limites de Sequências
Sejam (an) e (bn) sequências de números reais.
1. lim
n!1
(an + bn) = lim
n!1
an + lim
n!1
bn:
2. lim
n!1
(an � bn) = lim
n!1
an � lim
n!1
bn:
52
3. lim
n!1
an
bn
=
lim
n!1
an
lim
n!1
bn
; se lim
n!1
bn 6= 0:
4. lim
n!1
k = k e lim
n!1
(kan) = k lim
n!1
an (para qualquer número k).
5. lim
n!1
janj =
��� lim
n!1
an
��� ; isto é, se an ! a então janj ! jaj :
6. Se an � bn; então lim
n!1
an � lim
n!1
bn:
7. Se an � bn � cn e lim
n!1
an = lim
n!1
cn = L, então lim
n!1
bn = L:
8. Se an � 0 então lim
n!1
p
an =
q
lim
n!1
an:
Exemplo 8.21 Determinar o limite das sequências.
a)
�
2n2 + 1
n2 + n
�
n2N
b)
�p
n+ 1�pn
�
n2N
c)
�
1
n
sin(n)
�
n2N
d)
�
n
n+ 1
�
n2N
Observação 8.3 Todo múltiplo não nulo de uma sequência divergente (an) também diverge.
O Teorema a seguir nos permite aplicar a regra de L’Hôpital para encontrar o limite de
algumas sequências.
Teorema 8.4 Seja f(x) uma função de…nida para todo x � n0 e tal que lim
x!+1
f(x) = L:
Então a sequência (an) onde an = f(n) para n � n0 é convergente e seu limite é L: Se
lim
x!+1
f(x) =1; então a sequência (an) é divergente.
Exemplo 8.22 Determine o limite das sequências.
a)
� n
en
�
n2N
b)
�
ln(n)
n
�
n2N
:
8.1.5 Limites Especiais
1. lim
n!1
�
1 +
1
n
�n
= e
2. lim
n!1
xn = 0 se jxj < 1:
53
3. lim
n!1
x1=n = 1 se x > 0:
4. lim
xn
n!
= 0;8x
5. lim n
p
n = 1:
Exemplo 8.23 Determine o limite das sequências..
a)
�
2n
3n+1
�
n2N
b)
�
n
p
n2
�
n2N
b)
�
1 +
1
3n
�n
:
8.2 Série de Números Reais
Algumas vezes uma soma in…nita de termos resulta em um número, como em
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ � � �
onde cada parcela representa a área de um retângulo obtido dividindo in…nitamente o
quadrado unitário ao meio.
Para atribuirmos signi…cado a essa expressão, consideremos a sequência (Sn) de somas
parciais:
S1 =
1
2
= 0; 5
S2 =
1
2
+
1
4
=
3
4
= 0; 75
S3 =
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
= 0; 875
S4 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
=
15
16
= 0; 9375
...
Assim a sequência de somas parciais (Sn) pode ser escrita da seguinte forma:
(0; 5; 0; 75; 0; 875; 0; 9375; � � � )
54
O que acontece quando fazemos lim
n!1
(Sn)? Esse limite é 1; ou seja, Sn ! 1; neste caso,
dizemos que 1 é a soma da série in…nita, isto é
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ � � � = 1
Outras vezes é impossível chegar ao resultado de uma soma in…nita, como em
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + � � �
De…nição 8.3 Uma série de números reais é uma soma in…nita da forma:
a1 + a2 + a3 + � � �+ an + � � � =
1X
n=1
an;
onde an 2 R é chamado n-ésimo termo da série.
Exemplo 8.24
a) 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+ � � �+ 1
2n�1
+ � � �
b) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ � � �+ 1
n
+ � � �
c) � 1 + 1� 1 + 1� � � �
De…nição 8.4 A sequência (Sn) das somas parciais da série
1X
n=1
an é de…nida por
S1 = a1
S2 = a1 + a2
...
Sn = a1 + a2 + � � �+ an
...
Se a sequência das somas parciais convergir para um limite S; dizemos que a série converge
e que sua soma é S: Neste caso, escrevemos
a1 + a2 + a3 + � � �+ an + � � � =
1X
n=1
an = S = lim
n!1
Sn:
Se a sequência das somas parciais da série não converge, dizemos que a série diverge.
55
Exemplo 8.25 Considere a série
1X
n=1
1
2n�1
:
a) Encontre S1; S2; S3; S4 b) Encontre Sn c) Mostre que a série converge.
De um modo geral, a série
1X
n=1
aqn�1 = a+ aq + aq2 + � � �+ aqn�1 + � � �
a qual é chamada Série Geométrica converge se jqj < 1 e sua soma é a
1� q :
Exemplo 8.26 Considere a série
1X
n=1
(�1)n:
a) Encontre S1; S2; S3; S4 b) Encontre Sn c) Mostre que a série diverge.
8.2.1 Operações com Séries Convergentes
Se
1X
n=1
an e
1X
n=1
bn são séries convergentes e c 2 R; então:
1.
1X
n=1
(an + bn) converge e
1X
n=1
(an + bn) =
1X
n=1
an+
1X
n=1
bn:
2.
1X
n=1
can converge e
1X
n=1
can = c
1X
n=1
an:
Observação 8.4 Se
1X
n=1
an diverge e c 2 R; c 6= 0 então
1X
n=1
can também diverge.
Observação 8.5 Se
1X
n=1
an converge e
1X
n=1
bn diverge, então
1X
n=1
(an + bn) diverge.
Teorema 8.5 Se
1X
n=1
an converge, então lim
n!1
an = 0: Ou equivalentemente, se lim
n!1
an 6= 0
então
1X
n=1
an diverge.
56
Exemplo 8.27 Aplique o Teorema anterior para mostrar que a série
1X
n=1
n
2n+ 1
diverge.
Se lim
n!1
(an) = 0; então é necessário uma investigação adicional para determinar se a
série
1X
n=1
an é convergente ou divergente.
8.2.2 Testes da Integral
Seja f(x) uma função contínua, positiva e decrescente para todo x � 1: Se (an) é uma
sequência de…nida por an = f(n); então
1X
n=1
an converge ,
Z +1
1
f(x)dx converge.
Exemplo 8.28 A p-série
1X
n=1
1
np
=
1
1p
+
1
2p
+
1
3p
+ � � �+ 1
np
+ � � �
onde n 2 R; converge se p > 1 e diverge se p � 1: Note que, se p = 1 temos
1X
n=1
1
n
que é chamada série harmônica.
Exemplo 8.29 Vamos mostrar que a série
1X
n=1
1
n
p
n
converge.
8.2.3 Teste da Comparação
Sejam
1X
n=1
an e
1X
n=1
bn séries de termos posivivos.
(i) Se
1X
n=1
bn converge e an � bn para todo inteiro positivo n; então
1X
n=1
an converge.
(ii) Se
1X
n=1
an diverge e an � bn para todo inteiro positivo n; então
1X
n=1
bn diverge.
Exemplo 8.30 Vamos determinar a convergência ou divergência das séries a seguir:a)
1X
n=1
1
2 + 5n
b)
1X
n=1
3p
n� 1 c)
1X
n=1
1
n2n�1
57
8.2.4 Teste da Razão
Seja
1X
n=1
an uma série de termos positivos e suponhamos que
lim
n!1
�
an+1
an
�
= L
(i) Se L < 1; a série é convergente.
(ii) Se L > 1; ou lim
n!1
�
an+1
an
�
=1; a série é divergente.
(iii) Se L = 1; nada se pode a…rmar; deve então aplicar outro teste.
Exemplo 8.31 Vamos determinar se a série é convergente ou divergente.
(a)
1X
n=1
3n
n!
(b)
1X
n=1
3n
n2
(c)
1X
n=1
nn
n!
8.2.5 Teste da Raiz
Seja
1X
n=1
an uma série de termos positivos e suponhamos que
lim
n!1
n
p
an = L
(i) Se L < 1; a série é convergente.
(ii) Se L > 1; ou lim
n!1
n
p
an =1; a série é divergente.
(iii) Se L = 1; nada se pode a…rmar; deve então aplicar outro teste, pois a série pode
ser convergente ou divergente.
Exemplo 8.32 Vamos determinar se a série é convergente ou divergente.
a)
1X
n=1
23n+1
nn
b)
1X
n=1
(lnn)n
nn=2
:
8.2.6 Séries Alternadas
Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma série
alternada. Isto é, é uma série de um dos tipos:
1X
n=1
(�1)n � an ou
1X
n=1
(�1)n+1 � an
onde an > 0; 8n 2 N:
58
Exemplo 8.33
1X
n=1
(�1)n+1 1
n
= 1� 1
2
+
1
3
� 1
4
+
1
5
� � � �+ (�1)n+1 1
n
+ � � �
Exemplo 8.34
1X
n=1
(�1)n+1 1p
n
= 1� 1p
2
+
1p
3
� 1p
4
+
1p
5
� � � �+ (�1)n+1 1p
n
+ � � �
8.2.7 Teste de Leibniz
A série
1X
n=1
(�1)n+1 � an converge se a sequência (an) é decrescente, de termos positivos
e lim
n!+1
an = 0:
Exemplo 8.35 Vamos mostrar que a série harmônica alternada é convergente.
1X
n=1
(�1)n+1 1
n
= 1� 1
2
+
1
3
� 1
4
+ � � �
Exemplo 8.36 Vamos mostrar que a série
1X
n=1
(�1)n+1 1p
n
converge.
8.2.8 Convergência Absoluta
Uma série
1X
n=1
an converge absolutamente se a série
1X
n=1
janj = ja1j + ja2j + ja3j + � � � +
janj+ � � � é convergente.
Note que se
1X
n=1
an é uma série de termos positivos, então janj = an, e neste caso
convergência absoluta e convergência coincidem.
Exemplo 8.37 Prove que a série
1X
n=1
(�1)n+1 1
2n�1
converge absolutamente.
Teorema 8.6 Toda série absolutamente convergente é convergente. Isto é, se
1X
n=1
janj
converge então
1X
n=1
an converge.
Observação 8.6 A recíproca do Teorema anterior não é verdadeira.
Exemplo 8.38 A série harmônica alternada
1X
n=1
(�1)n+1 1
n
é convergente, mas não é
absolutamente convergente.
59
8.3 Séries de Potências
De…nição 8.5 Uma série de potências é uma soma in…nita da forma:
1X
n=0
an(x� c)n = a0 + a1(x� c) + a2(x� c)2 + � � �+ an(x� c)n + � � �
O número c é chamado centro da série. Quando c = 0 temos a série
1X
n=0
anx
n = a0 + a1x+ a2x
2 + � � �+ anxn + � � �
a qual generaliza a idéia de um polinômio em x:
Exemplo 8.39 (Séries de Potências):
1.
1P
n=0
xn 2.
1P
n=1
xn
n
3:
1P
n=1
xn
n2
4:
1P
n=0
xn
n!
5:
1P
n=1
(x� 1)n
n2n
6:
1P
n=0
n!xn
Observação 8.7 Quando x = c a série
1P
n=0
an(x� c)n converge e sua soma é a0:
De…nição 8.6 O conjunto I de todos os números x para os quais uma série de potências
converge é chamado de intervalo de convergência. Para qualquer série de potências
1P
n=0
an(x� c)n , o intervalo de convergência I sempre tem uma das seguintes formas:
(i) I é um intervalo limitado com centro c, isto é, (c� r; c+ r); onde r é um número real
positivo chamado raio de convergência da série de potências. Em x = c� r e/ou x = c + r
pode ocorrer convergência ou divergência, dependendo da natureza da série.
(ii) I consiste de um único número c: (r = 0)
(iii) I = (�1;1): (r =1)
Exemplo 8.40 Encontre o intervalo de convergência das séries a seguir:
1.
1P
n=0
xn Intervalo de Convergência: �1 < x < 1
2.
1P
n=1
xn
n
Intervalo de Convergência: �1 � x < 1
60
3.
1P
n=1
xn
n2
Intervalo de Convergência: �1 � x � 1
4.
1P
n=0
xn
n!
Intervalo de Convergência: �1 < x <1
5.
1P
n=1
(x� 1)n
n2n
Intervalo de Convergência: �1 � x < 3
6.
1P
n=0
n!xn Só converge quando x = 0
7.
1P
n=1
(�1)n�1x
n
n
Intervalo de Convergência: �1 < x � 1:
8.3.1 Propridades das Séries de Potências
Dizemos que uma função real f(x) é desenvolvível em série de potências se existem
constantes reais a0; a1; a2; � � � ; an; � � � tais que
f(x) =
1X
n=0
an(x� c)n:
O domínio de f é o intervalo de convergência da série de potências.
Exemplo 8.41 A função f(x) =
1
1� x é desenvolvível em série de potências no intervalo
aberto (�1; 1); uma vez que 1
1� x =
1P
n=0
xn; se �1 < x < 1:
As somas parciais de
1P
n=0
an(x� c)n são polinômios da forma
Sn = a0 + a1(x� c) + a2(x� c)2 + � � �+ an(x� c)n
e portanto são contínuas, deriváveis e integráveis em algum intervalo [c� s; c+ s] ; com
0 < s < r; onde r é o raio de convergência da série.
Se
1P
n=0
an(x� c)n converge no intervalo (c� r; c+ r) e f : (c� r; c+ r)! R é a função
dada por f(x) =
1P
n=0
an(x� c)n; estabeleceremos as seguintes propriedades:
61
(i) f é contínua.
(ii) f é derivável e f 0(x) =
1P
n=1
nan(x� c)n�1:
(iii) Para cada x 2 (c� r; c+ r) existe R x
c
f(t)dt eZ x
c
f(t)dt =
1X
n=0
an
(x� c)n+1
n+ 1
:
Podemos usar as propriedades acima para obter novos desenvolvimenos de funções em
séries de potências, a partir de representações já conhecidas. Por exemplo, vimos que se
jxj < 1; então
1
1� x = 1 + x+ x
2 + x3 + � � �+ xn + � � � =
1X
n=0
xn
Substituindo x por �t (na verdade estamos tomando compostas de funções contínuas);
obtém-se:
1
1 + t
= 1� t+ t2 � t3 + t4 � � � � =
1X
n=0
(�1)ntn; se jtj < 1 (8.1)
e agora, substitundo t por t2; tem-se
1
1 + t2
= 1� t2 + t4 � t6 + t8 � � � � =
1X
n=0
(�1)nt2n; se jtj < 1 (8.2)
Integrando (8.1) de 0 até x , temos
ln(1 + x) =
Z x
0
1
1 + t
dt = x� x
2
2
+
x3
3
� x
4
4
+ � � � se jxj < 1
ou seja, ln(1 + x) =
1P
n=0
(�1)n x
n+1
n+ 1
se jxj < 1: Além disso, quando x = 1 pode-se provar
que a série
1P
n=0
(�1)n 1
n+ 1
converge pelo Teste de Leibniz. Assim,
ln(1 + x) =
1X
n=0
(�1)n+1 x
n+1
n+ 1
se � 1 < x � 1
e temos:
ln 2 = 1� 1
2
+
1
3
� 1
4
+ � � � =
1X
n=0
(�1)n 1
n+ 1
:
62
Por outro lado, integrando (8.2) de 0 até x; temos
arctgx =
Z x
0
1
1 + t2
dt = x� x
3
3
+
x5
5
� x
7
7
+ � � � se jxj < 1
ou ainda, arctgx =
1P
n=0
(�1)n x
2n+1
2n+ 1
se jxj < 1: Usando o Teste de Leibniz, pode-se provar
que a série
1P
n=0
(�1)n 1
2n+ 1
converge. Portanto,
arctgx =
1X
n=0
(�1)n x
2n+1
2n+ 1
se � 1 < x � 1:
Desta forma, tem sentido calcular
�
4
= arctg(1) = 1� 1
3
+
1
5
� 1
7
+ � � � =
1X
n=0
(�1)n 1
2n+ 1
:
8.3.2 Séries de Taylor e de Maclaurin
Quando uma função f(x) é desenvolvível em série de potências, isto é,
f(x) =
1X
n=0
an(x� c)n; x 2 (c� r; c+ r)
então pela propriedade (ii), temos:
f 0(x) =
1P
n=1
nan(x� c)n�1; x 2 (c� r; c+ r)
f
00
(x) =
1P
n=2
n(n� 1)an(x� c)n�2; x 2 (c� r; c+ r)
f
000
(x) =
1P
n=3
n(n� 1)(n� 2)an(x� c)n�3; x 2 (c� r; c+ r)
...
...
de tal modo que: f(c) = a0; f 0(c) = 1 � a1; f 00(c) = 2 � 1 � a2; f 000(c) = 3 � 2 � 1 � a3; : : : ;
f (n)(c) = n(n� 1)(n� 2) � � � � � 2 � 1 � an = n!an; : : :
Logo,
an =
f (n)(c)
n!
; 8n 2 N:
63
Concluímos que, quando f é desenvolvível em série de potências em um intervalo
(c� r; c+ r); f é in…nitamente derivável em (c� r; c+ r) e
f(x) =
1X
n=0
f (n)(c)
n!
(x� c)n; x 2 (c� r; c+ r):(8.3)
O desenvolvimento (8.3) é chamado desenvolvimento de Taylor de f e a série
1X
n=0
f (n)(c)
n!
(x� c)n
é chamada série de Taylor de f em c:
Em particular, se c = 0 em (3) temos
f(x) =
1X
n=0
f (n)(0)
n!
(x)n
que é chamado desenvolvimento de Maclaurin e a série
1P
n=0
f (n)(0)
n!
(x)n é chamada série de
Maclaurin de f .
As somas parciais da Série de Taylor são chamadas polinômios de Taylor de f em c:
Assim, o polinômio de grau n de Taylor de f em c é:
Pn(x) = f(c) + f
0(c)(x� c) + f
00(c)
2!
(x� c)2 + � � �+ f
(n)(c)
n!
(x� c)n:
Exemplo 8.42 Encontre a série de Taylor e os polinômios de Taylor de f(x) = ex em c = 0:
Teorema 8.7 (Teorema de Taylor) Se f possui derivada até a ordem n+1 em um intervalo
aberto I contendo c; então para cada x 2 I existe um número z entre x e c tal que
f(x) = f(c) + f 0(c)(x� c) + f
00(c)
2!
(x� c)2 + � � �+ f
(n)(c)
n!
(x� c)n +Rn(x)
onde Rn(x) =
f (n+1)(z)
(n+ 1)!
(x�c)n+1: Ou seja, f(x) = Pn(x)+Rn(x) a qual é chamada fórmula
de Taylor com resto de Lagrange. O valor absoluto jRn(x)j = jf(x)� Pn(x)j é chamado erro
associado à aproximação da função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x):
64
O Teorema de Taylor é uma generalização do Teorema do Valor Médio. (Veri…que!)
Teorema 8.8 (Limite do erro na aproximação polinomial de Taylor) Seja f uma função
que possui derivada até a ordem n + 1 em um intervalo aberto contendo c: Suponha que
existe um número positivo r e uma constante positiva M tal que
��f (n+1)(x)�� �M para todo
x no intervalo (c � r; c + r): Então jRn(x)j � M jx� cj
n+1
(n+ 1)!
para todo x 2 (c � r; c + r) e
consequentemente lim
n!+1
Rn(x) = 0 se veri…ca para todo x 2 (c� r; c+ r):
Pelo Teorema de taylor, Rn(x) =
f (n+1)(z)
(n+ 1)!
(x� c)n+1 para algum z entre x e c: Assim,
para x 2 (c� r; c+ r) temos:
jRn(x)j =
��f (n+1)(z)��
(n+ 1)!
j(x� c)jn+1 �M jx� cj
n+1
(n+ 1)!
:
Por outro lado, a série
1P
n=0
jx� cjn+1
(n+ 1)!
converge pelo teste da razão e portanto seu termo
geral tem limite zero, isto é, lim
n!+1
jx� cjn+1
(n+ 1)!
= 0: Daí, como M é constante, resulta
da desigualdade 0 � jRn(x)j � M jx� cj
n+1
(n+ 1)!
que lim
n!+1
Rn(x) = 0 se veri…ca para todo
x 2 (c� r; c+ r):
Vimos que, se uma função puder ser desenvolvida numa série de potências, então a
função deverá ser in…nitamente derivável e a série de potências será a sua série de Taylor.
Entretanto, mesmo que a função seja in…nitamente derivável, não há garantia automática
de que ela possa ser desenvolvida em série de potências! Em outras palavras: "Embora uma
função in…nitamente derivável tenha uma série e Taylor, essa série de Taylor não precisa
convergir para a função". Por exemplo, pode-se mostrar que se
f(x) =
8<: 0; x = 0e�1=x2 ; x 6= 0
então a sua Série de Taylor converge para todo x; mas converge para f(x) APENAS em
x = 0:
65
Se lim
n!+1
Rn(x) = 0 para todo x em (c� r; c+ r) então:
lim
n!+1
Pn(x) = lim
n!+1
f(x)� lim
n!+1
Rn(x) = f(x)
e isto signi…ca que a sequência das somas parciais da série de Taylor de f em c converge para
f(x) em (c� r; c+ r) e portanto a série
1P
n=0
f (n)(c)
n!
(x� c)n converge e escrevemos
f(x) =
1X
n=0
f (n)(c)
n!
(x� c)n; 8x 2 (c� r; c+ r):
Exemplo 8.43 Justi…que as seguintes expansões em séries de potências:
1. ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ � � � =
1P
n=0
xn
n!
para todo x:
2. sin x = x� x
3
3!
+
x5
5!
� x
7
7!
+ � � � =
1P
n=0
(�1)nx2n+1
(2n+ 1)!
para todo x:
3. cosx = 1� x
2
2!
+
x4
4!
� x
6
6!
+ � � � =
1P
n=0
(�1)nx2n
2n!
para todo x:
8.3.3
66