01 Aula1

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Conceitos Básicos de 
Estatística 
IQ350-Planejamento de 
Experimentos 
Erros 
• Qualquer medida será sempre afetada por 
erros, que podem ser de diversos tipos. 
 
• Exemplo: realização de experimentos para 
determinar a concentração de ácido acético 
numa amostra de vinagre. O objetivo é 
verificar se o vinagre está de acordo com o 
estabelecido pela legislação (4% de ácido 
acético, no mínimo). 
 
• Que tipo de experimento fazemos? 
 • Procedimento tradicional: titulação ácido-
base. 
 
 
 
 
 
 
• Solução ácida + indicador  adicionamos base 
 
• O ácido é consumido e com uma gota a mais de 
base, a solução muda de cor  determina-se o 
ponto de equivalência. 
 
• Dependendo da força relativa entre ácidos e 
bases, o final da reação (ponto de equivalência) 
ocorre em um pH diferente. 
 
• Diferentes indicadores apresentam viragem em 
diferentes faixas de pH  escolhemos o 
indicador cuja faixa de viragem inclua o ponto de 
equivalência. 
 
 
• Situação 1: o químico se distrai e não 
acrescenta o indicador (fenolftaleína). 
 
• O que acontece? 
 
• A viragem não vai ocorrer nunca, não 
importa quanta base seja adicionada na 
titulação erro grosseiro A estatística não 
se ocupa desses erros. 
 
• Porque não precisamos nos preocupar com 
erros grosseiros? 
 • Situação 2: acabou o estoque de 
fenolftaleína e o químico usa como indicador 
vermelho de metila. 
 
• A faixa de viragem do vermelho de metila 
está em pH abaixo de 7 o ponto final da 
titulação vai ocorrer antes que todo o ácido 
acético tenha sido neutralizado o vinagre 
parecerá ter uma concentração inferior à 
verdadeira. 
 
 • Se várias amostras forem tituladas da mesma 
maneira, em todas elas o valor encontrado 
para a concentração de ácido acético será 
inferior ao valor real, por causa da viragem 
prematura. 
 
 
• Com que tipo de erro estamos lidando? 
 • Erro sistemático! 
 
• Erros sistemáticos: afetam o resultado 
sempre na mesma direção, seja para mais, 
seja para menos. 
 
• Que outras fontes de erro sistemático pode 
haver em um experimento? 
 
 O padrão primário pode estar adulterado; 
 
 a balança pode estar descalibrada; 
 
 a pipeta pode ter sido aferida 
erroneamente; 
 
 quem está titulando pode olhar o menisco 
de um ângulo incorreto, etc. 
 
• Cada um destes fatores exercerá 
individualmente sua influência sobre o 
resultado final, fazendo-o tender para uma 
certa direção. 
 
• Situação 3: Após eliminar todos os erros 
sistemáticos e evitando erros grosseiros o 
químico titula duas amostras retiradas do 
mesmo lote de vinagre. 
 
• Como tudo no processo agora está sob 
controle, podemos esperar que as duas 
titulações produzam o mesmo resultado? Por 
quê? 
 
 
 
• Não! Os resultados são parecidos, mas não 
idênticos. Alguma fonte de erro (pequena) 
continua afetando os resultados erros 
aleatórios. 
 
 • Mesmo que o procedimento experimental 
seja rigorosamente obedecido e todas as 
operações sejam feitas com todo o cuidado, 
sempre existirão flutuações imprevisíveis: 
 
 uma pequena variação no ângulo da leitura 
da bureta, 
 
uma gotinha que fica na pipeta, 
 
uma tonalidade diferente na viragem, etc. 
 • Não conseguimos controlar todas as 
variações não podemos saber em que 
direção o resultado será alterado. 
 
• Atuando em conjunto, estas perturbações 
provocarão erros que parecem devidos ao 
acaso, e por isso são chamados de aleatórios. 
 
• Para investigar esses erros, o químico resolve 
então fazer várias titulações em outras 
amostras retiradas do mesmo lote. 
 • Os resultados obtidos em 20 titulações são: 
 
•O que podemos notar nestes dados? 
 • Examinando os resultados, percebemos que: 
 
Os valores obtidos flutuam, mas tendem a 
concentrar-se em torno de um certo valor 
intermediário. 
 
A flutuação em torno do ponto central 
ocorre aparentemente ao acaso. 
 
Parece que a amostra está mesmo fora da 
especificação, já que a maioria dos valores 
determinados está abaixo de 4%. 
 
• Situações como esta ocorrem nas mais 
variadas determinações experimentais  é 
impossível controlar rigidamente todos os 
fatores envolvidos num experimento, por mais 
simples que seja 
 
• Qualquer determinação experimental é 
afetada, em maior ou menor grau, por erros 
aleatórios. 
 
• Se queremos chegar a conclusões sensatas, 
esses erros precisam ser levados em conta! É 
por isso, entre outros motivos, que precisamos 
da estatística. 
Populações, amostras e distribuições 
 
• O primeiro passo para se tratar 
estatisticamente os erros aleatórios é admitir 
alguma hipótese sobre sua distribuição. 
 
• Qual a distribuição que se assume para os 
erros aleatórios com mais frequência? 
 
 
• O mais comum, quando se tratam de 
medições, é supor que a distribuição dos 
erros é gaussiana ou, como também é 
chamada, normal. 
 
 
 
• Nesta aula vamos discutir em termos práticos 
essa hipótese e suas importantes 
conseqüências, partindo do seguinte 
problema: 
 
• Quantos grãos tem um quilo de feijão? 
 
• Como vocês fariam a estimativa do nº de 
caroços em um quilo de feijão? 
 • Solução 1: contamos todos os caroços, um 
por um. Esta solução será descartada porque 
estamos interessados numa abordagem 
estatística da questão. 
 
• Solução 2: descobrimos primeiro quanto pesa 
um caroço, e em seguida dividimos 1000 g 
por este valor. O resultado da divisão dará o 
número de caroços contidos em um quilo. 
 
• Vocês conseguem ver algum problema com a 
solução 2? 
 • Procedendo com a pesagem: 
 
Caroço 1 (retirado ao acaso): 0.1188 g 
Caroço 2 (retirado ao acaso): 0.2673 g 
 
• Respostas associadas às pesagens: 
 
Caroço 1: 1000/0.1188 = 8418 caroços 
Caroço 2: 1000/0.2673 = 3741 caroços 
 
• Qual destes valores é a resposta que 
procuramos? 
 
 Nenhum dos dois. Como o peso varia de um 
caroço para outro, não devemos usar pesos 
individuais e sim o peso médio do conjunto 
de todos os caroços. 
 
• Como obter o peso médio? 
 
 • Basta dividir o peso total do pacote de feijão 
(1 kg) pelo número de caroços que ele 
contém. Infelizmente isso nos traz de volta à 
pergunta inicial. 
 
• Se todos os caroços fossem idênticos, o peso 
médio seria igual ao peso de um caroço 
qualquer. Era só pesar um deles e a questão 
estaria resolvida. O problema é que o peso 
varia de caroço para caroço de maneira 
imprevisível. 
 
 
• Apesar de não sabermos prever qual será o 
peso de um caroço extraído ao acaso, 
podemos estabelecer alguns limites, por 
exemplo: 
 
o peso não pode ser inferior a zero 
 
o peso deve ser muito menos do que um 
quilo 
 
o peso não deve flutuar muito, é só olhar 
para o saco de feijão para ver que a maioria 
dos caroços têm mais ou menos o mesmo 
tamanho. 
 
 • Estamos numa situação parecida com a da titulação. Os valores individuais flutuam, mas 
flutuam em torno de um certo valor central. 
 
• O conjunto de todos os valores possíveis 
numa dada situação é o que se chama em 
estatística de população. 
 
• O alvo de qualquer investigação 
experimental é sempre uma população. 
Nosso objetivo ao coletar e analisar os dados 
é chegar a conclusões sobre ela. 
 
• É importante definir claramente qual a 
população de que estamos falando. Muitas 
vezes nem isto está suficientemente claro 
para o pesquisador, que corre o risco de 
estender suas conclusões a sistemas mais 
amplos do que o realmente estudado no 
experimento. 
 
• Qual é a populaçãono caso que estamos 
estudando? 
 
• Na nossa abordagem, a população é o 
conjunto de pesos individuais dos caroços do 
pacote de feijão. 
 
• A resposta se refere ao pacote, mesmo que 
os caroços não sejam investigados um por 
um. 
 
• A menos que alguma hipótese a mais seja 
introduzida (como, por exemplo, que o 
pacote é representativo de toda uma 
colheita), se refere a esse pacote em 
particular, e só a ele. 
 
• Voltando ao problema dos caroços de feijão: 
 
 Vamos tentar fazer uma estimativa do peso 
médio dos caroços no pacote, calculada a 
partir de apenas alguns deles, isto é, a partir 
de uma amostra da população. 
 
• Este é um problema equivalente ao de 
determinar qual a concentração de vinagre 
“real”, ou seja, qual a média que seria obtida 
se fizéssemos infinitas titulações, a partir de 
uma amostra de 20 titulações. 
 
 
 
• Se a amostra for representativa, a média 
amostral deverá ser uma boa aproximação 
da média populacional e poderemos usá-la 
para concluir alguma coisa sobre a 
população. 
 
 
 
 
 
• Para que uma amostra seja uma 
representação realista, não tendenciosa, da 
população completa, é necessário que seus 
elementos sejam escolhidos de forma 
rigorosamente aleatória. 
 
• Como escolhemos caroços de feijão de um 
pacote aleatoriamente? 
 
 
 
 
• No caso dos feijões é necessário que a chance 
de um caroço ser pesado seja a mesma para 
todos eles. 
 
• Por isso, depois de pesado, o caroço escolhido 
deve ser recolocado no pacote e misturado aos 
outros, para que volte a ter uma chance igual 
de ser escolhido. 
 
• De outra forma a população se modifica à 
medida que os caroços são retirados e a 
amostra não representa de forma fidedigna a 
população original. 
Como descrever as características 
 da amostra 
 
• A tabela mostra os pesos individuais de 140 
caroços retirados aleatoriamente de um 
pacote contendo um quilo de feijão preto. 
 
•É fácil analisar 
uma tabela de 
dados deste 
tipo? 
 
•Que forma de 
análise seria 
mais fácil? 
 • Examinando com atenção esses dados 
podemos confirmar nossas expectativas de 
uma flutuação mais ou menos restrita: 
 
Maior valor observado:0.3043 g 
Menor valor observado: 0.1188 g 
A maioria dos caroços parece ter um peso 
ao redor de 0.20 g. 
 • Fica mais fácil interpretar os dados se os 
organizarmos de alguma forma. Podemos 
dividir a faixa total dos pesos em intervalos e 
contar os caroços situados dentro de cada 
intervalo. 
 
• Escolhemos uma faixa que acomode todos os 
valores da tabela: 0.10-0.32 g 
 
 • Dividimos a faixa em intervalos de largura 
pré-fixada e colocamos cada peso medido no 
intervalo apropriado. 
 
• Se escolhemos a largura dos intervalos igual a 
0.02 g, obtemos os resultados que aparecem 
na tabela a seguir. 
 
 
• Ainda, se dividimos o número de caroços em 
um certo intervalo pelo número total de 
caroços pesados obtemos a freqüência 
relativa correspondente a esse intervalo. 
 
• No intervalo 0.26 -0.28 g, por exemplo, 
foram observados sete caroços, de um total 
de 140: 
freqüência relativa = 7/140 = 0.050 
 
• Isso significa que 5% dos pesos medidos 
ficaram entre 0.26 e 0.28 g. 
 
 
• É preferível analisar a distribuição dos pesos 
dos caroços em termos de freqüências, 
porque as distribuições estatísticas teóricas 
são distribuições de freqüência. 
 
• Conhecendo as freqüências  determinamos 
probabilidades de que certos valores de 
interesse venham a ser observados  
podemos testar hipóteses sobre a população. 
 
 
 
• Qualquer conjunto de dados fica mais fácil de 
analisar se for representado graficamente. 
 
• Gráfico tradicional para uma distribuição de 
freqüências: histograma 
 
cada intervalo é representado por um 
retângulo, cuja base coincide com a largura 
do intervalo e cuja área é idêntica (ou 
proporcional) à sua freqüência. 
 
• Como a soma de todas as freqüências tem de 
ser igual a um, a área total do histograma 
também é igual a um (se a área de cada 
retângulo for igual à freqüência do intervalo 
correspondente) 
 
 
• Vamos mostrar o histograma das freqüências 
da tabela. Para facilitar a comparação com os 
dados na tabela, a altura de cada retângulo 
(e não sua área) foi feita igual à freqüência 
do intervalo. Isso não altera o aspecto geral 
do histograma, já que as bases dos 
retângulos são todas iguais. 
 
•Que características podemos notar neste 
histograma? 
 • As vantagens da representação gráfica são 
evidentes. 
 
• A concentração dos pesos dos caroços em 
torno do valor 0.20 g é percebida 
imediatamente, assim como o 
escasseamento progressivo dos dados à 
medida que nos afastamos desse valor, em 
ambas as direções. 
 
 
 
 
• Também podemos notar uma simetria na 
distribuição: a parte que fica mais à direita da 
região central é mais ou menos a imagem 
especular da parte que fica à esquerda. Essa 
característica seria muito difícil de perceber 
olhando somente para a tabela. 
 
• As características básicas de um histograma 
são: 
 
a localização do conjunto de observações 
numa certa região do eixo horizontal; 
sua dispersão, ou espalhamento, ao longo 
dessa região. 
 
• Quais as grandezas estatísticas que 
representam estas características? 
 
 
 
• Estas características podem ser 
representadas numericamente, de forma 
abreviada, por várias grandezas estatísticas. 
As mais usadas nas ciências físicas (valores 
contínuos) são a média aritmética e o desvio 
padrão. 
 • Média aritmética = soma de todos os valores, 
dividida pelo número total de elementos do 
conjunto. Este é o conceito de média que 
usaremos e daqui em diante empregaremos 
somente o termo média. 
 
• Se usarmos o símbolo x para representar o 
peso de um caroço, a forma usual de 
representar a média é , e esta é calculada 
por: 
g 2024.0)1606.0........2673.01188.0(
140
1
x 
x
 
• Com este valor podemos estimar que o quilo 
de feijão contenha: 
 
1000 g/0.2024 g = 4940 caroços. 
 
 
• Vocês acham que este valor está correto? 
 
 • Essa estimativa, no entanto, foi obtida a 
partir da observação de apenas 140 caroços, 
isto é, menos de 3% do total, supondo que 
haja mesmo cerca de 5000 caroços no 
pacote. 
 
• Por isso, não deve corresponder ao valor 
exato. Trata-se apenas de uma média 
amostral e não da média populacional. 
Veremos adiante como fazer para estimar 
sua incerteza. 
 
 • Para obter uma medida do espalhamento das 
observações em torno da média, que é o 
desvio padrão, primeiro calculamos a 
diferença, ou desvio, de cada valor individual 
em relação à média amostral: 
 
 
xxd ii 
 
• Em seguida somamos os quadrados de todos 
os desvios e dividimos o total por N-1. O 
resultado dessas operações é a variância do 
conjunto de operações: 
 
 
 
 
 
• Note que a variância é uma espécie de média 
dos quadrados dos desvios, só que o 
denominador não é o número total de 
observações, N, e sim N-1  graus de 
liberdade. 
 
2N
1i
i
N
1i
2
i
2 xx
1N
1
d
1N
1
s)x(V 






 
• Observações originais (obtidas por 
amostragem aleatória)  independentes: 
mesmo conhecendo os pesos dos 139 
primeiros caroços, não dá para prever o peso 
do caroço 140. 
 
• Usando a linguagem da estatística, dizemos 
que esse conjunto tem 140 graus de 
liberdade. 
 
 
• Vejamos o que acontece quando somamos os 
valores dos desvios (de i=1 até N):Mas 
 
E logo 
 
O somatório dos desvios é igual a zero! 
 
Logo, se conhecemos 139 desvios, o que falta está 
automaticamente determinado  temos 139 graus 
de liberdade! 
 
  xNxxxxxd
i
i
ii
i
i i
ii   
 x
N
1
x
N
1i
 i


0xxd
i
i
i
i
i
i  
 • Na nossa amostra, onde 0.2024 g, a 
variância é: 
 
 
 
 
 
• Enquanto a média tem a mesma unidade que 
as observações originais, a unidade de 
variância é o quadrado da unidade de 
partida. 
x
2g 00132.0
2
2024.01606.0........
2
2024.01188.0
139
12s 




























 • Para que as medidas de dispersão e de posição tenham a mesma unidade, 
costumamos substituir a variância pela sua 
raiz quadrada, que é chamada de desvio 
padrão. No nosso exemplo o desvio padrão 
é: 
 
 
 
• O desvio padrão é geralmente usado para 
definir intervalos em torno da média. 
 
g 0363.0)g 00132.0(s 2 
 Em nossa amostra de 140 caroços: 
 
• Os limites do intervalo definido por um 
desvio padrão em torno da média são 
0.20240.0363g, ou de 0.1661 g a 0.2387 g. 
 
• A região compreendida entre estes dois 
valores corresponde a 66.6% da área total do 
histograma, o que significa que nela caem 
2/3 de todos os valores observados. 
 
 
 
 
 
 
• A região definida por dois desvios padrão 
tem como limites 0.1298 g e 0.2750 g e 
contém 96.8% da área total. 
 
• Dentro destas suposições, que discutiremos 
adiante, estes intervalos amostrais podem 
ser utilizados para testar hipóteses a respeito 
da população. 
 
• Os valores de e s foram obtidos a partir dos 
140 pesos individuais e portanto 
representam a amostra: são estimativas 
amostrais. 
 
• Os valores que nos interessam são os 
parâmetros populacionais. Queremos saber 
quantos caroços existem em todo o quilo de 
feijão e não em uma amostra. 
x
 • Os estatísticos costumam empregar símbolos 
latinos para representar valores amostrais, 
reservando o alfabeto grego para os 
parâmetros populacionais. 
 
• Seguindo esta convenção, vamos 
representar a média e o desvio padrão 
populacionais como  e . 
 
• O que podemos inferir a respeito destes 
valores, dispondo apenas dos valores 
amostrais e s? x
 
 
A distribuição normal 
• Suponha que os 140 caroços sejam tratados 
como uma mini-população. 
 
• Já vimos que 5% destes elementos pesam 
entre 0.26 g e 0.28 g, ou seja, a probabilidade 
de um caroço retirado ao acaso pesar entre 
0.26 e 0.28 g é de 5%. 
 
 
 
 
 
• Temos condições de fazer esta afirmação 
porque conhecemos a distribuição exata das 
freqüências dos pesos nessa pequena 
população. 
 
 
 • Poderíamos fazer o mesmo com um caroço 
retirado ao acaso do pacote de um quilo, ou 
seja, da própria população original, se 
conhecêssemos exatamente a distribuição 
populacional e não somente a amostral. 
 
• Para isso, infelizmente, precisaríamos pesar 
todos os caroços do pacote. 
 
• Existe alguma forma de fazermos isso sem 
precisar pesar todos os caroços do pacote? 
 
 
 
• Precisaríamos ter um modelo que fosse 
adequado para a distribuição dos pesos de 
todos os caroços do pacote. 
 
 
 
 
• Neste caso, não precisaríamos mais pesar 
cada caroço para fazer inferências sobre a 
população. Poderíamos tirar conclusões do 
próprio modelo. 
 
 
• Claro que para isso, o modelo escolhido deve 
ser válido. 
 
 
 
• O procedimento que devemos seguir será 
sempre o mesmo: 
 
Postular um modelo para representar os 
dados extraídos da população na qual 
estamos interessados; 
 
Verificar se essa representação é 
satisfatória; 
 
Nesse caso, tirar as conclusões 
apropriadas; caso contrário, trocar de 
modelo e tentar novamente. 
 
 
 • Um dos modelos estatísticos mais 
importantes é a distribuição normal (ou 
gaussiana) proposta por Karl Gauss para 
calcular probabilidades de ocorrências de 
erros em medições. 
 
• Tantos são os conjuntos de dados que podem 
ser bem representados pela distribuição 
normal, que ela passou a ser considerada o 
comportamento natural de qualquer tipo de 
erro experimental, daí o adjetivo normal. 
 
 
 
 
 
 
• Se alguma vez se constatasse que a 
distribuição de erros não seguia uma 
gaussiana, a culpa era jogada na coleta de 
dados. 
 
• Depois ficou claro que existem muitas 
situações experimentais em que a 
distribuição normal de fato não é válida, mas 
ela permanece sendo um dos modelos 
fundamentais da estatística. 
 
 
 
 
 
• Muitos dos resultados que apresentaremos 
daqui em diante só são rigorosamente 
válidos quando os dados obedecem à 
distribuição normal. 
 
 
• Na prática, isto não é uma restrição muito 
séria, porque quase todos os testes que 
veremos continuam eficientes na presença de 
desvios moderados da normalidade. 
Como calcular probabilidades 
de ocorrência 
• Uma distribuição estatística é uma função 
que descreve o comportamento de uma 
variável aleatória. 
 
• Uma variável aleatória é uma grandeza que 
pode assumir qualquer valor dentro do 
conjunto de valores possíveis para o sistema 
a que ele se refere. 
 
 
• Cada valor destes tem uma certa 
probabilidade de ocorrência, governada por 
uma determinada distribuição de 
probabilidades. 
 
 • Se tivermos como descobrir ou estimar qual 
é essa distribuição, poderemos calcular a 
probabilidade de ocorrência de qualquer 
valor de interesse. 
 
• A distribuição normal é uma distribuição 
contínua. 
 
• Qual a diferença entre variável contínua e 
discreta? Exemplos? 
 
• Em uma distribuição contínua a variável pode 
assumir qualquer valor dentro de um 
intervalo previamente definido. 
 
 
• Para uma variável normalmente distribuída, 
o intervalo é (-, +), o que significa que ela 
pode assumir, pelo menos em princípio, 
qualquer valor real. 
 
 • Uma distribuição contínua da variável x é 
definida pela sua densidade de probabilidade 
f(x), que é uma expressão matemática 
contendo um certo número de parâmetros. 
 
 
• Na distribuição normal os parâmetros são, 
por definição, apenas dois: a média e a 
variância populacionais ( e 2) 
 
 
 
 
• Para indicar que uma variável aleatória x se 
distribui normalmente, com média  e 
variância 2, empregaremos a notação x ≈ 
N(,2), onde o sinal ≈ pode ser lido como 
“distribui-se de acordo com”. 
 
• Se x tiver média zero e variância igual a um, 
por exemplo, escreveremos x ≈ N(0,1). Neste 
caso, diremos também que x segue a 
distribuição normal padrão (ou padronizada). 
 
• Distribuição normal: 
 
 
 
 onde f(x) é a densidade de probabilidade da 
variável aleatória x,  é a média 
populacional e 2 é a variância populacional. 
 
 
dxe 
2
1
dx )x(f
2
2
2
x




 • A figura a seguir mostra a famosa curva em 
forma de sino que é o gráfico de densidade 
de probabilidade de uma distribuição normal 
padrão (=0 e 2 =1): 
dxe 
2
1
 )x(f 2
x2


 
•Quais as características desta figura? 
 
•São parecidas com a do histograma dos caroços? 
 
 
 
• A curva é perfeitamente simétrica em torno 
do ponto central, que é a média  (no caso 
igual a zero). 
 
• O valor da densidade é máximo sobre a 
média e cai rapidamente quando nos 
afastamos dela, em ambas direções. 
 
• Sãocaracterísticas parecidas com as que 
vimos no histograma dos 140 caroços 
 
 
 
 
•O que acontece com a densidade de 
probabilidade a 3 desvios padrão de distância 
da média? 
 
• A três desvios padrão de distância da média, 
a densidade de probabilidade praticamente 
reduz-se a zero. 
 
 
• Para obter probabilidades correspondentes a 
intervalos finitos, que são os únicos com 
sentido físico, temos que integrar a 
densidade de probabilidade entre os limites 
apropriados. 
 • A integral é a área sob a curva f(x) entre estes 
limites, o que equivale a dizer que a figura 
também é um histograma. 
 
 
• Como a variável aleatória agora é contínua, 
as probabilidades passam a ser calculadas 
por integrais e não mais por somatórios. 
 
 
 
 
    
b
a
dx )x(fbxaPbxaP
 
• A maior parte da área sob uma gaussiana está 
contida no intervalo definido por um desvio 
padrão em torno da média, e praticamente toda 
ela está situada entre -3 e +3. 
 
 
 
• Para obter os valores numéricos 
correspondentes, integramos, entre os 
limites apropriados, a expressão de f(x): 
 
 
 
 
 
• ou seja, 68.26% 
 
 
 
 
 
• ou seja, 99.73% 
  


 dx )x(fxP
  





 6826.0dxe 
2
1
xP 2
x2
  9973.0dx )x(f3x3P
3
3
 


 • Calculando integrais semelhantes, podemos 
obter as probabilidades correspondentes a 
quaisquer limites de interesse. 
 
 
• Na prática, felizmente, não precisamos 
calcular integral nenhuma, porque podemos 
consultar os valores destas integrais em 
tabelas. Na Tabela A.1 (livro Bruns, página 
392) são dados os valores das integrais para 
vários intervalos de uma variável z ≈ N(0,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Apesar de corresponderem à distribuição 
padrão, com média zero e variância 1, estes 
valores podem ser usados para fazermos 
inferências a respeito de qualquer 
distribuição normal. 
 
 
• Para explicar como se utiliza a tabela A.1, 
precisamos introduzir o conceito de 
padronização. 
 
• Padronizar uma variável aleatória x de média 
 e variância 2 é construir a partir dela uma 
nova variável aleatória z, cujos valores são 
obtidos subtraindo-se de cada valor de x a 
média populacional e dividindo-se o 
resultado pelo desvio padrão: 
 
 x = variável aleatória com distribuição N(,2) 
 z = variável aleatória com distribuição N(0,1) 
 
 



x
z
 • Exemplo: vamos admitir que o peso de um 
caroço de feijão se distribua normalmente, 
com =0.2024 g e =0.0363 g. 
 
• Com isso estamos fazendo duas suposições 
questionáveis: 
Que os pesos seguem uma distribuição 
normal 
Que os parâmetros populacionais são 
iguais aos valores que calculamos para a 
amostra 
 • Na verdade estamos tentando descrever os 
dados experimentais com nosso primeiro 
modelo. Chegará a hora de nos 
perguntarmos se ele é adequado. Por 
enquanto vamos admitir que sim. 
 
• O peso padronizado será: 
 
• onde x é o peso de um caroço. 
 
• Como o numerador e o denominador têm a 
mesma unidade, z é adimensional. 
 
g 0363.0
g 2024.0x
z


 • O valor numérico de z representa o 
afastamento do valor de x em relação à 
média populacional , medido em desvios 
padrão. 
 
 
• Exemplo: reescrevendo a equação 
 como x = +z e fazendo z = -2 temos: 
 x = -2  o valor de x está dois desvios 
padrão abaixo da média. 
 



x
z
 
 
• No nosso exemplo, o peso do caroço 
correspondente a z = -2 seria: 
 
 x = 0.2024 g – 2 x 0.0363 g = 0.1298 g. 
 
• Substituindo x por z na expressão geral da 
distribuição normal: 
 
 
• Fazendo x = +z e dx =  dz. 
 
dxe 
2
1
dx )x(f
2
2
2
x




 
dz e 
2
1
dx )x(f
2
2
2
 z


 

dz e 
2
1
dz )z(f 2
z2


 • A padronização transforma a variável original 
x, que se distribuía de acordo com N(,2), 
numa nova variável z, que segue a 
distribuição padrão, zN(0,1). 
 
 dz e 2
1
dz )z(f 2
z2


•A variável z não depende de  e 2. Qual a 
vantagem disso? 
 
• Como essa transformação não depende dos 
valores numéricos de  e , sempre 
poderemos usar a distribuição normal padrão 
para discutir o comportamento de uma 
distribuição normal qualquer. 
 
Como usar as caudas da 
distribuição normal padrão 
• A Tabela A.1 contém, para valores de z que 
vão de 0.00 a 3.99, o que se chama de área 
da cauda (à direita) da distribuição normal 
padrão. 
 
• A primeira coluna dá o valor de z até a 
primeira casa decimal, enquanto a linha 
superior da tabela dá a segunda casa. 
 
 
Como usar as caudas da 
distribuição normal padrão 
 
• Para saber a área da cauda correspondente a 
um certo valor de z temos que procurar na 
tabela o valor localizado na interseção da 
linha e da coluna apropriadas. 
 
 
 
 
• Qual o valor da área da cauda à direita de 
z=0.63? 
 
 
 
•O que significa este valor em termos de probabilidade? 
 
• A probabilidade de um valor retirado ao 
acaso de uma população com distribuição 
normal padrão ser maior que z=0.63 é de 
26.43%. 
 
• A distribuição normal padrão é simétrica em 
torno da média (zero). 
 
• Qual a probabilidade de um valor retirado ao 
acaso de uma população com distribuição 
normal padrão ser menor do que z=-0.63? 
 
• Também é de 26.43%. 
 
• E então, qual a probabilidade de um valor 
retirado ao acaso de uma população que 
segue a distribuição normal padrão estar no 
intervalo: 
 -0.63<z<0.63 ?? 
 
• A probabilidade é 100%-2*26.43%=47.14% 
 
• O valor correspondente a z = 1.96, por 
exemplo, está na interseção da linha 
referente a z = 1.9 com a coluna encabeçada 
por 0.06. 
 
• Este valor, 0.0250, é a fração da área total da 
curva que está localizada à direita de z=1.96. 
 
• Como a curva é simétrica em torno da média, 
uma área idêntica está situada à esquerda de 
z=-1.96 na outra metade da gaussiana. 
 
 
 
• A soma destas duas caudas, a da direita e a 
da esquerda, dá 5% da área total. Daí 
concluímos que os 95% restantes estão entre 
-1.96 e 1.96. 
 
• Se extrairmos aleatoriamente um valor de z, 
há uma chance em cada vinte (5%) de que 
esse valor fique acima de 1.96 ou abaixo de 
-1.96. 
 
 
• Como usar o Statistica para calcular o valor 
de z: 
 
• Se queremos determinar qual o valor de z 
para 95% de confiança, ou seja, qual o valor 
de z tal que 95% de todos os valores 
observados estejam entre –z e +z 
 
 
 
 
 
 
 • Para 99% de confiança: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• z= 2.58 
 • Aceitando o modelo normal como uma 
representação adequada da distribuição 
populacional dos pesos dos caroços, 
podemos usar a tabela A.1, juntamente com 
os valores dos parâmetros amostrais, para 
responder a questões sobre a probabilidade 
de ocorrência de valores de interesse. 
 
• Exemplo: Qual a probabilidade de um caroço 
retirado ao acaso pesar entre 0.18 g e 0.25 g? 
 • Em primeiro lugar, precisamos padronizar os 
valores dos pesos: 
 
 
 
 
 
• Com isso a pergunta não se refere mais aos 
pesos e sim a z. O que queremos saber agora 
é: 
 “qual a probabilidade de um valor cair no 
intervalo [-0.62,1.31]?” 
62.0
g 0363.0
g 2024.0g 18.0
z1 


31.1
g 0363.0
g 2024.0g 25.0
z2 


 • Essaprobabilidade corresponde à área 
situada entre os limites indicados pela seta 
na figura 
 
 
 
• Ela é a área total, que é um, menos as áreas 
das duas caudas, a que fica acima de 1.31 e a 
que fica abaixo de -0.62. 
 
• A da direita podemos ler diretamente na 
Tabela A.1, procurando o valor 
correspondente a z=1.31, que é 0.0951. 
 
• A área da cauda da esquerda não pode ser 
tirada diretamente da tabela, que não 
contém valores negativos. No entanto, pela 
simetria da curva, a área que fica abaixo de -
0.62 tem de ser igual à que está localizada 
acima de 0.62. 
 
 • Encontramos o valor de 0.2676. 
 
• Como usar o Statistica para encontrar estes 
valores? 
 
• Para z=-0.62: 
 
 
 
 
 
 
 • Para z=1.31: 
 
• Temos então que a probabilidade desejada é: 
 (1.0-0.0951-0.2676)=0.6373. 
 
• A resposta à nossa pergunta inicial, portanto, 
é que 63.73% dos caroços (cerca de dois 
terços) devem pesar de 0.18 g a 0.25 g. 
 
• Não devemos nos esquecer, porém, de que 
essa resposta se baseia na validade de nossas 
duas suposições: a de que a distribuição dos 
pesos dos caroços é normal e a de que os 
parâmetros populacionais são iguais aos 
valores amostrais. 
 
 
• O histograma dos pesos de 140 caroços tem 
uma aparência bastante simétrica. 
 
• À primeira vista, não dá pra perceber nele 
nada que realmente contradiga a hipótese de 
que a amostra tenha vindo de uma 
população normal. 
 
• Uma maneira de testar quantitativamente se 
essa hipótese é adequada é comparar as 
freqüências observadas com as freqüências 
previstas pela teoria. 
 
 
 
• Usando os valores amostrais =0.024 g e 
s=0.0363 g para determinar os limites dos 
intervalos , e 
 , verificamos que eles 
correspondem, respectivamente a 66.6%, 
96.8% e 100% da área total do histograma 
amostral. 
• Para uma variável aleatória realmente normal, 
os intervalos populacionais correspondentes 
contêm 68.3%, 95.4% e 99.7% de todas as 
observações. 
 
x
 sx,sx   s2x,s2x 
 s3x,s3x 
 
 
 
• Estes valores estão em ótima concordância 
com os valores amostrais, a pior diferença 
não chega a 2%. 
Porque a distribuição normal é tão 
importante? 
• Não precisamos nos preocupar com a 
ausência de um teste rigoroso (neste curso) 
para verificar se a distribuição é normal: as 
técnicas estatísticas que apresentaremos são 
robustas em relação a desvios da 
normalidade. 
 
 
Porque a distribuição normal é tão 
importante? 
 
• Mesmo que a população de interesse não se 
distribua normalmente, as técnicas podem 
ser usadas, porque continuam 
aproximadamente válidas. 
 
 
 • Esta robustez vem, em última análise, do 
teorema do limite central, um dos teoremas 
fundamentais da estatística. 
 
 “Se a flutuação total numa certa variável for 
o resultado da soma das flutuações de 
muitas variáveis independentes e de 
importância mais ou menos igual, a sua 
distribuição tenderá para a normalidade, não 
importa qual seja a natureza das 
distribuições das variáveis individuais.” 
 
• Muitas vezes o erro final de um valor obtido 
experimentalmente vem da agregação de 
vários erros individuais mais ou menos 
independentes, sem que nenhum deles seja 
dominante. 
 
• Na titulação, por exemplo, lembramos: 
erro da leitura na bureta 
erro causado por uma gota que fica na 
pipeta 
erro devido a uma tonalidade diferente no 
ponto final, etc. 
 
 
• Com os caroços de feijão é mais ou menos a 
mesma coisa, o peso de cada um depende: 
do grau de desidratação 
da ação das pragas 
da própria carga genética do feijão, etc. 
 
 
• A priori não temos motivos para imaginar que 
esses erros- tanto nos feijões quanto na 
titulação- sigam distribuições normais, mas 
também não devemos supor que eles 
dependem uns dos outros, ou que um deles 
seja muito mais importante do que os demais. 
 
• O teorema do limite central nos diz então que 
o erro final se distribuirá de forma 
aproximadamente normal, e tanto mais normal 
quanto mais numerosas forem as fontes de 
erros individuais. 
 
Amostragem aleatória em 
 populações normais 
• Vamos supor a partir de agora que as 
amostras que estamos considerando sejam 
extraídas de populações normais. 
 
• Como já vimos, esta é uma hipótese 
perfeitamente aceitável em muitas situações 
de interesse prático. 
 
 
• Consideremos agora amostras de N elementos, 
extraídas aleatoriamente de uma população normal 
de média  e variância 2. Podemos mostrar que: 
 
As médias amostrais também se distribuem 
normalmente, com a mesma média , mas com 
variância igual a 2/N (quanto maior o tamanho 
da amostra, menor a variância), onde  e 2 são 
a média e a variância populacional da 
distribuição das observações individuais. 
 
• A partir desta conclusão podemos obter intervalos 
de confiança. 
 
 
 
 
 Distribuição dos 
pesos individuais 
de 140 caroços de 
feijão: desvio 
padrão . 
 
Distribuição dos 
pesos médios de 
140 amostras de 10 
caroços de feijão: 
desvio padrão 
10/
 
• Para ver como se faz, vamos usar um 
amostra de 10 caroços retirados do kg de 
feijão. Suponhamos que os pesos destes 
caroços sejam os dez primeiros valores da 
tabela do slide 33. 
 
• Para esta amostra temos que = 0.1887 g e 
s=0.0423 g. 
 
• Como, a partir destes valores, podemos tirar 
conclusões sobre a média populacional? 
x
 
 
 
• Como a média se distribui normalmente, ao 
subtrair a média populacional  e dividir o 
resultado pelo desvio padrão, / , teremos 
uma variável normal padronizada: 
 
 
 
• Já vimos que para um intervalo de confiança 
de 95% o valor de z é 1.96. Isso significa que 
há 95 chances em 100 de que -1.96< z <1.96, 
ou de que: 
N



x
z)1,0(Nz
N/
x



Lembrando: 
96.1
N/
x
96.1 



 
• Isolando a média populacional: 
 
 
 
• Para se definir os limites deste intervalo, 
precisamos do valor do desvio padrão 
populacional. Vamos admitir mais uma vez 
que o valor do desvio padrão calculado para 
os 140 caroços é uma aproximação aceitável. 
 
 
96.1
N/
x
96.1 



N/96.1xN/96.1x 
 
• Assim: 
 
 / =0.0363/ =0.0155 g. 
 
• Lembrando que na nossa amostra =0.1887 g 
 
 
 
 
• A partir desta expressão podemos dizer, com 
95% de confiança, que o quilo de feijão deve 
ter de 4735 a 6017 caroços. 
N 10
x
g 0.2112g 0.1662
ou
g 0115.096.11887.0g 0115.096.11887.0


N/96.1xN/96.1x 
 • Lembrando que a partir do peso de dois 
caroços (o primeiro e segundo valores da 
tabela), nossa estimativa ia de 5226 a 20964, 
vemos que o novo intervalo é bem menor. 
 
•Obtivemos agora 4735 a 6017 caroços 
 
• Podemos torná-lo ainda mais preciso se 
usarmos uma amostra mais numerosa. 
 
• Intervalo de confiança para a média 
populacional a partir da distribuição normal: 
 
 
 N/zxN/zx 
 
 
 
• Até agora ao determinar intervalos de 
confiança tivemos que supor que o valor do 
desvio padrão populacional era conhecido, 
mas só conhecíamos o valor amostral. 
 
• Vamos agora nos livrar desta restrição e 
obter intervalos de confiança sem precisar 
recorrer a valores populacionais. 
N/zxN/zx 
 
• Em 1908 Gosset, um químico que usava opseudônimo de Student para assinar seus 
trabalhos, publicou a dedução da curva 
representando a distribuição de frequências 
de uma grandeza z dada por 
 
 
• Hoje em dia prefere-se incluir o fator e 
falar da distribuição da variável 
 
 
 
 exceto por s (amostral) e  (populacional). 
s
x 
N
N/s
x 
 
 
• Esta expressão é idêntica a 
 
 exceto por s (amostral) e  (populacional). 
N/s
x 
)1,0(Nz
N/
x



 • Por causa desta mudança, a variável não 
segue mais a distribuição normal 
padronizada, e sim a que Student deduziu, e 
que é rigorosamente válida para amostras 
aleatórias retiradas de uma população 
normal. 
 
• Com ela podemos comparar os desvios 
 com um desvio padrão obtido da própria 
amostra, s/ , dispensando o valor 
populacional . 
N
 x
N/
 • A nova variável aleatória definida por 
Student é representada pelo símbolo tN-1 e 
sua distribuição é chamada de distribuição t 
ou distribuição de Student. 
 
 
 
• O índice N-1 lembra que a forma da 
distribuição varia com o tamanho da 
amostra. 
 
1Nt
N/s
x


 
 
 
 
• Na verdade são várias distribuições 
diferentes, cada uma delas correspondendo a 
um certo número de graus de liberdade na 
determinação do valor de s. 
1Nt
N/s
x


 
• É importante ressaltar que o número de graus 
de liberdade na distribuição de Student se 
refere à obtenção do desvio padrão e não ao 
cálculo da média. 
 
• Como veremos adiante, pode acontecer da 
média e o desvio padrão serem obtidos a partir 
de diferentes conjuntos de observações. 
 
• O valor de N em tN-1 não será então 
necessariamente o mesmo valor de N usado 
para calcular a média, e cuja raiz quadrada 
aparece no denominador da equação 
1Nt
N/s
x


 • A Tabela A.2 (página 393, livro do Bruns) 
contém os valores de t para algumas áreas da 
cauda a direita na distribuição de Student. 
 
• As áreas aparecem na parte superior da 
tabela. 
 
• Na primeira coluna está o número de graus 
de liberdade, , com que o desvio padrão s é 
estimado. 
 
 
• A distribuição t também é simétrica em torno 
da média zero, como a distribuição normal 
padrão, de modo que só precisamos de um 
lado da curva. 
 
 
 
 
 
• Qual o valor de t para 95% de confiança no 
caso da amostra de 10 caroços de feijão? 
 • Na amostra de dez caroços  = N - 1 = 9, os 
valores apropriados encontram-se na nona 
linha. 
 
• Para descobrir, por exemplo, o valor de t que 
corresponde a um nível de 95% de confiança 
lemos o valor que se encontra na interseção 
da nona linha com a coluna correspondente a 
0.025 de área de cauda. Obtemos assim 
t=2.262. 
 
 
• Na distribuição normal, para o mesmo nível 
de confiança, usamos z=1.96. Qual das duas 
distribuições é mais estreita? (t=2.262) Isso 
faz sentido? 
 • A distribuição t é mais espalhada, ou seja, os 
intervalos de confiança obtidos a partir dela 
são mais largos. 
 
• Isto faz sentido, porque ao usar o valor de s 
para estimar  estamos cometendo um erro, 
que evidentemente será maior quanto 
menor for a amostra. 
 
 
 
• Para uma amostra de apenas dois elementos, 
por exemplo, o valor de t sobe para 12.706, 
no mesmo nível de confiança. 
 
• Esse resultado quer dizer que, para os 
mesmos 95% de confiança, com uma amostra 
tão pequena, vamos obter um intervalo bem 
maior do que no caso da amostra de 10 
caroços. 
 
 
 
 
 
 
• Olhe para a tabela A2 e explique porque vale 
a pena fazer o esforço de se fazer uma 
amostra de 3 elementos em termos de 
confiança, em relação à amostra de 2 
elementos. 
 
 
 
 
N/s txN/s tx 1N1N  
 
• Quanto maior for a amostra, mais estreito 
será o intervalo. 
 
• No limite, com um número infinito de graus 
de liberdade, a distribuição t termina 
reduzindo-se a distribuição normal padrão. 
 
• Com a distribuição de Student, portanto, 
podemos calcular um novo intervalo de 
confiança usando apenas os valores 
amostrais. 
 
• Como usar o Statistica para calcular o valor 
de t? 
 
• Para =9 e 95% de confiança: 
 
 
 
• Intervalo de confiança para a média 
populacional a partir da distribuição de 
Student: 
 
• No nosso exemplo toda a informação vem de 
uma única amostra, e portanto o valor de N 
dentro da raiz quadrada é o mesmo que 
aparece em tN-1. 
 
• Para 95% de confiança e uma amostra de 10 
elementos: 
 
 
N/s txN/s tx 1N1N  
10/s 262.2x10/s 262.2x 
 • Substituindo os valores para os dez caroços, 
=0.1887 g e s=0.0423 g, chegamos ao 
intervalo: 
 
 0.1584 g<  <0.2190 g 
 
• E, logo, a: 
 
 4566-6313 caroços / kg 
 
x
 
 4566-6313 caroços / kg 
 
• Como já esperávamos, a incerteza cresceu 
em relação à estimativa anterior (4735 a 
6017 caroços), que era baseada no desvio 
padrão populacional (embora aproximado 
pelo desvio padrão da amostra de 140 
caroços). 
 
 • Com o aumento do número de graus de 
liberdade, os valores de tN-1 convergem, a 
princípio rapidamente e depois mais devagar, 
para os valores da distribuição normal 
padrão. À medida que a amostra cresce, 
portanto, a diferença entre as duas 
distribuições vai perdendo a importância. 
 
• Na prática, só se costuma usar a distribuição 
t quando o número de graus de liberdade na 
estimativa do desvio padrão é inferior a 30. 
 
 
Como determinar o tamanho da 
amostra 
 
• Como detectar uma variação de certa 
magnitude no valor da média ou estimar o 
valor de um parâmetro com um certo grau de 
precisão? 
 
 
 
• No exemplo da titulação do vinagre, digamos 
que nosso objetivo seja obter uma estimativa 
de concentração com precisão de 0.1%. 
Quantas titulações repetidas devemos fazer? 
 
• Os intervalos do teste t são dados por: 
 
 
• Para estimar a concentração média dentro de 
0.1%, precisaremos de um número N de 
titulações tal que 
N
s
tx 
% 1.0
N
s
t 
ou 2
%1.0
st
N 




 
 
N/s txN/s tx 1N1N  
 
 
 • Aqui temos um problema. O valor de s deve 
ser calculado a partir da amostra, e no 
entanto não sabemos nem quantas titulações 
devem ser feitas. 
 
• Na prática, felizmente, esse problema não é 
tão grave quanto parece, porque as medições 
já realizadas ao longo do tempo fornecem um 
valor “histórico” para s. 
 
 • Os resultados obtidos em 20 titulações foram: 
 
 
 
 
 
• No nosso exemplo, podemos usar o desvio 
padrão de todas as titulações feitas, que é 
s=0.1509%, e escrever: 
2
19
%1.0
% 1509.0t
N 




 

 
 
 • Como o desvio padrão foi calculado a partir 
de 20 observações, o valor de t é o 
correspondente a 19 graus de liberdade, não 
importa qual venha a ser o valor de N. Isto 
contribui para reduzir ainda mais a largura do 
intervalo. 
 
• Calculando t19 (95% de confiança): 
 
 
 
 • Substituindo t19 = 2.093 (95% de confiança), 
temos finalmente: 
 
 
 
 
 
• Para obter a precisão desejada, portanto, 
precisamos fazer pelo menos 10 titulações. 
 
98.9
%1.0
% 1509.0t
N
2
19 




 

 
 
 
 
• Quando temos uma estimativa de desvio 
padrão obtida a partir de uma série histórica 
de extensão razoável, a diferença entre a 
distribuição t e a distribuição normal deixa de 
ter importância. 
 
 
 
 
• Esta éa situação mais comum em 
laboratórios de análise, onde todos os dias os 
mesmos procedimentos são realizados, 
repetidas vezes. 
 
• Para estimar o tamanho da amostra, nesses 
casos, podemos usar a expressão: 
2
L
z
N 




 

L : precisão desejada,  : desvio 
padrão, z : ponto da distribuição 
normal padrão