4-LIMITES

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LIMITES
O Problema da Tangente
O conceito de tangente em cálculo é diferente do conceito de tangente para a geometria plana. Para esta última, uma reta tangente a uma curva é aquela que toca a curva em um único ponto, ou seja, o resultado da intersecção entre a curva e a reta tangente a ela tem apenas um elemento. Para o cálculo, o conceito de reta tangente tem caráter local, sendo a reta que toca a curva no ponto de tangência, não sendo necessário que este ponto seja único. A grande vantagem de estudar as retas tangentes aos pontos de uma função dada por um gráfico é que a reta tangente, por encostar-se no gráfico naquele ponto, permite um estudo por aproximação do comportamento do gráfico na vizinhança do ponto. 
Para compreendermos melhor como o problema das tangentes nos conduz ao estudo dos limites, considere o problema “Determinar a equação da reta tangente à parábola no ponto P(1,1).”. 
Sabemos determinar a equação de uma reta quando dela conhecemos dois pontos ou quando conhecemos um ponto e o seu coeficiente angular. Nesse caso, conhecemos o ponto (1,1) que está na reta e na curva simultaneamente. A possibilidade de determinar um outro ponto desta reta é remota; vamos preferir então determinar a inclinação desta reta. Para tanto, vamos tomar pontos na curva e estudar as inclinações das retas formadas por estes pontos e o ponto P(1,1). Tomando arbitrariamente o ponto , a reta PQ tem inclinação dada por . Por exemplo, se temos e então . Aproximando-nos mais do valor , vamos tomar , que acarreta em e . Estudando com auxílio de uma planilha eletrônica, temos e usando a equação da reta dados o coeficiente angular e um ponto:
	x
	y
	y
	x
	ms
	Equação da Reta
	0,9
	0,81
	-0,19
	-0,1
	1,9
	y=1,9x-0,9
	0,99
	0,9801
	-0,0199
	-0,01
	1,99
	y=1,99x-0,99
	0,999
	0,998001
	-0,002
	-0,001
	1,999
	y=1,999x-0,999
	0,9999
	0,9998
	-0,0002
	0,0001
	1,9999
	y=1,9999x-0,9999
	1,001
	1,002001
	0,002001
	0,001
	2,001
	y=2.001x-1.001
	1,01
	1,0201
	0,0201
	0,01
	2,01
	y=2.01x-1.01
	1,02
	1,0404
	0,0404
	0,02
	2,02
	y=2.02x-1.02
	1,05
	1,1025
	0,1025
	0,05
	2,05
	y=2.05x-1.05
	1,1
	1,21
	0,21
	0,1
	2,1
	y=2.1x-1.1
	1,2
	1,44
	0,44
	0,2
	2,2
	y=2.2x-1.2
	1,5
	2,25
	1,25
	0,5
	2,5
	y=2.5x-1.5
Podemos facilmente observar que conforme x se aproxima de 1, pela direita ou pela esquerda, y se aproxima de 2 e as retas formadas pelos pontos P e Q, onde P é fixo (1,1) e Q é dado por estas variações, se aproximam da reta tangente, conforme vemos na figura abaixo.
Dizemos que a inclinação da reta tangente é dada pelo limite das inclinações das retas secantes. Em linguagem matemática, escrevemos e .
Exercícios Stewart v.1 6ª ed, números 1 a 6.
Um tanque com capacidade para 1000 litros de água é drenado pela base em meia hora. Os valores na tabela mostram o volume V de água remanescente no tanque (em litros) após t minutos.
	t(min)
	5
	10
	15
	20
	25
	30
	V(L)
	694
	444
	250
	111
	28
	0
Se P é o ponto (15,250) sobre o gráfico de V, encontre as inclinações das retas secantes PQ onde Q é o ponto sobre o gráfico correspondente a t = 5, 10, 15, 20, 25 e 30.
Estime a inclinação da reta tangente em P pela média das inclinações de duas retas secantes.
Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um paciente após uma cirurgia. Ele fornece um número de batimentos cardíacos após t minutos. Quando os dados na tabela são colocados em um gráfico, a inclinação da reta tangente representa a taxa de batimentos cardíacos por minuto. 
	t(min)
	36
	38
	40
	42
	44
	Batimentos
Cardíacos
	2530
	2661
	2806
	2948
	3080
O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma reta secante. Use os dados para estimar a taxa de batimentos cardíacos após 42 minutos, utilizando a reta secante entre os pontos para os valores de t dados.
�
t =36 e t = 42
t=38 e t=42
t=40 e t=42
t=42 e t=44
�
O ponto pertence à curva .
Se Q é o ponto , use sua calculadora para determinar a inclinação da reta secante PQ com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x:
�
0,5
0,9
0.99
0,999
1,5
1,1
1,01
1,001
�
Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto .
Utilize a inclinação obtida no item anterior para achar uma equação da reta tangente à curva no ponto .
O ponto P(3,1) pertence à curva .
Se Q é o ponto , use sua calculadora para determinar a inclinação da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais, para os seguintes valores de x:
�
2,5
2,9
2,99
2,999
3,5
3,1
3,01
3,001
�
Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta tangente à curva no ponto P(3,1).
Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta tangente à curva em P(3,1).
Esboce a curva, duas das retas secantes e a reta tangente.
O ponto P(1,0) está sobre a curva . 
Se Q for o ponto , encontre a inclinação da reta secante PQ (correta até a quarta casa decimal) para x = 2; x=1,5; x=1,4; x=1,3; x=1,2; x=1,1; x=0,5; x=0,6; x=0,7; x=0,8 e x=0,9. As inclinações parecem tender a um limite?
Use um gráfico da curva para explicar por que as inclinações das retas secantes na parte (a) não estão próximas da inclinação da reta tangente em P.
Escolhendo as retas secantes apropriadas, estime a inclinação da reta tangente em P.
O LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Para compreender melhor este conceito, vamos estudar o comportamento de algumas funções. 
Considere a função nos valores em torno de x = 2. A tabela abaixo mostra as contas.
	x
	1
	1,5
	1,8
	1,91
	1,95
	1,99
	1,995
	1,999
	2,001
	2,005
	2,01
	2,05
	2,1
	2,5
	3
	y
	1
	2
	3,08
	3,5662
	3,755
	3,9502
	3,97505
	3,995002
	4,005002
	4,02505
	4,0502
	4,255
	4,52
	7
	11
A tabela nos permite observar que quando x se aproxima de 2, y se aproxima de 4. Em outras palavras, quando x tende a 2, y tende a 4. Observe que não estamos olhando qual o valor de y quando x vale 2. Estamos estudando o comportamento dos números próximos de x = 2 – a vizinhança de 2. Essa é a essência do estudo do limite. O limite de uma função consiste exatamente em estudar vizinhanças de abscissas, verificando para que valor tendem suas ordenadas. Neste nosso exemplo, escrevemos .
Definição: Escrevemos e dizemos “o limite de f(x) quando x tende a a é igual a L”, se pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos de L quanto quisermos tornando x pequeno o suficiente para estar muito próximo de a, pela esquerda e pela direita, mas não igual a a.
É importante destacar que não interessa para o estudo dos limites qual o valor da função quando x = a mas sim para onde tende f(x) quando x tende a a. Na realidade, a função nem precisa estar definida em a para que exista o limite, de fato, isso nem tem relevância para o estudo do limite. 
Observe os exemplos abaixo.
Vamos determinar o limite de dada pelo gráfico abaixo quando x tende a -6, -2, 0 e 3.
Temos:
, pois a observação do gráfico nos permite visualizar que quando x se aproxima de -6, y aproxima-se de 1, mesmo que não exista f(-6) por -6 não estar no domínio de f.
 pela observação do gráfico vemos que quando x se aproxima de -2 pela esquerda e pela direita, y aproxima-se de 3, mesmo que .
 pois quando x se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, y se aproxima de -1.
 pois quando x se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita, y aproxima-se de 8.
Estime o valor de 
Veja abaixo o gráfico e a tabela dessa função:
Então podemos perceber que , apesar de não estar a função definida em x = 1 e x = -1. 
�
Estime o valor de , sendo .
O gráfico dessa função aparece abaixo. 
Vamos ampliar o gráfico em torno dos valores que nos interessam e fazer um estudo gráfico deste limite.
 
Veja que, conforme aproximamo-nosde x pelos lados direito e esquerdo, mais os valores de y aproximam-se de 0,5 por cima e por baixo, o que nos leva a responder que . Porém, , conforme a lei da função. 
Estime o valor de .
Note que pois , que é uma indeterminação. Vamos tabelar.
	x
	1
	0,1
	0,01
	0,001
	10-4
	10-5
	10-6
	-10-6
	-10-5
	-10-4
	-10-3
	-10-2
	-0,1
	-1
	y
	0,162278
	0,16662
	0,166666
	0,166667
	0,166667
	0,166667
	0,166533
	0,16653345
	0,166667
	0,166667
	0,166667
	0,166666
	0,16662
	0,162278
Podemos estimar então que .
Observe seu comportamento gráfico:
		
Janela: [-100,100] X [-0,2 , 0,2]					Janela: [-5,5] X [-0,1 , 0,3]
Janela: [-0,1 , 0,1] X [-0,1 , 0,3]
Estime o valor de .
Observe novamente que Vamos estudar a tabela da função para valores próximos de x=0 pela esquerda e pela direita.
	x
	1
	0,5
	0,1
	0,05
	0,01
	0,005
	0,001
	-0,001
	-0,005
	-0,01
	-0,05
	-0,1
	-0,5
	y
	0,841471
	0,958851
	0,998334
	0,999583
	0,9999833
	0,99999583
	0,99999983
	0,99999983
	0,999996
	0,999983
	0,999583
	0,998334
	0,958851
Os gráficos abaixo mostram a função em janelas diferentes, a primeira dando uma visão mais global e a segunda uma visão mais local do comportamento da função. Note que em x = 0 a função não está definida, pois , o que é uma indeterminação.
 
LIMITES LATERAIS
DEFINIÇÃO: Escrevemos e dizemos “o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é L” se pudermos tomar valores de f(x) tão próximos de L quanto quisermos para valores de x menores e suficientemente próximos de a.
DEFINIÇÃO: Escrevemos e dizemos “o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L” se pudermos tomar valores de f(x) tão próximos de L quanto quisermos para valores de x maiores e suficientemente próximos de a.
A questão da lateralidade no estudo dos limites leva-nos a considerar apenas valores à esquerda ou à direita do valor considerado de x, observando isoladamente em cada lado como se comporta a função nesta variação de x. O símbolo indica que “x tende a a pela direita”, ou seja, por valores maiores e próximos de a; já o símbolo indica que “x tende a a pela esquerda, ou seja, por valores menores e próximos de a”. Podemos agora considerar verdadeira a seguinte proposição:
EXISTÊNCIA DO LIMITE: se, e somente se, e .
Em outras palavras, o limite de uma função quando x tende a a existe e é igual a L se, e somente se, existem os limites laterais e estes são também iguais a L.
Por exemplo, considerando o gráfico da função g que aparece abaixo, use-o para dizer os valores, caso existam, dos seguintes limites:
 3
 1
 
Note que, apesar de , temos .
LIMITES INFINITOS
Vamos determinar, se existir, . Para tanto, vamos estudar o gráfico de .
	x
	0,5
	0,1
	0,05
	0,01
	0,005
	0,001
	-0,001
	-0,005
	-0,01
	-0,05
	-0,1
	-0,5
	y
	4
	100
	400
	10000
	40000
	1000000
	1000000
	40000
	10000
	400
	100
	4
Dizemos então que , pois e .
Atente, porém, para o seguinte fato: não é um número, ele indica o comportamento de uma função quando x tende a um determinado valor. Se o limite resulta em , então a função tende a valores muito grandes, muito positivos, quando x se aproxima desse valor; por outro lado, se o limite resulta em , então a função tende a valores muito pequenos, muito negativos, quando x se aproxima desse valor.
DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então, significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem tão grandes (positivos) quanto quisermos, bastando para isso tomarmos valores muito próximos de a.
DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então, significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem tão pequenos (negativos) quanto quisermos, bastando para isso tomarmos valores muito próximos de a.
As mesmas definições acima aplicam-se também aos casos dos limites laterais. 
Vejamos agora mais alguns exemplos:
		
 							
 							
 								
						
						
 
x�
0�
�
0�
1�
�
0,5�
0,6667�
�
0,8�
0,5556�
�
0,9�
0,5263�
�
0,95�
0,5128�
�
0,99�
0,5025�
�
0,999�
0,5003�
�
1,001�
0,4998�
�
1,01�
0,4975�
�
1,1�
0,4762�
�
1,5�
0,4000�
�
1,8�
0,3571�
�
2�
0,3333�
�
�
Observe que quando nos aproximamos de x=0 pelo lado esquerdo, os resultados de � QUOTE � ��� vão se tornando muito grandes. Da mesma maneira, quando tomamos valores muito próximos de x=0 pelo lado direito, os resultados também se tornam grandes. A tabela confirma isso.