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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
BELO HORIZONTE / MG 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES ............................................................................................... 3 
A FUNÇÃO AFIM................................................................................................................... 5 
A FUNÇÃO QUADRÁTICA .................................................................................................... 7 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 01 ATÉ 03 ................................................. 9 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .........................................................................................15 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS .................................................................................................18 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ..............................................................................................19 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 05 ATÉ 07 ..................................................20 
 DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI ....................................................................24 
 LIMITES .............................................................................................................................26 
LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE ...............................................................................29 
LIMITES INFINITOS E NO INFINITO ....................................................................................31 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA 09 ATÉ 12 .......................................................33 
UM LIMITE FUNDAMENTAL ................................................................................................35 
DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS .........................................................................................36 
ASSÍNTOTAS .......................................................................................................................38 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 14 ATÉ 16 ..................................................39 
DERIVADAS .........................................................................................................................40 
REGRAS DE DERIVAÇÃO ...................................................................................................42 
REGRA DA CADEIA .............................................................................................................44 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 18 ATÉ 20 ..................................................45 
REGRA DE L’HOSPITAL ......................................................................................................48 
DERIVADAS SUCESSIVAS E INTERVALOS DE CRESCIMENTO .......................................51 
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS .........................................................................................53 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ...........................................................................................54 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 22 ATÉ 25 ..................................................55 
INTEGRAL INDEFINIDA .......................................................................................................59 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO .............................................................................................60 
INTEGRAL DEFINIDA ..........................................................................................................61 
ÁREAS .................................................................................................................................63 
ÁREAS ENTRE CURVAS .....................................................................................................64 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 27 ATÉ 31 ..................................................65 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA .......................................................................................................69 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: .....................................................................................69 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
3 
 
INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES 
O Cálculo Diferencial e Integral, que 
passamos a estudar agora, pode ser entendido 
como o estudo do comportamento das funções, 
permeando os conceitos, que estudaremos a 
seguir, de derivada e de integral. 
As funções que serão objeto de nosso 
estudo, neste primeiro momento, são funções 
reais de uma variável real. O que seria isso? 
No ensino fundamental e no médio (ou 
antigos ginasial e colegial), tivemos contato com 
expressões como: 
(1) 𝑦 = 5𝑥 − 3 
(2) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 
(3) 𝑠 = 23 + 5𝑡 
(4) 𝑀(𝑡) = 300. (1 + 0,04𝑡) 
Em todas elas, temos uma variável que 
depende de outra. Por exemplo, na expressão (1) 
o valor de 𝑦 depende do valor de 𝑥; em (2) temos 
que 𝑓(𝑥) depende do valor de 𝑥; em (3), 𝑠 
depende de 𝑡 e, finalmente, em (4), 𝑀(𝑡) depende 
de 𝑡. Podemos também dizer que: 
Em (1), 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a 
variável dependente; 
Em (2), 𝑥 é a variável independente e 𝑓(𝑥) é a 
variável dependente; Em (3), 𝑡 é a variável 
independente e 𝑠 é a variável dependente; 
Em (4), 𝑡 é a variável independente e 𝑀(𝑡) é a 
variável dependente. 
Exemplo 1: Se 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥, determine 𝑔(5) e 
𝑔(𝑎 + 1). 
Para calcular 𝑔(5) basta substituir 𝑥 por 5 em 𝑔(𝑥) 
= 𝑥² − 3𝑥. Assim, temos que 𝑔(5) = 5² − 3.5 = 10. 
Da mesma maneira, para obter 𝑔(𝑎 + 1), 
substituímos 𝑥 por 𝑎 + 1. 
Portanto, 𝑔(𝑎 + 1) = (𝑎 + 1)² − 3. (𝑎 + 1) = 𝑎² + 2𝑎 
+ 1 − 3𝑎 − 3 = 𝑎² − 𝑎 − 2. 
Exemplo 2: A receita com a venda de 𝑥 unidades 
de determinado produto é dada por 𝑅(𝑥) = 
115,95𝑥 e o custo para produzir 𝑥 unidades é 𝐶(𝑥) 
= 95𝑥 + 750. Para que haja lucro, é preciso que a 
receita seja maior que o custo. Para que valores 
de 𝑥 esse produto dará lucro? 
Para obter lucro, devemos ter 𝑅(𝑥) > 𝐶(𝑥). Assim, 
115,95𝑥 > 95𝑥 + 750. 
Resolvendo a inequação temos:
 
Portanto, para obter lucro devemos vender, pelo 
menos, 36 unidades. 
Exemplo 3: Um automóvel novo custa 𝑅$ 
22.000,00. Suponhamos que nos 8 primeiros 
anos ele sofra uma desvalorização linear de 𝑅$ 
2.000,00 ao ano. 
a) Escreva a expressão que relaciona o valor do 
automóvel (em reais) com o tempo decorrido 
(em anos). 
b) Qual será o valor do automóvel após 4 anos 
de uso? 
c) Quanto tempo leva para que seu valor seja 𝑅$ 
10.000,00? 
a) Neste problema temos duas variáveis que são 
o valor do automóvel e o tempo decorrido. 
Chamando o valor do automóvel de 𝑉 e o 
tempo de 𝑡, podemos dizer que 𝑉 = 22000 − 
2000. 𝑡, ou seja, após 𝑡 anos o carro valerá 
22.000 reais subtraído de 2.000 vezes a 
quantidade de anos que se passaram, que é 
a desvalorização. 
Duas maneiras alternativas de escrever esta 
expressão seriam 𝑉(𝑡) = 22000 −2000. 𝑡 e 𝑉(𝑡) 
= 22 − 2𝑡 com 𝑉(𝑡) em milhares de reais. 
b) O valor do automóvel após 4 anos será 𝑉(4) = 
22000 − 2000.4 = 14.000 reais. 
c) Para saber após quantos anos o automóvel 
valerá 10.000 reais, fazemos 
 
 Exemplo 4: Na expressão (fórmula para 
converter graus Celsius em graus Fahrenheit e 
vice-versa) temos 𝑡𝑐 (variável dependente) em 
função de 𝑡𝑓 (variável independente). De forma 
análoga poderíamos escrever onde 𝑡𝑓 (agora 
variável dependente) está em função de 𝑡𝑐 (agora 
variável independente). 
Em termos mais formais, podemos definir uma 
função de um conjunto A em um conjunto B como 
sendo uma relação 𝑓 entre os elementos de A e 
B que faz corresponder a cada elemento do 
conjunto A um único elemento de B. 
• Domínio e imagem de uma função 
O domínio de uma função é o conjunto de 
todos os possíveis valores da variável 
independente e o conjunto imagem é composto 
por todos os valores da variável dependente. As 
definições de domínio e imagem ficarão mais 
claras