Equações Diferenciais: Classificação e Soluções

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - UFCG 
CAMPUS DE SUMÉ 
UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO - UATEC 
 
 
 
Disciplina: Equações Diferenciais Lineares Professora: Tatiana Simões 
 
Aluno(a):____________________________________________________________________ 
 
Unidade 1: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
I. CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
As palavras equação e diferencial sugerem certamente algum tipo de igualdade que envolve 
derivadas! E como qualquer curso onde se aprende a encontrar soluções de equações, neste você estará 
procurando a solução de uma equação que envolve derivadas, ou seja, você encontrará a função que foi 
derivada e que satisfaz a igualdade. 
 
Uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes em relação a 
uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial (ED). 
 
É possível classificar as equações diferenciais por tipo, ordem e linearidade. 
 
 Classificação por Tipo 
 
Se uma equação tiver somente derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma 
única variável independente, ela será chamada de equação diferencial ordinária (EDO). Por exemplo 
 
2
2
2
6 e 2x
d x dy
y y y e x y
dt dt
      
 
são equações diferenciais ordinárias. Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais 
variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial 
(EDP). Por exemplo, 
 
2 2 2
2
2 2 2
0 6 e xxt t x
u u u v
y y y e y
x y y t
   
      
   
 
 
Neste curso, serão tratadas as EDOs, as EDPs devem ser estuadas em um curso mais avançado! 
 
 Classificação por Ordem 
 
A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP) é a ordem da maior derivada na equação. Por 
exemplo, 
 
32
2
5 2
d y dy
x
dx dx
 
  
 
 
 
 
 
 
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. 
segunda 
ordem 
primeira 
ordem 
 
 Classificação por linearidade 
 
Dizemos que uma equação diferencial é linear se a função (variável dependente) envolvida na 
equação e suas derivadas aparecem linearmente na equação, ou seja, se a função 
( )f x
 é de primeiro grau 
em 
( )f x
e em suas derivadas. Por exemplo, 
 
 
2
2
2
4 0 0 (equação da difusão) e 2 6 x
u u
y x dx xdy a y x y y e
t x
 
        
 
 
 
são equações diferenciais lineares. Uma equação diferencial não linear são aquelas cuja variável dependente 
e suas derivadas estão em termos não lineares, por exemplo: 
 
 
2 2 4
2
2 4
1 4 0 3 e t x
u u d y
y dy xdx e y e
t x dx
  
       
  
. 
 
Exercícios de Fixação: Classifique as equações diferenciais 
 
2
2
2 2 3 2
) 5 ) 3 2 0 ) 3
) 2( ) cos )( ) ( ) 3 
dy d y dy
a x b y c xy y
dx dx dx
d y y y x e y y y x
      
         
 
2 2
2 2 2
2 2
2
 )
) ) ( ) ( ) ) ( ) ( )
) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 
z z
f z x
x y
z z
g x y h y x x y x i y x x y x
x y
j y x y x y x y x
 
 
 
 
       
 
    
2
( )
2
( )
 ) ( ) ) ( ) ( )u t
d u t
l e f t m u t g u
dt
   
 
II. SOLUÇÕES DE EDO 
 
Conforme dito anteriormente, este curso está preocupado em encontrar soluções de equações 
diferenciais ordinárias, desta forma, será considerada a seguinte definição de solução: 
 
Toda função 
( )f x
, definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas contínuas em I, as quais 
quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduzem a equação a uma identidade 
(ou satisfaz a igualdade), é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo. 
 
Por exemplo, 
 
a. a função 
( ) cosy x x
 é uma solução da EDO linear de segunda ordem 
0y y  
. (mostre!) 
b. a função 4
g( )
16
x
x 
 é uma solução da EDO linear de segunda ordem 
g x g 
. (mostre!) 
c. a função 
2( ) tu t te
 não é uma solução da EDO linear de segunda ordem 
2u u u  
. (mostre!) 
 
 
 Vamos considerar a seguinte equação: 
 
( )
( ) ou ainda 
2 2
x df x x
f x
dx
  
 
cuja solução geral é 2
( )
4
x
f x C 
.(visualize as soluções no 
gráfico ao lado) 
 
1. Se colocarmos no problema que 
(0) 3f 
 então C = 3. 
2. Se colocarmos no problema que 
(0) 2f  
 então C = - 2. 
 
O gráfico de uma solução 
f
 de uma EDO é chamado de 
curva integral. Se toda solução de uma equação diferencial 
ordinária de ordem n em um intervalo I puder ser obtida de uma 
família a n parâmetros por meio de uma escolha apropriada dos parâmetros 
, 1, 2,...,iC i n
, dizemos que a 
família é a solução geral da equação diferencial. 
A solução de uma equação diferencial que não dependa de parâmetros arbitrários é chamada solução 
particular. Assim tem-se no exemplo acima que: 
 
2
( )
4
x
f x C 
 2
( ) 3
4
x
f x  
 2
( ) 2
4
x
f x  
 
 Solução Geral Solução Particular Solução Particular 
 
O valor da função que permite eliminar a constante é chamado de condição. 
 
Seja 
f
 definida em [a, b], então se for dado o valor de 
f
 no ponto (a, 
f
(a)) definida temos uma 
condição inicial. Caso seja dado o valor e
f
em 
[ , ]t a b
 então tem-se uma condição de contorno. 
 
 Frequentemente o interesse é encontrar uma solução 
( )f x
 para uma equação diferencial de modo 
que 
( )f x
 satisfaça determinadas condições iniciais ou de contorno, isto é, as condições impostas a 
( )f x
 e 
suas derivadas. A combinação da equação diferencial sujeita a uma condição é chamada de Problema de 
Valor Inicial (PVI). 
 
III. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1º ORDEM 
 
Vamos agora iniciar nosso estudo com as equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Essas 
equações podem se apresentar de duas formas equivalentes: 
 
(a) Forma Normal: 
 ( ) , ( )y x f x y x 
 ou ainda 
 ,y f x y 
 
(b) Forma diferencial: 
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy 
, no domínio onde 
( , ) 0Q x y 
. 
 
É fácil verificar que as duas formas são equivalentes! 
 
 Agora faremos uma descrição detalhada de alguns métodos de resolução para equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem. 
 
1. EDO a Variáveis Separáveis 
 
Vamos considerar agora equações do tipo: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 0a x p y dx b x q y dy 
 
onde 
( ), ( ), ( ) e ( )a x b x q y p y
 são funções contínuas. As variáveis x e y que aparecem nos coeficientes da 
EDO estão separados, o que motivou o nome. Multiplicando essa EDO pelo fator integrante 
1
( , )
( ) ( )
I x y
b x p y

 ela se reduz à forma: 
y 
x 
C = 0 
C = 3 
C = 4 
( ) ( ) 0f x dx g y dy 
 
cuja família de soluções é determinada por integração formal. Na forma normal, uma EDO a variáveis 
separáveis apresenta-se da seguinte maneira: 
( )
, com ( ) 0
( )
F x
y G y
G y
  
 
e a soluçãose reduz ao cálculo de primitivas. 
 
Exemplos: 
 ( )2
2
4 1
) , onde 0 )( 4) 2 0 ) ( ) ) ( )
9 ln
t y tx
a y y b x dy ydx c y t e d y x
y x y
         
 
 
2. EDO Linear 
 
Apresentam-se na forma geral, 
( ) ( ) ( ) ( )y x a x y x b x  
 (2) 
 
onde as funções 
( ) e ( )a x b x
 são supostamente contínuas. 
 Para resolver esta edo, primeiro multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante 
 ( )
( )
a x dx
I x e 
, transformando-a em uma derivada total, e em seguida integramos formalmente o resultado. 
Assim, 
     
   
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( )
a x dx a x dx a x dx
a x dx a x dx
y I x a x yI x b x I x y e a x y e b x e
d
y e b x e
dx
                 
     
          
    
 
 
integrando esta última igualdade com respeito à variável x, obtemos: 
 
   ( ) ( )
( )
a x dx a x dx
y e C b x e dx
     
 

 (3) 
onde C é uma constante arbitrária que será determinada quando for imposta à edo uma condição. A 
expressão (3) engloba todas as soluções da edo (2), e por essa razão recebe o nome de solução geral da edo 
(2). 
 
Exemplos: 
 
2 2 2 3) ( ) 0 ) ( ) ( ) 0 ) ( ) 2 ( ) , para 0 ) ( ) ( )a y x x b y t t y t c xy x xy x x x d y t y t t             
 
 
Obs.: A razão pela qual as equações diferenciais lineares de 1ª ordem são relativamente simples é a 
existência de uma fórmula que dá a solução de uma tal equação em todos os casos. Já, no caso das não-
lineares, não há um método geral correspondente para a solução não linear de 1ª ordem. A determinação 
analítica da solução é usualmente muito difícil e frequentemente impossível! 
 
3. EDO Exata 
 
Considere uma edo na forma diferencial: 
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy 
 
 
 Essa EDO é denominada exata quando existir uma função diferenciável 
( , )x y
tal que 
d Pdx Qdy  
. Sob certas condições, a existência de uma tal 

 é equivalente à condição: 
P Q
y x
 

 
, (4) 
por que a relação 
d Pdx Qdy  
 é equivalente ao sistema de equações: 
( , )
( , )
P x y
x
Q x y
y



 

 

 (5) 
e no domínio onde as derivadas mistas 
 e xy yx 
 coincidirem teremos válida a relação (4). Uma tal função 

 é denominada função potencial e o problema de encontrar uma função potencial se reduz a resolver o 
sistema (5). 
 Desta forma, se uma função 
( )y x
 é definida implicitamente pela equação 
( , ( ))x y x cte 
, isso nos 
motiva a denominar as curvas 
( , )x y cte 
 de curvas integrais ou soluções da EDO exata. 
 
Exemplos: 
 
   2 2 2 2 2 2 3) 3 2 0 )2 0 )3 2 0a x y dx xydy b tydy t y dt c x y dx x ydy       
 
 
 
4. EDO a Coeficientes Homogêneos 
 
A palavra homogênea é usada para qualificar algo que tenha estrutura uniforme. 
 
Def.: Uma expressão em x e y é dita homogênea de grau n se, substituindo x por 
x
 e y por 
y
 obtemos 
n
 vezes a expressão anterior. Isto é 
 
( , ) ( , )nA x y x y  
 
Exemplo: A expressão 
2 2x xy y 
 é homogênea, porém 
2 2 2 2 2 ou lnx x y y x x  
 não são expressões 
homogêneas. 
 
 Consideremos a equação: 
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy 
 
ela é dita homogênea quando 
( , ) e ( , )P x y Q x y
 forem homogêneas de mesmo grau. Para solucionar este 
tipo de equação faremos a seguinte mudança de variável a fim de reduzi-la à uma equação de variáveis 
separáveis. 
 
 e y tx dy tdx xdt  
 
Exemplos: 
     2 2 2 2 2 2)2 0 ) 0 a xydy x y dx b xy x y dx x y xy dy      
 
 
 
BIBLIOGRAFIAS 
 
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valor de contorno. 7.ed. 
Rio de Janeiro, LTC, 2002. 
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 9ª edição. São Paulo: Ed. Cengage 
Learning, 2011. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Vol. 4. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
MATOS, Marivaldo P. Séries e Equações Diferenciais. São Paulo: Prentice Hall , 2001. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994.