ATPS - Matemática Aplicada Passos: 1 e 2

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ANHANGUERA EDUCACIONAL Ltda.
Faculdade Anhanguera de Taboão da Serra
Curso de Graduação em Administração
Fernanda Maria Evangelista dos Santos RA8491233127
Nicoly Rodriguês Macêdo RA8094915014
Danielle Ignácio da Silva RA8486212646
Márcia Helena de Souza RA9911174051
Jorge Luiz Ferreira Gomes RA9088478924
Camila dos Reis Fagundes RA8491172774
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISONADA DE ADMINISTRAÇÃO – MATEMÁTICA APLICADA.
Etapa 1 – Conceito de Derivada.
Etapa 2 – Técnicas de Derivação.
Professor: Uendel Moreira
Taboão da Serra-SP
..07.../...04..de 2015
ETAPA 01: CONCEITO DE DERIVADAS.
Empresa de consultoria contratada: Brasil Consultoria
Relatório 1:
CONCEITO DE DERIVADA E SUAS TANGENTES.
Suponha que a reta r da figura vá se aproximando da circunferência até tocá-la num único ponto.
Veja que na figura 4, a reta r é tangente à circunferência no ponto P. Outros exemplos de retas tangentes (no ponto P). Na Fig. 7 e Fig. 8 não é reta tangente no ponto Q.
Definição. Dada uma curva de equação y = f (x), seja P (x0,y0) um ponto sobre ela, ou seja, y0 = f (x0). A Reta Tangente a esta curva no ponto P é a reta que passa por P cujo coeficiente angular mT e é dado pela expressão quando este limite existe. Assim a equação da reta tangente é dada por 
O limite descrito acima, é muito importante, por isso receberá uma denominação especial: 
Chama-se derivada da função f no ponto x0 e denota-se f ' (x0). . 
Outras notações para a derivada da função y = f (x) num ponto x qualquer:
 y´(x) (lê-se: y linha de x ou derivada de y em relação a x); 
 Dxf (lê-se: derivada da função f em relação à x); 
 (lê-se: derivada de y em relação à x).
APLICAÇÕES DA DERIVADA 
Vamos tratar de algumas aplicações matemáticas que são geradas pelo conceito de derivada. 
Um caso típico da aplicação da derivada é a medida da velocidade de um corpo em movimento. Uma vez que temos o ponto inicial Si e o ponto final Sf podemos calcular a sua velocidade média desenvolvida pelo corpo nesse trajeto. 
Sabemos que:
 
Se tivermos de medir a velocidade em tempos e distâncias bem menores, isso é equivalente a fazer com que o valor t se aproxime de zero.
 
ou seja, uma derivada. Se conhecermos a função S em função do tempo teremos:
 
Ainda podemos fazer o cálculo da aceleração:
 
Exemplo 1. Imagine que um veículo desloca-se por uma estrada e sua posição em um determinado instante é dada pela seguinte função S (t ) = 2 + 4t + 8t 2 , onde t é dado em segundos e S é dado em metros. Vamos calcular a velocidade deste móvel no instante t=2. Entrando em Derivadas que contem Máximos e Mínimos.
TABELA 1 – FUNÇÃO CUSTO.
	Quantidade “X” do produto B a ser produzido
	
0
	
10
	
20
	
30
	
40
	C(X)=X²-40X +700
Custo para produzir q unidades do produto B
	C(X)=X²-40X+700
C(0)=0²-40.0+700
C(0) =0-0+700
C(0)= 0+700
C(0)=700
	C(X)=X²-40X+700
C(10)=10²-40.10+700
C(10) =100-400+700
C(10)=-300+700
C(10)= -1000
	C(X)=X²-40X+700
C(20)=20²-40.20+700
C(20) =400-800+700
C(20)= -400+700
C(20)=-1100
	C(X)=X²-40X+700
C(30)=30²-40.30+700
C(30) =900-1200+700
C(30)= -300+700
C(30)=-1000
	C(X)=X²-40X+700
C(40)=40²-40.40+700
C(40) =1600-1600+700
C(40)= 0+700
C(40)=700
	Quantidade “X” do produto B a ser produzido
	50
	60
	C(X)=X²-40X +700
Custo para produzir q unidades do produto B
	C(X)=X²-40X+700
C(50)=50²-40.50+700
C(50) =2500-2000+700
C(50)=500+700
C(50)=1200
	C(X)=X²-40X+700
C(60)=60²-40.60+700
C(60) =3600-2400+700
C(60)=1200+700
C(60)=1900
RESUMO.
Caso a empresa deixe de produzir por um dia ela terá um custo de R$ 700, se tornando não muito interessante para empresa ficar sem produzir.
Acreditamos que a quantidade ideal para se produzir deste produto B por dia seria de 40 unidades do mesmo, pois produzindo está quantidade a empresa terá um custo mínimo e assim também trará a seus equipamentos uma vida útil, assim não os desgastando além do necessário e dessa forma também se alcançara o resultado esperado.
ETAPA 02: TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO.
Passo 1:
Vamos procurar relacionar o sinal da derivada de uma função num intervalo com o crescimento ou decrescimento da função no referido intervalo. 
Da observação directa do gráfico ao lado conclui-se a ocorrência simultânea destes dois pontos:
em qualquer ponto do intervalo a derivada é positiva (a tangente ao gráfico em cada um desses pontos tem declive positivo); a função é crescente no intervalo 
f é crescente em 
Podemos então resumir esta noção adquirida intuitivamente no teorema: 
Se uma função admite derivada positiva em todos os pontos de um intervalo é estritamente crescente nesse intervalo.
Observando agora o gráfico ao lado, verifica-se simultaneamente que: em qualquer ponto do intervalo a derivada é negativa (a tangente ao gráfico em cada um desses pontos tem declive negativo);
a função é decrescente no intervalo 
f é decrescente em 
 
Resumindo: 
Se uma função admite derivada negativa em todos os pontos de um intervalo é estritamente decrescente nesse intervalo.
Observemos por último o gráfico ao lado. Tem-se simultaneamente:
em qualquer ponto do intervalo a derivada é nula;
a função é constante no intervalo Intuitivamente podemos concluir: 
Se uma função tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo então é constante nesse intervalo. 
 
 	 
I. Estudar a variação da função, em     
II. Determinar os intervalos de monotonia da função definida em     
Uma função f tem um mínimo relativo em sse existe uma vizinhança de centro x0 e raio h de modo que, para todo o ponto dessa vizinhança diferente de x0, o valor da função é superior ao valor da função no ponto x0.
 Uma função f tem um máximo relativo em sse existe uma vizinhança de centro x0 e raio h de modo que, para todo o ponto dessa vizinhança diferente de x0, o valor da função é inferior ao valor da função no ponto x0. 
 Diz-se que uma função tem um extremo relativo em x0, se no ponto x0 a função tem um máximo ou um mínimo relativo.
	 
I. Determinar os extremos relativos da função definida em     
II. Mostrar que a função definida em tem um máximo igual a 2 para x 1 e um mínimo igual a 0 para x –1.    
Intuitivamente, vamos procurar relacionar o sinal da segunda derivada de uma função num dado intervalo com o sentido da curvatura do gráfico da função. 
As funções representadas ao lado são crescentes no intervalo 
Na primeira, a função cresce com a curvatura voltada para cima. 
A derivada f ' é crescente, logo 
Na segunda, a função cresce com a curvatura voltada para baixo. 
A derivada f ' é decrescente, logo 
 Consideremos agora duas outras funções representadas graficamente ao lado. São ambas decrescentes no intervalo 
A primeira decresce com a concavidade voltada para cima. A derivada é crescente, logo a segunda derivada é positiva. 
A segunda função decresce com a concavidade voltada para baixo. A derivada é decrescente, logo a segunda derivada é negativa.
 Então:
        o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima 
       o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo 
Dá-se o nome de ponto de inflexão ao ponto que separa uma parte convexa duma curva contínua de uma parte côncava. 
Quando existe derivada segunda nos pontos de inflexão, ela é nula. 
Estudaro sentido da concavidade e determinar, se existirem, os pontos de inflexão, de cada uma das funções definidas em por:
I.     
II.     
Passo 3:
C(q)= q2 – 4q + 700 / C(q) = 0
q2 – 40q + 700 = 0
α = 1 / b = -40 / c = 700
∆ = b2 – 4 .α.C
∆ = (-40)2 – 4. 1. 700
∆ = 1600 - 2800
∆ = -1200
 
 Passo 4:
A função C(q) = q2 – 40q + 700, onde q2 e 40q representam os custos variáveis da empresa e 700 o custo fixo das despesas da “Calçar-Bem”. Ao concretizarmos a mesma, chegamos aos resultados xv =20, que representa (valor mínimo), ou seja, a quantidade mínima de sapatos desse grupo, que deveram ser produzidos por dia. Com esse numero podemos afirmar que essa fabricação será o suficiente para as vendas, não excedendo a produção, não gerando gastos desnecessários, e minimizando o custo da fabricação dos novos sapatos, os quais serão o carro chefe pra empresa, e com isso aumentando o lucro. 
REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS
Vídeos
Avenida CULT. CONTABILIDADE 4.2 – Classificação das Contas. Disponível em:
<http://www.youtube.com/watch?v=Y2lmIeSSYF0> Acesso em: 22 out. 2014.
Compartilhado em:
<https://drive.google.com/file/d/0B0JhekeWwJycUHJoMVRqV3gwbkE/view?usp=shar
ing> e em: <https://krotonmy.
sharepoint.com/personal/willian_ferreira_anhanguera_com/_layouts/15/guestacce
ss.aspx?guestaccesstoken=YCzXo9wg5OPDLqPVE2tLFI8U6j%2f49vG00T8iZNygW
6w%3d&docid=01865cfda6b4a4374b75f941cf7ab5f56>. Acesso em: 22 out. 2014.
Livros
MARION, José Carlos; FAHL, Alessandra Cristina. Contabilidade Financeira. 2ª ed.
Valinhos: Anhanguera Publicações, 2013. PLT 707.
Sites: 
DEPARTAMENTO DE DUCAÇÃO FACULDADE DE CIÊNCIAS, http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm13/document/derivada/deriva_15/deriva_15.htm