Metodo_lugar_raizes

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Método do Lugar das Raízes 
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: -zi são zeros e -pi são pólos 
 
Eq. Característica: 
G s
b s b s b s b
a s a s a s a
m
m
m
m
n
n
n
n( )
...
...

   
   


 

1
1
1 0
1 1
1
1 0
 
    
    n
m
pspsps
zszszs
sG



...
...
21
21
0,... 01
1
11 

 asasasa
n
n
n
n
DIAGRAMA DE PÓLOS E ZEROS: PLANO S 
GRÁFICOS DO LUGAR DAS RAÍZES: 
LOCALIZAÇÃO DOS PÓLOS E ZEROS 
)().(.1
)(
)(
)(
sHsGK
sG
sR
sC


0)().(.1:  sHsGKEC
A variação do parâmetro K irá provocar variação dos pólos; 
O gráfico do lugar das raízes contém todos os possíveis valores de 
 pólos, correspondentes a cada valor de K (0<K<inf). 
Os zeros não variam, e também são alocados no gráfico do LR. 
APLICAÇÕES DO L.R.: 
Diretamente do gráfico pode-se determinar os pólos, e por consequência: 
constante de tempo em função de K 
fator de amortecimento e frequência natural em função de K 
Calcular os parâmetros de desempenho do sistema (ganho, tmo, MO, ts) 
 
GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA 
SISTEMAS DE 1ª. ORDEM 
0
1
1
.1: 


s
KEC
Conclusões: quanto maior K, maior valor do |pólo|, 
 menores constantes de tempo, e portanto respostas mais rápidas 
GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA 
SISTEMAS DE 1ª. ORDEM 
 
NO MATLAB 
Conclusões: quanto maior K, maior valor do |pólo|, 
 menores constantes de tempo, e portanto respostas mais rápidas 
0
1
1
.1 


s
K
K aumentando 
movimento dos pólos 
>> k=0:0.1:10; 
>> numec=1; 
>> denec=[1 1]; 
>> rlocus(numec,denec,k),title('Grafico 
L.R. 1a. ordem') 
GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA 
SISTEMAS DE 2ª. ORDEM 
 
0
1
.1:
2



ss
KEC
GRÁFICO DO LUGAR DAS RAÍZES PARA 
SISTEMAS DE 1ª. ORDEM 
 
NO MATLAB 
>> k=0:0.01:10; 
>> numec=1; 
>> denec=[1 1 0]; 
>> rlocus(numec,denec,k) 
,title('Grafico L.R. 2a. ordem') 
dois ramos 
K=Kcrit 
Polos reais e iguais 
Sistema criticamente amortecido 
K=Kcrit K>Kcrit 
Polos complexos conjugados 
Sistema subamortecido 
K<Kcrit 
Polos reais e distintos 
Sistema sobreamortecido 
Inicio do LR 
s=-1 s=0 
0
1
.1
2



ss
K
x jwd 
-jwd x 
σ 
wn 
Φ( 
 G s
s s
n
n n

 

 
2
2 22
n - freqüência natural de oscilação 
- fator de amortecimento 



 
n
cos
21.   nd

55

n
st
d
mot














21
.


eKSs









 deKSs


.