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30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 1 MECÂNICA DOS FLUIDOS Capítulo 02 – REVISÃO - INÉRCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS Profa. Eliane Justino INÉRCIA � É uma propriedade física da matéria, e segundo a relatividade (princípio que afirma que o movimento, ou pelo menos o movimento retilíneo uniforme, tem algum significado quando comparado com algum outro ponto de referência), também da energia. � Considere um corpo não submetido à ação de forças ou submetido a um conjunto de forças de resultante nula, nesta condição esse corpo não sofre variação de velocidade. � Isto é, se está parado, permanece parado, e se está e movimento, permanece em movimento e a sua velocidade se mantêm constante. 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 2 INÉRCIA � Tal princípio formulado pela primeira vez por Gallileu e, posteriormente, confirmada por Newton. � É conhecido como Primeiro Princípio da Dinâmica (1ª Lei de Newton) ou Princípio da Inércia. � Varia de corpo para corpo e depende da massa dos corpos. � Corpo com massa elevada, maior inércia. � Corpo com massa pequena, menor inércia. MOMENTO DE INÉRCIA � Mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo de rotação. � Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar. � Contribui mais para a elevação do momento de inércia a porção da massa que está afastada do eixo de giro. � Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. � Unidade: SI – kg.m2 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 3 MOMENTO DE INÉRCIA � Esta resistência à mudança em sua velocidade angular é conhecida como Momento de Inércia do respectivo corpo. � O módulo de velocidade de uma partícula em um corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo é: � v = r . ω (1) � Onde r é a distância ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular. � A Energia Cinética de uma partícula de massa m é: (2)2 2 1 mvEc = MOMENTO DE INÉRCIA � Substituindo a Eq. (1) na Eq. (2) tem-se que: (3) � Assim para um corpo rígido, a energia cinética rotacional será a soma das energias cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo: (4) � Onde o termo entre parênteses se refere ao modo como a massa se distribui em torno do eixo de rotação, e é um valor constante para uma dada geometria e eixo de rotação. ( ) ( ) 222 2 1 2 1 ωω mrrmEc →= = ∑ n i iirmEcr 22 2 1 ω 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 4 MOMENTO DE INÉRCIA � O termo entre parêntese que aparece na Eq. 4 é chamado de Momento de Inércia do corpo, e é representado pela letra I, portanto: (5) (6) � Se o corpo rígido for constituído por um elevado número de partículas adjacentes, este cálculo é feito através de uma integral em ordem de massa. ∑= n i iirmI 2 2 2 1 ωIEcr = dmrI ∫= 2 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA � O Momento de Inércia de área ou Momento de Segunda Ordem de Área é uma propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem relação coma resistência à deformação. � Seja uma superfície genérica de área A e um sistema de coordenadas ortogonal x y. 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 5 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA � Considerando que o Momento de Inércia deste corpo é dado por: (7) � Sendo este corpo homogêneo, tem-se: (8) � E de espessura constante, portanto: (9) � Substituindo a Eq, (9) em (7) (10) dmrI ∫= 2 dVdm ρ= edAdm ρ= ( )dAreI ∫= 2ρ MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA � O termo entre parêntese é conhecido como Momento de Inércia de Área ou Momento de Segunda Ordem de Área, representada geralmente pela letra J. portanto: � Os Momentos de Inércia de Área em relação a cada eixo são dados por: dArJ ∫= 2 dAyJ x ∫= 2 dAxJ y ∫= 2 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS � Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer que passe por seu centro de massa, podemos inferir o momento de inércia desse corpo em relação a qualquer eixo paralelo ao primeiro eixo considerado. � Se a distância entre os dois eixos for H , a massa do corpo for M e ICM for o seu momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inércia I mencionado: (11) � Para demonstrar essa equação vamos considerar um corpo de formato qualquer. 2MHII CM += TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS � O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao papel, que cruza com a origem do referencial (xy) e que passa pelo centro de massa é ICM. 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 7 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS (12) � Onde dm é um elemento de massa (representado pelo pequeno círculo) localizado pelo vetor posição . � E: dmRICM ∫= 2 )13(ˆˆ 222 yjxiR += )14(ˆˆ 222 ybxaH += ( ) ( ) )15(ˆˆ 222 byjaxir −+−= R TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS � Para calcular o outro momento de inércia vamos considerar um segundo referencial (x'y') e um segundo eixo que passe pela origem desse referencial e seja perpendicular ao papel. � O momento de inércia em relação a esse segundo eixo é: � Mas: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] )16( 22222222 ∫∫∫ +−+++=−+−== dmbyaxbayxdmbyaxdmrI ( ) )17(222 CMIdmRdmyx ∫∫ ==+ ( ) )18(2222 MHdmHdmba ∫∫ ==+ 30/03/2011 Eliane Justino - Curso de Engenharia Civil - UFG/Catalão 8 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS � Onde nas duas últimas equações utilizamos a premissa inicial que o centro de massa seria escolhido como origem do referencial, e desse modo XCM = YCM = 0 . � Coletando os resultados das Eqs. 17, 18, 19 e 20 e substituindo na Eq. (16), tem-se: )20(0222 )19(0222 === === ∫∫ ∫∫ MbYydmbbydm MaXxdmaaxdm CM CM )21(2MHII CM += TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS � A Eq. 21 é o teorema dos eixos paralelos para o Momento de Inércia. � Se considerarmos este teorema para o Momento de Segunda Ordem da área, tem-se; )22(2AHJJ CM +=
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