Estruturas articuladas e hiperestaticas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS 
CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO 
 
 
 
 
AUBRUN MERVEILLEUX 
CAMILA CARVALHO 
MILENA LUIZA 
NATANI CRUZ 
 
 
 
 
Análise Estrutural 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PALMAS 
2014 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE PALMAS 
CURSO DE ARQUITETURA E URBANISMO 
 
 
 
 
AUBRUN MERVEILLEUX 
CAMILA CARVALHO 
MILENA LUIZA 
NATANI CRUZ 
 
 
 
Análise Estrutural: estruturas articuladas e hiperestáticas 
Trabalho apresentado como requisito parcial para 
obtenção de aprovação na disciplina Fundamentos 
de Análise Estrutural, no Curso de Arquitetura e 
Urbanismo, na Universidade Federal de Tocantins. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PALMAS 
2014 
RESUMO 
 
Este trabalho apresenta um breve estudo sobre estruturas articuladas e 
hiperestáticas. Tendo como temas principais as estruturas articuladas e 
hiperestáticas em si, e também, treliças. São abordadas as definições e algumas 
características de cada estrutura, além de suas aplicações e os métodos para a 
resolução e descobrimento das reações e esforços em cada tipo delas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÃO 
 
Figura 01: exemplo de uma viga do tipo Gerber .........................................................7 
Figura 02: viga Gerber e forças atuantes ao longo dela .............................................8 
Figura 03: viga Gerber decomposta em duas vigas simples.......................................8 
Figura 04: diagrama de corpo livre das vigas decompostas........................................8 
Figura 05: diagrama de corpo livre da viga B-C...........................................................9 
Figura 06: diagrama de corpo livre da viga A-B...........................................................9 
Figura 07: diagrama de corpo livre final da viga.........................................................10 
Figura 08: exemplo de pórtico tri articulado...............................................................10 
Figura 09: pórtico tri articulado e forças atuantes......................................................11 
Figura 10: decomposição da estrutura do lado direito da rótula................................11 
Figura 11: pórtico após descobrimento das forças VE e HE.......................................12 
Figura 12: exemplo de treliça simples.......................................................................13 
Figura 13: exemplos de treliças compostas..............................................................13 
Figura 14: exemplo de treliça complexa....................................................................14 
Figura 15: exemplo de treliça com forças atuantes...................................................14 
Figura 16: diagrama de esforços inicial.....................................................................15 
Figura 17: equilíbrio no nó A.....................................................................................15 
Figura 18: equilíbrio no nó D.....................................................................................16 
Figura 19: equilíbrio no nó C.....................................................................................16 
Figura 20: diagrama final dos esforços atuantes......................................................17 
Figura 21: exemplo de arco tri articulado..................................................................18 
Figura 22: exemplo de pórtico com associações múltiplas......................................18 
Figura 23: viga contínua com esforços solicitantes...................................................20 
Figura 24: viga equivalente à estrutura hiperestática anterior..................................20 
Figura 25: viga equivalente desmembrada e seus diagramas de momento fletor...21 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 6 
2 ESTRUTURAS ARTICULADAS .............................................................................. 7 
2.1 Viga Gerber ................................................................................................................................. 7 
2.1.1 Determinação analítica dos esforços internos nas vigas Gerber ..................... 7 
2.2 Pórticos tri articulados ............................................................................................................. 10 
2.2.1 Determinação analítica dos esforços internos nos pórticos tri articulados .. 11 
2.3 Treliças ...................................................................................................................................... 13 
2.3.1 Determinação analítica dos esforços internos nas barras das treliças 
simples ........................................................................................................................ 14 
2.4 Outros tipos de estruturas articuladas .................................................................................. 17 
2.4.1 Arcos tri articulados .......................................................................................... 17 
2.4.2 Pórticos com associações múltiplas ................................................................ 18 
3 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ....................................................................... 18 
3.1 Método dos esforços ............................................................................................................... 18 
CONCLUSÃO ........................................................................................................... 22 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 23 
 
6 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O presente trabalho aborda e explana os conteúdos de Estruturas 
Articuladas, algumas de suas denominações (viga Gerber, pórticos tri articulados e 
treliças) e Estruturas Hiperestáticas. 
Serão apresentados os conceitos de cada uma das estruturas assim 
como o seu uso prático em edificações, além de exemplos de seus respectivos 
cálculos, com o objetivo de ampliar o entendimento dos assuntos. 
 É de extrema importância o entendimento teórico e prático de tais 
estruturas, visto que são amplamente usadas em construções, desempenhando um 
papel estrutural de grande destaque, pois se não projetadas e construídas da 
maneira correta podem oferecer riscos. Além disso, influenciam a parte visual da 
edificação. 
 
7 
 
2 ESTRUTURAS ARTICULADAS 
 
Estruturas articuladas são estruturas reticuladas cujas barras são ligadas 
por rótulas ou articulações, sujeitas a cargas nos nós, tendo estes a habilidade de 
transmitir um momento desprezável. São utilizadas na construção de pontes, 
coberturas, pontes ferroviárias e para facilitação do uso de pré-moldados. Existem 
diversos tipos de estruturas articuladas, tais como a viga Gerber, os pórticos tri 
articulados e as treliças, sendo essas as mais comumente usadas. 
 
2.1 Viga Gerber 
 
As vigas do tipo Gerber são estruturas formadas por várias vigas simples 
isostáticas associadas, interligadas em suas extremidades por meio de articulações 
nomeadas dentes de Gerber. São frequentemente utilizadas na construção de 
pontes de concreto armado, pois simplificam o processo construtivo e não sofrem 
esforços adicionais quando sujeitas à variação de temperaturas ou recalque 
adicional. 
 
 
Figura 01: exemplo de uma viga do tipo Gerber. 
 
 
2.1.1 Determinação analítica dos esforços internos nas vigas GerberAs reações nos vínculos internos da viga são forças que se opõem aos 
deslocamentos, sendo nulas as reações momentos. Para a resolução, 
primeiramente, deve-se decompor a viga Gerber em vigas simples, para cada viga 
8 
 
simples existirão duas equações de equilíbrio aplicáveis. Posteriormente o cálculo 
das reações deve ser iniciado pelas vigas apoiadas, sendo, em seguida, calculadas 
as reações nas vigas que têm estabilidade própria. 
Exemplo: determine as reações de apoio externas e internas na viga. 
 
 
Figura 02: viga Gerber e forças atuantes ao longo dela. 
 
Solução: 
 
1º decomposição em vigas simples. 
 
Figura 03: viga Gerber decomposta em duas vigas simples. 
 
2º construção do diagrama de corpo livre após decomposição. 
 
 
Figura 04: diagrama de corpo livre das vigas decompostas. 
 
3º utilização das equações de equilíbrio. 
 
9 
 
Viga B-C 
 
 
Figura 05: diagrama de corpo livre da viga B-C. 
 
∑ MB = 0 
− (20 ⋅ 8) ⋅( 
8
2
 ) + RVC ⋅ 8 = 0 
RVC = 80kN 
 
∑ FY = 0 
RVB + RVC – 20 ⋅ 8 = 0 
RVB = 160 – 80 
RVB = 80kN 
 
∑ FX = 0 
RHB = 0 
 
Viga A-B 
 
Figura 06: diagrama de corpo livre da viga A-B. 
 
∑ FY = 0 
RVA – 50 – RVB = 0 
RVA – 50 – 80 = 0 
RVA = 130kN 
 
10 
 
∑ MB = 0 
MA – RVA ⋅ 8 + 50 ⋅ 4 = 0 
MA – 130 ⋅ 8 + 200 = 0 
MA = 840kN.m 
 
∑ FX = 0 
RHA = 0 
 
4º diagrama de corpo livre. 
 
Figura 07: diagrama de corpo livre final da viga. 
 
2.2 Pórticos tri articulados 
 
Pórticos tri articulados são estruturas reticuladas sustentadas por dois 
apoios, ambos fixos, e apresentam também uma rótula em uma de suas barras, são 
coplanares e possuem cargas ativas e reativas. São aplicados no travamento de 
edifícios, principalmente os elevados, em que as cargas horizontais são 
significativas. 
 
Figura 08: exemplo de pórtico tri articulado. 
 
11 
 
2.2.1 Determinação analítica dos esforços internos nos pórticos tri articulados 
 
Com os dois apoios do pórtico pode se obter quatro reações de apoio, 
que são as quatro incógnitas a serem encontradas. Elas não podem ser calculadas 
somente através da aplicação das três equações da estática. Além destas há a 
necessidade de outra equação, neste caso leva-se em consideração a articulação 
presente em uma das barras, sabendo que o ponto em ela está tem momento nulo. 
Exemplo: Calcular as reações de apoio existentes: 
 
Figura 09: pórtico tri articulado e forças atuantes. 
 
Solução: 
1º fazer uso do momento da rótula 
 
Figura 10: decomposição da estrutura do lado direito da rótula. 
 
Σ Mrótula = 0 
-5 . 2 + HE . 2 + VE . 2 = 0 
12 
 
HE + VE = 5 
2º analisar o restante do quadro para encontrar as outras incógnitas. 
Σ Ma = 0 
- 8 . 5 . 2,5 - 5 . 4 + 5 . 5 - HE . 3 + VE . 4 = 0 
- 3 . HE + 4 . VE = - 95 
 
Como HE = 5 - VE então: 
-3 . (5 - VE) + 4 . VE = - 95 
VE = 15,71 kN 
HE = - 10,71 kN 
 
Figura 11: pórtico após descobrimento das forças VE e HE. 
 
 
3º com estes valores aplicamos as equações de somatório de forças em x 
e y. 
Σ Fx = 0 
VA + 15,71 - 5 = 0 
VA = -10,71 kN 
 
Σ Fy = 0 
HE + 8 . 5 - 5 - 10,71 = 0 
HE = -24,29 kN 
 
 
 
 
13 
 
2.3 Treliças 
 
Treliças são estruturas articuladas compostas por barras, ligadas entre si 
por articulações (nós), sob a forma triangular, através de pinos, soldas, rebites ou 
parafusos que formam uma estrutura rígida com a função principal de suportar 
esforços tais como a compressão e a tração. Esse tipo de estrutura é uma das mais 
importantes formas estruturais. Foi usada ao extremo, no século passado e no início 
deste século, no processo construtivo de pontes metálicas ferroviárias. Atualmente, 
também é usada em coberturas, equipamentos como lanças de guindastes e em 
torres de transmissão elétrica. Podendo ser produzidas a partir de diversos tipos de 
materiais como em barras de madeira, concreto armado, alumínio e aço. Seu uso 
propicia grande liberdade aos arquitetos, os dando a possibilidade de projetar 
grandes vãos, atendendo, assim, às exigências do espaço e tirando partido 
arquitetônico da estrutura. 
Quando os eixos das barras que as formam são coplanares, se tem 
treliças planas; quando não coplanares, treliças espaciais. Caso obtidas a partir de 
configurações indeformáveis pela adição de duas a duas barras partindo dos nós já 
existentes para novos nós, são consideradas treliças simples. 
 
 
Figura 12: exemplo de treliça simples. 
 
Quando formadas por duas treliças simples ligadas por três barras não 
simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra, sendo que 
esta barra não concorre ao nó citado, são nomeadas treliças compostas. 
 
 
Figura 13: exemplos de treliças compostas. 
14 
 
 
 Se não é simples e nem composta é classificada como treliça complexa. 
 
 
Figura 14: exemplo de treliça complexa. 
 
2.3.1 Determinação analítica dos esforços internos nas barras das treliças 
simples 
 
Considerando a existência somente de esforços axiais nas barras da 
treliça e cargas aplicadas somente através dos nós, cada um deles se compõe, 
estaticamente, em um ponto material submetido a um sistema de forças em 
equilíbrio, coplanares e concorrentes no ponto. As equações de equilíbrio podem ser 
escritas, sendo duas por nó. A solução do sistema de equações obtido encerra a 
análise, fornecendo inclusive as reações de apoio. 
Na prática, determinam-se primeiramente as reações de apoio, com a 
aplicação das três equações de equilíbrio relativas à estrutura como um todo. 
Posteriormente, o cálculo deve ser iniciado isolando-se cada nó e aplicando a ele as 
equações de equilíbrio (Método dos nós). 
Exemplo: Determine as forças que atuam em todos os elementos da 
treliça mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração (T) ou 
compressão (C). 
 
 
Figura 15: exemplo de treliça com forças atuantes. 
 
15 
 
Solução: 
1º cálculo das reações de apoio. 
 
 
Figura 16: diagrama de esforços inicial. 
 
∑ MC = 0 
− Ay ⋅ 6 + 400 ⋅ 3 + 600 ⋅ 4 = 0 
Ay = 
400⋅ 3 + 600 ⋅ 4
6
 
Ay = 600N 
 
∑ Fy = 0 
600 – 400 − Cy = 0 
Cy = 600 − 400 
Cy = 200N 
 
∑ Fx = 0 
600 − Cx = 0 
Cx = 600N 
2º equações de equilíbrio no nó A. 
 
 
Figura 17: equilíbrio no nó A. 
 
∑ Fy = 0 
600 − 
4
5
 ⋅ FAB = 0 
16 
 
 
∑ Fx = 0 
FAD − 
3
5
 ⋅ FAB = 0 
FAD = 
3
5
 ⋅ 750 
FAD = 450N (T) 
 
3º equações de equilíbrio no nó D. 
 
 
Figura 18: equilíbrio no nó D. 
 
∑ Fx = 0 
− 450 + 
3
5
 ⋅ FDB + 600 = 0 
FDB = 
(450−600). 5
3
 
FDB = −250N FDB = 250N (T) 
(O sinal negativo indica que FDB atua no sentido oposto ao indicado na figura) 
 
∑ Fy = 0 
− FDC − 
4
5
 ⋅ FDB = 0 
FDC = 
4
5
 ⋅ 250 
FDC = 200N (C) 
 
4º equações de equilíbrio no nó C. 
 
Figura 19: equilíbrio no nó C. 
17 
 
 
∑ Fx = 0 
FCB – 600 = 0 
FCB = 600N (C) 
 
5º representação dos esforços nos elementos da treliça. 
 
 
Figura 20: diagrama final dos esforços atuantes. 
 
 
No caso da resolução de uma treliça composta remete-se a duas treliças 
simples, permitindo isolá-las para fins de cálculo estático. Para o cálculo de treliças 
espaciais é realizada uma análise adotando-se o modelo de treliça ideal. 
 
2.4 Outros tipos de estruturas articuladas 
 
2.4.1 Arcos tri articulados 
 
Os arcos tri articulados são sistemas estruturais com dois perfis rígidos 
conectados entre si na coroa e nos apoios da basecom juntas de pino. São pouco 
afetados pelos recalques diferenciais nos apoios e pelos esforços térmicos. Uma de 
suas vantagens é a facilidade de fabricação com duas ou mais peças rígidas, que 
podem ser transportadas para o canteiro de obras, onde são conectadas e 
executadas. 
 
18 
 
 
Figura 21: exemplo de arco tri articulado. 
 
2.4.2 Pórticos com associações múltiplas 
 
É a associação de dois ou mais pórticos isostáticos, originando um pórtico 
hiperestático onde é colocado o número necessário de articulações para torna-lo 
isostático. 
 
 
Figura 22: exemplo de pórtico com associações múltiplas. 
 
3 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
 
As estruturas hiperestáticas têm um número de reações superior ao 
necessário para impedir qualquer movimento. Por isso, pode ser que ao retirar 
alguma dessas reações a estrutura continue a não apresentar movimento, ou seja, 
permanecem estáveis. O grau de hiperestaticidade é obtido pela igualdade do 
número de ligações que podem ser suprimidas de forma que a estrutura se torne 
isostática. 
 
3.1 Método dos esforços 
 
Usa se o método dos esforços para se resolver estruturas hiperestáticas, 
processo que se consiste na utilização de uma estrutura equivalente a que 
19 
 
desejamos calcular, na qual substituímos um vínculo entre barra e apoio por um 
carregamento externo. A estrutura equivalente deve ser isostática, visto que se 
continuar hiperestática após a primeira modificação, executa se outra modificação 
até a obtenção de uma estrutura equivalente isostática. Para conseguirmos 
determinar as incógnitas o número de equações fundamentais da estática usa se as 
equações de compatibilidade de deformação. Após encontradas as deformações por 
Castigliano monta se um sistema linear de equações de compatibilidade. Os valores 
encontrados nor fornecem os vínculos ou esforços internos aos quais se referem, 
tornando possível a resolução da estrutura utilizando se das 3 equações 
fundamentais da estática. 
Exemplo: Na viga contínua esquematizada abaixo, calcular os esforços 
solicitantes: 
 
Figura 23: viga contínua com esforços solicitantes. 
 
Solução: 
1º definição da viga equivalente e numeração da estrutura. 
 
Figura 24: viga equivalente à estrutura hiperestática anterior. 
 
2º desmembramento da estrutura em Caso (0) – Isostática Básica e Caso 
(1), com seus respectivos gráficos de momento fletor. 
20 
 
 
 
Figura 25: viga equivalente desmembrada e seus diagramas de momento 
fletor. 
 
3º Cálculo dos giros relativos ϕR10 , ϕR11 por Castigliano 
 
 
 
 
21 
 
4º montagem linear com equação de compatibilidade 
 
 
Pode-se afirmar que o momento fletor no apoio (1) assume o valor X . 1,0 
kN.m , ou seja, vale –55,00 kN.m . O sinal negativo indica que ele assume sentido 
contrário ao escolhido na suposição do caso (1). 
 
5º cálculo das reações de apoio 
∑ Mesq1 = −55,00 
−55 = + RV0. 3 – 40 .1,5 – 20 . 3. 1,5 
RV0 = + 31,67kN 
 
∑ Mdir1= −55,00 
−55 = +RV2 . 4 – 30 . 2 – 20 . 4 . 2 
RV2= + 41,25 kN 
 
∑ FV = 0 
+RV0 +RV1 +RV2 – 40 – 30 − 7. 20 = 0 
RV1 = + 137,08 kN 
 
∑ FH = 0 
RH2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
CONCLUSÃO 
 
 Em virtude de tudo sobre o que foi discorrido na pesquisa, é 
possível se ter uma pequena noção de como estamos rodeados por estruturas 
relativamente complexas em nosso cotidiano, nota-se que as estruturas 
articuladas e as hiperestáticas são utilizadas na construção de pontes, coberturas, 
pontes ferroviárias, entre outras obras, facilitando o processo construtivo delas; e 
o quanto elas são importantes. 
 
23 
 
REFERÊNCIAS 
 
<https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/3779579476703/Equilibrio_de_Estrutur
as_2009_2010_rev1.pdf> 
<http://fmnovaes.com.br/exerrm/trelicas.pdf> 
<http://pet.ecv.ufsc.br/arquivos/apoio-didatico/ECV5219%20-
%20An%C3%A1lise%20Estrutural%20I. pdf> 
<http://www.arq.ufsc.br/arq5661/trabalhos_2003-2/trelicas> 
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAferEAG/estruturas-hipostaticas-isotatica-
funddamental> 
<http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula17.pdf> 
<http://www.engcivilcac.com/docente/Gabriela%20Rezende/Analise%20Estrutural%2
0I/modulo2-vigas%20gerber%20%5BModo%20de%20Compatibilidade%5D.pdf> 
<http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/sistemas_estruturais_grad.pdf> 
<http://www.ims.eng.br/upload/img/noticia/24042012154841968485893.pdf> 
<http://www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas/Parte04/Mod32/Curso1Mod32-02.htm> 
<http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/abdo/vigasgerberconceito.htm> 
<https://www.passeidireto.com/arquivo/1572003/porticos-isostaticos> 
<http://www.pet.ufal.br/petcivil/downloads/segundoano/TeoriaEstrut1_20091_aula10
%20[Modo%20de%20Compatibilidade].pdf> 
 
Ferraz, Eloy. Introdução à isostática. 1, EESC-USP, 1999.