c3lista12-2014.2

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A´rea 2 – CCEN – UFPE – 2014.2
CA´LCULO 3 - Turmas T2 e T7
Lista 6 da segunda unidade
1. Seja S a porc¸a˜o do cone z =
√
x2 + y2 compreendida entre os planos z = 1 e
z = 2. Orientando S com campo normal apontando para baixo, fac¸a uma figura in-
dicando a orientac¸a˜o positiva da fronteira de S. Se F e´ o campo vetorial definido por
F(x, y, z) = (3y(z − 1), x+ ecos z, z), calcule o fluxo de rot F atrave´s de S.
2. Seja F um campo vetorial com divergeˆncia constante k na regia˜o E compreendida entre
duas superf´ıcies fechadas S1 e S2 (aqui, S1 esta´ contida no interior de S2). Orientando
ambas as superf´ıcies com campo normal apontando para o exterior, expresse o fluxo do
campo F atrave´s de S2 em termos do fluxo atrave´s de S1 e do volume de E. Assuma
que F esta´ definido e e´ C1 em um conjunto aberto que conte´m E; cuidado com o seu
argumento: o campo na˜o esta´ necessariamente definido no interior de S1!
3. Use o teorema da divergeˆncia em (a) e teorema de Stokes em (b):
(a) Uma das equac¸o˜es de Maxwell diz que o campo magne´tico B satisfaz div(B) = 0.
Conclua que o fluxo do campo magne´tico atrave´s de qualquer superf´ıcie fechada e´ nulo.
(b) Se E e B sa˜o o campo ele´trico e o campo magne´tico respectivamente, a lei de Faraday
diz que a forc¸a eletromotriz ao longo de qualquer curva fechada C e´ igual ao negativo
da taxa de variac¸a˜o do fluxo magne´tico atrave´s de uma superf´ıcie S com fronteira C:∫
C
E · dr = − d
dt
∫∫
S
B · n dS. Mostre que a lei de Faraday e´ equivalente a` equac¸a˜o de
Maxwell ∇× E = −∂B
∂t
.
Respostas:
1. 9pi.
2.
∫∫
S2
F · n dS = ∫∫
S1
F · n dS + kVolume(E).