Transferencia de Massa UFBA

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Edição de agosto de 2005 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal da Bahia 
 
 
 
 
 
Samuel Luporini 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Massa 
 
OBJETIVOS: 
1. Conhecimento básico das leis de transferência de massa indispensável a uma formulação correta 
dos problemas correntes de engenharia química. 
2. Desenvolvimento da capacidade para modelar matematicamente, simular e avaliar processos de 
transferência de massa com ênfase em equipamentos de contato direto. 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
1. Fundamentos da transferência de massa 
1.1. Transferência de massa molecular 
1.2. O coeficiente de difusão 
1.3. Transferência de massa convectiva 
 
2. Equações diferenciais de transferência de massa 
2.1. A equação diferencial de transferência de massa 
2.2. Formas especiais da equação de transferência de massa 
2.3. Condições de contorno 
2.4. Modelagem de processos envolvendo difusão molecular 
 
3. Difusão molecular no estado estacionário 
3.1. Transferência de massa independente de reação química 
3.2. Sistemas associados com reação química 
3.3. Sistemas de duas e três dimensões 
3.4. Transferências simultâneas de momento, calor e massa 
 
4. Difusão molecular no estado transiente 
4.1. Difusão transiente e a segunda lei de Fick 
4.2. Difusão transiente em meio semi-infinito 
4.3. Difusão transiente em um meio finito sob condições de resistência de superfície 
 desprezível 
4.4. Cartas de concentração tempo para formas geométricas simples 
 
5. Transferência de massa convectiva 
5.1. Considerações fundamentais em transferência de massa convectiva 
5.2. Parâmetros significantes em transferência de massa convectiva 
5.3. Analise dimensional 
5.4. Análise exata da camada limite de concentração laminar 
5.5. Análise aproximada da camada limite de concentração 
5.6. Analogias entre transferência de massa, calor e momento 
5.7. Modelos para coeficientes de transferência de massa convectiva 
6. Transferência de massa convectiva entre fases 
6.1. Equilíbrio 
6.2. Teoria das duas resistências 
 
7. Correlações para transferência de massa convectiva 
7.1. Transferência de massa para placas, esferas e cilindros 
7.2. Transferência de massa envolvendo escoamento através de tubos 
7.3. Transferência de massa em colunas de parede molhada 
7.4. Transferência de massa em leitos fixo e fluidizado 
7.5. Transferência de massa gás-líquido em tanques agitados 
7.6. Coeficientes de capacidade para torres de recheio 
7.7. Modelagem para processos de transferência de massa envolvendo convecção 
 
8. Equipamentos de transferência de massa 
8.1. Tipos de equipamentos de transferência de massa 
8.2. Operações de transferência de massa gás-líquido em tanques de mistura perfeita 
8.3. Balanços de massa para torres de contatos contínuos 
8.4. Balanço de entalpia para torres de contatos contínuos 
8.5. Coeficientes de capacidade para transferência de massa 
8.6. Analises de equipamentos de contatos contínuos 
 
 
Bibliografia: 
WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., RORRER, G., Fundamentals of Momentum, Heat 
and Mass Transfer, 4th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2001. 
WELTY, J.R., WICKS, C.E., WILSON, R.E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass 
Transfer, 3th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1984. 
BIRD, R.B., STEWART, W.E., LIGTHFOOT, E.N., Fenômenos de Transporte, 2a. edição, LTC 
EDITORA, 2004. 
CREMASCO, M.A., Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª. Edição revista, Editora 
UNICAMP, 2002. 
GEANKOPLIS, C.J., Mass Transfer Phenomena, Holt Rineart and Winston, Inc., 1972. 
MILLS, A.F., Mass Transfer, Prentice Hall, 2001. 
CUTLIP, M.B., SHACHAM, M., Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical 
Methods, Prentice Hall PTR, Chapter 7 Mass Transfer, 1999. 
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
1. FUNDAMENTOS DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
o Quando um sistema dois ou mais componentes na qual as concentrações variam de ponto a 
ponto, há uma tendência natural da massa ser transferida, minimizando as diferenças de 
concentração entre os sistemas. 
 
o O transporte de um constituinte de uma região de alta concentração para aquela de menor 
concentração é chamado de transferência de massa. 
 
o Exemplos: 
o A remoção de poluente a partir de uma corrente de descarga por absorção. 
 ‘Stripping’ de gases por lavagem de água. 
o Difusão de nêutron em um reator nuclear. 
o A difusão de substâncias adsorventes dentro de poros de carbono ativado. 
o A taxa de catalise química e reações biológicas. 
 
o A transferência de massa pode ocorrer pelo movimento molecular ao acaso em fluidos 
estagnados ou podem ser transferidos a partir de uma superfície para um liquido em movimento, 
adicionado pelas características dinâmicas do escoamento. 
 
o Dois modos distintos de transporte: 
 molecular 
 convectivo 
 simultâneos 
 
 
1.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA MOLECULAR 
 
1815 ® Panot observou quantitativamente que uma mistura de gases contendo duas ou mais 
espécies moleculares, na qual as concentrações relativas variam de um ponto ao outro, um processo 
natural resulta em diminuir a desigualdade da composição, chamando de difusão molecular. 
 
O fluxo líquido de cada espécie molecular ocorre na direção de um gradiente de concentração 
negativo. 
 
Teoria cinética dos gases. 
 
A transferência de massa ou difusão ocorre somente em misturas. 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CONCENTRAÇÕES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
densidadeou totalmássica ãoconcentraç 
 A espécie da mássica ãoconcentraç 
mistura da volume
A de massa
A
=r
==r
 (1.1) 
 
 
(1.3) 1w
(1.2) w mássica Fração
n
1i
i
A
n
1i
i
A
A
=
r
r
=
r
r
==
å
å
=
=
 
n = número de espécie da mistura 
 
 A concentração molar da espécie A, cA é o número de moles de A presentes por unidade de 
volume da mistura. 
1 mol de A º massa equivalente ao seu peso molecular 
 
 
M
c
A
A
A
r
= (1.4) 
 
MA = peso molecular de A 
 
Pela lei dos gases ideais pAV = nART, logo: 
 
 
RT
p
V
n
c AAA == (1.5) 
 
Onde: PA = pressão parcial da espécie A na mistura 
 nA = número de moles da espécie A 
 V = volume do gás 
Moléculas de espécie AMoléculas de espécie A
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 T = temperatura absoluta 
 R = constante dos gases 
 
A concentração molar total, c, é o mole total da mistura por unidade de volume. 
 
 
RT
P
V
n
cc
n
1i
total
iå
=
=== (1.6) 
 
P = pressão total 
 
Fração molar de líquidos e sólidos: xA = cA/c 
 
Gases: yA = cA/c (1.7) 
 
Para uma mistura que obedece a lei dos gases ideais: 
 
(1.9) 1y e 1x
Dalton de Lei (1.8) 
P
p
RTPRTp
c
c
y
n
1i
i
n
1i
i
AAA
A
==
===
åå
==
 
Tabela 24.1 Concentrações em uma mistura binária com A e B (Welty) 
 
Exemplo 1: A composição do ar é muitas vezes dada em termos das duas espécies principais na 
mistura de gases: 
 
79,0yN
21,0yO
2
2
N2
O2
=Þ
=Þ
 
 
Determinar a fração mássica de O2 e N2 e o peso molecular médio do ar a 25o C e 1atm. 
 
 
Velocidades 
 Num sistema multicomponentes as varias espécies n, moverá normalmente a diferentes 
velocidades. A velocidade de mistura será a media das velocidades da cada espécie presente. 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
médiamolar e velocidada relativa i de difusão de e velocidadVv
média mássica e velocidada relativa i de difusão de e velocidadvv
molar média ade velocid(1.11) 
c
vc
V
ioestacionár eixo um para i de absoluta velocidadev
mássica média ade velocid(1.10) 
vv
v
i
i
n
1i
ii
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
ii
=-
=-
=
=
r
r
=
r
r
=
å
å
å
å
=
=
=
=
rr
rr
r
r
r
rr
r
 
 
De acordo com a lei de Fick um componente pode ter uma velocidade relativa para a velocidade 
média molar ou mássica somente se existir gradientes de concentração. 
 
Exemplo 2: Sabendo que as velocidades absolutas das espécies químicas presentes na mistura 
gasosa são: cm/s; 11 vcm/s; 19 vcm/s; 13 vcm/s; 10v z,NzO,HzO,zCO, 22 ==== 
 
Determinar: 
a) velocidade média molar da mistura 
b) velocidade média mássica da mistura 
c) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média molar da mistura 
d) velocidade de difusão de O2 na mistura relativa a velocidade média mássica da mistura 
 
 
Fluxos 
 
É um vetor quantitativo atribuído a quantidade da espécie particular, em unidade mássica ou molar, 
que passa em um incremento de tempo através de uma área normal ao vetor. 
 
Podem ser definidos com referência a coordenadas fixas no espaço, coordenadas que movem com a 
velocidade média mássica ou molar. 
 
O fluxo molar na direção z: 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
zd
cd
DJ AABz,A -= 1ª Lei de Fick (1.12) 
 
DAB = difusividade mássica ou coeficiente de difusão do componente A difundindo em B. 
dcA/dz = gradiente de concentração na direção z. 
 
 
zd
yd
cDJ AABz,A -= (1.13) 
 
 O fluxo mássico na direção z: 
 
 
zd
wd
Dj AABz,A r-= (1.14) 
 
 
zd
d
Dj AABz,A
r
-= (1.15) 
 
 Para um sistema binário com uma velocidade média constante na direção z o fluxo molar 
relativo a velocidade média molar é: 
 
( ) VcJ zz,AAz,A -J= (1.16) 
 
Igualando (1.13) com (1.16), temos: 
 
( )
( ) ( )z,BBz,AAAzAz,BBz,AAz
zA
A
BA,z,AA
A
BA,zz,AAz,A
ccyVcou cc
c
1
V:sendo
Vc
dz
dy
cDc :Portanto
 
 
dz
dy
-cD VcJ
J+J=J+J=
+-=J
=-J=
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )
:que temos
cN e cN
:são ioestacionár eixo ao relativo B eA scomponente dos fluxos Os
ccy
dz
dy
cDc:Logo
BBBAAA
z,BBz,AAA
A
BA,z,AA
J=J=
J+J+-=J
rrrr
 
 
 
( )
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
++-=
 solução da global
movimento do
resultante fluxo
 difusiva
ãocontribuiç da
resultante fluxo
z eixo ao
referênciac/ 
A de fluxo
NNy 
dz
dy
cD N z,Bz,AA
A
BA,z,A
 
 
 
( )
: temosforma mesma Da
mistura naA de difusão de ecoeficient D
(1.18) NyycD N
:nentemulticompo mistura uma para
(1.17) NNyycD N
MA,
n
1i
iAAMA,A
BAAABA,A
=
+Ñ-=
++Ñ-=
å
=
rr
rrr
 
 
( )
( )B,zA,zAAA,BA,z
B,zA,zA
A
A,BA,z
nnw
dz
dw
Dn
liquidos para NNx
dz
dx
cDN
++r-=
++-=
 
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo 3: Sabendo que a mistura gasosa tem as velocidades relativas: 
 
cm/s. 11 cm/s; 19 cm/s; 13 cm/s; 10 z,Nz,OHz,Oz,CO 222 =J=J=J=J 
 
Determine para a temperatura de 105º C e 1 atm: 
a) Fluxo difusivo molar de O2 na mistura. 
b) Contribuição do fluxo convectivo de O2 na mistura. 
c) Fluxo molar total com referência ao eixo estacionário 
 
 
2. COEFICIENTE DE DIFUSÃO 
 
Lei de Fick Þ a constante de proporcionalidade é conhecida como coeficiente de difusão. 
 
 
 
( )w,T,PfD
t
L
L1LM
1
tL
M
dzdc
J
D
AB
2
32
A
z,A
AB
=
º
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
º
-
=
 
 
 
Idêntico as dimensões fundamentais de outras propriedades de transporte. 
 
Viscosidade cinemática: n 
Difusividade térmica: a = k/rcp 
 
 
 
Difusividade mássica de gases 
 
- mistura gasosa de baixa densidade 
- teoria cinética dos gases 
Aumenta a 
mobilidade da 
molécula 
Gases ® 5 x 10-6 a 10-5 
m2/s 
líquidos ® 10-10 a 10-9 m2/s 
sólidos ® 10-14 a 10-10 m2/s 
DAB 
diminui 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 Movimento molecular para a superfície de um volume de controle 
 
Transferência de massa 
 
 
 
médio livre caminho 
Nd2
1
acaso aomolecular e velocidad
m
kT8
C
C
3
1
D
y
C
3
1
j
2
AA
A
y,A
Þ
p
=l
Þ
p
=
l=
¶
r¶
l=
 ? 
 
 k = constante de Boltzmann 
 N = concentração molecular 
 m = massa de uma molécula 
 CN
4
1
Z = 
 d = diâmetro da molécula esférica 
 Z = freqüência em que as moléculas alcançam a área Dx Dz 
 
0 (estacionário) 
( ) 0dv
t
dAn
CVCS
=r
¶
¶
+Jr òòòòò
rr
 ® Fluxo para frente = fluxo para trás 
Dy 
Dx 
x 
y 
rA = rA(y) 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
*A isótoposeu eA Ex 
 similares. moléculas de mistura uma de difusão de eCoeficient
m
Tk
Pd3
2
*D
PcRTNkT
:ideal gás um Para
m
kT
Nd3
2
*D :Logo
2133
223AA
21
223AA
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
p
=
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
=
 
 
 
A equação de Chapman-Enkosg: 
 
 
D
2
AB
21
BA
233
AB
P
M
1
M
1
T10x858,1
D
Ws
ú
û
ù
ê
ë
é
+
=
-
 
 
onde: DAB (cm2/s) 
 MA e MB = pesos moleculares 
 P = pressão absoluta (atm) 
 sAB = diâmetro de colisão, parâmetro de Leonard-Jones (Å) 
 WD = integral de colisão 
 
É válida para um par de gases apolares e moléculas não reagentes. 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
e
=W
AB
kT
f TABELA K.1 WELTY 
 
onde: k = constane de Boltzmann = 1,38 x 10-16 erg/K 
 eA = energia de interação molecular (ergs) 
 
Os parâmetros de Leonard-Jones s e eAB Þ TABELA K.2 WELTY 
 
Na ausência de dados experimentais:Fundamentos de Transferência de Massa 1.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
bA
cA
31
c
c
31
c
31
b
T15,1k
T77,0k
P
T
44,2
V841,0
V18,1
=e
=e
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=s
=s
=s
 
 
 
Vb = volume molar para o ponto normal de ebulição (cm3/gmol) Þ TABELA 24.4 WELTY 
Vc = volume molar crítico (cm3/gmol) 
Tc = temperatura crítica (K) 
Tb = temperatura de ebulição normal (K) 
Pc = pressão crítica em (atm) 
 
Para pares de moléculas apolares, tem-se 
 
 
BAAB
BA
AB 2
ee=e
s+s
=s
 
 
Para moléculas polar-polar e polar-apolar são discutidas por Bird e Cremasco 
 
Predição de DAB variando com a P e T 
 
 
2
1
1122
T,D
T,D
23
1
2
2
1
P,T,ABP,T,AB T
T
P
P
DD
W
W
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
Apêndice J.1 de Welty 
 
Exemplo 4: Avaliar o coeficiente de difusão para o CO2 no ar a 20ºC e 1 atm. Comparar com os 
dados experimentais. 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Quando os parâmetros de Lennard-Jones não são disponíveis pode-se utilizar a equação de Fuller. 
 
 
( ) ( )[ ]231
B
31
A
21
BA
75,13
AB
P
M
1
M
1
T10
D
åå J+J
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
=
-
 J Þ TABELA 24.3 WELTY 
 
Exercicio 5 (24.12), itens a, b, e 
Determinar os valores da difusividade dos seguintes gases. 
a) CO2/ar 310 K e 1,5 x 105 Pa 
b) Etanol/ar 325 K e 2,0 x 105 Pa 
e) SO2/ar 300 K e 1,5 x 105 Pa 
 
 
Exemplo 6. Reavaliar o coeficiente de difusão do dióxido de carbono em ar a 20º C e 1 atm, 
utilizando a equação de Fuller, Schettler e Giddings e comparar o novo valor com o obtido no 
exemplo 4. 
 
 
Para compostos polares, tem-se a equação de Hirschfelder com a integral de colisão avaliada por: 
 
( )
(K) ebulição de normal pontoT
)gmol/(cm ebulição de ponto no líquido domolar volumeV
(debyes) dipolo momento 
TV
10x94,1
:onde
T
169,0
b
3
b
p
bb
p
3
21
BAAB
2
AB
DoD
=
=
=m
m
=d
dd=d
d
+W=W
*
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )
( ) ( ) ( )*HTexp
G
*FTexp
E
*DTexp
C
*T
A
T3,1118,1
k
kkk
kT
T*
BDo
b
2
21
BAAB
AB
+++=W
d+=
e
÷÷
ø
ö
çç
è
æ e
+
e
=
e
e
=
 
 
A = 1,06036 E = 1,03587 
B = 0,15610 F = 1,52996 
C = 0,19300 G = 1,76474 
D = 0,47635 H = 3,89411 
 
 ( )
31
2
b
21
BAAB
AB
3,11
V585,1
colisão de diâmetro
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
d+
=s
ss=s
=s
 
 
 
Mistura de gases (WILKE) 
 
 
 
 
yyyy
y
y 1 de livremolar Fração
D
y
D
y
D
y
1
D
n432
2
2
n,1
n
3,1
3
2,1
2
mistura,1
+++
=¢Þ
¢¢
+
¢
=
L
L
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo 7: Determinar a difusividade do monóxido de carbono através de uma mistura de gases na 
qual a fração molar de cada componente são: 
 
10,0y,70,0y,2,0y CONO 22 === 
 
O gás esta a 298 K e 2 atm de pressão total. 
 
 
Exemplo 8 (24.14 – WELTY) 
Determinar a difusividade do dióxido de carbono em uma mistura de gases com as seguinte 
Composição: O2 = 7%, CO = 10%, CO2 = 15% e N2 = 68%. T = 273 K e P = 1,5 x 105 Pa. 
 
DIFUSIVIDADE MÁSSICA EM LÍQUIDOS 
 
Equação de Stoke-Einsteim, da teoria hidrodinâmica. 
 
 
B
AB 6
kT
D
pm
= Solução diluída de não eletrólitos. É uma equação pouco precisa 
 
Em geral: ( )Vf
kT
D AB = Função do volume molar 
 
Equação de Wilke-Chang para não eletrólitos: 
( )
6,0
A
21
BB
8
AB
B
V
M10x4,7
T
D f
=m
-
 
 
Onde: mB = viscosidade da solução de não eletrólitos cP 
 VA = volume molar no ponto normal de ebulição (TABELAS 24.4 E 24.5– WELTY) 
 fB = parâmetro de associação para o solvente B (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) 
 Deduções de compostos com anel (complemento da TABELA 24.5 –WELTY) 
 
Exemplo 9 
Estimar o coeficiente de difusão em liquido do etanol (C2H5OH) em solução diluída de água a 10oC 
O volume molecular do etanol pode ser avaliado usando valores da tabela 24.5. 
 
Hayduk e Laudie propuseram a equação: 
 
 589,0A
14,1
B
5
AB V10x26,13D
--- m= . Com resultados semelhantes a equação Wilke-Chang. 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
O coeficiente de difusão de um sal univalente em soluções diluídas pode ser calculado utilizando a 
equação de Nernst 
 
 
eequivalent Coulumbs/g 96500Faraday de constante
CREMASCO - 1.10 Tabela
 
cm
eequivalent g
cm
 voltAmp
zero ãoconcentraç a iônica acondutânci,
gmol.K/J316,8R
11
RT2
D
33
oo
2
oo
AB
==Á
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=ll
=
Á÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
l
+
l
=
-+
-+
 
 
Substituindo 2 por 1/n+ + 1/n- onde n+ e n- são as valências do cátion e anion. 
Para temperaturas diferentes de 25oC, estes parâmetros podem ser estimados a partir da seguinte 
correlação: 
 
 ( ) ( )
32
C25iTCiT
)25T(c)25T(b)25T(aoo -+-+-+l=l Tabela 1.11 – CREMASCO 
 
Exemplo 10: Estimar o coeficiente de difusão em solução diluída do cloreto de potássio a 30o C. 
Comparar com o valor experimental de 2,233 x 10-5 cm2/s. 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
DIFUSÃO EM SÓLIDOS CRISTALINOS 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
 
• Arranjos nas estruturas cristalina: cúbica, CCC, CFC. 
• Movimento do soluto ® ocupar vazios (falhas na estrutura cristalina ou nos interstícios 
entre os átomos da matriz cristalina. 
• A energia de vibração do átomo deve ser alta o suficiente para vencer a barreira energética 
‘Q’ determinada pela energia de ativação. 
 
 
 
 
 
Exercício 11: Estime a difusividade do carbono em Fe (CCC) e em Fe (CFC) a 1000º C. Analise os 
resultados. 
 
Q 
difusão 
z 
Energia 
RTQ
oAB eDD
-= 
Q = energia de ativação difusional (cal/mol) 
R = 1,987 cal/mol K 
Do = coeficiente de difusão sem que 
houvesse a necessidade de salto energético 
Q e Do = TABELA 1.13 - CREMASCO 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
DIFUSÃO EM SÓLIDOS POROSOS 
 
 
 
 
 
 
a) Difusão de Fick ou ordinária 
b) Difusão de Knudsen 
c) Difusão configuracional 
 
Difusão ordinária 
• Poros maiores que o livre caminho médio das moléculas difundentes. 
 
 
dz
dC
DJ Aefz,A -= 1ª Lei de Fick 
 
Def = coeficiente efetivo aparece em razão da natureza tortuosa do sólido poroso. 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
t
e
=
p
ABef DD 
 
 ep = porosidade 
 t = tortuosidade Þ TABELA 1.14 – CREMASCO 
 
 t = 4,0 
 ep = 0,5 Þ Na ausência de dados tabelados 
 
 
 
 
Difusão de Knudsen 
 
 Poros estreitos da ordem de tamanho do livre caminho médio do difundente, ocorre colisões 
com as paredes dos poros. 
 
 pk d3
1
D W= 
 
 dp = diâmetro médio dos poros (cm) 
 W = velocidade média molecular (cm/s) 
 
 
[ ]
[ ]cm 
S
V2
S
2
r
s/cm 
M
T
r10x7,9D
p
B
p
p
2
21
A
p
3
k
=
r
e
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Onde: ep = porosidade do sólidoS = área da matriz porosa 
 rB = massa especifica aparente do sólido 
 Vp = volume especifico do poro da partícula sólida 
 
Quando a tortuosidade do poro é considerada, efetuar a correção: 
 
 
t
e
= pKKef DD 
 
Devido a estrutura do sólido poroso, um soluto gasoso, ao se difundir, pode deparar com vários 
tamanhos de poros, ocorrendo a difusão ordinária e a de Knudsen, logo: 
 
 
{ 321321
Knudsen
Kef
Fick de Lei1
 a segue
ordinária
ef
efetivo
Aef D
1
D
1
D
1
a
+= 
 
 
Exemplo 1.12: Determine o coeficiente efetivo de difusão do dióxido de carbono em partícula 
catalítica esférica de alumina a 30º C. 
 
 
Difusão configuracional 
 
• Ocorre em matrizes porosas (zeólitas). 
• Macro e microporos. 
• Arranjo tipo colméia ® peneira molecular. 
• A difusão ocorre devido a saltos energéticos do solutos pelos microporos. 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
RT
Q
expDD oA zeo Þ TABELA 1.16 – CREMASCO 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Difusão em membranas 
 
• Osmose inversa 
• Ultrafiltração 
• Diálise 
• Perevaporação 
• Perpetração 
 
• Podem ser de materiais cerâmicos ® inorgânicos 
• ou materiais poliméricos ® orgânicos 
 
• A difusão do soluto em polímeros ocorre por um processo de estado ativado, via saltos 
energéticos, ocupando vazios na estrutura polimérica. 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
RT
Q
expDD oa me Þ TABELA 1.17 - CREMASCO 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Exemplo 1.13: Estime a difusividade do CO2 a 30º C para as seguintes situações: 
a) difusão em um membrana de borracha butilica. 
b) difusão em uma membrana de polibutadieno. 
c) difusão em uma membrana de poli(dimetil butadieno). 
 
 
 
 
 
 
 
 Fundamentos de Transferência de Massa 1.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA 
 
o Envolve um fluido em movimento e uma superfície ou entre dois fluidos em movimento 
relativamente imiscíveis. 
o Depende das propriedades de transporte e das características dinâmicas do fluido em 
escoamento. 
o Quando bombas ou outros equipamentos similares externos causam o movimento no fluido Þ 
convecção forçada. 
o Movimento do fluido causado pela diferença de densidade, a qual é conseqüência da diferença 
de concentração ou temperatura Þ convecção natural. 
 
AcA ckN D= Þ Equação da taxa de transferência de massa convectiva, generalizada de uma 
maneira análoga a lei de resfriamento de Newton. 
 
 NA = Transferência de massa molar, 
DcA = diferença entre a concentração da superfície e a concentração média da corrente de 
fluido da espécie A se difundindo. 
kc = coeficiente de transferência de massa convectivo. 
 
o Transferência de massa molecular: a transferência de massa convectiva ocorre na direção do 
decréscimo de concentração. 
o kc inclui as características de escoamento laminar e turbulento. 
o kc é uma função da: geometria, propriedades do fluido e escoamento, DcA. 
o Similaridades entre kc e h Þ técnicas desenvolvidas para avaliar h, pode ser reaplicadas para kc. 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPITULO 2: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
O balanço material para uma dada espécie química A através de um volume de controle apropriado 
é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
controle de
 volumeno massa de
 acúmulo de Taxa
controle de
 volumeno massa de
produção de Taxa
controle de
 volumeno sai que
 massa de Taxa
controle
de volumeno entra
que massa de Taxa
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
(2.1) 
 
 A transferência de massa através da área zyDD para x será : 
 
 AAAxx,AA nou zy Jr=DDJr
r
 
 
O fluxo líquido (entrada-saída) do constituinte A será: 
 
 
zzA,zzzA,
yyA,yyyA,
xxA,xxxA,
yxnyxn :z direção an e
zxnzxn :y direção an
zynzyn : xdireção an
DD-DD
DD-DD
DD-DD
D+
D+
D+
 
 
A taxa de acúmulo de A no volume de controle será: 
 
yD
? y 
x 
y 
z 
xD zD 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 zyx
t
A DDD
¶
r¶
 
 
Se A é produzido no interior do volume de controle por uma reação química a uma taxa rA (massa 
de A produzida)/(volume×tempo), a taxa de produção de A é: 
 
 zyxrA DDD 
 
Substituindo cada termo na equação (2.1) temos: 
 
0r
tz
nn
y
nn
x
nn
: termosos cancelando e ,zyx volumepelo Dividindo
0zyxrzyx
t
yxn
yxnzxnzxn zynzyn 
A
AzzA,zzzA,y
yA,yyyA,xxA,xxxA,
A
A
zzA,
zzzA,yyA,yyyA,xxA,xxxA,
=-
¶
r¶
+
D
-
+
D
-
+
D
-
DDD
=DDD-DDD
¶
r¶
+DD-
DD+DD-DD+DD-DD
D+D+D+
D+D+D+
 
 
 
(2.3) 0r
t
n
A componente o para decontinuida da equaçãoA 
(2.2) 0r
tz
n
y
n
x
n
: temoszero a tendendo? z e? y ? x, com limite o Avaliando
A
A
A
A
Az,Ay,Ax,A
=-
¶
r¶
+×Ñ
=-
¶
r¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
r
 
 
Uma equação da continuidade similar pode ser desenvolvida para o componente B. 
 
 0r
t
n B
B
B =-¶
r¶
+×Ñ
r
 (2.4) 
 
Adicionando os dois componentes, nós obtemos: 
Operador divergente 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( ) ( ) ( ) 0rr
t
nn BA
BA
BA =+-¶
r+r¶
++×Ñ
rr
 
 
Para uma mistura binária vale: 
 
 Jr=Jr+Jr=+
rrrrr
 nn BBAABA 
 
 r=r+r BA 
 
 rr BA -= 
 
Logo: 
( )
 0
t
=
¶
r¶
+Jr×Ñ
r
 (2.5) 
 
Da definição de derivada substantiva: 
 
 Ñ×J+
¶
¶
=
r
tDt
D
 
 
 
 
Figura 3.2 Cremasco 
 
Logo: 
 0
Dt
D
=J×Ñr+
r r
 
 
em termos de fração molar: 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 0rJ
Dt
Dw
AA
A =-×Ñ+r
r
 
 
 0rJw
t
w
AAA
A =-×Ñ+Ñ×Jr+
¶
¶
r
rr
 
 
Em termos de unidades molares: 
 
 0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 Componente A 
 
 0R
t
c
N B
B
B =-¶
¶
+×Ñ
r
 Componente B 
 
 
e a mistura: 
 ( ) ( ) ( ) 0RR
t
cc
NN BA
cA
BA
A =+-
¶
+¶
++×Ñ
rr
 
 
 J=J+J=+
rrrrr
cccNN BBAABA 
 
 ccc BA =+ 
 
 Não se pode tomar RA + RB = 0, salvo para cada mol de A produzido desaparece o mesmo 
tanto de B (ou vice-versa). 
 
 BA « 
 
em geral: 
 
 ( ) 0RR
t
c
c BA =+-¶
¶
+J×Ñ
r
 
 
 [ ] ( )BA RRcct
c
+=J×Ñ+Ñ×J+
¶
¶ rr
 
 
 
 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
FORMAS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
Temos a equação para o componente A: 
 
 A
A
A Rt
c
N =
¶
¶
+×Ñ
r
 
 
 Como: ( )BAAAABA NNyycDN
rrr
++Ñ-= 
 
e seus equivalentes: 
 
 J+Ñ-=
rr
AAABA cycDN 
 
e ( )BAAAABA nnwwDn
rrr
++Ñr-= 
 
e seu equivalente: 
 
 Jr+Ñr-=
rr
AAABA wDn 
 
nós obtemos: 
 
 0r
t
wD A
A
AAAB =-¶
r¶
+Jr×Ñ+Ñr×Ñ-
r(2.6) 
 
 
 0R
t
c
cycD A
A
AAAB =-¶
¶
+J×Ñ+Ñ×Ñ-
r
 (2.7) 
 
 
SIMPLIFICAÇÕES 
 
a) Se a densidade da mistura, r, e o coeficiente de difusão, DAB, são assumidos constantes, a 
equação (2.6) torna-se: 
 
 
 
 
 
{ 0rt
D A
A
A
decontinuida da equação
0
AA
2
AB =-¶
r¶
+rÑJ+J×Ñr+rÑ-
=
rr
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Dividindo cada termo pelo peso molecular 
 
 
( ) ( )geração
difusiva
ãocontribuiç
acúmulo
convectiva
ãocontribuiç
RcD
t
c
c AA
2
AB
A
A
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+Ñ=
¶
¶
+Ñ×J
r
 (2.8) 
 
b) RA = 0: sem reação química, r e DAB = constantes 
 
 A
2
AB
A
A cDt
c
c Ñ=
¶
¶
+Ñ×J
r
 
 
 ou A
2
AB
A cD
tD
cD
Ñ= 
 
c) 0=J
r
, RA = 0: sem reação química, r e DAB = constantes 
 
 A
2
AB
A cD
t
c
Ñ=
¶
¶
 2ª Lei de Fick da difusão. 
 
 - Líquidos estagnados 
 - Sólidos 
 
d) As equações dos itens a, b e c podem ser simplificadas se o processo esta em estado 
estacionário, isto é: 
 
 0
t
c A =
¶
¶
 
 
Se 0c A
2 =Ñ temos a equação de Laplace. 
 
Laplaciano 2Ñ : coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas. 
 
2ª Lei de Fick 
 
 ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
2
A
2
2
A
2
2
A
2
AB
A
z
c
y
c
x
c
D
t
c
 Coordenadas retangulares. 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
q¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
2
A
2
2
A
2
2
A
2
A
2
AB
A
z
cc
r
1
r
c
r
1
r
c
D
t
c
 Coordenadas cilíndricas. 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
f¶
¶
q
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
q¶
¶
q
q¶
¶
q
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
=
¶
¶
2
A
2
2
A
2
A2
2AB
A c
senr
1c
sen
senr
1
r
c
r
rr
1
D
t
c
 Coordenadas 
esféricas. 
 
 A equação diferencial geral para transferência de massa do componente A, ou a equação da 
continuidade de A são descritas nas 3 coordenadas, como: 
 
 A
z,Ay,Ax,AA R
z
N
y
N
x
N
t
c
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
 
 
 ( ) Az,A,Ar,AA Rz
NN
r
1
Nr
rr
1
t
c
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
q¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶ q 
 
 ( ) ( ) A,A,Ar,A22A R
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
f¶
¶
q
+q
q¶
¶
q
+
¶
¶
+
¶
¶ f
q 
 
 
CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL MAIS COMUM 
 
 As condições de contorno e inicial utilizadas são muito similares à aquelas de transferência 
de calor. 
 Condições iniciais: 
 
 Para t = 0, cA = cA0 (unidades molares) 
 
 Para t = 0, rA = rA0 (unidades mássicas) 
 
 As condições de contorno geralmente encontradas, são: 
 
a) A concentração na superfície pode ser especificada: 
 
 cA = cA1 , frações molares 
 
 yA = yA1, gases 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 xA = xA1, líquidos e sólidos 
 
 rA = rA1, concentração mássica 
 
 wA = wA1, fração mássica 
 
 Quando o sistema é um gás pode-se utilizar a pressão parcial pela lei Dalton: 
 
 pA = pA1 = yA1P 
 
 Para casos específicos de difusão de um líquido dentro de uma fase gasosa, pode-se utilizar a 
equação da lei de Rault: 
 
 pA1 = xAPA 
 
onde: xA = fração molar da fase líquida 
 PA = pressão de vapor de A na transferência ao líquido 
 
 
 
 
b) O fluxo mássico para a superfície pode ser especificado como, por exemplo: 
 
 jA = jA1 ou NA = NA1 
 O fluxo na superfície pode ser: 
 
 
0z
A
ABz,A dz
dw
Dj
=
r-= 
 
 Em superfícies impenetráveis: jA,z = 0 
 
c) A taxa de reação química pode ser especificada: 
 
 1A11A ckN = reação de 1ª ordem, sendo k1 a constante da taxa. 
 
 
 
Equações diferenciais em transferência de massa 2.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
d) Quando o fluido esta escoando sobre uma fase, a espécie pode ser perdida a partir da fase de 
interesse por transferência de massa convectiva. 
 
 ( )¥-= A1Ac1A cckN 
 
 cA¥ = concentração de A na corrente de fluido. 
 cA1 = concentração de A no fluido adjacente a superfície. 
 kc = coeficiente de transferência de massa convectivo. 
 
 
EXEMPLO 2.1: 
Num cilindro de combustível nuclear com material fissionável, a taxa de produção de nêutrons é 
proporcional a concentração de nêutrons. Use a equação diferencial de transferência de massa para 
escrever a equação diferencial que descreve o processo de transferência de massa. Liste suas 
condições de contorno. 
 
EXEMPLO 2.2: 
Numa câmara de combustão, o oxigênio difunde através de um filme de ar para a superfície de 
carbono, onde ele reage de acordo com a seguinte equação: 
 
22 COCO2O2C3 +®+ 
 
 
 
 
 
a) Escreva a equação diferencial especifica para este processo em estado estacionário para o 
componente O2. 
b) Escreva a lei de Fick para o componente oxigênio. 
z = 0 
O2 CO CO2 
z = d 
 Difusão em regime permanente 3.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 3: DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE 
 
 Temos a equação diferencial de transferência de massa: 
 
 0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 
 
RA = taxa de produção química do componente A dentro da fase através da qual a massa esta sendo 
transferida. 
 
 
t
c A
¶
¶
 = acumulo de A dentro da fase. 
 
 AN×Ñ = taxa líquida de fluxo mássico do componente A. 
 
 
t
c A
¶
¶
 = 0 no estado estacionário, ou seja, a concentração de A não varia com o tempo. 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA UNIDIMENCIONAL INDEPENDENTE DE REAÇÃO 
QUÍMICA 
 
 Num sistema binário, o componente z deste fluxo é expresso por: 
 
 ( )z,Bz,AAAABz,A NNydz
dy
cDN ++-= 
 
 
3.1 DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM FILME GASOSO INERTE E ESTAGNADO 
 
Encontrar o fluxo molar da difusão através de um filme gasoso inerte e estagnado 
Hipóteses: T e P = constantes 
 B é quimicamente inerte a A 
 Solubilidade de B em A é desprezível 
 
 Difusão em regime permanente 3.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Figura 3.1 Célula de difusão de Arnold 
 
Solução: 
( )
,lnB
2A1A
12
AB
z,A y
yy
zz
cD
N
-
-
= (3.1) 
 
 Para um gás ideal: 
P
p
ye
RT
P
V
n
c AA === , substituindo em (3.1), temos: 
 
 ( )
( )
ln,B
2A1A
12
AB
z,A p
pp
zzRT
PD
N
-
-
= (3.2) 
 
 As equações (3.1) e (3.2), correspondente a difusão em estado estacionário de um gás 
através de um segundo gás estagnado. 
Um difunde e o outro não è absorção e umidificação. 
 A equação (3.2) tem sido usada para descrever o coeficiente de transferência de massa 
convectivo pela teoria do filme. 
 
 
Figura 3.2 Modelo do filme para a transferência de massa do componente A movendo para a 
corrente gasosa. 
Líquido puro A 
z = z1 
z = z2 
Dz 
NAz|z 
NAz|z+Dz 
Gás B escoando 
Escoamento 
de gás B 
Líquido A 
Líquido A 
z = d 
z = 0 NAz 
Corrente de gás principal 
 
Filme de gás movendo lentamente 
 Difusão em regime permanente 3.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 Neste caso z2 – z1 = d, logo a equação (3.2) fica: 
 
 
 
( )
ln,B
2A1AAB
z,A p
pp
RT
PD
N
-
d
= 
 
 Pela definiçãode convecção temos: 
 
 ( )2A1Acz,A cckN -= ou 
 
 ( )2A1Acz,A RT
k
N r-r= 
 
Por comparação o coeficiente de transferência de massa convectivo é: 
 
 
d
=
,lnB
AB
c p
PD
k 
 
Modelo do filme sugere que ABc Dk µ 
 
Outros modelos (capítulo 28 – Welty) 1 a 0,5 n :onde ,Dk nABc =µ 
 
Determine o perfil de concentração para a difusão através de um filme gasoso inerte estagnado e 
também sua concentração media. 
 
 Solução: 
( ) ( )121 zzzz
1B
2B
1B
B
y
y
y
y
--
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= Perfil de concentração 
 
 ( ) ,lnB1b2B
1B2B
B yyyln
yy
y =
-
= Concentração média 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exercício 3.1: 
Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta 
industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar a água 
nas vizinhanças que esta estagnada. A camada de água é de 0,04’’, que pode ser assumida constante 
a temperatura de 75º F. O ar esta a 75º F e 1 atm, com uma umidade absoluta de 0,002 lb de água/lb 
ar seco. A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás 
de espessura 0,20 in. 
Resposta: 2,73 hrs 
 
 
3.2 DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA NUM FILME GASOSO ESTAGNADO 
 
· Um dos contornos move com o tempo 
· Após um intervalo de tempo longo, nota-se a variação no nível do líquido a partir do topo do 
capilar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 Célula de difusão de Arnold com liquido se movendo na superfície. 
 
· Sobre um intervalo de tempo considerável somente uma pequena fração de difusão. 
· t1 – t0 => longo tempo. 
· O fluxo molar na fase gasosa estagnada é: 
 
 
( )
zzz onde ,
y
yy
z
cD
N 12
,lnB
2A1AAB
z,A =-
-
= (3.2.1) 
 
Dz 
z = z1 para t0 = zto 
z = z1 para t1 = zt 
 
Líquido puro A 
NAz|z 
NAz|z+Dz 
Gás B escoando 
 Difusão em regime permanente 3.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
· O fluxo molar NA,z esta relacionado com a quantidade de A deixando o liquido por: 
 
 líquida fase naA demolar densidade 
M
 onde ,
dt
dz
M
N
A
L,A
A
L,A
z,A =
rr
= (3.2.2) 
 
 Em condições pseudo-estacionária, igualam-se (3.2.1) e (3.2.2), 
 
 
( )
,lnB
2A1AAB
A
L,A
y
yy
z
cD
dt
dz
M
-
=
r
 (3.2.3) 
 
 Integrando: 
 
 ( ) òò -
r
=
t
0t
z
z2A1AAB
Aln,BL,A
t
0
dzz
yycD
My
dt 
 
 Rearranjando, temos: 
 
 ( ) ÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -
-
r
=
2
zz
tyyc
My
D
2
t
2
t
2A1A
Aln,BL,A
AB
0 (3.2.4) 
 
 A equação (3.2.4) é utilizada para determinação do coeficiente de difusão do gás a partir dos 
dados experimentais da célula de Arnold. 
 
Exemplo 3.2: 
E. M. Larson, usando uma célula de Arnold, mediu a difusividade do clorofórmio no ar a 25º C e 1 
atm de pressão. A densidade do clorofórmio líquido a 25º C é 1,485 g/cm3, e sua pressão de vapor a 
25º C é 200 mmHg. No tempo tempo t = 0 a superfície do liquido de clorofórmio era 7,40 cm a 
partir do topo do tubo, e após 10 hrs a superfície do líquido caiu de 0,44 cm. Se a concentração do 
clorofórmio é zero no topo do tubo, qual seria o coeficiente de difusão do gás clorofórmio no ar? 
Resposta: 9,3 x 10-6 m2/s 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.3 CONTRADIFUSÃO EQUIMOLAR 
 
· Destilação de 2 constituintes quando os calores latentes de vaporização são iguais. 
· Fluxos iguais em direções opostas. z,Bz,A NN -= 
 
 
 0N A =×Ñ 
 
· Considerando somente a direção z: 
 
 0N
dz
d
z,A = 
 
· Lei de Fick 
 
 ( )
444 3444 2143421
bulk
z,Bz,AA
difusão
A
ABz,A NNydz
dc
DN ++-= 
 
· Como z,Bz,A NN -= , logo: 
 
 
 
dz
dc
DN AABz,A -= (3.3.1) 
 
· Condições de contorno: 
 
 Para z = z1 temos: cA = cA1 
 Para z = z2 temos: cA = cA2 
 
Integrando a equação (3.3.1) com as c.c., temos: 
 
 ( )2A1A
12
AB
z,A cczz
D
N -
-
= (3.3.2) 
 
Pela lei dos gases ideais: 
 e.e. = 0 sem reação = 0 
0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 
 Difusão em regime permanente 3.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
RT
p
V
n
c AAA == , substituindo, fica: 
 
 ( ) ( )2A1A12
AB
z,A ppzzRT
D
N -
-
= (3.3.3) 
 
 As equações (3.3.2) e (3.3.3) são comumente referidas como equações da contradifusão 
equimolar no estado estacionário. 
 
Obter o perfil de concentração para contradifusão equimolar no estado estacionário. 
Resposta: 
21
1
2A1A
1AA
zz
zz
cc
cc
-
-
=
-
-
 
 
Por comparação: 
 
( ) ( )
d
=
-=-
d
=
ABo
2A1A
o
2A1A
AB
z,A
D
k :Logo
cckcc
D
N
 para a contradifusão equimolar. 
 
Exemplo 3.3: 
Calcule o fluxo molar da amônia gasosa, sabendo-se que ela se difunde num capilar de 10 cm de 
comprimento com 2 reservatórios contendo nitrogênio. O sistema esta a 25º C e 1 atm. A pressão 
parcial da amônia em um dos reservatórios é 90 mmHg e no outro 10 mmHg. 
 
 
 
Resposta: -1,07 x 10-7 gmol/s.cm2 
 
NA,z pA2 = 90 mmHg 
pA1 = 10 mmHg 
Dz 
A º amônia 
 
B º Nitrogênio 
 Difusão em regime permanente 3.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.4 SISTEMAS ASSOCIADOS COM REAÇÕES QUÍMICAS 
 
· Quando ocorre uniformemente através de uma fase => reação homogênea. Acontece em todos 
os pontos do elemento de volume. Aparece diretamente na equação da continuidade do soluto. 
· Toma lugar numa região restrita no contorno da fase => reação heterogênea. 
 
 { 0Rt
c
N
)(homogêneaA espécie da
toaparecimen de taxa
A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 (3.4.1) 
 
· Numa reação heterogênea a taxa de aparecimento de A não aparece na equação diferencial, 
desde que a reação não ocorra dentro do volume de controle, ao invés disto ela entra na analise 
como uma condição de contorno: 
 
 0Aszz,AA ckNR == d= 
 
· A reação heterogênea as vezes aparece na equação da continuidade de A => sistemas pseudo-
homogêneo. 
 
3.4.1 DIFUSÃO SIMULTÂNEA E HETEROGÊNEA, REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM: 
DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA 
 
· Quando a taxa de reação é instantânea em relação a taxa de difusão => processo com difusão 
controlada. 
· Quando a taxa de reação para o componente transferido nos limites da superfície limita a taxa de 
transferência de massa => processo com reação controlada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo: 
Partícula de carvão pulverizada dentro de uma câmara de combustão em leito fluidizado => difusão 
controlada. 
Moles de oxigênio transferido pelo tempo 
 
 
 
 Figura Difusão através de um filme esférico 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )gCOgCO2gO5,2sC3 22 +®+ 
 
Equação geral de transferência de massa em coordenadas esféricas: 
 
 
( ) ( ) A
remnalunidirecio
difusão
0
,A
,Ar,A
2
2
ioestacionár
estado
0
A R
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
éf¶
¶
q
+q
q¶
¶
q
+
¶
¶
+
¶
¶
=
f
q
=
4444444 34444444 21321
 
 
RA = 0 se A = O2 => nenhuma reação homogênea ocorre ao longo do caminho da difusão. 
 
 ( )
Rr,O
2
rr,O
2
r,O
2
r,O
2
2222
NRNrou cteNr0Nr
r
==Þ=
¶
¶
 
 
quadro 
C 
R 
r Dr 
NCO2,r 
NO2,r 
NCO,r 
Ar nas vizinhanças 
 Difusão em regime permanente 3.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Equação da Lei de Fick para o O2 fica: 
 
 
dr
dy
y2,01
cD
N 2
2
2
2
O
O
misO
z,O +
-=
-
 
 
Condições de contorno: 
 
 r = R, yO2 = 0 Þ reação instantânea 
 r = ¥, yO2 = 0,21 
 
Solução: ÷
ø
ö
ç
è
æ
=÷
ø
ö
ç
è
æ -
042,1
1
ln
2,0
cD
R
1
Nr
misO
z,O
2 2
2
 
 
Como ( )rO22O 22 Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W p== 
 
 ( )042,1ln
2,0
cD
R4W
misO
O
2
2
-
p-= 
 
A esfera de carvão oxida com o tempo => diminuição da esfera => pseudo-estacionário 
 
Tempo para esfera de carbono encolher de um raio inicial para um final. 
 
Balanço material para o carbono: 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
dt
dR
R4
Mdt
dV
M
onde
dt
dV
M
w0
CCC
2
C
C
C
C
C
C
C
acumuladosaientra
p
r
=
r
÷÷
ø
ö
çç
è
æ r
=-
=-
 
 
quadro 
 
 
( )
( )042,1lncD12
RR
M
t
misO
2
f
2
i
C
C
2 -
-
r
= 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
PRODUÇÃO DE DIOXIDO DE CARBONO SOMENTE 
 
 
 
( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 ®+ 
 
quadro 
 
Equação da Lei de Fick para o O2 fica: 
 
 
dr
dy
cDN 2
22
O
misOr,O --= 
 
Condições de contorno: 
 
 r = R, a)instantâne (não ordem 1a. de Reação ckN sOsRrO 22
Þ-=
=
 
 
 r = ¥, yO2 = yO2¥ 
 
Solução: ( )sOOmisOr,O2 2222 yycDR
1
Nr --=÷
ø
ö
ç
è
æ
¥- 
 
Como ( )rO22O 22 Nr4 tempopelo do transferiO de Moles W p== 
 
 ( )sOOmisOO 2222 yyRcD4W -p-= ¥- 
 
C 
R 
r Dr 
NCO2,r 
NO2,r 
Ar nas vizinhanças 
 Difusão em regime permanente 3.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
quadro 
 
ck
N
c
c
y
s
ROsO
sO
22
2
-
== logo: 
 
 
Rk
D
1
yRcD4
W
s
misO
OmisO
O
2
22
2
-
¥-
+
p-
= 
 
Se misOs 2Dk ->> 
 
 ¥-p-= 222 OmisOO yRcD4W 
 
 
EXEMPLO 3 
Um reator de leito fluidizado de carvão tem sido proposto para uma nova planta. Se operar a 1145 
K, o processo será limitado pela difusão de oxigênio em contracorrente com dióxido de carbono, 
formado na superfície da partícula. Assumir que o carvão é carbono puro sólido com densidade de 
1,28 x 103 kg/m3 e que a partícula é esférica com diâmetro inicial de 1,5 x 10-4 m. Ar (21% O2 e 
79% N2) existe a vários diâmetros da esfera. Sob as condições de combustão, a difusividade do O2 
na mistura é 1,3 x 10-4 m2/s a 1145 K. Se o processo esta em estado estacionário, calcular o tempo 
necessário para reduzir o diâmetro da partícula de carbono a 5 x 10-5 m. O ar nas vizinhanças é uma 
fonte infinita de transferência de O2, onde a oxidação do carbono na superfície da partícula é 
diminuída pela transferência de O2. A reação na superfície é: ( ) ( ) ( )gCOgOsC 22 ®+ 
Resposta: t = 0,92 s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.4.2 DIFUSÃO COM UMA REAÇÃO QUÍMICA DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEA 
 
· Operações unitárias: um constituinte de uma mistura gasosa é preferencialmente dissolvido em 
contato com um liquido. Dependendo da natureza química das moléculas envolvida a absorção 
pode envolver reação química. 
 
 
 
Condições de contorno: Em z = 0 Þ cA = cA0 
 Em z = d Þ cAs = 0 
 
Figura Absorção com reação química homogênea. 
 
Fluxo molar: ( )
444 3444 2143421
filme
do dentro pequena muito é
A de ãoconcentraç a 0, 
bulk
z,Bz,AA
difusão
A
ABz,A NNydz
dc
DN
»
++-= (3.4.2.1) 
 
Equação diferencial de transferência de massa no estado estacionário considerando apenas a direção 
z: 
 
 { 0Rdz
dN
)(homogêneaA espécie da
mentodesapareci de taxa
A
z,A =- (3.4.2.2) 
 
A1A ckR -= Þ Taxa de desaparecimento de A Þ reação química de 1ª ordem. (3.4.2.3) 
 
Substituindo (3.4.2.3) e (3.4.2.1) em (3.4.2.2), temos: 
z 
z = 0 
Dz 
z = d 
NAz|z 
NAz|z+Dz 
Líquido B 
Superfície 
do líquido Mistura gasosa 
(A e gás inerte) 
 Difusão em regime permanente 3.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 0ck
dz
dc
D
dz
d
A1
A
AB =+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
- , com DAB = constante, fica: 
 
 0ck
dz
cd
D A12
A
2
AB =+- (3.4.2.4) 
 
 A solução geral da equação (3.4.2.4) é: 
 
 z
D
k
senhcz
D
k
coshcc
AB
1
2
AB
1
1A += 
 
As condições de contorno permitem calcular c1 e c2 (quadro), e o perfil de concentração fica: 
 
 
d
-=
AB
1
AB
1
0A
AB
1
0AA
D
k
tgh
z
D
k
senhc
z
D
k
coshcc (3.4.2.4) 
 
Fluxo molar: 
 
 
dz
dc
DN AABz,A -= 
 
Solução: 
 
 
d
d
d
=
=
AB
1
AB
1
0AAB
0zz,A
D
k
tgh
D
k
cD
N (3.4.2.5) 
 
 
· Se não houver reação química: 
d
= 0AABz,A
cD
N 
 
· Numero adimensional de Hatta = Þ
d
d
AB
1
AB
1
D
k
tgh
D
k
mostra a influencia da reação química. 
 Difusão em regime permanente 3.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
· Se a taxa da reação química aumenta (k1 aumenta) o fator d
AB
1
D
k
tgh se aproxima de 1, e 
 ( )0ckDN 0A1AB0zz,A -== 
 
 Por comparação com a equação da convecção: ( )2A1Acz,a cckN -= , temos que: 
 
 Þµ ABc Dk Teoria da penetração 
 
 Se Þµ ABc Dk Teoria do filme 
 
 
EXEMPLO 4 
Considerando um processo unitário com um disco rotativo para o tratamento de fenol (espécie A) 
em água. O biofilme contém um microrganismo em enzima peroxidase que degrada o fenol. A 
concentração de A dentro do biofilme diminuirá à medida que o penetra, ou seja A é degradado. 
Não há resistência convectiva entre o fluido e a superfície do biofilme. 
 
Figura Tratamento de água de lavagem por biofilme. 
 
É desejável tratar 0,1 m3/h de água contendo 0,1 mol/m3 de fenol. Se a espessura do biofilme é 2 x 
10-3 m, qual é a área do biofilme necessária para obter uma concentração de saída de 0,02 mol/m3? 
A taxa de degradação é descrita pela cinética de Michales-Menten: 
AA
Amax,A
A ck
cR
R
+
= 
 
onde RA,max = 5,7 x 10-3 mol/m3, kA = 0,3 mol/m3 e DAB = 2 x 10-10 m2/s a T = 25º C. 
Solução: S = 57 m2 
Corrente de alimentação da 
água de lavagem 
CAi = moles/m
3 
Biofilme 
Água de lavagem 
tratada CAO Mistura perfeita 
Seção transversal do 
biofilme 
CAO 
CA(z) 
biofilme 
Superfície 
Sólida inerte 
z = 0 z = d 
 
 dcA/dz = 0 
Capítulo 28 Welty 
 Difusão em regime permanente 3.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.4.3 DIFUSÃO INTRAPARTICULAR COM REAÇÃO QUÍMICA (Cremasco) 
 
 Quando um sólido poroso apresenta sua área interna maior (30 m2/g ou maior) ou da mesma 
magnitude do que a sua superfície externa, considera-se o soluto, depois de atingir a superfície da 
partícula, difunda no interior desta para depois ser absorvido e sofrer transformação por reação 
química nas paredes dos sítios ativos do catalisador, conforme mostraa figura. 
 
 
 
 
Figura - Difusão com reação química heterogênea no interior de um sólido poroso 
 
 
· Termo reacional = aR”A, onde a = superfície do poro/unidade de volume da matriz porosa 
(sistema pseudo-homogêneo) 
 
· Equação geral para espécie A: 
 
 ( ) ( ) A
remnalunidirecio
difusão
0
,A
,Ar,A
2
2
ioestacionár
estado
0
A Ra
N
senr
1
senN
senr
1
Nr
rr
1
t
c
¢¢=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
f¶
¶
q
+q
q¶
¶
q
+
¶
¶
+
¶
¶
=
f
q
=
4444444 34444444 21321
 
 
 
 ( ) Ar,A22 RaNrrr
1 ¢¢=
¶
¶
\ (3.4.3.1) 
 
Sendo a reação de desaparecimento do soluto A escrita como: 
 
 AsA CkR -=¢¢ (3.4.3.2) 
R”A 
sólido 
poro 
A 
B 
CAs 
 Difusão em regime permanente 3.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
O fluxo de A no interior da matriz porosa será dado por: 
 
 
dr
dC
DN Aefr,A -= (3.4.3.3) 
 
Supondo temperatura e pressão constantes e substituindo (3.4.3.2) e (3.4.3.3) em (3.4.3.1), 
 
 A
ef
s2A2 C
D
ak
r
dr
dC
r
dr
d
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
 (3.4.3.4) 
 
Denominando: 
ef
s2
D
ak
=l 
 
A equação (3.4.3.4) fica na forma: 
 
 0C
dr
dC
r
2
dr
Cd
A
2A
2
A
2
=l-+ (3.4.3.5) 
 
a qual esta sujeita as seguintes condições de contorno: 
 
C.C.1: em r = R ® CA = CAs 
 
C.C.2: em r = 0 ® finitovalor Climou 0
dr
dC
A
0r
A ==
®
 (simetria da partícula) 
 
Chamando: y=ArC 
 
A equação (3.4.3.5) fica: 
 
0
dr
d 2
2
2
=yl-+
y
 (3.4.3.6) 
 
A solução geral da eq. (3.4.3.6) é: 
 
( ) ( )rsenhCrcoshC 21 l+l=y ou ( ) ( )[ ]rsenhCrcoshCr
1
C 21A l+l= (3.4.3.7) 
 
A determinação das constantes parte da aplicação das condições de contorno C.C.1 e C.C.2, 
ficando: 
 Difusão em regime permanente 3.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )
( )Rsenh
rsenh
r
R
C
C
As
A
l
l
= (3.4.3.8) 
 
A eq. (3.4.3.8) fornece o perfil de concentração de A no interior da matriz porosa em função da 
relação entre as resistências a difusão e a reação química irreversível de 1ª ordem que se processa 
nos sítios internos da partícula. 
 
O fator de efetividade 
 
 O fator de efetividade representa o efeito que a taxa da matéria exerce na taxa de reação 
numa partícula, sendo definido como a razão entre a taxa real de reação química, Rsg, e a taxa da 
reação baseada nas condições de superfície externa da partícula, como se toda a superfície ativa dos 
poros estivesse exposta nas mesmas condições da superfície, sgR . Assim: 
 
 
sg
sg
R
R
=he 
 
com: 
Rr
A
ef
2
R,A
2
sg dr
dC
DR4NR4R
=
p-=p= 
 
representado todo o soluto consumido na superfície externa da partícula transportado para dentro 
dessa partícula. Substituindo a eq. (3.4.3.8) e efetuando a derivação, temos: 
 
( ) ( )[ ]RcothR1CRD4R Asefsg ll-p-= 
 
Caso ocorra somente reação química irreversível de 1ª ordem, a taxa é: 
 
Ass
3
A
3
sg CakR3
4
RR
3
4
R p-=¢¢p= 
 
Logo: 
( ) ( )[ ]
( )2R
1RcothR3
l
-ll
=he 
 
O parâmetro l pode ser reformulado da seguinte maneira: l=f neR , que é o modulo de Thiele, 
indica a relação entre a taxa de reação química de 1ª ordem e a taxa de difusão. E Rne = Vp/Sm um 
raio generalizado que depende da geometria da partícula. Pa esfera perfeita: Vp = 4pR3/3 e Sm = 
4pR2, logo: lR = 3f. 
 
 Difusão em regime permanente 3.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 O perfil de concentração do soluto e o fator de efetividade em função do modulo de Thiele 
no interior do catalisador esférico são fornecidos por: 
 
 
( )
( )f
f
=
3senh
Rr3senh
r
R
C
C
As
A 
 
 
( )
23
13coth3
f
-ff
=he 
 
 Para catalisadores muito ativos (ks elevado) ® f = elevado ® baixos valores de he 
 Para catalisadores pouco ativos ® altos valores de he ® utilizam quase toda a área interna 
do catalisador. 
 
Exemplo 
No craqueamento catalítico do petróleo utilizaram-se microesferas de sílica-alumina de diâmetro 
igual a 1,8 mm e de área especifica dos poros de 3,2 cm2/cm3. Estime o valor do fator de efetividade 
considerando que a reação química catalítica, cuja velocidade é 6,9 cm/s, é irreversível e de 1ª 
ordem. O coeficiente efetivo de difusão é 8,0 x 10-4 cm2/s. 
Resposta: he = 0,187 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.5 SISTEMAS DE DUAS E TRÊS DIMENSÕES 
 
· A transferência de condução de calor é análoga a transferência de massa molecular, as soluções 
analíticas, analógicas e numéricas são similares (cap. 17 Welty). 
· J.Crank – The Mathematics of Diffusion, Oxford University Press, London,1957. 
 
Exemplo: 
Considerar uma placa plana retangular fina, largura W e comprimento L. O topo é imerso em 
inseticida (y = L). 
 
 
Figura 3.5.1 – Modelo de três dimensões para o transporte de inseticida. 
 
A equação geral de transferência de massa fica: 
 
 0R
t
c
N A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
r
 ou 
 
 
{ 0Rt
c
z
N
y
N
x
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
0
AzAyAx =-
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
321321
 (3.5.1) 
 
 ( )
444 3444 21
0 bulk termo
BxAxA
A
ABAx NNydx
dC
DN
=
++-= (3.5.2) 
 
x 
y 
CA = 0 
CA = C(x)
 
CA = 0 
CA = 0 
L 
0 W 
 Difusão em regime permanente 3.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )
444 3444 21
0 bulk termo
ByAyA
A
ABAy NNydy
dC
DN
=
++-= (3.5.3) 
 
Substituindo (3.5.3) e (3.5.2) em (3.5.1): 
 
 0
y
C
x
C
2
A
2
2
A
2
=
¶
¶
+
¶
¶
 (3.5.4) 
 
que é uma equação diferencial parcial, linear e homogênea com solução da forma: 
 
 ( ) ( ) ( )yYxXy,xC A = (3.5.5) 
 
Substituindo (3.5.5) em (3.5.4), temos: 
 
 
2
2
2
2
yd
Yd
y
1
xd
Xd
x
1
= 
 
 Ambos os lados são constantes, logo: 
 
 0X
xd
Xd 2
2
2
=l+ (3.5.6) 
 
 0Y
yd
Yd 2
2
2
=l- (3.5.7) 
 
A eq. (3.5.6) tem a solução geral da forma: 
 
 xBsenxcosAX l+l= (3.5.8) 
 
A eq. (3.5.7) tem a solução geral da forma: 
 
 yy EeDeY ll- += (3.5.9) 
 
A eq. (3.5.5) fica: 
 
 ( ) ( )( )yyA EeDexBsenxcosAy,xC ll- +l+l= (3.5.10) 
 
 Difusão em regime permanente 3.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Onde A, B, C e D são constantes avaliadas pelas condições de contorno: 
 
x = 0 ® CA = 0 
x = W ® CA = 0 
y = 0 ® CA = 0 
y = L ® CA = C(x) 
 
Utilizando as três primeiras condições de contorno a solução é: 
 
 ( )
W
yn
senh
W
xn
senAy,xC
1n
nA
pp
= å
¥
=
 (3.5.11) 
 
Utilizando a ultima condição de contorno: 
 
 ( )
W
Ln
senh
W
xn
senAxC
1n
nA
pp
= å
¥
=
 (3.5.12) 
 
A avaliação de An é mostrada por Cremasco, a solução final é: 
 
 ( ) ( ) dx
W
xn
senxC
W
xn
sen
W
Ln
senh
W
yn
senh
W
2
y,xC
W
0
A
1n
A òå ÷ø
ö
ç
è
æ pp
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ p
÷
øö
ç
è
æ p
=
¥
=
 (3.5.13) 
 
 
A equação (3.5.13) é resolvida após se conhecer a função CA(x). 
 
Exemplo: 
Considere a situação na qual ocorra o fluxo mássico de A através da superfície de um catalisador. 
Ao entrar em contato com o catalisador, o soluto A se difunde nas direções x e y. Atingindo três das 
quatro superfícies, a espécie A reage instantaneamente. Em y = L para qualquer x, a sua 
concentração mantém-se constante em um valor b. Considerando a existência da contradifusão 
equimolar entre produto e reagente, pede-se: 
a) a distribuição mássica do soluto A. 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.23 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.6 TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE MOMENTO, CALOR E MASSA 
 
· Exemplo: Secagem de uma superfície molhada pelo calor de um gás quente e seco: energia 
transferida a para superfície fria por convecção e radiação; transferência de massa associada a 
entalpia na corrente gasosa se movendo. 
· Os processos de transporte simultâneos são mais complexos, requerendo o tratamento 
simultâneo de cada fenômeno de transporte envolvido. 
 
3.6.1 Transferência simultânea de calor e massa 
 
· Condições isotérmicas 
 
 å
=
=
n
1i
ii
D HN
A
q r
r
 (3.6.1.1) 
 
 
mistura numa i de parcialmolar entalpia H
mássica difusãopor calor de fluxo 
A
q
i
D
=
=
r
 
 
· Condições não isotérmicas (diferenças de temperatura) 
 
 { { å
=
+D-Ñ-=
n
1i
ii
convectivocondutivo
D HNThTk
A
q r
r
 (3.6.1.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Difusão em regime permanente 3.24 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo: Condensação de vapor em uma superfície fria 
A condensação de um filme liquido escoando para baixo em uma superfície fria e um filme de gás 
na qual o condensado é transferido por difusão molecular. 
 
 
Figura Condensação de vapor em uma superfície fria. 
 
z1 ® yA1 = conhecido por psicometria 
T1 = conhecido 
T3 = conhecida (temperatura na superfície) 
 
Na fase gasosa ocorre convecção natural onde h é estimado pela equação: 
 
 
( )[ ] 94169
41
L
L
Pr/492,01
Ra670,0
68,0Nu
+
+= 
 
A equação diferencial que descreve a transferência de massa na fase gasosa é: 
 
 0N
dz
d
z,A = Þ fluxo mássico é constante na direção z. 
 
Se o componente A esta se difundindo através do gás estagnado, o fluxo é descrito pela seguinte 
forma da lei de Fick: 
 
 
dz
dy
y1
cD
N A
A
AB
z,A -
-
= 
Se o perfil de temperatura é conhecido: 
Filme líquido 
condensado Contorno do 
filme gasoso 
T1 
T2 
T3 
T = T(z) 
yA1 
yA2 
yA= yA(z) 
z3 z2 z1 
 
 Difusão em regime permanente 3.25 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
n
11 z
z
T
T
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
Podemos estimar o coeficiente de difusão que varia com a temperatura: 
 
 
2n3
1
TAB
23
1
TABAB z
z
D
T
T
DD
11 ÷
÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
A concentração também varia com a temperatura: 
 
 
( )n1zzR
P
RT
P
c == 
 
A equação de fluxo torna-se: 
 
 ( ) dz
dy
z
z
y1RT
DP
N A
2n
1A1
TAB
z,A
1
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
= 
 
Para uma pequena faixa de temperatura, pode-se aproximar para uma equação: 
 
 
( )
( ) dz
dy
y1
cD
N A
A
médioAB
z,A -
= 
 
Com as condições de contorno: 
 Para z = z1 Þ yA = yA1 
 Para z = z2 Þ yA = yA2 = PA/P, Lei de Dalton, 
 
Integrando a equação temos: 
 
 
( ) ( )
( ) ln,B12
2A1AmédioAB
z,A yzz
yycD
N
-
-
= 
 
O fluxo de energia total é: 
 
 ( ) ( ) ( )21Az,A21C32Lz HHMNTThTThA
q
-+-=-= 
 Difusão em regime permanente 3.26 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
2 líquido de plano no Entalpia H
1 vapor de plano no Entalpia H
A demolecular Massa M
gasoso filme no naturalcalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient h
líquido filme nocalor de ncia transferêde convectivo eCoeficient h
2
1
A
C
L
=
=
=
=
=
 
 
Para resolver a equação de fluxo de energia, utiliza-se a técnica de tentativa e erro: 
Assume o valor da temperatura da superfície liquida: T2 
Calcula hC e (cDAB)médio. 
Calcula yA2 = PA/P, com PA = pressão de vapor acima do liquido a T2 e P = pressão total do sistema 
Quando os lados esquerdo e direito se satisfazerem o chute de T2 esta correto. 
 
Exemplo: 
Uma mistura de vapor etanol-água esta sendo destilada pelo contato da solução liquida etanol/água. 
O etanol é transferido a partir do líquido para a fase vapor e a água é transferida na direção oposta. 
A condensação de vapor de água fornece a energia para a vaporização do etanol. Ambos os 
componentes estão se difundindo através do filme de gás de 0,1 mm de espessura. A temperatura é 
368 K e a pressão é 1,013 x 105 Pa. Para estas condições, a entalpia de vaporização dos 
componentes puros do etanol e água são 840 e 2300 kJ/kg, respectivamente. 
a)Desenvolver a equação de fluxo para o vapor de etanol. 
b) Desenvolver a equação de fluxo assumindo que os componentes tem calores equimolares de 
vaporização. 
 
Figura - Retificação adiabática de uma mistura etanol/água. 
 
· Assumir uma direção 
· Processo de transferência de massa molecular adiabático 
· Espessura do filme d 
Parede 
adiabática 
M
is
tu
ra
 li
qu
id
a 
sa
tu
ra
da
 d
e 
et
an
ol
/á
gu
a Filme 
gasoso 
(d) 
Vapor 
etanol/água 
NEtOH 
(vapor) 
NH2O 
(condensado) 
 Difusão em regime permanente 3.27 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3.6.2 Transferência simultânea de momento e massa 
 
· Absorção: A dissolução seletiva de um dos componentes de uma mistura gasosa por um líquido: 
coluna de parede molhada. 
 
· Escoamento de um filme ao longo de uma parede na qual esta em contato com uma mistura de 
gás. 
Suposições: 
1. O comprimento para contato entre as duas fases é curto, portanto uma pequena quantidade de 
massa é absorvida Þ propriedades do liquido são inalteradas. 
 
2. A velocidade do filme não afetara o processo de difusão. 
 
- Balanço de momento na direção x: 
 
{ { {
x
0
zxyx
0
xx
0
x
0
z
x
0
y
cte
0
x
x
ioestacionár estado
0
x g
zyxx
P
zyxt
x
r+
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
t¶
+
¶
t¶
+
¶
t¶
-
¶
¶
-=
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
J¶
J+
¶
J¶
J+
¶
J¶
J+
¶
J¶
r
===
==
=J
321321321321
 
 
 Logo, g
y
yx r-=
¶
t¶
 (3.6.2.1) 
 
As condições de contorno que devem ser satisfeitas: 
C.C.1 para y = 0 Jx = 0 
C.C.2 para y = d ¶Jx/¶y = 0 ( contato do liquido com o gás) 
 Difusão em regime permanente 3.28 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Fluido newtoniano: 
dy
d x
xy
J
m=t 
 
Substituindo em (1), temos: 
 
 21
2
x1
x
2
x
2
cyc
2
yg
cy
g
y
g
y
++
m
r
-=JÞ+
m
r
-=
¶
J¶
Þr-=
¶
J¶
m (3.6.2.2) 
 
Pela C.C.1 Þ c2 = 0 
 
Pela C.C.2 Þ c1 = rgd/m 
 
Substituindo e após um rearranjo, temos: 
 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
-
d
d
m
r
-=J
2
2
x
y
2
1yg
 (3.6.2.3) 
 
 
 2yxmax 2
g
d
m
r
=J=J d= (3.6.2.4) 
 
Logo: 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
-
d
J=J
2
maxx
y
2
1y
2 (perfil de velocidade) (3.6.2.5) 
 
Equação diferencial de transferência de massa 
 
 { 0Rt
c
N
química
reação
sem
0
A
ioestacionár
estado
0
A
A =-¶
¶
+×Ñ
=
=
321
r
 
 
nas direções x e y apenas:0
y
N
x
N y,Ax,A =
¶
¶
+
¶
¶
 (3.6.2.6) 
 
Os fluxos molares são definidos pela Lei de Fick como: 
 
 Difusão em regime permanente 3.29 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )
444 3444 2143421
xAc
x,Bx,AA
curto.
muito é liquido o com vapor do
contato de tempoo desprezar,
A
ABx,A NNxdx
dc
DN
J=
++-= (3.6.2.7) 
 
 
 ( )
444 3444 21
B emA de desolubilida a
baixa muito ,desprezar
y,By,AA
A
ABy,A NNxdy
dc
DN ++-= (3.6.2.8) 
 
Direção y: A é transportado principalmente por difusão. 
Direção x: A é transportado principalmente por convecção. 
 
Substituindo (3.6.2.7) e (3.6.2.8) em (3.6.2.6), temos: 
 
 
( )
:logo apenas,y de dependente é como ,0
y
c
D
x
c
x2
A
2
AB
xA J=
¶
¶
-+
¶
J¶
 
 
 0
y
c
D
x
c
2
A
2
AB
A
x =
¶
¶
-+
¶
¶
J (3.6.2.9) 
 
Sendo Jx dado pela equação (3.6.2.5), \ 
 
 0
y
c
D
x
cy
2
1y
2
2
A
2
AB
A
2
max =
¶
¶
-+
¶
¶
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
d
-
d
J (3.6.2.9) 
 
As condições de contorno para a película deslizando são: 
 
C.C.1: para x = 0 ® cA = 0 
 
C.C.2: para y = 0 ® 0
y
c A =
¶
¶
 (parede) 
 
C.C.3: para y = d ® cA = cA0 (contato com o gás) 
 
A qual pode ser resolvida numericamente pelo método das diferenças finitas. 
Johnstone & Pigford (1942) resolveram a equação (3.2.6.9) analiticamente, e obtiveram a 
concentração adimensional no fundo da coluna(Trans. AICHE, 38, 25, 1942): 
 Difusão em regime permanente 3.30 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
L++
++=
-
-
-
---
d==
d==
n75,204
n64,105n318,39n1213,5
yA0xA
yALxA
e01811,0
e03500,0e1001,0e7857,0
cc
cc
 (3.2.6.10) 
Onde: 
 
líquido no soluto do difusão de ecoeficient D
superfície na localizada filme, do máxima e velocidad
película da espessura 
coluna da altura L
coluna da topono soluto do ãoconcentraç c
liquido-gás interface na soluto do ãoconcentraç c
coluna da fundo no soluto do ãoconcentraç c
LD
 n 
AB
max
0xA
xA
LxA
max
2
AB
=
=J
=d
=
=
=
=
Jd
=
=
d=
=
 
 
Teoria da penetração: modelo desenvolvido por Higbie (Trans, AICHE, 31, 368-389, 1935) 
 
· Um soluto é transferido dentro de uma película em y = d. O efeito da película deslizando sobre a 
espécie difundindo, é tal que a velocidade do escoamento do fluido pode ser considerada 
uniforme e igual a Jmax. 
 
 
 
· O soluto A não será afetado pela presença da parede, então o fluido pode ser considerado de 
profundidade infinita. 
 
Profundidade da penetração 
 Difusão em regime permanente 3.31 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Com estas simplificações, a equação (3.2.6.8) fica: 
 
 
2
A
2
AB
A
max
y
c
D
x
c
¶
¶
=
¶
¶
J 
 
com as condições de contorno: 
C.C.1: para x = 0 ® cA = 0 
C.C.3: para y = d ® cA = cA0 (contato com o gás) 
C.C.3: para y = -¥ ® cA = 0 
 
Fazendo x = d - y, temos: 
 
 
2
A
2
AB
A
max
c
D
x
c
x¶
¶
=
¶
¶
J 
 
e as condições de contorno ficam: 
C.C.1: para x = 0 ® cA = 0 
C.C.2: para x = 0 ® cA = cA0 (contato com o gás) 
C.C.3: para x = ¥ ® cA = 0 
 
Aplicando a Transformada de Laplace na direcao x, na equação acima, temos: 
 
 
( )
2
A
2
ABAmax
s,c
D0cs
x¶
x¶
=-J no domínio de Laplace 
 
rearranjando: 
( )
0
D
css,c
AB
Amax
2
A
2
=
J
-
x¶
x¶
 
 
Esta equação diferencial ordinária de 2ª ordem, possui a solução geral de: 
 
 ( ) ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
J
-+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
J
=x
AB
max
1
AB
max
1A D
s
expB
D
s
expAs,c 
 
As constantes A1 e B1 são avaliadas utilizando as condições de contorno transformada para o 
domínio de Laplace: 
 
C.C.1: para x = 0 ® ( )
s
c
s,0c 0AA = (contato com o gás) 
 Difusão em regime permanente 3.32 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
C.C.2: para x = ¥ ® ( ) 0s,cA =¥ 
 
Produzindo a solução: 
 
 ( ) ÷÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
x
J
-=x
AB
max0A
A D
s
exp
s
c
s,c 
 
Aplicando a inversa da transformada de Laplace, temos: 
 
 ( )
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
J
-
x
-=x
max
AB
0AA
xD4
erf1c,xc ou 
 
 ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
x
-=x
expAB
0AA
tD4
erf1c,xc 
 
onde o tempo de exposição é definido como texp = x/Jmax. 
 
A função erro: erf() ® apêndice L de Welty. 
 
Fluxo: { { ÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
p
=
p
=
¶
¶
-==
==d=
d==x
0
2A
c
1A
exp
AB
exp
AB
0A
y
A
AByy,A0y,A
cc
t
D
t
D
c
y
c
DNN
0A
 
 
Por comparação com a equação de convecção: ( )2A1Acy,A cckN -= 
 
21
ABc
exp
AB
c Dkou t
D
k µ
p
= Þ Teoria da penetração. 
Difusão molecular no estado transiente 4.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 4: DIFUSÃO MOLECULAR NO ESTADO TRANSIENTE 
 
· 2 variáveis independentes: posição e tempo 
 
· Grandes quantidades de problemas de difusão podem ser resolvidos simplesmente olhando as 
soluções do problema análogo à condução de calor. Quando a equação diferencial e a condição 
inicial e de contorno do processo de difusão são exatamente da mesma forma daqueles do 
processo de condução de calor, então a solução pode ser tomada com as mudanças apropriadas 
na notação. 
 
· Muitas soluções analíticas em: 
o Carslaw & Jaeger, Heat conduction in solids, Oxford University Press, 1959, 2ª edição. 
o J. Crank, The mathematics of diffusion, Oxford University Press, London, 1958. 
 
· São peculiares apenas para transferência de massa: 
o Difusão com reações químicas 
o Difusão com velocidade media molar diferente de zero 
o Difusão com mais de 2 componentes 
o Convecção forçada com taxas de transferência de massa elevada 
 
· Processos transientes: 
o O processo na qual esta em estado não estacionário somente em sua partida inicial. 
o O processo na qual é uma batelada (descontínuo) ou operações em sistemas fechados do 
começo ao fim de sua duração. 
 
SOLUÇÃO ANALÍTICA 
 
A segunda lei de Fick, descreve uma situação onde: 
· Não ocorre nenhuma contribuição ao movimento (bulk), isto é, 0=J
r
 
· Nenhuma reação química, isto é, RA = 0 
 
Logo: 
 
 { 0Rt
c
N
química
reaçãosem
0
A
A
A =-¶
¶
+×Ñ
=
r
 (1) 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )
44 344 21
rr
r
0c
BAAAABz,A NNxxcDN
=J=
++Ñ-= 1ª Lei de Fick, logo: 
 
 AABz,A cDN Ñ-= (2) 
 
Introduzindo (2) em (1), temos: 
 
 A
2
AB
A cD
t
c
×Ñ=
¶
¶
 2ª Lei de Fick (3) 
 
Útil para: 
· Difusão em sólidos, líquidos estacionários, ou em sistemas em contradifusão equimolar. 
· Devido a taxa de difusão extremamente lenta em líquidos, a contribuição do movimento bulk, 
da 1ª lei de Fick (isto é, å iA Nx
r
) aproxima de zero para soluções diluídas, portanto satisfaz a 
2ª lei de Fick. 
 
 
4.1 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO SEMI INFINITO 
 
· Transferência de massa unidirecional dentro de um meio estacionário semi-infinito com uma 
concentração superficial fixa. 
· Absorção de O2 a partir do ar na aeração de um lago. 
· Processo de difusão na fase sólida envolvendo a dureza do aço em atmosfera rica em carbono. 
· A equação diferencial a ser resolvida é: 
 
 
2
A
2
AB
A
z
c
D
t
c
¶
¶
=
¶
¶
 
 
e as condições inicial ede contornos são: 
 
C.I.: 0AA cc = para t = 0, para todo z 
 
C.C.1: AsA cc = para z = 0, para todo t 
 
C.C.2: 0AA cc = para z = ¥, para todo t, o soluto penetra uma distância muito pequena 
durante o tempo finito de exposição em relação a profundidade do meio. 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
usando a transformação: 
 
 0AA cc -=q 
 
 
2
2
AB
z
D
t ¶
q¶
=
¶
q¶
 (2) 
 
e as condições inicial e de contornos são: 
 
C.I.: ( ) 00,z =q 
 
C.C.1: ( ) 0AAs cct,0 -=q 
 
C.C.2: ( ) 0t, =¥q 
 
Pela transformada de Laplace da eq. (2), temos: 
 
 
2
2
AB
z
D0s
¶
q¶
=-q ou 
 
 0
D
s
z AB2
2
=
q
-
¶
q¶
 (3) 
 
E as condições de contorno na T.L.: 
 
C.C.1: ( ) ( )
s
cc
s,0 0AAs
-
=q 
z 
CA0 CAs 
z 
t aumenta 
CA0 
CAs 
Difusão molecular no estado transiente 4.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
C.C.2: ( ) 0s, =¥q 
 
A solução geral de (3) é: 
 
 zDszDs ABAB BeAe -+=q 
 
Pelas condições de contorno: z = ¥ Þ A = 0 
 z = 0 Þ B = (cAs-cA0)/s 
 
Logo: zDs0AAs ABe
s
cc -
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=q (4) 
 
A inversa da T.L. da eq. (4), fica: 
 
 ( )
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=q
tD2
z
erfccc
AB
0AAs ou 
 
 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
-
-
tD2
z
erf1
cc
cc
AB0AAs
0AA (perfil de concentração) (5) 
 
erf( ): função erro, apêndice L de Welty ou no Excel. 
 
O fluxo unidirecional de A na placa semi-infinita, na superfície do meio é: 
 
 ( )0AAsAB
0z
A
AB0zA cct
D
dz
dc
DN -
p
=-=
=
= (6) 
 
 
4.2 DIFUSÃO TRANSIENTE EM UM MEIO DIMENSIONAL FINITO SOB CONDIÇÕES 
DE RESISTÊNCIA DE SUPERFÍCIE DESPREZIVEL 
 
· Um corpo é submetido a uma mudança subta nas vizinhanças a qual influencia sua 
concentração na superfície cAs. 
 
· Consideramos uma lamina larga de madeira a qual possui uma espessura uniforme L. 
 
· A distribuição de concentração inicial é uma função de z, ou seja, cA0(z). 
Difusão molecular no estado transiente 4.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
· Condições: 
 
C.I.: ( )zcc 0AA = para t = 0, para todo 0 £ z £ L 
 
C.C.1: AsA cc = para z = 0, para t > 0 
 
C.C.2: AsA cc = para z = L, para t > 0 
 
 
A equação da 2ª lei de Fick, com a concentração adimensional, 
As0A
AsA
cc
cc
Y
-
-
= , na direção z, fica: 
 
2
2
AB
z
Y
D
t
Y
¶
¶
=
¶
¶
 (1) 
 
Com as condições inicial e de contorno adimensionais: 
 
C.I.: ( )zYY 0= para t = 0, para todo 0 £ z £ L 
 
C.C.1: 0Y = para z = 0, para t > 0 
 
C.C.2: 0Y = para z = L, para t > 0 
 
( ) 0t,2L
dz
dY
= , devido a simetria no meio da placa. 
 
Resolvendo a equação (1) pelo método de separação de variáveis (Welty) leva a seguinte solucao 
produto: 
 
 ( ) tD21
2
ABexsenCxcosCY l-l+l= 
 
z = 0 
CAs CAs 
z = L 
Difusão molecular no estado transiente 4.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
As constantes C1 e C2 e o parâmetro l são obtidos da C.I. e das C.C.1 e C.C.2, obtendo: 
 
 ( ) ( ) dz
L
zn
senzYe
L
zn
sen
L
2
cc
cc
Y
L
0
0
X2n
1nAs0A
AsA D
2
òå ÷ø
ö
ç
è
æ p
÷
ø
ö
ç
è
æ p=
-
-
= p-
¥
=
 (2) 
 
onde: 
 
L 5, 3, 1,n
L/2 de ticocaracteris ocompriment x
relativo tempode razão 
x
D
X
1
1
AB
D
=
=
®=
 
 
Se a lamina tem uma concentração uniforme, no instante inicial, isto é Y0(z) = Y0, então a eq. (2), 
fica: 
 
 ( ) D
2 X2n
1nAs0A
AsA e
L
zn
sen
n
14
cc
cc
Y p-
¥
=
å ÷
ø
ö
ç
è
æ p
p
=
-
-
= (3) 
 
onde: n = 1, 3, 5, ... 
 
O fluxo mássico para algum plano da placa de madeira pode ser avaliado por: 
 
 
z
c
DN AABz,A ¶
¶
-= 
 
 ( ) ( ) D2 X2n
1n
0AAs
AB
z,A eL
zn
coscc
L
D4
N p-
¥
=
å ÷
ø
ö
ç
è
æ p-= 
 
onde: n = 1, 3, 5, ... 
 
No centro da placa (z = L/2), NA = 0 pois ( ) 0t,2L
dz
dc A = 
 
 
 
 
 
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo: 
Considerando a dopagem do fósforo no silício cristalino, semicondutor tipo n, a 1100º C, uma 
temperatura capaz de promover a difusão do fósforo. A concentração da superfície do fósforo (cAs) 
no silício é 2,5 x 1020 atomos de P/cm3 de Si sólido, que é relativamente diluído, desde que o silício 
contem 5 x 1022 atomos de Si/cm3 de sólido. A cobertura rica de fósforo é considerada como uma 
fonte infinita para a quantidade de átomos de P transferido, de maneira que, cAs é constante. 
Predizer a profundidade do filme Si-P após 1 h, se a concentração é de 1% na superfície (2,5 x 1018 
atomos de P/cm3 de silício sólido). 
 
 
 
 
Resposta: 1,76 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z = 0 
Si(s) + 2POCl3(g) ® SiO2(s) + 3Cl2 + 2P(s) 
P 
POCl3 Cl2 Vapor de POCl3 
Cobertura de SiO2(s) + 2P(s) 
Placa de Si 
Fonte rica de P 
P Si 
cAs 
Difusão molecular no estado transiente 4.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
4.3 GRÁFICOS CONCENTRAÇÃO-TEMPO PARA FORMAS GEOMÉTRICAS SIMPLES 
 
· Gráficos de “Gurney-Lurie” apresentam soluções para placa plana, esfera e cilindros longos. 
 
· Equação diferencial para condução de calor análoga a equação diferencial para difusão 
molecular Þ estes gráficos podem ser utilizados para ambos os fenômenos de transportes. 
 
· Para difusão molecular, temos: 
 
 Y = mudança na concentração adimensional = 
0AAs
AAs
cc
cc
-
-
 
 XD = tempo relativo = 2
1
AB
x
tD
 
 
 n = posição relativa = 
1x
x
 
 
 m = resistência relativa = 
1c
AB
xk
D
=
internamolecular massa de ncia transferêde aresistênci
convectiva massa de ncia transferêde aresistênci
 
 
 x1 = comprimento característico, é a distância do ponto médio para a posição de interesse. 
 
Condições: 
a) Assumir a 2ª lei de Fick, isto é, 0=J , nenhum termo de produção, RA = 0, e difusividade 
constante. 
b) O corpo tem um concentração inicial uniforme, cA0. 
c) O contorno esta sujeito a uma nova condição que permaneça constante com o tempo. 
 
1. Para formas onde o transporte ocorre em somente uma das faces, a razões adimensionais são 
calculadas como se a espessura fosse duas vezes o valor verdadeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
1) Transporte em uma barra retangular com extremidades seladas: 
 
 
Ybar = YaYb 
Ya = avaliação com a largura x1 = a 
Yb = avaliação com a espessura x1 = b 
 
2) Paralelepípedo retangular 
 
 
 
Ypar = YaYbYc 
 
Ya = avaliação com a largura x1 = a 
Yb = avaliação com a espessura x1 = b 
Yc = avaliação com a espessura x1 = c 
 
 
 
 
 
 
 
 
a a 
b 
b 
c 
c 
a a 
b 
b 
selada 
selada 
Difusão molecular no estado transiente 4.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
3) Cilindros, incluindo ambas as extremidades 
 
 
Ycil = YcilindroYa, Ycilindro = avaliado em coordenada radial (x1 = R) 
Ya = avaliado para placa plana, de espessura x1 = a (axial) 
 
Exemplo 
Uma placa de madeira 12 in por 12 in por 1 in, é exposta ao ar seco. As extremidades são 
inicialmente seladas para limitar o processo de secagem para as faces planas mais largas da placa. O 
liquido interno difunde para a superfície, onde é evaporada pela passagem da corrente de ar. O 
conteúdo de umidade sobre a superfície permanece constante a 15% em peso. Após 10 hr de 
secagem o conteúdo de umidade do centro diminui de 50 para 32% em peso Se o coeficiente de 
transferência de massa convectivo podeser considerado suficientemente elevado, a resistência 
relativa m é aproximada para zero, calcule: 
a) O coeficiente de difusão efetiva. 
b) O conteúdo de umidade se as seis faces são usadas para o mesmo período de secagem. 
c) O tempo necessário para diminuir o conteúdo de umidade do centro de um cubo de 1 ft de aresta 
feito com a mesma madeira, de 50 para 32% em peso se todas as 6 faces são usadas. Assumir 
que o coeficiente de difusão efetiva calculado em (a) é constante através do cubo. 
 
Resposta: a) 8,85 x 10-5 ft2/h; b) 0,471 lbm de água/lbm de madeira seca; c)650 h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
a 
R 
R 
Difusão molecular no estado transiente 4.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
4.4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ANÁLISE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
TRANSIENTE 
 
Enunciado: 
Uma placa de material com uma espessura de 0,004 m tem uma superfície subitamente exposta a 
uma solução do componente A com CA0 = 6 x 10-3 kg-mol/m3 enquanto que a outra superfície é 
suportada sólido isolado permitindo nenhuma transferência de massa. Há um perfil de concentração 
inicial linear para o componente A dentro da placa a partir de CA = 1 x 10-3 kg-mol/m3 para um lado 
e CA = 2 x 10-3 kg-mol/m3 para o lado sólido. A difusividade DAB = 1x 10-9 m2/s. O coeficiente de 
distribuição. O coeficiente de distribuição entre a concentração na solução adjacente a placa CALi e 
a concentração na placa sólida para a superfície CAi é definida por: K = CAli/CAi, onde K = 1,5. O 
coeficiente de transferência de massa para a superfície da placa pode ser considerado infinito. 
 
x = 0,004 m
CA3 CA5 CA7
CA1
CA2 CA4 CA6 CA8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x dx = 0,0005 m
CA9
Superfície exposta
Condições de contorno 
CA1 é mantido a um 
valor constante.
 
 
Figura 1 – Transferência de massa transiente em uma placa unidimensional 
 
A equação diferencial parcial: 
 
2
A
2
AB
A
x
C
D
t
C
¶
¶
=
¶
¶
 2ª Lei de Fick 
 
Condições iniciais 
CA para t = 0, perfil linear de 1 x 10-3 a 2 x 10-3 
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Condições de contorno 
Como a equação diferencial é de 2ª ordem são necessárias duas condições de contorno: 
 
CC1: 
k
C
C 0A0xAi == , onde k = 1,5 
 
CC2: 0
x
C
004,0x
A =
¶
¶
=
, condição de fluxo difusional para o contorno isolado. 
 
a) Calcular as concentrações dentro da placa até 2500 s. Utilize o método numérico em x com 
intervalo entre nodos de 0,0005 m (ver fig. 1) correspondente a 9 nodos. 
b) Fazer o gráfico da concentração versus tempo ate 2500 s. 
Método numérico 
O método de linhas (MOL: method of lines): o tempo é resolvido como equações diferenciais 
ordinárias: método de Euler ou Runge Kutta por exemplo. O espaço é discretizado por diferenças 
finitas. 
Neste exemplo o espaço é dividido em N = 8 intervalos envolvendo N + 1 = 9 nodos (figura 1). 
Utilizando a fórmula da diferença central para a 2ª derivada (equação A9), deixando o tempo como 
uma derivada ordinária, temos: 
 
( )
1nn1n AAA2
ABA CC2C
x
D
dt
dC
-+
+-
D
= para 2 £ n £ 8 
 
Condições de contorno 
Superfície exposta 
Neste exemplo em x = 0 
 
 
 
( )
0x
A
AB1A0Ac x
C
DKCCk
=¶
¶
-=- 
CA1 
x = 0 
CA0 
Difusão molecular no estado transiente 4.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Usando a formula das diferenças (A5) para o derivativo do lado direito desta equação temos: 
 
( )
x2
C3C4C
x
C 1A2A3A
0x
A
D
-+-
=
¶
¶
=
 
 
Logo: ( ) ( )
x2
C3C4C
DKCCk 1A2A3AAB1A0Ac D
-+-
-=- 
 
Isolando CA1, que nos interessa temos: 
 
xKk2D3
CD4CDxCk2
C
cAB
2AAB3AAB0Ac
1A D+
+-D
= 
 
no nosso exemplo temos que kc ®¥ logo 
K
C
C 0A1A = , onde K = 1,5. 
 
Superfície isolada 
Neste exemplo em x = L 
 
0
x
C
004,0x
A =
¶
¶
=
 
 
Utilizando a formula da diferença finita (A7) para este derivativo, temos 
 
0
x2
CC4C3
dx
dC 7A8A9A9A =
D
+-
= 
 
Isolando CA9 que nos interessa, temos: 
 
3
CC4
C 7A8A9A
-
= 
 
CA9 
x = 0 
isolante 
x = L = 0,004m 
Difusão molecular no estado transiente 4.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Condição inicial 
Perfil de concentração inicial, neste exemplo é lineal de 1 x 10-3 a 2 x 10-3, ficando: 
 
x em m CA x 103 Nodo n 
0 1 1 
0,0005 1,125 2 
0,001 1,25 3 
0,0015 1,375 4 
0,002 1,5 5 
0,0025 1,625 6 
0,003 1,75 7 
0,0035 1,825 8 
0,004 2 9 
 
dx = 0,0005 
Equações discretizadas: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
7A8A9A
AB
8A
8
2
6A7A8A
AB
7A
7
2
5A6A7A
AB
6A
6
2
4A5A6A
AB
5A
5
2
3A4A5A
AB
4A
4
2
2A3A4A
AB
3A
3
2
1A2A3A
AB
2A
2
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
dx
CC2C
D
dt
dC
f
+-
==
+-
==
+-
==
+-
==
+-
==
+-
==
+-
==
 
 
CA9 e CA1 são diferentes devido as condições de contorno, logo 
 
K
C
C
3
CC4
C
0A
1A
7A8A
9A
=
-
=
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
onde CA0 = 6 x 10-3 e K = 1,5 
 
Neste exemplo usaremos o método de Euler para discretizar o tempo: 
 
( ) ( )
( ) ( )j2A21j2A
j2A1j2A
2
2A
2
CtfC
t
CC
f
dt
dC
f
+D=
D
-
=
=
+
+
 
 
Neste exemplo Dt = 1 s e j é o numero de tempos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Fluxograma: 
 
 
 
 
 
 
Dados 
Condições 
iniciais 
J = 0 a 2500 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) 27A8A9AAB8
2
6A7A8AAB7
2
5A6A7AAB6
2
4A5A6AAB5
2
3A4A5AAB4
2
2A3A4AAB3
2
1A2A3AAB2
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
dxjCjC2jCDf
+-=
+-=
+-=
+-=
+-=
+-=
+-=
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) dtjt1jt
31jC1jC41jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
dtfjC1jC
KC1jC
7A8A9A
28A8A
27A7A
26A6A
55A5A
44A4A
33A3A
22A2A
0A1A
+=+
+-+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
+=+
=+
 
Impressão 
Difusão molecular no estado transiente 4.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Módulo em VBA aplicado ao EXCEL 
 
Public Sub Ptran() 
Dim t(3000) As Double 
Dim CA1(3000) As Double 
Dim CA2(3000) As Double 
Dim CA3(3000) As Double 
Dim CA4(3000) As Double 
Dim CA5(3000) As Double 
Dim CA6(3000) As Double 
Dim CA7(3000) As Double 
Dim CA8(3000) As Double 
Dim CA9(3000) As Double 
 
'Dados 
dx = 0.0005 
CA0 = 0.006 
K = 1.5 
DAB = 0.000000001 
tf = 2500 
Cells(12, 1) = "dx =" 
Cells(12, 2) = dx 
Cells(13, 1) = "CA0 =" 
Cells(13, 2) = CA0 
Cells(14, 1) = "K =" 
Cells(14, 2) = K 
Cells(15, 1) = "DAB =" 
Cells(15, 2) = DAB 
 
'Condições iniciais 
t(0) = 0 
CA1(0) = 0.001 
CA2(0) = 0.001125 
CA3(0) = 0.00125 
CA4(0) = 0.001375 
CA5(0) = 0.0015 
CA6(0) = 0.001625 
CA7(0) = 0.00175 
Difusão molecular no estado transiente 4.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CA8(0) = 0.001825 
CA9(0) = 0.002 
dt = 1 
 
'Solução numérica 
For j = 0 To 2500 
f2 = DAB * (CA3(j) - 2 * CA2(j) + CA1(j)) / dx ^ 2 
f3 = DAB * (CA4(j) - 2 * CA3(j) + CA2(j)) / dx ^ 2 
f4 = DAB * (CA5(j) - 2 * CA4(j) + CA3(j)) / dx ^ 2 
f5 = DAB * (CA6(j) - 2 * CA5(j) + CA4(j)) / dx ^ 2 
f6 = DAB * (CA7(j) - 2 * CA6(j) + CA5(j))/ dx ^ 2 
f7 = DAB * (CA8(j) - 2 * CA7(j) + CA6(j)) / dx ^ 2 
f8 = DAB * (CA9(j) - 2 * CA8(j) + CA7(j)) / dx ^ 2 
CA1(j + 1) = CA0 / K 
CA2(j + 1) = CA2(j) + f2 * dt 
CA3(j + 1) = CA3(j) + f3 * dt 
CA4(j + 1) = CA4(j) + f4 * dt 
CA5(j + 1) = CA5(j) + f5 * dt 
CA6(j + 1) = CA6(j) + f6 * dt 
CA7(j + 1) = CA7(j) + f7 * dt 
CA8(j + 1) = CA8(j) + f8 * dt 
CA9(j + 1) = (4 * CA8(j + 1) - CA7(j + 1)) / 3 
t(j + 1) = t(j) + dt 
Next j 
 
'impressão na planilha 
For i = 0 To 8 
Cells(18, 5 + i) = i * dx 
te = 50 
Next i 
For j = 0 To 2500 Step te 
Cells(20 + j / te, 4) = t(j) 
Cells(20 + j / te, 5) = CA1(j) 
Cells(20 + j / te, 6) = CA2(j) 
Cells(20 + j / te, 7) = CA3(j) 
Cells(20 + j / te, 8) = CA4(j) 
Cells(20 + j / te, 9) = CA5(j) 
Cells(20 + j / te, 10) = CA6(j) 
Difusão molecular no estado transiente 4.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Cells(20 + j / te, 11) = CA7(j) 
Cells(20 + j / te, 12) = CA8(j) 
Cells(20 + j / te, 13) = CA9(j) 
Next j 
End Sub 
 
 
Planilha Placa_transiente_7_13.xls do EXCEL: Próxima pagina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
dx = 0.00050 
CA0 = 0.00600 
K = 1.50000 
DAB = 1.00000E-09 
 
 
 
 distância x 
 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 
 
tempo 
(s) CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9 
 0 0.001 0.001125 0.00125 0.001375 0.0015 0.001625 0.00175 0.001825 0.002 
 50 0.004 0.001616 0.001294 0.001378 0.0015 0.001624 0.001741 0.001816 0.00184 
 100 0.004 0.001965 0.001394 0.001392 0.001501 0.001622 0.001733 0.001806 0.00183 
 150 0.004 0.002217 0.001514 0.001421 0.001505 0.00162 0.001726 0.001796 0.00182 
 200 0.004 0.002406 0.001635 0.001462 0.001514 0.001619 0.001719 0.001787 0.00181 
 250 0.004 0.002553 0.001751 0.00151 0.001527 0.001618 0.001713 0.001778 0.0018 
 300 0.004 0.002669 0.001859 0.001564 0.001544 0.00162 0.001707 0.00177 0.00179 
 350 0.004 0.002764 0.001957 0.00162 0.001565 0.001623 0.001703 0.001761 0.001781 
 400 0.004 0.002843 0.002047 0.001676 0.001589 0.001628 0.001699 0.001754 0.001772 
 450 0.004 0.00291 0.002128 0.001732 0.001615 0.001635 0.001696 0.001747 0.001764 
 500 0.004 0.002967 0.002202 0.001787 0.001643 0.001644 0.001695 0.00174 0.001756 
 550 0.004 0.003017 0.002269 0.001841 0.001673 0.001655 0.001694 0.001735 0.001748 
 600 0.004 0.003061 0.00233 0.001892 0.001703 0.001667 0.001695 0.00173 0.001741 
 650 0.004 0.003101 0.002386 0.001941 0.001734 0.001681 0.001697 0.001725 0.001735 
 700 0.004 0.003136 0.002438 0.001987 0.001765 0.001695 0.0017 0.001722 0.001729 
 750 0.004 0.003167 0.002485 0.002032 0.001795 0.00171 0.001704 0.00172 0.001725 
Difusão molecular no estado transiente 4.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 800 0.004 0.003196 0.002529 0.002074 0.001825 0.001726 0.001709 0.001718 0.001721 
 850 0.004 0.003222 0.00257 0.002114 0.001855 0.001743 0.001715 0.001717 0.001718 
 900 0.004 0.003246 0.002608 0.002153 0.001884 0.00176 0.001721 0.001717 0.001716 
 950 0.004 0.003269 0.002643 0.002189 0.001913 0.001777 0.001728 0.001718 0.001715 
 1000 0.004 0.003289 0.002677 0.002224 0.00194 0.001795 0.001736 0.00172 0.001714 
 1050 0.004 0.003308 0.002708 0.002257 0.001968 0.001812 0.001745 0.001723 0.001715 
 1100 0.004 0.003326 0.002737 0.002288 0.001994 0.00183 0.001754 0.001726 0.001716 
 1150 0.004 0.003342 0.002764 0.002319 0.00202 0.001848 0.001764 0.00173 0.001719 
 1200 0.004 0.003358 0.00279 0.002347 0.002045 0.001865 0.001774 0.001735 0.001722 
 1250 0.004 0.003372 0.002814 0.002375 0.002069 0.001883 0.001785 0.00174 0.001726 
 1300 0.004 0.003386 0.002837 0.002401 0.002093 0.0019 0.001796 0.001747 0.00173 
 1350 0.004 0.003398 0.002859 0.002426 0.002115 0.001918 0.001807 0.001753 0.001736 
 1400 0.004 0.003411 0.00288 0.00245 0.002138 0.001935 0.001819 0.001761 0.001742 
 1450 0.004 0.003422 0.002899 0.002473 0.002159 0.001952 0.00183 0.001769 0.001748 
 1500 0.004 0.003433 0.002918 0.002495 0.00218 0.001969 0.001843 0.001777 0.001756 
 1550 0.004 0.003443 0.002936 0.002516 0.002201 0.001986 0.001855 0.001786 0.001763 
 1600 0.004 0.003453 0.002953 0.002537 0.002221 0.002003 0.001868 0.001796 0.001772 
 1650 0.004 0.003462 0.002969 0.002556 0.00224 0.002019 0.00188 0.001805 0.00178 
 1700 0.004 0.003471 0.002985 0.002575 0.002259 0.002035 0.001893 0.001816 0.00179 
 1750 0.004 0.003479 0.003 0.002594 0.002277 0.002052 0.001906 0.001826 0.001799 
 1800 0.004 0.003487 0.003014 0.002611 0.002295 0.002068 0.001919 0.001837 0.001809 
 1850 0.004 0.003495 0.003028 0.002628 0.002313 0.002083 0.001933 0.001848 0.00182 
 1900 0.004 0.003503 0.003041 0.002645 0.00233 0.002099 0.001946 0.001859 0.001831 
 1950 0.004 0.00351 0.003054 0.002661 0.002346 0.002114 0.001959 0.001871 0.001842 
 2000 0.004 0.003516 0.003066 0.002676 0.002363 0.00213 0.001973 0.001883 0.001853 
 2050 0.004 0.003523 0.003078 0.002691 0.002379 0.002145 0.001986 0.001895 0.001865 
Difusão molecular no estado transiente 4.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 2100 0.004 0.003529 0.00309 0.002706 0.002394 0.00216 0.002 0.001907 0.001876 
 2150 0.004 0.003535 0.003101 0.00272 0.00241 0.002175 0.002013 0.00192 0.001888 
 2200 0.004 0.003541 0.003111 0.002734 0.002425 0.002189 0.002027 0.001932 0.001901 
 2250 0.004 0.003547 0.003122 0.002747 0.002439 0.002204 0.00204 0.001945 0.001913 
 2300 0.004 0.003552 0.003132 0.00276 0.002454 0.002218 0.002054 0.001958 0.001926 
 2350 0.004 0.003558 0.003141 0.002773 0.002468 0.002232 0.002068 0.001971 0.001938 
 2400 0.004 0.003563 0.003151 0.002786 0.002482 0.002246 0.002081 0.001983 0.001951 
 2450 0.004 0.003568 0.00316 0.002798 0.002495 0.00226 0.002095 0.001997 0.001964 
 2500 0.004 0.003573 0.003169 0.00281 0.002509 0.002274 0.002108 0.00201 0.001977 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Difusão molecular no estado transiente 4.23 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
0.0040
0.0045
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
tempo (s)
C
A
 (
kg
-m
ol
/m
3 )
CA1 CA2 CA3 CA4 CA5 CA6 CA7 CA8 CA9
Difusão molecular no estado transiente 4.24 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Aproximações por diferenças finitas úteis: 
 
 
 
Transferência de massa por convecção 5.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 5: TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO 
 
Þ Envolve o transporte de material entre uma superfície de contorno e um fluido escoando ou 
entre dois fluidos relativamente imiscíveis em escoamento. 
 
{ { {
ãoconcentraç
de diferença
A
convectivo
 massa de
 ciatransferên
de ecoeficient
c
ãoconcentraç
de decréscimo do
direção na ocorre 
massa de Fluxo
A ckN D=
®
 
 
sistema do geometria e dinâmicas ticascaracteris fluido, do desproprienda das função 
h
k c
þ
ý
ü
 
 
é análogo a : Th
A
q
D= da transferência de calor 
 
Considerações fundamentais em transferência de massa 
 
Þ Camada extremamente fina junto à superfície ® escoamento laminar. 
 
Þ Escoamento laminar: o transporte entre a superfície do fluido escoando é por meio molecular. 
 
Þ Escoamento turbulento: movimento físico de volume de material através de linhas de corrente, 
transportada por turbilhões. Altas taxas de transferência de massa ou transferência de calor estão 
associadas ao escoamento turbulento. 
 
 ( )AAscA cckN -= 
 
Onde: 
 
fluido fase da dentro ponto algum para composicão c
sistema do pressão e ra temperatua para sólido o com equilíbrioem fluido do composição a é interface; na fluido no soluto do ãoconcentraç c
linterfacia área x tempo
interface a deixandoA soluto do moles
N
A
As
A
=
=
=
 
 
Þ Há quatro métodos de avaliação do coeficiente de transferência de massa convectivo que serão 
discutidos neste capítulo. Estes são: 
 
Transferência de massa por convecção 5.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
1. Análise dimensional ligada a experimentos; 
2. Análise exata da camada limite; 
3. Análise aproximada da camada limite; 
4. Analogia entre momento, energia e transferência de massa. 
 
EXEMPLO 1 
O ar escoa sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo seco) com uma área 
superficial exposta de 1 x 10-3 m2. O CO2 sublima com uma corrente escoando a 2 m/s e taxa de 
liberação de 2,29 x 10-4 mol/s. O ar está a 293 K e 1,013 x 105 Pa ( sm10x5,1D 25ar,CO 2
-= e nar 
= 1,55x10-5 m2/s). Determine o coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando sobre o ar 
escoando. 
Resp.: 0,118 m/s 
 
 
5.2. PARÂMETROS SIGNIFICANTES: 
 
Þ A difusividade molecular para cada fenômeno de transporte são: 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ý
ü
=
r
=a
r
m
=n
t
L
mássica dedifusivida D
 térmicadedifusivida 
c
k
momento de dedifusivida 
2
 AB
p
 
 
Þ Número de Schmidt (Sc) 
 
mássica dedifusivida
momento de dedifusivida
DD
Sc
ABAB
=
r
m
=
n
= 
 
Sc (T.M.) é análogo ao Pr (T.C.) 
 
Þ Número de Lewis (Le) 
 
mássica dedifusivida
 térmicadedifusivida
Dc
k
D
Le
ABpAB
=
r
=
a
= 
 
Le é importante quando o processo envolve transferência de massa de energia simultaneamente. 
Transferência de massa por convecção 5.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Figura 5.1 – Perfil de velocidade e concentração para um fluido escoando numa superfície sólida. 
 
Na interface => mesmo fluxo do componente A deixando a superfície do fluido. 
 
( )¥-= AAscA cckN deixando a superfície por convecção 
 
( )
0y
AsA
ABA dy
ccd
DN
=
-
-= Entrando no fluido por difusão melecular 
 
Logo: ( ) ( )
0y
AsA
ABAAsc dy
ccd
Dcck
=
-
-=¥- 
 
 
Rearranjando e multiplicando por L, ambos os lados, temos: 
 
 
( ) ( )
Þ
¥--
-=
= L
cc
dy
ccd
D
Lk AAs
0y
AsA
AB
c 
 
global ãoconcentraç de gradiente
superfície a para ãoconcentraç de gradiente
fluido do convectiva massa de ncia transferêde aresistênci
molecular massa de ncia transferêde aresistênci
=
 
ShouNu
D
Lk
AB
AB
c = 
 
NuAB: número de Nusselt para transferência de massa 
Sh: número de Sherwood. 
J = J(y) 
J¥ 
cAs - cA¥ 
cAs - cA = (cAs – cA)(y) 
x 
y 
cAs na interface 
Transferência de massa por convecção 5.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 2 
Determine o número de Schmidt para o metanol em ar a 298 K e 1,013 x 103 Pa e em água líquida a 
298 K. 
 
 
5.3. ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA 
 
Transferência em uma corrente escoando sob convecção forçada 
 
Þ Considerando a transferência de massa da parede de um tubo para o fluido escoando através do 
conduite. (força direcional cAs – cA) 
 
Variável Símbolo Dimensões 
Diâmetro do tubo D L 
Densidade do fluido r M/L3 
Viscosidade do fluido m M/Lt 
Velocidade do fluido J L/t 
Difusividade do fluido DAB L2/t 
Coeficiente de transferência de massa kc L/t 
 
 
 D r m J DAB kc 
M 0 1 1 1 0 1 
L 1 -3 -1 0 2 0 
t 0 0 -1 -1 -1 1 
 
- Várias combinações de matriz 3 x 3. 
- Variáveis incluem sistema geométrico, o escoamento, props. do fluido 
- kc tem o interesse principal 
- rank = 3 Þ r de uma matriz: significa o numero de coluna do maior determinante diferente de 
zero, que se pode formar a partir dela. 
i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais. 
 
DAB, r e D ® variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas incluem 
todas as dimensões básicas (MLt). 
 
Transferência de massa por convecção 5.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
mr=p
Jr=p
r=p
ihg
AB3
fed
AB2
c
cba
AB1
DD
DD
kDD
 
 
Escrevendo p1 na forma adimensional: 
 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
t
L
L
L
M
t
L
1 c
ba2
 
 
Equacionando os expoentes, temos: 
 
1c
0b
1a
b0:M
1a0:t
1cb3a20:L
=
=
-=
ï
þ
ï
ý
ü
=
--=
++-=
 
 
{
Sherwood de no.
massa de
ncia transferêpara
Nusselt de no.
AB
AB
c
1 ShouNuD
Dk
321
º=p 
 
Os outros 2 grupos são determinados da mesma maneira, produzindo: 
 
{
Schimidt de no.AB
3
AB
2 ScD
e
D
D
º
r
m
=p
J
=p 
 
Dividindo p2 por p3: 
 
{
Reynolds de no.
AB
AB3
2 Re
DD
D
D
º
m
Jr
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
m
r
÷÷
ø
ö
çç
è
æ J
=
p
p
 
 
Portanto uma correlação poderia ser feita da forma: 
 
 Sh = NuAB = f(Re, Sc) 
 
Que é análoga a correlação de transferência de calor, 
 
Transferência de massa por convecção 5.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 Nu = f(Re, Pr) 
 
Transferência dentro de uma fase na qual o movimento é devido a convecção natural 
 
Þ Correntes de convecção natural ® desenvolvera se existir variação de densidade na fase líquida 
ou gasosa. Ex.: parede plana vertical com um fluido adjacente. 
 
As variáveis importantes, seus símbolos e representações adimensionais são: 
 
Variável Símbolo Dimensões 
Comprimento característico L L 
Difusividade do fluido DAB L2/t 
Densidade do fluido r M/L3 
Viscosidade do fluido m M/Lt 
Força de empuxo g DrA M/L2t2 
Coeficiente de transferência de massa kc L/t 
 
 
 L DAB r m g DrA kc 
L 1 2 1 1 1 0 
M 0 0 -3 -1 -2 1 
t 0 -1 0 -1 -2 -1 
 
Þ DAB, L e m ® variáveis central (núcleo) pode conter qualquer das variáveis que, entre elas 
incluem todas as dimensões básicas (MLt). 
Þ Matriz 3 x 3 Þ maior det ¹ 0, portanto o rank = 3 
Þ i = no de variareis – rank = 6 – 3 = 3 grupos adimensionais. 
 
A
ihg
AB3
fed
AB2
c
cba
AB1
gLD
LD
kLD
rDm=p
rm=p
m=p
 
 
Resolvendo os 3 grupos adimensionais, obtemos 
 
AB
A
3
3
AB
2AB
AB
c
1 D
gL
,
Sc
1D
,Nu
D
Lk
m
rD
=pº
m
r
=pº=p 
Transferência de massa por convecção 5.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Multiplicando p2 e p3 
 
321
Grashof de no
AB2
A
3
AB
A
3
AB
32 Gr
gL
D
gLD
º÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
rn
rD
=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
rD
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
m
r
=pp 
 
Portanto sugere uma correlação da forma: 
 
 Sh = f(GrAB, Sc) para convecção natural. 
 
Þ As correlações de dados experimentais pode ser feita em termos de 3 variáveis ao invés de 6 
originais, tanto para convecção forçada como para natural. 
Þ Correlações => equações empíricas capitulo 30 do Welty, 7 deste apontamento. 
 
 
5.4 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE LAMINAR DA CONCENTRAÇÃO 
 
Þ Extensão da solução exata desenvolvida por Blasius para a camada limite hidrodinâmica. 
 
 
Figura – Camada limite de concentração para escoamento laminar em uma placa plana 
 
A equação da continuidade em coordenadas retangulares; componentes A, r e DAB = constantes. 
 
{ {
A de
produção
 enhuman
0
A
)y,x(fc
0
2
A
2
2
A
2
y
c
2
A
2
AB
A
0
z
A
y
A
x
ioestacionár
estado
0
A R
z
c
y
c
x
c
D
z
c
y
c
x
c
t
c
A2
A
2
=
=
=
¶
¶
<<
=
=
+
÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
¶
¶
J+
¶
¶
J+
¶
¶
J+
¶¶
321321321
 
x 
y 
Extremidade da C.L. de concentração 
cA¥ 
cAs 
cA = cA(y) 
Transferência de massa por convecção 5.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
logo, temos: 
 
2
A
2
AB
A
y
A
x
y
c
D
y
c
x
c
¶
¶
=
¶
¶
J+
¶
¶
J (13) 
 
Equação similar as equações desenvolvidas a partir das equações de momento e energia para a 
solução da camada limite hidrodinâmica e a camada limite térmica; portanto terá solução análoga as 
estes fenômenos de transporte, pois as condições de contorno são análogas. 
 
Condições de contorno: 
 
1
D
Sc
ypara1
cc
cc
e;0ypara0
cc
cc
AB
AsA
AsA
AsA
AsA
=
n
=
¥==
-¥
-
==
-¥
-
 
 
AsA
AsA
s,x
s,xxx
cc
cc
222f
-¥
-
=
J-J
J-J
=
J
J
=¢
¥¥
 (14) e 
 
xRex2
yx
x2
y
x2
y
=
n
J
=
n
J
=h ¥¥ (15) 
 
( ) ( )
( )¥Jn
y
=h
x
y,x
f (16) 
 
( )h¢J=
¶
y¶
=J ¥ f
2yx
 (17) 
 
( )ff
x2
1
xy
-¢h
nJ
=
¶
y¶
=J ¥ (18) 
 
Introduzindo as equações (14) a (18) na (13), obtemos: 
 
0fff =¢¢+¢¢¢ 
 
com as condições de contorno: 
Transferência de massa por convecção 5.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
¥=h=¢
=h=¢=
/p2f
0/p0ff
 
 
A solução análoga a transferência de momento sugere que: 
 
( ) 328,1
Re
x2
y
d
cc
cc
2d
0f
d
fd
0y
x
AsA
AsA
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-¥
-
=¢¢=
h
¢
=
 (19) 
 
A equação (19) pode ser rearranjada para obter uma expressão para o gradiente de concentração na 
interface: 
 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ-¥=
=
xAsA
0y
As Re
x
332,0
cc
dy
dc
 (20) 
 
Eq. (20) Þ a taxa na qual a massa entra ou deixa a superfície da camada limite é tão pequena que 
não altera o perfil de velocidade predito pela solução de Blasius, onde Jy não é envolvido. 
 
Se Þ=J
=
0
0yy
 contribuição bulk para a 1ª lei de Fick na direção y é zero, logo: 
 
0y
A
ABy,A y
c
DN
=¶
¶
-= (21) 
 
Substituindo (21) em (20), temos: 
 
( )¥-÷
ø
ö
ç
è
æ= AAsxABy,A ccRex
332,0
DN (22) 
 
O fluxo de massa do componente A se difundindo é definido como: 
 
( )¥-= AAscy,A cckN (23) 
 
igualando as equações (22) e (23), temos: 
 
Transferência de massa por convecção 5.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
xAB
AB
c Re332,0Nu
D
xk
== (24) 
 
onde: Sc = 1 e a transferência de massa entre a placa plana e a camada limite é baixa. 
 
 
 
 
(19). equação 0,332 é inclinação a
y em e e, velocidadde perfil o sobre efeito nenhum temnão massa de ncia transferêde taxa
 0Re
placa. a para fluido dopartir a massa de ncia transferê0Re
limite. camada da dentro para placa dapartir a massa de ncia transferê0Re
21
x
ys
21
x
ys
21
x
ys
î
í
ì
Þ
=
Þ=
J
J
Þ<
J
J
Þ>
J
J
¥
¥
¥
 
 
Þ Em muitas operações físicas envolvendo transferência de massa 21x
ys
Re
¥J
J
 é desprezível, 
valendo a equação (24). 
 
Þ Vaporização de um material volátil dentro de uma corrente gasosa escoando a baixa pressão, a 
suposição de baixa transferência de massa não pode ser feita. 
 
 
Transferência de massa por convecção 5.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
31
c
Sc=
d
d
 Solução de Pohlhausen 
 
d = espessura da camada limite hidrodinâmica 
dc = espessura da camada limite da concentração. 
 
Para y = 0, temos: 
 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ-¥=
=
3
xAsA
0y
As ScRe
x
332,0
cc
dy
dc
 
 
Conduzindo a: 3xx
AB
c ScRe332,0Sh
D
xk
== (25) 
 
Coeficiente de transferência de massa médio para uma placa plana (largura W e comprimento L) 
 
ò
òò
ò
ò
-¥
¥
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
m
rJ
=
Þ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
m
rJ
===
L
0
21
21
31
ABc
L
0
31
21
ABL
0
31
21
xAB
L
0
L
0
c
c
dxxScD332,0Lk
L
dxSc
x
x
D332,0
L
dxSc
x
ReD332,0
dxW
dxkW
k
 
Inclinação = 0,332 
Jys = 0
 
3121
x
ys
ScRe
¥J
J
 
¥-
-
AAs
AAs
cc
cc
 
Transferência de massa por convecção 5.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Resolvendo e rearranjando, temos: 
 
3121
LL
AB
c ScRe664,0Sh
D
Lk
== (28) 
 
O numero de Sherwood local para uma distancia x, esta relacionado com o numero de Sherwood 
médio para uma placa plana pela relação: 
 
 ShL = 2 Shx|x=L 
 
O parâmetro do limite da superfície, 0Re 21x
ys
>
J
J
¥
, aumenta quando a inclinação da curva 
decresce (ver gráfico). Como a magnitude do coeficiente de transferência de massa esta relacionado 
com a inclinacao pela relação: 
0y
AAs
AAs
c dy
cc
cc
d
k
=
¥
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
= , o decréscimo na inclinação => o sistema 
com valores elevados no limite da superfície terá um menor coeficiente de transferência de massa. 
 
Escoamento turbulento 
 
 A mesma expressão encontrada para transferência de calor, na camada limite laminar 
térmica, é encontrada para a camada limite laminar para a concentração, utilizando a equação 
integral de von Kármán, onde o perfil de concentração é dado por: 
 
71
,AA ycc x+h=- ¥ 
 
obtendo: 54xx Re0292,0Sh = para Sc = 1 e aplicando a solução de Pohlhausen, extende-se para: 
 
3154
xx ScRe0292,0Sh = , para Rex > 3 x 10
5 (29) 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de massa por convecção 5.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 3 
O coeficiente de transferência de massa para uma camada limite turbulenta formado sobre uma 
placa plana tem sido correlacionado em termos de um número de Sherwood local por: 
3154
x
AB
turb,c
x ScRe0292,0D
xk
Sh == 
onde x é a distancia a partir do começo de turbulência da placa plana. A transição do escoamento 
laminar para turbulento ocorre para Rex = 2 x 105. 
a) Desenvolver a expressão para o coeficiente de transferência de massa médio para uma placa 
plana de comprimento L. 
b) Um vasilhame contendo acetona foi acidentalmente derrubado, cobrindo uma superfície plana 
do laboratório. O exaustor produz uma velocidade de ar de 6 m/s paralelo a superfície da 
bancada de 1 m de largura. O ar foi mantido a 298 K e 1,013 x 105 Pa. A pressão de vapor da 
acetona a 298 K é 3,066 x 104 Pa. 
1. Determinar o coeficiente de transferência de massa a 0,5 m do ponto inicial da bancada. 
2. Determinar a quantidade de acetona evaporada por m2 de superfície a cada segundo. A 298 K, a 
viscosidade cinemática do ar é 1,55 x 10-5 m2/s e a difusividade mássica da acetona em ar é 0,93 x 
10-5 m2/s. 
 
 
5.5 ANALOGIAS ENTRE TRANSFERÊNCIAS DE MOMENTO, CALOR E MASSA 
 
Þ Fenômenos de transferência => similaridades de mecanismos. 
Þ As analogias são úteis para o entendimento do fenômeno de transferência e como um meio 
satisfatório para predizer o comportamento dos sistemas na qual são disponíveis uma quantidade 
limitada de dados quantitativos. 
Þ Condições: 
1. As propriedades físicas são constantes. 
2. Não há produção de energia ou massa, não ocorre nenhuma reação química. 
3. Não há emissão ou absorção de energia radiante. 
4. Não há dissipação viscosa. 
5. O perfil de velocidade não é afetado pela transferência de massa, então há uma baixa 
transferência de massa. 
 
Analogia de Reynolds 
 
Þ Extensão da teoria de Reynolds incluindo o mecanismo de transferência de massa se o no de 
Schimidt, Sc, é igual a 1. 
 
Transferência de massa por convecção 5.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Placa plana com Sc = 1. Os perfis de concentração e velocidade dentro da camada limite estão 
relacionados por: 
 
0y
x
0yAsA
AsA
ycccc
y
=¥=¥
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
J
J
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
¶
¶
 (30) 
 
O contorno próximo da placa, onde y = 0, é: 
 
( ) ( )¥
=
-=-
¶
¶
-= AAsc
0y
AsAABy,A cckccy
DN (31) 
 
DAB = m/r, pois Sc = 1 (32) 
 
De (31), 
0yAAs
AsA
ABc cc
cc
y
Dk
=¥
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
¶
¶
-= 
 
Substituindo (32) em (30), temos: 
 
0y
x
c y
k
=¥ ¶
J¶
rJ
m
= (33) 
 
A definição do coeficiente de fricção Cf é: 
 
0y
x
2
0
f y
2
2
C
=¥¥
¶
J¶
rJ
m
=
rJ
t
= (34) 
 
Substituindo (33) em (34), temos: 
 
2
Ck fc =
J¥
 (35), que é a analogia de Reynolds para transferência de massa para Sc = 1. 
 
A eq. (35) é análoga a analogia de Reynolds para transferência de calor com Pr = 1. 
 
2
C
c
h f
p
=
Jr ¥
, analogia de Reynolds para transferência de calor para Pr = 1. 
 
A equação (35) não pode ser utilizada se o sistema envolver forma de arraste. 
Transferência de massa por convecção 5.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Considerações sobre escoamento turbulento 
 
Þ Na maioria das aplicações praticas o escoamento na corrente principal é turbulento. 
Þ Hipótese do comprimento de mistura de Prandt: alguma velocidade de flutuação xJ¢ é devido ao 
momento na direção y de um turbilhão através de uma distancia igual ao comprimento de 
mistura L. O turbilhão de fluido, possui uma velocidade media, 
yx
J , e é deslocado dentro de 
uma corrente onde o fluido adjacente tem uma velocidade media, 
Lyx +
J . A velocidade de 
flutuação esta relacionada com o gradiente de velocidade media por: 
 
 
dy
d
L x
yxLyxx
J
±=J-J=J¢
+
 (1) 
 
a tensão de cisalhamento total é definida por: 
 
yx
x
dy
d
J¢J¢r-
J
m=t (2) 
 
Substituindo (1) em (2), temos: 
 
[ ] [ ]
dy
d
ou
dy
d
L xM
x
y
J
e+nr=t
J
J¢+nr=t (3) 
 
Onde: 
 
. momento, demolecular dedifusivida a analoga momento dear turbilhondedifusivida L yM n®J¢=e
 
 
De maneira similar é analisado o escoamento turbulento em transferência de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de massa por convecção 5.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Figura 5.6 – Perfil da porção turbulenta de concentração, mostrando o comprimento de mistura de 
Prandt. 
 
A taxa de transferência instantânea do componente A na direção y é: 
 
yAy,A cN J¢¢= (4) 
 
onde: { {
A componente do
ãoconcentraç da
flutuação
A
 temporalmédia
ãoconcentraç
AA ccc ¢+= 
 
dy
cd
Lccc AyALyAA ±=-=¢ + (5) 
 
Substituindo (5) em (4), temos: 
 
dy
cd
LN Ayy,A J¢-= taxa de transferência de massa instantânea devido a turbulência. 
 
( )
dy
cd
D
dy
cd
L
dy
cd
DN ADAB
turbulento
A
y
laminar
A
ABy,A e+-=J¢--=
4342143421
 (6) 
 
onde: yD LJ¢=e é a difusividade mássica turbilhonar. 
 
L 
LyAc + 
yAc 
dy
cd
L A 
y 
xA 
Transferência de massa por convecção 5.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
A eq. (6) é similar a: 
 
{ { dy
Td
c
A
q
rturbilhona
térmica
dedifusivida
H
térmica
molecular
dedifusivida
p
y
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
e+ar-= 
 
Þ Região turbulenta: transporte rápido, redução no gradiente de concentração. 
Þ Região laminar: difusão molecular, maior resistência a transferência de massa na camada 
limite próxima a superfície o gradiente de concentração é mais excessivo. 
 
As analogias de Prandtl e von Kármán 
 
Analogia de Prandtl 
Þ Considerações dos efeitos na região turbulenta e na subcamada laminar. 
 
Subcamada laminar 
Þ Difusividade turbilhonar de momento e massa são desprezíveis 
Þ ts = tensão de cisalhamento na superfície = constante. 
Þ NAy,s = fluxo de massa na superfície = cte. 
 
rn
xt
=J
rn
t
=J x
x
J
òò
x
s
x0
0
s
x oudyd
x
 (7) 
 
onde x é a espessura da subcamada laminar. 
 
A porção laminar da equação (6) 
 
( )
AB
s,Ay
AAs0AB
s,Ayc
c A D
N
ccoudy
D
N
cdA
As
x
=--= x
x
òò x (8) 
 
Eliminando x das equações (7) e (8), temos: 
 
( )xx -=t
Jrn
AAs
s,Ay
AB
s
x
cc
N
D
 (9) 
 
 
Transferência de massa por convecção 5.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Região turbulenta 
Þ Aplica-se a analogia de Reynolds: 
 
2
sfc
2
Ck
¥¥ rJ
t
==
J
 
 
de y = x a y = condições bulk. 
 
O fluxo mássico na região turbulenta torná-se: 
 
( ) ( )( )¥xx¥¥x -J-Jrn
t
=-= AA
x
s
AAcAy cccckN (10) 
 
União das regiões laminar e turbulenta 
Eliminando xAc entre as equações (9) e (10), temos: 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
n
J+J
t
r
=
-
x¥
¥ 1
DN
cc
AB
x
sAy
AAs (11) 
 
Substituindo as definições: 
 
ABAAs
A
c2
s
f D
Sc;
cc
N
k;
2
C
n
=
-
=
Jr
t
=
¥¥
 
 
na eq. (11) e rearranjando, temos: 
 
( )( )1Sc1
2Ck
x
fc
-JJ+
=
J ¥x¥
 (12) 
 
Na subcamada laminar é definido que J+ = y+ = 5, portanto: 
 
2
C
5ou5
2
C
fx
f
x
=
J
J
=
J
J
=J
¥
x
¥
x+ (13) 
 
Substituindo (13) em (12), obtemos: 
 
Transferência de massa por convecção 5.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
( )1Sc
2
C
51
2Ck
f
fc
-+
=
J¥
 (14) 
 
multiplicando ambos os lados de (14) por ABD/L¥J , onde L é o comprimento característico: 
 
( )
( )1Sc
2
C
51
ScRe2C
Sh
f
f
-+
= (15) 
 
As equações (13) e (14) são análogas a analogia de Prandtl para momento e energia. Elas reduzem a 
analogia de Reynolds quando Sc = 1. 
 
Analogia de von Kármán 
 
Þ Von Kármán extendeu a analogia de Prandtl considerando a zona de transição em adição a 
subcamada laminar e o núcleo turbulento, obtendo: 
 
 
( )
( )[ ]{ }6Sc51ln1Sc
2
C
51
ScRe2C
Sh
f
f
++-+
= (16) 
 
ou 
( )
( )[ ]{ }6Sc51ln1Sc
2
C
51
2C
ScRe
Shk
f
fc
++-+
==
J¥
 (17) 
 
( )
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
==
J¥
44444 344444 21
Reynolds de analogia a para correção
fc
 termosde complexos grupo
2C
ScRe
Shk
 ® resultados de muitas analogias 
 
 
Analogia de Chilton-Colburn 
 
Þ Utilizando dados experimentais 
 
32c
D Sc
k
j
¥J
= ® fator j para transferência de massa. 
 
Transferência de massa por convecção 5.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Þ Baseado em dados coletados para escoamentos em regime laminar e turbulento, encontraram: 
 
2
C
Sc
k
j f32cD =J
=
¥
 (18) 
 
Válida para gases e líquidos na faixa 0,6 < Sc < 2500 
 
A equação (18) satisfaz a solução exata para escoamento laminar sobre uma placa plana: 
 
3121
xx ScRe332,0Sh = 
 
Se ambos os lados são divididos por RexSc1/3, temos: 
 
21
x
31
x
x
Re
332,0
ScRe
Sh
= (19) 
 
¥¥ J
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
m
r
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
rJ
m
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
==
32
c32AB
AB
c
x
32
x
31
x
x SckSc
D
xD
xk
ScRe
ScSh
ScRe
Sh
 (20) 
 
Das equações (19), (20) e (18), temos: 
 
2
C
Re
332,0Sck f
21
x
32
c ==
J¥
 (21) 
 
Þ A analogia de Chilton-Colburn relaciona os 3 fenômenos de transporte: 
 
2
C
jj fDH == (22) 
 
A equação (22) é válida quando não tem nenhuma forma de arraste presente. Porem quando a forma 
de arraste esta presente, temos: 
 
DH jj = (23) 
 
ou 
¥¥ J
=
rJ
32
c32
p
Sck
Pr
c
h
 (24), 
 
Transferência de massa por convecção 5.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Þ A equação (24) é uma relação entre transferência de massa e calor convectivos, válida para0,6 
< Sc < 2500 e 0,6 < Pr < 100. 
Þ A equação (24) é válida para muitas geometrias diferentes como: escoamento em placas planas, 
escoamento em tubos, e escoamento ao redor de cilindros. 
 
EXEMPLO 4 
Utilizando o enunciado e o coeficiente de transferência de massa do exemplo 1, determinar o valor 
do coeficiente de transferência de calor, h, para a corrente de ar. 
 
EXEMPLO 5 
O ar seco sob pressão de 1,013 x 105 Pa sopra o termômetro na qual o bulbo foi coberto com um 
pano úmido. A clássica temperatura do bulbo úmido indica que a temperatura no estado 
estacionário foi alcançado por uma pequena quantidade de água evaporando num grande 
reservatório de mistura de gás e vapor insaturado. A leitura no termômetro é 290 K. 
Propriedades do ar e água: 
PA, pressão de vapor da água = 1,94 x 103 Pa 
r, densidade do ar = 1,219 kg/m3 
lTs, calor latente de vaporização da água = 2461 kJ/kg 
Pr = 0,71 
Sc = 0,61 
cp, calor especifico do ar = 1,006 J/kgK 
Qual é a temperatura do ar seco? 
Resp: 322,1 K 
 
 
5.6 MODELOS PARA O COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
CONVECTIVO 
 
Þ Em muitos casos kc é empírico (determinado por experimentos) 
Þ A explicação teórica requer um melhor entendimento do mecanismo da turbulência ® 
características dinâmicas do escoamento. 
 
Teoria do filme: é baseada na presença de um filme fictício de fluido, onde se admite existir toda a 
resistência e transferência de massa, na qual o transporte é inteiramente por difusão molecular. 
A espessura do filme, d, é estendida alem da subcamada laminar para incluir uma resistência 
equivalente encontrada com a mudança de concentração dentro da região de transição e do núcleo 
turbulento. 
 
Transferência de massa por convecção 5.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Þ Fluido estagnante (célula de difusão de Arnold) 
 
 ( ) ( )
d
=\-º-
d
=
,lnB
AB
c2A1A
c
2A1A
,lnB
AB
Az p
PD
kpp
RT
k
pp
RTp
PD
N 
 
Þ Contradifusão equimolar (NAz = -NBz) 
 
 
( )
( )
( )
d
=\-=d=-
-
-
=Þ-=
++-=
ò ò
=
AB0
c2A1AcAz12
2A1A
12
AB
Az
z
z
c
c AABAz
0
BzAzA
A
ABAz
D
kcckN como ,zz
cc
zz
D
NdcDdzN
NNx
dz
dc
DN
2
1
2A
1A
44 344 21
 
 
O superescristo 0 ® não há uma transferência molar liquida dentro do filme devido a contradifusão 
equimolar. 
 
Na teoria do filme: kc esta relacionado com DAB e d é fictício, portanto nunca será medido. 
 
Teoria da penetração: originalmente proposta por Higbie em 1935, para explicar a transferência de 
massa na fase liquida durante a absorção do gás. 
Þ Aplicada para escoamento turbulento por Danckwerts (Ind. Eng. Chem. 43, 1460-67, 1951) 
quando o componente que difunde apenas penetra uma curta distancia dentro de uma fase 
de interesse, devido ao seu rápido desaparecimento através da reação química ou seu tempo 
relativamente curto de contato. 
Þ Higbie considerou a transferência de massa para dentro da fase liquida como um transporte 
molecular no estado não estacionário, encontrando: 
 
 ( )¥-p= AAsexp
AB
Ay cct
D
N 
 
Þ Danckwertz aplicou este conceito de estudo não estacionário para a absorção do componente 
A numa corrente liquida turbulenta. Seu modelo assume que o movimento do liquido é 
constantemente levado por turbilhões de liquido fresco do interior até a superfície, onde 
estes substituem os elementos do liquido anteriormente sobre a superfície. Enquanto que 
sobre a superfície cada elemento do liquido torna-se exposto a uma segunda fase e a massa é 
Transferência de massa por convecção 5.23 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
transferida para dentro do liquido apesar dela ser estagnante e de profundidade infinita. A 
total penetração do soluto no turbilhão num tempo de exposição é: 
 
 ( ) ( )
21
expAB
AAs
t
0
21
AAs
ABt
0 A
tD
cc2dttcc
D
dtN expexp ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
p
-=-
p
= ¥
-
¥ òò 
 
 { ( )
21
expAB
AAs
 to durante
média ncia transferêde taxa
A
tD
cc2N
exp
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
p
-= ¥ 
 
Þ Danckwertz modificou a suposição de período de exposição constante propondo uma faixa 
infinita de idades para os elementos de superfície ® probabilidade de um elemento de 
superfície ser substituído por um novo turbilhão. 
A taxa de transferência de massa com a renovação da superfície ao acaso é: 
 
( )¥-= AAsABA ccsDN 
 
 onde s = fator de renovação da superfície (experimental) 
 
O conceito de renovação da superfície de renovação tem sido bem sucedido em: 
o Reações químicas na fase líquida. 
o É valida somente se a superfície de renovação é relativamente rápida. 
 
Teoria entre a do filme e a da penetração: 
 
AB
5,0
ABc DaDk µ 
 
Modelo da camada limite: 
 
321
ABD
3121
L
AB
c ScReL
D
664,0k
n
=
= 
 
logo 32ABc Dk µ 
 
Þ Sublimação de um sólido dentro de um gás. 
Þ Dissolução de um sólido por um líquido. 
 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 6: TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVO ENTRE FASES 
 
Þ Até agora vimos a transferência de massa dentro de uma única fase. 
 
Þ Transferência entre 2 fases de contato; exemplos: 
o Corrente gasosa em contato com líquido 
o Dois líquidos imiscíveis. 
o Fluido escoando sobre um sólido. 
 
Þ A transferência entre duas fases requer o desvio do equilíbrio a qual pode existir entre a 
concentração media (bulk) dentro de cada fase Þ desvio do equilíbrio fornece o gradiente de 
concentração dentro de uma fase. 
 
6.1 EQUILÍBRIO 
 
Þ Equilíbrio dinâmico: é indicado por uma concentração constante do soluto na fase líquida 
(solvente) e uma concentração constante ou pressão parcial do soluto na fase gasosa. Exemplo: 
inicialmente ar e amônia na fase gasosa e água pura na fase líquida ® quando em contato, a 
amônia é transferida para dentro da água, a qual é solúvel, e a água é vaporizada dentro da fase 
gasosa, um equilíbrio dinâmico entre as duas fases eventualmente será estabelecido. 
 
Figura 6.1 – Distribuição de equilíbrio do soluto A entre uma fase gasosa e uma líquida à 
temperatura controlada. 
 
Þ Adicionando mais soluto (concentração de A) ao sistema isobárico e isotérmico, um novo 
equilíbrio é alcançado. 
Pr
es
sã
o 
pa
rc
ia
l d
e 
A
 n
o 
gá
s 
P A
 
Concentração de A no líquido, cA 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Þ Equações relacionadas a equilíbrio nas duas fases ® livros de termodinâmica. 
 
Þ Gases reais e fases líquidas ® equações complexas. 
 
Fase líquida ideal (Lei de Raoult) 
 
 AAA Pxp = (1) 
 
Onde: 
 
.equilíbrio de ra temperatua para puroA de vapor de pressãoP
líquida. fase naA demolar fração x
líquida. fase da acima vapor fase naA componente do equilíbrio de parcial pressão p
A
A
A
=
=
=
 
 
Fase gasosa ideal (Lei de Dalton) 
 
 Pyp AA = (2) 
 
Onde: 
 
sistema. do totalpressãoP
gasosa. fase naA demolar fração y A
=
=
 
 
Duas fases ideais (Lei de equilíbrio Raoult-Dalton) 
 
 AAA PxPy = (3) 
 
Soluções diluídas (Lei de Henry) 
 
 AA Hcp = (4) 
 
Onde: H = constante de Henry 
 cA = composição de A no equilíbrio na fase líquida. 
 
Lei da distribuição (dois líquidos imiscíveis) 
 
 2líquido,A1líquido,A Kcc = (5) 
 
Onde: cA = concentração do soluto A na fase líquida especificada. 
 K = coeficiente de distribuição. 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Þ Conceitos básicos para todos os sistemas envolvendo a distribuição de um componente entre 
duas fases. 
 
1. Para condições fixas de temperatura e pressão, a regra das fases de Gibbs estabelece que existe 
relaçõesde equilíbrio, a qual pode ser apresentada na forma de curva de distribuição de 
equilíbrio. 
2. Quando o sistema esta em equilíbrio, não há transferência de massa liquida entre as fases. 
3. Quando o sistema não esta em equilíbrio, componente ou componentes do sistema serão 
transportados de tal maneira que cause a composição do sistema um retorno ao equilíbrio num 
tempo suficiente. 
 
EXEMPLO 1 
Uma corrente de exaustão a partir de uma unidade de fabricação de um semicondutor contem 3 
mol% de acetona e 97 mol% de ar. Para eliminar alguma possível poluição ambiental, esta corrente 
de acetona-ar alimenta uma coluna de transferência de massa na qual a acetona será eliminada por 
contracorrente de água a 293 K. A torre opera a uma pressão total de 1,013 x 105 Pa. Se a relação de 
equilíbrio Raoult-Dalton pode ser usada para determinar a distribuição acetona entre o ar e a fase 
aquosa, determinar: 
a) A fração molar da acetona dentro da fase aquosa a qual estaria em equilíbrio com 3 mol% de 
acetona na mistura gasosa. 
b) A fração molar da acetona na fase gasosa a qual estaria em equilíbrio com 20 ppm de acetona na 
fase aquosa. 
 
A 293 K a pressão de vapor da acetona é 5,64 x 104 Pa. 
 
EXEMPLO 2 
A constante da lei de Henry para o oxigênio dissolvido em água é 4,06 x 109 Pa/(mol de O2 por mol 
da solução total) a 293 K. Determine a concentração da solução de oxigênio na água que é exposta 
ao ar seco a 1,013 x 105 Pa e 293 K. A lei de Henry pode ser expressada em termos de unidade de 
fração molar por: AA xHp ¢= , onde H’ é 4,06 x 10
9 Pa/(mol de O2/mol da solução total). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
6.2 TEORIA DAS DUAS RESISTÊNCIAS 
 
Envolvem 3 etapas: 
1. Transferência de massa do meio (bulk) de uma fase para a superfície interfacial. 
2. Transferência através da interface para a segunda fase. 
3. Transferência para o meio (bulk) da segunda fase. 
 
 
Figura 6.2 – Absorção de um gás com um soluto A transferido da fase gasosa para a fase líquida. 
 
Þ A teoria das duas resistências foi inicialmente sugerida por Whitman (Chem. Met. Engr., 29 (4), 
147, 1923), esta possuía duas suposições principais: 
 
1. A taxa de transferência de massa entre as duas fases é controlada pela taxa de difusão 
através das fases sobre cada lado da interface 
2. Nenhuma resistência é oferecida na transferência do componente difundindo na interface. 
 
 
 
 
 
 
 
Interface gás-líquido 
NA 
Filme gasoso Filme líquido 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Figura 6.3 – Gradientes de concentração entre duas fases em contato, onde o soluto é transferido do 
gás para o líquido. 
 
Na fig. 6.3 o gradiente de pressão parcial, pAG, até a composição do gás interfacial, pAi, e o 
gradiente de concentração da fase líquida, cAi, na interface até a concentração bulk da fase líquida, 
cAL. 
 
Þ Se não existe nenhuma resistência a transferência de massa na interface Þ pAi e cAi são 
concentrações de equilíbrio. 
Þ PAi pode ser menor, maior ou igual a cAi, de acordo com as condições da temperatura e pressão 
do sistema. 
 
 
Se ocorrer transferência de massa da fase liquida para a gasosa Þ cAL > cAi e pAi > pAG como 
mostram as figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
pAG 
pAi 
cAi 
cAL 
dG dL 
Distância z 
C
on
ce
nt
ra
çã
o 
de
 A
 s
e 
di
fu
nd
in
do
 
Interface se 
H < 1,0 
pAG 
pAi 
cAi 
cAL 
dG dL 
Distância z 
C
on
ce
nt
ra
çã
o 
de
 A
 s
e 
di
fu
nd
in
do
 
Interface se 
H =1,0 
Fase gás Fase líquida Fase líquida Fase gás 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Figura 6.4 – Desorção (stripping) do liquido com o soluto A transferido do líquido para o gás. 
 
 
Figura 6.5 – Gradiente de concentração entre duas fases em contato quando o soluto é transferido 
do líquido para o gás. 
 
Coeficientes de transferência de massa individuais 
Þ Taxa de difusão na direção z sobre cada lado da interface: 
 
 ( )AiAGGAz ppkN -= (6) 
 
 ( )ALAiLAz cckN -= (7) 
pAG 
pAi 
cAi 
cAL 
dG dL 
Distância z 
C
on
ce
nt
ra
çã
o 
de
 A
 s
e 
di
fu
nd
in
do
 
Interface 
Fase gás Fase líquida 
Interface gás-líquido 
NA 
Filme gasoso Filme líquido 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Onde: 
 
líquida. fase a paraA componente or transferiacontinuar para necessária direcional força cc
fases. duas as separando interface a para 
 gasoso meio do condições dasA componente or transferipara necessária direcional força pp
líquida fase na convectivo massa de ncia transferêde ecoeficient k
ãolconcentraç de unidades x interfacia área x tempo
idoA transfer de moles
 
gasosa fase na convectivo massa de ncia transferêde ecoeficient k
ALAi
AiAG
L
A
G
=-
=-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
rD
º
=
 
Em regime no estado estacionário, o fluxo de massa de uma fase é igual ao fluxo de massa na 
segunda fase, portanto: 
 
 ( ) ( )AiALLAiAGGAz cckppkN --=-= (8) 
 
e 
AiAL
AiAG
G
L
cc
pp
k
k
-
-
=- (9) 
 
 
Figura 6.6 – Composições interfacial predita pela teoria das duas resistências. 
 
0 ® condições do meio (bulk) em um plano de transferência de massa. As condições em outro 
plano poderiam ser diferentes. 
 
A tabela 29.1 (WELTY) apresenta os coeficientes de transferência de massa individual encontrados 
com mais freqüência, bem como a inter-relações entre eles. 
 
0 
Inclinação = -kL/kG 
Curva de equilíbrio 
pAG 
pAi 
cAL cAi Pr
es
sã
o 
pa
rc
ia
l d
e 
A
 n
a 
fa
se
 g
as
os
a 
Composição de A na fase líquida 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Coeficientes de transferência de massa global 
 
Þ É muito difícil medir fisicamente a pressão parcial e a concentração na interface. É conveniente 
empregar os coeficientes global, baseado na força direcional global entre as composições do 
meio (bulk), pAG e cAL. 
 
 ( )*-= AAGGA ppKN (10) 
 
Onde: 
 
ALA
AG
G
G
c A, de líquida fase dabulk composição a com equilíbrio emA de parcial pressão p
gasosa fase dabulk composição p
pressão x linterfacia área x tempo
icoA transfer de moles
K
parcial. pressão da direcional força na baseado global, massa de ncia transferêde ecoeficient K
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
º
=
*
 
 
 ( )ALALA ccKN -= * 
 
Onde: 
 
ALA
AL
L
L
p com equilíbrio emA de ãoconcentraç c
líquida fase dabulk composição c
memoles/volu x linterfacia área x tempo
icoA transfer de moles
K
líquida. fase na ãoconcentraç da
 direcional força na baseado global, massa de ncia transferêde ecoeficient K
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
º
=
*
 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Figura 6.7 – Forças direcionais de concentrações para a teoria das duas resistências. 
 
A figura 6.7 ilustra as forças direcionais associadas a cada fase e as forças direcionais global. 
 
G
G
total,A
gás filme,A
K1
k1
p
p
fases as ambas em totalaresistênci
gasosa fase na aresistênci
=
D
D
= 
 
L
L
total,A
líquido filme,A
K1
k1
c
c
fases as ambas em totalaresistênci
líquida fase na aresistênci
=
D
D
= 
 
Þ Relação entre os coeficientes global e os coeficientes da fase individual: 
 
 { Aiõesconcentraç baixas para
Henry de lei da
constante H, 
Ai cmp
=
= (12) 
 
utilizando a equação (12): 
 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
AiAi
ALA
AAG
mcp
mcp
mcp
=
=
=
*
*
 
 
Pela equação (10) rearranjada: 
 
 
Az
AAi
Az
AiAG
Az
AAG
G N
pp
N
pp
N
pp
K
1 ** -
+
-
=
-
= 
 
Substituindo pela Lei de Henry: 
 
 
( )
Az
ALAi
Az
AiAG
Az
AAG
G N
ccm
N
pp
N
pp
K
1 -
+
-
=
-
=
*
 
 
Substituindo (6 ) e (7), temos: 
 
 
LGG k
m
k
1
K
1
+= (13) 
 
Pode ser encontrada uma expressão similar para KL, como segue: 
 
 
( ) ( )
Az
ALAi
Az
AiAG
Az
ALA
L N
cc
mN
pp
N
cc
K
1 -
+
-
=
-
=
*
 ou 
 
 
LGL k
1
mk
1
K
1
+= (14) 
 
Þ Se m é pequeno: KG = kG Þ fase gasosa controlada. 
Þ Se m é grande: KL = kL Þ fase gasosa pode ser desprezada, fase líquida controlada. 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de massa convectivo entre fases 6.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 3 
Num estudo experimental de absorção de amônia em água numa coluna de parede molhada, o 
coeficiente global de transferência de massa, KG, foi encontrado no valor de 2,74 x 10-9 kg 
mol/m2.s.Pa. Para um ponto na coluna, a fase gasosa contem 8 mol% de amônia e a concentração na 
fase líquida foi de 0,064 kg mol de amônia/m3 de solução. A torre opera a 293 K e 1,013 x 105 Pa. 
Para esta temperatura, a constante da lei de Henry é 1,358 x 103 Pa/(kg mol/m3). Se 85% da 
resistência total para transferência de massa é encontrada na fase gasosa, determine os coeficientes 
individuais de massa do filme e as composições interfaciais. 
 
EXEMPLO 4 
Uma corrente de água para lavagem é introduzida no topo de uma torre de transferência de massa 
onde uma corrente de ar escoa em contracorrente. Para um ponto na torre, a corrente de água 
contem 1 x 10-3 g mol de A/m3 e o ar é essencialmente livre de A. Para as condições de operação da 
torre, os coeficientes de transferência de massa do filme são kL = 5 x 10-4 kg/mol/m2.s.(kg mol/m3) 
e kG = 0,01 kg mol/m2.s.atm. As concentrações esta na região da lei de Henry onde pAi =HcAi com 
H = 10 atm/(kg mol/m3). Determine 
a) O fluxo de massa global de A. 
b) O coeficiente de transferência de massa global, KL e KG. 
 
 
 
 
 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 7: CORRELAÇÕES PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA 
 
Þ Correlações para transferência de massa baseada em dados experimentais e quando possível 
teórico. 
 
TABELA 7.1 Números adimensionais em correlação para dados de transferência de massa 
 
 
 
 
 
 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
7.1 TRANSFERÊNCIA DE MASSA PARA PLACAS, ESFERAS E CILINDROS 
 
Técnicas empregadas para obter o coeficiente de transferência de massa entre o fluido em 
movimento e certas formas: 
o Sublimação de um sólido. 
o Vaporização de um líquido no ar. 
o Dissolução de um sólido na água. 
 
PLACA PLANA 
 
 3121L
AB
c
L ScRe664,0D
Lk
Sh == (Laminar) ReL < 2 x 105 (1) 
 
 318,0L
AB
c
L ScRe0365,0D
Lk
Sh == (Turbulento) ReL > 2 x 105 (2) 
 
onde: 
m
rJ
= ¥
L
Re L 
 
Para uma distancia x a partir do inicio da placa plana, temos: 
 
 3121x
AB
c
L ScRe332,0D
xk
Sh == (Laminar) (3) 
 
onde: 
m
rJ
= ¥
x
Re x 
 
As equações também podem ser escritas em termos se fator j, como: 
 
 
31
L
L
32
AB
AB
AB
c32c
D
ScRe
Sh
D
D
LD
Lk
Sc
k
j =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
r
m
m
r
rJ
m
=
J
=
¥¥
, logo: 
 
 21LD Re664,0j
-= (laminar) Re < 2 x 105 (4) 
 2,0LD Re0365,0j
-= (turbulento) Re > 2 x 105 (5) 
 
Estas equações podem ser usadas com 0,6 < Sc < 2500. 
 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 Em muitas situações a camada limite da concentração começa após a camada limite 
hidrodinâmica, conseqüentemente a camada limite hidrodinâmica começa a se desenvolver antes da 
camada limite da concentração. 
 
 
 
 
Figura: Escoamento laminar sobre uma placa plana com inicio da camada limite hidrodinamica 
antes da camada limite de concentração. 
 
 
Condições de contorno: 
0 £ x < X, cA = cA¥ 
X £ x < ¥, cA = cAs 
 
E o numero de Sherwood local, fica: 
 
31
43
21
xx
x
X
1
Sc
Re332,0Sh
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ-
= 
 
 
 
 
 
 
CA = 0 p/ parede 
Parede inerte Parede (fonte de A) 
x = 0 
x = x x = X x = 0 
cAs 
NA 
cA¥ 
J¥ 
dc 
d 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Exemplo 7.1 
 
Reator horizontal de deposição química (CVD): crescimento de um filme de arsenito de gálio 
(GaAs) 
 
 
 
Reações simplificadas que ocorrem na superfície de silício: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )gCH6sGa2gH3gCHGa2
gH3sAs2gHA2
4233
23s
+®+
+®
 
 
No presente processo, a placa de silício de 10 cm é posicionada a 4 cm a partir da placa quente. A 
temperatura do processo é 800 K e a pressão total do sistema é 101,3 KPa (1 atm). Considerando o 
caso limitante onde o escoamento do gás rico em H2 esta a uma velocidade media de 100 cm/s 
(Ga(CH3)3 diluído). 
Determinar o coeficiente de transferência de massa global (kc) para o trimetil gálio em H2 no centro 
da placa de silício usando: 
a) A teoria da camada limite. 
b) A teoria do filme 
 
DAB = 1,55 cm2/s a 800 K e 1 atm (A = trimetil gálio e B = H2) 
 
 
D
is
tr
ib
ui
do
r d
e 
gá
s 
Alimentação de gás 
Gás de alimentação: 
H2 + Ga(CH3)3 + AsH3 
Placa de silício de 10 cm 
Placa aquecida 
(susceptor) 
x = 0 cm x = 4 cm x = 9 cm 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
ESFERA ÚNICA 
 
Forma geral: 
 
 { 4434421
forçada
convecção
31m
molecular
difusãoAB
c ScReC2
D
Dk
Sh +== 
 
C e m são constantes da correlação. 
 
 
m
rJ
= ¥
D
Re 
 
Onde: D = diâmetro da esfera 
 J¥ = velocidade do fluido bulk 
 r, m = densidade e viscosidade da mistura de fluidos, respectivamente. 
 
Transferência de massa dentro de uma corrente líquida 
 
 ( ) 2132AB
AB
L Pe21,14
D
Dk
Sh +== (Brian and Hales) (1) 
 
PeAB = número de Peclet = Re×Sc < 10000 
 
 31ABPe01,1Sh = Levick, para PeAB > 10000 (2) 
 
Transferência de massa numa corrente gasosa 
 
 3121
AB
c ScRe552,02
D
Dk
Sh +== (Fröessling) (3) 
 
válida para 2 < Re < 800 e 0,6 < Sc < 2,7 
 
A equação (1) a (3) são válidas quando a convecção natural é desprezível e a convecção forçada é 
predominante, isto é, quando: 
 
 6121 ScGr4,0Re -³ (4) 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
A seguinte correlação é recomendada quando ocorre transferência na presença de convecção 
natural. 
 
 ( ) 62,021o ScRe347,0ShSh += (Steinberger and Treybal) (5) 
 
onde Sho é dependente de Gr e Sc. 
 
 ( ) 25,0o GrSc569,02Sh += , para GrSc < 108 (6) 
 
 ( ) 244,031o ScGrSc0254,02Sh += , para GrSc > 108 (6) 
 
válidas para 2 £ Re £ 3 x 104 e 0,6 £ Sc £ 3200 
 
Onde: Gr = número de Grashof, definido como: 
 
 
2
3 gD
Gr
m
rDr
= (7) 
 
r e m são tomados nas condições bulk do fluido em escoamento. 
Dr = diferença de densidade entre as duas fases em contato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Correlações para transferência de massaconvectiva 7.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 7.2 
Estimar a distância de percurso de uma gota esférica de água em escoamento, originalmente 1,0 mm 
em diâmetro, em ar seco imóvel a 323 K, de modo a reduzir seu volume em 50%. Assumir que a 
velocidade da gota é sua velocidade terminal avaliada no diâmetro médio e que a água permaneça a 
293 K. Avaliar as propriedades do gás para a temperatura média do filme gasoso de 308 K. 
O sistema físico requer uma analise combinada de transporte de momento e massa. A gota de água 
líquida é a fonte de transferência de massa, o ar das vizinhanças serve como meio infinito, e o vapor 
de água (A) é transferido. A taxa de evaporação é pequena de maneira que a gota de água é 
considerada isotérmica a 293 K, senão o transporte de calor também deveria ser combinado. 
Considerando um balanço de força na partícula esférica no meio fluido, nós podemos mostrar que a 
velocidade terminal da partícula é: 
 
 
( )
arD
aráguap
o C3
gd4
r
r-r
=J 
 
Onde: dp = diâmetro da partícula 
 g = aceleração da gravidade 
 CD = coeficiente de arraste, função de Reynolds e da esfericidade, que neste caso é 1 por ser 
considerada partícula esférica. 
 
Resp: 56,6m 
 
 
CILINDROS ÚNICOS 
 
Sublimação do cilindro sólido em ar escoando normal ao seu eixo. 
 
( ) 4,0D
M
56,0
G Re281,0
G
PSck -= válida para 400 < ReD < 25000 e 0,6 < Sc < 2,6 
 
Onde: P = pressão total do sistema. 
 GM = velocidade superficial molar do gás (kg.mol/m2.s) 
 ReD = número de Reynolds em termos do diâmetro do cilindro. 
 
Para outras faixa se Re e Sc pode-se utilizar analogia de Chilton-Colburn: jD = jH. 
 
 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 7.3 
Em um aparelho de umidificação, a água líquida escoa em filme estreito sobre um cilindro vertical. 
Ar seco a 310 K e 1,013 x 105 Pa escoa em ângulo reto alinhado verticalmente ao cilindro de 0,076 
m de diâmetro e 1,22 m de comprimento a uma velocidade de 4,6 m/s. A temperatura do filme 
líquido é 290 K. Calcular a taxa na qual o líquido deve ser suprido ao topo do cilindro se a 
superfície total do cilindro é usada para o processo de evaporação e nenhuma água deve escorrer a 
partir do fundo do cilindro. 
O filme líquido do lado externo do cilindro representa a fonte de transferência de massa, e a 
corrente de ar escoando normal ao cilindro representa o meio infinito. As propriedades da corrente 
de ar são avaliadas para a temperatura média do filme de 300 K (r = 1,1769 kg/m3, n = 1,5689 x 10-
5 m2/s). 
Resp.: 1,14 x 10-4 kg/s. 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA ENVOLVENDO ESCOAMENTO TURBULENTO 
ATRAVÉS DE CANOS 
 
44,083,0ln,b
AB
c ScRe023,0
P
p
D
Dk
= para 2000 < Re < 35000 e 0,6 < Sc < 2,5 (Gilliland and 
Sherwood) (1) 
 
onde D é o diâmetro interno do cano; pB,ln é a composição média logarítmica do gás de arraste, 
avaliado entre a composição da superfície e a corrente bulk; P é a pressão total; DAB é a 
difusividade mássica do componente A se difundindo no gás de arraste B; Re e Sc são avaliados nas 
condições bulk da corrente de escoamento. 
 
3183,0
AB
L ScRe023,0
D
Dk
= para 2000 < Re < 35000 e 1000 < Sc < 2260 (Gilliland, Sherwood e 
Linton)(2) 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM COLUNAS DE PAREDE MOLHADA 
 
O coeficiente de transferência de massa convectivo para a corrente gasosa utiliza a equação (1) 
anterior. O coeficiente para o filme líquido segue a correlação: 
 
 ( ) ( ) 4,0L
61
2
32
21
AB
L Re
gz
Sc433,0
D
zk
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
m
r
= (Vivian and Peaceman) (3) 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
Onde: z = comprimento de contato 
 DB = difusividade mássica de A se difundindo em B 
 r = densidade do líquido B. 
 m = viscosidade do líquido B. 
 Sc = número de Schmidt para o soluto dissolvido no líquido na temperatura do filme líquido. 
 
 
mp
=
m
G
=
D
w44
Re L 
 
 w = vazão mássica do líquido. 
 D = diâmetro interno da coluna. 
 G = vazão mássica do liquido por unidade de perímetro molhado da coluna. 
 
EXEMPLO 7.4 
Uma coluna de parede molhada de 2 esta sendo utilizada para absorver CO2 a partir de uma solução 
aquosa por uma corrente de ar escoando a 2,5 ft/s. Para um ponto da coluna, a concentração de CO2 
na corrente de ar é 1 mol%. Para o mesmo ponto da coluna, a concentração de CO2 na água é 0,5 
mol%. Determinar o coeficiente de transferência de massa na fase gasosa e o fluxo mássico para o 
ponto da coluna. A coluna é operada a 10 atm e 25º C. 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM LEITOS FIXO E FLUIDIZADO 
 
- Adsorção 
- troca íons 
- cromatografia 
- reações gasosas catalisadas em superfícies sólidas. 
 
Equação de Sherwood, Pigford e Wilke, para leito fixo: 
 
 415,0D Re17,1j
-= 10 < Re < 2500 
 
onde: 
m
r
=
avep ud
Re 
 
uave = velocidade superficial do fluido 
dp = diâmetro da esfera que tem a mesma superfície ou volume como a partícula. 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Transferência de massa entre líquidos e leitos de esferas, equação de Wilson e Geankoplis: 
 
 
eR
09,1
jD ¢¢¢
=e para 0,0016 < eR ¢¢¢ < 55, 165 < Sc < 70600 e 0,35 < e < 0,75. 
 
( ) 31,0D eR
25,0
j
¢¢¢
=e para 55 < eR ¢¢¢ < 1500, 165 < Sc < 10690 
 
eR ¢¢¢ é definido em termos do diâmetro da partícula, velocidade mássica superficial do fluido, G, 
massa por unidade de tempo por unidade da seção transversal da torre sem recheio. e é a fração de 
vazios. 
 
 
sólidas partículas as mais vazioespaço do totalvolume
sólidas partículas as entre vazioespaço do volume
=e 
 
Correlação de Gupta e Thodos, para gases e leito de esferas: 
 
 
( ) 575,0D eR
06,2
j
¢¢¢
=e para 90 < eR ¢¢¢ < 4000 
 
Correlação de Gupta e Thodos, para gases e líquidos em leito de esferas fluidizado: 
 
 
( ) 483,0eR
863,0
010,0j
58,0D -¢¢¢
+=e 
 
Mais detalhes sobre transferências de massa, calor e momento em leitos fluidizados se encontra no 
livro de Kunii & Levenspiel, Fluidization Engineering, Wiley, New York, 1969. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 7.5 
Para realizar ensaios de transferência de massa, construí-se uma coluna que se comportasse como 
leito fixo e fluidizado, dependendo da velocidade de injeção do fluido de trabalho na base do 
equipamento. Para proceder a experimentação, esferas de naftaleno de 2,9 mm de diâmetro e massa 
especifica igual a 1,145 g/cm3 foram eleitas como material de teste. Utilizando ar seco como fluido 
de trabalho a 25º C e 1 atm (Sc = 2,45 e DAB = 0,0611 cm2/s), determine: 
 
a) O valor de Sherwood da partícula quando o ar é injetado a 14,91 cm/s na base da coluna. Nessa 
condição observou-se que o leito comportara-se como fixo de porosidade 0,49. Utilize a 
correlação apresentada neste tópico e compare os resultados obtidos com o experimental que é 
12,95. 
 
b) Mantendo-se a carga de partículas presentes no item anterior, estime o valor do ShP, para o caso 
da velocidade do ar ser duplicada. Nesse caso, assume-se que o leito comporta-se como 
fluidizado com porosidade igual a 0,69. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
uo 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
ENXAME DE BOLHAS ESFÉRICAS 
 
Þ Introdução do gás em líquidos através de orifícios gerando o enxame de bolhas. 
Þ Comportamento diferente aos de esferas rígidas. 
 
Calderbank e Môo-Young: transferência de um soluto A do gás para o solvente liquido B através de 
grande quantidade de bolhas contendo o gás A. 
 
 3131
ABbL ScGr31,0
D
dk
Sh == para db < 2,5 mm 
 
 2131
AB
bL ScGr42,0
D
dk
Sh == para db ³ 2,5 mm 
 
 
2
L
L
3
b gdGr
m
rDr
= 
 
Dr = diferença de densidade do líquido e a densidade do gás no interior da bolha. 
rL e mL avaliados nas propriedades bulk da mistura. 
 
Para relacionar o fluxo NA com a taxa de transferência a razão ‘hold up’do gás deve ser conhecida 
(fg). 
 
V
V
líquido do Volume
gás de bolhas das Volume g
g ==f 
 
A área da interface de transferência de massa por unidade de volume para bolha é: 
 
 
b3
b
2
b
b
g
gi
d
6
d
6
d
bolha da Volume
bolha da área
pois 
d
6
bolha da Volume
bolha da área
V
V
V
A
=
p
p
=
f=×=
 
 
fg < 0,2 para muitos casos e 
t
g J
J
µf com a agitação mecânica do líquido. 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Para transferência de massa de gases a líquidos em tanques agitados por impulsor. 
Devido as colisões continuas das bolhas de gás borbulhando e a agitação mecânica do impulsor, a 
área interfase para transferência de massa é impossível de ser medida. Nestes casos a medida do 
coeficiente de transferência de massa para tanques agitados são colocadas na forma de coeficiente 
de capacidade, por exemplo, kLa. O parâmetro a, é definido como: 
 
 
líquido do Volume
interfase massa de ncia transferêpara disponivel área
V
A
a i == 
 
Conversão de unidades: 
 
 1
3
2
i
L s
m
m
s
m
V
A
kak
L
-=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ== 
 
 ( )AALiAA ccVakVV
A
Nw -×=××= * 
 
 
Þ Equações de Van’t Riet para transferência de O2 em água com bolhas de ar coalescendo: 
 
 ( ) ( ) 5,0gs
4,0
g2
OL uV
P
10x16,2ak
2 ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
= - para V < 2,6 cm3 de líquido, e 
 
Þ Transferência de O2 em água com bolhas de ar que não coalescem: 
 
 ( ) ( ) 2,0gs
7,0
g3
OL uV
P
10x2ak
2 ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
= - para V < 2,6 cm3 de líquido 
 
Ambas valendo para: 500 < 
V
Pg < 10000 w/m3 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
3
g
m
W
líquido Volume
aeração da consumo de poência
V
P
 
 
ugs = velocidade superficial do gás escoando através do recipiente vazio (m/s) = (vazão volumétrica 
do gás)/(área da seção transversal) 
 
 
Correlações para transferência de massa convectiva 7.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 7.6: 
Num projeto de remediação airada para tratamento de água contaminada com tricloroetileno (TCE) 
a uma concentração de 50 mg/L. A trincheira é um duto aberto de 1 m de largura (W) e 
profundidade de 2 m (H), e a vazão volumétrica da água de lavagem adicionada a trincheira é 0,1 
m3/s. O ar é borbulhado no fundo do duto a uma taxa que fornece um hold up de gás de 0,02 m3 de 
gás por 1 m3 de água, e o diâmetro médio das bolhas é 0,01 m. Determine o comprimento da 
trincheira necessária para reduzir a concentração do efluente TCE para 0,05 mg/L. A temperatura 
do processo é 293 K e a pressão do sistema é 1 atm. 
 
 
Þ Estado estacionário 
Þ Processo contínuo onde TCE é transferido da água de lavagem para o gás de aeração. 
Þ Variação do perfil apenas na direção axial (boa mistura) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ar 
Solo Forro 
z z + Dz 
NAAi 
Atmosfera 
W = 1 m 
H
 =
 2
 m
 
Equipamentos de transferência de massa 8.1 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
CAPÍTULO 8: EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
Exemplos típicos de equipamentos de transferência de massa incluem: 
1) Transferência do soluto de uma fase gasosa para uma fase líquida: absorção, 
desudimificação e destilação. 
2) Transferência do soluto de uma fase líquida para uma fase gasosa: desorção ou stripping e 
umidificação. 
3) Transferência de um soluto da fase líquida para uma segunda fase líquida imiscível (ex. fase 
aquosa para hidrocarboneto): extração líquido-líquido. 
4) Transferência de um soluto a partir de um sólido para uma fase fluido: secagem e lavagem 
(leaching). 
5) Transferência de um soluto a partir de um fluido para a superfície de um sólido: adsorção 
coluna troca íons. 
 
Þ Torres e tanques: contato íntimo as duas fases. 
 
 
8.1 TIPOS DE EQUIPAMENTOS DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
Classificação em 4 tipos gerais de acordo com o método usado para produzir contato entre as duas 
fases: 
 
TORRES DE BOLHAS 
Consiste de uma câmara aberta na qual a fase líquida escoa e a fase gasosa é dispersa no líquido na 
forma de pequenas bolhas. As bolhas fornecem a área de contato desejada. 
 
Þ A fase líquida normalmente controla a taxa de transferência de massa. Ex. absorção de gases 
parcialmente insolúveis, como a oxidação pelo ar na água. 
 
O tempo de contato e a área de contato determinam a quantidade de massa transferida entre as fases. 
 
aeróbios mistura de tanque
água de o tratamentde Operações 
biológica Oxidação 
þ
ý
ü
Þ
Þ
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.2 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 Figura 1 – torre de bolhas 
 
TORRES DE SPRAY 
O gás escoa para cima numa câmara aberta e a fase líquida é introduzida, na parte superior, por 
atomização na forma de pequenas gotas em contracorrente a fase gasosa. As pequenas gotas 
garantem uma grande área de contato entre as duas fases. 
Þ Gases altamente solúveis. 
Þ A resistência da fase gasosa normalmente controla a taxa de transferência de massa. 
 
 
 Figura 2 – torres spray 
Saída do líquido 
Entrada do líquido 
Entrada do gás 
Saída do gás 
Z 
Saída do líquido 
Entrada do líquido 
Entrada do gás 
Saída do gás 
Z 
Equipamentos de transferência de massa 8.3 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
TORRES DE RECHEIO 
Envolve o contato contracorrente continuo entre duas fases imiscíveis. As torres são colunas 
verticais preenchidas com recheio (ver figura). 
Uma variedade de materiais para recheios é usada como cerâmicas e plásticos. 
A proposta do recheio é fornecer uma grande área de contato entre as duas fases imiscíveis. O 
líquido é distribuído sobre o leito e escoa sobre a superfície do recheio com um filme líquido. 
O gás geralmente escoa para cima em contracorrente ao líquido. 
Þ Sistemas gás-líquido na qual as resistências de ambas as fases controlam a taxa de transferência 
de massa (ambas são importantes). 
Þ Ex. torre de resfriamento onde a água é recirculada como meio de transferência de calor 
(condicionador de ar natural). 
 
 
 Anéis de Raschig Selas de Berl Anéis de Lessing Anéis de Pall 
 
Figura 3 – Recheios comuns na industria. 
 
 
 
 Figura 4 – torre de recheio 
 
Saída do líquido 
Entrada do líquido 
Entrada do gás 
Saída do gás 
Z 
Equipamentos de transferência de massa 8.4 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
TORRES DE PRATOS 
Þ São as torres mais comumente utilizadas nas industrias. 
Þ Mecanismo combinado: torre de bolhas com torre spray. 
 
Em cada prato, as bolhas de gás são formadas a partir do fundo do liquido pobre, forçando o gás 
através de pequenos orifícios no prato ou sobre válvulas imersas no liquido. 
A transferência de massa interfase ocorre durante a formação das bolhas, e quando as bolhas 
aumentam em dímetro através do liquido agitado. 
Os pratos são arranjados um em cima do outro em uma torre cilíndrica (fig.5). O líquido escoa 
cruzando o primeiro prato superior e então os pratos abaixo. O vapor aumenta através de cada prato. 
Þ Torres de pratos não podem ser projetadas por equações obtidas por integração sobre uma 
área continua de contato interfase. São projetadas por cálculos para cada estágio ou prato. 
 
 
 
 
Figura 5 – Torre de pratos 
 
 
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.5 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA8.2 OPERAÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA GÁS-LÍQUIDO EM TANQUES 
BEM AGITADOS 
 
A aeração é uma operação de contato gás-líquido onde o ar comprimido é introduzido no fundo de 
um tanque de água liquida através de pequenos orifícios dispersos, como tubos perfurados, tubo ou 
placas porosas. 
O agitador (turbina) quebra as bolhas e dispersa através do líquido, ocorre um processo de absorção 
ou stripping. 
 
 
Figura 6 – Tanque agitado airado 
 
Absorção: O soluto no gás de aeração é transferido para o líquido. Muitas vezes o soluto é o 
oxigênio gasoso presente no ar, a qual é poupadamente solúvel em água. A absorção de oxigênio na 
água é muito importante em muitos processos de engenharia química. 
 
Stripping: O soluto volátil dissolvido é transferido do líquido para o gás de aeração, importante em 
processos de tratamento de água em engenharia ambiental. 
 
Quando o gás está disperso em uma fase continua líquida, a fase líquida controla a taxa de 
transferência de massa, portanto o balanço de massa para transferência de massa do soluto é feito 
para a fase líquida. 
Equipamentos de transferência de massa 8.6 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
A transferência de massa do soluto A nos filmes gás e liquido baseado no coeficiente global de 
transferência de massa é (ver cap. 6): 
 
 ( )AALA ccKN -= * (1) 
 
A taxa de transferência de massa é: 
 
 ( ) ( )AALAAiLA ccaVKccVV
A
KW -=-= ** (2) 
 
onde: 
H
p
c AA =
* Lei de Henry. 
 
pA = pressão parcial de A na fase bulk. 
KLa = coeficiente de capacidade, pois o área de interface de TM por unidade de volume é difícil de 
se medir. 
 
O processo da figura 6 é continuo se for batelada elimina-se a corrente de entrada e saída, e o 
balanço de massa no estado transiente para o soluto A na fase liquida fica: 
 
 {
( )
dt
Vcd
VRANcc A
homogenea
reação há não
0
AiA
0
A
0
0A0 =++J-J
===
32143421
 (3) 
 
Como V = constante, portanto, ( )
dt
dc
VccaVK AAAL =-
* 
 
=*Ac constante, logo: òò -=
-
-
*
t
0L
c
c
AA
A dtaK
cc
dcA
0A
 (4) 
 
ficando: ( ) taK0AAAA Lecccc ×-** --= (5) 
 
¥®@ * tse cc AA 
 
Para processo continuo no estado estacionário temos: 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.7 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
{
( )
4342132143421
ioestacionár
estado
0
A
homogenea
reação há não
0
AiA
saída
A
entrada
0A0 dt
Vcd
VRANcc
=
=
=++J-J (6) 
 
Para processos com soluções diluídas as vazões volumétricas J=J0 , a equação (6), fica: 
 
( ) ( ) 0ccVaKcc AALA0A =-×+-J * 
 
ou 
aK
V
caKc
Vc
L
0
AL0A
0
A
+
J
×+
J
=
*
 (7) 
 
EXEMPLO 8.1 
O projeto de um sistema de aeração para processos de fermentação aeróbia é baseado na 
transferência de massa gás-líquido. Microorganismos crescem numa suspensão líquida e são 
alimentados por nutrientes dissolvidos em glicose e sais minerais. Microorganismos aeróbios em 
líquidos suspensos também requerem oxigênio para o seu crescimento. Se o oxigênio não é suprido 
com uma taxa suficiente para suportar o crescimento da célula, as células morrerão. 
No presente processo, Aerobacter aerogenes está sendo cultivado dentro de um fermentador 
continuo de 3 m3 de volume líquido (V) e o diâmetro do tanque (dT) de 1,5 m. O meio nutriente 
fresco contem uma quantidade de traços de oxigênio dissolvido a uma concentração de 0,01 mol 
O2/m3 entrando no fermentador a uma vazão de 1,8 m3/h. Para condições de estado estacionário, o 
fermentador aeróbio opera a uma concentração celular (cX) de 5 kg de massa sêca/m3 de cultura 
líquida. 
A concentração celular é determinada por taxa de crescimento especifico dos organismos e a 
composição nutriente do meio líquido. 
A suspensão celular líquida consome oxigênio proporcionalmente a concentração da célula de 
acordo com a equação da taxa: X0A cqR -= 
onde q0 é a taxa de consumo de oxigênio especifico das células = 20 mol O2/kg de célula×h, que é 
assumido constante. Determinar o valor de KLa necessário para assegurar que a concentração de 
oxigênio na cultura líquida (cA) é pelo menos 0,05 mol/m3. Determinar a potencia de entrada para 3 
m3 do fermentador se a vazão de gás no fermentador é 1 m3 de ar/min para as condições do 
processo a 298 K e 1 atm. Assumir que as bolhas não coalescem. Para 298 K, a constante da lei de 
Henry para o oxigênio dissolvido no meio nutriente líquido é 0,826 atm.m3/mol. 
Resp.: KLa = 0,136 s-1 e Pg = 4716 W 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.8 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Eckenfelder desenvolveu uma correlação geral par transferência de oxigênio de bolhas de ar para o 
liquido. 
 
 
V
hQ
V
A
K
78,0n1
gg
L
+q
= (8) 
onde: 
 qg = constante de acordo com o tipo de dispersador. 
 Qg = taxa de escoamento do gás (ft/min). 
 n = constante que depende do tamanho dos orifícios do dispersador. 
 h = profundidade abaixo da superfície líquida para qual o ar é introduzido no tanque. 
 
Um gráfico para a equação (8) é representado abaixo: 
 
Figura 7 – fator de transferência de oxigênio para um único dispersor num tanque de aeração. 
 
EXEMPLO 8.2 
Uma lagoa de aeração de 566 m3 é airada com 15 dispersores, cada um usando ar comprimido a 
uma taxa de 7,08 x 10-3 m3/s. Os dispersores estão localizados a 4,57 m abaixo da superfície da 
lagoa. Encontrar o tempo requerido para aumentar o oxigênio dissolvido de 2 mg/L para 5 mg/L se 
a temperatura da água é de 293 K. 
Resp.: 1540 s. 
Equipamentos de transferência de massa 8.9 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
8.3 BALANÇO DE MASSA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO: EQUAÇÕES 
PARA A LINHA DE OPERAÇÃO 
 
São quatro fundamentos importantes que constituem a base de projeto para equipamentos de 
contato contínuo: 
1) Balanço material e de entalpia, envolvendo equações de conservação da massa e energia: 
forma a expressão para avaliar a composição bulk das duas fases em contato em algum 
ponto da torre, bem como a mudança nas composições bulk entre dois pontos da torre. 
2) Equilíbrio interfase (leis termodinâmicas => capítulo 6) 
3) Equações de transferência de massa: desenvolvidas nas formas diferenciais, combinadas 
com o balanço diferencial de massa, e quando integrado sobre a área interfacial de contato 
fornece o comprimento requerido na troca de massa. 
4) Equações de transferência de momento: importante para avaliar a queda de pressão no 
equipamento. 
 
Escoamento contracorrente 
Considerando alguma operação no estado estacionário que envolve o contato contracorrente de duas 
fases insolúveis como mostra a fig. 8. As duas fases insolúveis são identificadas como G e L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Processo contracorrente no estado estacionário. 
 
 
 
z = z1 
z = z2 
z 
G1, yA1, YA1 
G2, yA2, YA2 
Gz, yAz, YAz Lz, xAz, XAz 
L2, xA2, XA2 
L1, xA1, XA1 
Equipamentos de transferência de massa 8.10 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Para o fundo da torre temos as definições: 
G1 = Vazão molar de entrada da fase G [moles da fase G/h×área da seção transversal da torre] 
L1 = Vazão molar de entrada da fase L [moles da fase L/h×área da seção transversal da torre] 
yA1 = fração molar de A na fase G [moles de A/moles total na fase G] 
xA1 = fração molar de A na fase L [moles de A/moles total na fase L] 
 
As definições são similares para o topo da coluna, no plano z2. 
 
O balanço global macroscópico de massa para o componente A no trocador de massa no estado 
estacionário, na qual não ocorre produção química de A ou desaparecimento de A, requer: 
 
 ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
 torrena deixando
A de moles
 torrena entrtando
A de moles
 
 
ou 1A12A22A21A1 xLyGxLyG +=+ (1) 
 
Um balançode massa para o componente A no plano z = z1 e um plano arbitrário z, é: 
 
 1A1AzzAzz1A1 xLyGxLyG +=+ (2) 
 
As equações ficam mais fáceis de manipular se forem designadas concentrações por unidade de 
concentração livre de soluto como: 
 
 
A
A
A y1
y
Y
-
= (3) 
 
 
A
A
A x1
x
X
-
= (4) 
 
Onde: YA = moles de A em G por mol livre de A em G. 
 XA = moles de A em L por mol livre de A em L. 
 
As taxas de escoamento usadas com unidades livres de soluto são: 
LS = moles da fase L sobre uma base livre de soluto 
GS = moles da fase G sobre uma base livre de soluto 
 
( ) ( )
( ) ( )2A21A1S
2A21A1S
y1Gy1GG
x1Lx1LL
-=-=
-=-=
 
Equipamentos de transferência de massa 8.11 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
O balanço global de A pode ser escrito em termos livre de soluto: 
 
 1AS2AS2AS1AS XLYGXLYG +=+ ou 
 
 ( ) ( )2A1AS2A1AS XXLYYG -=- (5) 
 
Logo: 
2A1A
2A1A
S
S
XX
YY
G
L
-
-
= (6) 
 
Equação (6) Þ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XA2,YA2) com inclinação LS/GS. 
 
Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto: 
 
 1ASAzSAzS1AS XLYGXLYG +=+ ou 
 
( ) ( )Az1ASAz1AS XXLYYG -=- (7) 
 
Logo: 
Az1A
Az1A
S
S
XX
YY
G
L
-
-
= (8) 
 
Equação (7) Þ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XAz,YAz) com inclinação LS/GS. 
 
Equação (5) º Equação (7) 
 
A equação (7) é uma expressão geral relacionando as composições bulks das duas fases para algum 
ponto do trocador de massa. Esta define as condições operacionais dentro do equipamento: é linha 
de operação para operações contracorrente. 
 
Figura 9: Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para transferência 
de soluto da fase G para a fase L(absorção). O equilíbrio bulk, localizado sobre a linha de operação 
, deve ser maior do que a concentração de equilíbrio para fornecer uma força direcional, 
AiAG YY - ou seu equivalente AiAG pp - ou 
*- AAG YY ou seu equivalente 
*- AAG pp , 
necessária para transferir a partir da fase G para fase L. 
 
 
 
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.12 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Figura 9 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase G para a L. 
 
 
Figura 10 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase L para a G. 
 
Figura 10: Ilustra a localização da linha de operação relativa a linha de equilíbrio para 
transferência de soluto da fase L para a fase G(stripping). A localização da linha de operação abaixo 
da curva de equilíbrio assegura uma força direcional, ALAi xx - ou seu equivalente ALAi cc - ou 
ALA xx -
* ou seu equivalente ALA cc -
* , necessária para transferir a partir da fase L para fase G. 
 
YA 
YA1 
YA2 
XA2 XA1 
S
S
G
L
 inclinação = 
Linha de 
operação 
Curva de equilíbrio 
YAi versus XAi 
YA 
YA1 
YA2 
XA2 XA1 XA 
S
S
G
L
 inclinação = 
Linha de operação 
Curva de equilíbrio 
YAi versus XAi 
XA 
Equipamentos de transferência de massa 8.13 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
O balanço de massa para o componente A sobre o comprimento diferencial dz, é facilmente obtido 
pela diferenciação da equação (7). Esta equação diferencial 
 
 ASAS dYGdXL = 
 
relaciona a transferência molar em operações contracorrente pelo tempo e pela área da seção 
transversal disponível no comprimento dz 
 
No projeto de equipamentos de transferência de massa, a vazão de pelo menos uma fase e três das 4 
composições de entrada e saída devem ser fixadas pelo requisito do processo. A necessidade da 
vazão da segunda fase é muitas vezes a variável projetada. 
Três possíveis linhas de operação são mostradas na figura 11. A inclinação decresce quando o valor 
da vazão LS decresce. O mínimo LS, que deve ser usado, corresponde a linha de operação que toca a 
linha de equilíbrio. Para o ponto de tangencia a força direcional é zero, e a transferência de massa 
entre as duas fases não ocorre. Isto representa a condição limite, a razão mínima LS/GS para 
transferência de massa. 
 
 
 
Figura 11 Localização da linha de operação. 
 
 
 
 
 
YA 
YA1 
YA2 
XA2 XA 
inclinações 
Curva de equilíbrio 
(L
S/
G
S)
1 
(L
S/
G
S)
2 
(L
S/
G
S)
3 
P1 P2 P3 
Equipamentos de transferência de massa 8.14 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
EXEMPLO 8.3 
A amônia deve ser absorvida a partir de uma mistura com ar a 293 K e 1,013 x 105 Pa de pressão 
numa torre de recheio contracorrente, usando água a 293 K como absorvente. A vazão do gás de 
entrada é 1,21 x 10-2 m3/s e uma corrente de água sem amônia de 9,46 x 10-3 kg/s será utilizada. Se 
a concentração da amônia, NH3, é reduzida de 3,52 1,29% por volume, determine a razão 
( ) ( )minSSrealSS GLGL . Os dados de equilíbrio para o sistema a 293 K e 1,013 x 105 Pa são 
os seguintes: 
 
OH de mol kg
NH de mol kg
X
2
3 0,0164 0,0252 0,0349 0,0455 0,0722 
OH de mol kg
NH de mol kg
Y
2
3 0,021 0,032 ,042 0,053 0,08 
 
Resp.: 1,38 
 
Equilíbrio 
X Y 
kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ 
kg mol de H2O kg mol de H2O 
0 0 
0.0164 0.0210 
0.0252 0.0320 
0.0349 0.0420 
0.0455 0.0530 
0.0722 0.0800 
 
 
linha de operação 
0 0.0131 
0.0215 0.0365 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.15 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
0, 0.0131
0.0215, 0.0365
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
XA, moles de NH3/mol de água
Y
A
, m
ol
 d
e 
N
H
3/
m
ol
 d
e 
ar
Curva de equiíbrio
Linha de operação
(Ls/Gs)min
0.0296
 
 
Escoamento cocorrente 
 
Para operações e transferência de massa no estado estacionário envolvendo contato cocorrente de 
duas fases imiscíveis, mostrada na figura 14, o balanço de massa global para o componente A com 
base livre de soluto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Processo cocorrente no estado estacionário 
z = z1 
z = z2 
z 
G1, GS, yA1, YA1 
G2,GS, yA2, YA2 
Gz, GS, yAz, YAz Lz,LS, xAz, XAz 
L2,LS, xA2, XA2 
L1, LS, xA1, XA1 
Equipamentos de transferência de massa 8.16 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 1AS1AS2AS2AS XLYGXLYG +=+ ou 
 
 ( ) ( )1A2AS2A1AS XXLYYG -=- (1) 
 
Logo: 
2A1A
2A1A
S
S
XX
YY
G
L
-
-
=- 
 
Equação (1) Þ equação de uma reta que passa por (XA1,YA1) e (XA2,YA2) com inclinação -LS/GS. 
 Um balanço de massa em A no plano z1 e o plano arbitrário z em termos livre de soluto: 
 
 1AS1ASAzSAzS XLYGXLYG +=+ ou 
 
 ( ) ( )1AAzSAz1AS XXLYYG -=- (2) 
 
Logo: 
Az1A
Az1A
S
S
XX
YY
G
L
-
-
=- 
 
Equação (1) e equação (2) ambas são equações de uma reta que passa por um ponto 
comum(XA1,YA1) com a mesma inclinação -LS/GS. A equação (2) é uma expressão geral que 
relaciona a composição das duas fases em contato para algum ponto do equipamento. É designada 
como equação da linha de operação para operações cocorrente. As figuras 15 e 16 ilustram a 
localização do linha de operação relativa a curva de equilíbrio. 
 
 
Figura 15 – Processo cocorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase G para a L. 
 
YA 
YA1 
YA2 
XA2 XA1 XA 
S
S
G
L
- inclinação = 
Linha de operação 
Curva de equilíbrio 
YAi versus XAi 
Equipamentos de transferência de massa 8.17 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Figura 16 – Processo contracorrente no estado estacionário, transferência a partir da fase L para a G. 
 
Um balanço de massa para o componente A sobre o comprimentodiferencial, dz, para escoamento 
cocorrente: 
 
 ASAS dYGdXL -= 
 
que verifica a inclinação para a linha de operação em operação cocorrente de –LS/GS. 
 
EXEMPLO 8.4 
Uma corrente de ar-amônia descrita no exemplo 3 é alimentada cocorrentemente com uma corrente 
de água sem amônia. A concentração da amônia deve ser reduzida de 3,52 para 1,29% por volume, 
usando uma corrente de água 1,37 vezes a mínima. Determine (a) a razão mínima LS/GS, (b) vazão 
real de água, e (c) concentração na corrente aquosa de saída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
YA 
YA1 
YA2 
XA2 XA1 
S
S
G
L
- inclinação = 
Linha de 
operação 
Curva de equilíbrio 
YAi versus XAi 
XA 
Equipamentos de transferência de massa 8.18 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
Equilíbrio 
X Y 
kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ 
kg mol de H2O kg mol de H2O 
0 0 
0.0164 0.0210 
0.0252 0.0320 
0.0349 0.0420 
0.0455 0.0530 
0.0722 0.0800 
 
 
linha de operação 
0 0.0365 
0.0072 0.0131 
 
 
0, 0.0365
0.0072, 0.0131
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
XA, moles de NH3/mol de água
Y
A
, m
ol
 d
e 
N
H
3/
m
ol
 d
e 
ar
Curva de equiíbrio
Linha de operação
(Ls/Gs)min
 
 
 
 
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.19 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
8.4 BALANÇO DE ENTALPIA PARA TORRES DE CONTATO CONTÍNUO 
 
Muitas operações de transferência de massa são isotérmicas, principalmente quando envolve 
misturas diluídas. No entanto, quando grandes quantidades de soluto são transferidas, o calor de 
mistura pode produzir um aumento de temperatura na fase receptora. Se a temperatura da fase 
muda, a solubilidade no equilíbrio do soluto será alterada, e a força de difusão também se alterará. 
Considerando um processo contracorrente como da figura 8, um balanço entalpico no plano z = z2 e 
um plano arbitrário z, temos: 
 
 L2G2G2L2 LHHGGHHL +=+ (1) 
 
Onde: H = entalpia molar da corrente em sua temperatura particular, pressão e concentração. As 
entalpias são normalmente baseadas sobre uma referencia de solvente livre de soluto e soluto puro 
para uma temperatura base escolhida, T0. A entalpia normal de uma mistura líquida é avaliada sobre 
uma temperatura base pela relação: 
 
 ( ) Savg0LpLL HMTTcH D+-= (2) 
 
Onde: HL = entalpia da corrente liquida [kJ/mol] 
 cpL = capacidade calorífica da mistura sobre uma base mássica [kJ/kg×K] 
 TL = temperatura da mistura [K] 
 Mavg = massa molecular media da mistura 
 DHS = calor integral da solução em T0 e para a concentração da mistura [kJ/mol] 
 
A entalpia molar para a mistura gasosa, com a mesma temperatura base e estado padrão do soluto é 
 
( )( )( )[ ]
( ) solutosoluto,g,fsoluto0G
GfasedasolutolivreGfasesolutolivre,G,psolutosolutosoluto,G,psolutoG
MhyTT
Mcy1McyH
+-
-+=
 
 
Onde: HG = entalpia da corrente gasosa [kJ/mol] 
 cp,G = capacidade calorífica na fase gas [kJ/kg×K] 
 TG = temperatura da mistura gasosa [K] 
 hf,g, soluto = calor de vaporização do soluto [kJ/kg] 
 
 
 
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.20 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
8.5 COEFICIENTES DE CAPACIDADE PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 
 
Coeficiente individual de transferência de massa, kG, foi definido pela expressão: 
 
 ( )i,AG,AGA ppkN -= (1) 
 
Coeficiente global de transferência de massa, KG, foi definido pela expressão: 
 
 ( )*-= AG,AGA ppKN (2) 
 
Para coluna de parede molhada as equações (1) e (2) são convenientes, pois possui a área da 
superfície interfacial definida. 
Outros equipamentos de transferência de massa são impossíveis de se medir a área da superfície 
interfacial, por esta razão a é introduzido como área da superfície interfacial/volume. 
 
 
( )( ) ( )
( )( )al transversseção da áreatempo
idoA transfer de moles
ocomprimentdz
volume
linterfacia área
a
linterfacia áreatempo
idoA transfer de moles
N A
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
ú
û
ù
ê
ë
é
 ou 
 
 ( )dzppakdzaN i,AG,AGA -= (3) e 
 
 ( )dzppaKdzaN AG,AGA *-= (4) 
 
Onde: kGa = coeficiente de capacidade de transferência de massa individual 
 KGa = coeficiente de capacidade de transferência de massa global 
 
São combinados como um produto 
 
 
( )( )( )
( )( )( ) úû
ù
ê
ë
é
××
==
úû
ù
êë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
Pams
A de gmol
pressãovolumetempo
idoA transfer de moles
volume
linterfacia área
pressãolinterfacia áreatempo
idoA transfer de moles
ak
3
G
 
 
Na fase líquida L, temos: 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.21 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 ( )dzccakdzaN L,Ai,ALA -= (5) e 
 
 ( )dzccaKdzaN L,AALA -= * (6) 
 
 
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
××
solução de m
A de gmol
ms
A de gmol
ak
3
3
L 
 
 
 
8.6 ANÁLISES DE EQUIPAMENTOS DE CONTATO CONTÍNUOS 
 
Coeficiente de capacidade global constante 
 
Hipóteses: 
- isotérmico 
- contracorrente 
- KYa = constante 
 
O balanço de massa do componente A sobre o comprimento diferencial dz é descrito como: 
 
 ( )( ) ASAS dYGdXLal transversseção da áreatempo
idoA transfer de moles
== (1) 
 
A transferência de massa do componente A no comprimento diferencial dz é definido por: 
 
 ( )( ) ( )dzYYaKadzNal transversseção da áreatempo
idoA transfer de moles
AAYA
*-== (2) 
 
A transferência de A a partir da fase gasosa G para a fase líquida L fica: 
 
 ( )dzYYaKdYG AAY
A perdendo esta
G fase a
AS
*-=-
43421
 
 
ou 
*-
-=
AA
A
Y
S
YY
dY
aK
G
dz 
Equipamentos de transferência de massa 8.22 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 òò *-
-= 2A
1A
2
1
Y
Y
AA
A
Y
Sz
z YY
dY
aK
G
dz (3) 
 
 
 
 (4) 
 
 
Pela curva de equilíbrio e a linha de operação (fig. 19) podemos avaliar *- AA YY e calcular o 
recíproco *- AA YY1 plotando contra YA (fig. 20) e encontrando a área sob a curva. 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Avaliação de *- AA YY , a força direcional global 
 
YA 
YA1 
YA2 
XA2 XA1 XA 
Linha de operação 
Curva de equilíbrio YA 
*
AY 
{ ( )
44 344 21
numéricaou gráfica
integração
Y
Y
AA
A
Y
S
12
massa de trocade
ocompriment
1A
2A YY
dY
aK
G
zzz ò *-
=-= 
Equipamentos de transferência de massa 8.23 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
 
Figura 20 – Avaliação da integral ò *-
1A
2A
Y
Y
AA
A
YY
dY
 
 
Após obter a área sob a curva da figura 20, podemos avaliar o comprimento do trocador de massa 
pela equação (4). 
 
Para transferência da fase L para a fase G (desorção ou stripping) temos: 
 
( )dzYYaKdYG AAY
A ganhando esta
G fase a
AS -=
*
43421
 
 
{ ( )
44 344 2144 344 21
numéricaou gráfica
integração
Y
Y
AAG
A
Y
S
numéricaou gráfica
integração
Y
Y
AA
A
Y
S
12
massa de trocade
ocompriment
1A
2A
1A
2A pp
dY
aK
G
YY
dY
aK
G
zzz òò ** -
=
-
=-= (5) 
 
Em termos da fase líquida, para a transferência de massa de A a partir da fase G para a fase L, 
temos: 
 
 ( )dzXXaKdXL AAX
A ganhando esta
L fase a
AS
*-=
43421
 
 
 
*- AA YY
1
 
YA2 YA1 YA 
ò *-
= 1A
2A
Y
Y
AA
A
YY
dY
Área 
Equipamentos de transferência de massa 8.24 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 { ( )
44 344 21
numéricaou gráfica
integração
X
X
AA
A
X
S
12
massa de trocade
ocompriment
1A
2A XX
dX
aK
L
zzz ò
-
=-=
*
 (7) 
 
z é avaliado com o mesmo procedimento da fase G. 
 
Coeficiente de capacidade global variável 
 
O coeficientede capacidade global variável quando a inclinação da linha de equilíbrio varia dentro 
da região que incluem as concentrações bulk e interfacial. 
No caso se as linhas de equilíbrio tiver curvatura pronunciada, o cálculo exato é baseado sobre um 
dos coeficientes de capacidade individual. 
O balanço de massa para A sobre um comprimento diferencial dz é 
 
 ASAS dYGdXL = (1) 
 
YA = moles de A por mol livre de A, ambos na fase G, ou seja: 
 
 
A
A
A y1
y
Y
-
= , que diferenciando fica: 
 
 
( )2A
A
A
y1
dy
dY
-
= 
 
Substituindo em (1), 
 
 
( )2A
A
SASA
y1
dy
GdXLadzN
-
== (2) 
 
Sabemos que: 
 
 ( )dzppakdzaN i,AG,AGA -= (3) 
 
Combinando (2) com (3) 
 
 
( )( )2AGAiAGG
AGS
y1ppak
dyG
dz
--
-
= ou 
Equipamentos de transferência de massa 8.25 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
( )( )2AGAiAGG
AGS
y1yyaPk
dyG
dz
--
-
= 
 
A composição interfacial, yAi e xAi pode ser encontrada para cada ponto da linha de operação 
dirigindo uma reta até tocar a linha de equilíbrio. As inclinações destas retas são GL kk- para 
gráfico pA contra cA ou GL Pkck- para gráfico yA contra xA, ver figuras 21. 
 
 
 
Figura 21 Determinação da composição interfacial para transferência a partir da fase G para a fase 
L. 
 
 
Força direcional média logarítmica 
 
Hipóteses: 
Þ Para correntes relativamente diluídas 
Þ Curva de equilíbrio e linha de operação linear em termos de frações molares na faixa de 
concentração envolvida. 
Þ G1 » G2» G e L1 » L2» L 
 
Logo o balanço de massa aproximado: 
 
 ( ) ( )AAiAAi yyGxxL -=- (1) 
 
ou AA GdyLdx = (2) 
 
( )dzyyaPKadzN AAGA *-= (3) 
 
Definindo *-=D AA yy 
Equipamentos de transferência de massa 8.26 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
2A1A
21
A yydy
d
-
D-D
=
D
 
 
Como 
D
-=
-
-=
*
A
GAA
A
G
dy
aPK
G
yy
dy
aPK
G
dz 
 
Ou 
( )
D
D
D-D
-
-=
dyy
aPK
G
dz
21
2A1A
G
 
 
Integrando e rearranjando: 
 
 
( )
( )lnAA
2A1A
G yy
yy
aPK
G
z
*-
-
-= (4) 
 
onde: ( ) ( ) ( )( )
( ) úúû
ù
ê
ê
ë
é
-
-
---
=-
*
*
**
*
2AA
1AA
2AA1AA
lnAA
yy
yy
ln
yyyy
yy (5) 
 
Similarmente em termos de coeficiente de capacidade global para a fase líquida, temos: 
 
 
 
( )
( )lnAA
2A1A
L xx
xx
acK
L
z
-
-
=
*
 (6) 
 
onde: ( ) ( ) ( )( )
( ) úúû
ù
ê
ê
ë
é
-
-
---
=-
*
*
**
*
2AA
1AA
2AA1AA
lnAA
xx
xx
ln
xxxx
xx (7) 
 
EXEMPLO 8.5 
A amônia é absorvida a partir do ar a 293 K e 1,013 x 105 Pa de pressão em uma torre de recheio 
contracorrente de 0,5 m de diâmetro, utilizando água livre de amônia como absorvente. A vazão do 
gás de entrada é 0,2 m3/s e a vazão da água de entrada 203 kg/s. Sob estas condições o coeficiente 
de capacidade global, KYa, pode ser assumido para ser 
A
3 Ysm
mol
80
D××
. A fração molar da amônia 
será reduzida de 0,0825 para 0,003. A torre será resfriada, operação ocorrera a 293 K; os dados de 
equilíbrio do exemplo 3 poder ser usado. Determinar o comprimento do trocador de massa. 
Equipamentos de transferência de massa 8.27 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
 
X Y 
kg mol de NH3/ kg mol de NH3/ 
kg mol de H2O kg mol de H2O 
0.0164 0.0210 
0.0252 0.0320 
0.0349 0.0420 
0.0455 0.0530 
0.0722 0.0800 
 
 
y = -2.839x2 + 1.3098x
R2 = 0.9993
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08
X
Y
Dados de equilíbrio
Polinômio (Dados de equilíbrio)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipamentos de transferência de massa 8.28 
Samuel Luporini/DEQ/UFBA 
YA XA Y*A Y - Y* 1/(Y - Y*) [1/(Y - Y*)]médo DYA [1/(Y - Y*)]médoDYA 
0.003 0.00003 0.00004 0.00296 337.6823 
 299.6194894 0.007 2.097336426 
0.01 0.00477 0.00618 0.00382 261.5567 
 225.5574282 0.01 2.255574282 
0.02 0.01153 0.01472 0.00528 189.5582 
 166.3360319 0.01 1.663360319 
0.03 0.01830 0.02301 0.00699 143.1139 
 127.3647849 0.01 1.273647849 
0.04 0.02506 0.03104 0.00896 111.6157 
 100.4864383 0.01 1.004864383 
0.05 0.03183 0.03881 0.01119 89.35719 
 81.22129633 0.01 0.812212963 
0.06 0.03859 0.04632 0.01368 73.0854 
 66.96731932 0.01 0.669673193 
0.07 0.04536 0.05357 0.01643 60.84924 
 56.13770455 0.01 0.561377045 
0.08 0.05212 0.06055 0.01945 51.42617 
 47.72352068 0.01 0.477235207 
0.09 0.05889 0.06728 0.02272 44.02087 
 Área total 10.81528167 
 
 
y = -721827x3 + 150572x2 - 11309x + 365.43
R2 = 0.9986
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Y
1/
(Y
-Y
*)
 
	Programa_TM_05_1.pdf
	TM.pdf
	TM1.pdf
	TM2.pdf
	TM3.pdf
	TM4.pdf
	TM5.pdf
	TM6.pdf
	TM7.pdf
	TM8.pdf