2015310_19812_Ondas

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Princípio da Interferência de Ondas
yR (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)
= ym [ sen (kx – ωt + φ) + sen (kx – ωt)]
Mas, sen α + sen β = 2 sen [1/2 (α + β)] cos [1/2 (α - β)]
Sejam duas ondas senoidais que se propagam ao mesmo tempo 
numa corda esticada:
y1 (x,t)= ym sen (kx – ωt + )
y2 (x,t)= ym sen (kx - ωt)
Estas ondas só diferem por um ângulo de fase φ.
Aplicando o princípio da superposição, obteremos a equação 
da onda resultante na corda:
Princípio da Interferência de Ondas
Se φ = π yR (x,t) = 0
Logo,
yR (x,t) = 2 ym cos (φ/2) sen (kx – ωt + φ/2)
Se φ = 0 yR (x,t) = 2 ym sen (kx – ωt) Interferência 
Construtiva
Interferência Destrutiva
Interferência Construtiva
 = 0
X+
X+
X+
ym
ym
2ym
y1
y2
yR = y1 + y2
y +
Interferência Destrutiva
 = π 
X+
X+
X+
ym
-ym
y1
y2
yR = y1 + y2
y +
Ondas Estacionárias
sen α + sen β = 2 sen [1/2 (α + β)] cos [1/2 (α - β)]
Consideremos duas ondas senoidas iguais que se propagam 
simultaneamente em uma corda esticada, em sentidos 
opostos:
• y1 (x,t)= ym sen (kx – ωt)
• y2 (x,t)= ym sen (kx + ωt)
Pelo princípio da superposição, a onda resultante será:
yR (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t)
= ym [ sen (kx – ωt) + sen (kx + ωt)]
Lembrando de novo que:
Ondas Estacionárias
sen kx = ± 1 kx = π/2, 3π/2, 5 π/2 = (n + ½) π
(1) n= 0,1,2...
Vem que:
Equação de uma ONDA ESTACIONÁRIA
yR (x,t) = 2ym . sen kx . cos ωt
Neste caso, a amplitude depende da posição na corda!
• Há pontos com amplitude máxima (“barrigas”, “ventres”, 
antinodos ou antinós) em:
Ondas Estacionárias
kx = nπ
2πx/λ = nπ
Há pontos com amplitude zero (nodos, ou nós) em:
sen kx = 0 kx = 0,π, 2π, 3π = nπ (2) n= 0,1,2...
Da condição (1) temos:
kx = (n + ½)π
2 πx/λ = (n +½) π
x = (n + ½)/2
x = n λ/2
Da condição (2) vem:
Ondas Estacionárias e Ressonância
Para haver formação de ondas estacionárias, a corda deverá 
ser vibrada com determinadas frequências.
Se l é o comprimento da corda, e se ela está presa nas 
extremidades, então a condição de aparecimento de O.E’s vai 
ser:
l = múltiplo inteiro de ½ λ
Isto é: l = n λ/2 λ = 2l/n (n = 1,2,3,...)
Mas v= λf λ = v/f logo,
Frequências de Ressonância n = 1,2,3,...
lnvf .2/.
l
 
.2
1.
1
l
v
f 
Ventre
12 2 
.2
2.
f
l
v
f 
VentreVentre
Nó
●
13 3 
.2
3.
f
l
v
f 
● ●
Ventre
Nó
Ventre
Nó
Ventre
14 4 
.2
4.
f
l
v
f 
Ondas Sonoras
meio do densidade 
"compressão de módulo"
e velocidad
:onde




B
v
v
v
PB


São ondas mecânicas longitudinais que podem se propagar 
através de um meio gasoso, líquido ou sólido.
Velocidade de Propagação:
B/ρv 
Variação da 
pressão
Variação 
relativa do 
volume
No ar, 20º, 1 atm,  343 m/s

Ondas Sonoras
Intensidade e nível sonoro;
Há sons fracos e sons fortes. Então, além da freqüência e do 
comprimento de onda, podemos mencionar a intensidade do 
som (I).
energia de ão transmissde 
Média 
Área
Razão
I 
Unidade S.I.: W/m²
Ondas Sonoras
Define-se ainda o nível sonoro:
0
10log).10(
I
I
dB
Onde:
I0= “intensidade padrão de referência” = 10
-12 W/m²
Unidade: “decibel”
Limite inferior da 
audição humana
NOTA: Se I = I0 β = 0, como seria de se esperar !
Ondas Sonoras
ALGUNS NÍVEIS SONOROS (dB)
Limite da audição 0
Arrastar de folhas 10
Assobio (a 1 m de distância) 20
Rua de cidade, sem tráfego 30
Escritório, sala de aula 50
Conversação normal (a 1 m) 60
Martelo hidráulico (a 1 m) 90
Banda de rock 110
Limiar de dor 120
Turbina a jato (a 50 m) 130
Foguete Saturno (a 50 m) 200
Batimentos
tss m 11 cos. 
tss m 22 cos. 
Formem-se quando duas ondas com frequência semelhantes se 
superpõem. A ONDA RESULTANTE terá amplitude 
periodicamente variável,gerando dois máximos de amplitude 
por ciclo. Cada máximo chama-se “batimento”.
Demonstração:
Sejam duas ondas sonoras
Superpondo as ondas


















































2
1
cos.
2
1
2.coscoscos MAS
coscos 2121 ttssss mR
Ondas Sonoras
Resumindo:
Propriedades Básicas do Som:
f pequena
• INTENSIDADE: “som alto” ou “som baixo”
• FREQUÊNCIA: ‘som grave” ou “som agudo”
f grande
• TIMBRE: ...
Batimentos
t

cos.t'.cos2.ss
:fica (1) equação a
2
1
 e 
2
1
'
mR
2121




















Então, obtemos:






























  ttss mR 2121
2
1cos.
2
1cos..2 (1)
Definindo:
Amplitude da O.R
Batimentos
21bat 
2121bat 
f-ff portanto, E
2
1
2'2
:queconcluir então, fácil, É
2x/ciclo) (ocorre
máxima será amplitude 1t 'cos Quando







 

Efeito Doppler
É a alteração da frequência percebida de uma onda, 
devido ao movimento da fonte, e/ou do 
observador.
a)Observador móvel e fonte parada:











 
v
vv
ff
d
'
+ = quando o detector 
se aproxima da fonte
- = quando se afasta
Onde:
f ’ = frequência 
percebida
f = frequência emitida
v = velocidade de propagação da onda
vd= velocidade do detector (observador)
Efeito Doppler
’

’
ff '
 '
 '
''. fvsom 
''. fvsom 
fvsom .
ff '
Efeito Doppler














svv
v
ff '
b) Fonte móvel e observador parado:
+ = quando a fonte se 
afasta
- = quando se aproxima
Onde:
vs= velocidade da fonte
c) Fonte e observador em movimento:














s
d
vv
vv
ff '
Caso mais geral
Efeito Doppler
’

’
ff '
 '
 '
''. fvsom 
''. fvsom 
fvsom .
ff '
Efeito Doppler






Fonte
S
S
S
S
Observador
D
D
D
D 
