1412270 Caderno de Física 1 2 semestre 2018 (1)

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Belo Horizonte, 2º semestre de 2018 
 
 
 
 
 
 
 
Índice 
 
 
Critérios de avaliação da disciplina ............................................................................................... 3 
Medições e Incertezas......................................................................................................................................... 5 
Medições Diretas, Indiretas e Propagação de Erros .......................................................... 11 
Gráficos e Ajustes................................................................................................................................................ 21 
Movimento Unidimensional...................................................................................................................... 32 
Posição, Deslocamento e Velocidade .............................................................................................. 37 
Movimento de um projétil......................................................................................................................... 41 
Composição de forças..................................................................................................................................... 44 
Equilíbrio de um móvel em um plano inclinado................................................................. 47 
Atrito Estático e Cinético ........................................................................................................................ 51 
Constante Elástica de Molas................................................................................................................... 56 
Deformação Elástica de uma Haste ................................................................................................ 60 
Histerese Mecânica............................................................................................................................................. 63 
Colisões - Coeficiente de Restituição .............................................................................................. 66 
Coeficiente de Restituição de uma bolinha ............................................................................. 69 
Colisões Perfeitamente Inelásticas..................................................................................................... 71 
Determinação do Momento de Inércia de um cilindro .............................................. 74 
Movimento Combinado de Rotação e Translação ........................................................... 77 
Rotação, Toque e Momento angular............................................................................................. 80 
ANEXO I: ORIENTAÇÕES GERAIS PARA REDAÇÃO De RELATÓRIOS TÉCNICOS. 85 
Referências Bibliográficas ............................................................................................................. 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO da disciplina 
 
Os critérios de avaliação das atividades realizadas nas disciplinas Laboratório de Física Geral I, 
Laboratório de Física Geral II, Laboratório de Física Geral III e Laboratório de Física, ofertadas 
pelo Departamento de Física e Química nos diversos campi e unidades, são: 
 
1. DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS: as disciplinas supracitadas deverão ter a pontuação 
distribuída em duas provas no valor de 30 (trinta) pontos e 40 (quarenta) pontos em 
atividades práticas. 
 
2. PROVAS: todas as provas devem ser individuais e com consulta apenas aos relatórios e 
cadernos de anotações. 
a. As provas devem conter questões relacionadas às atividades práticas realizadas em 
laboratório: metodologia, análise de dados, e interpretações teóricas. 
 
3. ATIVIDADES PRÁTICAS: os 40 (quarenta) pontos de atividades práticas devem ser 
distribuídos conforme a seguir: 
a. No mínimo 20 (vinte) pontos devem ser distribuídos em relatórios técnicos: 
i. Devem ser avaliados no mínimo 5 (cinco) relatórios técnicos (individuais); 
ii. Todos os relatórios técnicos devem seguir o padrão indicado nas 
“Orientações Gerais” anexadas nos cadernos de roteiros; 
iii. Cada professor (a) deve expor claramente aos seus alunos, nos primeiros 
dias de aula, os critérios adotados nas correções de tais relatórios 
técnicos; 
iv. Os relatórios devem ser devidamente corrigidos e devolvidos aos alunos na 
aula seguinte à data da entrega. 
b. O restante dos pontos pode ser distribuído à critério do(a) professor(a); 
i. Exemplos: caderno de anotações, vídeos, testes, apresentações e etc. 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Medições e Incertezas 
 
1. Introdução 
 
 A Física – assim como todas as outras ciências – apoia-se na observação sistemática dos 
fenômenos naturais para sustentar as teorias que permitem abordar toda uma classe de 
fenômenos semelhantes com as mesmas regras. As regras gerais, ou leis da Física, são as 
ferramentas utilizadas para explicar a dinâmica das grandezas físicas e a relação entre elas (as 
grandezas físicas são as quantidades que podem ser mensuradas). Uma boa fundamentação das 
leis da Física depende de métodos de medição e de procedimentos rigorosos para que os 
resultados das medições tenham reprodutibilidade. 
O resultado de uma medição deve especificar o valor da grandeza, a incerteza e a 
unidade. No Brasil, o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI) e as regras para a 
expressão dos resultados e das incertezas nas medições são definidas pela ABNT (Associação 
Brasileira de Normas Técnicas) e pelo INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização 
e Qualidade Industrial) [1]. 
Todas as medições de uma grandeza física são afetadas por uma incerteza, devido ao 
processo de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não são 
medidas e, também, ao operador. A incerteza pode ser minimizada pela perícia do operador, 
mas, jamais eliminada, e quanto menor o seu valor mais confiável ou mais preciso é o resultado. 
Os resultados das medições devem ser expressos de modo tal que se possa avaliar a precisão 
com que foram feitas. 
A forma mais comum de se expressar o resultado da medição de uma grandeza 𝑥 é 
(𝑥 ± ∆𝑥)[unidade] (1) 
em que ∆𝑥 é a incerteza, que deve ser escrita com, no máximo, dois algarismos 
significativos1.Existem métodos diferentes para se estimar o valor de ∆𝑥. A escolha do método 
depende dos procedimentos adotados para medição de 𝑥 e se a medição é direta ou indireta. 
Uma medição é direta quando o resultado é lido diretamente no instrumento utilizado e indireta 
quando o resultado é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação 
funcional entre elas. 
 
1 Ao contar os algarismos significativos de uma medição, devemos observar que o 
algarismo zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo. Assim, 
 
6 
• 0,00082 tem apenas dois algarismos significativos (8 e 2), pois os zeros não são 
significativos. 
• 80200 tem cinco algarismos significativos, pois aqui os zeros são significativos. 
• 0,000802 tem três algarismos significativos, pois os zeros à esquerda do algarismo 8 não 
são significativos. 
Nas atividades I e II estudaremos algumas regras relativas à avaliação e à expressão dos 
resultados de uma medição. Optou-se pela apresentação de métodos simplificados, mas que, 
ainda assim, satisfazem os propósitos gerais das disciplinas de laboratório de Física Geral. 
 
2. Parte Experimental - Valor Médio e Desvio Médio 
 
 
Objetivo: Determinar o tempo de queda de uma esfera com sua respectiva incerteza e avaliara 
precisão e a acurácia do resultado. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro e régua. 
 
Procedimentos: 
1. Abandone a esfera de uma altura ℎ e meça o tempo 𝑡 de queda. Como o resultado 
depende muito do reflexo do operador, é aconselhável repetir este procedimento 10 vezes. 
Anote os resultados na Tabela 1. 
 
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑡 (s) 
Tabela 1: Tempo de queda de uma esfera medido 10 vezes. 
 
2. Determine o valor mais provável para o tempo de queda através de uma média aritmética. 
 
3. A incerteza ∆𝑡 da medição é identificada com o desvio padrão definido como 
∆𝑡 = 
1
𝑛
.∑|𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|
𝑛
𝑖=1
 , (2) 
em que 𝑡𝑚𝑒𝑑 é o tempo médio, 𝑛 é o número de medidas e 𝑡𝑖 é a medida de ordem 𝑖. Calcule o 
desvio médio, expresse o resultado como em (1) e anote-o no retângulo abaixo. 
 
 
 
 
7 
Se o resultado encontrado é, por exemplo, 𝑡 = (0,62 ± 0,11) 𝑠, seria incorreto expressar 
esse resultado em qualquer das formas seguintes; 
 
(0,62 ± 0,1128) 𝑠 - Nas normas da ABNT, recomenda-se que a incerteza da medição seja 
fornecida com, no máximo, dois algarismos significativos. Assim, mesmo que o processo de 
cálculo do desvio médio tenha fornecido o valor 0,1128, a norma recomenda que ele seja escrito 
como 0,1 ou 0,11. Se o algarismo abandonado for igual ou maior que 5, acrescenta-se uma 
unidade ao algarismo que permaneceu. Caso se faça a opção por escrever a incerteza com um 
algarismo significativo, o resultado deve ser escrito na forma 𝑡 = (0,6 ± 0,1)𝑠. 
 
(0,6185 ± 0,11) 𝑠 - Mesmo que o processo de cálculo do valor médio tenha fornecido o valor 
0,6185, como a incerteza é de centésimos de segundo, não faz sentido indicar o resultado com 
precisão maior que centésimos de segundo, ou seja, os algarismos 8 e 5 não são significativos e 
não devem ser escritos. 
 
4. Anote, na Tabela 2, os resultados para 𝑡𝑚𝑒𝑑 e ∆𝑡 encontrados pelos grupos. Qual é o 
resultado mais preciso? 
A resposta desta questão é obtida a partir do cálculo do desvio médio percentual, definido 
como 
∆𝑡
𝑡𝑚𝑒𝑑
 𝑥 100. 
O resultado com menor desvio médio percentual é o mais preciso. 
 
Grupo tmed (s) ∆t (s) ∆t (%) 𝑔 (m/s2) ∆𝑔(%) 
1 
2 
3 
4 
Tabela 2: Tempo médio, tmed, de cada grupo, com os respectivos valores do desvio médio, ∆t e desvio médio 
percentual, ∆t (%). Gravidade, g, obtida com o tempo médio e seu desvio percentual com relação ao valor 
esperado,∆𝒈 (%). 
 
5. Qual é o resultado mais acurado, isto é, mais próximo do valor verdadeiro? 
A resposta desta questão pode ser obtida utilizando a expressão matemática que relaciona 
a posição de um corpo em movimento uniformemente acelerado e o tempo, 
 
8 
ℎ = 
𝑔𝑡2
2
. 
Uma vez que temos ℎ e t podemos determinar a aceleração da gravidade 𝑔 e o quanto se 
desvia do valor verdadeiro ou convencional (9,81m/s2) e, assim, verificar qual grupo realizou as 
medidas que fornecem um valor do tempo de queda - consequentemente 𝑔 - de forma mais 
acurada. 
Calcule o valor de 𝑔 e o desvio percentual com relação ao valor esperado, definido como 
∆𝑔 =
|𝑔 − 9,81|
9,81
 𝑥 100 % 
Anote os resultados na Tabela 2. O resultado com menor desvio percentual com relação ao valor 
esperado é o mais acurado. 
 
6. O resultado com maior precisão é, necessariamente, o mais acurado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________________________________________________________________ 
Observação: Quando o número de medidas for muito grande (𝑛 > 100), a incerteza do resultado 
será determinada pelo desvio padrão da média. Segundo a teoria matemática dos erros, que 
consiste exatamente em associar a uma certa medida não o erro que se comete, mas um 
intervalo de valores dentro do qual o valor verdadeiro tem uma determinada probabilidade de 
estar, a incerteza padrão da medição é identificada com o desvio padrão da média, através da 
relação 
∆𝑡 = √(
1
𝑛(𝑛 − 1)
∑|𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|2
𝑛
𝑖=1
) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
Determinação do Tempo de Reflexo de uma Pessoa (Opcional) 
 
Cada pessoa reage a um dado estímulo após um certo tempo (tempo de reflexo ou tempo 
de reação). Tais tempos são importantes em várias situações do dia a dia, por exemplo, no 
trânsito. É útil saber quanto tempo uma pessoa demora a reagir a uma situação inesperada. 
 
Fonte: Carlos Magno Sampaio – Curso de extensão no Ensino Fundamental, USP Leste (2008). 
 
 
 
Objetivo: Determinar o tempo de reação de um grupo de alunos. 
 
10 
Material Utilizado: Uma régua milimetrada. 
 
Procedimentos: 
1.O aluno A segura uma régua milimetrada em posição vertical de tal maneira que o zero fique 
entre o indicador e o polegar do aluno B. 
2.O aluno A abandona inesperadamente a régua e o aluno B tenta pegá-la no menor tempo 
possível. Mede-se, então, a distância ℎ a partir do zero. 
3.Determine pelo menos 8 vezes essa distância para obter o valor mais provável através de uma 
média aritmética. Anote os resultados na Tabela 3. 
4.Determine a precisão das medições com o cálculo do desvio médio. Anote o resultado na 
Tabela 3. 
5.Determine o tempo de reflexo do aluno B a partir do valor mais provável hmed e da equação de 
queda livre, 
ℎ =
𝑔𝑡2
2
, 
em que 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2. 
6.Repita os procedimentos anteriores para obter o tempo de reflexo dos outros alunos do grupo. 
 
 
Aluno A B C D E 
𝒉𝟏(m) 
𝒉𝟐(m) 
𝒉𝟑(m) 
𝒉𝟒(m) 
𝒉𝟓(m) 
𝒉𝟔(m) 
𝒉𝟕(m) 
𝒉𝟖(m) 
𝒉𝒎𝒆𝒅 ± ∆𝒉)m 
𝒕(s) 
Tabela 3: Distância de queda da régua e o tempo de reflexo de cada aluno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Medições Diretas, Indiretas e Propagação de Erros 
 
 
1. Introdução 
 
• Medições Diretas 
 
Imagine que você esteja realizando uma medida qualquer, como, por exemplo, a medida 
do comprimento de uma barra, figura 1. Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 
1mm. Ao tentar expressar o resultado dessa medida, você percebe que ela está compreendida 
entre 143 mm e 144 mm. A fração de milímetro que deverá ser acrescentada a 143 mm terá de 
ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1mm. 
Para fazer essa avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 143 mm e 144 mm 
subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada 
a 143 mm, poderá ser obtida com razoável aproximação. Na Figura 1 podemos avaliar a fração 
mencionada como sendo 5 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser expresso 
como 143,5 mm. 
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1, 4 e 3, pois eles foram obtidos 
através de divisões inteiras da régua, ou seja, você tem certeza deles. Entretanto, o algarismo 5 
foi avaliado, isto é, você não tem certeza sobre seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como 
sendo 4 ou 6, por exemplo. Por isto, esse algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso. 
 
 
Figura 1: Comprimento 𝒍 de uma barra medido com uma régua milimetrada. O resultado é 𝒍 = (𝟏𝟒𝟑, 𝟓 ±
𝟎, 𝟓)𝒎𝒎. Os algarismos 1, 4 e 3 são certos e o algarismo 5 é duvidoso. A incerteza avaliada nesta medição é 
0,5 mm, metade da menor divisão da escala da régua. 
 
A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por 
exemplo, como 42 cm e 42,0 cm, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o 
algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é 
 
12 
certo, sendo o zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo,resultados como 7,65 kg e 7,67 kg, 
por exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, a incerteza pode ser encontrada 
usando-se diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar-se o bom senso. Uma regra 
amplamente difundida é a de que a incerteza de uma medida isolada (erro de leitura) deve ser a 
metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir o 
comprimento da barra da Figura 1, alguém poderia considerar como incerteza a metade de uma 
unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. Assim, a medida do 
comprimento da barra seria escrita como l = (143,5 ± 0,5) mm. O resultado escrito dessa maneira 
indica que há uma incerteza de 0,5 mm na determinação do comprimento da barra. Entretanto, se 
essa régua for usada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro que a incerteza não 
mais poderá ser de 0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a 
medida eleva muito a incerteza que poderá ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão 
difundida de que a incerteza é a metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito 
cuidado. 
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com 
ponteiro, tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um 
valor. Se o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como incerteza a própria precisão 
do instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão 
da escala utilizada [2]. Se houver oscilação, é mais razoável calcular a incerteza a partir dos 
limites desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de 
oscilação. Como exemplo, considere que a única informação que um operador tem sobre uma 
medição de uma grandeza é que seu valor se situa entre os limites 𝑦𝑚𝑖𝑛 e 𝑦𝑚𝑎𝑥 . Assim, é 
aceitável supor que 𝑦 pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo com igual probabilidade 
(distribuição retangular). Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é dado por 
𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑦𝑚𝑖𝑛
2
, 
e a incerteza padrão, estimada como desvio padrão dessa distribuição, é dada por 
∆𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2√3
. 
O fator √3 decorre da distribuição retangular de probabilidade [2]. 
 
No caso de aparelhos digitais, a avaliação do desvio deverá ser feita como no caso 
anterior, através dos limites de oscilação, se houver oscilação, ou através da própria precisão do 
instrumento, se não houver oscilação. No caso de não se ter a informação da precisão do 
instrumento, pode-se considerar 3%. 
O desvio relativo é a razão entre a incerteza ∆𝑦 e o valor médio de y, 
 
13 
∆𝑦
𝑦
. 
O desvio percentual é o desvio relativo expresso em percentual, 
∆𝑦
𝑦
× 100%. 
 Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas, 
 
• Medições Indiretas 
 
É muito comum não ocorrer a medição direta de uma grandeza y. Nesses casos, o valor da 
grandeza é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional𝑦 =
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑁). Ao se expressar o resultado de 𝑦 obtido indiretamente a partir de cálculos, é 
importante apresentar qual é a incerteza associada a esse resultado, ou seja, qual é a 
consequência da propagação das incertezas. Abaixo segue um resumo de algumas regras úteis 
para determinação do desvio de uma grandeza medida indiretamente [2]. 
 
(i) Se y é a soma ou subtração de grandezas a, b, c,… então: 
∆𝑦 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 + ⋯ 
(ii) Se y é a multiplicação de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 = 𝑘 ∆𝑎. 
(iii) Se y é a divisão de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 =
∆𝑎
𝑘
. 
(iv) Se y é a multiplicação ou divisão de grandezas a, b, c, … então: 
∆𝑦
𝑦
=
∆𝑎
𝑎
+ 
∆𝑏
𝑏
+ 
∆𝑐
𝑐
+ … 
(v) Se y é a potência n de uma grandeza a, então 
∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑎
𝑎
 
2. Parte Experimental 
 
Objetivo:(i) Realizar medidas diretas e indiretas, (ii) expressar os resultados com suas 
respectivas incertezas e (iii) conhecer o paquímetro, micrômetro, dinamômetro e o transferidor. 
Material Utilizado: Paquímetro, micrômetro, dinamômetro e transferidor. 
 
14 
Paquímetro: Frequentemente utilizam-se para a medição de comprimento na indústria o 
paquímetro, algumas vezes chamado de calibre, e o micrômetro também chamado de Palmer ou 
parafuso micrométrico. 
 
 
Figura 2: (a) Paquímetro de precisão 0,05 mm. (b) Estimativa de um comprimento 𝒍 = 𝟐𝟒, 𝟖𝟓 mm. (Fonte: 
http://pt.wikipedia.org). 
O paquímetro faz uso de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier, cujo comprimento 
é de 9 vezes a menor divisão da escala principal, subdividida em 10 partes. A Figura 2(a) mostra 
as partes principais de um paquímetro. Ao fazer uma estimativa de um dado comprimento 𝑙 lê-se 
a quantidade de milímetros na escala principal. Em seguida, procura-se qual subdivisão do nônio 
coincide exatamente ao número de décimos de milímetro do comprimento medido. Examine a 
Figura 2(b). O comprimento 𝑙 medido é 24,85 mm. A precisão do paquímetro é 0,05 mm. 
Micrômetro: A Figura 3 mostra as partes principais de um micrômetro. Para cada avanço 
de 1 mm do deslocamento axial do tambor na escala da bainha, o tambor gira 1 volta. Dividindo-
se a circunferência 2𝜋𝑅 do tambor em 100 partes, cada divisão da escala do tambor será de 0,01 
 
15 
mm. Portanto, a sensibilidade do micrômetro da Figura 3 é de 0,01 mm e a precisão é de 0,005 
mm. 
 
Figura 3: Micrômetro de sensibilidade 0,01 mm.(Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
A Figura 4 mostra um micrômetro com precisão de 0,001 mm. Os passos para uma leitura 
correta são: 
1º - leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha. 
2º - leitura dos meios milímetros na mesma escala. 
3º - leitura dos centésimos na escala do tambor. 
4º - leitura dos milésimos com o auxílio do nônio da bainha, verificando qual dos traços do nônio 
coincide com o traço do tambor. 
A leitura final será a soma dessas quatro leituras parciais. 
 
16 
 
Figura 4: Micrômetro de precisão 0,001 mm. (Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br) 
O dinamômetro é um instrumento usado para medir forças. Os modelos mais usuais 
apresentam uma estrutura tubular, chamados dinamômetros tubulares, como o exemplo da Figura 
5. Esses dinamômetros possuem escalas com divisões de 1/100 de sua capacidade máxima de 
carga (geralmente indicada no início do tubo da escala). Antes da utilização do dinamômetro é 
necessário ajustá-lo através do parafuso liberador da capa, de modo a nivelar o referencial 
(extremidade da capa) com a primeira marcação da escala. 
 
 
Figura 5: Dinamômetro tubular. Figura adaptada de [4]. 
 
Atenção: seguem algumas recomendações importantes para manutenção e conservação 
do dinamômetro: 
➢ Nunca utilize o dinamômetro além da capacidade máxima indicada! 
➢ Nunca solte o dinamômetro bruscamente quando ele estiver distendido! 
 
A Figura 6 mostra um diagrama de um transferidor semicircular (de 180º), que é um 
instrumento usado para medir ou construir um ângulo de uma dada medida. Existem 
transferidores circulares, de 360º. Observe que em geral esses instrumentos possuem duas 
escalas de ângulos que são crescentes no sentido anti-horário e decrescentes no sentido horário; 
assim pode-se medir ângulos em qualquer direção. 
 
17 
 
Figura 6: Esquema de um transferidor de 180º. Figura adaptada de [5]. 
 
 Para medir um ângulo entre duas retas deve-se posicionar a base (linha do 0º) sobre uma 
dasretas (“A”, no exemplo da Figura 6), de modo que o centro do transferidor fique no vértice 
entre as retas. O valor da escala na qual coincide com a outra reta (“B”) indica o ângulo formado 
entre as retas. Tendo em vista que a menor divisão desse transferidor da figura acima é de 1/10 
de grau, então a leitura indicada será 𝜃 = (120,00 ± 0,05)°. 
 
 
 
 
Procedimento 1: 
 
1) Com a régua meça o comprimento (A) e a largura (B) de uma folha de papel A4. Para medir a 
espessura (C) da folha utilize o paquímetro. Como é impossível medir diretamente a espessura 
de uma única folha com o paquímetro, meça inicialmente a espessura de diversas folhas e divida 
o resultado pelo número de folhas. 
Escreva os resultados com as incertezas. 
 
A = ________________________ 
 
B = ________________________ 
 
C = ________________________ 
 
2) Tente medir diretamente a espessura da folha com o micrômetro. Compare o resultado com 
aquele encontrado com o paquímetro. 
3) Determine o volume da folha e escreva o resultado com a incerteza. 
 
 
 
 
18 
Procedimento 2 (OPCIONAL) 
 
1) Meça as dimensões A, B e C da caixa, conforme ilustrado na Figura 1. Utilize primeiro a régua 
graduada em decímetro, depois em centímetro e finalmente em milímetro. Anote os resultados na 
Tabela 1. 
 
 
 
 
 
Figura 1: Caixa de dimensões A, B e C. 
 A B C 
dm 
cm 
mm 
Tabela 1: Dimensões A, B e C da caixa 
Questões: 
a) Todas as medidas foram expressas com o mesmo número de algarismos significativos? 
b) Você introduziu algum algarismo para expressar alguma medida? Em caso afirmativo, isto 
ocorreu com todas as réguas? 
 
No presente caso, é permitido “acrescentar” um algarismo além dos que temos certeza ou que 
nos informa a régua, mesmo que isto seja praticamente impossível para a resolução de nossa 
visão. Desta maneira, o valor por nós expresso carregará consigo um erro (desvio) devido a 
nossa aproximação e à precisão do instrumento utilizado. Como expressar, então, o valor de 
nossas medidas e informar qual o erro (desvio) cometido? As grandezas serão expressas 
acrescentando-se ao valor encontrado ± a metade da menor divisão do aparelho (desvio 
avaliado). Exemplo: (48,6 ± 0,5) cm. 
 
c) Qual das réguas mediu com maior precisão? Por quê? 
 
 
 
 
19 
 
d) Qual das grandezas (A, B ou C) está expressa com maior precisão, se medidas em 
milímetros? Para respondermos esta questão é importante entendermos o conceito de 
desvio relativo e/ou desvio percentual que é uma maneira de expressar de forma mais 
clara o quanto se “erra” ao especificar o valor medido de uma grandeza e de certa forma 
especificar a qualidade de um produto. O desvio relativo é o desvio avaliado dividido pelo 
valor medido (∆x/x) e o desvio percentual é o desvio relativo vezes cem [(∆x/x). 100]. 
Sendo assim, determine o desvio percentual das grandezas A, B e C, medidas na escala 
milímetros, e escreva a medida ± o desvio percentual. 
e) Calcule o volume da caixa e determine o desvio percentual e absoluto. Faça isso para as 
três escalas e anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
Volume ∆V/V (%) ∆V 
dm3 dm3 
cm3 cm3 
mm3 mm3 
Tabela 2: Volume da caixa e seu desvio percentual e absoluto. 
 
Procedimento 3: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do dinamômetro e determine sua incerteza. 
2) Fixe o bloco de madeira na extremidade do dinamômetro (suspenso verticalmente no tripé) e 
determine o valor do peso do bloco. 
 
Procedimento 4: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do transferidor e determine sua incerteza. 
2) Determine o valor do ângulo 𝜃 da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
BIBLIOGRAFIA 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
[2] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[3] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
[4] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
lançador com sensores e software. 
[5] Measuring an angle by a protractor. Disponível em <http://www.math-only-
math.com/measuring-an-angle-by-a-protractor.html>. Acesso em 24 de junho de 2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
Gráficos e Ajustes 
 
1. Introdução 
 
 Tabelas [1] 
O primeiro estágio de apresentação de uma série de medidas resultante de um 
experimento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de 
obtenção de dados. Embora em cada experimento se deva decidir pela forma de tabela mais 
conveniente, é mostrado a seguir um padrão de tabela que se adapta à maioria dos experimentos 
que serão feitos nas disciplinas experimentais de Física. Considere um experimento onde se 
aplica tensão elétrica 𝑉 entre 10 e 50 V em um resistor e mede-se a corrente 𝑖 gerada. A Tabela 1 
mostra uma forma conveniente de apresentar os valores obtidos: 
 
Tensão (V) Corrente (10-3 A) 
11,3 22,5 ± 0,2 
19,5 40,0 ± 0,4 
22,7 44,4 ± 0,4 
29,1 59,2 ± 0,6 
38,4 76,1 ± 0,8 
42,3 83,8 ± 0,8 
50,0 99,3 ± 0,9 
Tabela 1: Valores da tensão aplicada no resistor e a correspondente corrente. 
 
Deve-se observar que: 
• toda tabela deve ter uma legenda; 
• no cabeçalho da tabela é importante vir a especificação das grandezas que foram medidas 
com suas unidades e a estimativa dos erros, absolutos ou relativos, a elas associados; se 
cada medida apresentar um erro diferente, deve-se especificá-lo após cada uma; 
• o número de algarismos significativos das medidas deve ser compatível com os erros 
especificados. 
 
 Gráficos [1] 
A construção de gráficos associando as variáveis medidas em um experimento é bastante 
interessante, pois permite uma visualização rápida do tipo de dependência existente entre as 
grandezas estudadas. Existem vários tipos de gráficos, cada um se adequando melhor às 
 
22 
grandezas medidas e ao tipo de relações que se deseja fazer entre elas. Um tipo de gráfico 
bastante comum em experimentos de Física é aquele relacionando duas grandezas onde cada 
valor de uma está associado a um valor correspondente da outra. O gráfico a seguir, mostrando a 
relação entre as grandezas tensão e corrente representadas na tabela anterior, ilustra uma forma 
comumente utilizada. 
 
 
Figura 1: Exemplo de um gráfico: Tensão elétrica V versus corrente I em um resistor. 
 
Deve-se ter atenção que um gráfico deve conter: 
• Título e/ou legenda; 
• Nome da grandeza em cada eixo com sua respectiva unidade; 
• Dimensionamento correto da escala. 
 
Uma observação rápida do gráfico anterior permite identificar uma relação linear entre as duas 
grandezas analisadas. 
 
 Tratamento matemático de dados: Ajuste de uma reta por regressão linear 
 
O gráfico da seção anterior sugere, visualmente, que existe uma relação linear entre a 
tensão elétrica aplicada e a corrente no resistor. Isso significa que, procurando-se uma relação 
matemática que associe a corrente 𝑖 no resistor sujeito a uma tensão 𝑉, deve-se encontrar a 
equação de uma reta, ou seja, uma equação do tipo: 
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 
onde a constante 𝐴 representa a inclinação da reta e a constante 𝐵 o valor da grandeza 𝑦 quando 
𝑥 = 0. Para o caso do resistor podemos escrever especificamente 
𝑉 = 𝐴𝑖 + 𝐵 
 
23 
É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos medidos 
e, então,determinar os valores de A e B. Entretanto, existem processos matemáticos objetivos 
que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos medidos. O processo mais utilizado 
com esse intuito é chamado regressão linear. 
Geralmente, todo processo operacional de ajuste, ou seja, de obtenção das constantes A e 
B que definem a reta, será feito por calculadora ou computador. No entanto é interessante que se 
tenha conhecimento da origem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvido. 
 
Regressão Linear: 
 
Pode-se dizer que regressão linear é 
 
“a determinação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de medidas 
relacionando grandezas linearmente dependentes. ” 
 
Considere a série de pontos experimentais genéricos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) colocados no gráfico da Figura 2. 
 
 
Figura 2: Pontos experimentais definindo uma reta; 𝜹𝒊 é a diferença entre a ordenada 𝒚𝒊 medida para 𝒙𝒊 e o 
correspondente valor calculado pela equação da reta. 
 
Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua 
equação na forma 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, onde B é o ponto onde a reta corta o eixo vertical, em 𝑥 = 0 e 𝐴 é 
a inclinação da reta escolhida. 
Observando o gráfico da Figura 2 notamos que para o ponto 𝑥𝑖 , o valor experimental 
corresponde é 𝑦𝑖 , mas, pela reta escolhida, a ordenada correspondente a 𝑥𝑖 será 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵. Desta 
 
24 
forma, para cada ponto 𝑥𝑖existe uma diferença 𝛿𝑖, ou resíduo, entre o valor experimental medido e 
o valor de y calculado pela reta: 
𝛿𝑖 = 𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵) 
Alguns resíduos são positivos e outros negativos. Uma grandeza que daria uma visão de “quão 
boa” é a reta calculada, seria: 
𝐷 =∑(𝛿𝑖)
2 =∑[𝑦𝑖 − (𝐴𝑥𝑖 + 𝐵)]
2 (1) 
a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. 
 
A melhor reta que ajusta os pontos experimentais é aquela que minimiza D, ou seja, deve-
se achar os valores de A e B tais que D seja mínimo. 
 
Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínimo devemos ter como condição 
necessária, mas não suficiente: 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= 0 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= 0 
 
Derivando a equação 1 tem-se: 
𝜕𝐷
𝜕𝐴
= −2∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 𝑒 
𝜕𝐷
𝜕𝐵
= −2∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] 
 
Assim, para que D seja mínimo, devemos ter: 
∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖]𝑥𝑖 = 0 𝑒 ∑[𝑦𝑖 − 𝐵 − 𝐴𝑥𝑖] = 0 𝑒𝑞. 2 
que é um sistema de duas equações com duas incógnitas A e B que determinam a melhor reta 
𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵, que passa pelos pontos experimentais (𝑥𝑖, 𝑦𝑖). 
 
A solução do sistema de equações 2 é simples e dá como resultado os seguintes valores para A 
e B: 
𝐴 =
𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛∑𝑥𝑖2 − (∑𝑥𝑖)
2 
𝐵 =
1
𝑛
[∑𝑦𝑖 − 𝐴∑𝑥𝑖] 
Todos os somatórios apresentados aqui são para i de 1 até 𝑁, onde 𝑁 é o número de pares de 
valores experimentais (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). 
Uma descrição mais completa do método nos permitiria ainda determinar estatisticamente 
os desvios (incertezas) associadas às constantes A e B calculadas. Aqui serão dados apenas os 
resultados dos cálculos destes desvios: 
 
25 
∆𝐴 =
𝐷
(𝑛 − 2)√𝑛∑𝑥𝑖2 − (∑𝑥𝑖)
2
 𝑒 ∆𝐵 =
𝐷
(𝑛 − 2)
√
∑𝑥𝑖2
𝑛∑𝑥𝑖2 − (∑𝑥𝑖)
2 
 
Observações 
1) Existe um parâmetro estatístico, chamado coeficiente de determinação, que permite avaliar a 
qualidade do ajuste. 
 
2) No método da regressão linear, todos os pares ordenados têm a mesma importância. Em 
alguns casos, condições físicas impõem que alguns pontos tenham mais importância que outros 
(muitas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela origem). Neste caso, você pode entrar com 
os correspondentes pares de valores várias vezes para aumentar sua importância nos cálculos. A 
reta tenderá a passar mais próxima deste ponto. 
 
Considerações gerais 
 
O processo de superpor uma curva descrita por uma equação a um conjunto de pontos 
experimentais não se aplica apenas quando a relação entre as grandezas é linear. Sempre que 
existir algum modelo ou previsão teórica para a relação matemática entre as grandezas, é 
possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva correspondente com os resultados 
experimentais. O método matemático genérico que permite esse tipo de ajuste é chamado de 
“Método de Mínimos Quadrados”, pois, como foi exemplificado no caso particular do ajuste da 
reta, são procurados os parâmetros que minimizem o quadrado das diferenças 𝛿𝑖(eq.1) entre o 
valor medido e o correspondente valor calculado. Muitos programas atuais de tratamento de 
dados permitem fazer um ajuste diretamente de uma função matemática estabelecida pelo 
usuário. Na seção seguinte será apresentado um procedimento que permitirá, através da 
linearização de um gráfico, usar ainda a regressão linear apresentada na seção 3-1. 
 
Tratamento matemático de dados: linearização de gráficos 
 
É muito frequente em Física se lidar com fenômenos onde duas grandezas 𝑥 e 𝑦 se 
relacionam linearmente, ou seja, 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵. Nesses casos, a partir da regressão linear dos 
pares de resultados obtidos (𝑥, 𝑦), é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se 
ajusta aos pontos experimentais, conforme descrito na seção anterior. Usando os valores dessas 
constantes é possível tirar informações importantes relativas ao experimento. 
 
26 
Há, obviamente, experimentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é linear, 
o que significa que essas grandezas não estão relacionadas por uma equação de reta. Em 
situações como esta, a obtenção de informações relevantes ao experimento pode ser feita de 
mais de uma maneira. Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a Lei de 
Coulomb como exemplo. 
 
Linearização 
Considere uma situação física onde duas pequenas esferas carregadas positivamente com 
cargas 𝑞1 e 𝑞2 estão separadas de uma distância 𝑟. Existe uma repulsão elétrica mútua entre elas 
com forças iguais e opostas 𝑭1 e 𝑭2, como indicado na figura abaixo. 
 
Figura 3: Duas cargas positivas 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐 separadas por uma distância 𝒓, se repelem com forças 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐. 
 
Foi realizado um experimento, dispondo-se de um equipamento apropriado, onde se variou 
a distância 𝑟 entre as cargas e mediu-se o valor do módulo 𝐹 da força de repulsão. Os resultados 
encontram-se na Tabela 3 e o gráfico de 𝐹 versus 𝑟 é mostrado na Figura 4. 
A Lei de Coulomb afirma que a força elétrica entre duas cargas pontuais varia com o 
inverso do quadrado da distância entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se 
escrever a lei física, que deve corresponder ao presente experimento, na forma: 
𝐹 =
𝐶
𝑟2
 
 onde C é uma constante. 
 
 
27 
Definindo-se uma outra variável 𝑋 igual ao inverso do quadrado de 𝑟, tem-se uma relação 
entre 𝐹 e 𝑋 que é linear, ou seja, definindo-se uma grandeza 𝑋 = 1/𝑟2, tem-se 𝐹 = 𝐶 𝑋. Assim, 
construindo-se o gráfico de 𝐹 (ordenada) em função de 𝑋 (abscissa), se encontrará uma reta, pois 
𝐹 varia linearmente com o inverso do quadrado de 𝑟. Sendo assim, pode-se fazer uma regressão 
linear considerando as novas grandezas: 
 
Esses resultados são apresentados na Figura 5. 
 
Figura 5 – A força entre duas cargas elétricas é linear com o inverso do quadrado da distância entre elas. 
O procedimento para se linearizar um gráfico depende de cada situação, pois as equações 
envolvidas na análise do problema é que irão dar a “receita” do que deve ser feito para se 
encontrarem novas variáveis, que serão funções das anteriores, de maneira que elas tenham 
relação linear entre si. No casoaqui apresentado, o procedimento foi simplesmente representar a 
força e o inverso do quadrado da distância. 
 
O uso da função logaritmo. 
 
Uma maneira muito comum de se procurarem relações que linearizem um gráfico é aplicar 
a função logaritmo. Entretanto, deve-se ter o cuidado em utilizar esse expediente apenas em 
situações em que pelo menos uma das variáveis envolvidas no experimento esteja no expoente. 
Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a função logaritmo. 
 
28 
 Em um circuito simples, com uma fonte de corrente contínua e tensão 𝑉 ligada em série 
com um resistor de resistência 𝑅 e um capacitor de capacitância 𝐶, a corrente 𝑖 varia no tempo, 
durante o processo de carga do capacitor, através da seguinte relação: 
𝑖 =
𝑉
𝑅
𝑒−𝑡/𝑅𝐶 
Esta função exponencial decrescente pode ser linearizada com o uso da função logaritmo, pois, 
tomando-se o logaritmo de ambos os lados, tem-se uma nova relação matemática linear: 
ln 𝑖 = 𝐿𝑛 (
𝑉
𝑅
) −
𝑡
𝑅𝐶
 
 
𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 
sendo 
 
{
 
 
 
 
𝑌 = 𝑙𝑛 𝑖
𝑋 = 𝑡
 𝐴 = −
1
𝑅𝐶
 𝐵 = 𝑙𝑛 (𝑉 𝑅)⁄
 
 
O gráfico ln 𝑖 versus 𝑡 será uma reta decrescente com coeficiente angular 𝐴 = −1/𝑅𝐶 e 
coeficiente linear 𝐵 = 𝑙𝑛(𝑉/𝑅). Ao se fazer a regressão linear nos novos dados, os parâmetros A 
e B serão ajustados pelo método de mínimos quadrados. 
 
É importante chamar a atenção de que o processo de linearização de um gráfico consiste 
simplesmente em encontrar as ordenadas e abscissas adequadas de forma que a relação 
entre elas seja linear. Em várias situações o uso da função logaritmo pode ser o processo mais 
conveniente, mas não é sempre assim. A escolha da maneira mais conveniente para se fazer a 
linearização de um gráfico deve ser orientada no sentido de se obter, de forma mais simples, as 
constantes procuradas. 
 
2. Atividades 
 
1. A tabela abaixo mostra o deslocamento ∆𝑥 em função do tempo 𝑡 de uma partícula, em 
movimento uniforme, sobre uma superfície horizontal. 
 
(∆𝑥 ± 0,001) m 0 0,340 0,670 0,980 1,380 1,630 
𝑡 (s) ± 3% 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 
 
(a) Construa o gráfico ∆𝑥 versus 𝑡 no papel milimetrado. 
 
29 
 
(b) É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos medidos e, 
então, determinar os valores dos coeficientes angular A e linear B. O valor de B é a ordenada do 
ponto onde a reta corta o eixo y e o valor de A é a inclinação da reta, que pode ser calculada 
escolhendo-se dois pontos. Faça isso. 
 
(c) Qual é o significado físico das constantes A e B? 
 
(d) Construa, novamente, o gráfico ∆𝑥 versus 𝑡 , mas, com auxílio do programa Scidavis e 
determine as constantes A e B através de uma regressão linear. 
 
2. Uma partícula, em um plano horizontal, parte do repouso em um movimento com aceleração 
constante. A tabela abaixo mostra o deslocamento ∆𝑥 em função do tempo 𝑡. 
 
(∆𝑥 ± 0,001) m 0 0,210 0,440 0,830 1,230 1,810 2,420 3,170 
𝑡 (s) ± 3% 0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 
 
(a) Com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico ∆𝑥 versus t. Esse gráfico é linear? 
 
Em um movimento com aceleração constante, a posição varia no tempo através da 
relação: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
Como, inicialmente, a partícula estava em repouso (𝑣0 = 0) e ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, podemos escrever: 
 
∆𝑥 =
𝑎𝑡2
2
 
(b) Faça uma linearização da função anterior e construa um gráfico linear com os novos dados. 
Qual é o significado físico dos coeficientes angular A e linear B? Determine-os através de uma 
regressão linear. 
 
3. Sabemos que quando dois objetos, com temperaturas diferentes, são colocados em contato 
térmico, há transferência de calor do objeto mais quente para o mais frio, até ambos atingirem a 
mesma temperatura. Segundo a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de um 
corpo em contato com o ambiente à temperatura 𝑇𝑎 é dada por 
𝑑∆𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘∆𝑇, 
 
30 
em que ∆𝑇 é a diferença entre a temperatura da superfície do corpo (𝑇) e do ambiente (𝑇𝑎). É 
possível demonstrar que a solução dessa equação diferencial é 
∆𝑇 = ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡 
em que ∆𝑇0 é a diferença entre a temperatura do corpo e do ambiente no instante de tempo 𝑡 = 0. 
A constante 𝑘 depende da superfície do corpo exposta ao ambiente, assim como das 
características do meio que constitui o ambiente. A equação anterior pode ser escrita como 
𝑇 = 𝑇𝑎 + ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡.
 
A tabela a seguir mostra a temperatura em função do tempo da glicerina em contato com 
um fluxo de ar contínuo. 
(a) Com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico 𝑇 versus 𝑡. 
(b) Determine a constante 𝑘 e a temperatura ambiente 𝑇𝑎 através do ajuste de uma função 
exponencial (ou através de uma linearização). 
 
Tempo (min) ± 3% (Temperatura ± 0,5) 0C 
0 130,0 
1 116,5 
2 108,7 
3 91,1 
4 75,0 
5 62,0 
6 53,3 
7 47,0 
8 42,4 
9 38,8 
10 36,2 
15 28,0 
20 26,0 
25 25,5 
30 25,2 
35 25,2 
36 25,2 
37 25,2 
38 25,2 
 
 
 
 
31 
 
Bibliografia 
[1] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[2] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
Movimento Unidimensional 
 
1. Introdução 
 
Tudo se move. Mesmo as coisas que parecem estar em repouso. Elas se movem em 
relação ao Sol e às estrelas. Enquanto você está lendo isto, está se movendo a 
aproximadamente 107 000 quilômetros por hora em relação ao Sol [1]. Se uma pessoa caminha 
no interior de um trem em movimento, sua velocidade em relação ao piso do trem é diferente de 
sua velocidade relativa aos trilhos. O movimento é relativo. Quando dizemos que a velocidade de 
um carro é 60 km/h, queremos dizer que tal velocidade é relativa a um ponto fixo na estrada. A 
menos que seja dito outra coisa, sempre que nos referirmos à velocidade com que um objeto se 
move em nosso ambiente, estaremos supondo-a relativa a um ponto estacionário em relação à 
superfície da Terra. 
Uma forma compacta de descrever a posição de um objeto em movimento unidimensional 
é construir um gráfico da posição 𝑥 em função do tempo 𝑡, ou seja, um gráfico de 𝑥(𝑡). A partir 
dos dados de posição e tempo, podemos determinar a velocidade média, 
medv
, do objeto entre 
dois instantes 𝑡1 e 𝑡2 como: 
t
x
tt
xx
vmed


=
−
−
=
12
12
 (1) 
em que 𝑥1 e 𝑥2 são as posições nos instantes 𝑡1 e 𝑡2, respectivamente. Em um gráfico de 𝑥(𝑡), 
medv 
é a inclinação da reta secante que liga os pontos de coordenadas (𝑡1,, 𝑥1) e (𝑡2, 𝑥2). 
Objetos em movimento frequentemente sofrem variações em sua velocidade. Neste caso, 
a velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de 
tempo ∆𝑡 até torná-lo próximo de zero. Quando ∆𝑡 diminui, a velocidade média se aproxima cada 
vez mais de um valor limite, que é a velocidade instantânea: 
dt
dx
t
x
v
t
=


=
→
lim
0
 (2) 
Em um gráfico de 𝑥(𝑡) a velocidade instantânea 𝑣, em qualquer instante, é a inclinação da curva 
secante que representa a posição em função do tempo no instante considerado. 
Quando a velocidade do objeto varia, diz-se que o objeto sofreu uma aceleração. Para 
movimentos unidimensionais a aceleração média em um intervalo de tempo ∆t é:t
v
tt
vv
amed


=
−
−
=
12
12
 (3) 
 
33 
onde a partícula tem velocidade 𝑣1, no instante 𝑡1 e velocidade 𝑣2, no instante 𝑡2. A aceleração 
instantânea (ou, simplesmente aceleração) é dada por: 
dt
dv
t
v
a
t
=


=
→
lim
0
 
Graficamente, a aceleração instantânea em qualquer instante é a inclinação da curva tangente 
em um gráfico 𝑣(𝑡). 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivos: Aprender a construir e interpretar gráficos dos movimentos uniformes e variados 
unidimensionais. 
 
Material Utilizado: Plano inclinado com sensores e cronômetro. 
Procedimentos 1: Movimento Retilíneo Uniforme 
1. Monte o equipamento, conforme Figura 1 (a), com uma inclinação de 150. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 1: Esfera em um tubo inclinado com fluido viscoso (fonte: www.cidepe.com.br). 
 
2. Com auxílio do imã posicione a esfera, que está no interior do tubo com meio viscoso, a 20 
mm antes da marca 0 mm da escala – Figura 1 (b). 
3. Libere a esfera e meça o intervalo de tempo transcorrido desde a passagem da esfera pela 
posição 𝑥0 = 0 m até a posição 𝑥0 = 0,100 m. Repita o procedimento para as posições 
especificadas na Tabela 1. 
 
(𝑥 ± 0,001) m 0 0,100 0,200 0,300 0,400 
(𝑡 ± 3%) s 0 
Tabela 1: Posição x da esfera em função do tempo t, quando o ângulo de inclinação do tubo é 150. 
4. Com os dados da Tabela 1 e com auxílio do programa Scidavis, construa o gráfico de 
𝑥(𝑡). 
 
34 
5. Este gráfico é linear? Qual o significado físico da inclinação da reta (coeficiente angular)? 
6. Determine, através do gráfico de 𝑥(𝑡), o módulo da velocidade da esfera. 
7. No movimento retilíneo uniforme a velocidade é constante e a função posição em função 
do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑡. Então, escreva esta função para o movimento da esfera e 
determine a posição que a esfera deveria ocupar após 10 s de movimento. 
 
Procedimentos 2: Movimento Retilíneo Acelerado (Apenas para os laboratórios do Coração 
Eucarístico) 
1. Monte o equipamento, conforme a Figura 3, com uma inclinação de 20. 
 
Figura 3 Esfera metálica no Plano inclinado (fonte: www.cidepe.com.br) 
 
2. Libere a esfera do repouso, na calha lateral do plano inclinado, em 𝑥0 = 0 mm e meça o 
intervalo de tempo transcorrido até a esfera chegar à posição 𝑥 = 0,050 m. Repita o 
procedimento para as posições especificadas na Tabela 3 
 
(𝑥 ± 0,001) m 0 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 
(𝑡 ± 3%) s 0 
Tabela 3: Posição x da esfera em função do tempo t, quando o ângulo de inclinação do plano é 20. 
 
3. Com os dados da Tabela 3 construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
4. Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
5. O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida 
que o tempo passa? 
6. Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função posição em 
função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + (𝑎𝑡
2) 2⁄ . Fazendo-se 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 0, a função resume-se 
a 
 𝑥(𝑡) =
1
2
𝑎𝑡2 
Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor procedimentos simples para determinar 
experimentalmente a aceleração do objeto a partir dos dados da Tabela 3. 
 
 
35 
Procedimentos 3: Movimento Retilíneo Acelerado (Atividade para os laboratórios das 
unidades Contagem, Praça da Liberdade e São Gabriel) 
1. Monte o equipamento, conforme Figura 2, com uma inclinação de 50. 
 
Figura 2- Plano Inclinado CIDEPE com sensor (fonte: www.cidepe.com.br) 
 
2. A primeira faixa azul da régua sobre o objeto móvel deve tangenciar a abertura do sensor. 
Esta será a posição 𝑥0 = 0. 
3. Meça a posição do objeto móvel em função do tempo. Consulte as instruções de manuseio 
do multicronômetro. Anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
(𝑡 ± 3%) s (𝑥 ± 0,001) m 
0 0 
 0,018 
 0,036 
 0,054 
 0,072 
 0,090 
 0,108 
 0,126 
 0,144 
 0,162 
 0,180 
Tabela 2: Posição x do objeto móvel em função do tempo t. 
 
4. Com os dados da Tabela 2, construa o gráfico de 𝑥(𝑡). 
5. Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
6. O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida 
que o tempo passa? 
7. Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
 
36 
8. No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função 
posição em função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + (𝑎𝑡
2) 2⁄ . Fazendo-se 𝑥0 = 0 e 𝑣0 = 0, a 
função resume-se em 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡2 2⁄ . Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor 
procedimentos simples para determinar experimentalmente a aceleração do objeto a partir 
dos dados da Tabela 2. 
 
Bibliografia: 
[1] HEWITT, Paul G. Física Conceitual. 11ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
[2] CIDEPE Livro de atividades experimentais – Física Experimental Mecânica – Plano inclinado. 
[3] www.cidepe.com.br (consultado em 13 de fevereiro de 2015) 
[4] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1: 
mecânica. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
Posição, Deslocamento e Velocidade 
 
1. Introdução 
 
Em Física é fundamental estudar o movimento de uma partícula e o estudo do movimento 
só é possível a partir do conceito de localização da partícula em relação a um ponto considerado 
como origem de um sistema de coordenadas escolhido por nós. No nosso caso iremos trabalhar 
com o sistema de coordenadas cartesianas, mas poderíamos trabalhar com outro sistema de 
coordenadas se achássemos mais interessante. A partir da localização da posição da partícula 
em relação à origem do sistema de coordenadas, podemos dizer se sua posição se mantém fixa 
e a partícula está em repouso ou se a posição varia ao longo do tempo, indicando que a partícula 
está em movimento. Como a posição pode variar ao longo do tempo, para estudar o movimento 
precisamos também de um ou mais cronômetros para medir intervalos de tempo. Em uma 
trajetória retilínea a localização da partícula é feita com apenas uma coordenada, normalmente a 
coordenada 𝑥 ( no movimento de queda livre normalmente usamos a coordenada 𝑦. Quando a 
trajetória da partícula ocorre no espaço de três dimensões precisamos das coordenadas 
cartesianas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 , como foi estudado na disciplina Geometria Analítica. Cada ponto 𝑃 do 
espaço onde a partícula está, num determinado instante t, é representado através das 𝑥, 𝑦 e 𝑧 . 
Assim criamos uma associação biunívoca entre pontos do espaço e números reais. O ponto 
𝑃 está associado ao trio de números reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e vice-versa, sendo essa associação 
representada como 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). Quando a partícula se move ao longo do tempo podemos escrever 
as coordenadas como funções do tempo, 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡), sendo o instante de tempo t uma 
variável comum a todas as coordenadas, sendo chamado de parâmetro. O conjunto de pontos do 
espaço tridimensional por onde a partícula passa determina a trajetória da partícula, sendo que a 
cada ponto da trajetória localizamos a posição da partícula através de um vetor posição 
 
𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂� 
 
Para dois pontos quaisquer A e B da trajetória a localização desses pontos é feita através dos 
vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝑖̂ + 𝑦𝐴𝑗̂ + 𝑧𝐴�̂�e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑥𝐵𝑖̂ + 𝑦𝐵𝑗̂ + 𝑧𝐵�̂�. Para estudar o quando a partícula 
se desloca entre A e B, definimos o vetor deslocamento da partícula entre esses pontos como 
sendo 
 
∆𝑟 = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ ou ∆𝑟 = (∆𝑥)𝑖̂ + (∆𝑦)𝑗̂ + (∆𝑧)�̂� 
 
 
38 
A partir do conceito de deslocamento e do intervalo de tempo para ocorrer o deslocamento, 
podemos definir o vetor velocidade média da partícula entre os pontos A e B. O vetor velocidade 
média é definido como 
�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 =
∆�⃗⃗�
∆𝒕
 
 
mas também pode ser escrito como 
�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 =
∆𝒙
∆𝒕
�̂� +
∆𝒚
∆𝒕
𝒋̂ +
∆𝒛
∆𝒕
�̂� 
 
De acordo com essa definição, o vetor �⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 possui a mesma direção e sentido do vetor 
deslocamento ∆𝑟. Há também o conceito de velocidade escalar média, definida como a razão 
entre a distância percorrida pela partícula e o intervalo de tempo necessário para percorrer essa 
distância 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
O velocímetro dos carros e motos medem a velocidade escalar média, que é a velocidade 
independente da direção e do sentido. Embora os dois conceitos sejam úteis, o vetor velocidade 
média é mais utilizado na teoria. A partir de sua definição podemos definir o vetor velocidade 
instantânea e também trabalhar com os conceitos de vetores aceleração média e aceleração 
instantânea, assim como trabalhar com forças que atuam sobre uma ou mais partícula que são 
grandezas vetoriais. Nesta prática vamos aprender a trabalhar com os dois conceitos de 
velocidade, a vetorial e escalar. 
 
2 - Parte Experimental 
 
Objetivo: Aprender a construir os vetores posição de uma partícula como uma combinação linear 
de vetores unitários, calcular os vetores deslocamento e velocidade média e calcular a velocidade 
escalar media. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro e trena. 
 
Procedimentos: 
1. Escolha de um sistema de coordenadas cartesianas: Usando uma das extremidades da 
mesa como origem de um sistema de coordenadas cartesianas, estabeleça o sentido para os 
eixos coordenados 𝑥, 𝑦 e 𝑧. É a partir da escolha de um ponto de referência como sendo a 
origem e da orientação dos eixos que as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da 
trajetória são encontradas. Como sugestão, veja a figura abaixo. 
 
39 
 
2. Encontrando as coordenadas: Utilizando uma trena meça os valores das coordenadas 
𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴 e 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 para dois pontos A e B da rampa, como sugerido na figura acima. Os 
valores medidos serão as coordenadas dos pontos A e B, 
3. Construção dos vetores posição: Os vetores posição associados aos pontos A e B são, 
respectivamente, 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝑖̂ + 𝑦𝐴𝑗̂ + 𝑧𝐴�̂� e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑥𝐵𝑖̂ + 𝑦𝐵𝑗̂ + 𝑧𝐵�̂� . Substitua as coordenadas 
encontradas acima e encontre os vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ . 
4. Verificação dos valores das coordenadas encontradas: Com as coordenadas dos pontos 
A e B podemos encontrar o módulo dos vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ através do cálculo 
|𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ | = √𝑥𝐴2 + 𝑦𝐴2 + 𝑧𝐴2 e |𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ | = √𝑥𝐵2 + 𝑦𝐵2 + 𝑧𝐵2 
 
Calcule os módulos dos vetores posição acima e verifique, usando a trena, se os resultados 
obtidos são coincidentes com as distâncias entre a origem e o ponto A e entre a origem e o ponto 
B. 
5. Construção do Vetor deslocamento: Com os vetores 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ podemos construir o vetor 
deslocamento ∆𝑟 , com origem no ponto A e extremidade no ponto B, como mostra a figura 
abaixo. Como ∆𝑟 = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ , construa o vetor 
∆𝑟 = (∆𝑥)𝑖̂ + (∆𝑦)𝑗̂ + (∆𝑧)�̂� 
6. Verificação do vetor deslocamento obtido: Calcule o módulo do vetor deslocamento |∆ 𝑟 | =
√∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2. O resultado do módulo deve ser igual ao comprimento do segmento de 
reta que liga os pontos A e B, como mostra a figura abaixo. Usando a trena, verifique essa 
igualdade. 
 
7. Medida do intervalo de tempo: Um dos nossos objetivos é determinar o vetor velocidade 
média da esfera entre os pontos A e B. Para isso precisamos medir o intervalo de tempo 
necessário para que a esfera percorra a trajetória entre esses pontos. Para medir esse 
intervalo de tempo libere a esfera do ponto A e simultaneamente, acione o cronômetro. 
 
40 
Quando a esfera passar pelo ponto B, pare o cronômetro. A leitura no cronômetro será o valor 
de t. O intervalo de tempo t é uma medida que não se reproduz se a medida for feita mais 
de uma vez (iremos ver esse tipo de medida e como trabalhar com ela na prática da próxima 
semana). Pelo fato de haver um valor diferente para cada medida do intervalo de tempo, 
iremos repetir a medida 10 vezes e escolher o valor de t como sendo o valor médio. 
Preencha a tabela abaixo e na última coluna complete com o valor 
∆𝒕 =
𝟏
𝟏𝟎
∑∆𝒕𝒊
𝟏𝟎
𝒊=𝟏
 
∆𝑡1 ∆𝑡2 ∆𝑡3 ∆𝑡4 ∆𝑡5 ∆𝑡6 ∆𝑡7 ∆𝑡8 ∆𝑡9 ∆𝑡10 t 
 
 
8. Vetor velocidade média: Conhecendo o vetor deslocamento ∆𝑟 e o intervalo de t, que 
calculamos no item anterior, podemos calcular o vetor velocidade média a partir da equação 
�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 =
∆�⃗⃗�
∆𝒕
=
∆𝒙
∆𝒕
�̂� +
∆𝒚
∆𝒕
𝒋̂ +
∆𝒛
∆𝒕
�̂� 
Faça os cálculos e escreva o vetor �⃗�𝑚𝑒𝑑 em termos dos vetores unitários 𝑖̂, 𝑗̂ 𝑒 �̂� 
9. Módulo da velocidade média: Agora que temos o vetor velocidade média podemos 
encontrar o módulo desse vetor, ou seja o valor da velocidade média através da equação 
|�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| = √(
∆𝒙
∆𝒕
)
𝟐
+ (
∆𝒚
∆𝒕
)
𝟐
+ (
∆𝒛
∆𝒕
)
𝟐
 
 
10. Velocidade escalar média: Podemos agora calcular a velocidade escalar média e comparar 
o resultado com o valor obtido com o módulo da velocidade média calculado acima. Com a 
trena meça o comprimento 𝑠𝐴𝐵 da curva entre os pontos A e B. O valor da velocidade escalar 
média é calculado por 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑠𝐴𝐵
∆𝑡
 
Compare os resultados de |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| e de 𝑣𝑒𝑚 
 
11. Questões: 
a. Compare o valor do módulo da velocidade média |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| calculado acima com o resultado 
da fração |∆�⃗⃗�|/∆𝒕 , sendo que o valor de |∆�⃗⃗�| foi calculado no item 6 e t no item 7. Os 
valores de |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| e |∆�⃗⃗�|/∆𝒕 são iguais ou diferentes? O que você esperava obter e por 
quê? 
b. Mostre que a igualdade ∆𝑟 = 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ − 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ é obtida a partir da regra do paralelogramo que foi 
estudada em Geometria Analítica. 
 
41 
movimento de um projétil 
 
1. Introdução 
 
Um projétil é um corpo que se move em um plano vertical com velocidade inicial �⃗� e com 
uma aceleração constante igual à aceleração de queda livre �⃗�, dirigida para baixo. A Figura 1 
mostra a trajetória de um projétil após abandonar uma superfície horizontal com velocidade 
horizontal �⃗� e onde o efeito do arraste do ar pode ser ignorado. Durante esse movimento 
bidimensional deste projétil a velocidade �⃗� aumenta continuamente. Como o vetor aceleração da 
gravidade �⃗� só possui componente vertical, o projétil não possui aceleração horizontal. Portanto 
de acordo com a figura 1, a componente horizontal da velocidade permanece constante e a 
componente vertical aumenta continuamente. 
O movimento de projéteis parece complicado, mas temos a seguinte propriedade 
simplificadora (demonstrada experimentalmente): 
No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são 
independentes, ou seja, um não afeta o outro e ocorrem ao mesmo tempo. 
 
 
Figura 1: Trajetória de um projétil ao abandonar uma superfície horizontal com velocidade �⃗⃗⃗�. São mostradas 
as velocidades em alguns pontos ao longo da trajetória, juntamentecom suas componentes. Observe que a 
componente horizontal da velocidade permanece constante, mas a componente vertical aumenta 
continuamente. 
 
Esta propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento 
bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem 
resolvidos, um para o movimento horizontal (com aceleração nula), no qual 
tvx x=
 (1) 
e outro para o movimento vertical (com aceleração constante igual a �⃗� para baixo), no qual 
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 𝑡 + 
𝑔𝑡2
2
 (2) 
 
42 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Comparar as características dos movimentos ao longo dos eixos x e y, ou seja, verificar 
se o movimento do projétil é descrito pelas equações (1) e (2). 
 
Material Utilizado: Uma esfera de metal, uma rampa de altura ajustável, uma régua e um 
cronômetro. 
 
Procedimentos: 
 
 
Figura 2: Uma esfera parte do repouso no ponto A e abandona uma superfície horizontal ao passar pelo 
ponto B. A esfera percorre uma distância horizontal x, com velocidade horizontal constante, até chocar-se 
com um anteparo. 
 
1. Abandone a esfera no topo da rampa, a uma altura h em relação à mesa. 
2. Posicione o anteparo a uma distância horizontal 𝑥 da rampa. 
3. Meça o tempo do movimento da esfera, a partir do momento em que deixa a rampa até se 
chocar com o anteparo. 
4. Meça a distância vertical 𝑦 que a esfera percorre da posição B até se chocar com o 
anteparo. Varie a distância 𝑥 e repita os procedimentos anteriores. Anote todos os 
resultados na Tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
𝒙 (m) 𝒚 (m) 𝒕(s) 
0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
0,500 
0,600 
0,700 
0,800 
Tabela 1: Distância horizontal x e distância vertical y que o projétil percorre em um intervalo de tempo t. 
 
 
3. Analise de dados e Cálculos 
a) Construa o gráfico 𝑥 versus 𝑡 , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma 
regressão linear e determine a componente horizontal 𝑣0𝑥 da velocidade de 
lançamento, com sua respectiva incerteza, comparando a equação empírica obtida 
com a equação (1). 
b) Construa o gráfico 𝑦 versus 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. Utilizando um 
ajuste polinomial de grau 2, determine os valores de 𝑦0 , 𝑣0𝑦 e de 𝑔, com suas 
respectivas incertezas, comparando a equação empírica obtida com a equação (2). 
c) Construa o gráfico 𝑦 versus 𝑡2 , com auxílio do programa Scidavis. Faça a 
regressão linear e, considerando que 𝑣𝑜𝑦 = 0, determine novamente os valores de 
𝑦0 e 𝑔. 
d) Com os resultados obtidos de 𝑣0𝑥 , 𝑣0𝑦 e 𝑔 , escreva as equações para as 
componentes 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 da esfera em função do tempo. 
e) Calcule o módulo da velocidade e a direção (o ângulo) da velocidade, medido em 
relação ao eixo 𝑥, no instante 𝑡 = 0,5 𝑠. 
f) Escreva a equação para a trajetória da esfera, que deve ser uma parábola (quando 
se despreza a resistência do ar). 
 
Bibliografia: 
[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1: 
gravitação, ondas e termodinâmica. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 
2012. 
 
 
44 
Composição de Forças 
1. Introdução 
 
A mecânica estuda as interações entre os corpos e seus movimentos; trata, especialmente, das 
relações entre essas interações e os movimentos que daí resultam. Estuda, portanto, relações de 
causa e efeito. A causa ou a fonte do movimento é uma força ou um torque. Força é um conceito 
fundamental na mecânica. É entendida como a interação entre duas partículas, entre dois corpos 
(ou objetos), entre dois sistemas físicos.. É uma grandeza vetorial, portanto com modulo, direção 
e sentido. Entre partículas, a única interação possível é dada por uma força. 
São dois os tipos de forças; forças de contato e forças de campo também chamadas de forças de 
ação à distância. Forças de contato são aquelas presentes em uma interação em que há contato 
entre os objetos físicos (partículas, corpos); podem produzir movimento e/ou deformação; ex: 
atrito, impactos (colisões), forças de apoio, tração, tensão, etc. Forças de campo desenvolvem-se 
entre objetos sem que haja contato mutuo entre eles; ex; forças gravitacionais, elétricas, 
magnéticas. 
De acordo com a segunda lei de Newton �⃗� = 𝑚�⃗�, uma força pode produzir translação. Veremos 
nas próximas práticas que uma força também pode gerar torque e produzir rotação. 
Quando várias forças atuam sobre um corpo, mesmo em pontos diferentes dele, podem ser 
substituídas por uma única força (e seu torque, se for o caso de rotação), cujo efeito é o mesmo 
de todas as outras. Essa é a força resultante que se obtém pela adição vetorial de todas as forças 
atuando no corpo. Isto é as forças obedecem ao princípio da superposição. Se a força resultante 
está aplicada em um ponto do corpo e se aplicarmos neste ponto outra força, de mesmo módulo, 
direção, mas de sentido oposto, a força resultante será nula. Nesse caso diz-se que o corpo está 
em equilíbrio de translação (poderá estar em repouso relativo ou em movimento sem aceleração). 
Essa última força, que anulou a primeira, é chamada algumas vezes de força equilibrante. Temos 
ainda as forças concorrentes que são aquelas aplicadas ao mesmo ponto de um corpo (ou 
objeto). Em uma partícula, todas as forças que atuam são concorrentes. 
Assim: 
�⃗⃗⃗�𝑹 = �⃗⃗⃗�𝟏 + �⃗⃗⃗�𝟐 + �⃗⃗⃗�𝟑 +⋯+ �⃗⃗⃗�𝒏 
Sendo �⃗⃗⃗�𝑹a força resultante de 𝑛 forças sobre a partícula. Nesse caso, �⃗⃗⃗�𝒆𝒒 = −�⃗⃗⃗�𝑹 é a força 
equilibrante, ou seja, 
�⃗⃗⃗�𝒆𝒒 + �⃗⃗⃗�𝑹 = 𝟎 
 
45 
Forças são vetores aplicados; podem ser graficamente representados por segmentos 
orientados (setas). A adição de forças, ou sua composição, pode ser feita representando os 
vetores como segmentos orientados em uma escala e compondo-os graficamente. Também 
podem ser adicionadas por métodos analíticos. 
2 – Parte Experimental 
Objetivos: (i) Determinar a força equilibrante de um sistema de duas forças coplanares. (ii) 
Calcular a resultante de duas forças coplanares quaisquer e comprovar o caráter vetorial das 
forças. 
 
Material Utilizado: Painel de forças CIDEPE [1], Dinamômetros de fixação magnética de 0 a 2N 
com divisão de 0,02N, Conjunto de massas de 0,5N, Escala de ângulos de fixação magnética 
(transferidor), Acessórios diversos (Figura 1). 
 
Figura 1-Painel de forças e acessórios CIDEPE. [1] 
 
Procedimentos: 
1. Monte o conjunto conforme a figura 2 com os dinamômetros 
2. Coloque 3 massas no suporte 
 
46 
3. Posicione os dinamômetros de modo a formarem um ângulo de 120ºentre si. Movimente o 
gancho com as massas até conseguir o seu alinhamento vertical ao ponto do transferidor 
(ponto de aplicação das forças). 
4. O ângulo  entre as forças 𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e 𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ medidas pelos dinamômetros é lido na escala do 
transferidor. 
5. Meça os valores de 𝑭𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ e 𝑭𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Qual o modulo da força equilibrante 𝑭𝟑⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ? A força resultante 
tem sentido contrário à equilibrante. Faça um diagrama (em escala) das forças envolvidas, 
representando 𝐹3⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ . 
6. Conhecendo as forças componentes e o ângulo entre elas, determine o vetor força 
resultante utilizando os métodos analítico e geométrico. 
7. Compare o valor medido com o valor calculado. 
8. Repita o procedimento para outras combinações de massas nos suportes e outros ângulos 
entre as forças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Painel de estática 
 
Bibliografia: [1] CIDEPE Livro de atividades experimentais- Física Experimental-Mecânica- 
Painel de Forças 
 
 
 
47 
Equilíbrio de um móvel em um plano inclinado1. Introdução 
 
 Você já deve ter observado que comumente uma rampa é usada quando uma pessoa pretende 
elevar uma carga a uma altura ℎ, seja para carregar um refrigerador em uma caminhonete, como na 
Figura 1, por exemplo; pedreiros usam tábuas para fazer rampas para levar um carrinho cheio de areia à 
um local mais elevado, etc. Uma rampa, que possui uma inclinação 𝜃 em relação à horizontal, é 
comumentes chamada de plano inclinado – um tipo de máquina simples amplamente utilizada, que em 
geral facilita o esforço necessário para elevar uma carga. Acredita-se, inclusive, que os egípcios tenham 
construído suas pirâmides usando recursos de planos inclinados para levar os grandes blocos de pedra 
aos pontos mais altos; mas isso é um mistério. 
 
Figura 1: Carga sendo elevada a uma altura 𝒉 através de um plano inclinado. Figura adaptada de [1]. 
 
 
 Há uma razão para o fato de planos inclinados serem vastamente utilizados. Os planos inclinados 
possuem um fator chamado “vantagem mecânica”, que é definido como a razão entre a força motora 
(força que o carregador exerce sobre o refrigerador da Figura 1, por exemplo) e a força resistente (peso do 
refrigerador): 
𝑉𝑀 ≡
𝐹𝑀
𝐹𝑅
 
 
Essa vantagem mecânica depende basicamente do ângulo de inclinação da rampa. Se o carregador da 
Figura 1 quisesse suspender verticalmente o refrigerador, ele teria que exercer uma força motora no 
mínimo igual ao peso do refrigerador. Porém, lançando mão de uma rampa com inclinação 𝜃, ele poderá 
exercer uma força mínima (força motora) menor que o peso da carga. 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivos: identificar as forças que atuam sobre um móvel em um plano inclinado, representando-as 
através de um diagrama de forças; calcular a vantagem mecânica de um plano inclinado; estudar como a 
força motora varia com a inclinação do plano. 
 
Material necessário: 
 
- 01 carro com pêndulo orientador de força acoplado; 
- 02 massas acopláveis de 50g; 
- 01 dinamômetro de 2N; 
- 01 transferidor 180º e régua. 
 
 
 
48 
 
Montagem: 
 
Usando o dinamômetro, determine o peso do móvel formado pelo conjunto carro mais duas massas de 50 
g acopladas. 
 
 
Prenda a cabeceira do dinamômetro entre os dois fixadores, de modo que o dinamômetro fique 
paralelo à rampa. Atenção para verificar o “zero” no dinamômetro antes de prendê-lo ao carro. Coloque o 
móvel sobre o plano e conecte-o ao dinamômetro, de modo que o pêndulo de orientação fique na vertical, 
como na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Esquema de montagem da prática. Retirado de [2]. 
 
Procedimento 1: 
 
1) Ajuste o manípulo do fuso de modo a inclinar o plano com ângulo de θ=30º. 
2) Prenda o móvel pela conexão flexível ao dinamômetro. Atenção para que o indicador de orientação da 
força peso atuando no carrinho não toque na base do conjunto. 
3) Usando o transferidor e régua, desenhe um esquema do plano inclinado com o objeto, como indicado 
na figura abaixo. Atenção para desenhar o esquema do plano com mesmo ângulo da montagem da 
prática. 
 
 
 
 
 
49 
 
4) Usando a régua, faça o diagrama de forças que atuam sobre o móvel. 
5) Usando o transferidor, anote o ângulo 𝜃′ que a força peso faz com a reta normal ao plano inclinado. 
 
 
6) Considerando o eixo 𝑥 paralelo ao plano inclinado e o 𝑦 perpendicular ao mesmo, calcule o valor da 
componente da força peso paralela ao plano: 
 
 
Anote o valor da força, 𝐹𝐷, que o dinamômetro exerce sobre o móvel: 
 
- Calcule o erro relativo percentual entre a força exercida pelo dinamômetro, 𝐹𝐷, e a componente 𝑃𝑥 da 
força peso: 
 
- Considerando uma tolerância de 5%, é possível dizer as duas forças são iguais? Isso era esperado? 
Justifique! 
 
7) Calcule o valor da componente da força peso perpendicular ao plano: 
 
 
- Determine o valor da força normal atuando sobre o móvel: 
 
 
8) Tendo em vista a segunda lei de Newton, se o móvel fosse solto do dinamômetro, qual seria o valor de 
sua aceleração ao longo do plano (desconsiderando qualquer atrito)? Esse valor depende da massa do 
móvel? 
 
9) A força que o dinamômetro exerce, 𝐹𝐷, para deixar o móvel em equilíbrio é o valor mínimo necessário 
para movimentá-lo para cima ao longo do plano. Essa força é chamada de força motora, 𝐹𝑀; já o peso é a 
força resistente, 𝐹𝑅. Define-se como vantagem mecânica do plano inclinado, 𝑉𝑀, a razão entre a força 
motora e a força resistente: 
 
𝑉𝑀 ≡
𝐹𝑀
𝐹𝑅
 
 
- Calcule a vantagem mecânica do plano inclinado. 
 
Procedimento 2: 
 
1) Meça a massa do móvel com as duas massas acopladas: 
 
 
2) Tendo em vista que, pelo equilíbrio de forças, a força exercida pelo dinamômetro é igual à componente 
𝑃𝑥 da força peso, ou seja, 
 
𝐹𝐷 = 𝑃𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
varie o ângulo do plano e anote os valores correspondentes da força exercida pelo dinamômetro, por 
leitura direta no aparelho, preenchendo a Tabela 1. 
 
 
 
 
50 
θ (º) 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑭𝑫(𝑵) 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
Tabela 1: Força exercida pelo dinamômetro em função da inclinação do plano. 
 
3) Plote um gráfico de 𝐹𝐷 vs. 𝑠𝑒𝑛𝜃 e faça uma regressão linear. Qual o significado físico do parâmetros 𝐴 
(coeficiente linear) fornecido pela regressão linear? 
 
4) Estime o valor da aceleração da gravidade. Calcule o erro relativo entre essa estimativa e o valor exato, 
𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠². 
 
 
5) Qual seria o valor da força exercida pelo dinamômetro caso o plano fosse inclinado em 90º? 
6) Mostre que a vantagem mecânica do plano inclinado é 
 
𝑉𝑀 =
𝐹𝑀
𝐹𝑅
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Plano 
inclinado com sensores e multicronômetro de rolagem de dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
Atrito Estático e cinético 
 
Atrito estático 
 
1. Introdução 
 
 A força de atrito estático, 𝑓𝑒, atua em um corpo em repouso em relação a uma superfície, sempre 
que o mesmo tende a deslizar sobre esta superfície. Essa força varia desde zero, quando não há 
tendência de movimento do corpo relativo à superfície, até o valor máximo, quando o corpo estiver na 
iminência de se mover relativamente à superfície, ou seja: 
 
0 ≤ 𝑓𝑒 ≤ 𝜇𝑒𝑁 
 
onde 𝜇𝑒 é o coeficiente de atrito estático (depende basicamente da natureza das superfícies e é 
praticamente independente da área de contato entre elas) e 𝑁 a força que a superfície exerce sobre o 
corpo, sempre normal ao ponto ou região de contato. Daí a força de atrito estático máxima é 
 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑒𝑁 
 
 Nessa prática serão estudadas duas maneiras simples de se determinar o coeficiente de atrito 
estático entre duas superfícies. 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Determinar o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies. 
 
Material necessário: 
- 01 plano inclinado com escala de 0 a 45º; 
- 01 rampa auxiliar; 
- 01 corpo de prova de madeira com uma face esponjosa; 
- 01 cilindro maciço; 
- 01 dinamômetro; 
- 01 balança digital. 
 
Procedimento 1: determinação de µe usando dinamômetro 
 
- Determine a massa do corpo de prova: 
1) Com o plano inclinado na horizontal, coloque o bloco sem carga com a face de madeira sobre a rampa 
auxiliar, conectado ao dinamômetro paralelo à superfície, conforme a Figura 1.Figura 1: montagem da prática. 
 
52 
 
Aumente gradativamente a força aplicada através do dinamômetro. 
2) Registre o valor aproximado da menor força aplicada capaz de iniciar o movimento entre as superfícies 
(não se esqueça da incerteza): 
- Desenhe um diagrama de forças atuando sobre o bloco. Determine o valor da força normal, 𝑁, entre a 
mesa e o bloco. 
- Como 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
determine o valor do coeficiente de atrito estático entre as duas superfícies. 
 
 
3) Repita todo o procedimento colocando uma carga (cilindro maciço) de massa 𝑚 = ___________𝑘𝑔 sobre o 
bloco. 
 
Responda e justifique as questões abaixo: 
 
- Por que as forças externas aplicadas inicialmente, dentro de um certo limite, não foram suficientes para 
movimentar o bloco? 
 
- Há diferença na estimativa da força mínima para iniciar o movimento nos dois casos (com e sem carga 
sobre o bloco)? E em relação à força normal agindo sobre o bloco nos dois casos? 
 
- Houve diferença na estimativa do coeficiente de atrito estático entre as superfícies nos dois casos? 
 - Haveria alguma diferença se a face esponjosa do bloco estivesse em contato com a rampa 
auxiliar? 
 
Procedimento 2: determinação de µe usando plano inclinado 
 
- Monte o plano inclinado com a rampa auxiliar (que deve estar limpa antes de começar o experimento). 
Coloque o corpo de prova com a face de madeira em contato com a rampa auxiliar, com pequeno ângulo 
de inclinação, de modo que o bloco fique estático. 
- Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco na rampa. 
- Demonstre que quando o objeto está na iminência de se mover, na inclinação crítica θc, o coeficiente de 
atrito estático é dado por 
𝜇𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑐 
1) Eleve com a mão a inclinação da rampa lentamente, até que o objeto esteja prestes a se mover. Anote o 
valor desse ângulo crítico na Tabela 2, e estime o correspondente valor de µe; 
 
2) Diminua a inclinação da rampa, e repita o procedimento (1) por cinco vezes. 
 
3) Calcule o valor médio e o desvio médio de θc. e µe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
i 
Face de madeira 
θ µe 
1 
2 
3 
4 
5 
Média 
Desvio médio 
Tabela 2: medidas do ângulo crítico e coeficiente de atrito estático 
 
- Considerando uma tolerância de 10%, as estimativas de µe entre os procedimentos 1 (sem carga) e 2 são 
diferentes? Se sim, explique porque, já que as superfícies são as mesmas. 
 
Atrito Cinético 
3. Introdução 
 
 A força de atrito cinético é aquela que age sobre um corpo quando em movimento relativo à 
superfície de apoio. Em se tratando de superfícies sólidas, a experiência tem mostrado que a força de 
atrito é praticamente constante e depende apenas das superfícies e da força normal que uma superfície 
exerce sobre a outra. A força de atrito cinético é dada por: 
 
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐𝑁 
 
onde 𝜇𝑐 é o coeficiente de atrito cinético e 𝑁 é a força normal que a superfície exerce sobre o corpo, 
sempre normal ao ponto ou região de contato. O coeficiente de atrito é uma quantidade adimensional e 
deve ser determinado experimentalmente. Seu valor depende das propriedades do corpo e da superfície 
em que este está em contato. Em geral, o coeficiente de atrito cinético é menor que o coeficiente de atrito 
estático. Portanto, a intensidade da força de atrito cinético é menor do que a intensidade máxima da força 
de atrito estático que age sobre o corpo em repouso. 
 
4 – Parte Experimental 
1. Abandone o objeto sobre uma superfície inclinada, em relação à horizontal, conforme Figura 1, 
para que o objeto desça em movimento acelerado. 
2. Meça o tempo para o objeto percorrer as distâncias 𝑑1 = 0,10 m, 𝑑2 = 0,20 m, etc.. Anote os 
resultados na Tabela1. 
 
54 
 
Figura 1: Um objeto é abandonado sobre uma superfície inclinada para descer em movimento acelerado. 
 
𝑑 (m) 0 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 
𝑡 (s) 0 
𝑡2(s2) 0 
Tabela1: distância 𝒅(m) percorrida pelo objeto, sobre um plano inclinado, em um tempo t(s). 
 
O movimento do objeto sobre o plano inclinado é acelerado, com aceleração 𝑎 constante. 
Portanto, seu movimento é descrito pela equação. 
𝑑 = 
𝑎
2
𝑡2, (3) 
Considerando que o objeto parte do repouso, isto é, com velocidade inicial igual a zero. 
3.Construa o gráfico 𝑑 versus 𝑡, com auxílio do programa Scidavis. O resultado está de acordo 
com o esperado? 
4.Construa o gráfico 𝑑 versus 𝑡2, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão linear e 
determine a aceleração do movimento, com sua respectiva incerteza, comparando a equação 
empírica obtida com a equação (3). 
5. Meça a massa do objeto e determine a força resultante que atua sobre ele. 
6. Faça um desenho, mostrando todas as forças que atuam no objeto. 
7. Determine o módulo da força de atrito que atua no objeto. 
Observação: Neste cálculo você precisará do valor do ângulo de inclinação da superfície. Uma 
sugestão é medir as dimensões 𝑥 e 𝑦, mostradas na Figura 1, e considerar que 𝜃 = tan−1(𝑦/𝑥). 
8. Determine o módulo da força normal que age sobre o objeto. 
9. Determine o coeficiente de atrito cinético entre o objeto e a superfície. 
 
55 
 
 
 
Bibliografia: 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1: 
gravitação, ondas e termodinâmica. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 
2012. 
 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
Constante Elástica de Molas 
 
1. Introdução 
 
Sob a ação de uma força de tração ou de compressão, todo objeto deforma-se. Se, ao 
cessar a atuação dessa força, o corpo recupera sua forma primitiva, diz-se que a deformação é 
elástica. Em geral, existe um limite para o valor da força a partir do qual acontece uma 
deformação permanente do corpo. Dentro do limite elástico, há uma relação linear entre a força 
aplicada e a deformação, linearidade esta que expressa uma relação geral conhecida como Lei 
de Hooke1. O sistema clássico utilizado para ilustração dessa lei é o sistema massa-mola que é 
apresentado a seguir em situações de equilíbrio estático. 
Na Figura 1, está mostrada uma mola helicoidal, de massa desprezível, pendurada por 
uma de suas extremidades. Um objeto de massa 𝑚, colocado na outra extremidade, produz um 
alongamento 𝑥 na mola. 
A força aplicada na mola é o peso do corpo e, dentro do limite elástico, tem-se, no 
equilíbrio, 
𝑚𝑔 = 𝑘𝑥 
em que 𝑘 é uma constante que depende do material de que é feita a mola, bem como de sua 
espessura, tamanho e outros fatores, e é denominada constante elástica da mola. 
 
Figura 1: Em (a), a mola não está alongada e em (b) está alongada de x, em relação à posição inicial, devido 
ao peso de um objeto de massa m. O peso do objeto é equilibrado pela força – 𝒌𝒙 que a mola exerce nele. 
 
Associando-se duas molas, a constante elástica do conjunto passa a ter outro valor que 
depende da maneira como foi feita a associação. Na Figura 2, está representado um objeto 
suspenso por duas molas associadas em série e em paralelo. Alongar as molas associadas em 
 
1 Robert Hooke, Inglaterra, 1635 a 1703 
 
57 
série é “mais fácil” do que alongar as molas associadas em paralelo. Podemos demonstrar esse 
comportamentodas molas em série e paralelo considerando que: 
a) Na associação em série as duas molas atuam como se fossem uma única mola de 
constante elástica 𝐾𝑒𝑞 , O alongamento 𝑥 dessa única mola será igual à soma dos 
alongamentos de cada uma das molas, 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 
A massa 𝑚 fica em equilíbrio estático quando seu peso 𝑃 se iguala à força elástica 𝐹 =
𝐾𝑒𝑞 𝑥. 
𝑃 = 𝐾𝑒𝑞(𝑥1 + 𝑥2) 
Como 
𝑥1 =
𝐹1
𝐾1
 ; 𝑥2 =
𝐹2
𝐾2
 
Temos 
𝑃 = 𝐾𝑒𝑞 (
𝐹1
𝐾1
+
𝐹2 
𝐾2 
) 
 
Com a massa em equilíbrio, temos 𝑃 = 𝐹1 , 𝑃 = 𝐹2 e obtemos 
1
𝐾𝑒𝑞
=
1
𝐾1
+
1 
𝐾2 
 
Observação: No caso de termos 𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾 , obtemos 𝐾𝑒𝑞 = 𝐾/2 , indicando que as 
molas em série se comportam com uma mola mais macia. 
b) Na associação em paralelo, quando a massa está em equilíbrio, a força Peso é igual à 
soma das forças nas duas molas, de modo que o alongamento seja o mesmo, 
𝑃 = 𝐾1𝑥 + 𝐾2𝑥 
Nesse caso podemos escrever 
𝑃
𝑥
= (𝐾1 + 𝐾2) 
A razão 𝑃/𝑥 no lado esquerdo é igual a constante elástica equivalente, 𝐾𝑒𝑞 = 𝑃/𝑥 . 
Portanto, temos 
𝐾𝑒𝑞 = (𝐾1 + 𝐾2) 
Observação: No caso de termos 𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾, obtemos 𝐾𝑒𝑞 = 2𝐾 , indicando que as molas 
em paralelo se comportam como uma mola mais dura. 
 
 
 
58 
 
Figura 2: A associação de duas molas pode ser feita (a) em série, com uma na extremidade da outra, ou (b) 
em paralelo, com uma ao lado da outra. 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivos: Determinar a constante elástica (i) de uma mola, (ii) de uma combinação em série e 
(iii) de uma combinação em paralelo de duas molas. 
 
Material Utilizado: Duas molas, objetos de massa m, suporte e régua. 
 
Procedimentos: 
O experimento consiste em aplicar várias forças (pesos) a uma mola vertical e medir os 
alongamentos produzidos preenchendo a tabela abaixo. 
 
1. Suspenda uma das molas e pendure um suporte para os objetos em sua extremidade livre. 
Escolha um ponto de referência no suporte e leia a posição dele na régua – este será o 
alongamento zero, ou seja, será desprezado o alongamento produzido pelo suporte. 
 
2.Obtenha um conjunto de alongamentos 𝑥 , aplicando forças 𝐹 diferentes à mola, ou seja, 
colocando quantidades diferentes de objetos no suporte. Anote os resultados na Tabela 1. 
Observação: No cálculo da força peso de cada objeto, considere 𝑔 = 9,78 m/s2, que é um valor 
mais apropriado para Belo Horizonte. 
 
3.Retire todos os objetos que você colocou; repare que a mola volta à sua posição inicial – a 
deformação foi elástica. 
 
59 
 
4.Retire o suporte da mola e pendure nela, em série, a segunda mola. Repita os mesmos 
procedimentos com este novo arranjo. 
 
5.Associe, a seguir, as duas molas em paralelo, isto é, uma ao lado da outra, e refaça as leituras 
como nas situações anteriores. 
 
Uma mola Duas molas em série Duas molas em paralelo 
𝑥(𝑚) 𝐹(𝑁) 𝑥(𝑚) 𝐹(𝑁) 𝑥(𝑚) 𝐹(𝑁) 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Alongamento x(m) de uma mola, de uma associação de duas molas em série e em paralelo, em 
função da força F(N) aplicada. 
 
3. Análise de dados e Cálculos 
a) Construa, com auxílio do programa Scidavis, os gráficos 𝐹 versus 𝑥 para a primeira 
mola e para cada uma das duas combinações, em série e paralelo. Por meio do 
processo de regressão linear, determine, para cada uma das montagens, a 
inclinação da reta correspondente e indique a grandeza física a ela relacionada. 
b) Escreva o valor da constante elástica e sua respectiva incerteza, para cada uma das 
situações. A partir do modelo físico utilizado, o valor do coeficiente linear deve ser 
zero no presente caso. Verifique o valor encontrado e explique esse resultado. 
c) Justifique por que, na associação em série, o conjunto ficou “mais macio” do que 
cada mola individualmente e, na associação em paralelo, ficou “mais duro”. 
 
 
 
 
Bibliografia: 
[1] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
 
 
60 
Deformação Elástica de uma Haste 
 
1. Introdução 
 
Sob a ação de uma força de tração ou de compressão, todo objeto deforma-se. Se, ao 
cessar a atuação dessa força, o corpo recupera sua forma primitiva, diz-se que a deformação é 
elástica. Em geral, existe um limite para o valor da força a partir do qual acontece uma 
deformação permanente do corpo. Dentro do limite elástico, há uma relação linear entre a força 
aplicada e a deformação. 
Considere-se o caso de uma haste presa por uma de suas extremidades (Figura 1). Uma 
força 𝐹 vertical aplicada na extremidade livre provoca uma flexão 𝑦 na haste. Essa flexão 
depende do valor da força aplicada, bem como do material e das dimensões da haste. Dentro do 
limite elástico, tem-se 
𝐹 = 𝑘𝑓𝑦 (1) 
em que 𝐹 é o módulo da força aplicada na extremidade da haste e kf é chamada de constante de 
flexão da haste. Essa constante depende da largura l, da espessura 𝑒, do comprimento 𝑥 e do 
módulo de Young 𝐸 do material da haste. O módulo de Young 𝐸 para flexão, ou simplesmente 
módulo de flexão, é uma propriedade apenas do material de que a haste é feita e mede como um 
determinado material reage a uma força que tende a flexionar o objeto. No caso de uma haste, 
pode-se mostrar que, abaixo de um valor limite para a flexão, a constante de flexão kf e o módulo 
de Young para flexão se relacionam pela equação 
𝑘𝑓 =
𝐸. 𝑙. 𝑒3
𝑥3
. (2) 
 
 
Figura 1: Deformação de flexão y de uma haste sujeita a uma força F, aplicada a uma distância x da 
extremidade fixa [1]. 
 
 
61 
2 – Parte Experimental 
Objetivos: (i) Determinar a constante de flexão de uma haste metálica, no regime elástico, e (ii) o 
módulo de Young para flexão do material de que é feita. 
 
Material Utilizado: Haste metálica, prendedor, suporte, objetos com massa de aproximadamente 
5g e régua milimetrada. 
O experimento consiste em aplicar várias forças na extremidade da haste fixada 
horizontalmente e medir a flexão correspondente a cada uma delas. 
 
1. Mantendo uma das extremidades da haste fixa, coloque os objetos na extremidade livre, um a 
um, de forma a produzir forças 𝐹 de diferentes valores. Meça a flexão 𝑦 correspondente a cada 
força aplicada. Anote os resultados na Tabela 1. 
Observação: No cálculo da força peso de cada objeto, considere 𝑔 = 9,78 m/s2, valor mais 
apropriado para Belo Horizonte. 
 
𝑦(𝑚) 𝐹(𝑁) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Flexão y (m) de uma haste metálica em função da força F (N) aplicada na sua extremidade. 
 
 
3. Análise de dados e Cálculos. 
a) Construa o gráfico 𝐹 versus 𝑦, com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e determine a constante de flexão kf e sua respectiva incerteza, comparando a 
equação empírica obtida com a equação (1). 
b) Meça as dimensões da haste (o comprimento 𝑥, a largura 𝑙 e a espessura 𝑒) e calcule o 
valor de 𝐸, através da equação (2). 
 
62 
c) Compare o resultado encontrado com o valor médio do módulo de flexão para o aço, que é 
de (4,5 ± 0,5)𝑥 1010 𝑁/𝑚2. 
 
Bibliografia: [1] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo 
Lúcio. Física experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
Histerese Mecânica 
 
1. Introdução 
 
Duas características observadas na deformação elásticade um sólido são a linearidade e a 
reversibilidade. A linearidade relaciona-se com a proporcionalidade entre a força aplicada ao 
sólido e a consequente deformação deste. A reversibilidade significa que, aplicando-se uma força 
crescente e, em seguida, decrescente em um sólido, este se alonga e, depois, volta à situação 
inicial pelo mesmo caminho, isto é, por uma mesma curva em um gráfico de alongamento versus 
força. Do ponto de vista das energias envolvidas, em um processo reversível, o sólido, ao retornar 
ao seu estado inicial, realiza sobre o agente aplicador da força o mesmo trabalho que este 
realizou sobre ele para alongá-lo [1]. 
Existem sistemas que não apresentam essas características; em alguns casos, a 
dependência entre a força e o alongamento pode, até mesmo, não ter uma expressão analítica, 
podendo ser conhecida apenas experimentalmente. O trabalho realizado nesses sistemas, além 
de produzir deformações mecânicas, pode ser utilizado para promover reações químicas, 
modificações estruturais, transformações moleculares e aquecimento, entre outros. Assim, não é 
possível que o sistema devolva toda a energia cedida ao agente aplicador da força, o que torna o 
processo de deformação irreversível [1]. Em tal situação, o material pode não retornar ás suas 
dimensões originais, permanecendo uma deformação residual e o gráfico do alongamento ∆L do 
material versus a força aplicada F tem o aspecto qualitativo do gráfico da Figura 1. 
 
Figura 1: Gráfico do alongamento ∆𝑳 versus força aplicada 𝑭 . A curva AB representa o processo de 
carregamento e a curva BC o processo de descarregamento. A diferença entre as coordenadas dos pontos A 
e C representa a deformação permanente do material. 
Neste gráfico, o aumento da força aplicada corresponde ao trecho AB e a redução da força 
aplicada ao trecho BC e a deformação residual é AC. Se a partir do ponto C, aumentarmos 
 
64 
novamente a força aplicada o fato se repetirá e assim por diante. Isto fará que a energia perdida 
em cada vez, deixe o corpo extremamente debilitado, rompendo-se com facilidade. A diferença 
entre as curvas dos processos de carregamento e descarregamento é chamada de histerese 
mecânica e a área delimitada pelas duas curvas (área ABC do gráfico) representa a energia 
perdida durante todo o processo. 
Um exemplo simples de uma situação desse tipo ocorre com uma gominha de borracha ao 
ser esticada. Nesse caso, observa-se uma não linearidade entre a força aplicada e o 
alongamento produzido e, também, uma irreversibilidade do processo. 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Estudar a deformação produzida em gominhas de borracha. 
Material Utilizado: Uma gominha de borracha, base, haste de sustentação, régua milimetrada, 
suporte e objetos de massa m. 
Procedimentos: 
1.Faça a montagem representada na Figura 2. 
2.Coloque um objeto de massa m no suporte e anote, na Tabela 1, o valor da deformação ∆𝐿 e o 
valor da força 𝐹, que é o peso do objeto. 
Observação: No cálculo da força peso, considere 𝑔 = 9,81 m/s2. 
3.Acrescente mais alguns objetos, um por vez, e repita o procedimento anterior. 
4.Retire os objetos, um por vez, e anote, na Tabela 1, o valor da deformação ∆𝐿. 
5.Com auxílio do programa Scidavis, faça o gráfico do alongamento da gominha versus força 
aplicada para os processos de carga e descarga. Observe o gráfico e comente o resultado em 
termos de linearidade e reversibilidade. 
6.Determine a área ABC. 
Observação: O programa Scidavis tem o recurso para calcular esta área. O professor lhe 
orientará como fazer. 
7.Qual é o significado físico da área ABC? 
 
 
65 
 
𝐹(N) 
∆𝐿 (m) - carga 
∆𝐿 (m) - descarga 
Tabela 1: Força F(N) aplicada em uma gominha de borracha e a sua consequente deformação ∆L(m), 
nos processos de carga e descarga. 
 
 
 
 
 
Figura 2: Objetos de massas conhecidas pendurados na extremidade de uma gominha. Figura adaptada da 
Ref. [1]. 
 
Bibliografia: 
CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
Colisões – Coeficiente de Restituição 
 
1. Introdução 
 
Uma colisão entre dois objetos pode ser classificada considerando-se a energia cinética do 
sistema antes e depois da colisão. Quando a energia cinética se conserva, a colisão é elástica; 
caso contrário, ela é inelástica. Quando os dois objetos permanecem unidos após a colisão, esta 
é completamente inelástica. 
Considere um objeto rígido que, ao ser solto de uma altura ℎ0 sobre um plano inclinado 
sem atrito, colide com uma gominha de borracha, no final do percurso, com velocidade �⃗�𝑎 . 
Durante a colisão, a gominha é deformada e o objeto perde parte de sua energia cinética. Em 
seguida, o objeto começa a subir a superfície inclinada com velocidade �⃗�𝑑, atingindo uma altura 
ℎ1. 
Na colisão com a gominha, a perda de energia cinética ∆K do objeto é 
∆𝐾 = 
𝑚𝑣𝑑
2
2
−
𝑚𝑣𝑎
2
2
= 
𝑚𝑣𝑎
2
2
(
𝑣𝑑
2
𝑣𝑎2
− 1) = 
𝑚𝑣𝑎
2
2
(𝜀2 − 1), 
em que 𝜀 = 𝑣𝑑/𝑣𝑎 é chamado de coeficiente de restituição da colisão. 
 Em uma colisão elástica, ∆𝐾 = 0 e, consequentemente, 𝜀 = 1. Em uma colisão inelástica, 
parte da energia cinética é dissipada e, portanto, 𝜀 < 1. 
Em cada colisão com a gominha, o objeto perde parte de sua energia cinética e atinge, 
sucessivamente, alturas cada vez menores. É possível determinar-se o coeficiente de restituição 
medindo-se as distâncias 𝑅0 e 𝑅1 percorridas pelo objeto ao longo do plano inclinado, conforme 
Figura 1. Considerando-se que há conservação de energia mecânica nos intervalos antes e após 
cada colisão, então, 
1
2
𝑚𝑣𝑎
2 = 𝑚𝑔ℎ0 e 
1
2
𝑚𝑣𝑑
2 = 𝑚𝑔ℎ1 
Portanto, o coeficiente de restituição é dado por 
𝜀2 =
𝑣𝑑
2
𝑣𝑎2
= 
ℎ1
ℎ0
= 
𝑅1
𝑅0
 . 
Dessa forma, a distância que o objeto percorre após colidir com a gominha será sempre uma 
fração fixa da distância inicial de partida no alto do plano inclinado. Então, podemos escrever 
𝜀2 = 
𝑅1
𝑅0
= 
𝑅2
𝑅1
= 
𝑅3
𝑅2
= ⋯ = 
𝑅𝑛
𝑅𝑛−1
 (1) 
em que 𝑅𝑛 é a distância que o objeto percorre após a enésima colisão com a gominha. 
 
 
67 
 
Figura 1: O objeto solto de uma altura h sobre um plano inclinado sem atrito colide com uma gominha de 
borracha no final do percurso. Após a colisão o objeto retorna a uma altura menor, pois, perde parte de sua 
energia cinética durante a colisão. 
 
Utilizando a relação (1), demonstre que 
𝑅𝑛 = 𝑅0𝜀
2𝑛. (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Determinar o coeficiente de restituição na colisão de um planador deslizante sobre um 
trilho de ar com uma gominha. 
Material Utilizado: Trilho de ar, planador, gominha de borracha e régua. 
Procedimentos: 
Ao soltar o planador sobre o trilho de ar, inclinado de um ângulo θ relativo à horizontal, a 
partir de uma distância 𝑅0 da base, ele colidirá com a gominha posicionada na extremidade mais 
baixa do trilho e retornará percorrendo uma distância 𝑅1. O movimento se repetirá até o planador 
parar por completo. 
1.Meça a distância inicial 𝑅0, ligue o ar e abandone o planador. Meça o alcance 𝑅𝑛 em função do 
número 𝑛 de colisões com a gominha. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
 
68 
2.Construa o gráfico 𝑅𝑛 versus 𝑛, com auxílio do programa Scidavis. Este gráfico é linear? 
 
3.Linearize a equação (2) e construa um gráfico linear com os novos dados.Sugestão: Aplique a função 𝑙𝑛 em ambos os lados da equação (2). 
 
4.Faça uma regressão linear para determinar o coeficiente de restituição. 
 
5.Utilizando o valor do coeficiente de restituição encontrado, determine a fração percentual da 
energia cinética dissipada em cada colisão do planador com a gominha de borracha. 
 
𝒏 𝑅𝑛(m) 𝒍𝒏 𝑅𝑛 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
Tabela 1: Alcance 𝑹𝒏 após a enésima colisão do planador com a gominha de borracha. 
 
Bibliografia 
 
 [1] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
Experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
Coeficiente de Restituição DE uma bolinha 
 
1. Introdução 
 
Quando soltamos uma bolinha de massa 𝑚 de uma altura ℎ ao atingir o solo ocorre uma 
colisão. O tipo de colisão pode ser classificado considerando o que ocorre com a energia cinética 
da bolinha antes e depois da colisão. Quando a energia cinética se conserva, dizermos que a 
colisão é elástica. Nesse caso a velocidade após a colisão é igual à velocidade antes da colisão. 
Se a energia cinética não se conserva, a colisão é chamada de inelástica. Se além da colisão ser 
inelástica, os dois objetos permanecerem unidos após a colisão, esta é perfeitamente inelástica. 
A perda de energia cinética ∆𝐾 na colisão é calculada como 
∆𝐾 = 
𝑚𝑣𝑑
2
2
−
𝑚𝑣𝑎
2
2
= 
𝑚𝑣𝑎
2
2
(
𝑣𝑑
2
𝑣𝑎2
− 1) = 
𝑚𝑣𝑎
2
2
(𝜀2 − 1) 
sendo 𝑣𝑎 a velocidade antes e 𝑣𝑑 a velocidade após a colisão. A razão 𝑣𝑑/𝑣𝑎 é representada 
por 𝜀 e definida como coeficiente de restituição da colisão. 
𝜀 =
𝑣𝑑
𝑣𝑎
 (1) 
 Em uma colisão elástica, ∆𝐾 = 0 e, consequentemente, 𝜀 = 1. Em uma colisão inelástica 
parte da energia cinética é dissipada e, portanto, 𝜀 < 1. 
Em cada colisão com o chão a bolinha perde parte de sua energia cinética e atinge, 
sucessivamente, alturas cada vez menores. É possível determinar-se o coeficiente de restituição 
medindo-se as alturas 𝑅𝑎 e 𝑅𝑑 antes e depois da colisão. Considerando-se que há conservação 
de energia mecânica nos intervalos antes e após cada colisão, então, 
1
2
𝑚𝑣𝑎
2 = 𝑚𝑔ℎ𝑎 e 
1
2
𝑚𝑣𝑑
2 = 𝑚𝑔ℎ𝑑 . 
Portanto, o coeficiente de restituição é dado por 
𝜀2 =
𝑣𝑑
2
𝑣𝑎2
= 
ℎ𝑑
ℎ𝑎
 
Dessa forma, a altura que a bolinha percorre após colidir com o chão sempre será uma fração fixa 
da distância inicial de partida no alto do plano inclinado. De modo geral, sendo ℎ0 a altura inicial, 
após 𝑛 colisões podemos escrever 
𝜀2 = 
ℎ1
ℎ0
= 
ℎ2
ℎ1
= 
ℎ3
ℎ2
= ⋯ = 
ℎ𝑛
ℎ𝑛−1
 (2) 
em que ℎ𝑛 é da bolinha após a enésima colisão com o chão. 
 
 
70 
Utilizando a relação (2), demonstre que 
ℎ𝑛 = ℎ0𝜀
2𝑛. (3) 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Determinar o coeficiente de restituição na colisão de uma bolinha com o chão. 
 
Material: Trena e bolinha 
Procedimentos: 
1) Solte a bolinha de uma altura inicial ℎ0 = 2 m e anote a altura ℎ1 que ela atinge após a 
primeira colisão. Repita esse procedimento por 5 vezes e determine a altura média ℎ1 . 
2) Solte a bolinha da altura ℎ1 média determinada acima e anote a altura ℎ2. Repita este 
procedimento pelo menos cinco vezes e determine o valor médio de ℎ2. Essa altura é a 
mesma que a bolinha atingiria após duas colisões com o chão, quando solta da altura ℎ𝑜. 
3) Repita esse procedimento pelo menos até obter a altura ℎ5. 
4) Faça o gráfico de ℎ𝑛 em função de 𝑛. Este gráfico é linear? 
5) Observe a equação (3) e pense qual gráfico deve ser construído para que o resultado seja 
uma reta. Faça uma regressão linear para determinar o coeficiente de restituição. Compare 
o valor de ℎ0 encontrado a partir do gráfico com o valor medido. 
6) Utilizando o valor do coeficiente de restituição encontrado, calcule a fração percentual da 
energia cinética dissipara em cada colisão da bolinha com o chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
Colisões Perfeitamente Inelásticas 
 
1. Introdução 
 
Em física dá-se o nome de colisão a uma interação entre partículas ou corpos cuja duração 
é extremamente pequena. Quando a energia cinética se conserva, a colisão é elástica; caso 
contrário, ela é inelástica. Quando os dois objetos permanecem unidos após a colisão, esta é 
completamente inelástica. Em colisões, a lei de conservação do momento linear permite 
relacionar os comportamentos das partículas antes e depois da colisão entre elas. 
O momento linear �⃗� de uma partícula é um vetor definido como produto de sua massa 
𝑚 pela velocidade �⃗�. 
�⃗� = 𝑚�⃗� (1) 
O momento linear total �⃗⃗� de um sistema de partículas é o vetor soma dos momentos lineares das 
partículas consideradas isoladamente. 
�⃗⃗� = 𝑚1�⃗�1 +𝑚2�⃗�2 + …+ 𝑚𝑛�⃗�𝑛 (2) 
A derivada da equação (2) é 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= �⃗�𝑅 (3) 
em que �⃗�𝑅 é a força resultante atuante no sistema de partículas. A equação (3) é conhecida como 
Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas. 
Durante uma colisão as forças que atuam sobre o sistema de partículas podem ser 
internas ou externas. As forças internas são as forças de interação entre as partículas do mesmo 
sistema e, portanto, devido à Terceira Lei de Newton, o somatório das forças internas é sempre 
nulo. As forças externas são quaisquer forças exercidas por agentes fora do sistema. Se durante 
uma colisão a resultante das forças externas é nula, a Segunda Lei de Newton diz que 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= 0 . 
Isso significa que �⃗⃗� é uma constante, ou seja, o momento linear total do sistema imediatamente 
antes e imediatamente depois da colisão são iguais. 
Nesta prática examinaremos uma sequência de colisões perfeitamente inelásticas de dois 
planadores sobre um trilho sem atrito, com a finalidade de percebermos que a lei de conservação 
do momento linear permite relacionar os comportamentos dos planadores antes e depois da 
colisão entre eles, ou seja, conhecido o comportamento dos planadores anteriormente à colisão, 
podemos prever o seu comportamento após a colisão. 
 
72 
Objetivo: Estudar colisões perfeitamente inelásticas, entre planadores sobre um trilho sem atrito, 
para verificar a compatibilidade dos dados experimentais com a “lei de conservação do momento 
linear”. 
 
Material Utilizado: trilho de ar, dois planadores, dois pares de sensores de infravermelho ligados 
a um cronômetro, balança e régua. 
 
2 – Parte Experimental 
O planador de massa 𝑚1, que possui uma haste vertical para acionar os sensores, deverá ser 
impulsionado com o dedo, anteriormente ao primeiro par de sensores sobre o trilho sem atrito, de 
forma a provocar uma colisão perfeitamente inelástica com o segundo planador, de massa 𝑚2, 
que se encontra em repouso na região entre os dois pares de sensores. O primeiro par de 
sensores, ligado ao cronômetro, permite registrar o tempo 𝑡𝑎 que o planador de massa 𝑚1 leva 
para percorrer a distância entre eles 𝐷𝑎, enquanto o segundo par de sensores, localizado após a 
região em que ocorre a colisão, fornece o tempo 𝑡𝑑 que o conjunto constituído pelos dois 
planadores grudados leva para percorrer a distância 𝐷𝑑 entre os sensores deste último par. 
Execute 10 vezes a ação aqui descrita de modo que cada vez o planador impulsionado pelo dedo 
apresente uma velocidade perceptivelmente distinta e anote, na Tabela 1, os respectivos valores 
dos tempos anterior 𝑡𝑎 e posterior à colisão 𝑡𝑑. 
𝒕𝒂(𝒔) 𝒕𝒅(𝒔)Tabela 1: Tempo ta que o planador de massa m1 leva para percorrer a distância Da, anterior à colisão, e 
tempo td que o conjunto de massa (m1 + m2) leva para percorrer a distância Dd, posterior à colisão. 
 
Supondo que a lei de conservação do momento linear seja obedecida na colisão examinada, 
mostre que: 
 
73 
𝑡𝑑 = [
(𝑚1 +𝑚2)
𝑚1
𝐷𝑑
𝐷𝑎
] . 𝑡𝑎 (4) 
Observação: Considere que o movimento dos planadores é uniforme, o que é razoável, pois, o 
trilho se encontra na horizontal e o atrito é desprezível. 
 
2.Construa o gráfico de 𝑡𝑑 versus 𝑡𝑎 , com auxílio do programa Scidavis. Faça uma regressão 
linear e compare a equação empírica obtida com a equação (4). Qual é o significado físico da 
inclinação da reta? 
 
3.Use a balança para determinar as massas dos planadores e meça as distâncias entre os 
sensores, 𝐷𝑎 e 𝐷𝑑 . De posse destes dados, verifique a compatibilidade do resultado do ajuste 
linear com o que é previsto pela equação (4). 
 
DISCUSSÃO ADICIONAL SUGERIDA 
1- Procure responder como a relação entre os tempos 𝑡𝑎 e 𝑡𝑑 seria alterada se uma força externa 
agisse significativamente durante a colisão entre os planadores. 
2- Qual é a relação entre a energia cinética inicial, anterior à colisão, e final, posterior à colisão, 
para o sistema constituído pelos dois planadores, prevista pela lei de conservação do momento 
linear, para o caso da colisão perfeitamente inelástica? Interprete a diferença entre essas 
energias cinéticas final e inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
Determinação do Momento de Inércia de um 
cilindro 
 
1. Introdução 
 
O momento de inércia de um sólido em relação a um eixo fixo é obtido teoricamente pela 
equação: 
𝐼 =∑𝑟𝑖
2𝑚 = ∫𝑟2𝑑𝑚. 
Este somatório é obtido por integração e muitos exemplos são desenvolvidos na teoria. Se o 
corpo não tem forma geométrica simples ou densidade constante, o cálculo da integral podes 
tornar sumamente difícil, e é necessário utilizar um método experimental. 
Se o corpo tem apenas movimento de translação, sua energia cinética é dada por: 
𝐾 =
𝑚𝑣2
2
, 
Sendo 𝑚 sua massa e 𝑣 a velocidade de translação do centro de massa. Por outro lado, se o 
corpo tem apenas movimentação de rotação, sua energia cinética é dada por: 
𝐾 =
𝐼𝜔2
2
 
onde 𝐼 é o seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular em 
relação ao mesmo eixo. 
 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Determinar experimentalmente o momento de inércia de um disco. 
 
Material Utilizado: Cilindro preso em torno de dois mancais de atrito desprezível, barbante ou fio 
de nylon, peso e cronômetro. 
 
Procedimentos: 
O corpo do qual vai ser determinado o momento de inércia é um cilindro que pode girar 
livremente em torno de dois mancais de atrito desprezível. Um fio de nylon ou barbante é 
enrolado no cilindro e preso no extremo um peso 𝑃. O sistema se acha inicialmente em repouso, 
com o fio inteiramente enrolado. A Figura 1 é uma representação esquemática do experimento. 
 
 
75 
 
Figura 1: Objeto de massa 𝒎 na extremidade de um fio enrolado em um disco. 
 
1.Abandone o peso 𝑃 e, com um cronômetro, meça o tempo necessário para desenrolar 
completamente o fio. Repita cinco vezes esta experiência e determine o valor mais provável deste 
tempo, através de uma média aritmética. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
𝑰 𝒕 (s) 
1 
2 
3 
4 
5 
Tempo médio = 
Desvio médio = 
Tabela 1: Valores do tempo t obtidos em cinco repetições do experimento e o seu valor médio. 
 
 
A energia mecânica inicial 𝐸𝑀0 do sistema (cilindro + peso) é 
𝐸𝑀0 = 𝑀𝑔ℎ +𝑚𝑔ℎ 
em que 𝑀 e 𝑚 são as massas do cilindro e do peso, respectivamente, 𝑔 é a aceleração da 
gravidade e ℎ é a altura em que o sistema se encontra em relação a posição mais baixa do peso, 
quando o fio está completamente desenrolado. A energia mecânica final do sistema, quando o 
peso está na sua posição mais baixa é 
𝐸𝑀 = 𝑀𝑔ℎ + 
𝐼𝜔2
2
+ 
𝑚𝑣2
2
 
 
76 
em que 𝐼 é o momento de inércia do cilindro, 𝜔 é a velocidade angular do cilindro e 𝑣 é a 
velocidade do peso. Considerando que a energia mecânica do sistema se conserva durante o 
movimento, podemos escrever 
𝑚𝑔ℎ =
𝐼𝜔2
2
+
𝑚𝑣2
2
, (1) 
onde 
𝜔 = 
𝑣
𝑅
 e 𝑣 = 
2ℎ
𝑡
 . 
Nas relações acima, 𝑅 é o raio do cilindro e 𝑡 é o tempo do movimento do sistema até o peso 
chegar à sua posição mais baixa. Substituindo essas relações em (1), conclui-se que: 
𝐼 = 𝑚𝑅2 (
𝑔𝑡2
2ℎ
− 1) (2) 
2.Meça 𝑅, 𝑚 e ℎ e determine o momento de inércia do cilindro com sua incerteza. Considere 𝑔 = 
9,78 m/s2 (valor mais correto para Belo Horizonte). 
 
𝑅 ( m ) 𝑚 (kg) ℎ (m) 𝐼 ( kg.m2) 
 
 
3.Qual é o significado físico do momento de inércia? 
4.Qual é o momento de inércia do cilindro obtido pela teoria? 
5.Quais as razões da diferença entre o resultado teórico e o experimental? 
6.Como se pode aumentar o momento de inércia de um corpo sem variar sua massa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
Movimento Combinado de Rotação e Translação 
 
1. Introdução 
 
Considere uma esfera rígida rolando para baixo de um plano inclinado perfeitamente rígido, 
como mostrado na Figura 1(a). Se o movimento ocorre sem deslizamento, o ponto da esfera que 
está em contato com a superfície permanece instantaneamente em repouso, sem escorregar. 
Assim, a força de atrito estático entre a esfera e a superfície não realiza trabalho e a energia 
mecânica do sistema se conserva. 
Para evitar o deslizamento, a força de atrito tem que ser menor que ou igual à máxima 
força de atrito estático. No caso de uma esfera rígida rolando, é possível mostrar que o 
coeficiente de atrito estático deve ser maior que ou pelo menos igual a (
2
7
) tg𝜃, em que 𝜃 é o 
ângulo de inclinação da superfície em relação à horizontal. 
 Conforme se pode ver na Figura 1(a), a linha de ação da força normal e da força peso 
passa pelo centro da esfera, de modo que o torque realizado por estas forças é zero. Portanto, o 
rolamento (rotação mais translação) sem deslizamento ocorre devido ao torque realizado apenas 
pela força de atrito estático. 
 
Figura 1: (a) Uma esfera perfeitamente rígida rolando para baixo de um plano inclinado perfeitamente rígido. 
(b) Uma esfera rígida rolando sobre uma superfície deformada. Figura adaptada da Ref. [1]. 
 
A Figura 1(b) mostra uma situação mais realista, na qual a superfície se deforma na parte 
frontal da esfera e a esfera passa por uma depressão. Por causa dessa deformação, as forças de 
contato sobre a esfera não mais atuam sobre um único ponto, porém sobre uma área; as forças 
são concentradas sobre a parte frontal da esfera conforme indicado. Como resultado, a força 
normal agora exerce um torque que se opõe à rotação. Além disso, existe um certo deslizamento 
 
78 
da esfera sobre a superfície por causa da deformação, produzindo uma perda de energia 
mecânica. A combinação desses dois efeitos origina o fenômeno do atrito de rolamento. O atrito 
de rolamento também ocorre quando o corpo é deformável tal como o pneu de automóvel. 
Quando o corpo que rola e a superfície são rígidos o atrito de rolamento é desprezível, mas, caso 
contrário, o atrito de rolamento sempre provocará uma redução da energia mecânica. 
A energia cinética do movimento de rolamento é 
𝐾 = 
𝑚𝑣2
2
+ 
𝐼𝜔2
2
 (1) 
em que 𝑚 é amassa do corpo,𝑣é a velocidade de translação do centro de massa, 𝐼 é o momento 
de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e 𝜔 é a velocidade angular em relação ao 
mesmo eixo. 
 O momento de inércia de uma esfera maciça, obtido pela teoria é 
𝐼 = ∫𝑟2𝑑𝑚 = 
2
5
𝑚𝑅2, (2) 
onde 𝑚 é a massa da esfera e 𝑅 o seu raio. Se o rolamento ocorre sem deslizamento, a 
velocidade angular é dada por 
𝜔 = 
𝑣
𝑅
 (3) 
Como exercício, substitua as relações (2) e (3) na equação (1) para mostrar que, no caso do 
rolamento sem deslizamento, 
𝐾 = 
7
10
 𝑚𝑣2. 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Verificar se o movimento de uma esfera sobre uma superfície inclinada ocorre com ou 
sem deslizamento, investigando se há ou não conservação da energia mecânica. 
 
Material Utilizado: Esfera, uma superfície inclinada, uma régua e um cronômetro. 
 
Procedimentos: 
Uma esfera parte do repouso do ponto A, a uma altura h em relação ao ponto B, e desce 
uma rampa executando um movimento combinado de rotação mais translação, Figura 2. No 
ponto A, a esfera tem, em relação ao ponto B, energia potencial gravitacional 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ. Ao 
passar pelo ponto B a esfera, que tem energia cinética de rotação e translação, liga um 
cronômetro que é desligado ao chegar em C. Como no ponto B a velocidade é horizontal seu 
valor é dado por 𝑣 = 𝑥/𝑡 , onde 𝑥 é a distância de B ao anteparo e 𝑡 o tempo gasto neste 
movimento. 
 
 
79 
 
Figura 2: Uma esfera sobre uma rampa parte do repouso, no ponto A, e abandona a superfície horizontal ao 
passar pelo ponto B. A esfera percorre uma distância horizontal 𝒙, com velocidade horizontal constante, até 
chocar-se com um anteparo. 
 
1.Posicione o anteparo a uma distância 𝑥 = 0,10 m do ponto B. 
 
2.Abandone a esfera sobre a rampa, em um ponto situado a uma altura ℎ em relação ao nível 
horizontal de referência, e meça o tempo que ela gasta para atingir o anteparo após abandonar a 
rampa. 
 
3.Varie a altura ℎ, conforme Tabela 1, e repita o procedimento anterior. 
4.Complete a Tabela 1 com os valores de 𝑣, 𝑈 e 𝐾. 
 
5.Compare os valores da energia 𝑈 no ponto A com a energia 𝐾 no ponto B. 
 
6.Houve conservação da energia mecânica? O rolamento foi com ou sem deslizamento? 
 
Tabela 1: Energia potencial gravitacional 𝑈 de uma esfera situada a uma altura ℎ, em relação a 
uma superfície horizontal, e sua energia cinética de translação mais rotação 𝐾 ao chegar à 
superfície horizontal com velocidades 𝑣. Ao abandonar a superfície horizontal, a esfera atinge um 
anteparo em um tempo 𝑡. 
ℎ ( m ) 𝑡(s) 𝑣 (m/s) 𝑈 (J) 𝐾 (J) 
0,100 
0,150 
0,200 
0,250 
 
 
 
80 
Dinâmica de rotação 
 
1. Introdução 
 
1.1 Rotação: 
 
 Considere um disco girando em torno de um eixo com velocidade angular, �⃗⃗⃗�. A Figura 1-a mostra 
um esquema do uso da “regra da mão direita” para determinar o sentido do vetor velocidade angular: se os 
dedos acompanham o sentido de rotação, então o polegar indica o sentido do vetor velocidade angular, �⃗⃗⃗�. 
 
 (a) (b) 
Figura 1: (a) Regra da mão direita para determinar o sentido do vetor velocidade angular. (b) 
Corpo rígido girando em torno do eixo que passa por O. Figura adaptada de [1]. 
 
Analisando o movimento de uma partícula, P (a uma distância 𝑟 do eixo de rotação, O) constituinte 
de um corpo rígido que gira com velocidade �⃗⃗⃗� no plano x-y, vemos que sua aceleração é dada por 
�⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑟 
com 
{
�⃗�𝑡 = 𝛼𝑟 �̂�𝜃
�⃗�𝑟 = −𝜔
2𝑟�̂�𝑟
 
onde �⃗�𝑡 e �⃗�𝑟 são as componentes tangencial e radial da aceleração, respectivamente, 𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
 é a 
aceleração angular; �̂�𝜃 e �̂�𝑟 são os vetores unitários na direção tangencial e radial, respectivamente. 
Observe que a componente radial da aceleração está direcionada para o eixo de rotação, O. Nese caso, 
essa componente é chamada de aceleração centrípeta, �⃗�𝑐. 
Em geral, se uma partícula de massa 𝑚 rotaciona num plano com velocidade angular 𝜔 em torno 
de um eixo fixo, O, sofre ação de uma força direcionada ao eixo de rotação, chamada de força centrípeta: 
�⃗�𝑐 = 𝑚�⃗�𝑐 = −𝑚𝜔
2𝑟�̂�𝑟 
Porém, do ponto de vista de um referencial não-inercial racionando junto com o corpo rígido, a partícula 
está em equilíbrio. Concluímos, do ponto de vista desse referencial não-inercial, que atua sobre ela uma 
força de inércia (ou força inercial) �⃗�𝑖𝑛 tal que 
�⃗�𝑐 + �⃗�𝑖𝑛 = 0 ⇒ �⃗�𝑖𝑛 = −�⃗�𝑐 
Portanto 
�⃗�𝑖𝑛 = 𝑚𝜔
2𝑟�̂�𝑟 
Essa força inercial que só aparece no referencial em rotação é chamada de força centrífuga e aponta 
radialmente para fora. 
 
1.2 Torque, momento de inércia e momento angular: 
 
81 
 
A Figura 2-a mostra uma partícula P se movendo no plano x-y, que está à uma posição 𝑟 (em 
relação a um eixo fixo em O) e sofre ação de uma força �⃗� (que também está no plano x-y, e faz um ângulo 
𝜙 com o vetor 𝑟). Define-se como torque, 𝜏: 
 
𝜏 = 𝑟 × �⃗�. 
Obseve que torque é uma quantidade vetorial cujo módulo é |𝜏| ≡ 𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜙. Nesse caso, devido à 
definição de produto vetorial, o torque estará paralelo ao eixo 𝑧, apontando na direção positiva desse eixo. 
A Figura 2-b mostra uma representação da “regra da mão direita” para determinar a direção e sentido do 
produto vetorial resultante, 𝐶, entre dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�. 
 
 (a) (b) 
Figura 2: (a) Torque sobre uma partícula P, rotacionando num plano x-y. (b) Resultado do 
produto vetorial entre �⃗⃗⃗� e �⃗⃗⃗�, que estão no mesmo plano. Figura adaptada de [1]. 
 
Seja o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo fixo 
 
𝐼 = ∫𝜌𝑟2𝑑𝑉 
onde 𝜌 é a densidade volumétrica, 𝑑𝑉 é o volume de uma porção infinitesimal a uma distância 𝑟 do eixo de 
rotação. Então o momento angular desse corpo rígido girando com velocidade angular �⃗⃗⃗� é dado por 
 
�⃗⃗� = 𝐼�⃗⃗⃗�. 
Pode-se mostrar que o torque externo total atuando sobre o sistema é igual à taxa de variação temporal do 
momento angular, ou seja, 
∑𝜏𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 
 
Portanto, se o torque total externo é nulo, então 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= 0 ⇒ �⃗⃗�𝑓 = �⃗⃗�𝑖 
onde �⃗⃗�𝑓 e �⃗⃗�𝑖 são os vetores momentos angulares final e inicial, respectivamente. Pela equação acima 
concluímos que há conservação do momento angular quando o torque externo total é nulo. Assim, 
pela definição de momento angular: 
𝐼𝑓 �⃗⃗⃗�𝑓 = 𝐼𝑖 �⃗⃗⃗�𝑖 
 
 
 
 
82 
2 – Parte Experimental 
Objetivo: Observar o movimento de corpos rígidos e explicar os fenômenos tendo como base leis 
e princípios relacionados com a dinâmica de rotação. 
 
1ª Experiência 
 
Monte um plano inclinado e coloque sobre ele um cilindro oco, um cilindro maciço e uma esfera, 
todos com mesmo diâmetro e mesma massa. Deixe-os rolar ao longo do plano. 
 
1. O tempo de queda é igual para todos? 
 
2. Qual deles terá maior energia cinética de rotação na base do plano e qual terá maior energia 
cinética de translação? Justifique. 
 
3. Se o plano fosse liso e os corpos caíssem escorregando, o tempo de queda seria o mesmo 
para os três? Justifique. 
 
4. Um disco de aço rola entre dois trilhos inclinados, apoiados em um eixo de raio pequeno, 
Figura 1. Observe o que acontece quando o disco chega à base dos trilhos, no momento em que 
toca a superfície horizontal. A velocidade de translação do disco variou? Explique o que você 
observou. 
 
Figura 1: Discode aço desce rolando entre dois trilhos inclinados. 
 
2.2 – 2ª Experiência: 
 
Na montagem da Figura 4 você poderá realizar várias experiências que lhe permitirão verificar a 
conservação do momento angular. Em primeiro lugar, procure lembrar-se do caráter vetorial desta 
grandeza e em que condições ela se conserva. 
 
 
83 
 
 (a) (b) 
Figura 4: Rotação na plataforma giratório com halteres em diferentes posições. Figura 
adaptada de [3] 
 
1) Se você se assentar sobre a plataforma, e um colega lhe colocar a girar, como será o vetor que 
representa em módulo, direção e sentido o momento angular adquirido por você? 
2) Carregue nas mãos o par de halteres que está sobre a mesa e sentado na plataforma, mantenha os 
halteres juntos ao corpo, como na Figura 4-a, e peça a um colega para lhe comunicar a rotação. Em 
seguida afaste os halteres, como na Figura 4-b. O que acontece com sua velocidade angular? Explique! 
3) Mantenha os braços encolhidos durante uma ou duas voltas completas e em seguida afaste-os 
novamente por uma ou duas voltas; repita essa dinâmica por algumas vezes. Verifique o que vai acontecer 
e dê uma explicação para os fatos. (Você provavelmente já observou bailarinos, patinadores e nadadores 
que saltam em trampolim, lançarem mão destes efeitos para variarem suas velocidades de rotação.) 
2.3 – 3ª Experiência: 
 
 
Figura 5: Análise de momento angular com plataforma giratória e giroscópio. Figura adaptada 
de [3]. 
 
1) Sobre a plataforma em repouso, tome em suas mãos uma roda de bicicleta e segure-a como eixo 
horizontal. Peça a um colega para girar fortemente a roda, conforme a Figura 5-a. 
 
2) Com a roda girando, posicione o eixo verticalmente, inclinando a roda para a direita, como indicado na 
Figura 5-b. Descreva o que acontece com a plataforma. Explique! 
 
3) Pare e repita o procedimento (1). Com a roda girando, posicione o eixo verticalmente, inclinando a roda 
para a esquerda, conforme a Figura 5-c. Explique o que acontece, e compare com o procedimento (2). 
Descreva o que acontece com a plataforma. Explique! 
 
 
 
 
 
 
84 
2.4 – 4ª Experiência: 
 
 
Figura 6: Roda suspensa pela corda, com eixo horizontal. Figura adaptada de [3]. 
 
1) Segure a roda pelo cordão, deixando-a pendurada com o eixo na vertical. 
2) Peça a um colega para girar a roda, de modo a obter um forte giro. 
3) Com a roda girando fortemente, peça a um colega para posicionar a roda com eixo horizontal, como na 
Figura 6, e solte-a. Descreva e explique o movimento realizado pela roda. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
interativo para dinâmica de rotações II. 
[3] Rotating plataform. Disponível em <http://www.inds.co.uk/physics/product.php?itemcode=PH135232 
Acesso em 24 de junho de 2015. 
[4] Rotation and Gyroscopic Precession. Disponível em 
<http://demoweb.physics.ucla.edu/content/experiment-7-rotation-and-gyroscopic-precession >. Acesso em 
24 de junho de 2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
 
ANEXO I: ORIENTAÇÕES GERAIS PARA REDAÇÃO DOS 
RELATÓRIOS TÉCNICOS 
 
a) São individuais; 
b) Podem ser entregues no início da aula de laboratório seguinte ao experimento realizado; 
c) Somente alunos que participaram da aula é que podem entregar o relatório; 
d) A nota final de cada relatório será baseada em dois fatores: (1) participação do aluno nas 
atividades e (2) avaliação do relatório em si. 
 
RELATÓRIO: 
 
 O relatório de uma atividade experimental consiste basicamente de três partes, as quais 
são descritas a seguir: 
 
Parte 1: Título, objetivos e introdução 
 
Deve conter uma capa (impressa) contendo: 
• Nome da instituição, departamento/instituto e curso; 
• Título do experimento; 
• Nome do autor(es); 
• Nome do professor; 
• Data e local da realização do experimento; 
 
Em outra folha: 
 
• Objetivos: descreva o que se pretende verificar, medir e aprender com o experimento. 
• Introdução: explique claramente os conceitos teóricos e hipóteses que servirão de base 
ao experimento, reforçando no final os objetivos. Apresente de forma simplificada, no 
último parágrafo, o que será feito na prática. 
 
 
Parte 2: Desenvolvimento: 
 
• Materiais: Liste todos os equipamentos e materiais de consumo utilizados. 
• Método: Faça uma breve introdução ao tema do experimento e relate detalhadamente 
todos os procedimentos realizados durante o experimento, os métodos de medidas e os 
cálculos envolvidos. 
• Resultados e análises: Apresente de forma clara os resultados obtidos, os quais devem 
ser destacados no texto com suas respectivas incertezas e unidades. Possíveis limitações 
da prática e/ou métodos devem ser discutidas. 
 
Caso alguma interpolação de dados tenha sido realizada na construção de gráficos, os dados 
da interpolação devem ser descritos no texto (com o correto número de algarismos significativos e 
incertezas); tais dados devem ser relacionados às quantidades físicas e equações pertinentes. 
 
 
86 
Discuta os resultados obtidos e responda as questões propostas no texto da atividade. 
 
➢ Dados: 
 
✓ Tabelas: dados numéricos obtidos durante o procedimento devem ser organizados 
em tabelas, as quais devem conter: 
• Legenda: Inicia com a palavra “Tabela”, seguida pelo seu número. Deve 
contar uma curta frase que descreve seu conteúdo. 
• Cabeçalho: Primeira linha da tabela, que deve conter nomes e/ou símbolos 
das grandezas listadas em cada coluna, com suas respectivas unidades e, 
quando for o caso, suas incertezas. 
• Conteúdo: Resultados a serem apresentados em cada linha e coluna. 
Medidas devem conter o número correto de algarismos significativos. 
 
❖ Exemplo de tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Gráficos: Recurso fundamental na análise dos resultados, pois permite uma 
visualização mais clara da relação entre as quantidades medidas. Deve conter: 
 
• Legenda: Inicia com a palavra “Gráfico” ou “Figura”, seguida pelo número que 
o identifica no texto. Deve conter uma curta frase, que descreve o que está 
sendo apresentado. 
• Eixos: Cada eixo horizontal e vertical deve conter nome e/ou símbolo da 
grandeza em questão, com a respectiva unidade. 
• Ajustes de curvas: caso tenha sido realizado qualquer ajuste de curva 
(regressão linear, por exemplo), os dados da interpolação devem ser incluídos 
na descrição do gráfico. 
 
❖ Exemplo de gráfico: 
 
 
 
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Gráfico 1: Tensão em função da corrente elétrica em um resistor. Os parâmetros “A” e “B” são os 
coeficientes angular e linear, respectivamente, de uma regressão linear do tipo Y=AX+B. 
 
 
Parte 3: Conclusão 
 
Tenha como referência os objetivos iniciais e faça um resumo do que foi feito na prática. 
Discuta se os resultados estão de acordo com o esperado, tendo em vista os objetivos; também é 
válido discutir as qualidades dos resultados no que diz respeito a erros e incertezas, e os 
possíveis motivos de tais erros e discrepâncias. 
 
Referências bibliográficas: Registre todas as referências utilizadas, seguindo alguma norma de 
citação bibliográfica formal. Por exemplo, as normas vigentes da Associação Brasileira de 
Normas Técnicas (ABNT) NBR 6023:2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
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Experimental Básica na Universidade. Belo Horizonte: ed. UFMG, 2007. 
 
CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Plano 
inclinado com sensores e multicronômetro de rolagem de dados. 
 
CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
interativo para dinâmica de rotações II. 
 
CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
lançador com sensores e software. 
 
CHAVES, Alaor; SAMPAIO, J. F. Física Básica: Mecânica. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos 
e Científicos, 2007. 
 
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Técnicos e Científicos, 2006. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: volume 1: 
mecânica. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006. 
 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: volume 1: mecânica. 4. ed. rev. São Paulo: E. 
Blücher, 2002. 
 
PIACENTINI, João J.; GRANDI, Bartira C. S.; HOFMAN, Márcia P.; LIMA, Flávio; ZIMERMAN, 
Erika. Introdução ao Laboratório de Física. 2 ed. Florianópolis: Ed. UFSC, 2001. 
 
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. 
Física I: mecânica. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. 
 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 
c2009. 
 
TREFIL, James S.; HAZEN, Robert M. Física viva: Uma Introdução à Física Conceitual. 
Volume 1. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006. 
. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006.