Prática de Centro de Massa

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CAMPUS TOLEDO 
 
Centro de Engenharias e Ciências Exatas 
Curso de Engenharia Química 
 
 
DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE MASSA 
 
Disciplina Física Geral e Experimental II 
Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza Quiñones 
 
Bruno José de Lima Fracaro 
Luiz Bergmann 
Felipe d’Avila 
Vinicius Dos Santos 
Matheus Soares Benatti 
 
 
 
ANO LETIVO 2017 
08/05/2017 
 
 
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RESUMO ..................................................................................................................................................... 3 
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 4 
2 EMBASAMENTO PRÉVIO .................................................................................................................... 6 
2.1 CENTRO DE MASSA ................................................................................................................................ 6 
3 MATERIAIS E MÉTODOS ..................................................................................................................... 8 
3.1 MATERIAIS ........................................................................................................................................... 8 
3.2 MÉTODOS ............................................................................................................................................ 8 
3.2.1 Método 1 ...................................................................................................................................... 8 
3.2.2 Método 2 ...................................................................................................................................... 9 
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ...............................................................................................................10 
4.1 SISTEMA 1 .............................................................................................. ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 
4.1.1 Método 1 ........................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
4.1.2 Método 2 ........................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
4.1.3 Análise dos resultados.................................................................... Erro! Marcador não definido. 
4.2 SISTEMA 2 ............................................................................................. ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 
4.2.1 Método 1 ........................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
4.2.2 Método 2 ........................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
4.2.3 Análise dos resultados.................................................................... Erro! Marcador não definido. 
4.3 SISTEMA 3 ............................................................................................. ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO. 
4.3.1 Método 1 ........................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
4.3.2 Método 2 ........................................................................................ Erro! Marcador não definido. 
4.3.3 Análise dos resultados.................................................................... Erro! Marcador não definido. 
5 CONCLUSÃO ......................................................................................................................................15 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................................................16 
7 ANEXOS.............................................................................................................................................17 
7.1 CÁLCULO DA POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA DO SISTEMA 1 ........................................................................ 17 
7.2 CÁLCULO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DO CÁLCULO DO CENTRO DE MASSA DO SISTEMA 1 .................................... 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
RESUMO 
Estudou-se a determinação do centro de massa em sistemas de partículas 
de modo experimental e de forma teórica. O sistema do experimento foi composto 
por 3 pares de discos de bronze, um prumo e um disco de acrílico no qual os 
pares de peças de bronze foram fixados formando diferentes configurações. Após 
a configuração desejada ser ajustada, o disco de acrílico foi pendurado no suporte 
aguardando pelo alinhamento do prumo, para então demarcação de 4 retas e 
assim, consequentemente do centro de massa. Também, para confirmação dos 
resultados experimentais obtidos, foi realizada a determinação de forma teórica. 
Palavras chaves: centro de massa, sistema, partículas. 
 
 
 
4 
4 
1 INTRODUÇÃO 
Qualquer pessoa que queira se tornar um bailarino profissional precisa 
passar por muitos treinamentos para poder alcançar esse status, mas, além de 
treinar a dança em si, é necessário ter um amplo conhecimento de física, para 
poder prever como seu corpo vai se comportar nas diversas situações que 
acontecem durante a dança. Por exemplo, um bailarino e uma bailarina saltam ao 
mesmo tempo, cuidando para alcançarem o mesmo ponto final. Mesmo assim, 
seus saltos são diferentes, devido principalmente a uma característica que difere 
entre homens e mulheres: o Centro de Massa. Para homens esse centro está 
localizado mais próximo do tórax, enquanto para mulheres fica mais próximo do 
quadril. A posição desse centro de massa para cada um dos bailarinos é uma das 
razões que a técnica para saltar entre homens e mulheres difere. 
 De maneira simples, o centro de massa é um ponto no espaço onde toda a 
massa de uma partícula, ou conjunto de partículas pertencentes a um sistema, é 
representada nas coordenadas desse ponto. Visto que esse é o ponto que 
representa o sistema, todas as forças externas são representadas sendo 
aplicadas nesse ponto, se possível. Uma vez localizado, esse centro pode ser 
utilizado para estudar o movimento de todo o sistema que está representando, e 
não apenas de partículas individuais pertencentes a esse sistema. Em corpos 
rígidos, que tem sua massa continuamente distribuída, esse centro de massa vai 
estar obrigatoriamente dentro desse corpo, mas já para sistemas com uma 
distribuição de massa espacial, o centro é um ponto entre as partículas. 
 Para corpos que apresentam alguma forma de simetria, o centro de massa 
tende a ser encontrado no eixo dessa simetria, desde que a massa desse sistema 
seja distribuída de forma uniforme. Nesses casos, diz-se que o centro de massa 
coincide com o centro geométrico do sistema. Caso esse centro esteja sob efeito 
de um campo gravitacional uniforme, ele pode ser chamado de centro de 
gravidade do sistema. 
Saber onde esse centro de massa está localizado é um aspecto de 
extrema importância na maioria dos aspectos da vida. Ter um carro alinhado em 
seu centro de massa permite viagens sem muita turbulência e que o carro faça 
 
 
5 
5 
curvas de forma mais segura; uma espaçonave precisa ter sua propulsão 
direcionada para o centro de massa, caso contrário ocorre a rotação da mesma; 
até um bailarino que desconheçe a técnica de salto apropiada que leva em 
consideração seu centro de massa tende a se desiquilibrar durante tal salto. A 
simples existência do centro de massa permite realizar simplificações e cálculos 
que seria extremamente mais complexos caso contrário. 
 
 
 
6 
6 
2 EMBASAMENTO PRÉVIO
2.1 CENTRO DE MASSA 
Levando em conta a vastidade do universo, e que existe uma quantidade 
praticamente ilimitada de partículas de diferentes formas e massas, seria 
impossível realizar qualquer estudo mais aprofundado de todas essas partículas. 
Logo é necessário se voltar para uma imagem maior, analisar o todo, para que 
depois esses estudos sejam contextualizados conforme o necessário. 
Segundo HALLIDAY, et.al. (2014, p.207) “o centro de massa de um 
sistema de partículas é o ponto que se move como se toda a massa do sistema 
estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem 
aplicadas nesse ponto”. De forma geral, esse conceito permite, conforme as 
dimensões avaliadas, tratar um sistema de partículas como uma partícula única. 
Para simplificações, considere um corpo rígido com massa distribuída 
uniformemente, como o utilizado em prática. É possível formular o vetor centro de 
massa desse corpo com o seguinte raciocínio: se esse corpo tem uma massa 
total M e um volume V, podemos dividir essa massa em N porções pequenas, 
sendo que cada uma dessas porções forma uma partícula nova dentro do corpo 
(representadas por um vetor 𝑟𝑖), sendo que essa partícula tem massa e volume 
extremamente pequenos. Dessa forma, o corpo em questão pode ser descrito 
como: 
�⃗⃗�𝑐𝑚 ≡
1
𝑀
∑Δ𝑚𝑖 ∗
𝑁
𝑖=1
𝑟𝑖 (1) 
Para maior exatidão, é necessário que o corpo seja dividido infinitas vezes, 
gerando infinitas partículas. Logo: 
�⃗⃗�𝑐𝑚 = lim
𝑛→∞
1
𝑀
∑Δ𝑚𝑖 ∗
𝑁
𝑖=1
𝑟𝑖 (2) 
Essa soma pode também ser representada da seguinte forma: 
 
 
7 
7 
�⃗⃗�𝑐𝑚 =
1
𝑀
∫𝑟𝑑𝑚 (3) 
Porém, para um sistema com N partículas, onde o centro de massa de 
cada uma delas é conhecido, não é necessário o uso da integral. Logo: 
�⃗⃗�𝑐𝑚 =
1
𝑀
∑𝑚𝑖 ∗
𝑁
𝑖=1
𝑟𝑖 (4) 
Onde 𝑟𝑖 é o vetor centro de massa de cada uma das partículas, e M é a 
massa total de todas as partículas existentes no sistema. 
 
 
 
8 
8 
3 MATERIAIS E MÉTODOS 
3.1 MATERIAIS 
Para esta prática foram utilizados um suporte, três pares de discos de 
bronze que variam em diâmetro (30 mm, 40 mm e 50 mm), uma balança semi-
analitica, um disco de acrílico, parafusos para fixação e um prumo juntamente 
com uma linha. O disco de acrílico possuía um furo em seu centro, juntamente 
com seis furos para diferentes configurações dos discos de bronze e inúmeros 
furos em suas periferias para fixação no suporte. Também foi necessária uma 
régua plástica e uma caneta para marcar a direção do prumo. 
 
3.2 MÉTODOS 
3.2.1 Método 1 
Primeiramente as massas tanto dos discos de bronze juntamente com seus 
respectivos parafusos de fixação e do disco de acrílico foram aferidas. Então o 
centro de massa do disco de acrílico foi determinado experimentalmente, através 
do cruzamento das retas traçadas sob a linha do prumo quando o disco era 
pendurado por sua extremidade em posições diferentes. O centro geométrico do 
disco representava também a origem de um plano cartesiano, sendo que um eixo 
abcisso e ordenado foi atíbuido a esse plano para facilitar a localização dos 
vetores posição e centro de massa. 
Em seguida foi escolhida a configuração para os discos de bronze 
procurando uma forma de distribuição não uniforme e aleatória da massa. Então 
os discos foram fixados por meio de parafusos ao disco de acrílico, tendo suas 
posições tomadas nota. 
Assim, o sistema foi preso ao suporte por meio de um engate com um 
parafuso nos furos externos do disco. Após a estabilização do prumo foram 
marcados dois pontos sobre a linha demarcada pela linha do prumo. Sendo o 
 
 
9 
9 
disco retirado do suporte e novamente preso por outro furo de sua periferia, 
repetindo o processo anterior por mais três vezes. 
Então, ao final deste processo, os pontos foram ligados com auxilio de uma 
régua plástico e um marcador, determinando-se assim suas intersecções e por 
consequência o centro de massa. 
O procedimento anterior foi repetido três vezes com diferentes 
configurações das massas de bronze. 
3.2.2 Método 2 
Utilizando os dados obtidos no método experimental, referentes às 
posições dos discos as quais foram tomadas notas através do sistema cartesiano 
anexado ao disco de acrílico foi determinada a posição teórica do centro de 
massa (Rcm) para as três configurações. 
 
 
 
 
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10 
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Para a verificação da Lei de Hooke foram analisadas a deformação de 
duas molas isoladas como também suas associações em série e paralelo, a partir 
da aplicação de massas nos sistemas, verificando suas respectivas elongações. A 
Tabela 1 relaciona as massas atribuídas com as elongações causadas para a 
Mola 1. 
Tabela 1 - Dados referentes a mola 1 
N º 
Massa 
Acoplada 
(± 0,01) g 
Força 
(± 0,098) N 
Posição X 
(± 0,01) cm 
Elongação 
(± 0,01) cm 
1 Lastro=gancho 0,0 0,0 0,0 
2 50,13 0,49 2,55 2,55 
3 50,12 0,98 5,15 5,15 
4 50,12 1,46 7,80 7,80 
5 10,03 1,57 8,35 8,35 
6 10,03 1,67 8,85 8,85 
7 10,04 1,77 9,30 9,30 
8 10,00 1,87 9,85 9,85 
9 10,04 1,97 10,25 10,25 
 
A partir dos dados apresentados na Tabela 1, pôde-se construir um gráfico 
de Força (�⃗�) versus Elongação (∆𝑥) que se encontra no Anexo 1. Verificando-se 
os pontos obtidos, traçou-se a melhor reta que comporta-se a mínima dispersão 
possível, podendo-se calcular também seu respectivo coeficiente angular (𝑘), cujo 
valor é 𝑘1 = (0,192 ± 0,025) 𝑁/𝑐𝑚, em que 𝑘 representa a constante da mola. 
Analogamente, foram determinadas as elongações sofridas pela Mola 2, 
por meio das aplicações das massas cujos dados podem ser observados na 
Tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 2 - Dados referentes a mola 2 
N
N º 
Massa Acoplada 
(± 0,01) g 
Força 
(± 0,098) 
N 
Posição X 
(± 0,50) cm 
Elongação 
(± 0,50) cm 
1 Lastro=gancho 0,0 0,0 0,0 
2 50,13 0,49 0,220 0,220 
3 50,12 0,98 0,465 0,465 
4 50,12 1,46 0,695 0,695 
5 10,03 1,57 0,740 0,740 
6 10,03 1,67 0,785 0,785 
7 10,04 1,77 0,845 0,845 
8 10,00 1,87 0,890 0,890 
9 10,04 1,97 0,935 0,935 
Deste modo, com os resultados representados na Tabela 2, obteve-se um 
gráfico de Força (𝐹)⃗⃗⃗⃗⃗ versus Elongação (∆𝑥) no Anexo 2. A partir dos pontos 
encontrados, pôde-se traçar a melhor reta em função dos pontos experimentais e 
assim calculou-se o coeficiente angular da reta (𝑘), sendo este, 𝑘2 = (0,206 ±
0,028) 𝑁/𝑐𝑚. 
Tendo obtido os valores das elongações bem como os gráficos para cada 
mola, analisou-se também a associação em paralelo das duas molas, cujos dados 
obtidos estão apresentados na Tabela 3. 
Tabela 3 - Dados referentes a associação em paralelo 
N
N º 
Massa Acoplada 
(± 0,01) g 
Força 
(± 0,098) 
N 
Posição X 
(± 0,50) cm 
Elongação 
(± 0,50) cm 
1 Lastro = gancho 0,0 0,0 0,0 
2 50,13 0,49 0,125 0,125 
3 50,12 0,98 0,245 0,245 
4 50,12 1,46 0,375 0,375 
5 10,03 1,57 0,395 0,395 
6 10,03 1,67 0,425 0,425 
7 10,04 1,77 0,445 0,445 
8 10,00 1,87 0,475 0,475 
 
 
12 
12 
9 10,04 1,97 0,495 0,495 
Com a computação dos dados e posterior visualização do gráfico Força (�⃗�) 
versus Elongação (∆𝑥) que consta no Anexo 3, foi observado uma relação linear 
entre ambas as grandezas, cujo coeficiente angular (𝑘) foi de 𝑘𝑃 = (0,399 ±
0,080) 𝑁/𝑐𝑚. 
Sendo assim, adquiriu-se também os resultados para a associação em 
série, representados na Tabela 4. 
Tabela 4 – Dados referentes a associação em série. 
N
 º 
Massa Acoplada 
(± 0,01) g 
Forç
a 
(±
0,098) N 
Posição X 
(± 0,50) cm 
Elongação 
(±1,00) cm 
1 Lastro =gancho 0,0 10,00 0,0 
2 50,13 0,49 15,00 5,0 
3 50,12 0,98 19,85 9,85 
4 50,12 1,46 24,85 14,85 
5 10,03 1,57 25,90 15,90 
6 10,03 1,67 26,80 16,80 
7 10,04 1,77 27,85 17,85 
8 10,00 1,87 28,85 18,85 
9 10,04 1,97 29,85 19,85 
Por meio destas medidas construiu-se um gráfico de Força (�⃗�) versus 
Elongação (∆𝑥) presente no Anexo 4, em que foi possível obter uma função linear 
e com isso, determinou-se o coeficiente angular, 𝑘𝑆 = (0,099 ± 0,001) 𝑁/ 𝑐𝑚. 
Contudo, ter obtido uma reta nestes gráficos significa que a Lei de Hooke 
ou força restauradora é descrita por uma função linear do tipo, �⃗� = 𝑘 ∙ ∆𝑥, em que 
F é a força, k é o coeficiente angular da reta obtida e Δx é a deformação sofrida 
pelo corpo; deste modelo também observa-se que a força restauradora é 
diretamente proporcional a deformação do corpo, sendo k sua constante de 
proporcionalidade, ou seja: 
�⃗� ∝ ∆𝑥 ⟺ 𝑘 =
𝐹
∆𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 
 
Neste contexto, com a equação apresentada anteriormente, pode-se definir 
que esta constante é medida em 𝑁/𝑐𝑚, além disso, o valor de k também pode ser 
 
 
13 
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considerado a tangente do ângulo formado entre a reta obtida e o eixo das 
abscissas, sendo portanto, a derivada da função �⃗� em relação à deformação 
sofrida pelo corpo, assim: 
𝑑
𝑑𝑥
(�⃗�) = 𝑘 
Diante disto, é notório que, para uma mesma força aplicada, quanto maior 
a constante de elasticidade, menor será a sua deformação, reforçando a 
proporcionalidade entre a força aplicada e a deformação sofrida pela mola. 
 
 
 
Observando a imagem, verifica-se que a força de associação de molas 
paralelas �⃗�𝑃 é equivalente a soma das respectivas forças de cada mola, ou seja: 
�⃗�𝑃 = �⃗�1 + �⃗�2 
De modo que o k teórico para a associação em paralelo possa ser 
determinado levando em consideração as seguintes relações: 
�⃗�𝑃 = �⃗�1 + �⃗�2⟺ 𝑘𝑃𝑥 = 𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥 ⟺ 𝑘𝑃 = 𝑘1 + 𝑘2 
Percebemos, portanto, que a constante de elasticidade da força elástica 
resultante da associação em paralelo é igual à soma dos constantes de 
elasticidade de cada mola. 
Já em uma associação em série, como observado na figura X a força 
elástica resultante da associação é igual a soma das forças de cada mola, de 
modo que, a elongação total seja a soma de cada elongação provocada por cada 
força, tem-se que: 
∆𝑥𝑇 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2⟺
�⃗�
𝑘𝑆
=
𝐹1⃗⃗ ⃗⃗
𝑘1
+
𝐹2⃗⃗ ⃗⃗
𝑘2
⟺
1
𝑘𝑆
=
1
𝑘1
+
1
𝑘2
⟺ 𝑘𝑆 =
𝑘1∙𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
 
 
 
 
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Sendo assim, a partir das deduções para os coeficiente de elasticidades 
das molas para a associação em paralelo e em série foi possível obter os 
seguintes valores para 𝑘: 
Tabela 5 – Dados referentes aos coeficientes de elasticidade das 
associações em paralelo e em série 
 
𝒌𝑷 𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 (𝑵 /𝒄𝒎) 𝒌𝑷 𝒕𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒐 (𝑵 /𝒄𝒎) 𝒌𝑺 𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 (𝑵 /𝒄𝒎) 𝒌𝑺 𝒕𝒆ó𝒓𝒊𝒄𝒐 (𝑵/ 𝒄𝒎) 
(0,399 ± 0,080) (0,398 ± 0,053) (0,099 ± 0,001) (0,0995 ± 0,040) 
Por meio dos valores da Tabela 5 observou-se que os coeficientes de 
elasticidade teóricos e os obtidos experimentalmente são relativamente 
semelhantes, o que afirma as deduções anteriores, porém, os 𝑘𝑃 e 𝑘𝑆 teóricos 
foram determinados por meio do conhecimento dos 𝑘 de cada mola que foram 
obtidos experimentalmente e, devido a isto, há a presença de erros de ambos os 
experimentos das molas. Logo, esta pequena diferença entre 𝑘𝑃 e 𝑘𝑆 
experimentais e teóricos advem das próprias incertezas das medições realizadas 
no experimento. 
 
 
 
15 
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5 CONCLUSÃO 
A comparação dos dados obtidos pelos métodos 1 e 2 para a determinação 
do ponto de centro de massa foi coerente, com os resultados de ambos os 
métodos sempre se localizando próximos um do outro. Dessa forma, um intervalo 
com maior confiabilidade resultante da média entre esses dois resultados foi 
criado, e dentro desse intervalo é que o centro de massa tem maiores chances de 
ser encontrado. A confiablidade dos métodos em estimar a posição do centro de 
massa foi comprovada, assim como foi determinado que os conceitos teóricos 
que englobam o centro de massa foram testados e comprovados. 
 
 
 
16 
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6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R; WALKER, J.. Fundamentos de física. 9ª 
Edição. Rio de Janeiro: LTC. Vol 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 ANEXOS 
7.1 CÁLCULO DA POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA DO SISTEMA 1 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ =
1
𝑀
∑𝑚𝑖𝑟𝑖
4
𝑖=1
 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ =
1
470,27𝑔
(22,45𝑔(9,5𝑖 − 5,5𝑗)𝑐𝑚 + 62,50𝑔(−9,6𝑖 + 5,5𝑗)𝑐𝑚
+ 115,32𝑔(−9,6𝑖 − 5,5𝑗)𝑐𝑚 + 270𝑔(0,15𝑖 + 0,15𝑗)𝑐𝑚) 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ =
1
470,27𝑔
((232,27𝑖 − 123,47𝑗) + (−600, 𝑖 + 343,75𝑗) + (−1107,07𝑖 − 634,26𝑗)
+ (40,5𝑖 + 40,5𝑗))𝑔. 𝑐𝑚 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ =
1
470,27𝑔
(−1434,3𝑖 − 373,48 𝑗)𝑔. 𝑐𝑚 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ = (−3,05𝑖 − 0,794𝑗)𝑐𝑚 = (−3,05 × 10−2𝑖 − 7,94 × 10−3𝑗) m 
Os cálculos dos demais sistemas seguiram o mesmo raciocínio. 
7.2 CÁLCULO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DO CÁLCULO DO CENTRO DE 
MASSA DO SISTEMA 1 
Primeiramente, foram feitas as propagações dos erros da multiplicação das 
massas de cada disco com a posição de seus centros de massa no sistema pela 
equação 9. 
 
 Para o disco menor (dmenor): 
 
∆𝑑𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (𝑚. 𝑟) 
∆𝑑𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (22,45 ∗ 0,005 + (9,5) ∗ 0,005)𝑖 + (22,45 ∗ 0,005 + (−5,5) ∗ 0,005)𝑗 
∆𝑑𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = (0,1597𝑖 − 0,0847𝑗)𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
 
 Para o disco médio (dmédio): 
 
∆𝑑𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (𝑚. 𝑟) 
∆𝑑𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (62,5 ∗ 0,005 + (−9,6) ∗ 0,005)𝑖 + (62,5 ∗ 0,005 + (5,5) ∗ 0,005)𝑗 
 
 
18 
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∆𝑑𝑚é𝑑𝑖𝑜 = (−0,2645𝑖 + 0,3400𝑗)𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
 
 Para o disco maior (dmaior): 
 
∆𝑑𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = (𝑚. 𝑟) 
∆𝑑𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = (115,32 ∗ 0,005 + (−9,6) ∗ 0,005)𝑖 + (115,32 ∗ 0,005 + (−5,5) ∗ 0,005)𝑗 
∆𝑑𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = (−0,5286𝑖 − 0,5491𝑗) 𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
 
 Para o disco de acrílico (dacrí): 
 
∆𝑑𝑎𝑐𝑟í = (𝑚. 𝑟) 
∆𝑑𝑎𝑐𝑟í = (270 ∗ 0,005 + 0,15 ∗ 0,005)𝑖 + (270 ∗ 0,005 + 0,15 ∗ 0,005)𝑗 
∆𝑑𝑎𝑐𝑟í = (1,3507𝑖 + 1,3507𝑗) 𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
 
Em seguida, foi realizada a propagação da somatória da massa de cada 
disco multiplicada pela sua posição de centro de massa pelas equações 7 e 8, 
identificada como Δmr. 
 
∆𝑚𝑟 = (0,1597𝑖 − 0,0847𝑗) + (−0,2645𝑖 + 0,3400𝑗) + (−0,5286𝑖 − 0,5491𝑗)
+ (1,3507𝑖 + 1,3507𝑗) 
∆𝑚𝑟 = (0,7173 𝑖 + 1,7742 �⃗⃗⃗�)𝑔 ∗ 𝑐𝑚 
 
Por fim, foi realizada a propagação da divisão da propagação da somatória 
da massa de cada disco multiplicada pela sua posição de centro de massa (Σmr=) 
pela massa total do sistema (M=470,27g±0,005g), resultando no erro da posição 
do centro de massa do sistema 1 (𝐶𝑀̅̅̅̅̅): 
 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ = 
(
 
−1453,3 ∗ 0,005 + 470,27 ∗ 0,7173
470,272
𝑖
 
−373,5 ∗ 0,005 + 470,27 ∗ 1,7742 
470,272
𝑗
)
 
𝐶𝑀̅̅̅̅̅ = (0,001492𝑖 + 0,003764𝑗)𝑐𝑚 = (1,49. 10−5𝑖 + 3,76. 10−5𝑗) 𝑚 
Os cálculos dos demais sistemas seguiram o mesmo raciocínio.