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Guias dos Relat�rios/LAB 1 - Determina��o Experimental do Centro de Press�o de uma Superf�cie Submersa.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Prof. João Marcelo Vedovoto Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto Experiência No 1 Determinação Experimental do Centro de Pressão de uma Superfície Submersa 1. Objetivo Comprovar experimentalmente a teoria da hidrostática, para o caso particular de uma superfície parcialmente ou totalmente submersa. 2. Desenvolvimento teórico A figura 1 ilustra a montagem experimental e a notação utilizada: a = 10,0 cm b = 7,5 cm d = 10,0 cm L = 27,5 cm Figura 1. Esquema da montagem e notação. 2.1 Superfície completamente imersa 2.1.1 Cálculo da força hidrostática (demonstrar no relatório!), cgF gh Aρ= (1) 2 d hhcg −= 2.1.2. Cálculo do centro de pressão teórico cp cg cph h y= − (2) sen 0xycp cg I x h A θ = − = senxx xx cp cg cg I I y h A h A θ = − = − Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte d b x y cg cp hcp hcg ycp Figura 2. Completamente imersa hcp hcg d h P b y x L a 3 12xx bdI = , A bd= . 2.1.3. Centro de pressão experimental Pelo equilíbrio de momento ( )[ ] ( )[ ]cpcp hdhabd2dhghdhaFmgL +−− −=+−−= ρ ( )[ ]dha bd 2 dh mLhcp −−− − = ρ (3) 2.2 Superfície parcialmente imersa 2.2.1 Cálculo da força hidrostática, cgF gh Aρ= (4) 2 hhcg = 2.2.2. Cálculo do centro de pressão teórico cp cg cph h y= − (5) 0xcp = Ah Iy cg xx cp −= 12 bhI 3 xx = , bhA = 2.2.3. Centro de pressão experimental ( )[ ] ( )[ ]cpcp hhdahb2hghhdaFmgL +−+=+−+= ρ .................. .. cph = (6) 3. Equipamento experimental • Bancada hidráulica base, • Aparato de hidrostática. 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório. Figura 3. Parcialmente imersa d b x y h cp cg Figura 3. Parcialmente imersa Tabela 1. Dados coletados, área e momento de inércia calculados. Medida Massa [gr] h [mm] A[m2] Ixx[ ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. Resultados Tabela 2. Usando ..................ρ = Medida hcg [m] ycp [m] F [N] hcpt teórico hcpe exp. erro [%] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 • Traçar uma curva do centro de pressão experimental ( cpeh ) em função do centro de pressão teórico ( cpth ), Gráfico 1; ajustar uma equação utilizando-se o método dos mínimos quadrados e calcular o ângulo de inclinação da reta obtida; qual o ângulo esperado? e porque? • Explicar porque o centro de pressão está sempre abaixo do centróide e dar explicações para os possíveis erros observados. 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia Procurar no setor de mec. dos fluidos e fenômenos de transporte da biblioteca. Gráfico 1. Guias dos Relat�rios/LAB 2 - Valida��o Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balan�o de Quantidade de Movimento.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Prof. João Marcelo Vedovoto Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto Experiência No 2 Validação Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balanço de Quantidade Movimento 1. Objetivo Comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento linear aplicada a um volume de fluido inercial. 2. Desenvolvimento teórico O teorema do transporte de Reynolds aplicado a quantidade de movimento linear em um meio fluido em movimento está demonstrada na maior parte dos livros de Mecânica dos Fluidos básica. Buscar esta literatura e apresentar a demonstração da equação seguinte, válida para um volume de fluido inercial: ( ) ( ).y yy VC SC Fs V d V V dA t ρ ϑ ρ ∂= + ∂ ∫ ∫ �� . (1) Fazer, as seguintes hipóteses: • Regime permanente, • Desprezar efeitos viscosos, • Desprezar efeitos da gravidade (erros da ordem de 0,8 %), e demonstrar que: A) para o sistema ilustrado na figura 1, a força resultante vertical que o jato efetuará sobre a placa defletora é dada por: ( ) 2 1 cosy QF A ρ θ= + , (2) B) para o sistema ilustrado na figura 2, a força resultante vertical que o jato efetuará sobre a placa defletora é dada por: ( ) 2 1 cosy QF A ρ θ= − , (3) onde Q é a vazão, A é a área da saída do bico injetor e θ é o ângulo formado com a horizontal. É importante observar que a hipótese usada acima, desprezar os efeitos viscosos, Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte Figura 1. Colisão e deflexão de um jato simétrico sobre uma placa. implica em dizer que a velocidade do líquido, após sair do bico injetor, é constante. Logo, pode-se dizer que a área transversal do jato é igual à área do lençol de líquido na saída da placa defletora. Lembrar que a força que se calcula pela aplicação da conservação da quantidade de movimento atua sobre o volume de controle de fluido. A forca que atua sobre a placa é a reação, ou seja, de igual magnitude e de sentido contrário. A equação (2) pode ser reescrita da seguinte forma: ( )1 cosy tF Q C QQ A ρ θ= + = , (4) com ( )1 costC A ρ θ= + . (5) Assim, a equação (4) pode ser expressa da seguinte forma: ( ) ty x C x= , (6) onde x Q= e ( ) yFy x Q= . A equação (3) também pode ser reescrita, na forma da equação (6). 3. Equipamento experimental • Bancada hidráulica base, • Bancada para impacto de jatos; Diâmetro do bico injetor = 8,0 mm. 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório. Fixar um tipo de placa defletora. Montar uma tabela com diferentes pares de vazão e massa necessária para equilibrá-la. Repetir o procedimento para as outras placas: 0o, 30o, 90o e 120o. Preencher a tabela abaixo. Tabela 1. Dados, placa de ângulo 0o Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Q [lit/s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 2. Colisão e deflexão de um jato não simétrico sobre uma placa. Tabela 2. Dados, placa de ângulo 30o Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Q [lit/s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabela 3. Dados, placa de ângulo 90o Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Q [lit/s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. Resultados Com os dados das tabelas 1, 2 e 3 montar uma tabela contendo os valores da força relativa às diferentes vazões. Criar outra coluna de força dividida pela vazão e: Tabela 4. Cálculo da força. • Montar os gráficos x vs. ( )y x e, utilizando-se do método dos mínimos quadrados, obter Ct relativo aos ângulos das placas. • Comparar os coeficientes teóricos e experimentais. • Calcular os erros e explicá-los. • Analisar a influência do ângulo θ sobre a força. 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia: Conforme nos experimentos precedentes. Placa 0o Medida Q [m3/s] F exp [N] F exp /Q [ ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabela 5. Cálculo da força. Placa 30o 90o Medida Q [m3/s] Fexp [N] F exp /Q [ ] Q [m3/s] F exp [N] F exp /Q [ ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabela 6. Comparação dos coeficientes Ct. usando ..................ρ = Placa Ct teor. Ct exp. erro [%] 0 o 30 o 90 o Gráfico 1 Obs: levar calculadora Guias dos Relat�rios/LAB 3 - Demonstra��o da Equa��o de Bernoulli.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Prof. João Marcelo Vedovoto Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto Experiência No 3 Demonstração da Equação de Bernoulli 1. Objetivo Comprovar experimentalmente a equação de Bernoulli. 2. Desenvolvimento teórico A equação de Bernoulli representa o principio da conservação da energia total (Fig. 1) sobre um escoamento reversível (sem efeitos viscosos e sem transferência de calor). Buscar na literatura informação e demonstrar essa equação: 2 2 1 2 1 1 2 22 2 V Vp gz p gz constanteρ ρρ ρ+ + = + + = . (1) onde V representa a velocidade, p a pressão estática, ρ a massa específica, g a aceleração da gravidade e z a cota do ponto considerado. Para a demonstração fazer as seguintes hipóteses: • Regime permanente; • Escoamento incompressível; • Escoamento não viscoso. 3. Equipamento experimental • Bancada hidráulica de base, • Bancada de Bernoulli. Parâmetros geométricos das seções: Seção Diâmetro [mm] Distância [mm] 1 25,00 00,00 2 13,00 60,28 3 11,80 68,68 4 10,70 73,18 5 10,00 81,08 6 25,00 141,54 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte Figura 1. Princípio de Bernoulli 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório e o aluno deverá desenvolvê-lo no relatório. Tabela 1. Dados coletados e vazão experimental calculada. Medida Volume [l] Tempo [s] ( )eQ [l /s] ( )eQ 1 2 3 Tabela 2. Dados experimentais. Vazão 1Q 2Q 3Q Seção ( )e ep [mmCA] ( )t ep [mmCA] ( )e ep [mmCA] ( )t ep [mmCA] ( )e ep [mmCA] ( )t ep [mmCA] 1 2 3 4 5 6 5. Resultados A experiência será desenvolvida em um tubo de Venturi. As medidas serão levantadas na seção convergente do mesmo. Para se comprovar a validade desta equação, experimentalmente, serão medidas a pressão estática ( ( )e ep ) e a pressão total ( ( )t ep ) para logo calcular a ( ) ( ) ( )( )d e t e e ep p p= − . Para esse conjunto de dados será medida também a vazão ( )eQ . Teoricamente, com o valor de Q calcula-se a velocidade média e usando-se o termo da pressão dinâmica obtém-se ( )d tp . Considera-se que a pressão total teórica é igual à pressão total experimental do primeiro ponto, assim, calcula-se a pressão ( )e tp em todos os pontos. • Montar os gráficos de pressões (estática, dinâmica, total) em função da posição da tomada da pressão, um para cada valor de ( )eQ . • Represente graficamente a variação da pressão total em função de ( )eQ para cada ponto. • Analise os gráficos e comente a respeito da validade da equação de Bernoulli. • As pressões teóricas e experimentais são iguais? Se existir diferença entre elas, dar explicações das possíveis causas. • Qual das pressões totais é mais confiável? Justificar. Tabela 3. Usando ..................ρ = Vazão 1Q = [m3/s] Seção ( )e ep [Pa] ( )d ep [Pa] ( )t ep [Pa] Vm [m/s] ( )d tp [Pa] ( )e tp [Pa] ( )t tp [Pa] 1 2 3 4 5 6 Tabela 4. Usando ..................ρ = Vazão 2Q = [m3/s] Seção ( )e ep [Pa] ( )d ep [Pa] ( )t ep [Pa] Vm [m/s] ( )d tp [Pa] ( )e tp [Pa] ( )t tp [Pa]] 1 2 3 4 5 6 Tabela 5. Usando ..................ρ = Vazão 3Q = [m3/s] Seção ( )e ep [Pa] ( )d ep [Pa] ( )t ep [Pa]] Vm [m/s] ( )d tp [Pa]] ( )e tp [Pa] ( )t tp [Pa]] 1 2 3 4 5 6 Tabela 6. Erro para pressão total. Vazão 1Q 2Q 3Q Seção erro [%] erro [%] erro [%] 1 2 3 4 5 6 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia Conforme nos experimentos precedentes. Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4. Pressão total experimental nas seções 1, 5 e 6. Obs: levar calculadora Guias dos Relat�rios/LAB 4 - Determina��o experimental dos coeficientes de descarga dos medidores de vaz�o tipo Venturi e tipo placa de orif�cio.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Prof. João Marcelo Vedovoto Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto Experiência No 4 Determinação experimental dos coeficientes de descarga dos medidores de vazão tipo Venturi e tipo placa de orifício 1. Objetivo • Determinar experimentalmente o coeficiente de descarga de um medidor de vazão venturi; • Determinar experimentalmente o coeficiente de descarga de um medidor de vazão placa de orifício; 2. Desenvolvimento teórico Sabe-se que é possível medir, indiretamente, a vazão que passa por uma dada canalização, medindo-se a diferença de pressão provocada por uma contração colocada nesta canalização. Seja o venturi ilustrado na Fig. 1, aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 e combinando o resultado com a equação da continuidade, tem-se a seguinte expressão para a vazão (o aluno deve demonstrar esta dedução): ( )1 1 22 1 vc 2 1 AQ p p A A ρ = − − . (1) Observar que a pressão 2p é determinada pela área da vena contracta a qual é desconhecida e não se pode determiná-la com precisão. Neste caso, ela será substituída por 2A e introduz-se uma correção através do chamado coeficiente de descarga dC . Logo, ( )Q C A A A p pd= − − 1 1 2 2 1 2 1 2 ρ . (2) Este coeficiente de descarga também é conhecido como coeficiente de calibração. Sua determinação deve ser forçosamente experimental. Para tanto basta identificar o lado esquerdo da equação (2) como sendo a vazão real ou experimental e o lado direito como sendo o produto de Cd pela vazão teórica, ou seja: Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte Figura 1. Venturi ( ) ( ) e d tQ C Q= . (3) Fazendo-se uma série de medidas da vazão real e da diferença de pressão associada e conhecendo-se os parâmetros geométricos, traça-se uma reta de ( ) ex tQ f Q= , cujo coeficiente angular é o coeficiente de descarga do medidor de vazão em questão. 3. Equipamento experimental • Bancada hidráulica base, • Circuito para calibração de medidores de vazão. Dados geométricos: tuboD = 31,75 mm ventD = 15,00 mm porfD = 20,00 mm 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório. Tabela 1. Vazão experimental. Medida ( )eQ [l /s]a ( )eQ [l /min] 1 Rotâmetro 2 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 3 Rotâmetro 4 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 5 Rotâmetro 6 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 7 Rotâmetro 8 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 9 Rotâmetro 10 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 Tabela 2. Pressão experimental ( )ep . Venturi [mmCA] Placa de orifício [mmCA] Medida 1p 2p 6p 7p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. Resultados Realizar os experimentos e preencher as tabelas anexas. • Tratar os dados e calcular ( )eQ e ( )tQ ( ( )tQ usando a Eq. 2 e os dados de pressão medidos). • Traçar as curvas e ajustar as equações para os dois casos. • Determinar os coeficientes de descarga. • Comparar com os valores típicos citados pela literatura. • Comparar os valores da ( )eQ com os valores indicados pelo rotâmetro, especificar o erro. 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia Conforme nos experimentos precedentes. Obs: Levar calculadora. Tabela 3. Venturi. Medida ( )tQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] erro [%] erro [%] 1 Rotâmetro Rotâmetro 2 3 Rotâmetro Rotâmetro 4 5 Rotâmetro Rotâmetro 6 7 Rotâmetro Rotâmetro 8 9 Rotâmetro Rotâmetro 10 Gráfico 1. Medidor de tipo Venturi. Tabela 4. Placa de orifício. Medida ( )tQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] erro [%] erro [%] 1 Rotâmetro Rotâmetro 2 3 Rotâmetro Rotâmetro 4 5 Rotâmetro Rotâmetro 6 7 Rotâmetro Rotâmetro 8 9 Rotâmetro Rotâmetro 10 Gráfico 2. Placa de orifício Tabela 5. Coeficientes de descarga. dC dC Venturi Rotâmetro Placa de orifício Rotâmetro Guias dos Relat�rios/LAB 5 - Calibra��o de um convergente para determina��o da velocidade m�dia na se��o de testes de um t�nel aerodin�mico.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Prof. João Marcelo Vedovoto Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto Experiência No 5 Calibração de um convergente para determinação da velocidade média na seção de testes de um túnel aerodinâmico 1. Objetivo • Medir velocidades utilizando um tubo de Pitot • Calibrar um conduto convergente para determinação de vazão 2. Desenvolvimento teórico 2.1 Revisar a teoria para determinar a velocidade de uma partícula de fluido utilizando-se um tubo de Pitot. Visto em sala de aula! Aprofundar com leitura complementar !. A velocidade local V pode ser avaliada pela expressão: 2 pV ρ ∆ = , (1) onde P∆ é a diferença de pressão registrada na sonda de Pitot e ρ é a massa específica do fluido. A velocidade média deve ser calculada usando os valores de velocidade local ponderada pela posição do tubo de Pitot H (em relação à base do túnel de vento). 2.2 Revisar a teoria para determinar a vazão do fluido em um sistema utilizando um duto convergente. Visto na experiência 4! Reapresentar. 3. Equipamento: • Túnel de vento, • Tubo de Pitot. Diâmetro do tubo de Pitot: 3 mm. 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório. ............................ρ = ??? Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte Figura 1. Tubo de Pitot Tabela 1. Dados experimentais coletados. P∆ conv. [mmCA] = Freqüência [Hz] = 20 30 40 50 60 Méd. H [mm] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] p∆ [mmCA] 1 1,5 2 2,0 3 2,5 4 3,0 5 3,5 6 4,0 7 5,0 8 6,0 9 7,0 10 8,0 11 9,0 12 10,0 13 12,0 14 20,0 15 30,0 16 40,0 17 60,0 18 100,0 Tabela 2. Velocidade local. Freqüência [Hz] = 20 30 40 50 60 Méd. H [m] V [m/s] V [m/s] V [m/s] V [m/s] V [m/s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5. Resultados Tabela 3. Dados para calcular velocidade média. Freqüência [Hz] = 20 30 40 50 60 Méd. H [m] VH [.....] VH [.....] VH [.....] VH [.....] VH [.....] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ∑ • Traçar os gráficos de velocidade local em função da posição em relação à parede inferior do canal; Gráfico 1. Perfis de velocidade Tabela 4. Dados experimentais para determinar a equação de calibração. Méd. Freq. [Hz] P∆ do convergente [mmCA] V velocidade média [m/s] 1 20 2 30 3 40 4 50 5 60 • Traçar o gráfico da velocidade média V na seção de teste do túnel em função do p∆ do convergente em mmCA. • Determinar o polinômio (da forma ( )bV a P= ∆ ) pelo método dos mínimos quadrados, onde V em [m/s] e, convenientemente, P∆ em [mmCA] . Gráfico 2. Usando ..................ρ = 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia Conforme nos experimentos precedentes. Obs: Levar calculadora. Guias dos Relat�rios/LAB 5 (TIPO 2) - Caracteriza��o Hidrodin�mica de um Orif�cio.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos I Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Experiência No 5 Caracterização hidrodinâmica de um orifício 1. Objetivo • Calibrar um orifício como um medidor de vazão; • Determinar o coeficiente de velocidade (Cv), o coeficiente de contração (Cc) e o coeficiente de descarga (Cd) de um orifício. 2. Desenvolvimento teórico A Fig. 1 ilustra um orifício, por meio do qual se gera uma vazão ( )eQ . Apresenta-se em seguida a teoria resumida sobre os coeficientes citados acima (o aluno deve apresentar esta teoria em detalhes no seu relatório). A velocidade que se atingiria na vena contracta se os efeitos de atrito não fossem considerados é denominada de velocidade teórica ou ideal tV . Devido ao efeito do atrito viscoso, a velocidade real eV é menor e a relação delas é o coeficiente de velocidade: e v t VC V = . (1) A razão da área do jato na vena contracta vcA e a área do orifício oA é definida como sendo o coeficiente de contração: o vc c A AC = . (2) A razão entre a vazão real e Q e a vazão ideal tQ é definida como sendo o coeficiente de descarga do orifício: e d t QC Q= . (3) Observando-se que tde QCQ = , evce VAQ = e tot VAQ = , conclui-se que: C C Cd c v= . . (4) Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte Figura 1. Venturi Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 na Fig. 1 e desprezando-se a diferença das pressões entre estes dois pontos e os efeitos viscosos, tem-se que: ghVt 2= . (5) Logo, ghCV ve 2= . (6) Para se determinar os coeficientes a que se propõe, necessita-se determinar a vazão e um dos coeficientes de descarga. Como o coeficiente de contração não pode ser medido no nosso laboratório, buscar-se-á uma forma de se medir o coeficiente de velocidade. Para tanto será utilizado o seguinte desenvolvimento teórico. Considera-se o jato da Fig. 1, o qual está submetido ao campo gravitacional. Logo as posições x e y de uma partícula de fluido são dadas por: x V tx= (7) y gt g x V x C h C x hx v v = = = = 1 2 1 2 4 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (8) logo, ( ) 2 2 1 2 v xy hC = . (9) Traçando-se a reta y versus 2 x h determina-se o seu coeficiente angular e em consequência o coeficiente de velocidade vC . Determina-se experimentalmente dC e com a equação (4) determina-se c C . 3. Equipamento experimental • Bancada hidráulica base, • Aparato para teste de jatos. Dados geométricos: orificioD = 6 mm 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório. Tabela 1. Vazão experimental e altura. Medida ( )eQ [l /s] h [mm] 1 2 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 3 4 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 5 6 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 7 8 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 9 10 volume 1 v2 v3 tempo 1 t2 t3 5. Resultados Realizar os experimentos e preencher as tabelas anexas. • Ajusta-se uma reta de Q em função de Qi e determina-se o coeficiente de descarga Cd . • Para cada altura h traça-se numa folha branca ou milimetrada a trajetória do jato livre e obtem-se os pares y função de x2 /h. • Com a curva 2 ( / ) y f x h= determina-se Cv por meio de uma regressão linear. Assim, determina-se diferentes valores de Cv e Cc . • Traçar as curvas de Cv e Cc em função de h. 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia Conforme nos experimentos precedentes. Tabela 2. Posições dos jatos. Med [m] 1 y 2 x h 3 4 5 6 7 8 9 10 Gráfico 1. Determinação do coeficiente de velocidade (2 curvas). Tabela 3. Venturi. Medida ( )tQ [m3/s] ( )eQ [m3/s] erro [%] dC vC cC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gráfico 2. Determinação do coeficiente de descarga. Gráfico 3. Curvas de Cv e Cc em função de h. Obs: Levar calculadora. Guias dos Relat�rios/LAB 6 - Determina��o Experimental do Coeficiente de Arrasto sobre Cilindros de Base Circular.pdf Disciplina: Mecânica dos Fluidos Prática: Prof. Elie Luis Martínez Padilla Prof. João Marcelo Vedovoto Teoria: Prof. Aristeu da Silveira Neto Experiência No 6 Determinação Experimental do Coeficiente de Arrasto sobre Cilindros de Base Circular 1. Objetivo • Determinar experimentalmente o coeficiente de arrasto de um cilindro circular imerso; • Verificar experimentalmente o efeito da rugosidade do cilindro sobre o coeficiente de arrasto; • Levantar as curvas de coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds; • Comparar os resultados determinados no MFLab com resultados publicados na literatura. 2. Desenvolvimento teórico Revisar a teoria para arrasto sobre corpos imersos em escoamentos. Revisar a teoria e as equações para o cálculo do coeficiente de arrasto no presente experimento; visto em sala de aula! Aprofundar com leitura complementar! Polinômio de calibração do convergente do túnel: ( )0,4953,85V p= ∆ , (1) onde as unidades são m/s para a velocidade média V e mmCA para a diferença de pressão do convergente p∆ . Logo, o número de Reynolds é expresso como: VDRe ρ µ = , (2) sendo D o diâmetro do cilindro e ρ e µ são a massa específica e a viscosidade dinâmica do fluido. O coeficiente de arrasto é calculado segundo a equação: 20,5 D D FC V Aρ = , (3) onde DF é a força de arrasto e A é a área transversal do cilindro. Na figura 1 apresentam-se dados de referência para cilindro liso (Schlichting, 1979). Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Mecânica Laboratório de Ensino em Fenômenos de Transporte Figura 1. Coeficiente de arrasto para cilindro liso. 3. Equipamento: 3.1 Túnel de vento. • Diâmetro do cilindro liso: 9,6 mm • Diâmetro do cilindro rugoso: 9,7 mm • Massa do cilindro liso: 37,12 g • Massa do cilindro rugoso: 37,69 g • Comprimento do cilindro liso: 193,6 mm • Comprimento do cilindro rugoso: 193,6 mm 4. Procedimento experimental Será explicado no laboratório. Tabela 1. Dados coletados para o cilindro liso. Freqüência do controlador [Hz] 20 30 40 50 60 Ângulo [o] P∆ conv. [mmCA] Tabela 2. Dados coletados para o cilindro rugoso. Freqüência do controlador [Hz] 20 30 40 50 60 Ângulo [o] P∆ conv. [mmCA] 5. Resultados Tabela 3. Cálculos para cilindro liso. Freqüência do controlador [Hz] 20 30 40 50 60 V [m/s] DF [N] Re DC Tabela 4. Cálculos para cilindro rugoso. Freqüência do controlador [Hz] 20 30 40 50 60 V [m/s] DF [N] Re DC • Traçar os gráficos do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds para os dois cilindros, comparar com dados de referência. Gráfico 1. 6. Relatório Elaborá-lo segundo as recomendações. 7. Bibliografia Conforme nos experimentos precedentes. Obs: Levar calculadora. Relat�rios/LAB 1 - Relat�rio.pdf 1 Universidade Federal de Uberlândia FEMEC Laboratório de Transferência de Calor e Massa e Dinâmica dos Fluidos Prof. Odenir de Almeida Centro de Pressão em uma superfície submersa Nome: Guilherme Ribeiro Goulart nº: 87284 Uberlândia, 16 de Abril de 2010. 2 Sumário RESUMO .................................................................................................................................................... 3 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 4 PROBLEMA A SER ESTUDADO ........................................................................................................... 4 DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS ................................................................................................... 5 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ................................................................................................... 6 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO – MODELO MATEMÁTICO ..................................................... 6 ANÁLISE DOS DADOS ......................................................................................................................... 15 CONCLUSÃO .......................................................................................................................................... 16 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 17 3 Resumo Foi realizado um experimento que consiste no enchimento de uma cuba de acrílico com água, a qual contém um ¼ toróide, onde atua a força hidrostática. O ponto de aplicação dessa força é chamado de centro de pressão, e a determinação deste ponto é o principal objetivo do relatório, comparando os valores experimentais com os teóricos. Assim foram recolhidos dados no experimento e com a ajuda das expressões deduzidas capazes de calcular o centro de pressão tanto de forma teórica como experimental. Observou-se que o erro aumenta de acordo com que se retira água da cuba e a face plana do toróide fica menos imersa no líquido. 4 Introdução A hidrostática, também chamada estática dos fluidos ou fluidostática (hidrostática refere-se a água, que foi o primeiro fluido a ser estudado, assim por razões históricas mantém- se o nome) é a parte da física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso, além das tensões geradas por superfícies submersas nesses fluidos. Assim as tensões estudadas na hidrostática são geralmente chamadas pelo termo “pressão” e essa pressão é o quociente da intensidade da força exercida uniforme e perpendicularmente sobre uma superfície, pela área dessa mesma superfície. Com isso a hidrostática proporciona maneiras para determinar as conseqüências dessa pressão nas áreas submersas e desenvolver métodos matemáticos que simulem todo esse fenômeno. O prévio conhecimento acerca da pressão atmosférica e da pressão devido ao fluido é necessário para o estudo dos problemas na hidrostática. Através das duas componentes é calculada a pressão total em um ponto de uma superfície submersa, a qual resulta em uma força em uma determinada área. A força hidrostática é calculada a partir do somatório dessas forças em cada elemento de área. Ela é determinada através da pressão exercida, tanto pela pressão atmosférica quanto pela coluna de fluído, no centro de gravidade. Porém a força resultante atua no Centro de Pressão, ponto o qual deve atuar a força de forma a equilibrar os momentos de cada componente de força presente em uma placa submersa. Devido ao fato de esse centro de pressão não coincidir com o centro de gravidade (CG) do corpo de prova, está sempre abaixo do último, há a geração de um torque na estrutura em relação a o “CG” da mesma. A intenção do presente laboratório é comprovar a veracidade do conceito de centro de pressão ministrado em aula. Assim foi realizado o procedimento experimental que será explicado adiante, que consiste basicamente no balanceamento entre a força peso acrescentada de tempos em tempos no sistema e a força hidrostática exercida por um fluido na seção do corpo de prova. Problema a ser estudado O objetivodo laboratório se resume na determinação, experimental e teórica, do centro de pressão de uma estrutura (toróide) submersa, total e parcialmente, em um fluido (água) para posterior confirmação da teoria. 5 Descrição dos Equipamentos - Bancada Hidráulica - ¼ de toróide de acrílico - Haste (sustentação dos pesos) - Contra peso - Porta peso - Ponto pivotante - Mangueira de silicone - Válvula lenta (controlar a vazão) Figura 01 – Foto tirada do laboratório de Fenômeno de Transporte 6 Procedimento experimental Ao iniciar o experimento, houve o balanceamento do sistema (equilíbrio das forças). Assim a cuba foi colocada na bancada hidráulica observando-se sempre se indicador bolha estava ao centro indicando o equilíbrio. O contrapeso foi regulado em uma posição na qual a barra ficou totalmente na horizontal. Caso esta etapa não fosse corretamente executada todos os dados poderiam ser descartados. A cuba de acrílico foi preenchida com água até a altura de 149 mm, de acordo com o peso pré estabelecido (435 g). Retirou-se, a partir do inicio do experimento, de 35 em 35 g de massa, sempre medindo as respectivas alturas. A cada nova massa que se obtinha no sistema, o mesmo deveria ser novamente equilibrado, nivelando-o de acordo com o indicador bolha. Os dados estão indicados na Tabela 1 (página XXXXX). Desenvolvimento Teórico – Modelo Matemático Força Hidrostática Figura 02 Fonte: http://www.esta.ipt.pt/download/disciplina/2051__Trab2_CentroImpulsao.pdf 7 Considerando o esquema demonstrado acima, é uma placa que está totalmente submersa em um fluido, e com uma dada inclinação em relação ao nível de água. É importante determinar a força total que a pressão provoca na superfície total da placa. Tomando um elemento diferencial dA , sobre essa área atua uma força também diferencial dF .Esses dois elementos se relacionam da seguinte forma: dAPdF . (1) dAHPdF fa . (2) Integrando em ambos os lados, na intenção de se determinar a força total que atua sobre a placa, temos: A fa dAHPdF . (3) A fa dAHAPF ... (4) Como a pressão atmosférica atua em ambos os lados da placa e não há grande variação, pode ser desconsiderada . E que o peso específico seja constante em todo o fluído. A f dAHF . (5) È necessário que se determine uma relação entre a altura H e o elemento diferencial dA, já que ambos são variáveis ao longo de toda a placa. Utilizando-se da equação Eq (7): XsenH . (6) E substituindo Eq.(7) na Eq.(6), temos: A dAsenXF .. (7) Para se determinar as coordenadas do centróide de qualquer figura utiliza-se da seguinte integral: A dAX X CG . (8) XdAAX CG . (9) 8 Temos que a força em uma superfície plana qualquer é: AXsenF CGf .. (10) AHF CGf . (11) Portanto a força hidrostática que atua em uma superfície plana qualquer submersa, é dada pelo peso especifico, a altura do centro de gravidade até a superfície e a área total da placa. Superfície Totalmente Imersa Cálculo do centro de pressão teórico Figura 03 Fonte: http://www.cct.uema.br/Cursos_OnLine/Mecanica_dos_Fluidos/Aulas/FT1-03-02-HE.pdf A partir do centro de gravidade da peça pode-se determinar a força hidrostática que atua em uma peça submersa. Porém, como já citado anteriormente, a força resultante F não atua através do centróide, mas abaixo dele, na parte de maiores pressões. Sua linha de ação passa através do centro de pressões CP da placa. Essas coordenadas podem ser determinadas a partir de eixos de coordenadas fixos em cima do centróide da placa, as quais são representadas pelas equações abaixo: Cálculo das coordenadas do C.P: Para se determinar o centro de pressão de uma placa submersa segue-se o principio que é o ponto onde é aplicada a força hidrostática , a qual gera um torque CPyF. e CPxF. . dApyyF A CP ... (12) 9 dApxxF A CP ... (13) dAhPyyF fa A CP ... (14) senZh . (15) Substituindo a equação 15 e em 13, temos: dAsenZPyyF fa A CP ... A fa A CP dAZysendAPyyF ..... Coordenadas de um centróide: A dAy y ACP . , A CP dAyAy .. (16) Aplicando a equação 16 em 17. 0... AyPydAPdAPy CGA A aa A (17) O sistema de eixos que está sendo utilizado na determinação das coordenadas X e Y, está sobre o Centro de gravidade, portanto as coordenadas desse ponto são CG (0,0) . dAsenZyyF fCP ..... (18) yZZCG (19) A fCP dAZysenyF .... Substituindo 19 em 18: A CGfCP dAyZysenyF .... dAydAZysenyF A CGfCP ..... 2 10 Determinando valor da primeira integral: 0.... CGCG A CG A CG yZdAyZdAZy Da mesma maneira, utilizou-se a equação 16, e a coordenada 0CPy dAysenyF A fCP ... 2 (20) A XX dAyI . 2 (21) Substituindo 21 em 20, temos: IxxsenyF fCP ... APF CG . Ah Isen y CG XX CP . .. (22) dAsenZPxxF fa A CP ... A fa A CP dAZxsendAPxxF ..... A dAx x ACP . , A CP dAxAx .. 0... AxPxdAPdAPx CGA A aa A dAsenZxxF fCP ..... yZZCG A fCP dAZxsenxF .... A CGfCP dAyZxsenxF .... 11 dAyxdAZxsenxF A CGfCP ...... dAyxsenyF A fCP .... (23) O produto de inércia em relação a x : dAyxPxy .. (24) Substituindo 24 em 23: xtfCP PsenxF ... APF CG . Ah Psen x CG XY CP . .. (25) Desta forma foram determinadas as coordenadas CPX e CPY , em relação a um sistema de eixo que está centrado no centróide da figura, equações 22 e 25. Sendo que XP representa o produto de inércia da figura em relação ao eixo X, XXI o momento de inércia também em relação a X, o ângulo da superfície e a placa, A sendo a área total e CGh altura da superfície até o centróide da figura analisada. No caso da experiência realizada: Figura: 04 Fonte: http://www.mecanica.ufu.br/ArquivosDisciplinas/GEM19_0656.PDF 12 0 . . Ah senP X CG x CP , pois o produto de inércia é zero Ah I Ah senI Y CG XX CG XX CP .. . , sendo que o ângulo é de 90°. As equações abaixo representam as relações que estão apresentadas na figura acima: Produto de Inércia para um retângulo: 0xP Momento de Inércia: 12 . 3db I xx Área: dbA . Altura da superfície do fluído até o centro de gravidade: 2 d hhCG Altura da superfície do fluído até o centro de pressão: CPCGCP yhh São por essas equações que posteriormente nesse relatório serão calculados os CPh para cada nível de água determinado no laboratório. Centro de pressão experimental Para se determinar a altura da superfície do fluído até o centro de pressão, aplicou-se o principio que o ¼ toróide estaria em repouso, ou seja: 0AM (26) Portanto, aplicando as equações de momento no ponto A, temos: CPhdhaFmgL CPhdhabd d hgmgL . 2 . 13 Tal que bd d hgF . 2 . , representa a força hidrostática aplicada no centro de pressão. dha bd d h mL hCP . 2 (27) Sendo que é a massa específica do fluído em questão, no caso da experiência a água 3 998 m kg . Superfície Parcialmente Imersa Cálculo da força hidrostática Figura: 06 Fonte: http://www.mecanica.ufu.br/ArquivosDisciplinas/GEM19_0656.PDF As mudanças que ocorrerão relativamente à superfície completamente submersa se restringem ao fato de que as pressões de fluido atuarão apenas na superfície submersa. Desta forma temos que a força e CGh podem ser determinado pelas seguintes equações: 2 h hCG e (28) AhgF CG ... (29) 14 Cálculo do Centro de pressão teórico 0 . . Ah senP X CG x CP , é o mesmo valor que na superfície totalmente submersa. Ah I Ah senI Y CG XX CG XX CP .. . (30) Produto de Inércia para um retângulo: 0xP Momento de Inércia: 12 . 3hb I xx Área: hbA . Altura da superfície do fluído até o centro de gravidade: 2 h hCG Altura da superfície do fluído até o centro de pressão: CPCP y h h 2 Centro de Pressão experimental 0AM , temos: CPhhdaFLgm .. CPhhdabh h gLgm .. 2 ... hda bph mL hCP 2 2 (31) Desta forma pode-se calcular a altura da superfície até o ponto de centro de pressão pela equação Eq.(17) experimentalmente. 15 Análise dos dados A partir dos dados obtidos foi possível preencher os dados da tabela a seguir Medida Massa [g] h [mm] A [m²] Ixx [m4] 1 435 149 0,0075 6,25E-06 2 400 140 0,0075 6,25E-06 3 365 131 0,0075 6,25E-06 4 330 123 0,0075 6,25E-06 5 295 114 0,0075 6,25E-06 6 260 106 0,0075 6,25E-06 7 225 97 0,007275 5,7E-06 8 190 88 0,0066 4,26E-06 9 155 79 0,005925 3,08E-06 10 120 68 0,0051 1,97E-06 Tabela 1 Medida Hcg [m] Ycp [m] F [N] cpth teor cpeh exp erro [%] 1 0,099 -0,00842 7,269075 0,107418 0,110434 2,808174 2 0,09 -0,00926 6,60825 0,099259 0,10329 4,06036 3 0,081 -0,01029 5,947425 0,091288 0,096557 5,772262 4 0,073 -0,01142 5,360025 0,084416 0,089086 5,532242 5 0,064 -0,01302 4,6992 0,077021 0,083349 8,216324 6 0,056 -0,01488 4,1118 0,070881 0,076579 8,039256 7 0,0485 -0,01617 3,454279 0,064667 0,072715 12,44656 8 0,044 -0,01467 2,843016 0,058667 0,068285 16,39457 9 0,0395 -0,01317 2,291227 0,052667 0,061494 16,76061 10 0,034 -0,01133 1,697586 0,045333 0,058693 29,46942 Tabela 2 16 Gráfico cpth teórico x cpeh experimental Conclusão Observou-se que os dados teóricos são ligeiramente diferentes dos experimentais (medidos em laboratório). Esta diferença se deve ao fato de erros sistemáticos como: erro na calibração do sistema, erro de leitura de operadores, erro nos valores da massa e etc. O objetivo do laboratório foi alcançado, mostrando aos executores do mesmo a veracidade do problema pré-estabelecido. 17 Bibliografia White, F, Mecânica dos Fluidos, McGrawwHill, RJ, 1991 Streeter, V. I., 1978, Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, SP, Brasil Daugherty, R.L.,1965, Fluid Mechanics, McGraw- Hill, New York, USA. http://pt.wikipedia.org Instruções para Elaboração de Relatórios – Prof. Odenir de Almeida Relat�rios/LAB 2 - Relat�rio 1.pdf Universidade Federal de Uberlândia FEMEC Laboratório de Transferência de Calor e Massa e Dinâmica dos Fluidos Prof. Odenir de Almeida Validação Experimental da Segunda Lei de Newton ou Balanço de Quantidade de Movimento Nome: Guilherme Ribeiro Goulart nº: 87284 Guilherme Caetano Pontes n°: 87283 Turma D Uberlândia, 30 de Abril de 2010. Sumário RESUMO .................................................................................................................................................... 3 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 4 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO ......................................................................................................... 5 DESCRIÇÃO DOS EQUIPAMENTOS ................................................................................................... 7 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ................................................................................................... 8 CONCLUSÃO .......................................................................................................................................... 11 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 12 Resumo Este experimento tem como objetivo a comprovação da Segunda Lei de Newton ou balanço de quantidade de movimento linear. Utilizou-se o teorema do transporte de Reynolds como principal embasamento teórico e as considerações de que o atrito viscoso e a força da gravidade são desprezíveis bem como de que o sistema estava em regime permanente para se comparar os resultados teóricos com os experimentais. No experimento um jato de água atingia uma placa de impacto com diferentes ângulos de deflexão, assim puderam ser relacionados força resultante, vazão de saída do jato e ângulo de saída. Introdução A mecânica dos fluidos é uma das ciências básicas para toda a engenharia. O assunto compreende várias especialidades tais como aerodinâmica, engenharia hidráulica, engenharia naval, dinâmica dos gases e processos de fluxo. Trata da estática, cinemática e da dinâmica dos fluidos, já que o movimento de um fluido é causado por forças não equilibradas, aplicadas sobre o mesmo. Os métodos de análise disponível baseiam-se na aplicação dos seguintes princípios, conceitos e leis: leis do movimento, de Newton, a primeira e a segunda leis da termodinâmica, o princípio da conservação da massa, equações de estado relacionando propriedades do fluido, lei da viscosidade de Newton, conceitos de comprimento de mistura e restrições causadas pela presença de fronteiras. Considerando meios em movimento deve-se aplicar as equações fundamentais a volumes de controle. Utiliza-se o tratamento Euleriano que, geralmente, é mais vantajoso no estudo dos fenômenos de transporte na determinação de forças, pressões, temperaturas, concentrações, viscosidades, etc., em uma determinada região do espaço sem se preocupar com a sua história precedente ou com o futuro do escoamento. A técnica do volume de controle é muito utilizada, visto que, aparelhos de medida, como termômetros e transdutores ficam geralmente fixos numa região em vez de se movimentarem com o fluido. Portanto, as técnicas de medida são baseadas no conceito de volume de controle que fornecem as medidas das propriedades Eulerianas do fluido. Neste experimento será comprovada a lei da conservação da quantidade de movimento linear (segunda Lei de Newton) aplicada a um volume de fluido inercial. Desenvolvimento Teórico A partir do teorema do transporte de Reynolds aplicado à quantidade de movimento linear em um meio fluido em movimento, sendo considerado regime permanente, desprezados os efeitos viscosos e os da gravidade, pode-se determinar a força que o jato de fluido exerce em diferentes geometrias e para diferentes vazões. É importante observar que, para cada geometria das placas de colisão, são obtidas quantidades de movimento linear diferentes, proporcionais aos respectivos ângulos de deflexão. A força que se calcula pela aplicação da conservação da quantidade de movimento atua sobre o volume de controle de fluido. A força que atua sobre a placa é a reação, ou seja, de igual magnitude e de sentido contrário. Figura 1 – Colisão e deflexão de um jato sobre uma placa. Hipóteses: Sem perdas pela gravidade; Não há perdas por atrito viscoso. De acordo com a segunda lei de Newton, uma massa m sujeita a ação de uma força resultante F se acelera de acordo com a seguinte equação: )(mV dt d dt dV mmaF (1) Para um volume de controle fixo e arbitrário, o teorema do transporte de Reynolds é dado pela equação: dAnVd dt d B dt d SC r VC sist ).()( (2) Na segunda lei de Newton (1), queremos definir a quantidade de movimento linear ( mV ), portanto, mVB (3) Logo, VdmdB / (4) Então, substituindo as variáveis B e no teorema de transporte de Reynolds, obtemos a relação da quantidade de movimento linear para um volume de controle deformável: dAnVVdV dt d FmV dt d SC r VC sist ).()( (5) Sendo: V - a velocidade do fluido em relação a um referencial inercial; - massa especifica do fluido; Q - vazão de fluido; A - a área de saída do bico injetor; F - a soma vetorial de todas as forças atuantes no volume de controle material, sendo estas forças de superfície e de campo. Como a equação (5) é uma relação vetorial e somente nos interessa a componente vertical y, a equação acima se reduz a: dAnVVdV dt d F SC ry VC y ).( (6) Para que a Equação (6) seja válida, o fluido deve estar em regime permanente, ou seja, considerar a velocidade do liquido constante após sair do bico injetor. Para isso devemos desprezar os efeitos de viscosidade e da gravidade. Considerando o esquema da Fig. 1, temos que: dAnVVdV dt d F SC ry VC y ).( => cos)(cos)( 22 dAVAVFy Portanto, cos1 2 A Q Fy (7) A equação (7) pode ser reescrita da seguinte forma: QCQ AQ F t y ..cos1 (8) Para o cálculo teórico utilizaremos a relação: Q AQ Fy .cos1 (9) E para o cálculo experimental utilizaremos a relação: Q Fy QCt . (10) Como: cos1 A Ct (11) Podemos reescrever a equação (8) da seguinte forma: y(x) = tC . x (12) No qual y(x) = Q Fy e x = Q Descrição dos Equipamentos - Bancada hidráulica de acrílico: utilizada como base do experimento. Nela se encontrava todos os próximos equipamentos citados - Bancada de impactos: por onde passa o jato de água e o impacto é recebido - Bomba: responsável pelo bombeamento da água para o surgimento do jato - Mangueira: responsável pelo transporte da água - Reservatório de água - Placas defletoras de 0°, 30° e 90°: dispersão do jato de água - Disco porta-peso: aparato para os pesos - Mola: prende o disco à placa defletora - Pesos - Cronômetro: marcação do tempo - Registro: responsável por controlar a vazão de água - Graduação: indicador da variação do volume Figura 2 – Bancada Hidráulica Figura 3 – Bancada de impactos Procedimento Experimental Com a bomba ligada e inicialmente com um peso de 50g sobre o disco, utilizando-se do registro, controla-se a vazão de água até a posição de equilíbrio. Como o mesmo tinha sido quebrado, um objeto foi utilizado para se identificar esta posição. Utilizando a graduação como referência, a partir da posição 0 (zero) dispara-se o cronômetro e na posição 5 o mesmo era parado. Estas marcações se referem ao volume contido no reservatório. O reservatório era esvaziado e o procedimento repetido. Após 3 (três) medições, 50 g eram acrescentadas ao disco até atingir-se 500 g. O experimento foi feito com uma placa defletora de 30º e os dados apresentados na sessão “Resultados” foram obtidos por outras turmas da disciplina. Resultados TABELA 1 Medida Massa [g] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t médio [s] Volume [L] 1 50 57,62 54,91 58,12 56,88333 5 2 100 34,03 36,43 35,04 35,16667 5 3 150 29,63 29,94 27,5 29,02333 5 4 200 23,65 25,78 23,87 24,43333 5 5 250 20,56 22,69 21,56 21,60333 5 6 300 19,28 19,4 19,71 19,46333 5 7 350 18,75 16,84 17,1 17,56333 5 8 400 16,91 17,71 17,12 17,24667 5 9 450 15,03 15,22 16,62 15,62333 5 10 500 13,9 14,5 14,5 14,3 5 TABELA 2 Placa 0 30 90 Medida Q [ m³/s] F [N] F/Q Q [ m³/s] F [N] F/Q Q [ m³/s] F [N] F/Q 1 0,000115 -0,5209 -4549,16 8,78992E-05 -0,1771541 -2015,42 0,000152 -0,2532 -1666,23 2 0,000146 -0,8426 -5785,82 0,00014218 -0,4635098 -3260,02 0,000232 -0,5884 -2539,88 3 0,000183 -1,32943 -7267,55 0,000172275 -0,6804979 -3950,06 0,000244 -0,6501 -2669,76 4 0,000215 -1,83477 -8537,82 0,000204638 -0,9601872 -4692,11 0,000341 -1,2759 -3740,22 5 0,000238 -2,25939 -9474,4 0,000231446 -1,2282303 -5306,77 0,000346 -1,3097 -3789,34 6 0,000258 -2,63905 -10239,5 0,000256893 -1,5131672 -5890,26 0,000407 -1,8196 -4466,52 7 0,000296 -3,47758 -11754,2 0,000284684 -1,8582642 -6527,46 0,000429 -2,0138 -4698,78 8 0,000294 -3,42335 -11662,2 0,000289911 -1,92713 -6647,31 0,000472 -2,4456 -5178,13 9 0,000333 -4,41437 -13243,1 0,000320034 -2,3484102 -7338 0,000484 -2,5670 -5305,08 10 0,00036 -5,14069 -14291,1 0,00034965 -2,8031689 -8017,06 0,000524 -3,0159 -5750,26 Os sinais negativos que apareceram nos valores de força mostram que estas estão em sentido contrário ao adotado pelo eixo de referência. Para uma melhor visualização dos resultados apresentados nas tabelas acima foram construídos os gráficos abaixo, onde pode-se notar que o coeficiente experimental é a inclinação da reta de regressão linear que acompanha o próprio gráfico. Coeficiente experimental de . O mesmo indica um decréscimo de y (F/Q) com o crescimento de x. y = -4E+07x + 2E-11 -16000 -14000 -12000 -10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 F/ Q Q F/Q x Q (0°) F/Q x Q (0°) Linear (F/Q x Q (0°)) Coeficiente experimental de . O mesmo indica um decréscimo de y (F/Q) com o crescimento de x. Coeficiente experimental de . O mesmo indica um decréscimo de y (F/Q) com o crescimento de x. y = -2E+07x + 1E-11 -9000 -8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 F/ Q Q F/Q x Q (30°) F/Q x Q (30°) Linear (F/Q x Q (30°)) y = -1E+07x + 5E-12 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 0 0,0002 0,0004 0,0006 F/ Q Q F/Q x Q (90°) F/Q x Q (90°) Linear (F/Q x Q (90°)) Conclusões Com a análise dos resultados, vimos que o coeficiente experimental se aproxima consideravelmente do coeficiente teórico, o que pode ser comprovado pela analise de erros, a qual apresenta valores muito pequenos, conforme apresentado na Tabela 3. Placa defletora Ct Ce Erro (%) 0° -39729299 -4E+07 0,006813 30° -22928801 -2E+07 0,1277 90° -10963824 -1,00E+07 0,0879 Tabela 3: Erros obtidos no ensaio. Os erros apresentados se devem a pequenas variações nas medidas de vazão, erros no equilíbrio do jato com os pesos, além de arredondamentos de cálculos e outros fatores que tiram o ambiente da condição ideal de realização do experimento. Observamos também, que quanto maior for o ângulo da placa defletora, menor será a força que o jato fará na placa para equilibrar uma mesma massa. Isto já era esperado, pois a força do jato varia com o cosseno de , o qual diminui no intervalo de 0° a 90°. Assim, comparando os dados experimentais com os dados teóricos, pudemos comprovar a Segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento linear aplicada a um volume de fluido inercial, cumprindo assim o objetivo do experimento realizado. Bibliografia - SHAMES, I. H., Mecânica dos Fluidos Princípios Básicos, v. 1, São Paulo, 1973, McGraw-Hill. - WHITE, F. M., Mecânica dos Fluidos, Ed. Edgard Blucher. - http://pt.wikipedia.org - Instruções para Elaboração de Relatórios – Prof. Odenir de Almeida Relat�rios/LAB 2 - Relat�rio 2.pdf 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLANDIA – FEMEC CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECANICA DISCIPLINA: MECÂNICA DOS FLUIDOS PROF. Elie Luis Martínez Padilla Experiência nº 2 Turma: E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DA SEGUNDA LEI DE NEWTON OU BALANÇO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO 2 Resumo Nesse experimento, procuramos comprovar a segunda lei de Newton ou lei da quantidade de movimento linear aplicada a um volume de fluido inercial, se impactando com superfícies de diferentes inclinações, formando assim, diferentes ângulos de saída para o fluxo de fluido. 10 massas diferentes foram colocadas para equilibrar o sistema. Para efeito de cálculo, foram medidos 3 valores de tempo para cada massa. Introdução No experimento relatado a seguir foi realizado o estudo prático da reação de forcas sobre três diferentes superfícies com diferentes ângulos de saída e diferentes massas usadas para o equilíbrio da força do jato, para a posterior comparação destes valores com os calculados analiticamente através da equação da quantidade de movimento linear, combinada com o teorema de transporte de Reynolds. Também neste experimento buscou-se visualizar graficamente a variação do coeficiente Ct experimental através da curva quociente da Força pela Vazão mássica X Vazão mássica, comparando os três distintos resultados obtidos. Procedimento de cálculo Neste experimento, foi utilizada uma bancada hidráulica base, para impacto de jatos, que possuía uma válvula para se regular o fluxo do fluido, e um medidor do volume do fluido acumulado na bancada hidráulica. Para o experimento, foram utilizadas três placas, com ângulos de saída diferentes: zero, trinta e noventa graus. Para equilibrar a força do jato na placa, foram utilizadas 10 massas diferentes: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450 e 500 gramas, e eram equilibradas controlando o fluxo do fluido através da válvula da bancada. Para medir a vazão mássica, cronometramos três tempos distintos. Esses tempos decorriam do enchimento de 5, 10 e 15 litros dentro do compartimento da bancada hidráulica, mostrados por um nível do lado externo da bancada. Para calcularmos a Força resultante vertical que o jato efetuará sobre a placa defletora, utilizamos o teorema de transporte de Reynolds aplicado a quantidade de movimento linear em um meio fluido em movimento, demonstrado a baixo: “Seja B uma propriedade do fluido, e seja a grandeza intensiva correspondente, definida pela quantidade de B por unidade de massa em qualquer porção pequena de fluido. A quantidade total de B no volume de controle e uma curva sólida qualquer é: , sendo . Três, são as fontes de variação em B relacionadas com o volume 3 de controle: Variação no interior do volume de controle: ; Fluxo de saída de no volume de controle: , e Fluxo de entrada de no volume de controle: . Assim, podemos afirmar que: (Bsist)= + - .”[1] Para o sistema do experimento, a força resultante estará apenas na vertical e pode ser calculada da seguinte maneira: sabendo que o escoamento é em regime permanente e desprezando o efeito viscoso e da gravidade, podemos aplicar o teorema de transporte de Reynolds, onde B=mV temos: , a parcela é zero pois não há variação de volume no volume de controle(regime permanente). Como o escoamento é incompressível, podemos fazer o balanço de massa, onde Q=VA, e sabendo que Q1=Q3, temos: , como V1=V3, descobrimos que as áreas também são iguais. Voltando à equação (1), temos: , mas V=Q/A, então: . Fr=mg= . Portanto, . Onde Q é a vazão, A é a área da saída do bico injetor e θ é o ângulo formado com a horizontal. Para obter o Ct teórico, manipulamos a equação (2), de modo que: , com: . Ainda podemos dizer que: y(x)=Ctx, onde x=Q e . Com a equação (3), poderemos determinar o Ct experimental, à partir de uma regressão linear, que será explanada posteriormente. Análise dos resultados Tabela 1. Dados, placa de ângulo 0° Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s] 1 500 13,70 13,80 14,20 13,90 0,35971223 2 450 15,50 14,00 14,60 14,70 0,34013605 3 400 17,40 17,30 17,00 17,23 0,29013540 4 350 17,00 16,70 17,00 16,90 0,29585799 5 300 18,50 19,60 20,10 19,40 0,25773196 6 250 21,50 20,50 20,90 20,97 0,23847377 7 200 23,90 23,20 22,70 23,27 0,21489971 8 150 27,00 27,30 27,70 27,33 0,18292683 9 100 32,60 34,70 35,70 34,33 0,14563107 10 50 38,00 45,80 47,20 43,67 0,114503817 Tabela 2. Dados, placa de ângulo 30° 4 Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s] 1 500 13,56 13,45 13,23 13,41333333 0,372763419 2 450 14,10 14,70 14,10 14,30000000 0,349650350 3 400 15,08 14,60 17,92 15,86666667 0,315126050 4 350 16,00 16,50 16,00 16,16666667 0,309278351 5 300 16,54 17,22 17,20 16,98666667 0,294348509 6 250 18,90 18,70 18,30 18,63333333 0,268336315 7 200 21,63 21,78 21,56 21,65666667 0,230875789 8 150 24,30 24,40 24,50 24,40000000 0,204918033 9 100 31,22 30,46 31,27 30,98333333 0,161377084 10 50 44,50 45,00 44,80 44,76666667 0,111690246 Tabela 3. Dados, placa de ângulo 90° Medida Massa [gr] t1 [s] t2 [s] t3 [s] tmédio [s] Q [lit/s] 1 500 11,09 10,19 10,88 10,72000000 0,46641791 2 450 12,60 11,28 10,62 11,50000000 0,434782609 3 400 11,75 11,69 11,34 11,59333333 0,431282346 4 350 13,28 12,69 12,84 12,93666667 0,386498325 5 300 13,5 13,59 13,68 13,59 0,367917586 6 250 15,03 15,6 14,47 15,03333333 0,332594235 7 200 16,25 15,84 15,91 16 0,3125 8 150 20,47 19,22 19,19 19,62666667 0,254755435 9 100 26,69 25,9 25,97 26,18666667 0,190936864 10 50 43 41,88 43,38 42,75333333 0,116949945 Tabela 4. Cálculo da força Placa 0° Medida Q [m³/s] Fexp [N] Fexp/Q [N.s/m³] 1 0,000359712 4,905 13635,90 2 0,000340136 4,415 12978,63 3 0,000290135 3,924 13524,72 4 0,000295858 3,434 11605,23 5 0,000257732 2,943 11418,84 6 0,000238474 2,453 10284,15 7 0,000214900 1,962 9129,840 8 0,000182927 1,472 8044,200 9 0,000145631 0,981 6736,200 10 0,000114504 0,491 4283,700 5 Tabela 5. Cálculo da força Placa 30° Placa 90° Medida Q [m³/s] Fexp [N] Fexp/Q [N.s/m³] Q [m³/s] Fexp [N] Fexp/Q [N.s/m³] 1 0,00037276 4,905 13158,48 0,000466418 4,905 10516,3200 2 0,00034965 4,415 12625,47 0,000434783 4,415 10153,3500 3 0,000315126 3,924 12452,16 0,000431282 3,924 9098,44800 4 0,000309278 3,434 11101,65 0,000386498 3,434 8883,60900 5 0,000294349 2,943 9998,352 0,000367918 2,943 7999,07400 6 0,000268336 2,453 9139,650 0,000332594 2,453 7373,85000 7 0,000230876 1,962 8498,076 0,000312500 1,962 6278,40000 8 0,000204918 1,472 7180,920 0,000254755 1,472 5776,12800 9 0,000161377 0,981 6078,930 0,000190937 0,981 5137,82400 10 0,000111690 0,491 4391,610 0,000087090 0,491 5632,10472 Nas tabelas 1, 2 e 3, podemos perceber 10 massas distintas, que variam de 50 a 500 gramas, usadas para equilibrar a força do jato na placa defletora. Os tempos t1, t2 e t3, todos em segundos, foram medidos ã partir do equilíbrio da força peso da placa com a força do fluxo de fluido do jato. Eles foram medidos quando a bancada atingia 5, 10 e 15 litros após o equilíbrio. O tempo médio nada mais é do que a média aritmética dos três tempos medidos . O Q(vazão mássica) é calculado a partir da divisão entre o volume, que é de 5 litros, com o tempo médio medido; sua unidade é litros/segundo. A diferença de valores dos tempos , tempo médio e do Q se deve apenas à inclinação da placa defletora, e conseqüentemente o ângulo θ em que o jato saía da placa. Para a tabela 1 esse ângulo era de 0 graus, na tabela 2 o ângulo era de 30 graus e na tabela 3 o ângulo era de 90 graus. Na tabela 4, calculamos o Q em /s. Para isso, basta pegar o Q calculado na tabela 1 e dividir por 1000. Depois calculamos a força resultante experimental dada por: Fy=m.g/1000 ( a divisão por 1000 é apenas para deixar a Força em Newtons), onde m é a massa correspondente ao experimento( de 50 a 500 gramas) e g é a aceleração da gravidade, dada por g=9,81m/ . Por último calculamos o quociente da F experimental pela vazão mássica para todas as 10 medidas. Na tabela 5, foi adotado o mesmos procedimentos de cálculo, porém, como o ângulo da placa defletora mudou, foram coletados os dados pertinentes, das tabelas 2 e 3 respectivamente, onde foram coletados dados para as placas dessas angulações. Das tabelas 4 e 5, foram confeccionados 3 gráficos. No gráfico 1, para a placa de 0 graus foram usados os dados da tabela 4: No eixo x, os valores de Q [m³/s] e no eixo y, os valores de Fexp/Q [N.s/m³]. Para a confecção do gráfico foi feita uma regressão linear com os 10 pares de valores oferecidos, ajustados com a reta y=ax+b. Para a regressão, consideramos Q como os valores de x e F/Q como os valores de y. Assim, foram aplicadas as fórmulas da regressão linear[2], e deste modo, foi possível descobrir o coeficiente Ct experimental. Para a obtenção dos gráficos 2 e 3, para as placas de 30 e 90 graus respectivamente, foram usados os dados da tabela 5, e o procedimento de cálculo para os gráficos foi o mesmo explanado anteriormente. 6 y = 37091170,27x + 1113,862073 R² = 0,964330123 0,00 2000,00 4000,00 6000,00 8000,00 10000,00 12000,00 14000,00 16000,00 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 Fe xp /Q [ N .s /m ³] Q [m³/s] Gráfico 1 - Placa 0° y = 34916893,82x+320,0299908 R² = 0,986473518 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 0,00000000 0,00010000 0,00020000 0,00030000 0,00040000 Fe xp /Q [ N .s /m ³ Q [m³/s] Gráfico 2 - Placa 30° y = 14672956,81x + 2894,520516 R² = 0,901803822 0,0000 2000,0000 4000,0000 6000,0000 8000,0000 10000,0000 12000,0000 0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 Fe xp /Q [ N .s /m ³] Q [m³/s] Gráfico 3 - Placa 90° 7 Das regressões lineares, foram obtidas as equações escritas no gráfico. No gráfico 1 , obtivemos que y = 37091170,27x + 1113,862073, com cerca de 96% dos pontos contidos na reta. No gráfico 2, obtivemos que y = 34916893,82x+320,0299908, com cerca de 98% dos pontos contidos no gráfico. No gráfico 3, obtivemos que y = 14672956,81x + 2894,520516, com 90% pertencendo à reta do gráfico. Como já foi dito, o coeficiente Ct experimental foi descoberto através das equações das retas, e já foi demonstrado que Ct exp é igual ao coeficiente a da equação da reta. Disso podemos obter outra Tabela: Tabela 6. Comparação dos coeficientes Ct, usando ρ=977 kg/m³ Placa Ct teor. Ct exp. erro [%] 0° 38873594,85 37091170,27 4,58518073 30° 36269555,58 34916893,82 3,729468809 90° 19436803,78 14672956,81 24,509 Da equação (3), pudemos deduzir a fórmula para se obter Ct teórico, onde o ρ utilizado foi de 977 kg/m³, e a área foi dada pela área do jato do fluido, que sai de um bico injetor de diâmetro igual a 8 mm. , sendo que r=0,004 m. Disso temos que A é aproximadamente
