ANÁLISE DE TRELIÇAS: MODELO DE APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS NÓS E DAS SEÇÕES

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
ESCOLA POLITÉCNICA 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
CRISTIANO MAGNO SALES LIMA 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE TRELIÇAS: MODELO DE APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS NÓS 
E DAS SEÇÕES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
2014
CRISTIANO MAGNO SALES LIMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE TRELIÇAS: MODELO DE APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DOS 
NÓS E DAS SEÇÕES. 
 
 
Relatório analítico apresentado na 
disciplina de Estática dos Corpos 
Rígidos ao Curso de Graduação em 
Engenharia Civil da Pontifícia 
Universidade Católica do Paraná, 
como requisito parcial de avaliação. 
 
Profº.Roberto Borges França 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
2014 
3 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 4 
2 METODOLOGIA ............................................................................................ 5 
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO ..................................................................... 7 
4 CONCLUSÃO .............................................................................................. 14 
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 15 
MEMORIAL DE CÁLCULO............................................................................... 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
“A treliça é um dos principais tipos de estruturas da 
engenharia. Ela oferece, ao mesmo tempo, uma solução 
prática e econômica a muitas situações de engenharia, 
especialmente no projeto de pontes e edifícios.” 
(BEER,2009) 
 
 
 
Segundo Beer, 2009, treliças são projetadas para apoiar cargas. Uma treliça 
é uma estrutura composta por cinco ou mais unidades triangulares construídas 
com elementos retos cujas extremidades são ligadas em pontos conhecidos 
como nós. 
A ideia de elaborar este relatório surgiu da necessidade de melhorar o 
entendimento e compreensão do leitor/a no que diz respeito ao equilíbrio de um 
corpo rígido. Neste relatório, o/a leitor/a encontrará um modelo real de aplicação 
que trata do equilíbrio de uma estrutura feita de várias partes interligadas, ou 
seja, uma treliça. Porém, é tomado como objetivo principal, analisar e determinar 
as forças internas e externas que agem sobre essa estrutura e apresentar uma 
solução através dos métodos dos nós e das seções. 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
2. METODOLOGIA 
 
 Inicialmente foi escolhido o objeto de análise, uma viga treliçada em aço 
galvanizado. (Figura 1) 
 
Figura 1- Viga treliçada localizada no estacionamento da PUCPR. 
 
 Fonte: Cristiano Magno 
 
 
 Em seguida, através de medições, foi feito o dimensionamento da 
estrutura. Primeiramente, obtemos as medidas da viga, como um todo (Tabela 
1) e logo depois as medidas de cada cantoneira (Figura 2) 
 
Tabela 1-Tabela de dimensionamento da viga em estudo. 
Vão (m) 10,0 
Altura(m) 0,90 
Espessura(m) 0.1 
Área lateral (m²) 0,09 
Fonte: Cristiano Magno 
 
6 
 
Figura 2- Dimensionamento da seção transversal da cantoneira em estudo. 
 
Fonte: http://www.cqfd-international.com 
 
Os valores do dimensionamento de cada cantoneira se encontram na tabela 2. 
 
Tabela 2-Tabela de dimensionamento da canaleta em estudo. 
Dimensões Medidas(mm) 
a 100 
b 50 
c 85 
e 7,5 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 Depois de todo o dimensionamento do objeto de estudos, para facilitar os 
cálculos, foi considerado dois tipos de apoio nas extremidades da estrutura, 
sendo um apoio rotular móvel e o outro engaste. (Figura 3) 
Na sequência, foi realizado os cálculos das forças externas. São elas as cargas 
permanentes (Peso da própria estrutura e peso da coberta) e o vento. Além 
dessas forças foi considerado uma sobrecarga no valor de 25,0 Kgf/m² sobre a 
estrutura, de acordo com a norma NBR 6120. Finalmente foi aplicada a condição 
de equilíbrio para o cálculo das reações assim como os métodos dos nós e das 
seções para cálculo dos esforços internos da estrutura. 
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Figura 3- Esquema de apoios arbitrado pelo professor França para simplificar os 
cálculos. 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
3.1 CÁLCULO DAS CARGAS PERMANENTES 
 3.1.1 PESO DA COBERTA 
 A estrutura em análise está sob o peso de uma cobertura metálica (Figura 
4) com uma carga de 5 kg/m². Esse peso foi arbitrado, baseando-se em uma 
tabela fornecida pela Marko Sistemas Metálico. Através de uma medição, a área 
da cobertura 𝑨𝒄 foi determinada. 
Ac = 150 m² 
Multiplicando 𝐀𝐜 por 5 Kg/m², pode-se determinar a carga total da coberta 𝐦𝐭. 
mt = 750 Kg 
Pela segunda Lei de Newton, foi determinado o peso da cobertura 𝐏′𝐜. 
P′c = mtg Eq. 1 
Substituindo os valores, e considerando 𝐠 a gravidade tabelada de Curitiba 
(9,76m/s²), obtemos o valor do peso da cobertura. 
P′c = 7320 N 
Porém, esse peso é distribuindo em 3 vigas, logo o peso da cobertura que age 
sobre a estrutura em análise 𝐏𝐜 será: 
𝐏𝐜 = 𝟐𝟒𝟒𝟎 𝐍 
 
 
 
 
8 
 
Figura 4- Vista superior da cobertura metálica 
 
Fonte: Google Maps 
 3.1.2 PESO PRÓRPIO DA ESTRUTURA 
 
 A estrutura em análise apresenta banzo duplo e é reforçada por montantes 
e diagonais. (Figura 5) 
 
Figura 5- Elementos da estrutura em análise. 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 Todos os elementos da estrutura apresentam um formato único (ver Figura 
2), o que facilita os cálculos do peso próprio. 
 Com os dados da tabela 2, foi possível determinar a área da seção 
transversal 𝐴𝑡 de cada elemento da estrutura. Considerando a densidade do Aço 
𝜌𝑎 igual a 7,85 g/cm³ , pode-se encontrar o peso próprio da estrutura através de 
uma equação (Eq. 2) usada pelos calculistas para este fim. 
9 
 
 
Pest [
Kgf
m⁄ ] = At[cm²] ∙ 0,785 Eq.2 
 
Com o valor de 𝑨𝒕 determinado em 13,87 cm², pode-se encontrar o peso da 
estrutura 𝐏𝐞𝐬𝐭 em Kgf/m. 
𝐏𝒆𝒔𝒕 = 𝟏𝟎, 𝟖𝟗 𝐊𝐠𝐟/𝐦 
Convertendo para Newtons, multiplica-se a equação por 9,8. Logo o peso próprio 
da estrutura é de: 
𝐏𝒆𝒔𝒕 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟕𝟐 𝐍/𝐦 Eq.3 
 
Importante ressaltar que esse peso depende da linearidade de cada elemento 
da estrutura. É preferível deixa-lo em função da linearidade pois mais a frente 
este modelo será útil na hora de distribuir as cargas em cada nó. 
 
3.2 FORÇA DO VENTO 
 
 É preciso considerar também a ação do vento sobre a estrutura, para isso, foi 
necessário consultar a NBR 6123 que trata das forças devidas ao vento em 
edificações. 
Figura 6- Isopletas da Velocidade básica V(m/s) 
 
 
Fonte: NBR 6123 
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 Pode-se obter a velocidade média do vento em Curitiba Vc analisando o 
mapa da figura 6 acima: 
Vc = 43 m/s 
Segundo a NBR 6123, pode-se obter a pressão em relação à velocidade do 
vento através da equação abaixo: 
𝑞 = 01613 ∙ 𝑉² Eq.4 
 
 
Sendo 𝑞 a pressão dinâmica e 𝑉 a velocidade característica do vento, pode-se 
encontrar a pressão do vento em Curitiba 𝑞𝑐substituindo 𝑉 por Vc na Eq 4.𝑞𝑐 = 01613 ∙ 𝑉𝑐
2 
Fazendo as devidas substituições determinamos que: 
qc = 1133,44 N/m² 
Determinando a ação do vento sobre a área lateral 𝐴𝑙 da viga (Ver tabela 1), 
pode-se obter a força do vento 𝐹𝑣 através da equação (Eq.5) abaixo: 
 
𝐹𝑣 = q ∙ 𝐴𝑙 Eq. 5 
Logo: 
𝐅𝐯 = 𝟏𝟎𝟐 𝐍 
 
3.3 SOBRECARGA 
 
 Foi determinada a aplicação de uma carga de 25 kgf/m², de acordo com a 
NBR 6120. Foi calculado então a área de Aa aplicação dessa carga. Com os 
dados da tabela 1, concluímos que: 
Aa = 1m² 
Logo a sobrecarga o peso da sobrecarga Psb vale: 
𝐏𝐬𝐛 = 𝟐𝟒𝟓 𝐍 
 
 
 
 
11 
 
 
3.4 DISTRIBUIÇÃO DAS CARGAS 
 3.4.1 PESO PRÓPRIO DA ESTRUTURA 
 
 Para facilitar os cálculos, o peso da estrutura foi distribuído nos nós do 
banzo superior. (Figura7) 
 
Figura 7- Distribuição do peso próprio da estrutura. 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 Através dos dados da tabela 1 e utilizando a equação 3(ver Eq. 3), pôde-se 
calcular o peso de cada diagonal PD, o peso de cada montante PM, assim como 
o peso do banzo PB, porém esse último conveio ser dividido por 10. 
 
𝐏𝐃 = 𝟏𝟒𝟒, 𝟏 𝐍 
𝐏𝐌 = 𝟗𝟔, 𝟎𝟓 𝐍 
𝐏𝐁 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟕𝟐 𝐍 
 
 3.4.2 PESO DA COBERTA 
 
Figura 8- Distribuição do peso da coberta. 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 
12 
 
 O peso da coberta foi distribuído igualmente ao longo da estrutura Pcob. Como o peso da 
coberta que age sobre a estrutura já foi calculado (Ver seção 3.1.1), determinou-se que: 
𝐏𝐂𝐎𝐁 = 𝟐𝟐𝟏, 𝟖 𝐍 
 
3.4.3 FORÇA DO VENTO 
 
Figura 8- Distribuição da força do vento. 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 
 A força do vento foi distribuída igualmente na lateral da estrutura FV’. Como a força do 
vento que age sobre a estrutura já foi calculada (Ver seção 3.2), determinou-se que: 
 
𝐅𝐕′ = 𝟓𝟏 𝐍 
 
3.4.4 SOBRECARGA 
 
 Figura 9- Distribuição da sobrecarga. 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 O peso da sobrecarga também foi distribuído igualmente ao longo da estrutura PS. Como 
o peso da sobrecarga que age sobre a estrutura já foi calculado (Ver seção 3.3), determinou-se 
que: 
𝐏𝐒 = 𝟐𝟐, 𝟑 𝐍 
 
 
 
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3.5 CARGA TOTAL 
 
 Por fim, a distribuição das cargas ficou representada de acordo com a figura 10. 
 
 
Figura 10- Distribuição total das cargas. 
 
 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 
3.6 REPRESENTAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS DA ESTRUTURA 
 
 
Figura 11- Numeração das forças internas da estrutura. 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 
3.7 CÁLCULO DAS REAÇÕES E DOS ESFORÇOS INTERNOS PELO FTOOL 
 
 
Figura 12-Reações e esforços internos calculados no Ftool em N. 
Fonte: Cristiano Magno 
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3. CONCLUSÃO 
As reações de apoio, assim como os esforços internos calculados estão 
representados na tabela abaixo: 
Tabela 3-Tabela das Forças calculadas. 
FORÇA 
CALCULADA 
(KN) 
FTOOL 
(KN) 
FORÇA 
CALCULADA 
(KN) 
FTOOL 
(KN) 
VA 3,65 3,65 F20 -9,66 -9,72 
HA 0,10 0,10 F21 -0,70 -0,70 
VB 3,66 3,66 F22 -9,66 -9,72 
F1 -3,65 -3,65 F23 0,53 0,53 
F2 0,05 0,05 F24 9,27 9,32 
F3 4,68 4,69 F25 -1,05 -1,05 
F4 -3,51 -3,53 F26 -9,27 -9,32 
F5 -3,14 -3,14 F27 1,57 1,57 
F6 3,51 3,53 F28 8,11 8,16 
F7 3,64 3,64 F29 -1,75 -1,75 
F8 -6,21 -6,24 F30 -8,11 -8,16 
F9 -2,44 -2,44 F31 2,61 2,61 
F10 6,21 6,24 F32 6,18 6,21 
F11 2,60 2,60 F33 -2,45 -2,45 
F12 -8,13 -8,18 F34 -6,18 -6,21 
F13 -1,74 -1,74 F35 3,65 3,66 
F14 8,13 8,18 F36 3,47 3,49 
F15 1,56 1,56 F37 -3,14 -3,14 
F16 -9,28 -9,33 F38 -3,47 -3,49 
F17 -1,04 -1,04 F39 4,69 4,70 
F18 9,28 9,33 F40 0 0 
F19 0,51 0,51 F41 -3,66 -3,66 
Fonte: Cristiano Magno 
 
 O sinal negativo significa que a barra está sofrendo compressão e o 
positivo significa que a barra está sofrendo tração. Houve uma pequena 
diferença entre os valores calculados e os valores do Ftool devido a um erro de 
arredondamento, porém o resultado foi satisfatório. 
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REFERÊNCIAS 
 
BEER, Ferdinand Pierre, JOHNSTON, E. Russell – MECÂNICA VETORIAL 
PARA ENGENHEIROS. 5.ED. SÃO PAULO. C2009. 
 
CQFD – CQFD SOLUÇÕES. Disponível em: <http://www.cqfd-
international.com> Acesso em 29 out. 2014 
 
MARKO – MARKO SISTEMAS METÁLICOS. Disponível em: 
<http://www.marko.com.br/> Acesso em 29 out. 2014 
 
NBR 6123 – FORÇAS DEVIDAS AO VENTO EM EDIFICAÇÕES. Acesso em 
29 out. 2014 
 
NBR 6120 – CARGAS PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE 
EDIFICAÇÕES. Acesso em 29 out. 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉTODO DOS NÓS 
 
 
 
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MÉTODO DAS SEÇÕES 
 
 
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