PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 1

Prévia do material em texto

PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Francielly Elizabeth de Castro Silva 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá, seja bem-vindo(a)! 
Esta disciplina dedica-se ao estudo da mecânica de corpos em repouso 
(estáticos) quando sujeitos à ação de forças. Estudaremos a mecânica dos 
corpos rígidos, que é a base para desenvolver outros estudos na área de projeto 
mecânico, como pontes, linhas de transmissão de energia elétrica, robôs, carros 
e quaisquer outras máquinas e estruturas. 
Nesta aula você será apresentado a alguns conceitos e princípios 
fundamentais que embasam toda a disciplina. Para tanto, vamos relembrar 
alguns conceitos e operações vistas na disciplina de geometria analítica, como 
produto escalar, norma de um vetor, decomposição de vetores etc., pois 
trabalharemos com forças que são vetores. 
Ao final da aula, você estará apto a obter a força resultante de um sistema 
de forças, obter a direção entre dois vetores e projetar uma força numa 
determinada direção. 
TEMA 1 – PRINCÍPIOS GERAIS 
Mecânica é um ramo da ciência que estuda o estado de repouso ou de 
movimento de um corpo submetido a um conjunto de forças. Esses assuntos 
podem ser subdivididos em três áreas: mecânica dos corpos rígidos, 
mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. Trabalharemos 
com a primeira área, especificamente o estudo de corpos estáticos, que trata do 
equilíbrio desses corpos. 
1.1 Idealizações 
Alguns modelos ou idealizações são usadas na mecânica a fim de 
simplificar a aplicação da teoria. A seguir, vamos definir três modelos importantes 
para nosso estudo: partícula, corpo rígido e força concentrada. 
1.1.1 Partícula 
Uma partícula, apesar de ter massa em seu tamanho, pode ser 
desprezada. Por exemplo: o tamanho do nosso planeta (40.075 quilômetros de 
perímetro) é insignificante se comparado com o tamanho de sua órbita 
 
 
3 
(149.597.871 quilômetros) e, por conseguinte, ela pode ser modelada como 
partícula em determinados estudos de seu movimento orbital (Figura 1). Isso 
significa que, quando modelamos algum sistema como partícula, os princípios 
gerais da mecânica são muito simplificados, visto que a geometria daquele 
sistema não precisa ser incluída na análise. Futuramente consideraremos essa 
idealização na solução de problemas. 
Figura 1 – Terra orbitando o Sol 
 
Créditos: Johan Swanepoel/Shutterstock. 
1.1.2 Corpo rígido 
Corpo rígido é a combinação de uma elevada quantidade de partículas e, 
mesmo após a aplicação de uma força, esse corpo não apresentará uma 
deformação. É como se o objeto tivesse uma rigidez infinita; logo, ele não se 
deforma com uma força. Futuramente consideraremos essa idealização. 
1.1.3 Força concentrada 
Uma força concentrada corresponde ao efeito de uma força que 
supostamente age em um ponto do objeto de estudo. Por exemplo, vejamos uma 
pessoa sentada numa cadeira (Figura 2a). Se estudarmos as forças na cadeira, 
podemos simplificar a força peso distribuída em todo o assento (Figura 2b) 
considerando apenas uma força concentrada aplicada no meio desse assento 
(Figura 2c). 
 
 
 
4 
Figura 2 – (a) Modelo real, (b) carga distribuída e (c) força concentrada 
(a) (b) (c) 
Créditos: Tynyuk; Francois Poirier/Shutterstock 
1.2 Leis de Newton 
As teorias desenvolvidas na mecânica para engenharia tomam como base 
as três leis do movimento de Newton. Vamos descrevê-las agora. 
1.2.1 Primeira Lei 
Um corpo tende a permanecer em repouso caso a resultante das forças 
que agem sobre ele seja nula; ou seja, a soma de todas as forças deve ser igual 
a zero (Figura 3). 
Figura 3 – Primeira Lei de Newton 
 
Fonte: Silva, 2020. 
1.2.2 Segunda Lei 
A Segunda Lei afirma que a força resultante que age sobre um corpo 
equivale ao produto de sua massa pela aceleração (Figura 4). 
 
 
5 
Figura 4 – Segunda Lei de Newton 
 
Créditos: Yusufdemirci/Shutterstock. 
1.2.3 Terceira Lei 
A Terceira Lei afirma que as forças de ação e reação entre duas partículas 
são de mesma intensidade e direção, porém com sentidos opostos. 
Figura 5 – Terceira Lei de Newton 
 
Créditos: Chaiyapruek Youprasert/Shutterstock. 
1.3 Unidades de medida 
As unidades de medida podem ser fornecidas de diversas formas, por 
exemplo: a unidade de comprimento pode ser dada em polegadas, metros, pés, 
jardas etc., e o volume pode ser dado em litros, galões, metros cúbicos etc. O 
sistema internacional de unidades (SI) é uma versão atual do sistema métrico. A 
massa, por exemplo, é em quilograma (kg) no SI, a força é em newton (N), e o 
comprimento, em metros (m). 
Na engenharia, de forma geral, utilizamos alguns prefixos para facilitar a 
representação de certos números. Se o número for muito grande ou muito 
pequeno, utilizamos esses prefixos. Quando tomamos algum remédio, por 
 
 
6 
exemplo, normalmente tomamos uma dose na ordem de miligramas (mg); 
quando viajamos, temos que rodar uma determinada quantia em quilômetros 
(km). Observe que o prefixo do primeiro exemplo é o mili, e a unidade é o grama. 
De forma semelhante, o prefixo do segundo exemplo é o quilo, e a unidade é o 
metro. O prefixo sempre vem antes da unidade. 
Veja na Tabela 1 os prefixos mais comuns: 
Tabela 1 – Prefixos 
 Forma exponencial Prefixo Símbolo no SI 
Múltiplos 
1000000000000 1012 tera T 
1000000000 109 giga G 
1000000 106 Mega M 
1000 103 Quilo k 
Submúltiplos 
0,001 10−3 mili m 
0,000001 10−6 micro 𝜇 
0,000000001 10−9 nano n 
0,000000000001 10−12 pico p 
Observe que, para os prefixos múltiplos, com exceção do quilo (k), todos 
os demais são escritos com letra maiúscula. 
Exemplo 1: calcule a força peso proveniente de uma massa de 100 kg. 
Solução: sabemos da física mecânica que a força peso é dada pelo 
produto da massa com a aceleração da gravidade (9,81 m/s²). Logo, a força peso 
nesse exemplo é: 
𝐹 = 𝑚. 𝑔. 
𝐹 = 100 (𝑘𝑔). 9,81
𝑚
𝑠2
= 981 𝑘𝑔.
𝑚
𝑠2
 
ou 𝐹 = 981 𝑁, pois 𝑁 = 𝑘𝑔.
𝑚
𝑠2
 
Exemplo 2: calcule (50 kN).(60 nm). 
Solução: sabemos que kN corresponde a quilonewton, e nm, a 
nanômetro. Logo, 50 kN = 50. 103𝑁, e 60 nm = 60. 10−9 𝑚. O produto desses 
termos é dado por: (50. 103𝑁). (60. 10−9 𝑚). 
Como temos duas bases 10, podemos somar seus expoentes e multiplicar 
o 50 pelo 60, ficando 3000. 10−6 𝑁. 𝑚 ou como 3000 = 3. 103. Logo, o resultado 
 
 
7 
pode ser reescrito como 3. 103. 10−6 𝑁. 𝑚. Seguindo o mesmo procedimento, 
somando os expoentes, ficamos com 3. 10−3 𝑁. 𝑚. Como 10−3 tem o prefixo m 
(mili), ficamos com 3 𝑚𝑁. 𝑚. Nesse exemplo, o primeiro m se refere ao prefixo 
mili, e o segundo m, que multiplica N, se refere à unidade metro. 
1.4 Arredondamento 
O arredondamento é essencial para manter a precisão dos resultados. Em 
geral, temos como regra que qualquer algarismo numérico terminado em 5 ou 
mais é arredondado para cima; caso contrário, mantém o valor do algarismo da 
casa decimal desejada para o arredondamento. Por exemplo, se quisermos 
arredondar o número 3,5587 considerando duas casas decimais, é o segundo 
número após a vírgula que será arredondado para 5 (mantendo o próprio 
número) ou para 6 (arredondando para cima). Pela regra, como o terceiro 
número após a vírgula é 8 (maior que 5), arredondamos o número da segunda 
casa decimal para cima; ou seja, o número arredondado será 3,56. De igual 
modo, 0,5896 se torna 0,59, pois o terceiro número é 9 (maior que 5); logo, 
arredondamos para cima o valor da segunda casa decimal. 
TEMA 2 – VETORES DE FORÇA (PLANO CARTESIANO) 
Neste tema, você aprenderá a representar uma força e sua posição na 
forma de um vetor, obter sua intensidade (módulo) e sua direção, além de 
resolver problemas da geometria analítica e da mecânica utilizando a lei dos 
senos e dos cossenos. 
2.1 Adição vetorial de forças 
Como já mencionado, força é uma quantidade vetorial, ou seja, tem 
intensidade (módulo),direção (ângulo em relação a um eixo de referência) e 
sentido, e sua soma pode ser feita seguindo a lei do paralelogramo e aplicando 
a lei dos senos e cossenos. 
Neste tema, a lei dos senos e a lei dos cossenos serão aplicadas na 
solução dos problemas. Elas são obtidas pela análise do triângulo representado 
na Figura 6 e são descritas, respectivamente, a seguir: 
Figura 6 – Triângulo para aplicar a lei dos senos e cossenos 
 
 
8 
 
Fonte: Silva, 2020. 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝛽
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝛾
 (1) 
𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos𝛼 (2𝑎) 
𝑏 = √𝑎2 + 𝑐2 − 2. 𝑎. 𝑐. cos𝛽 (2𝑏) 
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2. 𝑎. 𝑏. cos𝛾 (2𝑐) 
A lei dos senos (Equação 1) mostra que existe uma proporcionalidade 
entre as arestas do triângulo e o seno do ângulo oposto a essa aresta. Você 
pode nomear como quiser as arestas desse triângulo e seus ângulos. O 
importante na hora de construir a equação é considerar a aresta e o ângulo 
oposto a ela; por exemplo, a aresta “a” é oposta ao ângulo 𝛼, por isso fica 
𝑎/𝑠𝑒𝑛𝛼, e assim por diante. 
Na lei dos cossenos há essas três formas de obter uma das arestas do 
triângulo (Equações 2a, 2b e 2c), e você também pode escolher outras letras 
para compor as arestas ou os ângulos. A lógica do cálculo do valor de 
determinada aresta, pela lei dos cossenos, é considerar o valor das outras duas 
arestas e o ângulo oposto à aresta que você deseja calcular. Vamos aplicar 
essas duas leis em dois exemplos triviais. 
Exemplo 3: Calcule o valor de 𝑥 para o dado triângulo: 
 
Solução: como queremos obter o valor de 𝑥 e não temos o valor de uma 
das duas arestas, não conseguiremos aplicar a lei dos cossenos, mas é possível 
utilizar a lei dos senos considerando as duas arestas “dadas” e os dois ângulos 
fornecidos. A equação pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
9 
𝑥
𝑠𝑒𝑛120
=
10
𝑠𝑒𝑛45
, 
O 𝑠𝑒𝑛120, que está dividindo o 𝑥, passa para o outro lado da igualdade 
multiplicando. Logo: 
𝑥 =
10
𝑠𝑒𝑛45
𝑠𝑒𝑛120 
𝑥 =
10
0,707
0,866 
O resultado é 𝑥 = 12,25. Lembre-se que, se o ângulo for fornecido em 
graus, você deve deixar sua calculadora também em graus (degree) para chegar 
no resultado. 
Você pode tranquilamente obter o valor da outra aresta que não foi 
nomeada. Podemos chamá-la de y ou de qualquer outro nome. Mas, para 
calculá-la, é necessário conhecer o valor do ângulo oposto a essa aresta. Basta 
lembrar que o ângulo oposto a ela pode ser determinado facilmente se 
considerarmos os dois outros ângulos fornecidos. 
Se chamarmos o ângulo que falta de 𝛼, ele será igual a 𝛼 = 180° − 120° −
45°. Portanto, 𝛼 = 15°, e 180° vem da soma dos ângulos internos de qualquer 
triângulo. Com esse ângulo você encontra o resultado da força y, que é 3,66. 
Tente obter esse resultado. 
Exemplo 4: calcule o valor de 𝑧 para o dado triângulo: 
 
Solução: será que podemos aplicar a lei dos cossenos nesse exemplo? 
Sim! Porque temos o valor de duas arestas desse triângulo e o ângulo oposto à 
aresta 𝑧. Logo, nossa equação pode ser escrita assim: 
𝑧 = √32 + 72 − 2.3.7. cos60 
Desenvolvendo cada termo da equação, ficamos com: 
𝑧 = √9 + 49 − 21 = √37 
Portanto, o resultado da aresta 𝑧 é 6,08. 
Agora vamos determinar a força resultante considerando a lei do 
paralelogramo com o seguinte exemplo-base, apresentado na Figura 7: 
 
 
10 
Figura 7 – Exemplo-base para determinar a força resultante 
 
Fonte: Silva, 2020. 
Trata-se de duas forças aplicadas num pino, como se fossem dois cabos 
puxando o pino. O vetor força resultante 𝑭𝑹 é dado pela soma dos vetores 𝑭𝟏 e 
𝑭𝟐. Graficamente, construímos o paralelogramo aplicado ao problema traçando 
retas paralelas às forças, como mostra a Figura 8a, cuja força resultante 
corresponde ao vetor representado pela união do vértice que sai das forças 𝑭𝟏 
e 𝑭𝟐 com o vértice oposto a este. Com o paralelogramo desenhado, retiramos 
um dos seus triângulos para representar o problema (Figura 8b) e, assim, 
conseguimos obter a força resultante pela lei dos senos (Equação 1) ou pela lei 
dos cossenos (Equação 2): 
Figura 8 – (a) Paralelogramo aplicado ao exemplo e (b) triângulo com as forças 
(a) (b) 
Fonte: Silva, 2020. 
Para o exemplo-base, se tivéssemos as componentes dos vetores 𝑭𝟏 e 
𝑭𝟐, poderíamos tranquilamente obter o vetor força resultante por 𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 
(soma de cada componente do vetor individualmente). Mas e se for fornecido 
somente o módulo desses vetores, ou seja, sua intensidade? 
Exemplo 5: supondo 𝐹1 = 80 𝑁, 𝐹2 = 100 𝑁 e 𝛽 = 110° aplicados ao 
exemplo da Figura 3, calcule o módulo da força resultante. A representação 
geométrica do problema é apresentada a seguir: 
 
 
11 
 
Solução: veja que não é possível aplicar a lei dos senos incialmente, pois 
não temos o valor dos ângulos 𝛼 e 𝛾, mas podemos aplicar a lei dos cossenos, 
definida para esse problema como: 
𝐹𝑅 = √80² + 100² − 2.80.100. 𝑐𝑜𝑠110 
Desenvolvendo cada termo da equação, ficamos com: 
𝐹𝑅 = √6400 + 10000 − (−5472,32) = √6400 + 10000 + 5472,32 = √21872,32 
Portanto, o resultado da força resultante é 147,89 N. Lembre-se que todo 
número elevado ao quadrado se torna um valor positivo. 
Saiba mais 
Mais exemplos que aplicam a lei dos senos e cossenos para calcular 
forças podem ser encontrados no nosso livro-texto (Capítulo 2.3) ou no material 
extra disponível pelo(a) professor(a) tutor(a). 
2.2 Adição de um sistema de forças coplanares 
Outra forma de calcular a força resultante é com a decomposição das 
forças em suas componentes retangulares (x e y). Vamos aplicar esse método 
no próximo exemplo. 
Exemplo 6: determine a intensidade e a direção da força resultante do 
sistema de forças mostrado: 
 
Solução: vamos decompor essas forças nas coordenadas x e y. A 
representação dessas componentes pode ser observada na seguinte figura: 
 
 
12 
 
O processo de decomposição dessas forças é simples: basta aplicar as 
relações trigonométricas de seno ou cosseno. O “macete” é verificar se a 
componente está enCOStando no ângulo. Se estiver, você vai utilizar o 
COSseno do ângulo para decompor essa força; caso contrário, utilizará o seno. 
Vamos aplicar essa ideia ao nosso exemplo. Para a força de 600 N, 
devemos considerar o ângulo de 30°, que é o ângulo que representa a direção 
desta força em relação ao eixo x. A componente horizontal da força de 600 N 
está “enCOStando” no ângulo de 30°, correto? Então, ao decompô-la em x, 
vamos descrevê-la como 600.cos30. Mas a componente y dessa força não está 
“encostando”; logo, o valor dessa componente é 600.sen30. 
Já vimos como obter as componentes x e y da força de 600 N. Agora 
vamos repetir o processo para a força de 400 N. Com as componentes x e y das 
duas forças (600 N e 400 N), vamos somar a componente x de cada força e 
depois repetimos esse processo para a componente y, e assim ficamos com as 
seguintes equações: 
∑ 𝐹𝑥 = 600. 𝑐𝑜𝑠30 − 400. 𝑠𝑒𝑛45 = 519,62 − 282,84 = 236,78 𝑁 e 
∑ 𝐹𝑦 = 600. 𝑠𝑒𝑛30 + 400. 𝑐𝑜𝑠45 = 300 + 282,84 = 582,84 𝑁 
Dois pontos merecem destaque. Pela convenção de sinais, a força é 
positiva em x se estiver para a direita, por isso na primeira equação o sinal da 
componente x da força de 400 N é negativo (pois está para a esquerda). O 
segundo ponto é que, se na primeira equação consideramos cos30 para obter a 
componente x da força de 600 N, certamente na equação para obter a 
componente y teremos que considerar sen30; isso pode ser feito sem receio. Na 
outra equação, sempre consideraremos a outra relação trigonométrica. 
Podemos dizer que o vetor força resultante é dado pelo resultado da soma 
de cada componente; ou seja, 𝑭𝑹 = 236,78𝒊 + 582,84𝒋, sendo 𝒊 e 𝒋 os versores 
(vetor unitário) no plano x-y. A intensidade dessa força resultante é obtida 
extraindo o módulo desse vetor, dado por: 
 
 
13 
|𝑭𝑹| = 𝐹𝑅 = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦² = √236,782 + 582,84² = 629,1 𝑁 
Por fim, podemosrepresentar as componentes do vetor de força 
resultante pela seguinte figura: 
 
A direção da força resultante corresponde ao ângulo que essa força faz 
com o eixo x (𝜃). Esse ângulo pode ser determinado se analisarmos o triângulo 
formado pelo ângulo 𝜃 e as forças. Seu valor é obtido pelo seguinte cálculo: 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
582,84
236,78
= 2,46 
O valor de 582,84 corresponde ao cateto oposto, e 236,78, ao cateto 
adjacente em relação ao ângulo 𝜃. Ainda não obtemos o ângulo 𝜃 da equação 
anterior, pois temos que a tangente desse ângulo é igual a 2,46. Portanto, temos 
que extrair o arco tangente (𝑡𝑎𝑛−1 ou atan ) de 2,46: 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−12,46 = 67,89° 
Saiba mais 
Veja a notação vetorial cartesiana no nosso livro-texto (Capítulo 2.4). Para 
problemas no plano, a notação escalar é semelhante à notação vetorial. 
Podemos dar mais destaque à notação vetorial para problemas tridimensionais, 
como veremos a seguir. Lembre-se que você encontrará outros exemplos sobre 
o assunto no nosso livro no Capítulo 2.4, da 12ª edição. 
TEMA 3 – VETORES CARTESIANOS (3D) 
Representar vetores na forma de um vetor cartesiano facilita a solução de 
problemas tridimensionais. Descrevemos um vetor na sua forma cartesiana 
assim: 
𝑨 = {𝐴𝑥𝒊 + 𝐴𝑦𝒋 + 𝐴𝑧𝒌} (3) 
 
 
14 
Sendo 𝐴𝑥, 𝐴𝑦 e 𝐴𝑧 as componentes x, y e z do vetor 𝑨; e 𝒊, 𝒋, 𝒌 
correspondem aos vetores cartesianos unitários utilizados para representar as 
direções dos eixos x, y e z. 
A intensidade desse vetor 𝑨 (módulo) é dada por: 
𝐴 = |𝑨| = √𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧² (4) 
Podemos representar a direção do vetor 𝑨 (𝛼, 𝛽 e 𝛾) na Figura 9 e 
determinar essa direção, em seus respectivos eixos x, y e z, por: 
𝑐𝑜𝑠𝛼 = (
𝐴𝑥
𝐴
) , 𝑐𝑜𝑠𝛽 = (
𝐴𝑦
𝐴
) e 𝑐𝑜𝑠𝛾 = (
𝐴𝑧
𝐴
) , ou (5𝑎) 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝐴𝑥
𝐴
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝐴𝑦
𝐴
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝐴𝑧
𝐴
) . (5𝑏) 
Figura 9 – Representação da direção do vetor 𝐴 
 
Fonte: Silva, 2020. 
Observe na Figura 4 o vetor unitário 𝒖𝐴. Ele pode ser definido assim: 
𝒖𝐴 =
𝑨
𝐴
=
𝐴𝑥𝒊 + 𝐴𝑦𝒋 + 𝐴𝑧𝒌
𝐴
, ou (6𝑎) 
𝒖𝐴 = {
𝐴𝑥𝒊
𝐴
+
𝐴𝑦𝒋
𝐴
+
 𝐴𝑧𝒌
𝐴
} . (6𝑏) 
Comparando a Equação 5a com a 6b, observe que o cosseno dos ângulos 
𝛼, 𝛽 e 𝛾 corresponde às componentes do vetor 𝒖𝐴; ou seja: 
𝒖𝐴 = {𝑐𝑜𝑠𝛼𝒊 + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝒋 + 𝑐𝑜𝑠𝛾𝒌}. (7) 
 
 
 
15 
3.1 Adição de vetores cartesianos 
A adição ou subtração de dois ou mais vetores se dá pela soma ou 
subtração de cada componente dos respectivos vetores. Retomando a 
Figura 3b, o vetor força resultante 𝑭𝑹 é obtido pela soma dos vetores 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐. 
Ou seja: 
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = {(𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥)𝒊 + (𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦) 𝒋 + (𝐹1𝑧 + 𝐹2𝑧)𝒛} . (8) 
Generalizando, temos que: 
𝑭𝑹 = ∑ 𝑭 = {∑ 𝐹𝑥𝒊 + ∑ 𝐹𝑦𝒋 + ∑ 𝐹𝑧𝒌} . (9) 
Vamos aos exemplos! 
Exemplo 7: expresse a força 𝑭 mostrada na figura a seguir como um vetor 
cartesiano: 
 
Fonte: Silva, 2020. 
Solução: na Equação 5a, podemos isolar as componentes x, y e z do 
vetor 𝑨 (𝐴𝑥, 𝐴𝑦 e 𝐴𝑧). Adaptando ao nosso caso, vamos considerar o vetor 
como 𝑭, o módulo desse vetor como 𝐹 = 200 𝑁, as componentes desse vetor 
como 𝐹𝑥, 𝐹𝑦 e 𝐹𝑧 e suas respectivas direções como 𝛼 = 60°, 𝛽 = 60° e 𝛾 = 45°. 
Aplicando a Equação 5a ao exemplo, temos: 
𝑐𝑜𝑠𝛼 = (
𝐹𝑥
𝐹
) , 𝑐𝑜𝑠𝛽 = (
𝐹𝑦
𝐹
) e 𝑐𝑜𝑠𝛾 = (
𝐹𝑧
𝐹
), 
Isolando 𝐹𝑥, 𝐹𝑦 e 𝐹𝑧, temos: 
𝐹𝑥 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝐹𝑦 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝐹𝑧 = 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛾. 
Substituindo os valores dos ângulos e da força, temos: 
𝐹𝑥 = 200. 𝑐𝑜𝑠60, 𝐹𝑦 = 200. 𝑐𝑜𝑠60 e 𝐹𝑧 = 200. 𝑐𝑜𝑠45, logo 
𝐹𝑥 = 100 𝑁, 𝐹𝑦 = 100 𝑁 e 𝐹𝑧 = 141,42 𝑁, ou 
𝑭 = {100𝒊 + 100𝒋 + 141,42𝒌} 𝑁. 
 
 
16 
Exemplo 8: determine a intensidade e a direção da força resultante que 
atua sobre o anel da seguinte figura: 
 
Solução: vimos na Equação 8 que a força resultante é obtida pela soma 
dos pares de componentes dos vetores de força 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐. Aplicando a Equação 8 
ao exemplo em tela, temos: 
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = {(0 + 50)𝒊 + (60 − 100)𝒋 + (80 + 100)𝒌} 𝑘𝑁 
Portanto, o vetor força resultante é: 
𝑭𝑹 = {50𝒊 − 40𝒋 + 180𝒌} 𝑘𝑁 
Para obtermos a intensidade desse vetor, aplicamos a Equação 4. Dessa 
equação, temos que 𝐴𝑥, 𝐴𝑦 e 𝐴𝑧 correspondem às respectivas componentes do 
vetor 𝑭𝑹, 50, −40 e 180. Logo: 
𝐹𝑅 = |𝑭𝑹| = √50
2 + (−40)2 + 180² = √2500 + 1600 + 32400 = √36500 
Resolvendo a última operação da equação, ficamos com 𝐹𝑅 = 191,05 𝑘𝑁. 
A direção do vetor força resultante é obtida pela Equação 5b. Aplicando 
essa equação ao nosso exemplo, ficamos com: 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
50
191,05
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−40
191,05
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
180
191,05
) 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,262), 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,209) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,942) 
𝛼 = 74,83°, 𝛽 = 102,09° e 𝛾 = 19,58° 
Vamos ver um último exemplo sobre o assunto para consolidar o 
conhecimento adquirido e para você confirmar que o conteúdo não é difícil. 
Exemplo 9: duas forças atuam sobre o gancho mostrado na seguinte 
figura. Determine a intensidade do vetor 𝑭𝟐 e sua direção, de modo que a força 
resultante 𝐹𝑅 atue na direção do eixo y positivo e tenha intensidade de 800 N. 
 
 
17 
 
Solução: a primeira informação a observar é que o vetor força resultante 
𝑭𝑹 não tem componente em x nem em z, sendo sua representação dada por 
𝑭𝑹 = {0𝒊 + 800𝒋 + 0𝒌 }𝑁. Como o objetivo do exercício se associa ao vetor 𝑭𝟐, 
para obtê-lo, vamos aplicar a Equação 8, em que 𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐. Isolando 
𝑭𝟐 dessa equação, ficamos com 𝑭𝟐 = 𝑭𝑹 − 𝑭𝟏. Já conhecemos o vetor 𝑭𝑹, logo, 
para utilizar a equação anterior, precisamos obter o vetor 𝑭𝟏. Como a figura do 
exemplo mostra a direção do vetor 𝑭𝟏, podemos obtê-lo se aplicarmos a 
Equação 5a, sendo 𝛼 = 45°, 𝛽 = 60° e 𝛾 = 120°. Substituindo esses valores na 
Equação 5a e sabendo que a intensidade da força 𝐹1 é 300 N, ficamos com: 
𝑐𝑜𝑠45 = (
𝐹1𝑥
300
) , 𝑐𝑜𝑠60 = (
𝐹1𝑦
300
) e 𝑐𝑜𝑠120 = (
𝐹1𝑧
300
) 
Isolando as respectivas componentes do vetor 𝑭𝟏, temos: 
𝐹1𝑥 = 𝑐𝑜𝑠45.300 𝑁, 𝐹1𝑦 = 𝑐𝑜𝑠60.300 𝑁 e 𝐹1𝑧 = 𝑐𝑜𝑠120.300 𝑁 
𝐹1𝑥 = 212,13 𝑁, 𝐹1𝑦 = 150 𝑁 e 𝐹1𝑧 = −150 𝑁, ou 
𝑭𝟏 = {212,13𝒊 + 150𝒋 − 150𝒌} 𝑁 
Agora vamos resolver 𝑭𝟐 = 𝑭𝑹 − 𝑭𝟏 (lembre-se da Equação 8 e de como 
se soma vetores): 
𝑭𝟐 = {(0 − 212,13)𝒊 + (800 − 150)𝒋 + (0 − (−150))𝒌} 𝑁 
𝑭𝟐 = {−212,13𝒊 + 650𝒋 + 150𝒌} 𝑁 
O enunciado desse exemplo pede a intensidade do vetor 𝑭𝟐. Para isso, 
aplicamos a Equação 4, dada por: 
𝐹2 = |𝑭𝟐| = √(−212,13)2 + 6502 + 1502 = √44999,13 + 422500 + 22500 
𝐹2 = √489999,13, portanto 𝐹2 = 700 𝑁 
Finalmente, o enunciado pede também a direção desse vetor. Já fizemos 
isso no exemplo anterior: basta aplicar a Equação 5b ao nosso problema e, 
assim, ficamos com a seguinte equação: 
 
 
18 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−212,13
700
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
650
700
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
150
700
) 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,303), 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,929) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,214) 
𝛼 = 107,64°, 𝛽 = 21,79° e 𝛾 = 77,63°. 
Saiba mais 
Esperamos que este tema tenha sido proveitoso no aprendizado sobre 
vetores cartesianos. Você pode ver mais exemplos e exercícios no nosso livro-
texto (Capítulo 2.6). Agora vamos falar um pouco sobre vetores posição. 
TEMA 4 – VETORES POSIÇÃO 
Neste tema vamos aprender como obter a posição de um vetor, ou seja, 
suas coordenadas em x, y e z. É algo que você certamente já fez no ensino 
médio e em outras disciplinas do seu curso, mas precisamos relembrar desse 
assunto a fim de aplicá-lo em problemas subsequentes. 
O vetor posição na literatura é representado por 𝒓 e é definido com um 
vetor que posiciona um ponto no espaço em relação a outro. A Figura 10 mostra 
o vetor posição 𝒓, que se estende da origem O até o ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
Figura 10 – Representação do vetor posição 
 
Fonte: Silva, 2020. 
O vetor 𝒓 pode ser expresso por: 
𝒓 = {𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌}. (10) 
Exemplo 10:obtenha os vetores posição dos pontos 𝐴 e 𝐵 representados 
na seguinte figura: 
 
 
19 
 
Solução: os vetores posição 𝒓𝐴 e 𝒓𝐵 são representados pela linha que 
une o ponto de origem 𝑂 aos respectivos pontos 𝐴 e 𝐵, conforme segue: 
 
Para determinar as componentes desses vetores, basta analisar a figura 
e obter a distância dos respectivos pontos em relação à origem O. Começando 
pelo ponto 𝐴, a distância dele em 𝑥 em relação à origem corresponde a 4 m, pois 
o eixo x é perpendicular ao plano y-z (é o eixo que está saindo do plano). De 
forma análoga, analisando a distância em 𝑦 do ponto 𝐴 em relação à origem, 
 
 
20 
temos 2 m (o eixo y corresponde ao eixo horizontal nesse exemplo). Por fim, a 
distância em 𝑧 do ponto 𝐴 em relação à origem é de −6 m (o eixo z corresponde 
ao eixo vertical nesse exemplo). Para esta última, o sinal é negativo pois está 
abaixo do plano x-y, e nessa situação o eixo z assume valor negativo. Portanto, 
o vetor posição 𝒓𝐴 corresponde a: 
𝒓𝐴 = {4𝒊 + 2𝒋 − 6𝒌} 𝑚 
De forma semelhante, podemos obter o vetor posição 𝒓𝐵. A distância 
desse ponto na coordenada 𝑥 em relação à origem corresponde a 4 m + 2 m = 
6 m. De forma semelhante, analisando a distância em 𝑦 do ponto 𝐵 em relação 
à origem, temos −1 m, cujo sinal é negativo pois está para a esquerda da origem 
e do plano x-z. Por fim, a distância em 𝑧 do ponto 𝐵 em relação à origem é de 
4 m. Portanto, o vetor posição 𝒓𝐵 corresponde a: 
𝒓𝐵 = {6𝒊 − 1𝒋 + 4𝒌} 𝑚 
Finalizamos esse exemplo, mas podemos determinar o vetor posição 
direcionado do ponto 𝐴 para o ponto 𝐵 no espaço. Para isso, vamos analisar a 
figura a seguir e as seguintes equações: 
Figura 11 – Soma de vetores posição 
 
Fonte: Silva, 2020. 
O vetor posição 𝒓𝐴𝐵 recebe esse nome pois o subscrito indica o ponto de 
origem (𝐴) e o ponto para o qual está direcionado (𝐵). O vetor 𝒓𝐴𝐵 não é o vetor 
resultante, portanto, a relação entre esses vetores é dada por: 
𝒓𝐴𝐵 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴, ou (11𝑎) 
𝒓𝐴𝐵 = {(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝒊 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝒋 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)𝒌} (11𝑏) 
Até aqui relembramos alguns conceitos já vistos. Agora vamos aplicá-los 
em alguns exemplos da mecânica estática. 
 
 
21 
Exemplo 11: uma tira de borracha está presa nos pontos 𝐴 e 𝐵, como 
mostra a figura. Determine seu comprimento e sua direção de 𝐴 para 𝐵. 
 
Solução: basicamente, queremos obter o vetor 𝒓𝐴𝐵. Para isso, basta 
aplicar a Equação 11b, mas isso só pode ser feito se conhecermos as 
componentes do vetor 𝒓𝐴 e 𝒓𝐵. Portanto, o primeiro passo para solucionar esse 
exercício é obter as componentes desses vetores e analisar a figura do exemplo. 
O ponto 𝐴 está a uma distância em x de 1 m em relação à origem, de 0 m 
na direção y (pois está sobre o plano x-z) e de −3 m na direção z. Portanto, o 
vetor 𝒓𝐴 pode ser escrito conforme a Equação 10. Logo: 
𝒓𝐴 = {1𝒊 + 0𝒋 − 3𝒌} 𝑚 
O ponto 𝐵 está a uma distância em x de −2 m em relação à origem, de 
2 m na direção y e de 3 m na direção z. Portanto, o vetor 𝒓𝐵 pode ser escrito 
assim: 
𝒓𝐵 = {−2𝒊 + 2𝒋 + 3𝒌} 𝑚 
Agora podemos aplicar a Equação 10b para obter o vetor 𝒓𝐴𝐵: 
𝒓𝐴𝐵 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴 = {(−2 − 1)𝒊 + (2 − 0)𝒋 + (3 − (−3)))𝒌} 𝑚 
𝒓𝐴𝐵 = {−3𝒊 + 2𝒋 + 6𝒌} 𝑚 
O enunciado pede o comprimento do vetor 𝒓𝐴𝐵. Para obtê-lo, vamos 
utilizar a Equação 4 para extrair o módulo do vetor, ou seja, seu comprimento. 
𝑟𝐴𝐵 = |𝒓𝐴𝐵| = √(−3)𝟐 + 2𝟐 + 6𝟐 = √9 + 4 + 36 = √49 = 7 𝑚 
Portanto, o comprimento do elástico é 7 m. 
Para obter a direção desse vetor, aplicamos a Equação 5b ao nosso 
exemplo. Logo: 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−3
7
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
2
7
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
6
7
) 
 
 
22 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,429), 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,289) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,857) 
𝛼 = 115,38°, 𝛽 = 73,40° e 𝛾 = 31,00° 
Esperamos que até aqui os conceitos vistos estejam claros. Agora vamos 
aplicar esse conteúdo no cálculo de uma força orientada ao longo de uma 
determinada reta. 
4.1 Vetor de força orientado ao longo de uma reta 
Em problemas de estática tridimensionais, a direção de determinada força 
pode ser dada por uma linha definida por dois pontos. Ou seja, aplicando o 
conceito que acabamos de ver para obter um vetor posição, podemos obter as 
componentes de uma força na direção desse vetor. Matematicamente, temos: 
𝑭 = 𝐹𝒖 = 𝐹 (
𝒓
𝑟
) , ou seja (12𝑎) 
𝑭 = 𝐹 (
{(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝒊 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝒋 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)𝒌}
√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)² + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)² + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)²
) (12𝑏) 
Vamos aplicar esses conceitos em alguns problemas para consolidar o 
conhecimento adquirido. 
Exemplo 12: o homem mostrado na figura a seguir puxa a corda em sua 
direção com uma força de 350 N. Represente essa força como um vetor 
cartesiano e determine sua direção. 
 
 
 
23 
Solução: o primeiro passo é obter o vetor posição 𝒓𝐴𝐵, mas para isso 
precisamos obter a posição dos pontos 𝐴 e 𝐵 no espaço (processo muito 
semelhante ao exercício anterior). 
Como o ponto 𝐴 está encostado no plano y-z, sua coordenada em x é 0. 
O ponto 𝐴 está sobre o eixo z, logo sua coordenada no eixo y também é 0. Esse 
ponto tem valor apenas para a coordenada z, correspondendo a 7,5 m. Portanto, 
o vetor 𝒓𝐴 pode ser escrito conforme a Equação 10: 
𝒓𝐴 = {0𝒊 + 0𝒋 + 7,5𝒌} 𝑚 
O mesmo processo se aplica ao ponto 𝐵. No eixo x, o ponto 𝐵 está a 3 m 
da origem. Já no eixo y, como está para o lado esquerdo do eixo y em relação à 
origem, seu valor é negativo e corresponde a −2 m. Por fim, no eixo z o ponto 𝐵 
está a 1,5 m em relação à origem. Portanto, o vetor 𝒓𝐵 pode ser escrito assim: 
𝒓𝐵 = {3𝒊 − 2𝒋 + 1,5𝒌} 𝑚 
Aplicamos a Equação 10b para obter o vetor 𝒓𝐴𝐵: 
𝒓𝐴𝐵 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴 = {(3 − 0)𝒊 + (−2 − 0)𝒋 + (1,5 − 7,5))𝒌} 𝑚 
𝒓𝐴𝐵 = {3𝒊 − 2𝒋 − 6𝒌} 𝑚 
Aplicando a Equação 12a ou 12b, obtemos o vetor força 𝑭 aplicado na 
direção do vetor posição 𝒓𝐴𝐵: 
𝑭 = 350 (
{3𝒊 − 2𝒋 − 6𝒌}
√(3)𝟐 + (−2)𝟐 + (−6)𝟐
) = 350 (
{3𝒊 − 2𝒋 − 6𝒌}
7
) 𝑁 
Dividindo cada componente por 7, conforme a equação anterior, temos: 
𝑭 = 350{0,429𝒊 − 0,286𝒋 − 0,857𝒌} 𝑁 
Aplicando a distributiva, temos: 
𝑭 = {150𝒊 − 100𝒋 − 300𝒌} 𝑁 
A direção do vetor 𝑭 é a mesma direção do vetor posição 𝒓𝐴𝐵, justamente 
porque o vetor 𝑭 está projetado nessa direção. Portanto, podemos obter essa 
direção se aplicarmos a Equação 5b ao nosso problema. Para facilitar, podemos 
aplicá-la direto ao vetor 𝒓𝐴𝐵; isso pode ser feito para o vetor 𝑭 sem problema 
algum (pois ambos têm a mesma direção). Aplicando a Equação 5b ao exemplo, 
temos: 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑟𝐴𝐵𝑥
𝑟𝐴𝐵
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑟𝐴𝐵𝑦
𝑟𝐴𝐵
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑟𝐴𝐵𝑧
𝑟𝐴𝐵
) 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
3
7
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−2
7
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−6
7
) 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1(0,429), 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,286) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,857) 
 
 
24 
𝛼 = 64,62°, 𝛽 = 106,60° e 𝛾 = 149,00° 
Exemplo 13: a cobertura é sustentada por dois cabos, conforme a figura 
a seguir. Se os cabos exercem forças 𝐹𝐴𝐵 = 100 𝑁 e 𝐹𝐴𝐶 = 120 𝑁 no suporte da 
parede em 𝐴, determine o vetor força resultante que atua em 𝐴 e calcule sua 
intensidade. 
 
Solução: suponha que você seja o responsável pelo projeto apresentado 
e deseje escolher o tipo de suporte para as cargas apresentadas no exemplo. 
Para isso, você precisa saber a força resultante que atua nele, e esse é o objetivo 
do enunciado do exemplo. 
Para obter o vetor força resultante 𝑭𝑹, precisamos aplicar a Equação 8 
(𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐), mas isso não pode ser feito de forma direta e somando a força 
𝐹𝐴𝐵 = 100 𝑁 com 𝐹𝐴𝐶 = 120 𝑁, pois essas forças foram fornecidas em módulo, e 
nós precisamos das componentes x, y e z dessas forças. Portanto, aplicaremos 
a mesma ideia do exemplo anterior, ou seja, vamos obter o vetor posição de 
cada cabo (𝒓𝐴𝐵) e (𝒓𝐴𝐶), e depois vamos obter as componentes dos vetores 𝑭𝐴𝐵 
e 𝑭𝐴𝐶 projetados na direção dos cabos (processo semelhanteao do exemplo 
anterior). 
Podemos resolver esse exemplo se determinarmos o vetor posição 𝒓𝐴𝐵, 
lembrando que para isso é necessário obter as componentes x, y e z dos pontos 
𝐴 e 𝐵 em relação à origem. Nesse exemplo, seremos mais diretos na obtenção 
das componentes; portanto, 𝒓𝐴 = {0𝒊 + 0𝒋 + 4𝒌} 𝑚, e 𝒓𝐵 = {𝟒𝒊 + 0𝒋 + 0𝒌}. 
Aplicando a Equação 10b, determinamos o vetor posição 𝒓𝐴𝐵 por: 
𝒓𝐴𝐵 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴 = {(4 − 0)𝒊 + (0 − 0)𝒋 + (0 − 4))𝒌} 𝑚 
𝒓𝐴𝐵 = {4𝒊 + 0𝒋 − 4𝒌} 𝑚 
 
 
25 
Calculamos o vetor 𝑭𝐴𝐵 aplicando a Equação 11b. Logo: 
𝑭𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐵 (
𝒓𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵
) = 100 (
{4𝒊 + 0𝒋 − 4𝒌}
√42 + 02 + (−4)2
) = 100 (
{4𝒊 + 0𝒋 − 4𝒌}
5,657
) 
𝑭𝐴𝐵 = 100{0,7071𝒊 + 0𝒋 − 0,7071𝒌} = {70,71𝒊 + 0𝒋 − 70,71𝒌} 𝑁 
As coordenadas do ponto 𝐶 são: 𝒓𝐶 = {4𝒊 + 2𝒋 + 0𝒌} 𝑚. Logo, o vetor 
posição 𝒓𝐴𝐶 é descrito assim: 
𝒓𝐴𝐶 = 𝒓𝐶 − 𝒓𝐴 = {(4 − 0)𝒊 + (2 − 0)𝒋 + (0 − 4))𝒌} 𝑚 
𝒓𝐴𝐶 = {4𝒊 + 2𝒋 − 4𝒌} 𝑚 
Aplicando o mesmo processo descrito anteriormente para calcular o vetor 
𝑭𝐴𝐶, temos: 
𝑭𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 (
𝒓𝐴𝐶
𝑟𝐴𝐶
) = 120 (
{4𝒊 + 2𝒋 − 4𝒌}
√42 + 22 + (−4)2
) = 120 (
{4𝒊 + 2𝒋 − 4𝒌}
6
) 
𝑭𝐴𝐶 = 120{0,6667𝒊 + 0,3333𝒋 − 0,6667𝒌} = {80𝒊 + 40𝒋 − 80𝒌} 𝑁 
Finalmente, aplicamos a Equação 8 para obter o vetor resultante: 
𝑭𝑅 = 𝑭𝐴𝐵 + 𝑭𝐴𝐶 = {(70,71 + 80)𝒊 + (0 + 40)𝒋 + (−70,71 − 80)𝒌} 𝑁 
𝑭𝑅 = {150,71𝒊 + 40𝒋 − 150,71𝒌} 𝑁 
A intensidade desse vetor é obtida pelo cálculo do módulo (Equação 4); 
ou seja: 
𝐹𝑅 = |𝑭𝑅| = √150,712 + 402 + (−150,71)2 = √22713,5 + 1600 + 22713,5. 
Portanto, 𝐹𝑅 = 216,86 𝑁. 
À medida que forças com diferentes direções são adicionadas ao 
problema, ele se torna mais trabalhoso. Logo, para problemas grandes, que 
envolvem muitas forças, é necessário um algoritmo e uma programação para 
resolvê-lo de forma rápida. Isso pode ser feito de forma simples, por isso muitos 
engenheiros desenvolvem softwares aplicados à engenharia, sendo necessário 
compreender os fenômenos físicos envolvidos no problema. 
TEMA 5 – PRODUTO ESCALAR 
Chegamos ao último tema da aula. Aqui, aplicaremos o produto escalar 
(∙) para resolver problemas tridimensionais que envolvem forças. Esse processo 
também é uma forma de projetar um vetor numa determinada direção, 
especialmente se não tivermos o módulo do vetor força ou tivermos o vetor força 
projetado em uma direção qualquer, mas queremos projetá-lo em outra direção. 
 
 
26 
O produto escalar entre os vetores 𝑨 e 𝑩, apresentados na Figura 12, é 
dado por: 
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 (13) 
Sendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 180°. 
A Equação 13 pode ser reescrita assim: 
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧 (14) 
Figura 12 – Produto escalar 
 
Fonte: Silva, 2020. 
Assim como no Tema 4.1, podemos projetar um vetor sobre uma 
determinada direção se utilizarmos o produto escalar. A Figura 13 mostra a 
projeção do vetor 𝑨 sobre a direção 𝑎 e sua componente perpendicular definida 
como 𝑨⊥. 
Figura 13 – Projeção do vetor 𝑨 
 
Fonte: Silva, 2020. 
A componente do vetor 𝑨 projetada na direção 𝑎 é dada por: 
𝐴𝑎 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑨 ∙ 𝒖𝑎 (15) 
Sendo 𝒖𝑎 o vetor unitário que define a direção da linha 𝑎. 
A componente perpendicular 𝑨⊥ pode ser escrita como: 
𝑨⊥ = 𝑨 − 𝑨𝑎, (16) 
Sendo 𝑨𝑎 = 𝐴𝑎𝒖𝑎 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃𝒖𝑎. 
Vamos aos exemplos para compreender a aplicação do produto escalar 
nos problemas de engenharia. 
 
 
27 
Exemplo 14: a estrutura da figura está submetida a uma força horizontal 
𝑭 = {300𝒋} 𝑁. Determine a intensidade das componentes dessa força paralelas 
e perpendiculares à barra 𝐴𝐵. 
 
Solução: poderíamos tranquilamente aplicar o método descrito no 
Tema 4.1 para obter a projeção do vetor 𝑭 na direção da barra 𝐴𝐵, mas o objetivo 
aqui é aplicar o produto escalar. Portanto, o primeiro passo é obter o vetor 
unitário que está sobre a direção da barra 𝐴𝐵. É um processo que já seguimos 
antes; basta aplicar a Equação 6a ao nosso problema. Assim, temos: 
𝒖𝐴𝐵 =
𝒓𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵
=
{𝒓𝐵 − 𝒓𝐴}
|𝒓𝐵 − 𝒓𝐴|
{(2 − 0)𝒊 + (6 − 0)𝒋 + (3 − 0)𝒌}
√(2 − 0)𝟐 + (6 − 0)𝟐 + (3 − 0)𝟐
=
{2𝒊 + 6𝒋 + 3𝒌}
√22 + 6𝟐 + 3𝟐
 
𝒖𝐴𝐵 =
{2𝒊 + 6𝒋 + 3𝒌}
7
= {0,286𝒊 + 0,857𝒋 + 0,429𝒌} 
Aqui, 𝒓𝐴𝐵 é obtido se aplicarmos a Equação 11b e seu módulo (𝑟𝐴𝐵) se 
aplicarmos a Equação 4. Observe que as coordenadas do ponto 𝐴 são (0𝒊 + 0𝒋 +
0𝒌), pois o ponto está exatamente na origem. 
A projeção do vetor de força 𝑭 na direção da barra 𝐴𝐵 é obtida se 
aplicarmos a Equação 15. Logo: 
𝐹𝐴𝐵 = 𝑭 ∙ 𝒖𝐴𝐵 = {0𝒊 + 300𝒋 + 0𝒌} ∙ {0,286𝒊 + 0,857𝒋 + 0,429𝒌} 
A equação é resolvida se aplicarmos a Equação 14. Assim, temos para o 
presente exemplo que: 
𝐹𝐴𝐵 = (0.0,286) + (300.0,857) + (0.0,429) = 0 + 257,14 + 0 = 257,14 𝑁 
Veja que o resultado é uma grandeza escalar (número), e o vetor 𝑭𝐴𝐵 tem 
o mesmo sentido e direção de 𝒖𝐴𝐵. Podemos expressar 𝑭𝐴𝐵 na forma de um 
vetor cartesiano se aplicarmos a Equação 12a. Assim, temos: 
𝑭𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐵𝒖𝐴𝐵 = 257,14. {0,286𝒊 + 0,857𝒋 + 0,429𝒌}, 
Aplicando a distributiva, ficamos com: 
 
 
28 
𝑭𝐴𝐵 = {73,543𝒊 + 220,37𝒋 + 110,31𝒌} 𝑁 
Para concluir o exemplo, precisamos determinar a componente 
perpendicular do vetor 𝑭𝐴𝐵 (o 𝑭𝐴𝐵⊥). Isso pode ser feito se aplicarmos a 
Equação 16 ao problema. Portanto, temos: 
𝑭𝐴𝐵⊥ = 𝑭 − 𝑭𝐴𝐵 = {0𝒊 + 300𝒋 + 0𝒌} − {73,543𝒊 + 220,37𝒋 + 110,31𝒌} 
𝑭𝐴𝐵⊥ = {(0 − 73,543)𝒊 + (300 − 220,37)𝒋 + (0 − 110,31)𝒌} 
𝑭𝐴𝐵⊥ = {−73,543𝒊 + 79,63𝒋 − 110,31𝒌} 𝑁 
Obtemos a intensidade desse vetor se aplicarmos a Equação 4. Ou seja: 
𝐹𝐴𝐵⊥ = |𝑭𝐴𝐵⊥| = √(−73,543)
2 + 79,632 + (−110,31)² = 154,65 𝑁 
Vamos resolver mais um exemplo sobre esse tema para consolidar o 
conhecimento adquirido e manipular outras equações aplicadas aos problemas 
de engenharia. 
Exemplo 15: o tubo mostrado na figura a seguir está sujeito à força 𝐹 =
800 𝑁. Determine o ângulo 𝜃 que a força faz com o segmento de tubo 𝐵𝐴 e a 
projeção dessa força sobre o segmento. 
 
Fonte: Silva, 2020. 
Solução: vimos na Figura 7 que o ângulo 𝜃 é o ângulo entre dois vetores 
quaisquer 𝑨 e 𝑩 e que, para obtê-lo, podemos fazer uma simples manipulação 
algébrica da Equação 13; ou seja, vamos isolar o ângulo 𝜃 dessa equação. Na 
sequência, temos o desenvolvimento para isso. 
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑜𝑢 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑨 ∙ 𝑩 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑨 ∙ 𝑩
𝐴𝐵
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑨 ∙ 𝑩
𝐴𝐵
) 
 
 
29 
Portanto, para aplicar a equação mostrada, precisamos das componentes 
do vetor 𝑨 e 𝑩 e do módulo do vetor 𝑨𝑩. Aplicando essa ideia ao nosso problema, 
os vetores que precisamos obter são aqueles orientados pelo ângulo 𝜃, ou seja, 
o vetor posição 𝒓𝐵𝐶 (que direciona a força 𝐹) e o vetor posição 𝒓𝐵𝐴. Note que 
esses vetores são descritos do ponto B para o ponto C, e do ponto B para o 
ponto A, por isso as direções são 𝐵𝐶 e 𝐵𝐴. Portanto, a equação pode ser 
reescrita da seguinte forma: 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝒓𝐵𝐶 ∙ 𝒓𝐵𝐴
𝑟𝐵𝐶𝑟𝐵𝐴
) 
A operação do numerado é o produto escalar entre os vetores 𝒓𝐵𝐶 e 𝒓𝐵𝐴 
(poderia ser ao contrário; 𝒓𝐵𝐴 e 𝒓𝐵𝐶), e o denominador é uma multiplicação entre 
o módulo desses vetores. 
O vetor posição 𝒓𝐵𝐴 (aplicando a Equação 11a) é dado por: 
𝒓𝐵𝐴 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴 = {(2 − 0)𝒊 + (3 − 1)𝒋 + (−1 − 0)𝒌} = {2𝒊 + 2𝒋 − 1𝒌} 𝑚 
O módulo do vetor 𝒓𝐵𝐴 (aplicando a Equação 4) é: 
𝑟𝐵𝐴 = √22 + 22 + (−1)² = √9 = 3 𝑚 
O vetor posição 𝒓𝐵𝐶 é dado por (aplicando a Equação 11a): 
𝒓𝐵𝐶 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐶 = {(2 − 2)𝒊 + (3 − 0)𝒋 + (−1 − 0)𝒌} = {0𝒊 + 3𝒋 − 1𝒌} 𝑚 
O módulo do vetor 𝒓𝐵𝐶 (aplicando a Equação 4) é dado por: 
𝑟𝐵𝐶 = √02 + 32 + (−1)² = √10 = 3,162 𝑚 
Com os vetores 𝒓𝐵𝐴, 𝒓𝐵𝐶 e seus respectivos módulos, podemos 
determinar o ângulo 𝜃 assim: 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
{0𝒊 + 3𝒋 − 1𝒌} ∙ {2𝒊 + 2𝒋 − 1𝒌}
3.3,162
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
0.2 + 3.2 − 1. (−1)
9,487
) 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
0 + 6 + 1
9,487
) = 𝑐𝑜𝑠−1(
7
9,487
) = 𝑐𝑜𝑠−1(0,738) 
𝜃 = 42,45° 
Finalizamos a primeira etapa do exemplo. Agora vamos projetar a força 𝐹 
na direção do segmento de tubo 𝐵𝐴. Para isso, podemos aplicar a Equação 15 
considerando o ângulo 𝜃; ou seja: 
𝐹𝐵𝐴 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 = 800𝑐𝑜𝑠42,45° = 590,29 𝑁 
Outra forma de obter esse resultado é adotando um procedimento muito 
semelhante ao do exercício anterior. Vamos aplicar a Equação 6a ao nosso 
problema. Assim, temos: 
 
 
30 
𝒖𝐵𝐴 =
𝒓𝐵𝐴
𝑟𝐵𝐴
=
{2𝒊 + 2𝒋 − 1𝒌}
3
= {0,667𝒊 + 0,667𝒋 − 0,333𝒌} 
Precisamos obter as componentes do vetor força 𝑭. Pela figura, 
observamos que esse vetor está na direção 𝐵𝐶; logo, as componentes dele são 
obtidas se aplicarmos a Equação 12b, dada por: 
𝑭 = 𝐹 (
𝒓𝐵𝐶
𝒓𝐵𝐶
) = 800. (
{0𝒊 + 3𝒋 − 1𝒌}
3,162
) = 800. {0𝒊 + 0,949𝒋 − 0,316𝒌} 
𝑭 = {0𝒊 + 758,95𝒋 − 252,98𝒌} 𝑁 
A projeção do vetor de força 𝑭 na direção da barra 𝐵𝐴 é obtida se 
aplicarmos o produto escalar da Equação 15. Logo: 
𝐹𝐵𝐴 = 𝑭 ∙ 𝒖𝐵𝐴 = {0𝒊 + 758,95𝒋 − 252,98𝒌} ∙ {0,6667𝒊 + 0,6667𝒋 − 0,3333𝒌} 
𝐹𝐵𝐴 = (0.0,6667 + 758,95.0,6667 − 252,98. (−0,3333)) = 0 + 506 + 84,24 
𝐹𝐵𝐴 = 590,32 𝑁 
Observe que a diferença entre ambos os valores se dá pelos 
arredondamentos aplicados. 
5.1 Exercícios aplicados 
Agora vamos resolver alguns exercícios a fim de aplicar os conhecimentos 
adquiridos ao longo desta aula. 
Nos Temas 1 e 2, vimos como determinar a força resultante de um sistema 
de forças no plano. Vamos aplicar esses conceitos para resolver o problema a 
seguir. 
Estudo aplicado 1: para puxarmos um carro na direção de x (horizontal), 
devemos aplicar uma força resultante de 950 N, porém, nosso sistema de forças 
é constituído pelas forças 𝐹𝐴 e 𝐹𝐵 aplicadas nas direções mostradas na figura, 
sendo 𝜃 = 50°. Determine a intensidade das forças 𝐹𝐴 e 𝐹𝐵 a fim de produzir essa 
força resultante. 
 
 
31 
 
Créditos: VectorsMarket/Shutterstock. 
Solução: podemos resolver esse problema aplicando duas técnicas. A 
primeira foi vista no Tema 1 (lei dos senos e cossenos), e a segunda se dá pela 
decomposição das forças, vista no Tema 2. Como o objetivo é você aprender a 
solucionar os problemas utilizando as ferramentas que tem em mãos, vamos 
aplicar as duas. 
Para utilizarmos a lei dos senos e/ou dos cossenos no problema em tela, 
precisamos traçar o paralelogramo. É uma tarefa simples: basta traçar retas 
paralelas às forças 𝐹𝐴 e 𝐹𝐵 com origem nas extremidades dessas forças, 
lembrando que a força resultante equivale a 950 N, está disposta ao longo do 
eixo x e é o vetor que une os pontos de intersecção das forças 𝐹𝐴 e 𝐹𝐵. 
Graficamente, temos: 
 
Devemos escolher um dos dois triângulos equivalentes para resolver o 
problema. Escolhendo o triângulo superior, nossa solução se dá em torno de: 
 
 
 
32 
Para aplicarmos a lei dos senos nesse triângulo, temos que obter o 
ângulo 𝛼. É uma tarefa fácil, pois já sabemos que a soma dos ângulos internos 
de um triângulo é 180°; logo, 𝛼 = 180 − 20 − 50 = 110°. 
A lei dos senos pode ser aplicada: 
𝐹𝐴
𝑠𝑒𝑛50
=
950
𝑠𝑒𝑛110
, 
Isolando 𝐹𝐴, temos: 
𝐹𝐴 =
950
𝑠𝑒𝑛110
𝑠𝑒𝑛50 = 774,45 𝑁 
Seguindo o mesmo procedimento para a força 𝐹𝐵, temos: 
𝐹𝐵
𝑠𝑒𝑛20
=
950
𝑠𝑒𝑛110
, 
Isolando 𝐹𝐵, temos: 
𝐹𝐵 =
950
𝑠𝑒𝑛110
𝑠𝑒𝑛20 = 345,77 𝑁 
O exercício está resolvido. Agora vamos aplicar a segunda técnica, vista 
no Tema 2, considerando a decomposição de forças. 
Temos que obter as forças resultantes aplicadas nos eixos x e y. A figura 
a seguir apresenta as forças avaliadas no problema e suas componentes: 
 
∑ 𝐹𝑥 = 𝐹𝐴. 𝑐𝑜𝑠20 + 𝐹𝐵 . 𝑐𝑜𝑠50 = 950 
∑ 𝐹𝑦 = 𝐹𝐴. 𝑠𝑒𝑛20 − 𝐹𝐵. 𝑠𝑒𝑛50 = 0 
Note que 950 é a força resultante e só tem componente em x, por isso 
entrou após o sinal de igualdade. 
Temos um sistema linear de equações com duas equações e duas 
incógnitas. Para resolvê-lo, escolhemos uma das duas equações (a mais 
simples) e isolamos uma das duas forças. Nesse caso, vamos escolher a 
segunda equação e vamos isolar a força 𝐹𝐴. Assim, temos: 
 
 
33 
𝐹𝐴. 𝑠𝑒𝑛20 = 𝐹𝐵. 𝑠𝑒𝑛50 
𝐹𝐴 =
𝐹𝐵. 𝑠𝑒𝑛50
𝑠𝑒𝑛20
 
Agora vamos substituir essa equação na primeira equação do nosso 
sistema de equações (∑ 𝐹𝑥); ou seja, no lugar do 𝐹𝐴 da primeira equação, vamos 
inserir 
𝐹𝐵.𝑠𝑒𝑛50
𝑠𝑒𝑛20
: 
𝐹𝐵 . 𝑠𝑒𝑛50
𝑠𝑒𝑛20
. 𝑐𝑜𝑠20 + 𝐹𝐵. 𝑐𝑜𝑠50 = 950 
Deixando 𝐹𝐵 em evidência, ficamos com: 
𝐹𝐵 (
𝑠𝑒𝑛50
𝑠𝑒𝑛20
. 𝑐𝑜𝑠20 + 𝑐𝑜𝑠50) = 950 
Resolvendo os termos dentro dos parênteses, temos: 
𝐹𝐵(2,105 + 0,643) = 950 
𝐹𝐵(2,748) = 950, 
Isolando 𝐹𝐵, ficamos com: 
𝐹𝐵 =
950
2,748
= 345,73 𝑁 
Substituindo o resultado em 𝐹𝐴 =
𝐹𝐵.𝑠𝑒𝑛50
𝑠𝑒𝑛20
, obtido anteriormente, temos: 
𝐹𝐴 =
345,73. 𝑠𝑒𝑛50
𝑠𝑒𝑛20
= 774,36 𝑁 
Observação: a pequena diferença entre os valores do primeiro e segundo 
método se relaciona diretamente aos arredondamentos feitos na aplicação da 
segunda técnica. 
Estudo aplicado 2: o ponto de contato entre o fêmur e a tíbia está em 𝐴. 
Se uma força vertical de 175 lb for aplicada nesse ponto, determine as 
componentes ao longo dos eixos x e y. Observe que a componente y representa 
a força normal na região de carga de rolamento dos ossos. As componentes x e 
y dessa força comprimem o fluido sinovial para fora do espaço de rolamento. 
 
 
34 
 
Créditos: Studiovin/Shutterstock. 
Solução: é um exercício simples de decomposição de forças no plano. As 
unidades estão no sistema americano de medidas, mas isso não é problema 
algum. Trabalharemos com os números e as unidades sem fazer nenhuma 
transformação, pensando em obter os resultados no sistema de medidas 
fornecido no problema. 
Vamos aplicar a trigonometria básica para resolvê-lo. A figura a seguir 
mostra as componentes x e y da força de 175 lb aplicadas no ponto 𝐴: 
 
Créditos: Studiovin/Shutterstock. 
A inclinação do eixo x é dada pelo triângulo mostrado. O ângulo formado 
por essa inclinação pode ser facilmente obtido, porém é possível trabalhar com 
o triângulo para obter as componentes de força x e y. Esse processo será 
explicado na sequência. 
 
 
35 
O mesmo triângulo que representa a inclinação do eixo x em relação ao 
eixo horizontal e ao vertical (x’ e y’) corresponde à inclinação da força de 175 lb 
em relação aos eixos x e y, como mostra a figura. 
Para obtermos a componente x, temos que multiplicar a força pelo valor 
da aresta do triângulo no eixo x (valor 5) e dividir o resultado pela hipotenusa do 
triângulo (valor 13) (veja o triângulo inserido na força): 
𝐹𝑥 = 175
5
13
= 67,31 𝑙𝑏 
A componente y pode ser obtida se multiplicarmos a força pelo valor da 
aresta do triângulo na direção y (valor 12) e dividir o resultado pelo valor da 
hipotenusa do triângulo (veja o triângulo inserido na força): 
𝐹𝑦 = 175
12
13
= 161,54 𝑙𝑏. 
Nos Temas 3 e 4, vimos como determinar a força resultante de um sistema 
de forças no espaço. Vamos aplicar esses conceitos para resolver o problema a 
seguir. 
Estudo aplicado 3: determine a intensidade e a direção da força 
resultante que age no ponto 𝐴 do poste de luz. 
 
Solução: é um exemplo semelhante ao Exemplo 13, portanto vamos 
utilizar o mesmo princípio. Precisamos determinar os vetores direção dos pontos 
𝐴, 𝐵 e 𝐶. Analisando a figura do problema em tela, esses pontos são descritos 
assim: 
 
 
36 
𝒓𝐴 = {0𝒊 + 0𝒋 + 6𝒌} 𝑚 
𝒓𝐵 = {4,5𝑠𝑒𝑛45°𝒊 − 4,5𝑐𝑜𝑠45𝒋 + 0𝒌} 𝑚 
𝒓𝐶 = {−3𝒊 − 6𝒋 + 0𝒌} 𝑚 
Os vetores posição 𝒓𝐴𝐵 e 𝒓𝐴𝐶 são obtidos ao aplicarmos a Equação 11b. 
Logo: 
𝒓𝐴𝐵 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴 = {(4,5𝑠𝑒𝑛45 − 0)𝒊 + (−4,5𝑐𝑜𝑠45 − 0)𝒋 + (0 − 6)𝒌} 
𝒓𝐴𝐵 = {4,5𝑠𝑒𝑛45𝒊 − 4,5𝑐𝑜𝑠45𝒋 − 6𝒌} 𝑚 
𝒓𝐴𝐶 = 𝒓𝐶 − 𝒓𝐴 = {(−3 − 0)𝒊 + (−6 − 0)𝒋 + (0 − 6)𝒌} 
𝒓𝐴𝐶 = {−3𝒊 − 6𝒋 − 6𝒌} 𝑚 
Os módulos dos vetores 𝒓𝐴𝐵 e 𝒓𝐴𝐶 são obtidos, respectivamente, se 
aplicarmos a Equação 4: 
𝑟𝐴𝐵= √(4,5𝑠𝑒𝑛45)2 + (−4,5𝑐𝑜𝑠45)2 + (−6)² = √10,125 + 10,125 + 36 = 7,5 𝑚 
𝒓𝐴𝐶 = √(−3)² + (−6)2 + (−6)² = √9 + 36 + 36 = 9 𝑚 
Agora aplicamos a Equação 12b ao nosso problema para determinar os 
vetores de força 𝑭𝐵 e 𝑭𝐶: 
𝑭𝐵 = 𝐹𝐵 (
𝒓𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵
) = 900 (
{4,5𝑠𝑒𝑛45𝒊 − 4,5𝑐𝑜𝑠45𝒋 − 6𝒌}
7,5
) 
𝑭𝐵 = 900{0,424𝒊 − 0,424𝒋 − 0,8𝒌} = {381,84𝒊 − 381,84𝒋 − 720𝒌} 𝑁 
𝑭𝐶 = 𝐹𝐶 (
𝒓𝐴𝐶
𝑟𝐴𝐶
) = 600 (
{−3𝒊 − 6𝒋 − 6𝒌}
9
) = 600{−0,3333𝒊 − 0,6667𝒋 − 0,6667𝒌} 
𝑭𝐶 = {−200𝒊 − 400𝒋 − 400𝒌} 𝑁 
Com os vetores coordenados 𝑭𝐵 e 𝑭𝐶, aplicamos a Equação 8 para 
determinar o vetor resultante: 
𝑭𝑅 = 𝑭𝐵 + 𝑭𝐶 = {(381,84 − 200)𝒊 + (−381,84 − 400)𝒋 + (−720 − 400)𝒌} 
𝑭𝑅 = {181,84𝒊 − 781,84𝒋 − 1120𝒌} 𝑁 
O módulo desse vetor é obtido se aplicarmos a Equação 4. Logo: 
𝐹𝑅 = √181,842 + (−781,84)2 + (−1120)² = 1377,95 𝑁 ou 1,38 𝑘𝑁 
Para finalizar o exercício, temos que determinar a direção do vetor força 
resultante, conforme solicita o enunciado. Para isso, aplicamos a Equação 5b. 
Assim, temos: 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
181,84
1377,95
) , 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−781,84
1377,95
) e 𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
−1120
1377,95
) 
𝛼 = 82,42°, 𝛽 = 124,57° e 𝛾 = 144,37 
 
 
37 
Estudo aplicado 4: represente a força em cada cabo na forma de um 
vetor cartesiano. 
 
Solução: em exemplos anteriores já trabalhamos com esse tipo de 
problema. O primeiro passo é obter os vetores posição 𝒓𝐴𝐵 e 𝒓𝐴𝐶. Para isso, 
precisamos conhecer a posição dos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Analisando a figura, esses 
pontos são dados por: 
𝒓𝐴 = {0𝒊 + 0𝒋 + 36𝒌} 𝑓𝑡, 
𝒓𝐵 = {18𝒊 − 12𝒋 + 0𝒌} 𝑓𝑡 e 
𝒓𝐶 = {12𝑠𝑒𝑛30𝒊 + 12𝑐𝑜𝑠30𝒋 + 0𝒌} 𝑓𝑡 
Os vetores posição 𝒓𝐴𝐵 e 𝒓𝐴𝐶 são obtidos se aplicarmos a Equação 11b. 
Logo: 
𝒓𝐴𝐵 = 𝒓𝐵 − 𝒓𝐴 = {(18 − 0)𝒊 + (12 − 0)𝒋 + (0 − 36)𝒌} 
𝒓𝐴𝐵 = {18𝒊 − 12𝒋 − 36𝒌} 𝑓𝑡 
𝒓𝐴𝐶 = 𝒓𝐶 − 𝒓𝐴 = {(12𝑠𝑒𝑛30 − 0)𝒊 + (12𝑐𝑜𝑠30 − 0)𝒋 + (0 − 36)𝒌} 
𝒓𝐴𝐶 = {12𝑠𝑒𝑛30𝒊 + 12𝑐𝑜𝑠30𝒋 − 36𝒌} 𝑓𝑡 
Os módulos dos vetores 𝒓𝐴𝐵 e 𝒓𝐴𝐶 são obtidos, respectivamente, se 
aplicarmos a Equação 4: 
𝒓𝐴𝐵 = √18² + (−12)
2 + (−36)² = √324 + 144 + 1296 = 42 𝑓𝑡 
𝒓𝐴𝐶 = √(12𝑠𝑒𝑛30)2 + (12𝑐𝑜𝑠30)2 + (−36)2 = √62 + (10,39)2 + (−36)2 
𝒓𝐴𝐶 = √36 + 108 + 1296 = 37,95 𝑓𝑡 
Agora aplicamos a Equação 12b ao nosso problema para determinar os 
vetores de força 𝑭𝐵 e 𝑭𝐶: 
 
 
38 
𝑭𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐵 (
𝒓𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵
) = 700 (
{18𝒊 − 12𝒋 − 36𝒌}
42
) = 700{0,429𝒊 − 0,286𝒋 − 0,857𝒌} 
𝑭𝐴𝐵 = {300𝒊 − 200𝒋 − 600𝒌} 𝑙𝑏 
𝑭𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 (
𝒓𝐴𝐶
𝑟𝐴𝐶
) = 600 (
{12𝑠𝑒𝑛30𝒊 + 12𝑐𝑜𝑠30𝒋 − 36𝒌}
37,95
) 
𝑭𝐴𝐶 = 600{0,158𝒊 + 0,274𝒋 − 0,949𝒌} 
𝑭𝐴𝐶 = {94,86𝒊 + 164,31𝒋 − 569,17𝒌} 𝑙𝑏 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula aprendemos conceitos básicos da mecânica, as principais 
unidades envolvidas, o que são forças e como podemos utilizar os vetores para 
representá-las. Vimos como determinar a força resultante em problemas 
bidimensionais, aplicando a lei dos senos e cossenos e decomposição de forças, 
vendo também como resolver problemas tridimensionais por meio de notações 
vetoriais. Agora você está apto a aplicar os conhecimentos básicos adquiridos 
em situações reais e do cotidiano. 
A melhor forma de ampliar seu conhecimento sobre o conteúdo desta aula 
é praticar os exercícios propostos no nosso livro-texto, Estática – mecânica para 
engenharia, do autor Hibbeler, que apresenta dezenas de situações práticas com 
as quais nos deparamos no dia a dia. 
Bons estudos! 
 
 
39 
REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: 
Pearson, 2011.