Resumos Cálculo

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Fo´rmulas Ca´lculo I
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
RESUMÃORESUMÃO
Cálculo 1
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P1
Cálculo 1
1.1 Derivada
2.1 Regra da Cadeia
2.2 Regra do Produto
2.3 Regra do Quociente
2.4 Teorema de L'Hôpital
2.5 Aproximação Linear de Taylor (Equação da Reta
Tangente)
P3
3.1 Teorema Fundamental do Cálculo
3.2 Comprimento de Arco de uma Função
3.3 Integração por Partes
3.4 Integrais (e Derivadas) "manjadas"
P1
P2
Fo´rmulas Ca´lculo I
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
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1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
Fo´rmulas Ca´lculo I
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Derivada
f ′(x) =
df
dx
= lim
dx→0
f(x+ dx)− f(x)
dx
2 P2
2.1 Regra da Cadeia
df(u(x))
dx
=
du(x)
dx
· df(u(x))
du(x)
2.2 Regra do Produto
(f.g)′ = f ′.g + g′.f
2.3 Regra do Quociente(
f
g
)′
=
f ′.g − g′.f
g2
2.4 Teorema de L’Hoˆpital
Se L = limx→0
f(x)
g(x)
= ∞∞ ou
0
0
, L = limx→∞
f ′(x)
g′(x)
2.5 Aproximac¸a˜o Linear de Taylor (Equac¸a˜o da Reta
Tangente)
L(x) = f(x0) + f
′(x0).(x− x0)
1
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Cálculo 2
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y = r sen ( )
CÔNICAS CLÁSSICAS ( IR2) =
P1
APROXIMAÇÃO LINEAR DE TAYLOR:
(x-x0)2 + (y-y0)
2 = R2
(x-x0)
2 + (y-y0)
2 = 1
a2 b2
(x-x0)
2 - (y-y0)
2 = 1
a2 b2
QUÁDRICAS ( IR3) =
L(x,y,z) = f(x0,y0,z0) + f(x0,y0,z0)x (x-x0,y-y0,z-z0)
z
c
x2
a2
y2
b2= +
z2
c2
x2
a2
y2
b2+ + =1
z2
c2
x2
a2
y2
b2+
y2
b2+
- =1
z2
c2
x2
a2
y2
b2+ - =0
z2
c2
x2
a2+=1
z
c
x2
a2
y2
b2= -
Parabolóide (Elíptico ou de Revolução)
Círculvo
Elipse
Hipérbole
Parabolóide Hiperbólico (”SELA”)
Elipse
Hiperboloide (1 folha)
Hiperboloide (2 folhas)
Cone (Elíptico ou de Revolucão)
*Hiperboloide Degenerado
f(x0,y0,z0)= (x0,y0,z0),F
x
(x0,y0,z0),F
y
(x0,y0,z0)F
z( )
Gradiente de f(x,y,z) no ponto (x0,y0,z0) 
P2
REGRA DE CADEIA:
g F
x
Seja uma g(u,v) 
Ex: g(t) = f(x(t), y(t), z(t))
gt = fx . xt + fy . yt + fz . zt
f(x(u,v), y(u,v)): 
x yf
y
= . + .
g
t
y
t
F
x
x
t
f
y
= . + +.
P3
)
)(
(
( )
APROXIMAÇÃO QUADRÁTICA DE TAYLOR
ROTAÇÃO DE QUADRÁTICAS 
Q(x,y,z) = f(x0,y0,z0) + f(x0,y0,z0) . (x-x0,y-y0,z-z0)+
Hessiana de f(x,y,z) no ponto (x0,y0,z0) 
1
2
. (x-x0,y-y0,z-z0) . H(f (x-x0,y-y0,z-z0)). x-x0
y-y0
z-z0
H(f (x-x0,y-y0,z-z0)) fxx(x0,y0,z0)
fyx(x0,y0,z0)
fzx(x0,y0,z0)
fxy(x0,y0,z0)
fyy(x0,y0,z0)
fzy(x0,y0,z0)
fxz(x0,y0,z0)
fyz(x0,y0,z0)
fzz(x0,y0,z0)
ax2+by2+cz2+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j=0
(x y z) a d e
d b f
f e c )( xyz
)( xyz )( xyz)( x’y’z’
)( xyz. +(g h i) +j = 0
= P . )( x’y’z’
)( x’y’z’ )( x’y’z’
= Pt . 
(x y z) . P = (x’y’z’)
(x’y’z’) . D . + (g h i) . P . + j = 0
P é uma matriz de autovetores de A, Pt é sua transposta
D é a matriz diagonal dos autovalores de A.
A = 1 . H(f(x,y,z))
2
Seja ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j = f(x,y,z)
x = p . sen( ) . cos( )
x = r cos ( )
x = r cos ( )
MUDANÇAS DE COORDENADAS EM INTEGRAIS:
f(x,y).dx.dy = f(r, ) . r . dr . d
POLARES:
f(x,y,z).dx.dy.dz = f(r, ,z) . r . dr . d . dz
CILÍNDRICAS:
V V
f(x,y,z).dx.dy.dz = f(p, , ) . p2 . sen( ) . dp . d . d
ESFÉRICAS:
V V
z = z
y = p . sen( ) . sen( )
z = p . cos( ) 
Cálculo 2
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resumoes_calculos3.pdf
Fo´rmulas Ca´lculo III
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Regra da Cadeia
h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)︸ ︷︷ ︸
G(u,v)
)
Dh(u, v) = DG(u, v).Df(G(u, v))
DG(u, v) =
(
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
)
=
(
xu yu
xv yv
)
Df(G(u, v)) =
(
∂f
∂x
, ∂f
∂y
)
1.2 Integral de Linha para Campos Vetoriais
Seja um caminho �r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
�r ′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) =
d�r
dt
d�r = �r ′(t).dt
∮
C
�F .d�r =
∫
�F .�r ′(t).dt
Se �F = �f e C e´ um caminho A→ B:∮
C
�F .d�r = f(B)− f(A)
1
Fo´rmulas Ca´lculo III
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Regra da Cadeia
h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)︸ ︷︷ ︸
G(u,v)
)
Dh(u, v) = DG(u, v).Df(G(u, v))
DG(u, v) =
(
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
)
=
(
xu yu
xv yv
)
Df(G(u, v)) =
(
∂f
∂x
, ∂f
∂y
)
1.2 Integral de Linha para Campos Vetoriais
Seja um caminho �r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
�r ′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) =
d�r
dt
d�r = �r ′(t).dt
∮
C
�F .d�r =
∫
�F .�r ′(t).dt
Se �F = �f e C e´ um caminho A→ B:∮
C
�F .d�r = f(B)− f(A)
1
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Cálculo 3
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1 P1
1.1 Regra da Cadeia
h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)︸ ︷︷ ︸
G(u,v)
)
Dh(u, v) = DG(u, v).Df(G(u, v))
DG(u, v) =
(
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
)
=
(
xu yu
xv yv
)
Df(G(u, v)) =
(
∂f
∂x
, ∂f
∂y
)
1.2 Integral de Linha para Campos Vetoriais
Seja um caminho �r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
�r ′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) =
d�r
dt
d�r = �r ′(t).dt
∮
C
�F .d�r =
∫
�F .�r ′(t).dt
Se �F = �f e C e´ um caminho A→ B:∮
C
�F .d�r = f(B)− f(A)
1
P1
P2 e P3
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Cálculo 3
1.1 Regra de Cadeia
1.2 Integral de Linha para Campos Vetoriais
1.3 Integral de Linha para Campos Escolares
1.4 Comprimento de Arco
1.5 Mudança de Variáveis
2.1 Rotacional de um Campo Vetorial
2.2 Divergente de um Campo Vetorial
2.3 Teorema de Gauss 
(Teorema de Divergência)
2.4 Teorema de Stokes
2.5 Plano Tangente a uma Curva de Nível
Fo´rmulas Ca´lculo III
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Regra da Cadeia
h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)︸ ︷︷ ︸
G(u,v)
)
Dh(u, v) = DG(u, v).Df(G(u, v))
DG(u, v) =
(
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
)
=
(
xu yu
xv yv
)
Df(G(u, v)) =
(
∂f
∂x
, ∂f
∂y
)
1.2 Integral de Linha para Campos Vetoriais
Seja um caminho �r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
�r ′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t)) =
d�r
dt
d�r = �r ′(t).dt
∮
C
�F .d�r =
∫
�F .�r ′(t).dt
Se �F = �f e C e´ um caminho A→ B:∮
C
�F .d�r = f(B)− f(A)
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Fo´rmulas Ca´lculo IV
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January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
Fo´rmulas Ca´lculo IV
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
Fo´rmulas Ca´lculo IV
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
RESUMÃORESUMÃO
Cálculo 4
FILHOS DA PUC
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P1
1.1 Fator integrante
P2
2.1 Sistema de Equações
1.2 “Métodos de lambdas”
 Equações Diferenciais
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
Fo´rmulas Ca´lculo IV
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
Fo´rmulas Ca´lculo IV
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
Fo´rmulas Ca´lculo IV
Marcelo Martins - PUC Que Pariu!
January 23, 2014
1 P1
1.1 Fator Integrante
P (t).y′(t) +Q(t).y(t) = R(t)
y(t) =
1
µ(t)
·
∫
R(t)
Q(t)
· µ(t).dt
onde µ(t) = e
∫ Q(t)
P (t)
·dt
1.2 ”Me´todo dos lambdas”
• Equac¸o˜es Diferenciais:
A.y”(t) +B.y′(t) + C.y(t) = x(t) ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yh(t) = C1.e
λ1t + C2.e
λ2t
yp(t) ∼ x(t) → Ex.: x(t) = sin(t) ⇒ yp(t) = a. sin(t) + b. cos(t)
y(t) = yh(t) + yp(t)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
A.yn+2 +B.yn+1 + C.yn = xn ⇒ A.λ2 +B.λ+ C = 0
yhn = C1.λ
n
1 + C2.λ
n
2
ypn ∼ xn → Ex.: x(t) = 2n2 ⇒ ypn = a.n2 + b.n+ c
y(t) = yhn + ypn
1
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+
c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
Cálculo 4
 Equações de diferenças
 Equações de diferenças
O resumo já ajuda, mas não substitui os livros, que são completos. Alugue seus 
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Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x
= 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
2 P2
2.1 Sistemas de Equac¸o˜es
• Equac¸o˜es Diferenciais:
Y (t) =
(
y1(t)
y2(t)
)
Y ′(t) = A.Y (t) +X(t)
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y′1(t) = a11.y1(t) + a12.y2(t) + x1(t)
y′2(t) = a21.y1(t) + a22.y2(t) + x2(t)
Yh(t) = e
At ·
(
C1
C2
)
eAt = α(t).A+ β(t).I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : e
λ1t = α(t).λ1 + β(t)
eλ2t = α(t).λ2 + β(t)
λ1 = λ2 :
eλt = α(t).λ+ β(t)
t.eλt = α(t)
Yp(t) ∼ X(t) → Ex: X(t) =
(
et + 2.e−t
e−t
)
⇒ Yp(t) =
(
a.et + b.e−t
c.e−t
)
Y (t) = Yh(t) + Yp(t)
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yh(t) = C1.e
λ1t.v1 + C2.e
λ2t.v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.e
λt.v1 + C2.t.e
λt.v2 (λ1 = λ2)
• Equac¸o˜es de Diferenc¸as:
Yn =
(
y1n
y2n
)
Yn+1 = A.Yn +Xn
Outra forma de se escrever o mesmo sistema:
y1n+1 = a11.y1n + a12.y2n + x1n
y2n+1 = a21.y1n + a22.y2n + x2n
2
P3
3.1 Fator integrante
4 Observacões
3.2 Séries de Taylor “manjadas”
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
Yhn = A
n ·
(
C1
C2
)
An = αn.A+ βn.I
Sejam λ1 e λ2 os autovalores de A:
λ1 �= λ2 : λ
n
1 = αn.λ1 + βn
λn2 = αn.λ2 + βn
λ1 = λ2 :
λn = αn.λ+ βn
n.λn−1 = αn
Ypn ∼ Xn → Ex: Xn =
(
n2
2n
)
⇒ Ypn =
(
a.n2 + b.n+ c
d.n2 + e.n+ f
)
Yn = Yhn + Ypn
* Sejam v1 e v2 autovetores de A:
Yhn = C1.λ
n
1 .v1 + C2.λ
n
2 .v2 (λ1 �= λ2)
Yh(t) = C1.λ
n.v1 + C2.n.λ
n−1.v2 (λ1 = λ2)
3 P3
3.1 Se´rie de Taylor
f(x) = f(a) + f ′(a).(x− a) + f”(a)
2!
· (x− a)2 + f
′′′(a)
3!
· (x− a)3 + . . .
f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(a)
n!
· (x− a)n
3.2 Se´ries de Taylor ”manjadas”
ex = 1 + x+ x
2
2! +
x3
3! +
x4
4! +
x5
5! + · · · =
∑
xn
n!
sin(x) = x− x33! + x
5
5! − x
7
7! +
x9
9! − · · · =
∑
(−1)n · x2n+1(2n+1)!
cos(x) = 1− x22! + x
4
4! − x
6
6! +
x8
8! − · · · =
∑
(−1)n · x2n(2n)!
ln(1 + x) = x− x22 + x
3
3 − x
4
4 + · · · =
∑
(−1)n · xn+1n+1
(para |x| < 1)
1
1−x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · =∑ xn (para
|x| < 1)
3
4 Observac¸o˜es
sinh(x) = sin(ix) =
ex − e−x
2
cosh(x) = cos(ix) =
ex + e−x
2
cosh2(x)− sinh2(x) = 1
eix = cos(x) + i. sin(x)
4
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Cálculo 4
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