Apostila Estatística I

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Notas de Aula - Disciplina: Estatística I
Prof. Neuber/Eveliny - 2015 - Curso: Estatística
Sumário
1 Introdução 3
1.1 Fases do Trabalho Estatístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ramificações da Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Estatística Descritiva 4
2.1 Classificação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tipos de séries estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Análise de Variáveis Qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Distribuição de Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Análise de Variáveis Quantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Distribuição de Frequências - Variável Quantitativa Discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Representação Gráfica - Variável Quantitativa Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3 Distribuição de Frequências - Variável Quantitativa Contínua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4 Representação Gráfica - Variável Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Somatório 21
4 Medidas de Posição ou Tendência Central 22
4.1 Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1 Propriedades da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Mediana (Md) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Moda (Mo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4 Comparação entre Média, Mediana e Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Separatrizes 30
5.1 Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Decis e Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Medidas de Dispersão 33
6.1 Amplitude Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Distância Interquartílica ou Amplitude Interquartílica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.4 Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7 Assimetria e Curtose 38
7.1 Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.2 Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Box Plot ou Desenho Esquemático 41
9 Tabelas Bidimensionais e Medidas de Associação 43
9.1 Medidas de Associação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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10 Correlação e Regressão Linear Simples 47
10.1 Análise de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.1.1 Diagrama de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.1.2 Coeficiente de Correlação Linear de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.2 Regressão Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.2.1 Coeficiente de Determinação - R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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1 Introdução
A Estatística é uma ciência cujo campo de aplicação estende-se a muitas áreas do conhecimento humano. Entre-
tanto, um equívoco comum que deparamos nos dias atuais é que, em função da facilidade que o advento dos computadores
nos proporciona, permitindo desenvolver cálculos avançados e aplicações de processos sofisticados com razoável eficiên-
cia e rapidez, muitos pesquisadores consideram-se aptos a fazerem análises e inferências estatísticas sem um conhecimento
mais aprofundado dos conceitos e teorias. Tal prática, em geral, culmina em interpretações equivocadas e muitas vezes
errôneas.
No desenvolvimento científico e em nosso próprio dia-a-dia, estamos sempre fazendo observações de fenômenos,
gerando dados. Quando as pessoas ouvem a palavra “estatística”, imaginam logo taxas de acidente, índices de mortali-
dade, litros por quilômetro etc. Os agrônomos estão frequentemente analisando o efeito de agrotóxicos na agricultura,
os engenheiros analisam dados de propriedades de materiais e todos nós, ao lermos jornais e revistas, estamos vendo
resultados estatísticos provenientes do censo demográfico, de pesquisas eleitorais etc.
Entende-se a Estatística como um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descre-
ver, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento.
Denomina-se por dados um (ou mais) conjunto de valores, numéricos ou não.
As variáveis são o foco principal da pesquisa em ciências. Uma variável é simplesmente algo que pode variar,
isto é, pode assumir valores ou categorias diferentes. Alguns exemplos de variáveis são gênero (sexo), velocidade de
digitação, número de sintomas registrados de uma doença, nível de ansiedade, número de gols em uma partida de futebol,
cores favoritas etc. Estes são exemplos de itens que se pode medir e registrar e que variam de uma situação ou pessoa para
outra.
As análises estatísticas dependem da forma como os dados são coletados e o planejamento estatístico da pesquisa
indica o esquema sob o qual os dados serão obtidos. Portanto, o planejamento da pesquisa e a análise estatística dos
dados estão intimamente ligados. Dessa forma, o pesquisador deve possuir um razoável conhecimento de estatística para
desenvolver suas pesquisas ou, então,consultar um estatístico para auxiliá-lo. Esta consulta deve ser feita antes do início
da pesquisa, ainda durante a fase de elaboração do projeto. 1
1.1 Fases do Trabalho Estatístico
O Trabalho Estatístico pode ser descrito pelas etapas a seguir:
• Definição do problema - Consiste na:
– formulação correta do problema;
– examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (revisão da literatura);
– saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente (variáveis, população, hipó-
teses, etc.)
• Planejamento -Determinar o procedimento necessário para resolver o problema:
– Como levantar informações;
– Tipos de levantamentos: Por Censo (completo); Por Amostragem (parcial).
– Cronograma, Custos, etc.
• Coleta de dados - Consiste na obtenção dos dados referentes ao trabalho que desejamos fazer;
– A coleta pode ser: Direta - diretamente da fonte ou Indireta - feita através de outras fontes.
– Os dados podem ser obtidos pela própria pessoa (primários) ou se baseia no registro de terceiros (secundários).
• Apuração dos dados - Consiste em resumir os dados, através de uma contagem e agrupamento. É um trabalho de
coordenação e de tabulação.
• Apresentação dos dados - É a fase em que vamos mostrar os resultados obtidos na coleta e na organização. Esta
apresentação pode ser:
– Tabular (apresentação numérica)
– Gráfica (apresentação geométrica)
• Análise e interpretação dos dados - É a fase mais importante e também a mais delicada. Tirar conclusões que
auxiliam o pesquisador a resolver seu problema.
1ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
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1.2 Ramificações da Estatística
1. Estatística Descritiva
Compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações que podem ser muito complexas.
A finalidade é tornar as coisas mais fáceis de entender, de relatar e de discutir. A média industrial Dow-Jones, a
taxa de desemprego, o custo de vida, o índice pluviométrico, tudo isto se enquadra nessa categoria. A estatística
descritiva vai resumir as informações através do uso de certas medidas-síntese, que tornem possível a interpretação
de resultados. No sentido mais amplo, suas funções são:
• coleta de dados;
• organização e classificação destes dados;
• apresentação através de gráficos e tabelas;
• cálculo de coeficientes (estatísticos), que permitem descrever resumidamente os fenômenos.
2. Probabilidade
É útil para analisar situações que envolvem o acaso. Exemplo de situações que enquadram-se na categoria do acaso:
Jogos de dados e de cartas ou Lançamento de uma moeda para o ar. A maioria dos jogos esportivos é influenciada
pelo acaso até certo ponto.
3. Inferência
Diz respeito a análise e interpretação de dados amostrais. Ou seja, com base numa amostra faz-se inferência para
toda população. Um exemplo do uso da inferência no nosso dia-a-dia é que não precisamos beber toda a sopa para
saber se está ou não salgada. A idéia básica da amostragem é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela
pequena, mas típica, de determinada “população” e utilizar essa informação para fazer inferência sobre a população
toda.
Firmas comerciais e entidades governamentais recorrem a amostragem por várias razões. O custo é usualmente um
fator relevante. Codificar dados e analisar resultados custa dinheiro e, em geral, quanto maior o número de dados
codificados, maior o custo. A amostragem reduz a quantidade de dados a codificar e analisar, diminuindo assim os
custos. 2
Em estatística utilizaremos extensivamente os termos população e amostra. Assim, definiremos esses termos no
contexto da estatística:
• População (N): conjunto da totalidade dos elementos (valores, pessoas, medidas) a serem estudados. Congrega
todas as observações que sejam relevantes para o estudo de uma ou mais características dos indivíduos. Podem ser
tanto seres animados ou inanimados;
• Amostra (n): um subconjunto de elementos extraídos de uma população;
• Censo: é uma coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população;
• Estatística: é a medida numérica que descreve uma característica da amostra;
• Parâmetro: é a medida numérica que descreve uma característica da população;
2 Estatística Descritiva
Os métodos estatísticos envolvem a análise e a interpretação de números, tais como renda anual, vendas men-
sais, escores de testes, no de peças defeituosas etc. Tais números são designados por dados. Para interpretar os dados
corretamente, em geral é preciso primeiro organizar e sumarizar os números. 3
2.1 Classificação de variáveis
Os dados estatísticos se obtêm mediante um processo que envolve a observação ou outra mensuração de itens tais
como renda anual numa comunidade, escores de testes, quantidade de café por xícara servida por uma máquina automática
etc. Tais itens chamam-se variáveis, porque originam valores que tendem a exibir certo grau de variabilidade quando se
fazem mensurações sucessivas.
2TRIOLA, Mário. Introdução à Estatística. 7aed. Editora LTC. 1999
3BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
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Antes da escolha da análise descritiva apropriada é necessária a classificação da variável de interesse, pois a
adequação da técnica está diretamente relacionada ao tipo de variável em questão.
De acordo com a estrutura numérica as variáveis podem ser classificadas em:
• Qualitativas - se os resultados das observações serão expressos por meio de categorias, que se distinguem por
alguma característica não-numérica. Ex: Sexo, Nível de escolaridade, Cor da pele, Estado civil, Tipo sanguíneo.
• Quantitativas - se os resultados das observações serão expressos sempre por meio de números, que representam
contagens ou medidas. Ex: Idade, Altura, Peso, Número de nascidos vivos.
As variáveis qualitativas podem ser classificadas, por sua vez, em:
1. Nominal - caracteriza-se por dados que consistem apenas em nomes, rótulos ou categorias. Os dados não podem
ser dispostos segundo um esquema ordenado. Ex: Estado civil (casado, solteiro, viúvo etc.).
2. Ordinal - envolve dados que podem ser dispostos em alguma ordem, mas as diferenças entre os valores dos dados
não podem ser determinadas ou não tem sentido. Ex: Nível de escolaridade (fundamental, médio, superior etc.).
Em relação às variáveis quantitativas, estas podem ser classificadas em:
1. Discreta - só pode assumir valores pertencentes a um conjunto finito ou enumerável. Ex: Número de alunos
presentes às aulas de determinado professor; número de mortos em um surto de determinada doença. Geralmente,
seus valores são resultados de um processo de contagem, razão pela qual seus valores são expressos através de
números inteiros não-negativos.
2. Contínua - pode assumir qualquer valor pertencente a um determinado intervalo do conjunto dos Reais. Ex: Estatura
e peso dos alunos do curso de estatística; temperatura máxima diária de Cuiabá. Pode-se dizer que a variável
contínua resulta normalmente de mensurações.
2.1.1 Exercícios
1. O que você entende por Estatística?
2. Quais as ramificações da Estatística? Defina e explique as funções de cada uma.
3. Por que motivo devemos saber como classificar as variáveis a serem estudadas?
4. De acordo com a estrutura numérica como podem ser classificadas as variáveis? Explique cada uma.
5. Em um estudo estatístico a característica de interesse pode ser qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa
(discreta ou contínua). Classifique as variáveis nos exemplos que se seguem:
a) população: moradores de certa cidade
variável: cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, verdes)b) população: casais residentes em certa cidade
variável 1: número de filhos
variável 2: classe econômica
c) população: candidatos ao vestibular
variável 1: renda familiar
variável 2: sexo (masculino, feminino)
variável 3: número de pessoas na família
d) população: sabonetes de certa marca
variável: peso líquido
e) população: aparelhos produzidos por uma linha de montagem
variável: número de defeitos por unidade
f) No de inscrições no seguro social;
g) No de passageiros no ônibus da linha Rio - SP;
h) Escolaridade;
i) Peso médio dos recém - nascidos;
j) Cada cigarro Camel tem 16,13 mg de alcatrão;
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2.2 Tipos de séries estatísticas
Série estatística é uma sucessão de dados estatísticos que medem a intensidade do fenômeno, segundo suas caracte-
rísticas qualitativas ou quantitativas. As séries estatísticas serão classificadas de acordo com a variação de três elementos:
tempo, local e o fenômeno. 4 São elas:
• Série Histórica - É aquela em que o elemento que serve como base de classificação é a fração do tempo, como o
dia, o mês, o ano, o século, etc. Ex: Valores do PIB no Brasil no período de 1982 a 1986. cidade de Salvador-Ba.
– Elemento variável: Época
– Elementos Fixos: Local e Fenômeno
Tabela 1: Valores do PIB no Brasil no período de 1982 a 1986.
Anos PIB
1982 779,94
1983 760,20
1984 803,53
1985 869,90
1986 941,26
Fonte: Morettin; Bussab-Estatística Básica.
• Série Geográfica - É aquela que apresenta como elemento variável somente o local (fator geográfico). Ex: Casos de
dengue nos municípios de Sinop, Rondonópolis e Cuiabá no ano de 2002.
– Elemento variável: Local
– Elementos Fixos: Época e Fenômeno
Tabela 2: Casos de dengue nos municípios de Sinop, Rondonópolis e Cuiabá no ano de 2002.
Municípios No de casos
Cuiabá 32
Rondonópolis 15
Sinop 9
Fonte: Dados fictícios.
• Série Específica - É aquela série que apresenta como elemento ou caráter variável o fenômeno (ou espécie), perma-
necendo fixos a época e o local. Ex: Os alunos de uma Faculdade, em determinado ano, classificados segundo o
tipo sanguíneo.
– Elemento variável: Fenômeno
– Elementos Fixos: Local e Época
Tabela 3: Classificação de alunos de uma Faculdade, em determinado ano, segundo o tipo sanguíneo.
Tipo Sanguíneo Número de alunos
A 96
B 149
AB 132
O 92
Fonte: Dados fictícios.
• Série Mista - refere-se às séries que são combinações de outros tipos de séries já estudadas.
Alguns exemplos de séries mistas serão apresentadas a seguir:
1. Série Geográfica - Temporal:
4CRESPO, A.A.; Estatística Fácil. Editora: Saraiva.
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Tabela 4: Taxa de atividade feminina urbana (em percentual) em três regiões do Brasil. 1981/90.
Região Ano
1981 1984 1986 1990
Norte 28,9 30,3 34,0 37,1
Nordeste 30,2 32,6 34,3 37,8
Sudeste 34,9 37,2 40,1 40,7
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil - 1990
2. Série Geográfica - Específica:
Tabela 5: Consumo em kg, de alguns tipos de alimentos “per capita” anual em algumas regiões metropolitanas do Brasil
- 1988.
Cidades Alimento
Hortaliças Carne Pescado
Belo Horizonte 44,5 21,6 1,3
Rio Janeiro 54,3 24,7 4,9
São Paulo 46,7 26,1 2,9
Fonte: Anuário Estatístico do Brasil - 1988
3. Há também outros tipos de séries, como por exemplo a série temporal - específica e uma combinação das três séries
anteriormente citadas (histórico - geográfica - específica).
2.2.1 Exercícios
1. A séria Estatística é chamada de Histórica ou Temporal quando:
a) O elemento variável é o tempo. b) O elemento variável é o local. c) Não tem elemento variável.
2. Abaixo encontramos algumas tabelas. Calcule a porcentagem, faça um breve comentário sobre os resultados e diga
que tipo de série estatística cada tabela pertence:
Tabela 6: Matriculas no ensino superior segundo áreas de ensino - Brasil - 1975.
Áreas de ensino Matriculas %
Ciências Biológicas 32.109
Ciências Exatas e Tecnologicas 65.949
Ciências Agrárias 2.419
Ciências Humanas 148.842
Letras 9.883
Artes 7.464
Duas ou mais áreas 16.323
Total
Fonte: Serviço de estatística da educação e da cultura.
Tabela 7: Áreas dos oceanos (em milhões de km2).
Oceano Área %
Antártico 33,8
Ártico 23,2
Atlântico 199,4
Índico 137,2
Pacífico 342,7
Total
Fonte: Dados fictícios.
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Tabela 8: Faturamento da companhia Beta 1990 - 1997.
Ano Vendas (em US$ 1.000,00) %
1990 2.181
1991 3.948
1992 5.642
1993 7.550
1994 10.009
1995 11.728
1996 18.873
1997 29.076
Total
Fonte: Departamento de Marketing da Companhia.
2.3 Análise de Variáveis Qualitativas
Quando se estuda uma variável, o maior interesse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável,
analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Nesta seção veremos uma maneira de dispor um conjunto de
realizações, para se ter uma idéia global sobre elas, ou seja, de sua distribuição. Para dados qualitativos a enumeração e
tabulação é a forma mais simples de representá-los.
2.3.1 Distribuição de Frequências
Uma distribuição de frequência é a forma de representação tabular de dados que mostra a frequência (ou o número)
de observações em cada uma das diversas classes não sobrepostas.
Alguns aspectos importantes devem ser levados em consideração na construção de uma tabela: 5
1. Toda tabela deve ter um título completo, contendo quatro questões: o que está sendo estudado?, como e onde foi
feito o estudo? em que período (época) este estudo foi realizado? O título deve ser colocado na parte superior da
tabela.
2. Se a fonte de dados não é do próprio autor, ela deve ser indicada abaixo da tabela.
3. As notas e chamadas são utilizadas para fazer esclarecimentos de ordem geral e específica, respectivamente. Ambas
são numeradas (ou símbolos como o asterisco) e colocadas abaixo da tabela.
4. De preferência, usar o mesmo número de casas decimais para os algarismos.
5. As tabelas não devem ser fechadas lateralmente, mas linhas horizontais devem ser colocadas no início e no final.
A seguir será discutido um exemplo, no qual se destaca a forma de representação dos dados qualitativos mais
comuns.
Exemplo: Em uma determinada pesquisa, tem-se interesse em verificar a opinião de estudantes à respeito das salas
de cinema da cidade. Uma amostra de 50 estudantes apresentou os seguintes resultados:
Tabela 9: Dados de uma amostra de 50 estudantes.
Regular a boa Muito Boa
Regular a boa Regular a boa
Regular a boa Muito Boa
Muito boa Regular a boa
...
...
Regular a boa Muito Boa
Regular a boa Muito Boa
Regular a boa Muito Boa
Fonte: Daniel Furtado - Estatística Básica.
Para desenvolver a distribuição de frequência para estes dados, contamos o número de vezes que cada resposta
aparece no conjunto de dados. A resposta “Regular a boa” aparece 32 vezes e a “Muito boa” aparece 18 vezes.
5ANDRANDE, Dalton; OGLIARI, Paulo. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas, Editora UFSC. 2007.
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Tabela 10: Distribuição de frequências da Opinião dos alunos a respeito das salas de cinema na cidade.
Opinião Regular a boa Muito boa
frequência(fi) 32 18
frequência relativa (fri) 0,64 0,36
frequência percentual(fri(%)) 64 36
Fonte: Tabela 9 - Notas de Aula.
Uma distribuição de frequências mostra o número (frequência) de observações em cada uma das classes não so-
brepostas. No entanto, é comum termos interesse na proporção (fri), ou porcentagem (fri(%)), das observaçõesem cada
classe que serve para fazermos comparações entre diferentes categorias independente do tamanho amostrado em cada
uma delas. Para a Tabela 10 temos:
fi : frequência absoluta ou simples da categoria i;
fri : frequência relativa de uma classe: é a proporção das observações que pertencem à classe,
fri = fi/n, onde n é o tamanho da amostra;
fri(%) : frequência percentual de uma classe é a frequência relativa multiplicada por 100.
Segundo Barbetta et al. (2004), as frequências relativas em percentual são úteis ao se comparar tabelas ou pesquisas
diferentes. Por exemplo, quando amostras (ou populações) têm números de elementos diferentes, a comparação por meio
das frequências absolutas pode resultar em afirmações errôneas enquanto que pelas freqüências relativas em percentual
não, pois os percentuais totais são os mesmos.
2.3.2 Representação Gráfica
Nesta seção serão apresentados os gráficos mais utilizados para a representação das variáveis qualitativas.
Um gráfico de barras é um dispositivo gráfico para retratar os dados qualitativos que foram sintetizados em uma
distribuição de frequência, em uma distribuição de frequência relativa ou em uma distribuição de frequência percentual.
Um gráfico de barras têm por finalidade comparar grandezas, por meio de retângulos de igual largura, dispostos horizon-
talmente e com alturas proporcionais às grandezas. Devemos deixar uma distância entre os retângulos. Para as variáveis
qualitativas ordinais, devemos respeitar a ordem das categorias, como mostrado na figura a seguir.
Figura 1: Opinião de estudantes à respeito das salas de cinema da cidade.
Fonte: Tabela 10 - Notas de Aula.
Para efetuar uma análise comparativa de várias distribuições, podemos construir um gráfico de barras múltiplo. A
figura a seguir é um exemplo de gráfico de barras múltiplo.
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Figura 2: Distribuição das porcentagens da resistência a ferrugem de híbridos de milho para as regiões preferenciais.
Fonte: Andrade, D; Ogliari, P. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas.
Quando os retângulos são colocados na posição vertical, temos os gráficos de colunas. A finalidade desse tipo de
gráfico é a mesma dos gráficos de barras, isto é servem para comparar grandezas.
Figura 3: Opinião de estudantes à respeito das salas de cinema da cidade.
Fonte: Tabela 10 - Notas de Aula.
Gráfico de colunas tridimencional:
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Figura 4: Distribuição das porcentagens da resistência a ferrugem de híbridos de milho para as regiões preferenciais.
Fonte: Andrade, D; Ogliari, P. Estatística para Ciências Agrárias e Biológicas.
O gráfico de pizza (ou setores) é um dispositivo gráfico comumente usado para apresentar as distribuições de
frequência relativa e de frequência percentual para dados qualitativos.
Figura 5: Opinião de estudantes à respeito das salas de cinema da cidade.
Fonte: Tabela 10 - Notas de Aula.
Para desenhar um gráfico de pizza primeiro desenha-se um círculo e então usam-se as frequências relativas para
subdividir o círculo em setores ou partes, que correspondem à frequência relativa para cada classe. Por exemplo, como o
círculo tem 360 graus e a categoria “Regular a boa” tem uma frequência relativa de 0,64, o setor do gráfico rotulado de
“Regular a boa” consiste em 0, 64× 360 = 230, 4 graus.
Gráfico de linhas : Sua aplicação é mais indicada para representações de séries temporais sendo por tal razão,
conhecidos também como gráficos de séries cronológicas. Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a
mensuração da variável em estudo e na abscissa (x), as unidades da variável numa ordem crescente. Este tipo de gráfico
permite representar séries longas, o que auxilia detectar suas flutuações tanto quanto analisar tendências. Também podem
ser representadas várias séries em um mesmo gráfico.
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Figura 6: Número de matriculas no curso de engenharia civil da UEM no período de 1999 a 2005.
Fonte: Guedes, T.A; Acorsi, C.R.L; Martins, A.B; Janeiro, V. Projeto de Ensino - UEM.
2.3.3 Exercícios
1. Construa uma tabela para descrever o seguinte gráfico:
Figura 7: Composição do rebanho bovino da fazenda capim branco, Araguari - MG - Brasil, 2005.
Fonte: Daniel Furtado - Estatística Básica.
2. A equipe de nadadores de Cuiabá apresentou-se no Campeonato Brasileiro de Natação de 1987 com 20 nadadores
do estilo borboleta, 30 de costa, 60 estilo craw e 50 estilo peito. Descreva esses dados em uma tabela. Que tipos de
gráficos podem melhor representar esses dados. Trace 2 gráficos entre todos possíveis.
3. A seguir estão tipos de rochas:
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SIENITO MONZONITO DIORITO Q-DIORITO
GABRO NORITO MONZONITO SIENITO
Q-DIORITO GABRO DIORITO NORITO
SIENITO Q-DIORITO MONZONITO DIORITO
DIORITO SIENITO SIENITO GABRO
GABRO DIORITO MONZONITO DIORITO
SIENITO DIORITO Q-DIORITO NORITO
GABRO MONZONITO DIORITO DIORITO
DIORITO NORITO DIORITO GABRO
NORITO Q-DIORITO MONZONITO SIENITO
Fonte: Landim, P.M.P; Análise Estatística de Dados Geológicos. Ed.Unesp.
a) Qual a classificação desses dados? (Qualitativo [O/N] ou Quantitativo [D/C])
b) Resuma esses dados através de uma distribuição de freqüência;
c) Construa um gráfico de setores e um de barras para os dados;
d) Qual tipo de rocha aparece com maior freqüência?
4. Para adequar os produtos às preferências dos clientes, uma empresa fez uma pesquisa sobre os provedores e a
qualidade dos serviços prestados utilizando uma amostra de 20 clientes, obtendo as seguintes variáveis:
Tabela 11: Variáveis observadas de 20 clientes de um provedor.
Amostra Sexo Qualidade Amostra Sexo Qualidade
1 feminino Boa 11 feminino Ruim
2 feminino Boa 12 feminino Ruim
3 feminino Boa 13 masculino Boa
4 feminino Boa 14 masculino Boa
5 feminino Boa 15 masculino Ótimo
6 feminino Ótimo 16 masculino Regular
7 feminino Ótimo 17 masculino Regular
8 feminino Regular 18 masculino Ruim
9 feminino Regular 19 masculino Ruim
10 feminino Ruim 20 masculino Ruim
Fonte: Notas de Aula - Profo Anderson Souza - UFMT.
a) Classifique as variáveis descritas na tabela;
b) Faça a representação tabular e gráfica adequada para cada variável. Interprete os resultados.
2.4 Análise de Variáveis Quantitativas
Assim como nas variáveis qualitativas, a análise das variáveis quantitativas dar-se-á por meio de tabelas e gráficos,
porém, como se trata de variáveis numéricas também é possível estudar o comportamento destas variáveis através de
algumas medidas de resumo (média, mediana etc) que serão apresentadas neste curso na próxima seção.
A análise tabular também é feita com o uso das distribuições de frequências que constituem-se num caso particular
das séries estatísticas, nas quais todos os elementos são fixos. Na distribuição de frequências os dados referentes ao
fenômeno são apresentados através de gradações, onde é feita a correspondência entre categorias ou valores possíveis e
as frequências respectivas. Alguns conceitos importantes serão apresentados através de um exemplo:
Um novo medicamento para cicatrização está sendo testado e um experimento é feito para estudar o tempo (em dias
completos) de completo fechamento em cortes provenientes de uma cirurgia. Uma amostra em trinta cobaias forneceu os
valores:
1. Dados Brutos - É o conjunto dos dados numéricos obtidos após a coleta dos dados.
No exemplo:
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17 16 18 17 15 15 16 14 14 16 16 14 17 16 18
17 15 14 17 16 17 15 17 18 16 14 18 15 15 18
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
Variável de estudo: Tempo (em dias completos) de completo fechamento em cortes provenientes de uma
cirurgia;
Classificação: A variável “Tempo” sozinha é classificada como contínua, pois pode assumir qualquer valor
em um intervalo. Como no exemplo só interessa ao pesquisador coletar dias completos, a variável deixa de
ser contínua e passa a ser discreta.
Dados Brutos:
17 - 16 - 18 - 17 - 15 - 15 - 16 - 14 - 14 - 16 - 16 - 14 - 17 - 16 - 18 - 17 - 15 - 14 - 17 - 16 - 17 - 15 - 17 - 18 -
16 - 14 - 18 - 15 - 15 - 18
Como pode ser observado, os valores estão dispostos de forma desordenada. Em razão disso, pouca informa-
ção se consegue obter inspecionando-se os dados anotados. Mesmo uma informação tão simples como a de
saber os valores mínimos e máximo requer um certo exame dos dados coletados.
2. Rol - É o arranjo dos dados brutos em uma determinada ordem crescente ou decrescente.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
14 - 14 - 14 - 14 - 14 - 15 - 15 - 15 - 15 - 15 - 15 - 16 - 16 - 16 - 16 - 16 - 16 - 16 - 17 - 17 - 17 - 17 - 17 - 17 - 17 -
18 - 18 - 18 - 18 - 18
Apresenta vantagens concretas em relação aos dados brutos. Ele torna possível visualizar, de forma bem ampla, as
variações dos dados, uma vez que os valores extremos são percebidos de imediato. Mas, a análise com este tipo de
disposição começa a se complicar quando o número de observações tende a crescer.
3. Amplitude total (H) - É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
H = 18 - 14 = 4.
Interpretação: No exemplo, H = 4, representa a diferença entre o tempo de cicatrização mais lento e o mais rápido,
ou seja, 4 dias. OBS: A amplitude total também é usada como uma medida de variabilidade dos dados, quanto
maior a amplitude maior a variabilidade do conjunto.
4. Frequência absoluta simples (fi) - Já apresentada anteriormente, conta o número de vezes que o elemento aparece
na amostra ou o número de elementos pertencentes a uma classe (ou categoria).
5. Frequência Acumulada (Fi) - Índica o número de itens de dados observados até aquele dado valor (ou classe). A
frequência acumulada auxiliará no cálculo da mediana e de separatrizes, medidas de posição (ou tendência central)
que serão apresentadas na próxima seção.
Para condensarmos melhor os dados, é aconselhável a elaboração de distribuições de frequência. Uma tabela com
distribuição de frequência é uma tabela onde se procura fazer um arranjo dos valores e suas respectivas frequências, onde a
frequência de determinado valor será dado pelo número de observações ou repetições de um valor ou de uma modalidade.
As tabelas de frequências podem representar tanto valores individuais como valores agrupados em classes.
2.4.1 Distribuição de Frequências - Variável Quantitativa Discreta.
É uma tabela onde os valores da variável aparecem individualmente. Esse tipo de distribuição é utilizada geral-
mente para representar uma variável discreta, com pouca variedade de valores.
Exemplo: Utilizando os mesmos dados anteriores, a tabela a seguir representa a distribuição de frequências refe-
rente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Tabela 12: Distribuição de frequências referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Tempos(Xi) 14 15 16 17 18 Total(n)
fi 5 6 7 7 5 30
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
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A soma das frequências absolutas simples (fi) é sempre igual ao número total de valores observados, ou seja, n =∑k
i=1 fi, onde k é o número de valores distintos observados. No exemplo acima temos 5 valores diferentes observados,
consequentemente 5 f ′is.
OBS: Este tipo de tabela não é aconselhável quando se trabalha com variáveis que apresentam uma grande quan-
tidade de valores distintos (mesmo sendo dados discretos), uma vez que a tabela poderá ficar muito extensa, dificultando,
além de sua elaboração, as análises e conclusões dos dados pesquisados.
2.4.2 Representação Gráfica - Variável Quantitativa Discreta
Para a representação da variável discreta são utilizados os gráficos de colunas ou barras e o de setores.
Figura 8: Gráfico de colunas referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Fonte: Dados da Tabela 12.
Outras formas:
Figura 9: Gráfico de barras referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Fonte: Dados da Tabela 12.
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Figura 10: Gráfico de setores referente aos tempos de cicatrização (em dias completos) de 30 cobaias.
Fonte: Dados da Tabela 12.
2.4.3 Distribuição de Frequências - Variável Quantitativa Contínua.
Quando a variável é contínua, como por exemplo: peso, altura, salário, renda etc. é natural que em uma amostra
retirada apareça uma grande diversidade de valores. Devido a esta possibilidade, não é recomendado utilizarmos uma
tabela de distribuição de frequências simples onde apareça diversos valores com frequências muito pequenas e que não
está de fato desempenhando a sua verdadeira função que é resumir as informações. Em vez de resumir, uma tabela de
distribuição de frequências simples para uma variável contínua com resultados bem diversos será uma tabela extensa e
difícil de interpretar.
Com o objetivo de resumir os dados originais em uma distribuição de frequências, utilizam-se os dados agrupados
ou em classes e não mais individual. As classes podem ser definidas como sendo os subintervalos da Amplitude Total de
uma variável (grupo de valores). Quando a variável objeto de estudo for contínua geralmente será conveniente agrupar os
valores observados em classes.
Se, por outro lado, a variável for discreta e o número de valores representativos dessa variável for muito grande,
recomenda-se o agrupamento dos dados em classes. Da mesma forma, se a variável for contínua mas os resultados
observados se repetem muito, não apresentando uma grande diversidade, também é possível utilizarmos a tabela de
distribuição de frequências simples não agrupados em classes.
A seguir serão apresentadas as diversas situações citadas anteriormente.
(A) Variável Contínua com grande diversidade de valores:
Exemplo: Foram feitas medidas em operários da construção civil a respeito da taxa de hemoglobina no sangue (em
gramas/ cm3):
16,3 15,2 12,3 13,7 14,1 11,1 12,2 11,7 12,5 13,9 12,3 14,4 13,6 12,7 12,6
13,5 12,7 12,3 13,5 15,4 11,3 11,7 12,6 13,4 15,2 13,2 13,0 16,9 15,8 14,7
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
(B) Variável Contínua com pouca diversidade de valores:
Exemplo: Uma turma da 6a série de determinada escola obteve as seguintes notas na disciplina de português:
7,2 6 8,1 7 5 5 6 4 4,9 6 6 4 7,6 6 8
7 5 4 7 6,9 7 5 7 8 6,9 4 8 5 5 8
Fonte: Dados fictícios.
(C) Variável Discreta com grande diversidade de valores:
Exemplo: Quantidade de livros que os professores do departamento de Estatística possuem.
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24 - 23 - 22 - 28 - 35 - 21 - 23 - 33 - 34 - 24 - 21 - 25 - 36 - 26 - 22 -
30 - 32 - 25 -26 - 33 - 34 - 21 - 31 - 25 - 31 - 26 - 25 - 35 - 33 - 31
Fonte: Dados fictícios.
Para as 3 situações citadas em (A), (B) e (C), serão apresentadas as tabulações.
(A) Devido a grande diversidadede valores nas taxas de hemoglobina no sangue medidas em operários da construção
civil a melhor forma de tabular os dados é agrupando-os em classes. Para construção de tabelas de frequências para
dados agrupados em classes os 4 conceitos listados a seguir, complementam os 5 primeiros já apresentados:
1. Definição do número de classes (k) - É importante que a distribuição conte com um número adequado de
classes. Se esse número for escasso, os dados originais ficarão tão comprimidos que pouca informação poderá
ser extraida desta tabela. Se, por outro lado, forem utilizadas muitas classes, haverá algumas com frequência
nula ou muito pequena, apresentando uma distribuição irregular e prejudicial a interpretação do fenômeno.
Para determinar o número de classes há diversos métodos. Milone (2004, p.36) apresenta os seguintes critérios
para a determinação do número de intervalos, denotado por k:
1. Raiz quadrada: k =
√
n;
2. Regra de Sturges: k = 1 + 3, 3 log n;
3. Regra de Milone: k = −1 + 2× lnn.
Neste curso será adotado o método a seguir:
k = 5, para 20 ≤ n ≤ 25 e k = √n, para n > 25.
Deve-se lembrar que sendo k o número de classes, o resultado obtido por cada um dos critérios deve
ser o número inteiro mais próximo ao obtido. Milone (2004) acrescenta ainda que, adotando o princípio
de que os agrupamentos devem ter no mínimo cinco e no máximo 20 classes, o critério da raiz é valido para
25 ≤ n ≤ 400, o do log para 16 ≤ n ≤ 572, 237 e o do ln para 20 ≤ n ≤ 36, 315.
Mesmo tendo outros critérios de determinação do número de classes, o que se deve ter em mente é que
a escolha dependerá sobretudo da natureza dos dados e da unidade de medida em que eles se encontram, e
não somente de regras muitas vezes arbitrárias e pouco flexíveis. Para facilitar a análise é conveniente que se
mantenham os intervalos de classe sempre constantes. A experiência do pesquisador também conta muito
na definição das classes.
No exemplo: k =
√
30 ∼= 5, 48 = 5 classes;
2. Amplitude do Intervalo de Classe (h) - A amplitude de um intervalo de classe corresponde ao comprimento
desta classe. Numericamente, sua amplitude pode ser definida como a diferença existente entre os limites
superior (ou inferior) de duas classes consecutivas (h = ls − li).
h =
H
k
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores: h = 16,9−11,15 = 5, 8/5 = 1, 16
3. Limites de Classe - Os limites de classe são seus valores extremos. O símbolo ` indica a inclusão do
limite inferior do intervalo naquela classe e símbolo a indica a inclusão do limite superior do intervalo na-
quela classe. Neste curso adotaremos o símbolo ` na construção das classes, pois ele é o mais usual. Para a
construção das classes temos:
li1: Limite inferior da 1a classe; Usualmente é o menor valor da amostra. No exemplo: 11,1.
ls1: Limite superior da 1a classe; ls1 = li1 + h. No exemplo: 11,1 + 1,16 = 12,26.
li2: Limite inferior da 2a classe; li2 = ls1. No exemplo: 12,26.
ls2: Limite superior da 2a classe; ls2 = li2 + h. No exemplo: 12,26 + 1,16 = 13,42.
Para a n-ésima classe:
lin: Limite inferior da na classe; lin = ls(n−1). Ou seja, será igual ao limite superior da classe imediatamente
anterior.
lsn: Limite superior da na classe; lsn = lin + h.
4. Pontos Médios ou Centrais da Classe (Pmi) - É a média aritmética simples entre o limite superior e o inferior
de uma mesma classe.
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores: Pm1 = (11,1 + 12,26)/2 = 11,68.
Para obter os pontos médios das demais classes, basta acrescentar ao ponto médio da classe precedente a
amplitude do intervalo de classe. No exemplo anterior: Pm2 = h+ Pm1 = 1, 16 + 11, 68 = 12, 84, e assim
sucessivamente.
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Tabela 13: Distribuição de frequências referente as Taxas de hemoglobina no sangue (em gramas/ cm3) de 30 operários
da construção civil.
Tx Hemoglobina Pmi fi fri fri(%) Fi
11,10 ` 12,26 11,68 5 0,1667 16,67 5
12,26 ` 13,42 12,84 11 0,3667 36,67 16
13,42 ` 14,58 14,00 7 0,2333 23,33 23
14,58 ` 15,74 15,16 4 0,1333 13,33 27
15,74 ` 16,90 16,32 3 0,1000 10,00 30
Total - 30 1 100 -
Fonte: Lima, A.C.P; Magalhães, M.N. Noções de Probabilidade e Estatística. Editora Edusp. 2004.
Para o Exemplo (A):
Na Tabela 26 temos que na 1a classe serão contados na amostra elementos a partir do 11,10 até o 12,25, na 2a classe
serão contados os elementos a partir do 12,26 até o 13,41 e assim por diante.
2.4.4 Representação Gráfica - Variável Contínua
A representação gráfica das distribuições de frequências para dados em classes é feita através do histograma e/ou
polígono de frequências.
1. Histograma - É um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, de forma que a área de cada
retângulo seja proporcional à frequência da classe que ele representa.
2. Polígonos de Frequência - Unindo por linhas retas os pontos médios das bases superiores dos retângulos do
histograma, obtém-se outra representação dos dados, denominada polígono de frequência
Figura 11: Histograma referente as taxas de hemoglobina no sangue de 30 operários da construção civil.
Fonte: Dados da Tabela 13.
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Figura 12: Polígono de frequências referente as taxas de hemoglobina no sangue de 30 operários da construção civil.
Fonte: Dados da Tabela 13.
3. Apresentação Ramo-e-Folha - Apresenta a forma e ordem dos dados. Pode ser utilizado na organização dos
dados antes de dispor na tabela.
Exemplo: Um dos principais indicadores da poluição do ar nas grandes cidades é a concentração de ozônio na
atmosfera. O nível de concentração de ozônio na atmosfera foi medido em São Paulo durante o inverno de 1998, e
os resultados são apresentados a seguir:
Tabela 14: Concentração de ozonio na atmosfera em São Paulo, inverno de 1998.
6,6 4,4 5,7 4,5 3,7 3,5 1,4 6,6 6,0 4,2 4,4 5,3 5,6
9,4 7,6 6,2 3,3 5,9 6,8 2,5 5,4 4,4 5,4 4,7 3,5 4,0
3,8 4,7 3,1 6,8 9,4 2,4 3,0 5,6 4,7 6,5 3,0 4,1 3,4
3,4 5,8 7,6 1,4 3,7 6,8 1,7 5,3 4,7 7,4 6,0 6,7 10,9
2,0 3,7 5,7 5,8 3,1 5,5 1,1 5,1 5,6 5,5 1,4 3,9 6,6
5,8 1,6 2,5 8,1 6,6 6,2 7,5 6,2 6,0 5,8 2,8 6,1 4,1
A apresentação ramo-e-folha é apresentada a seguir:
1 1 4 4 4 6 7
2 0 4 5 5 8
3 0 0 1 1 3 4 4 5 5 7 7 7 8 9
4 0 1 1 2 4 4 4 5 7 7 7 7
5 1 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 8 9
6 0 0 0 1 2 2 2 5 6 6 6 6 7 8 8 8
7 4 5 6 6
8 1
9 4 4
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Exercício: A partir do ramo e folha acima, disponha os dados em uma tabela de frequências.
(B) Agora iremos analisar a situação (B) descrita anteriormente onde a variável de estudo era Notas dos alunos da 6a
série na disciplina de português. Apesar dos valores apresentados serem inteiros, a variável “Nota” pode assumir
qualquer valor em um intervalo, por exemplo: 6,5. Como no exercício não foi especificado que o professor adotaria
apenas números inteiros, esta variável é classificada como contínua.
PASSO 1 - Calcular a amplitude total (H): H = 8 - 4 = 4; (amplitude pequena)
PASSO 2 - Dispor os dados em uma tabela de distribuição de frequências simples;
PASSO 3 - Representação Gráfica:
(C) Agora iremos analisar a situação (C) descrita anteriormente, variável discreta com grande variedade de valores. A
variável de estudo é Idade (em anos completos) dos alunos da UFMT - 2010, como no exemplo já foi especificado
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Tabela 15: Distribuição de frequências referente as notas dos alunos da 6a série na disciplina de português.
Notas(Xi) 4 5 6 7 8 Total(n)
fi 5 6 7 7 5 30
fri(%) 16,67 20,00 23,33 23,33 16,67 100
Fonte: Dados fictícios.
Figura 13: Gráfico de setores referente as notas dos alunos da 6a série na disciplina de português.Fonte: Dados da Tabela 15.
que as idades observadas seriam em anos completos, esta variável só assume valores inteiros, por isso é classificada
como discreta.
PASSO 1 - Rol das observações:
Ex: Utilizando os mesmos dados anteriores:
21 - 21 - 21 - 22 - 22 - 23 - 23 - 24 - 25 - 25 - 25 - 25 - 26 - 26 - 26 - 28 - 30 - 31 - 31 - 31 -32 - 33 - 33 - 33 - 34 -
34 - 34 - 35 - 35 - 36
PASSO 2 - Cálculo da amplitude total (H): H = 36 - 21 = 15 anos; (amplitude alta)
PASSO 3 - Dispor os dados em uma distribuição de frequências. Apenas por questão de uma melhor visualização,
primeiramente será apresentado a distribuição de frequências simples e posteriormente distribuição em classes.
Tabela 16: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade(Xi) 21 22 23 24 25 26 28 30 31 32 33 34 35 36 TOTAL(n)
fi 3 2 2 1 4 3 1 1 3 1 3 3 2 1 30
Fonte: Dados hipotéticos.
Observando a Tabela 16, podemos perceber a grande diversidade de valores e a extensão da tabela. Por conta desta
tabela não resumir tanto as informações iremos colocar estes dados em classes.
Tabela 17: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade Pmi fi fri fri(%) Fi
21 ` 24 22,5 7 0,23 23 7
24 ` 27 25,5 8 0,27 27 15
27 ` 30 28,5 1 0,03 3 16
30 ` 33 31,5 5 0,17 17 21
33 ` 36 34,5 9 0,30 30 30
TOTAL - 30 1 100 -
Fonte: Dados hipotéticos.
Na Tabela 17 temos que na 1a classe serão contados na amostra elementos a partir do 21 até o 23,99, na 2a classe
serão contados os elementos a partir do 24 até o 26,99 e assim por diante.
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2.4.5 Exercícios
1. Em um estudo sobre o potencial de germinação de sementes de algodão dividiu-se uma área em 48 parcelas com a
mesma área, tipo de solo, iluminação, etc. Em cada uma destas parcelas foram plantadas 4 sementes e verificou-se
o número de sementes que germinaram. Os dados obtidos são apresentados a seguir:
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0
a) Especifique a variável estudada, classificando-a. Justifique a sua resposta.
b) Represente tabularmente e graficamente os dados acima.
c) Qual a proporção de parcelas em que germinaram no máximo 2 sementes?
2. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinados municípios do
Estado:
Tabela 18: Milímetros de Chuva
144 152 159 160 160 151 157 146 154 145
141 150 142 146 142 141 141 150 143 158
Para os conjuntos de dados da Tabela acima:
a) Construir a tabela de freqüências constituída pelas freqüências absolutas simples, as freqüências relativas, as
freqüências acumuladas e os Pontos médios de classes;
b) Construir um histograma e um polígono de freqüências;
3 Somatório
Nas próximas seções serão vistos alguns coeficientes estatísticos que fazem uso do somatório. Um somatório é um
operador matemático que nos permite representar facilmente somas muito grandes ou até infinitas. É representado com a
letra grega sigma Σ, e é definido por:
n∑
i=1
xi
em que corresponde a soma dos termos "xi, em que o índice i varia de 1 a n.
Regras de somatório:
• Somatório de uma constante
Se k é uma constante, então
n∑
i=1
k = k + k + k + ...+ k = nk
• Somatório do produto de uma constante por uma variável
Se k é uma constante e xi uma variável
n∑
i=1
kxi = kx1 + kx2 + kx3 + ...+ kxn = k(x1 + x2 + x3 + ...+ xn) = k
n∑
i=1
xi
• Somatório de uma soma algébrica
O somatório de uma soma de variáveis é igual à soma dos somatórios de cada variável
n∑
i=1
(xi + yi) =
n∑
i=1
xi +
n∑
i=1
yi
Se a e b são constantes e xi uma variável
n∑
i=1
(a+ bxi) =
n∑
i=1
a+
n∑
i=1
bxi = na+ b
n∑
i=1
xi
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Observações:
n∑
i=1
xiyi 6=
n∑
i=1
xi
n∑
i=1
yi
n∑
i=1
x2i 6=
(
n∑
i=1
xi
)2
Exemplos:
Seja X = {4, 7, 9, 12, 3}, obter:
5∑
i=1
xi = 35,
4∑
i=1
2xi = 64,
5∑
i=2
3xi = 93
Sabendo que
3∑
i=1
xi = 6,
3∑
i=1
x2i = 14, determinar
a)
3∑
i=1
(xi + 1) =
3∑
i=1
xi +
3∑
i=1
1 = 6 + 3 = 9
b)
3∑
i=1
(xi − 1)2 =
3∑
i=1
(
x2i − 2xi + 1
)
=
3∑
i=1
x2i − 2
3∑
i=1
xi +
3∑
i=1
1 = 14− 12 + 3 = 5.
4 Medidas de Posição ou Tendência Central
Foi visto até agora a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuições de frequências. Agora,
vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitem representar um conjunto de dados relativos à observação de deter-
minado fenômeno de forma resumida.
As medidas de tendência central ou posição são assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se
concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados. Vale a pena chamar a atenção que, para
o cálculo dessas medidas, é necessário que a variável seja quantitativa. 6
As principais medidas de tendência central são: Média, Mediana e Moda.
4.1 Média
É a medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição de
frequência (centro de massa de um conjunto dados).
Notação:
X¯ é chamada média amostral e
µ é a média populacional.
Observações:
• A média é afetada por valores extremos;
• A média é bastante utilizada em distribuições simétricas;
• Não utilizável em variáveis categóricas;
• A média pode ser utlizada para variáveis discretas, inclusive com decimais.
(a) Média Aritmética Simples: É dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e a frequência total (
o número total de observações). Genericamente, podemos escrever:
X¯ =
n∑
i=1
xi
n
onde n é o tamanho da amostra observada e xi é o valor genérico da observação.
Exemplo: Em uma pesquisa foram coletados os pesos de recém-nascidos (em kg): 2,7; 3,9; 4,1; 4,3; 5,4;
6BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
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A média aritmética será dada por:
X¯ =
2, 7 + 3, 9 + 4, 1 + 4, 3 + 5, 4
5
= 4, 08
Interpretação: O peso médio dos recém-nascidos observados é de 4,08 quilos.
(b) Média para dados em distribuição de frequências:
Exemplo:
Tabela 19: Idade de pacientes renais (em anos).
Idade (xi) 26 28 30 32 37 Total
fi 3 10 12 5 19 49
Fonte: Dados fictícios.
A média aritmética será dada por:
X¯ =
∑k
i=1 xifi
n
n =
∑k
i=1 fi e k é o número de valores distintos da tabela;
X¯ =
∑5
i=1 xifi
n
X¯ =
x1 × f1 + x2 × f2 + x3 × f3 + x4 × f4 + x5 × f5
f1 + f2 + f3 + f4 + f5
X¯ =
26× 3 + 28× 10 + 30× 12 + 32× 5 + 37× 19
49
X¯ ∼= 32, 26
Interpretação: A idade média dos pacientes renais observados foi de aproximadamente 32,26 anos.
(c) Média para dados agrupados em classes:
X¯ =
∑k
i=1 Pmifi
n
Exemplo:
Tabela 20: Pesos dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Pesos(kg) Frequência (fi) Pmi
59 ` 63 3 61
63 ` 67 5 65
67 ` 71 9 69
71 ` 75 12 73
75 ` 79 11 77
TOTAL 40 -
Fonte: Dados fictícios.
onde Pmi é o ponto médio da classe “i”; Pmi = li+ls2 ,
li+ ls = limite inferior da classe + limite superior da classe.
• Quando os dados estiverem agrupados em classes a média será calculada da mesma forma apresentada anterior-
mente, a única alteração será no xi que para dados agrupados em classes será substituído por Pmi, ou seja, ponto
médio da classe “i”.
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A média será dada por:
X¯ =
∑k
i=1 Pmifi
n
X¯ =
61× 3+ 65× 5 + 69× 9 + 73× 12 + 77× 11
3 + 5 + 9 + 12 + 11
X¯ ∼= 71, 3
Interpretação: O peso médio dos alunos do curso de estatística 2010 da UFMT, foi de 71,3 Kg.
OBS: Perde-se um pouco de precisão na média quando estamos trabalhando com dados agrupados em classes.
(d) Média aritmética ponderada:
Às vezes, associam-se os números X1, X2, · · · , Xk a certos fatores de ponderação ou pesos w1, w2, · · · , wk, que depen-
dem do significado ou importância atribuída aos números. 7 Nesse caso,
X¯ =
w1X1 + w2X2 + · · ·+ wkXk
w1 + w2 + · · ·+ wk =
∑
i wiXi∑
i wi
tem a denominação de média aritmética ponderada.
Exemplo: Se o exame final, em um curso, tem peso 3 e as provas correntes peso 1, e um estudante tem grau 85 naquele
exame e 70 e 90 nas provas, seu grau médio é:
X¯ =
(1)(70) + (1)(90) + (3)(85)
1 + 1 + 3
=
415
5
= 83.
4.1.1 Propriedades da média
Dentre as principais propriedades da média podemos destacar as seguintes:
a) multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a média do conjunto fica multiplicada por
essa constante;
Seja X = {x1, x2, x3, · · · , xn} uma amostra aleatória de tamanho n, c uma constante e X¯ a média da amostra.
Se multiplicarmos ou dividirmos todos os valores de uma variável X pela constante c, o valor de X¯ MÉDIA fica
multiplicada ou dividida pela constante.
X¯∗ =
n∑
i=1
cxi
n
= c
n∑
i=1
xi
n
= cX¯
b) somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica acrescida
ou diminuída dessa constante.
Seja X = {x1, x2, x3, · · · , xn} uma amostra aleatória de tamanho n, c uma constante e X¯ a média da amostra.
Se somarmos ou subtrairmos todos os valores de uma variável X pela constante c, o valor de X¯ MÉDIA fica
7SPIEGEL, Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
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multiplicada ou dividida pela constante.
X¯∗ =
n∑
i=1
(xi + c)
n
=
n∑
i=1
xi +
n∑
i=1
c
n
=
n∑
i=1
xi
n
+
n∑
i=1
c
n
= X¯ +
nc
n
= X¯ + c
4.1.2 Exercícios:
1. Sejam dados referentes a um levantamento onde observou-se o número de peças defeituosas em 25 máquinas de
uma empresa.
Tabela 21: Número de peças defeituosas em 25 máquinas de uma empresa
3 5 7 1 3
6 5 5 5 3
8 5 2 6 2
4 4 4 3 5
6 2 2 4 5
Fonte: Dados fictícios.
a) Calcule a média para os dados brutos. Interprete o resultado;
b) Disponha os dados em uma tabela de frequências e calcule a média. Houve diferença nos resultados? Justifi-
que.
c) Faça uma representação gráfica adequada para os dados. Analisando o gráfico qual o número de peças defei-
tuosas que foi predominante?
2. Utilizando os dados da Tabela a seguir responda:
Tabela 22: Dados ordenados, relativos ao tempo em segundos para carga de um aplicativo num sistema compartilhado (30
observações).
6,94 7,27 7,46 7,97 8,03 8,37
8,56 8,66 8,88 8,95 9,30 9,33
9,55 9,76 9,80 9,82 9,98 9,99
10,14 10,19 10,42 10,44 10,66 10,88
10,88 11,16 11,80 11,88 12,25 12,34
Fonte: Dados fictícios.
a) Calcule a média para os dados brutos. Interprete o resultado;
b) Disponha os dados em uma tabela de frequências e calcule a média;
c) Faça uma representação gráfica adequada para os dados. Interprete.
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4.2 Mediana (Md)
É definida como o valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade dos itens sejam
iguais ou maiores do que ela, e que a outra metade dos itens sejam menores do que ela. Colocados em ordem crescente, a
mediana é o elemento que ocupa a posição central.
Como a mediana divide os dados ordenados ao meio, ela não é sensível a valores discrepantes. A depender de
como estejam os dados, deve-se diferenciar a forma como encontra-se a mediana.
Observações:
• Não é utilizável em variáveis categóricas;
• Pouco afetada por valores discrepantes;
• Bastante utilizada para distribuições assimétricas.
1. Determinação da Mediana para Dados Brutos:
Seja x(1), x(2), · · · , x(n) o rol das observações em ordem crescente. A mediana dessas observações será dada por:
8
(a) n ímpar: Md = X(n+12 );
(b) n par: Md =
X(n
2
)+X(n
2
+1)
2 ;
Exemplos:
(a) n ímpar:X = {1, 3, 6, 7, 9}. Md = X( 5+12 ) = X(3), logo a mediana será dada pelo 3
o elemento, Md = 6.
Interpretação da Mediana: Metade das observações vão até 6 e a outra metade é maior (ou igual) que 6.
(b) n par:X = {1, 3, 6, 7, 9, 12}. Md = X( 62 )+X( 62+1)2 , logo a mediana será dada pela média entre o 3o elemento
e o 4o elemento, Md = X(3)+X(4)2 =
6+7
2 = 6, 5. Interpretação da Mediana: Metade das observações vão
até 6,5 e a outra metade é maior (ou igual) que 6,5.
2. Determinação da Mediana para Dados em Distribuição de Frequências Simples:
Da mesma forma como foi calculado anteriormente, encontra-se mediana usando as expressões (a) ou (b), para n
ímpar ou par. Em seguida, acrescenta-se à tabela de frequência uma coluna com as frequências acumuladas (Fi).
Com o uso destas frequências (Fi) encontra-se a posição da mediana e em seguida o elemento mediano.
Exemplo:
Tabela 23: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade(xi) 21 22 23 24 25 26 28 30 31 32 33 34 35 36 Total
fi 3 2 2 1 4 3 1 1 3 1 3 3 2 1 30
Fi 3 5 7 8 12 15 16 17 20 21 24 27 29 30 -
Fonte: Dados fictícios.
Solução:
Como n = 30 (par), o elemento mediano será dada por: Xmd =
X
( 30
2
)
+X
( 30
2
+1)
2 ;
Assim, a mediana será dada pela média aritmética entre o 15o e o 16o elemento, Md = X(15)+X(16)2 ;
Se olharmos as frequências acumuladas (Fi) na Tabela 23 veremos que o 15o elemento se encontra na 6a
coluna e o 16o elemento na 7a coluna e as idades correspondentes a cada coluna são:
Md = (26 + 28)/2 = 27;
Interpretação: 50% dos alunos do curso de estatística de 2010 tem idade igual ou superior a 27 anos;
8BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
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3. Determinação da Mediana de Dados Agrupados em Classes.
Para dados agrupados, a mediana, pode ser obtida por interpolação. Primeiramente encontramos a classe mediana,
onde n/2 nos fornece a posição do elemento mediano, não se fazendo distinção entre número par ou ímpar de
observações. Uma vez determinada a classe mediana, a mediana será calculada através da seguinte expressão:
Md = l + h
( n
2 − Fant
fmd
)
onde,
l = limite inferior da classe mediana;
h = amplitude do intervalo da classe mediana;
n
2 = posição do elemento mediano;
Fant = frequência acumulada até a classe anterior à classe mediana;
fmd = frequência absoluta simples da classe mediana.
Exemplo 1:
Tabela 24: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade Pmi fi fri fri(%) Fi
21 ` 24 22,5 7 0,23 23 7
24 ` 27 25,5 8 0,27 27 15
27 ` 30 28,5 1 0,03 3 16
30 ` 33 31,5 5 0,17 17 21
33 ` 36 34,5 9 0,30 30 30
TOTAL - 30 1 100 -
Fonte: Dados hipotéticos.
A mediana será dada por:
Md = 24 + 3
(
15− 7
8
)
= 27.
Interpretação: 50% dos alunos do curso de estatística de 2010 tinham idade superior a 27 anos.
Exemplo 2:
Encontre a mediana utilizando os dados da tabela a seguir:
Pesos(kg) Frequência
59 ` 63 3
63 ` 67 5
67 ` 71 9
71 ` 75 12
75 ` 79 11
TOTAL 40
Solução 1: Somando-se as três primeiras frequências têm-se 3 + 5 + 9 = 17. Logo, para obtermos o 20o peso (n/2)
desejado, são necessários mais 3 dos 12 casos existentes na 4a classe. Como o 4o intervalo de classe é dado por 71 ` 75,
a mediana situa-se a3/12 da distância entre 71 e 75 e é:
Md = 71 +
3
12
(75− 71) = 72.
Solução 2: Utilizando o histograma também podemos encontrar a mediana:
Em cada coluna do histograma temos as frequências das respectivas classes, mais uma vez, somando-se as três
primeiras frequências têm-se 3 + 5 + 9 = 17. Logo, para obtermos o 20o peso (n/2) desejado, são necessários mais 3 dos
12 casos existentes na 4a classe. Assim a mediana será dada por:
Md− 71
3
=
75− 71
12
Md− 71 = 3(75− 71)
12
Md = 1 + 71 = 72.
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4.3 Moda (Mo)
A moda é outra medida de tendência central, sendo, no entanto a menos usada. Sua vantagem é que pode ser usada
para variáveis qualitativas. Genericamente, pode-se definir a moda como o valor mais frequente da distribuição.
Observações:
• Um conjunto de dados pode apresentar mais de uma moda;
• A moda pode ser calculada para variáveis qualitativas e quantitativas;
• Um conjunto de dados sem moda é chamado Amodal.
1. Determinação da Moda de Valores Não-Tabulados.
Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante, o valor mais frequente desse
conjunto. Embora seu significado seja o mais simples possível, nem sempre a moda existe (distribuição amodal) e
nem sempre é única. Se apresentar apenas uma moda diremos que é unimodal; se possuir duas modas diremos que
é bimodal; se tiver várias modas (mais que duas) diremos que é multimodal. Exemplos:
X = {1, 2, 4, 7, 9}: conjunto Amodal;
X = {1, 2, 2, 4, 7, 9}: conjunto Unimodal, moda = 2;
X = {1, 2, 2, 4, 4, 7, 9}: conjunto Bimodal; moda = 2 e 4;
2. Determinação da Moda para Valores Tabulados.
No caso de dados tabelados não agrupados em classe, a determinação da moda é imediata, bastando para isso,
consultar a tabela, localizando o valor que apresenta a maior frequência. Analisando a Tabela 23, observa-se que a
idade que possui o maior fi é a idade 25, com fi = 4. Ou seja, a idade mais frequente entre os estudantes do curso
de estatística de 2010 é 25 anos ou a idade mais observada entre os estudantes foi 25 anos.
Para variáveis qualitativas, a moda será a categoria que mais apareceu.
Tabela 25: Distribuição de frequências da Opinião dos alunos a respeito das salas de cinema na cidade.
Opinião Regular a boa Muito boa
frequência(fi) 32 18
Fonte: Estatística Básica - Daniel Furtado.
Observando os resultados da Tabela 25, conclui-se que a categoria que foi observada com maior frequência foi a Regular
a boa, logo essa será a moda. Interpretação: A maioria dos estudantes considera que as salas de cinema da cidade está
classificada como “Regular a boa”.
Para dados agrupados a moda se localiza na classe de maior freqüência (classe modal) e é obtida por meio da
expressão (Moda de Czuber): 9
Mo = l +
(
∆1
∆1 + ∆2
)
h
• l é o limite inferior da classe modal;
9SPIEGEL, Murray R. Estatística, 3a Edição. Editora Pearson. 1993.
28
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• h é a amplitude da classe modal;
• ∆1 é a diferença da freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente anterior;
• ∆2 é a diferença da freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente posterior.
Exemplo: Utilizando a Tabela 26 temos:
Tabela 26: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade Pmi fi fri fri(%) Fi
21 ` 24 22,5 7 0,23 23 7
24 ` 27 25,5 8 0,27 27 15
27 ` 30 28,5 1 0,03 3 16
30 ` 33 31,5 5 0,17 17 21
33 ` 36 34,5 9 0,30 30 30
TOTAL - 30 1 100 -
Fonte: Dados hipotéticos.
Mo = 33 + 3
(
9− 5
(9− 5) + (9− 0)
)
Mo ∼= 33 + 0, 92 ∼= 34.
Interpretação: A idade mais frequente entre os alunos do curso de estatística 2010 é 34 anos.
4.4 Comparação entre Média, Mediana e Moda
• Média
– Definição: Soma de todos os valores dividido pelo total de elementos do conjunto.
– Vantagens: Centro de massa da distribuição; Possui propriedades matemáticas atraentes.
– Limitações: É influenciada por valores extremos.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
2. Houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.
• Mediana
– Definição: Valor que divide o conjunto em duas partes iguais.
– Vantagens: Menos sensível a valores extremos que a média.
– Limitações: Difícil de determinar para grande quantidade de dados.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter o ponto que divide o conjunto em partes iguais;
2. Há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média;
• Moda
– Definição: Valor mais freqüente.
– Vantagens: Valor “típico”; Maior quantidade de valores concentrados neste ponto.
– Limitações: Pode não haver moda para certos conjuntos de dados.
– Quando usar:
1. Deseja-se obter uma medida rápida e aproximada da posição;
2. A medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.
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4.5 Simetria
A determinação das medidas de posição permite discutir sobre a simetria da distribuição dos dados.
• Distribuição simétrica - X = Md = Mo
• Distribuição assimétrica - ocorrem diferenças entre os valores da média, mediana e moda. A assimetria pode ser:
– à direita - X > Md > Mo
– à esquerda - X < Md < Mo
4.6 Exercícios
1. Para os exercícios (1) e (2) da seção 2.1.2, páginas 6 e 7, calcule:
a) As medidas de posição para os dados brutos, interprete os resultados obtidos;
b) As medidas de posição para os dados tabulados. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Verifique se as distribuições dos dados são simétricas ou assimétricas (à direita ou à esquerda).
2. Em um estudo sobre o potencial de germinação de sementes de algodão dividiu-se uma área em 48 parcelas com a
mesma área, tipo de solo, iluminação, etc. Em cada uma destas parcelas foram plantadas 4 sementes e verificou-se
o número de sementes que germinaram. Os dados obtidos são apresentados a seguir:
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0
0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0
Para o conjunto de dados da acima calcule:
a) As medidas de posição para os dados brutos, interprete os resultados obtidos;
b) As medidas de posição para os dados tabulados. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Verifique se as distribuições dos dados são simétricas ou assimétricas (à direita ou à esquerda).
3. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinados municípios do
Estado:
144 152 159 160 160 151 157 146 154 145
141 150 142 146 142 141 141 150 143 158
Para o conjunto de dados acima calcule:
a) As medidas de posição para os dados brutos, interprete os resultados obtidos;
b) As medidas de posição para os dados tabulados. Houve diferença nos resultados? Justifique.
c) Verifique se as distribuições dos dados são simétricas ou assimétricas (à direita ou à esquerda).
5 Separatrizes
São as medidas que separam o rol ou a distribuição de frequências em partes iguais. Vimos que a mediana divide
a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Agora vamos estudar outras medidas
que dividem a distribuição em partes iguais, são as chamadas separatrizes. São elas: 10
Quartis - Dividem a amostra em 4 partes iguais;
Decis - Dividem a amostra em 10 partes iguais;
Percentis - Dividem a amostra em 100 partes iguais;
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5.1 Quartis
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:
Q1: 1o quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor;
Q2: 2o quartil. Deixa 50%dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana;
Q3: 3o quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor. (Consequentemente, 25% dos elementos acima do
seu valor.)
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
EQi =
i
4
(n+ 1), i = 1, 2, 3;
onde: i = No do quartil a ser calculado; n = No de observações;
↪→ Olhar exemplo dado em sala de aula
Tabela 27: Idade dos alunos do curso de estatística da UFMT, no ano de 2010.
Idade Pmi fi fri fri(%) Fi
21 ` 24 22,5 7 0,23 23 7
24 ` 27 25,5 8 0,27 27 15
27 ` 30 28,5 1 0,03 3 16
30 ` 33 31,5 5 0,17 17 21
33 ` 36 34,5 9 0,30 30 30
TOTAL - 30 1 100 -
Fonte: Dados hipotéticos.
Para dados agrupados em classes, encontraremos os quartis de maneira semelhante à usada para o cálculo da
mediana:
Qi = l + h
(
EQi − Fant
fqi
)
onde,
l = limite inferior da classe que contem o quartil desejado;
h = amplitude do intervalo de classe;
EQi = elemento quartílico;
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe quartílica;
fqi = frequência absoluta simples da classe quartílica.
No exemplo das idades EQ1 = 1×304 = 7, 5
o, como os dados estão em classes, olha-se o Fi mais próximo de
EQi, analisando a Tabela acima, temos que a 2a classe será a classe quartílica pois na 1a classe observamos até 7
elementos e o que passar disso cai na classe seguinte, logo:
Q1 = 24 + 3
(
7, 5− 7
8
)
∼= 24, 2.
10BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
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Interpretação: 25% dos estudantes tem até 24,2 anos. O Q1 encontrado aqui é diferente do quartil calculado para os
dados originais não tabulados, essa diferença se justifica pois nos dados em classes perdemos um pouco na precisão.
5.2 Decis e Percentis
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do Decil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
EDi =
i
10
(n+ 1), i = 1, 2, 3, · · · , 9;
Do mesmo modo, para determinar a ordem ou posição do Percentil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
EPi =
i
100
(n+ 1), i = 1, 2, 3, · · · , 99;
onde: i = No do decil ou percentil a ser calculado; n = No de obs;
A forma de calcular os decis ou percentis é idêntica a dos quartis, o que muda é a forma de encontrar o elemento,
que ao invés de ser dividida por 4 fica dividida por 10 ou 100.
Para dados agrupados em classes, encontraremos os Decis ou os Percentis de maneira semelhante à usada para o
cálculo dos quartis:
Decis : Di = l + h
(
EDi − Fant
fdi
)
Percentis : Pi = l + h
(
EPi − Fant
fpi
)
No exemplo das idades EP90 = 90×30100 = 27
o, como os dados estão em classes, olha-se o Fi mais próximo de EPi,
analisando a Tabela 8, temos que a última classe será a classe do 90o percentil, logo:
P90 = 33 + 3
(
27− 21
9
)
= 35.
Interpretação: 90% dos estudantes tem até 35 anos. O P90 encontrado aqui será diferente do Percentil achado
usando os dados brutos, essa diferença se justifica pois nos dados em classes perdemos um pouco na precisão.
5.3 Exercícios
1. Para os exercícios (1) e (2) da seção 2.1.2, páginas 6 e 7, calcule Q1, Q3 e P95. Interprete os resultados.
2. Para os dados da Tabela 8 calcule Q3 e D8. Interprete os resultados.
3. Considere os seguintes dados sobre a distribuição de valores de metabolismo basal (cal/dia) em 36 adolescentes:
910 1280 1220 1120 1040 1070 980 1310 1240 1140 1110 1020
1190 1090 1010 1380 1270 1280 1210 1110 1040 1460 1420 1270
960 1300 1240 1130 1070 1080 1000 1360 1260 1180 1200 1100
Para o conjunto de dados acima responda:
a) Construa a tabela de freqüências constituída pelas freqüências absolutas simples, as freqüências relativas, as
freqüências acumuladas e os Pontos médios de classes;
b) Construir um histograma e um polígono de freqüências;
c) Calcule a média, a moda e a mediana para os dados brutos e a seguir para os dados agrupados, compare os
resultados e comente. Interprete cada medida obtida;
d) Calcule Q1, Q3, P68 e D8. Interprete os resultados.
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6 Medidas de Dispersão
Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são suficientes para
caracterizar totalmente uma sequência numérica. Se observarmos as sequências:
X : 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.
Y : 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.
Z : 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.
concluiremos que todas possuem a mesma média 13. No entanto são sequências completamente distintas do ponto de
vista de variabilidade dos dados. Na sequência Z não há variabilidade dos dados. Na sequência Y , a média 13 representa
bem a série, mas existem elementos da série levemente diferenciados da média 13. Na sequência X os elementos estão
bem diferenciados da média 13. As medidas de dispersão serão usadas para avaliar a representatividade da média. 11
6.1 Amplitude Total
A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor observado. A medida de
dispersão não leva em consideração os valores intermediários perdendo a informação de como os dados estão distribuídos
e/ou concentrados.
H = Xmax −Xmin
Exemplo: Utilizando os dados da Tabela 8, a amplitude total da idade dos alunos do curso de Estatística 2010 é:
H = 36− 21 = 15 anos,
isto é, as idades dos alunos diferem em torno de 15 anos.
6.2 Distância Interquartílica ou Amplitude Interquartílica
A amplitude interquartílica é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. Esta medida é mais estável que a
amplitude total por não considerar os valores mais extremos. Esta medida abrange 50% dos dados e é útil para detectar
valores discrepantes.
dq = Q3 −Q1
Exemplo: Utilizando os dados da Tabela 8, a amplitude interquartílica da idade dos alunos do curso de Estatística da
UFMT é:
dq = 33, 5− 24, 2 = 9, 3 anos
A amplitude entre o terceiro e primeiro quartil, que envolve 50% (centrais) dos alunos, é de 9,3 anos.
6.3 Variância
É a medida de dispersão mais usada e mais importante. Mede a concentração dos dados em torno da média. É dado
pela soma dos quadrados dos desvios dividido pelo número total de observações. A notação S2 é usada para representar
a variância amostral.
1. Variância amostral (S2) para dados não tabulados
S2 =
n∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
n− 1 , (1)
desenvolvendo o quadrado do parentêses obtem-se:
S2 =
1
n− 1
{
n∑
i=1
X2i − nX¯2
}
. (2)
Na Tabela 14 di é chamadado de desvio, a soma do desvio é nula. A soma dos desvios ao quadrado dividido por
n− 1 resulta na variância e a raíz quadrada da variância é o desvio-padrão.
Logo, S =
√
1007, 4/6 ∼= 13 e S2 = 167, 9.
11BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 4a ed., Atual Editora, S.P., 2010.
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2. Desvio-Padrão (S): É a raíz quadrada da variância. Deixa a medida de variabilidade na mesma unidade de medida
dos dados, diferente da variância. Exemplo: Se calculamos a variância das alturas de um conjunto de 10 crianças,
essa variância terá como unidade de medida cm2 e o desvio padrão cm, mesma unidade de medida das observações
coletadas.
3. Variância de dados tabulados em distribuição de frequências: Quando os valores vierem dispostos em uma tabela
de frequências, o cálculo da variância se fará através da seguinte fórmula:
S2 =
k∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
fi
n− 1 (3)
Se os dados forem agrupados em classe Xi é substituído por Pmi.
S2 =
k∑
i=1
(
Pmi − X¯
)2
fi
n− 1 (4)
ou desenvolvendo o quadrado do parênteses obtém-se: