P1 versão 2 Estatística Susan Schommer

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Prova 1 v2 de Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica Econoˆmica - 2018.02
Questa˜o 1: Um dado e´ lanc¸ado e, independentemente, uma carta e´ extra´ıda de
baralho completo (52 cartas). Qual sera´ a probabilidade de que:
A = {o dado mostra um nu´mero par}, B = {a carta extra´ıda seja do naipe de cor preta}
a) O dado mostre um nu´mero impar e a carta seja de um naipe de cor preta?
P (A ∩B) = 3
6
· 26
52
= 1
2
· 1
2
= 1
4
b) O dado mostre um nu´mero impar ou a carta seja de um naipe de cor preta?
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1
2
+ 1
2
− 1
4
= 3
4
Questa˜o 2: Seja X a durac¸a˜o da vida (medida em horas) de um dispositivo
eletroˆnico. Suponha que X seja varia´vel aleato´ria cont´ınua com fdp f(x) = k
xn
, 2000 ≤
x ≤ 8000. Para n = 2, determine k. f(x) ≥ 0; f(x) = k
x2
≥ 0; k ≥ 0, x 6=
0;
∫ 8000
2000
f(x)dx = 1∫ 8000
2000
k
x2
dx = −k
x
|80002000 = − k8000 + k2000 = −k+4k8000 = 3k8000 = 1, k = 80003
Questa˜o 3: Suponha que P (X ≤ 0, 4) = 0, 75, onde X e´ uma varia´vel aleato´ria
cont´ınua com alguma distribuic¸a˜o definida sobre (0, 1). Quando Y = 1 −X, deter-
minar k de modo que P (Y ≤ k) = 0, 25.
P (X ≤ 0, 4) = P (1− Y ≤ 0, 4) = P (Y ≥ 0, 6) = 1− P (Y ≤ 0, 6) = 0, 75;
P (Y ≤ 0, 6) = 0, 25→ k = 0, 6
Questa˜o 4: Suponha que a tabela seguinte represente a distribuic¸a˜o de prob-
abilidade conjunta da varia´vel aleato´ria discreta (X, Y ), com as suas distribuic¸o˜es
marginais. As varia´veis aleato´rias X e Y sa˜o independentes? Mostre isso para
Y/X 1 2 3 q(y)
1 1
12
1
6
0 1
4
2 0 1
9
1
5
14
45
3 1
18
1
4
2
15
79
180
p(x) 5
36
19
36
1
3
1
p(1, 2) = P (X = 1, Y = 2) e p(3, 2) = P (X = 3, Y = 2)
Na˜o sa˜ independentes. p(1, 2) = 0 6= P (X = 1) · P (Y = 2) = 5
36
· 14
45
e p(3, 2) = 1
5
6= P (X = 3) · P (Y = 2) = 1
3
· 14
45
1