Aula 02 Separáveis e Homogêneas

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Profª Ramina Camargo
raminasamoa@gmail.com
Aula 2: Separáveis e Homogêneas
Equações de 1ª ordem e 1º grau
Funções de apenas uma variável;
Produtos com fatores de uma só variável ou
Constantes
Equações de Variáveis Separáveis
 A equação do tipo Mdx + Ndy = 0, em que M e N podem ser:
Exemplos: Resolver as seguintes equações:
Equações Diferenciais Homogêneas
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
São aquelas cujas funções M(x,y) e N(x,y) são homogêneas de mesmo grau.
Exemplos:
	1) (x+y)dx +(y-x)dy = 0
	2) (x2 – y2)dx – (2xy) dy = 0
Método de Resolução
Através da substituição
y=xt e dy =xdt + tdx
M(x,y) é homogênea de grau p quando:
M(tx,ty) = tp M(x,y)
Ex.1) M(x,y) = x + y e N(x,y) = y – x
M(tx,ty) = tx + ty = t(x+y) = t M(x,y)
M é homogênea de grau 1.
N(tx,ty) = ty – tx = t(y-x) = t N(x,y)
N é homogênea de grau 1.
Solução: Através da substituição
y=xt e dy =xdt + tdx
(x+y)dx +(y-x)dy = 0 temos,
 (x+xt)dx +(xt-x)(xdt +tdx) = 0
 (x+xt)dx +[x2tdt + xt2dx – x2dt – xtdx] = 0
(x+xt +xt2 – xt)dx +(x2t – x2) dt = 0
x(1+t2) dx + x2(t – 1) dt = 0 
Ex.2) M(x,y) = x2 – y2 e N(x,y) = -2xy
M(tx,ty) = (tx)2 – (ty)2 = t2x2 – t2y2 = t2 M(x,y)
M é homogênea de grau 2.
N(tx,ty) = -2(tx)(ty) = -2t2xy = t2 (-2xy)= t2 N(x,y)
N é homogênea de grau 2.
2) (x2-y2)dx – (2xy)dy = 0
(x2-x2t2)dx – (2x.xt)(xdt + tdx) = 0
(x2-x2t2)dx – 2x3tdt - 2x2t2dx = 0
(x2-x2t2 - 2x2t2)dx – 2x3tdt = 0
x2(1- 3t2 )dx – 2x3tdt = 0