aula4

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Aula 4 
Estrutura cristalina: 
 
 Direções e planos 
Propriedades 
isotropia e anisotropia 
Profa. Dra. Christiane Ribeiro 
Materiais e suas Propriedades 
Sistemas cristalinos 
Existem somente sete diferentes combinações dos parâmetros de 
rede. Cada uma dessas combinações constitui um sistema cristalino. 
Relembrando... 
Reticulados de Bravais 
Qualquer reticulado cristalino pode ser descrito por um dos 14 
reticulados de Bravais. 
Relembrando... 
Relembrando... 
E os cristais comerciais? 
 Pb2O3 + SiO2 
 
Cristais Swarovski, Baccarat, outros 
Poliestireno cristal (100% amorfo) 
Amorfo x cristalino 
Materiais intermediários 
Composto de Co III 
mesomórfico com 
mesofase colunar 
Gota de cristal 
líquido 
Composto mesomórfico- pioneiro do cristal líquido 
Estrutura nemática 
do cristal líquido 
Cristal líquido: estrutura mesomórfica 
Monocristal 
Quando o arranjo periódico e repetitivo de átomos é 
perfeito ou se estende ao longo da totalidade da 
amostra, sem interrupção. 
Todas as células unitárias se ligam da mesma maneira e 
possuem a mesma orientação. 
 
São usados em microcircuitos eletrônicos (monocristais 
de silício) 
Diamante sintético 
monocristalino 
Monocristal (romboédrico) 
de calcita 
Materiais Policristalinos 
Conjunto de muitos cristais pequenos (grãos) cada 
um deles com diferentes orientações espaciais 
nucleação – crescimento 
A orientação cristalográfica varia de grão para 
grão  contorno de grão (defeito interfacial que 
separa cristais/grãos com diferentes orientações 
cristalográficas) 
Formação de cristais 
Grão ou estrutura 
cristalina 
Contorno de 
grão 
Cristais 
Exemplos de materiais policristalinos 
Metal: chumbo 
de alta pureza 
Cerâmica: Al2O3 de 
alta densidade 
Polímero: esferulita (PE) 
Direções e Planos Cristalográficos 
Terminologia 
 Direções: [ ] 
 Planos: ( ) 
 Famílias de direções: < > 
 Famílias de planos equivalentes: { } 
VETORES 
que unem dois 
pontos da rede 
cristalina. 
[110] CFC 
[110] CCC 
Como representar as direções dos átomos? 
1- Posicionar o vetor passando pela origem 
2- Determinar os comprimentos das projeções (a,b e c) 
(Ex: a, b/2 e 0, ou seja, a=1, b=1/2 e c=0) ou (x=1, y=1/2, z=0) 
3- Dividir ou multiplicar os três números por um fator comum 
(Ex: 2,1,0) 
4- Representação: [210] 
a 
b 
c 
Direções Cristalográficas 
Etapas 
Direções Cristalográficas 
• Essas etapas estão resumidas na tabela abaixo: 
x y z 
Projeções a/2 1b 0c 
Projeções em termos de a, b 
e c 
1/2 1 0 
Redução 1 2 0 
Colocação entre colchetes [120] 
c 
a 
b 
z 
y 
x 
• [100] 
• [110] 
• [111] 
• [021] 
• [011] 
• [321] 
• [201] 
z 
x 
y 
Exercitando... 
• [100] 
• [011] 
• [011] 
x 
y 
z 
 Índices de Miller: Direções Cristalográficas 
Direções deslocando a origem 
x 
y 
z 
[100] 
[120] 
[012] 
Princípio de direções equivalentes 
x 
y 
z 
[1 0 0] [0 2 1] [1 1 1] 
 Quem são as Direções Cristalográficas ? 
Direções Cristalográficas: Exemplos 
0,0,1 
1,1,0 
1,1,1 
1,1,2 
[001] 
[112] 
[111] 
[110] 
Esboçar as direções [001], [112], [111] e [110] 
Família de Direções : 
 Direções equivalentes, mesmo que não paralelas!!! 
Espaçamento entre os átomos ao longo 
de cada direção é o mesmo 
Representação:   
 100  
Direções Cristalográficas 
Famílias de Direções 
• Equivalência de direções 
 
 
 
 
 
• <123> Família de direções – direções com 
mesma densidade atômica 
• ex. [123], [213], [312], [132], [231] 
– (apenas no cristal cúbico) 
[101] = [110] [101]  [110] 
cúbico tetragonal 
20 
 <100> 
• [100] 
• [010] 
• [001] 
• [100] 
• [010] 
• [001] 
x 
y 
z 
Uma <família de direções> inclui todas as direções 
possíveis com as mesmas coordenadas básicas 
<Família de Direções> 
Isotropia X Anisotropia em Cristais 
• Propriedades dos cristais baseadas nos 7 
sistemas cristalinos 
 
 
 
 
[100] = [001] [100]  [001] 
cúbico tetragonal 
Isotrópico Anisotrópico 
22 
Anisotropia da calcita 
Em mineralogia minerais com anisotropia óptica, 
apresentam o efeito da dupla refração ou birrefringência 
(divisão de um raio de luz não polarizada, em dois 
componentes polarizados e com velocidades distintas, 
sendo refletidos e refratados com ângulos diferentes). 
Todos os minerais que se cristalizam em outro 
sistema que não o cúbico, são opticamente 
anisotrópicos. 
 
Isotropia X Anisotropia 
Exemplo: A cianita é um mineral anisotrópico em relação à 
dureza. Ela possui duas durezas distintas segundo a direção 
considerada. Figura ao lado - as durezas variam de 4,5 a 7,0 
na escala de Mohs 
Isotropia: as propriedades não mudam com a direção. 
Anisotropia: manifestação de uma propriedade dependente da direção 
considerada. (anisotropia simetria estrutural) 
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC 
 No sistema CCC os 
átomos se tocam ao longo 
da diagonal do cubo, que 
corresponde a família de 
direções <111>. 
 Então, a direção <111> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema 
CCC. 
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CFC 
 No sistema CFC os 
átomos se tocam ao longo 
da diagonal da face, que 
corresponde a família de 
direções <110>. 
 Então, a direção <110> é a 
de maior empacotamento 
atômico para o sistema 
CFC. 
Aspectos importantes dos índices de Miller para 
as direções que precisam ser observados 
1. Como as direções são vetores, determinada direção e seu 
negativo não são idênticos. De fato [100] não equivale a [100]; 
eles representam a mesma linha, mas em sentidos opostos; 
2. Toda direção e seu múltiplo são idênticos. De fato, [100] 
representa a mesma direção que [200]; apenas esquecemos de 
fazer a redução para menores números inteiros; 
3. Certos grupos de direções são equivalentes. Em um sistema 
cúbico, por exemplo, uma direção [100] será a direção [010] se 
redefinirmos o sistema de coordenadas; e 
4. Sempre a referência a grupos de direções equivalentes é uma 
famílias de direções < >. 
Índices de Miller: Planos Cristalográficos 
Determinação dos índices de Miller de um plano cristalográfico: 
 determinar os interceptos do plano com os eixos do 
sistema de coordenadas em termos dos parâmetros de 
rede a, b e c. Se o plano passar pela origem, transladar o 
plano para uma nova posição no sistema de coordenadas. 
 obter os recíprocos desses três interceptos. Se o plano 
for paralelo a um dos eixos, considera-se o intercepto 
infinito e o seu recíproco zero. 
 representar na forma ( h k l ) 
Nota : às vezes é necessário multiplicar os três números resultantes 
 por um fator comum para assim obter três índices inteiros. 
Planos e índices de Miller 
Pode-se representar um cristal como uma grade (cela 
unitária e imaginar que esta contém planos separados 
por uma distância d em diferentes orientações. 
• Todos os planos são idênticos (no esquema de cores) 
• Os planos são imaginários 
• A distância perpendicular entre um par de planos 
adjacentes é o espaçamento d 
Achando a interseção 
a,b,c: 1/4, 2/3, 1/2 
 
Tome o recíproco 4, 3/2, 2 
 
multiplique pelo inteiro: 
(8 3 4) [se necessário] 
São usados 
parênteses 
Índices de Miller (hkl) 
Planos cristalográficos 
x y z 
Interseções 1/4a 2/3b 1/2c 
Interseções em termos de 
parâmetros de rede 
1/4 2/3 1/2 
Inversos 4 3/2 2 
Reduções(quando 
necessárias) 
8 3 4 
Colocação entre parênteses (834) 
1. Desenhe a origem e a célula unitária 
2. O plano x, y, z interceptará os eixos em 1/x, 1/y e 1/z. 
(Ex: 1,1,1) 
3. Dividir ou multiplicar os três números por um fator comum 
(Ex: 1,1,1) 
4. Representação por meio dos índices de Miller, entre 
parênteses: (111) 
Passos Resumidamente 
x 
y 
z 
(Planos) 
• (xyz) 
• (100) 
• (110) 
• (111) 
• (100) 
• (020) 
• (040) 
x 
y 
z 
Índices de Miller 
Planos Cristalográficos 
Família de planos 
Uma família de planos contém todos aqueles 
planos cristalograficamente equivalentes: 
– Possuem o mesmo empacotamento atômico; 
 
Uma família é designada por índices que são 
colocados entre chaves {h k l}, tal como 
{110} 
{Famílias de Planos} 
• {xyz} 
• {100} 
• {110} 
• {100} 
 
x 
y 
z 
Planos Cristalográficos 
FAMÍLIA DE PLANOS {110} 
 
É paralelo à um eixo 
x 
y 
z 
Planos Cristalográficos 
Ex: FAMÍLIA DE PLANOS {111} é 
composta pelos planos: 
).111( )111( ),111( ),111(
),111( ),111(),111( ),111(
e
FAMÍLIA DE PLANOS {111} 
 
Intercepta os três eixos x 
y 
z 
Planos Cristalográficos: Exemplos 
Aspectos importantes dos índices de Miller para 
os planos que precisam ser observados 
1. Os planos e seus negativos são idênticos (o que não ocorre com as 
direções). Portanto, (020 ) = (020). 
2. Os planos e seus múltiplos não são idênticos (o que também difere do que 
vimos com as direções). Podemos demonstrar esse fato definindo as 
densidades planares e frações de empacotamento planar. 
3. Em cada célula unitária, as famílias de plano representam grupos de 
planos equivalentes que tem índices específicos, devido à orientação das 
coordenadas. Representamos esses grupos de planos por meio da notação 
{ }. 
4. No caso de sistemas cúbicos, uma direção com os mesmos índices de 
um plano é perpendicular a esse plano. 
Densidade planar é o número de átomos por unidade de área, considerando que 
os centros desses átomos estão situados no plano; fração de empacotamento, é 
a parcela da área do plano efetivamente coberta por tais átomos. 
Densidades Atômicas Linear e Planar 
 
Densidade linear= átomos/cm (igual ao 
fator de empacotamento em uma 
dimensão) 
 
Densidade planar= átomos/unidade de 
área (igual ao fator de empacotamento 
em duas dimensões) 
 
Densidades Linear 
DL = 
Número de átomos centrados sobre o vetor direção 
Comprimento do vetor direção 
Exemplo- Determinar a DL na 
direção [110] para a estrutura 
cristalina CFC 
- Direções equivalentes possuem densidades lineares idênticas. 
[110] 
DL110 = 2at = 4R 
 a√2 4R √2 
 √2 
DL110 = 1 
Densidade Planar 
- Planos cristalográficos equivalentes possuem densidades 
planares idênticas. 
DP= 
Número de átomos centrados sobre um plano 
Área do plano 
Plano (110) 
- Um quarto dos 
átomos A, C, D e F 
 
- Metade dos 
átomos B e E 
)22)(4( RRA 
Exercício 
Quantos átomos por mm2 há sobre o plano (100) do chumbo CFC, 
sendo o raio do Pb = 0,1750nm ? 
 
a= 4R 4 (0,1750nm) = 0,495nm 
 2 2 
 
 
 
 
No plano (100) da estrutura CFC existem quantos átomos? 
Resolução 
Quantos átomos por mm2 há sobre o plano (100) do chumbo CFC, 
sendo o raio do Pb = 0,1750nm ? 
 
a= 4R 4 (0,1750nm) = 0,495nm 
 2 2 
 
No plano (100) da estrutura CFC existem 2 at./face, logo: 
DP (100) = 2 at./ (0,495.10-6 mm) 2 = 8,16.10 at./mm2 
 
Exercício de fixação: 
Calcule e compare as densidades planares dos 
planos (111) e (100) para a estrutura cristalina CFC? 
Dados: 
Resolução para (111):