ESTABILIDADE TRANSITÓRIA cap 9

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NOÇÕES DE ESTABILIDADE
TRANSITÓRIA
Neste capítulo serão abordados alguns tópicos relativos à estabilidade transitória de sis-
temas de potência. Os conceitos e aplicações abordados são introdutórios, no sentido que
um aprofundamento maior sobre o assunto requereria maior espaço do que a abordagem
a ser considerada.
O nosso enfoque será voltado para o caso de um gerador ligado a um barramento-
infinito por meio de um elo de corrente alternada. Atualmente, essa é uma abordagem
simplificada. No entanto, ela fornece informações relevantes para o entendimento de
análise dinâmica de sistemas de potência.
9.1 REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA
Um sistema elétrico de potência contém elementos estáticos e dinâmicos. Elementos es-
táticos são estudados utilizando-se modelos estáticos concebidos a partir da representação
por equações algébricas. Por outro lado, os sistemas dinâmicos requerem uma represen-
tação que pode envolver um conjunto de equações algébrico-diferenciais. O levantamento
desses conjuntos de equações depende do modelo que será usado para cada equipamento.
Em um estudo de estabilidade, o gerador e os seus controladores desempenham
papel importante. O maior objetivo é avaliar se o sistema sobrevive a uma perturbação
transitória ou permanente, a qual deve ser eliminada com duração de tempo apropriada. O
principal objetivo no nosso estudo será avaliar a excursão do ângulo do rotor do gerador
e se o sistema será estável para uma determinada perturbação.
Em um sistema interligado, o equilíbrio geração-carga deve ser atendido. Durante
uma perturbação, o sistema pode passar para outro ponto de equilíbrio ou retornar para
o ponto de equilíbrio em que se encontrava antes da perturbação. Nessas situações, o
sistema é dito estável. Mas se ele não atinge um ponto de equilíbrio, ele é dito instável.
Por questões de segurança elétrica, esses estados devem ser adequadamente determinados.
A Figura 9.1 mostra o esquema de um conjunto força-motriz (turbina)-gerador e
a rede elétrica. A turbina está conectada mecanicamente ao eixo do gerador. A en-
ergia mecânica produzida pela força motriz é transmitida ao gerador por meio do eixo
1
2 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
mecânico, que produz um torque mecânico Tm. Este conjugado produz um conjugado
eletromagnético Te em oposição, obviamente, ao conjugado Tm. Note-se que a veloci-
dade angular mecânica, ωm, atua no sentido do torque mecânico, enquanto a velocidade
angular elétrica, ωe, atua no sentido do conjugado eletromagnético.
Figura 9.1 Esquema mostrando o acoplamento mecânico turbina-gerador e a conexão à rede
elétrica
Suponha que o gerador esteja suprindo, por meio dos seus terminais, uma carga
elétrica à rede. A potência necessária para atender a carga é proveniente do conjugado
eletromagnético que é gerado no entreferro do gerador. O conjugado eletromagnético é o
resultado da interação entre as correntes dos enrolamentos do estator, que produzem um
campo girante e do campo magnético produzido nos enrolamentos de campo do rotor.
Durante uma perturbação, o conjugado mecânico fica praticamente constante. Mas,
não se pode dizer o mesmo em relação ao conjugado eletromagnético.
O gerador síncrono é formado por uma parte fixa, na qual estão as bobinas do in-
duzido, denominado estator, e uma móvel, chamada rotor. Um corte evidenciando as
partes fixas e móvel do gerador é mostrado na Figura 9.2. Por sua vez, a Figura 9.3
mostra efetivamente o estator de uma máquina hidráulica, ilustrando o elevado número de
pólos presentes.
Nas bobinas estatóricas são induzidas tensões, que são devidas a um campo mag-
nético gerado a partir de um circuito de campo, presente no rotor. Os enrolamentos do
circuito do rotor são alimentados por tensão contínua, produzindo, assim um campo mag-
nético constante. Quando o rotor gira, acionado pela turbina acoplada ao eixo do gerador,
o campo magnético corta as bobinas fixas do estator provocando o surgimento de tensões
alternadas. Quando o circuito do estator é fechado com a rede elétrica, passará a circular
9.1. REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA 3
uma corrente elétrica, que então, interagindo com o campo do rotor produz o conjugado
eletromagnético.
Figura 9.2 Corte transversal do gerador mostransdo o estator e o rotor
Figura 9.3 Estator de uma máquina síncrona
O gerador deve ser sincorinizado ao sistema e dessa forma funcionar no sentido a
produzir energia elétrica ao sistema, sob níveis de tensão adequados e freqüência o mais
próximo possível de um valor constante. Esse valor constante da freqüência é denominado
frqüência síncrona. Portanto, todos os geradores, quando sincronizados ao sistema devem
gerar sinais que tenham a freqüência síncrona. Como gerar essa freqüência? Ela depende
da velocidade mecânica do gerador e do seu número de pólos. A relação entre ωm e
4 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
ωe, é dada por ωe = p2 ωm, onde p é o número de pólos do gerador. Assim um gerador
com elevado número de pólos (caso de geradores hidráulicos), devem girar a velocidades
relativamente baixas. Ao contrário, geradores com baixo número de pólos, como é o caso
de geradores térmicos, devem girar a velocidades elevadas. Seja o caso de um gerador
com 20 pólos. A freqüência síncrona igual a 60 Hz (3.600 rpm) é obtida, se o rotor do
gerador for acionado a uma velocidade mecânica ωm = 360 rpms.
9.2 CONJUGADO ACELERANTE E EQUAÇÃO DE
OSCILAÇÃO
O torque mecânico é convertido em eletromagnético. Durante uma perturbação, surge
uma diferença entre os dois, dando origem a um conjugado de aceleração, Ta, e a um
torque de amortecimento, Td . O torque acelerante depende das características mecânicas
do conjunto turbina-gerador, que na realidade está atrelado à inércia formada pelo con-
junto. O torque de amortecimento é atribuído a fatores como: perdas mecânicas, elétricas
e magnéticas, ventilação, entre outros fatores. A equação abaixo mostra a relação entre
os tipos de torque no gerador.
Tm−Te = Ta +Td [N.m] (9.1)
Desprezando-se o torque de amortecimento, o erro cometido na aproximação é des-
prezível. Por essa razão, é muito comum se omitir esse termo de amortecimento nas
análises que se faz. Assim, a equação envolvendo os conjugados - considerando que
é possível se definir um conjugado acelerante em função do momento de inérica e da
velocidade mecância - fica:
Tm−Te = Ta = J dωmdt [N.m] (9.2)
onde J é o momento polar de inércia do grupo turbina-gerador, em kg/m2.
Não é usual se trabalhar com a variável conjugado nas análises realizadas em es-
tabilidade transitória. Esta variável é substituída por potência. A relação entre as duas
grandezas dependem da velocidade mecânica da máquina motriz. Ou seja, Pm = ωmTm e
Pe = ωmTe. Logo, em (9.2), fica:
Pm−Pe = ωmJ dωmdt [W ] (9.3)
9.3. CAMPO MAGNÉTICO E ÂNGULO DO ROTOR 5
A potência mecância, Pm, é suposta constante, porque supomos que o regulador de
velocidade funcionará de modo a manter a velocidade do gerador constante e a sua atuação
é muito lenta durante uma perturbação. Então, mesmo durante uma perturbação o
valor de Pm, para efeito de simplificação, será suposto constante.
9.3 CAMPO MAGNÉTICO E ÂNGULO DO ROTOR
O campo magnético produzido pelo circuito de campo fica dirigido na direção do eixo
do rotor. No caso de um gerador de pólos salientes, como é o caso do gerador mostrado
na Figura 9.2, o campo é dirigido no sentido da parte longitudinal do rotor (de menor
relutância magnética). Quando o estator fornece potência elétrica à rede elétrica, surge
o denominado efeito de reação da armadura, cujo resultado faz com que surja o efeito
denominado reação da armadura. Este efeito dá origem ao chamado ângulo de carga ou
ângulo do rotor. A Figura 9.4 mostra as ações do campo magnético produzido no rotor
e da reação da armadura. Observe-se que não havendo corrente no estator, o ângulo do
rotor, δ , é nulo. Neste caso, não ocorre reaçãoda armadura. Por outro lado, o aumento da
reação da armadura, o que é equivalente ao aumento da carga, provoca abertura do ângulo
δ .
Figura 9.4 Campo do rotor, reação da armadura e ângulo do rotor
Vamos relacionar o ângulo do rotor com as grandezas elétricas necessárias para o es-
tudo de estabilidade transitória. A figura 9.4 mostra as grandezas envolvidas, destacando-
se a tensão e o fluxo na máquina síncrona, considerando uma referência síncrona e o
ângulo do rotor. A tensão E f é equivalente a uma tensão interna no estator a qual pode
ser considerada como gerada a partir da excitação do circuito de campo. Já a tensão V é
6 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
aquela que resulta nos terminais do gerador considerando o efeito da carga. Supõe-se que
o rotor gire no sentido anti-horário. Neste caso, o campo do rotor arrasta o campo girante,
ambos girando a uma velocidade síncrona. Quando ocorre uma perturbação esse ângulo
δ é afetado.
A velocidade angular elétrica será então a soma da velocidade de referência, ωre f =
ωo, e da velocidade do campo girante do rotor (devido à carga) dδdt . Isto é, a velocidade do
campo girante é igual à velocidade relativa do eixo do rotor com relação a uma referência
síncrona, ωe = dδdt +ωo. Quando a referência síncrona coincide com o ângulo da tensão
terminal do gerador na Figura 9.4, os ângulos δ e δ ′ coincidem.
A equação de oscilação do gerador é deduzida considerando-se freqüência elétrica
ao invés de freqüência mecânica. Então, é necessário alterar a equação (9.3). Isto pode
ser efetuado, substituindo-se ωm por ωe naquela equação. Assim,
Pm−Pe = 2pωeJ
d
(
ωe
2
p
)
dt =
4
p2
ωeJ
dωe
dt [W ] (9.4)
Aqui podemos substituir ωe usando ωe = dδdt +ωo e considerar que ωo é constante.
Vamos definir uma constante H como:
H ∆=
energia cinetica de todas as partes rotativas na velocidade sincrona ωo
Potencia aparente nominal do gerador, SB
[
MW.s
MVA
]
A relação entre J e H é dada por:
J =
H p2SB
2ω2o
(9.5)
Inicialmente, vamos passar as grandezas para pu na base de potência, SB, do gerador.
Então
Pm−Pe
SB
=
4
p2SB
ωeJ
dωe
dt =
4
p2SB
ωeJ
d
dt
[
dδ
dt +ωo
]
[pu] (9.6)
Considerando na equação (9.6) H e o fato de que ωe ≈ ωo, tem-se:
Pm(pu)−Pe(pu) = 2H
ωo
d2δ (t)
dt2 [pu] (9.7)
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 7
A partir desse ponto, consideraremos que a potência será dada em pu, por isso
omitiremos a informação relativa nos parênteses, passando a escrever simplesmente Pm e
Pe.
Na equação (9.7), H é um parâmetro do gerador e Pm é supostamente conhecido em
função do ponto de operação do sistema. Mas Pe depende de dados da rede elétrica e do
gerador. Passamos a verificar a seguir como essa variável se relaciona então com o ponto
de operação e rede elétrica.
9.4 DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA
Vamos considerar que o gerador seja representado pelo seu modelo clássico mostrado na
Figura 9.5. Este tipo de representação é válida na situação em que x′d = xq (reatância
transitória desprezível). Isto acontece efetivamente em máquinas térmicas, que têm rotor
liso ou cilíndrico. Para máqunas de pólos salientes é uma aproximação, normalmente,
considerada em estudos bastante simplificados.
Figura 9.5 Modelo clássico de gerador
O modelo clássico de um gerador é representado por uma fonte com tensão con-
stante E ′q colocada em série com uma reatância x′d , denominada reatância transitória do
gerador. V é a tensão terminal do gerador. esta grandeza pode ser obtida do fluxo de carga
em regime permanente. A tensão E ′q é calculada a partir do funcionamento do gerador
em regime permanente e mantida constante, mesmo durante o transitório. Por outro lado,
o ângulo δ é aproximadamente igual ao ângulo do rotor. Em regime permanente, ele é
calculado como o ângulo de carga do gerdor (ângulo necessário para fornecer a potência
8 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
elétrica do gerador que irá alimentar a rede elétrica). Supõe-se que para a situação de
regime permanente a potência mecânica, Pm, seja igual à potência elétrica Pe. Mas ocor-
rendo uma perturbação, o ângulo δ varia de acordo com a equação de oscilação (9.7).
Portanto, torna-se necessário saber como esse ângulo está relacionado com essa equação
de oscilação do gerador.
Considere que o gerador esteja atendendo uma carga que é conectada a um barra-
mento infinito por meio de uma linha de transmissão. A Figura 9.6 ilustra essa infor-
mação. Uma barra infinita é caracterizada por tensão e freqüência sempre constantes. A
Figura 9.7 mostra o modelo para uma representação de barra infinita. Esse modelo consid-
era um equivalente de Thévenin, o qual é composto por uma fonte equivalente ligado em
série com uma reatância equivalente. Consideraremos, para efeito de simplificação, que
linhas de transmissão e transformadores serão representados somente por suas reatâncias.
Figura 9.6 Máquina conectada a um barramento infinito por meio de uma linha de transmissão
O circuito elétrico na Figura 9.8 mostra o circuito equivalente referente ao sistema
apresentado na Figura 9.6. Nesse modelo, fez-se nula a reatância equivalente da barra
infinita. Para o circuito representando o sistema, a potência elétrica fornecida pelo gerador
em função do âgulo do rotor será:
Pe =
E ′qE∞
x′d + xe
sen(δ ) (9.8)
O problema então consiste em se determinar o ângulo δ (t), conforme equações
(9.7) e (9.8). Trata-se de uma equação não-linear, no qual δ (0) = δ0 e dδ (0)dt = ωe(0)−
ωo = 0. Logo, com essas condições iniciais é possível resolver a equação diferencial
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 9
Figura 9.7 Modelo de um barramento infinito
(9.7). A pergunta que surge é como calcular, então, δ (0) = δ0. Este dado, evidentemente,
está relacionado ao ponto de operação do sistema. Como ele é calculado em regime
permanente, ele pode ser determinado a partir da equação (9.8), se conhecermos Pe(0).
Ou seja, se conhecermos a potência elétrica fornecida pelo gerador à rede elétrica. Esse
resultado pode ser calculado (ou obtido diretamente) do problema de fluxo de carga.
A curva da potência elétrica apresentada na equação (9.8) é denominada curva P−δ
ou curva de potência. Ela fornece informação do ponto de operação e da margem de es-
tabilidade do sistema. A Figura 9.9 mostra graficamente essa curva. Observa-se que para
a condição de regime permanente, a potência mecânica Pm é igual à potência elétrica.
Nessa situação, as curvas se interceptam em dois pontos correspondentes a δo e δu. No
entanto, apenas o ponto referente à δo é estável. Nesse ponto de operação, a aceleração
do gerador é negativa. Isto significa que, havendo uma perturbação no sistema, seguido
de desligamento para eliminação da perturbação e havendo religamento após um deter-
minado retardo, após eliminação da falta, o sistema poderá retornar a uma posição de
equilíbrio. Já no ponto correspondente a δu, a aceleração é positiva. Neste caso no caso
de uma perturbação, o sistema não recupera a sua situação de equilíbrio e perde a estabil-
idade. Portanto, para haver operação estável, δ < δu. Obviamente que esta condição não
é suficiente para assegurar a estabilidade. Outras condições deverão ser atendida e serão
vistas mais diante, com base no denominado critério das áreas iguais.
EXEMPLO
O sistema na Figura 9.6 atende uma carga na barra-infinita que consome 0,8 pu de
potência ativa, com fator de potência 0,8 indutivo. A tensão nesse barramento é igual
a 1 pu. A linha de transmissão tem reatância igual a 0,15 pu e a reatância transitória do
10 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
Figura 9.8 Circuito resultante
gerador é igual a 0,2 pu. A constante de inércia do gerador é igual a 3 s. Para esta situação,
determine:
a) o ângulo inicial do rotor δo e o ângulo δu;
b) a tensão E ′q atrás da reatância transitória do gerador:
c) a curvaP−δ para o sistema;
d) o ângulo δ (t), por meio de integração numérica com base no método de Runge-
Kutta, sabendo-se que ocorre uma falta trifásica na linha no instante de tempo igual a 0,1 s.
Teste vários valores de tempo de eliminação da falta, começando com t f alta = 0,16 s, até
que o sistema seja instável. Efetue a simulação até ts = 2,5 s e use intervalo de integração
igual a 0,01 s.
SOLUÇÃO
Inicialmente, é necessário se determinar a tnsão E ′q e o ângulo δo. Vamos supor que
a nossa referência angular seja fixada na barra infinita. Logo, a tensão na barra infinita
será V = 1∠0o pu. A potência aparente consumida na barra infinita será S = 0,80,8 = 1 pu. A
potência reativa será Q =
√
S2−P2 =
√
12−0,82 = 0,6 pu. Da mesma forma, a corrente
será I = S
∗
V ∗ =
0,8− j0,6
1 = 0,8− j0,6 pu.
A tensão V t nos terminais do gerador será V t =V + jxeI = 1∠0o + j0,15I = 1,09+
j0,12 pu.
O próximo passo consiste em calcular a tensão interna do gerador e o ângulo δ .
Então: E ′q = V t + jx′dI = (1,09+ j0,12)+ j0,2I = 1,242∠13,03o pu.
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 11
Figura 9.9 Curva da potência versus ângulo de carga
Então, a) δo = 13,03o. O ângulo δu será 180o−δo = 180o−13,03o = 166,97o.
b) E ′q = 1,242 pu.
c) A curva P−δ é mostrada na Figura 9.10.
Figura 9.10 Curva resultante
Para resolução do item d), considere o método de Runge-Kutta de quarta ordem,
conforme explicado a seguir.
Considere que a equação de oscilação do gerador pode ser colocada em uma outra
forma como segue.
12 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
d2δ (t)
dt2 =
ωo
2H
(Pm−Pmaxsen(δ )) com δ (0) = 13,03o e dδ (0)dt = 0 (9.9)
Vamos colocar a equação diferencial (9.9), como equações diferenciais de primeira
ordem (equações de estado). Para isto, faça ω = dδdt e dω(t)dt = ωo2H (Pm−Pmaxsen(δ )).
Considere ainda que x1 = ω e que x2 = δ . Então:
dx1
dt =
ωo
2H
(Pm−Pmaxsen(x2)) = f1(x1,x2) (9.10)
dx2
dt = x1 = f2(x1,x2) com x2(0) = 13,03pi/180 rad e x1(0) = 0 (9.11)
De acordo com o método de Runge-Kutta, devemos calcular incrementos das var-
iáveis de estado a partir de incrementos na variável tempo. Os incrementos das variáveis
de estado, para o sistema com dois estados descritos anteriormente, inclui incrementos do
seguinte tipo:
∆x1 =
1
6 [K1x1 +2K2x1 +2K3x1 +K4x1] (9.12)
∆x2 =
1
6 [K1x2 +2K2x2 +2K3x2 +K4x2] (9.13)
onde as variáveis do tipo Kix1 e Kix2, com i = 1, 2, 3, 4, são calculadas a seguir.
No instante tk, a atualização do tempo é tk = t0 +(k− 1)∆t, onde ∆t é o passo de
integração. As variáveis de estado são atualizadas como x(k+1)1 = x
(k)
1 +∆x
(k)
1 e x
(k+1)
2 =
x
(k)
2 +∆x
(k)
2 .
As constantes Ki, para cada amostra k, são calculadas a seguir.
K1x1 = ∆t f1(x1,x2) (9.14)
K1x2 = ∆t f2(x1,x2) (9.15)
K2x1 = ∆t f1(x1 + 12K1x1,x2 +
1
2
K1x2) (9.16)
K2x2 = ∆t f2(x1 + 12K1x1,x2 +
1
2
K1x2) (9.17)
K3x1 = ∆t f1(x1 + 12K2x1,x2 +
1
2
K2x2) (9.18)
K3x2 = ∆t f2(x1 + 12K2x1,x2 +
1
2
K2x2) (9.19)
K4x1 = ∆t f1(x1 +K3x1,x2 +K3x2) (9.20)
K4x2 = ∆t f2(x1 +K3x1,x2 +K3x2) (9.21)
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 13
No caso do problema anterior, consideramos f1(x1,x2) = ωo2H (Pm−Pmaxsen(x2)) ef2(x1,x2) = x1.
A rotina em Matlab apresentada a seguir, calcula o ângulo do rotor para um intervalo
entre N1∆t ≤ t < N2∆t, no qual a potência elétrica transmitida pela linha é nula. Portanto,
no instante t = N2∆t, a linha é religada.
ROTINA
% Determina a solução do ângulo do rotor a partir da equação de oscilação
% caso 1 máquina ligada à barra infinita por uma linha
% a um barramento infinito
% dados do gerador: H=3 s, xld=0.2 pu, Pm=0.8 pu,
% Elq=1.242 pu, Einf=1 pu, f=60 Hz
H=3; xld=0.2; xe=0.15; Pm=0.8; Elq=1.242; Einf=1; f=60; w0=2*pi*f;
Pmax=Elq*Einf/(xe+xld);
% condições iniciais
delta0=13.03*pi/180; ddelta0=0;
% método de Runge-Kutta
dt=0.01;
t0=0; tf=2.5;
N=(tf-t0)/dt;
x10=ddelta0; % velocidade rad/s
x20=delta0; % ângulo em radianos
t=zeros(N,1); t(1)=t0; x=zeros(N,2); x(1,:)=[x10 x20];
% No instante t=0.1 s, a potência cai a zero, devido a um curto-circuito
% trifásico na linha. A falta é eliminada após 0.11 s.
% Então, para 0 < t < 10∗dt Pe é a nominal
% para 10∗dt <= t < 21∗dt Pe=0
% para t > 21∗dt Pe volta a ser transmitida
N1=10; N2=16; % com N2=36 não é estável
for k = 1 : (N−1)
if k < N1 | k > N2
K1x1 = dt ∗ (w0/(2∗H))∗ (Pm−Pmax∗ sin(x20));
else
K1x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm);
end
K1x2=dt*x10;
if k < N1 | k > N2
K2x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm-Pmax*sin(x20+0.5*K1x2));
else
K2x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm);
14 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
end
K2x2=dt*(x10+0.5*K1x1);
if k < N1 | k > N2
K3x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm-Pmax*sin(x20+0.5*K2x2));
else
K3x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm);
end
K3x2=dt*(x10+0.5*K2x1);
if k < N1 | k > N2
K4x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm-Pmax*sin(x20+K3x2));
else
K4x1=dt*(w0/(2*H))*(Pm);
end
K4x2=dt*(x10+K3x1);
dx1=(K1x1+2*(K2x1+K3x1)+K4x1)/6;
dx2=(K1x2+2*(K2x2+K3x2)+K4x2)/6;
x1=x10+dx1;
x2=x20+dx2;
t(k+1)=t0+k*dt;
x(k+1,:)=[x1 x2];
x10=x1; x20=x2; x1 = [ ]; x2 = [ ];
end
delta=(180/pi)*x(:,2);
plot(t,delta);
xlabel(’Tempo (s)’);
ylabel(’delta (graus)’);
A Figura 9.11 mostra a simulação, na qual simula-se uma falta que é eliminada em
um período de 0,06 s. Observe-se que para esse intervalo, o sistema é estável. Observe-se
que a falta incide no instante de tempo igual a 0,1 s. Mesmo em regime permanente, o
sistema oscila, porque não há amortecimento das oscilações após religamento da linha.
Isto se deve ao fato de não haver perdas ativas (resistências) no sistema testado.
Na Figura 9.12, a duração da falta é de 0,16 s. Note-se que houve aumento da
amplitude das oscilações, indicando que o sistema foi submetido a um distúrbio de maior
impacto.
Na figura 9.13 a duração da falta é de 0,25 s. Observe-se que a amplitude do ângulo
do rotor já é bem elevada.
Na figura 9.14 a duração da falta é de 0,26 s. Neste caso, claramente o sistema
perdeu a estabilidade. Então, o máximo tempo em que a linha pode ficar desligada, a
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 15
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−5
0
5
10
15
20
25
30
Tempo(s)
de
lta
 (gr
aus
)
Figura 9.11 Curva resultante da simulação, mostrando o ângulo δ em função do tempo. Nesta
simulação a falta dura 0,06 s.
partir do intante de incidência da falta, é inferior a 0,26 s. Em todos os casos avaliados
anteriormente, a pesquisa pelo tempo crítico de abertura da linha é inteiramente aleatória.
No exercício anterior, a estabilidade do sistema pode ser avaliada pelo critério das
áreas iguais. Esse critério é baseado no fato de que o sistema após sofrer uma perturbação
pode ir para um ponto de equilíbrio, mesmo após a abertura da linha, caso o tempo de
restabelecimento seja inferior a um determinado intervalo de religamento da interligação.
Considere a curva P−δ do gerador. O intervalo relacionado à falta pode ser quan-
tificado em termos de uma diferença angular. Se o restabelecimento ocorre durante essa
diferença angular, ele deve ser correspondente a uma área máxima abaixo da reta de Pm na
curva P−δ , A1, de tal modo que seja inferior a outra área A2. Essa área A2 é computada
a partir do religamento e tomando-se a área entre a curva de potência elétrica e a reta Pm.
Esse cálculo é aceitável para ângulos no máximo até δ = δu. Se a área A2 é maior que
A1 o sistema é estável. Neste caso, o tempo de religamento máximo pode ser calculado,
conhecendo-se o ângulo de religamento δr. A Figura 9.15 ilustra essas informações.
No exemplo anterior calcule o tempo crítico de religamento (tempo máximo para
o qual o sistema mantém a estabilidade), considerando uma falta trifásica e abertura da
interligação.
A área A1 é A1 = Pm(δr−δo). Já a área A2 é A2 =−
∫ δ1
δr (Pm−Pmaxsen(δ ))dδ . Para
16 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−40
−20
0
2040
60
80
Tempo (s)
de
lta
 (gr
aus
)
Figura 9.12 Curva resultante da simulação, mostrando o ângulo δ em função do tempo. A du-
ração da falta é igual a 0,16 s
o cálculo do ângulo de religamento máximo, deve-se fazer δ1 = δu, pois para ângulos
superiores a δu o sistema tem aceleração positiva e neste caso já perdeu a estabilidade.
Então
Pm(δr−δo) =−
∫ δu
δr
(Pm−Pmaxsen(δ ))dδ (9.22)
As duas igualdades resultam em
Pm(δr−δo) =−Pm(δu−δr)−Pmax(cos(δu)− cos(δr)) (9.23)
Finalmente se tem a equação abaixo, cuja incógnita é δr.
Pm(δu−δo)+Pmaxcos(δu)−Pmaxcos(δr) = 0 (9.24)
A solução então será:
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 17
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−100
−50
0
50
100
150
200
Tempo (s)
de
lta
 (gr
aus
)
Figura 9.13 Curva resultante da simulação, mostrando o ângulo δ em função do tempo. A du-
ração da falta é igual a 0,25 s
cos(δr) =
Pm(δu−δo)+Pmaxcos(δu)
Pmax
(9.25)
Portanto, o ângulo δr pode ser calculado por meio da expressão (9.25).
Para o exercício anterior, substituindo os valores anteriores para os ângulos (em
radiano) e demais parâmetros, tem-se:
cos(δr) =
0,8(2,9142−0,2274)+3,5486cos(2,9142)
3,5486 =−0,3685
Logo, δr = 1,9482 rad = 111,62o. Para calcular o tempo associado a esse ângulo
crítico, considere que durante a falta, a equação de oscilação tem Pe = 0. Assim,
d2δ
dt2 =
ωo
2H
Pm
A integral da aceleração resulta em (optou-se por usar diferenças entre variáveis
nesse cálculo, porque estamos interessado no intervalo de tempo a partir do ângulo em
18 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Tempo (s)
de
lta
 (gr
aus
)
Figura 9.14 Curva resultante da simulação, mostrando o ângulo δ em função do tempo. A du-
ração da falta é igual a 0,26 s
que a falta ocorre - considerar, nesse caso a diferença angular):
d∆δ
dt =
ωo
2H
Pm∆t
Realizando-se nova integração, tem-se:
∆δ = ωo
4H
Pm∆t2
Então, durante a falta, o intervalo de tempo crítico para religamento da linha será
∆t =
√
4H(δr−δo)
ωoPm
A expressão anterior para cálculo de ∆t é válida somente para a situação em que
a interligação é aberta e não ocorre transferência de potência para suprimento da barra
infinita durante a falta. Caso ocorra fluxo de potência durante a falta, outra expressão
deverá ser deduzida, levando em conta esse aspecto.
9.4. DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA ELÉTRICA 19
Figura 9.15 Esquema ilustrativo para mostrar o critério das áreas iguais
Substituindo os valores já calculados, tem-se:
∆t =
√
4×3(1,9482−0,2274)
377×0,8 = 0,2617 s
Comparando o intervalo de tempo calculado pelo critério das áreas iguais e pela
simulação no tempo mostrada anteriormente, observa-se que os cálculos são compatíveis.
O intervalo calculado por meio da simulação numérica é levemente inferior ao determi-
nado pelo critério das áreas iguais. Normalmente, o intervalo calculado por simulação é
mais preciso. O método das áreas iguais é uma simplificação e apresenta restrições para
o caso de sistemas multimáquinas.
EXERCÍCIO
Considere o sistema mostrado na Figura 9.16. A barra d é uma barra infinita, cuja
tensão deve ser mantida em 1,0 pu. A barra infinita absorve potência ativa e reativa iguais
a 1 pu e 0,2 pu, respectivamente. Os dados das reatâncias dos equipamentos são em pu.
A reatância transitória do gerador é igual a 0,15 pu, enquanto sua constante de inércia H
é igual a 2,5 s. Utilize o modelo clássico para representar o gerador no estudo dinâmico.
Ou seja, para o gerador, considera-se x′d = xq.
1) Mostre que a tensão E ′q é igual a 1,152 pu e que δo = 20,3o.
20 9. NOÇÕES DE ESTABILIDADE TRANSITÓRIA
Figura 9.16 Sistema máquina barra-infinita
2) Suponha que o disjuntor B1 abra inadvertidamente e a linha b− c fica aberta.
Calcular o máximo ângulo do rotor do gerador para essa situação.
3) Calcular o ângulo crítico para eliminação de uma falta trifásica na barra e. A
falta é eliminada por meio da abertura da linha pelos disjuntores B1 e B2.
4) Determine o tempo crítico para eliminação da falta em 3), por meio de um pro-
grama computacional.
5) Repita os problemas 3) e 4), agora considerando uma falta trifásica na barra b.
Para esta situação, considere que a falta seja transitória e, durante a sua permanência,
a interligação a− b fique desligada, sendo religada após extinção da falta. Compare o
resultado em 4) utilizando o critério das áreas iguais.