RESOLUÇÃO FISICA

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Universidade do Estado de Mato Grosso – UNEMAT
Cursos de Engenharia Ele´trica e Matema´tica
Disciplina de Ca´lculo Dif. e Int. II
Semestre letivo 2015/1 - 29/03/15
Profa Vera Lu´cia Vieira de Camargo
Lista de Exerc´ıcios 5 - Sec¸a˜o 14.6
Assunto: Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
1. Determine a derivada direcional de f no ponto indicado e direc¸a˜o e sentido indicado pelo
aˆngulo θ:
(a) f(x, y) = x sen(xy), (2,0), θ = pi/3
(b) f(x, y) = ye−x, (0,4), θ = 2pi/3
(c) f(x, y) = x3y4 − x4y3, (1,1), θ = pi/6
2. Para as questo˜es abaixo determine: (a) o gradiente de f ; (b) a taxa de variac¸a˜o no ponto
P ; (c) a taxa de variac¸a˜o de f em P na direc¸a˜o do vetor u.
2.1 f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P (1, 2), u = 〈 513 , 1213〉
2.2 f(x, y) = sen(2x+ 3y), P (−6, 4), u = 12(
√
3i− j)
2.3 f(x, y, z) = xe2yz, P (3, 0, 2), u =
〈
2
3 ,−23 , 13
〉
2.4 f(x, y, z) =
√
x+ yz, P (1, 3, 1), u =
〈
2
7 ,
3
7 ,
6
7
〉
3. E´ dado o mapa de contornos mostrando a pressa˜o barome´trica em milibar, quando o
Furaca˜o Donna estava ativo. Estime o valor da derivada direcional da func¸a˜o pressa˜o
em Raleigh, em direc¸a˜o ao olho do furaca˜o. Qual a unidade da derivada direcional?
4. Determine a derivada direcional da func¸a˜o no ponto dado na direc¸a˜o do vetor v.
(a) f(x, y) = ex sen y, (0, pi/3), v = 〈−6, 8〉
(b) f(x, y) = x
x2+y2
, (1, 2), v = 〈3, 5〉
(c) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), v = 〈5, 1,−2〉
(d) f(x, y, z) =
√
xyz, (3, 2, 6), v = 〈−1,−2, 2〉
5. (a) Determine a derivada direcional de f(x, y) =
√
xy em P (2, 8) na direc¸a˜o de Q(5, 4).
(b) Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = xy+yz+zx em P (1,−1, 3) na direc¸a˜o
de Q(2, 4, 5).
6. Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima de f no ponto dado e a direc¸a˜o em que isso ocorre:
(a) f(x, y) = 4y
√
x, (4, 1)
(b) f(x, y) = sen(xy), (1, 0)
(c) f(x, y) = ln(xy2z3), (1,−2,−3)
(d) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, (3, 6,−2)
(e) f(x, y, z) = tg(x+ 2y + 3z), (−5, 1, 1)
7. (a) Mostre que uma func¸a˜o diferencia´vel f decresce mais rapidamente em x na direc¸a˜o e
sentido oposto a` do vetor gradiente, ou seja, na direc¸a˜o −∇f(x).
(b) Utilize o resultado da letra (a) para determinar a direc¸a˜o e sentido onde f(x, y) =
x4y − x2y3 decresce mais rapidamente no ponto (2,-3).
8. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente e da reta normal a` superf´ıcie dada no ponto es-
pec´ıficado:
(a) 2(x− 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 10, (3,3,5).
(b) x+ y + z = exyz, (0,0,1).
9. Utilize um software gra´fico para trac¸ar o gra´fico da superf´ıcie, do plano tangente e da reta
normal na mesma tela. xy + yz + zx = 3, (1,1,1).
10. Se f(x, y) = x2+4y2, determine o vetor gradiente ∇f(2, 1) e use-o para determinar a reta
tangente a` curva de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y) = 8 no ponto (2,1). Esboce a curva de n´ıvel,
reta tangente e o vetor gradiente.
11. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva formada pela intersecc¸a˜o do
parabolo´ide z = x2 + y2 com o elipso´ide 4x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (-1,1,2).
12. a) Escreva uma expressa˜o como limite para derivada direcional de f em (xo, yo) na direc¸a˜o
do vetor unita´rio u = 〈a, b〉. Qual o seu significado? Como interpreta´-la geometricamente;
b) Qual a interpretac¸a˜o geome´trica do vetor gradiente em um ponto? c) Dado um ponto
de uma curva de n´ıvel de uma func¸a˜o de duas varia´veis, o que se pode afirmar a respeito
das posic¸o˜es relativas entre a reta tangente a` curva no ponto e o vetor gradiente neste
ponto?
Respostas:
(01) (a) (a) 2
√
3, (b) 2 +
√
3/2
(02) 2.1) ∇f(x, y) = 〈5y2 − 12x2y, 10xy − 4x3〉 , 〈−4, 16〉 , 172/13
2.2) ∇f(x, y) = 〈2 cos(2x+ 3y), 3cos(2x+ 3y)〉 , 〈2, 3〉 ,√3− 32
2.3) ∇f(x, y, z) = 〈e2yz, 2xze2yz, 2xye2yz〉 , 〈1, 12, 0〉 ,−223
(03) Resp. ≈ -0,1 milibar/mi
(04) (a) 4−3
√
3
10 , (c)
4√
30
(05) a) 2/5
(06) (a)
√
65,〈1, 8〉, (b) 1,〈0, 1〉, (c) √3,〈1,−1,−1〉, (d) 1,〈3, 6,−2〉, (e) √14,〈1, 2, 3〉
(07) (b) 〈−12, 92〉
(08)(a)x+y+z=11,x-3=y-3=z-5, (b)x+y+z=1,x=y=z-1
(10)∇f(2, 1) = 〈4, 8〉, x+ 2y = 4
(11) x = −1− 10t,y = 1− 16t e y = 2− 12t.
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