Introdução à Estatística

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Disciplina: Estatística e Probabilidade
Prof. Eliseu Castelo Branco Jr
ecastelob@gmail.com
http://goo.gl/Pycd5U
Introdução à Estatística
Apresentação dos dados
Distribuição de Frequência
Medidas de Posição
Medidas de Tendência Central
Aplicação a Estatística Descritiva
Medidas de Dispersão
Medidas de Assimetria e Curtose
Probabilidade
Probabilidade da soma
Probabilidade condicional
Teorema da Probabilidade Total e Bayes
Probabilidade Binomial
Aplicação da probabilidade Binomial
Plano de Aula
O aluno deverá ser capaz de:
Identificar e construir o significado da Estatística
Perceber a importância da Estatística como ferramenta de análise de dados , tomada de
decisão e a utilização em pesquisa.
Saber diferenciar população e amostra
Saber reconhecer, selecionar e aplicar os tipos de variáveis utilizadas em um trabalho estatístico.
1.Introdução à Estatística
1.1 - Origem
1.2 - Definição de População e Amostra
1.3 - Variáveis
1.3.1 Conceito
1.3.2 Tipos de variáveis
1.3.4 Variação em relação aos fenômenos
1.3.5 Princípios para classificação das variáveis
UNIDADE 1 - DADOS ESTATÍSTICOS
A origem da palavra Estatística está associada à palavra latina STATUS (Estado). 
Há indícios de que 3000 anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, China e Egito e até mesmo o 4o. livro do Velho Testamento faz referência à uma instrução dada a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear. 
Usualmente, estas informações eram utilizadas para a taxação de impostos ou para o alistamento militar. 
O Imperador César Augusto, por exemplo, ordenou que se fizesse o Censo de todo o Império Romano.
Origem da Estatística
Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição da população humana ou de animais, impostos, etc., fosse conhecida pelos egípcios, hebreus, caldeus e gregos, e se atribuam a Aristóteles cento e oitenta descrições de Estados, apenas no século XVII a Estatística passou a ser considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo básico a descrição dos BENS do Estado.
Origem da Estatística
O termo estatística deriva do neolatim statisticum collegium ("conselho de Estado") e do Italiano statista ("estadista" ou "político"). 
O alemão Statistik, introduzido pela primeira vez por Gottfried Achenwall (1749), designava originalmente a análise de dados sobre o Estado, significando a "ciência do Estado”
Etimologia
John Graunt (1620-1674) e William Petty (1623-1687) foram os primeiros a se preocuparam com o estudo numérico dos fenômenos sociais e políticos, na busca de leis quantitativas que pudessem explicá-los. 
Os precursores
O estudo consistia essencialmente de exaustivas análises de nascimentos e mortes, realizadas através das Tábuas de Mortalidade, que deram origem às atuais Tábuas de Mortalidade usadas pelas companhias de seguros. Um dos resultados mais importantes foi a constatação de que o percentual de nascimento de crianças do sexo masculino (51%) é levemente superior ao do sexo feminino (49%).
Os precursores
Francis Galton (1822-1911):
Pesquisou a distribuição geográfica da beleza, a moda, as impressões digitais, a eficácia da oração religiosa e o levantamento de peso. Também criou o conceito estatístico de correlação, a amplamente promovida regressão em direção à média e várias invenções como um periscópio, um dispositivo para abrir cadeados e uma versão inicial da impressora de teletipo. Ele foi o primeiro a aplicar métodos estatísticos para o estudo das diferenças e herança humanas de inteligência.
Os precursores
Entre 1893 e 1912 escreveu um conjunto de 18 artigos denominado Mathematical Contribution to the Theory Evolution, com contribuições extremamente importantes para o desenvolvimento da teoria da Análise de Regressão e do Coeficiente de Correlação, bem como do teste de hipóteses de qui-quadrado.
Os precursores
Karl Pearson (1857-1936) 
William Sealey Gosset (1876-1937) estudou Química e Matemática na New College Oxford. Em 1899 foi contratado como Químico da Cervejaria Guiness em Dublin, desenvolvendo um trabalho extremamente importante na área de Estatística. Devido à necessidade de manipular dados provenientes de pequenas amostras, extraídas para melhorar a qualidade da cerveja, Gosset derivou o teste t de Student baseado na distribuição de probabilidades.
Os precursores
A contribuição de Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) para a Estatística Moderna é, sem dúvidas, a mais importante e decisiva de todas. Formado em astronomia pela Universidade de Cambridge em 1912, foi o fundador do célebre Statistical Laboratory da prestigiosa Estação Agronômica de Rothamsted, contribuindo enormemente tanto para o desenvolvimento da Estatística quanto da Genética.
Os precursores
Albert Einstein (1879-1955)
Entre os artigos revolucionários de Einstein de 1905, estava um sobre o movimento browniano, que tinha como objetivo explicar as flutuações estatísticas e descobrir fatos que demonstrassem a existências de átomos com dimensões finitas e determinadas. 
Ele queria determinar o número de Avogadro e o tamanho dos átomos.
Os precursores
1 mol de moléculas de um gás possui 
aproximadamente 6,022 × 1023 moléculas 
deste gás (Número de Avogadro)
O dicionarista Aurélio Buarque de Holanda Ferreira definiu-a como uma parte da matemática em que se investigam os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população ou sobre
seres quaisquer, e os métodos de tirar conclusões e fazer predições com base nesses dados.” 
Os dados se referem a fenômenos de massa, ou coletivos, e às relações entre eles.
Definição de Estatística
Métodos estatísticos são métodos para o tratamento de dados numéricos e referem-se a dados coletados, cujo destino é permitir que os estatísticos cheguem a conclusões sobre o que está sendo estudado (pessoas ou coisas
A natureza dos métodos estatísticos
A estatística tem por objetivo o estudo de fenômenos de massa, ou coletivos, e das relações entre eles.
A estatística procura encontrar leis de comportamento para toda a população, ou universo; não se preocupa, portanto com 
cada elemento em particular.
De acordo com o seu tamanho, a população, ou universo, pode ser classificada como finita ou infinita.
Definição de População e Amostra
População Finita: o número total (número finito) de elementos é conhecido.
Exemplo: análise das notas de 30 alunos de uma turma de estatística.
População Infinita: população que possui um número infinito ou incontável de elementos.
Exemplo: quantidade de grãos de areia da praia de Jericoacoara.
Definição de População e Amostra
Quando a população é muito grande, certamente é difícil, ou mesmo impossível, a observação de determinada característica em todos os seus elementos.
Daí a necessidade de selecionarmos uma parte finita dessa população, para que possamos realizar a observação e obter os dados que desejamos.
A esta parte da população denominamos AMOSTRA ou ESPAÇO AMOSTRAL.
Amostra é um subconjunto de elementos retirados da população que usamos para obter os dados
Amostra
A Pluri consultoria em conjunto com a Stochos Sports & Entertainment divulgaram essa semana o que seria primeira pesquisa de torcidas de 2013. Esse estudo compreende os meses de aferição de novembro de 2012 a fevereiro de 2013. Foram entrevistados 21.049 pessoas acima de 16 anos em 146 municípios espalhados pelo país. 
O levantamento confirmou o Flamengo (16.8) como maior torcida do Brasil, seguido de perto pelo Corinthians (14.6%). Um pouco fora da disputa das maiores, segue o tricolor paulista com 8.1%. A surpresa fica por conta do Vasco (5%) ter ultrapassado a torcida do Palmeiras (4.9%) em menos de um ano.
Fonte: http://top10mais.org/top-10-maiores-torcidas-do-brasil/#ixzz3SmBa03pq
Exemplo de Pesquisa Amostral
Ranking das Maiores Torcidas
10 Maiores Torcidas do NE
Estatística Descritiva ou Dedutiva: Tem como objetivo descrever e analisar determinada população ou amostra, sem pretender
tirar conclusões genéricas
Trabalha resumindo os números para que possam ser mais facilmente interpretados
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística: baseado nos resultados obtidos pela análise da amostra, procura inferir, deduzir leis de comportamento da população total. 
Faz uma generalização a partir de resultados particulares
Estatística Descritiva e Indutiva
Dados Nacionais: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) www.ibge.com.br
Dados Educacionais: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Anísio Teixeira (INEP) – www.inep.gov.br
Dados Sociais e Trabalhistas – Organização Internacional do Trabalho (OIT) – www.ilo.org 
Orgãos que fornecem dados estatísticos
definição do problema
delimitação do problema
planejamento para obtenção dos dados
coleta dos dados
apuração dos dados
apresentação dos dados
análise dos dados 
interpretarão dos dados
8 Fases do Método Estatístico
Consiste em definir com clareza o que pretendemos pesquisar, qual é o objeto 
de estudo e qual é exatamente o objetivo que desejamos alcançar.
Além de considerar detidamente o problema objeto do estudo, o analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo
campo e que sejam análogos, uma vez que parte da informação de que se necessita pode ser encontrada nestes últimos.
Fase 1 : Definição do Problema
Não é suficiente saber com clareza o que pretendemos pesquisar. 
É também necessário saber 
onde será realizada a pesquisa: 
em que local, 
com que tipo de pessoas (ou coisas), 
em que período: semanas, dias (ou horários)
Fase 2 : Delimitação do Problema
Como vamos fazer para resolver o problema? 
Que dados serão necessários? 
Como obter esses dados?
Qual será o método de investigação? pura observação, questionário ou entrevista?
Quem irá distribuir questionários ou realizar as entrevistas?
Qual o tamanho da população e da amostra?
Quanto pretendemos gastar com a pesquisa?
Fase 3: Planejamento para obtenção dos dados 
Nesta fase os dados são obtidos mediante o processo de investigação.
É a fase mais importante da pesquisa
Fase 4: Coleta de dados
Antes de iniciarmos a apuração dos dados obtidos na pesquisa, devemos proceder à crítica dos mesmos, ou seja, descartar aqueles dados que foram fornecidos de forma errônea. 
Por exemplo, questionários respondidos pela metade não deverão ser levados em consideração.
 Nessa etapa resumimos os dados por meio de contagem, separação por tipo de resposta e de agrupamento de dados semelhantes: TABULAÇÃO DE DADOS.
Fase 5: Apuração de dados
Fase 6: Apresentação de dados
A Apresentação deve ocorrer em forma de tabelas ou gráficos
Fase 6: Apresentação de dados
Nessa fase, o interesse principal do estatístico (ou pesquisador) é tirar conclusões que o auxiliem na solução do problema que o levou a executar a pesquisa. 
Tal análise está intimamente ligada ao cálculo de medidas que permite descrever, com detalhes, o fenômeno que está sendo analisado.
Fase 7: Análise dos Dados
Para a interpretação dos dados analisados, devemos ter, em mãos os tabulados, os gráficos (se tiverem sido feitos) e os cálculos das medidas estatísticas, que nos permitem até mesmo arriscar algumas generalizações
Lembramos que tais generalizações (a inferência estatística) são acompanhadas de um certo grau de incerteza, pois não podemos garantir 100%
que os resultados obtidos numa amostra sejam
totalmente verdadeiros para toda a população da qual aquela amostra pertence
Fase 8: Interpretação dos Dados
Livro Estatística Aplicada a Todos os Níveis
Páginas 21 e 22
Exercício:
Utilize as fases 1 e 2 do método estatístico e crie um objetivo de pesquisa estatística e delimite-o no tempo e no espaço.
Ex: Objetivo: Pesquisa sobre gênero de filme preferido dos cinéfilos de Fortaleza no Shopping Iguatemi.
Período da Pesquisa: finais de semana do mês de Março/2015 no horário de 14:00 as 20:00hs. Local da Pesquisa: entrada do Cinema
Público pesquisado: homens entre 16 e 40 anos
Exercícios de Revisão 
O que é “população” para a estatística? Elabore uma definição.
O que é “amostra” para a estatística? Elabore uma definição.
Por que não podemos ter 100% de certeza que os dados estatísticos sejam verdadeiros?
Exercícios de Revisão
Marque a opção que melhor define estatística descritiva:
a) é o cálculo de medidas que permite descrever, com detalhes o fenômeno que está sendo analisado.
b) é a parte da estatística referente à coleta e à tabulação dos dados 
c) é a parte da estatística referente às conclusões sobre as fontes de dados
d) é a generalização das conclusões sobre as fontes de dados.
Exercícios de Revisão
Marque a opção que melhor define estatística indutiva:
a) é o cálculo de medidas que permite descrever, com detalhes o fenômeno que está sendo analisado.
b) é a parte da estatística referente à coleta e à tabulação dos dados 
c) é a parte da estatística referente às conclusões sobre as fontes de dados
d) é a generalização das conclusões sobre as fontes de dados.
Exercícios de Revisão
Assinale V (Verdade) ou F (Falso). São duas fases do método estatístico:
( ) Criar um problema e coletar dados
( ) Criar um problema e analisar dados
( ) Planejar um problema e coletar dados
( ) Coletar dados e analisar dados
( ) Apurar os dados e analisar um problema
Exercícios de Revisão
1.3 - Variáveis
1.3.1 Conceito
1.3.2 Tipos de variáveis
1.3.4 Variação em relação aos fenômenos
1.3.5 Princípios para classificação das variáveis
Variáveis
As pessoas de uma comunidade podem ser analisadas de diversos ângulos:
Ex: Sexo; Estatura, Renda, Escolaridade, etc
Variáveis são propriedades associadas com conceitos ou números e expressam informação sobre a forma de medida
Variável é qualquer característica associada a uma população. 
Variáveis - Conceito
Qualitativa nominal: os valores representam atributos ou qualidades mas não tem uma relação de ordem entre eles.
Qualitativa Ordinal - os valores representam atributos ou qualidades que possuem uma relação de ordem
Quantitativa Continua - valores são medidos numa escala métrica, onde todos os valores fracionários são possíveis.
Quantitativa Discreta - valores são medidos numa escala métrica e porem só admitem valores inteiros 
Classificação de Variáveis
Classificação de Variáveis
2.1 - Definição
2.1.1 Dados Brutos
2.1.2 Rol
2.2 - Tabelas
UNIDADE 2 - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS
Dados brutos: dados coletados na fase 4 do método estatístico. São a relação dos dados obtidos na pesquisa sem nenhuma ordenação.
Ex: Notas de 50 alunos
7-6-8-9-6-5-7-4-6-8-9-8-7-6-10-8-4-5-6-10-5-8-4-3-8-7-9-6-10-7-7-7-9-5-4-5-9-10-8-8-6-7-5-10-8-6-7-7-10-6.
Dados Brutos, Rol, Frequência
Rol: dados obtidos na fase de coleta colocados em ordem numérica crescente ou decrescente.
Ex: Notas de 50 alunos
3-4-4-4-4-5-5-5-5-5-5-6-6-6-6-6-6-6-6-6-7-7-7-7-7-7-7-7-7-7-8-8-8-8-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-10-10-10
Dados Brutos, Rol, Frequência
Frequência ou frequência absoluta: número de vezes que um mesmo resultado acontece durante uma pesquisa
Ex: Tabela de Notas de 50 alunos
Vantagens:
Facilidade para analisar
os dados da pesquisa
Dados Brutos, Rol, Frequência
Notas
Frequencia(f)
3
1
4
4
5
6
6
9
7
10
8
9
9
5
10
6
Ao realizarmos um teste de Estatística em uma turma constituída de 40 alunos, obtivemos os seguintes resultados (dados brutos):
7-6-8-7-6-4-5-7-7-8-5-10-6-7-8-5-10-4-6-7-6-8-6-7-10-4-6-9-5-8-9-10-7-7-5-9-10.
Qual o resultado que aconteceu com a maior frequência?
Questão de revisão
Estrutura da tabela:
Cabeçalho: informações sobre o que a tabela sintetiza 
Corpo: linhas e colunas onde são apresentados os dados apurados na pesquisa
Rodapé: informações adicionais que ajudam a esclarecer a interpretação da tabela
Tabelas
Tabela de Notas dosAlunos
Notas*
Frequencia(f)
3
1
4
4
5
6
6
9
7
10
8
9
9
5
10
6
* Valores das notas arredondados. 
Fonte: dados fornecidos pelo professor
A representação
gráfica das séries estatísticas tem por finalidade representar os resultados obtidos, permitindo que se chegue a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. 
Características desejáveis:
Simplicidade
Clareza
Veracidade
Apresentação de Dados
O título do gráfico deve ser o mais claro e completo possível. Quando necessário, deve-se acrescentar subtítulos;
A orientação geral dos gráficos deve ser da esquerda para a direita;
As quantidades devem ser representadas por grandezas lineares;
Sempre que possível, a escala vertical há de ser escolhida de modo a aparecer a linha 0 (zero);
Diretrizes
Só devem ser incluídas no desenho as coordenadas indispensáveis para guiar o olhar do leitor ao longo da leitura. Um tracejado muito cerrado dificulta o exame do gráfico;
A escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita, e a vertical de baixo para cima;
Os títulos e marcações do gráfico devem ser dispostos de maneira que sejam facilmente lidos, partindo da margem horizontal inferior ou da margem esquerda.
Diretrizes
Gráfico em Linhas
Constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas
Exemplo: Vendas em Cr$ 1000,00 nos anos de 1971 a 1977 de determinado produto da empresa x.
Tipos de Gráficos
Gráfico em Colunas
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente.
Exemplo:População Brasileira nas décadas de 40 a 70. 
Gráfico em Barras
É semelhante ao gráfico em colunas, porém, os retângulos são dispostos horizontalmente.
Exemplo:População Brasileira nas décadas de 40 a 70
Tipos de Gráficos
Gráfico em Colunas
Gráfico em Barras
Gráfico em Setores
É a representação gráfica de uma série estatística em círculo, por meio de setores.
É utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o
total.
Exemplo:
Tipos de Gráficos
Gráfico Polar
É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano, ou da temperatura ao longo do dia, o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano, etc.
Tipos de Gráficos
Gráfico em Linhas
Constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas
Exemplo: Vendas em Cr$ 1000,00 nos anos de 1971 a 1977 de determinado produto da empresa x.
Tipos de Gráficos
Ao final da terceira semana de aula, o aluno deve ser capaz de identificar as tabelas estatísticas de distribuição de frequências, determinar os diversos tipos de frequências e desenvolver a primeira medida de posição: a média.
2.3 - Tipos de frequências
2.3.1 Frequências Acumuladas
2.3.2 Determinação do numero de classes e intervalos
3.Distribuição de Frequência
Frequência acumulada (fa) é o somatório das frequências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado.
20 alunos tiraram nota < ou = a 6
30 alunos tiraram nota > que 6
Frequência Absoluta Acumulada (fa)
Notas
Frequencia(f)
(fa)
3
1
1
4
4
1+4=5
5
6
5+6=11
6
9
11+9=20
7
10
20+10=30
8
9
30+9 = 39
9
5
39+5 = 44
10
6
44+6 = 50
A frequência relativa é o resultado obtido da divisão entre a frequência absoluta e a quantidade de elementos da população. Geralmente é apresentada na forma de percentagem. 
Frequência Relativa (fr)
Notas
f
(fr)
3
1
1/50=0,02
4
4
4/50=0,08
5
6
6/50=0,12
6
9
9/50=0,18
7
10
10/50=0,20
8
9
9/50=0,18
9
5
5/50=0,10
10
6
6/50=0,12
n
50
50/50= 1
fr = f / n , onde n é a 
quantidade de elementos da 
população ou amostra.
Ex: 
Quando o número de resultados obtidos em uma pesquisa é demasiadamente grande, é comum agruparmos esses resultados em faixas de valores, denominadas de classes ou intervalos. 
Por exemplo, se um pesquisador deseja saber a idade das pessoas pesquisadas, ele as distribui em faixas etárias.
Ex: 
Classes ou Intervalos
Faixa Etária
Alunos (f)
19-25
26-30
30-45
Tabela de Faixa Etária de Alunos da Turma de Estatística
Limites Inferiores (Li): Normalmente são incluídos na faixa de valores.
Limites Superiores (Ls): Normalmente não são incluídos na faixa de valores.
Ex:
 0|--- 5 anos . Faixa de 0,1,2,3,4 anos
5|----10 anos. Faixa de 5,6,7,8,9 anos
A distribuição em classes é utilizada quando a população é muito grande com muitos valores diversos para representar.
Classes ou Intervalos
Quantas classes deve ter uma tabela?
Mínimo: 5 classes
Máximo: 20 classes
A Regra de Sturges, que nos dá o número de classes em função do número de valores da variável: k = 1 + 3,3 x log(n) onde n é o número de itens da amostra
Se n <26 k = 5, senão k = 
Ex. n = 40, k = 1 + 3,3log(40) = 6,28 = 6
40>26 => k = = 6,3 = 6
Classes ou Intervalos
Amplitude (A) dos intervalos: diferença entre o valor do Limite Superior (Ls) e o Limite Inferior (Li)
Ponto Médio do Intervalo (Pm)
Pm = (Ls + Li ) / 2
Ex:
0|--- 5 anos . Faixa de 0,1,2,3,4 anos
5|----10 anos. Faixa de 5,6,7,8,9 anos
Amplitude (A) = 10 – 5 = 5
Pm = (10 + 5) / 2 = 7,5
Amplitude e Ponto Médio
Livro Estatística Aplicada a Todos os Níveis
Pag 54 a 56
Questões de Revisão
As tabelas servem para apresentar séries estatísticas. 
Série estatística é a denominação que se dá a uma tabela na qual há um critério distinto que a especifica e a diferencia. 
Séries Estatísticas
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em:
Cronológicas - Tempo (fator temporal ou cronológico) – a que época refere-se o fenômeno analisado;
Geográficas - Local (fator espacial ou geográfico) – onde o fenômeno acontece;
Específicas - Fenômeno (espécie do fato ou fator especificativo) – o que é descrito.
Conjugadas ou mistas
Seriação (distribuição de frequências)
Séries Estatísticas
As séries também são divididas em:
Séries Homógradas - aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. 
São séries homógradas a série temporal, a série geográfica e a série específica;
Séries Heterógradas - aquelas nas quais o fenômeno ou o fato apresenta graduações ou subdivisões. 
Embora fixo, o fenômeno varia em intensidade.
A Distribuição de frequências ou seriação é uma série heterógrada.
Séries Estatísticas
Elemento variável: época
Elementos fixos: local e fenômeno.
Os dados observados estão distribuídos ao longo do tempo
1. Série Cronológica ou Temporal
Elemento variável: local
Elementos fixos: época e fenômeno
2. Série Geográfica
Elemento variável: fenômeno
Elementos fixos: local e época
Os dados são agrupados segundo a modalidade de ocorrência
3. Série Específica
Uma série é conjugada, ou mista, quando existe a combinação entre temporais, geográficas e específicas. Podem, portanto, variar o tempo (a época), o local (fator geográfico) e o fato (o fenômeno) simultaneamente. 
4. Série Conjugada ou Mista
A distribuição de frequências, tal como a estudamos, é considerada a quinta modalidade de série estatística.
Trata-se de uma série específica, em que os dados estão dispostos em classes, com
suas respectivas frequências absolutas.
5. Distribuição de Frequência
Quantidade de pessoas por faixa etária
Idade
Nº de pessoas
0a 10
208
10a 20
431
20a 30
644
30a 40
955
40a 50
938
Nem sempre uma tabela representa uma série estatística. Por vezes, os dados reunidos não revelam uniformidade, sendo meramente um aglomerado de informações gerais sobre determinado assunto, as quais, embora úteis, não apresentam a consistência necessária para se configurar uma série estatística.
Observação
Livro Estatística Aplicada a Todos os Níveis
Pag 42 a 44
Questões de Revisão
O aluno deverá ser capaz de:
Determinar a média
Identificar as médias aritméticas, geométrica, ponderada e harmônica.
Definir suas propriedades operatórias
Aplicar suas propriedades operatórias na resolução de casos práticos
Aplicar o cálculo da média em tabelas
de freqüências simples e de classes.
4. Medidas de Posição
Estudamos, nas unidades anteriores, a sintetização dos dado resultantes de uma pesquisa sob a forma de tabelas, gráficos e de distribuição de frequências que nos permitiam descrever o padrão de variação de um determinado fenômeno estatístico.
Agora, vamos aprender como resumir ainda mais esses dados, apresentando um ou mais valores que sejam representativos da série estudada.
São as chamadas medidas de posição (ou medidas de tendência central)
Medidas de posição
Mais utilizadas
Média Aritmética
Mediana
Moda
Menos utilizada
Média geométrica
Média harmônica
Média quadrática 
Média cúbica 
Média biquadrática
Medidas de posição	
É a soma dos resultados obtidos dividida pelo quantidade de resultados.
Sendo os dados obtidos (x1, x2, x3, x4,..., xn) onde n > 0 
Média = (x1+ x2 + x3 + x4 ... + xn) / n
Ex. dados = (1,5,7,6,4,3)
Média = (2+5+7+6+4+3) / 6 = 4,5
Média Aritmética Simples
Onde i varia de 1 a n
João e Maria tiveram 5 filhos que hoje tem idades de 5, 8, 15, 17 e 21. Qual é a média de idade dos filhos do casal hoje e daqui a 20 anos, considerando que todos estarão vivos daqui a 20 anos?
Oito alunos fizeram uma prova o obtiveram os seguintes resultados: 9,6,5,8,7,9,4,8. Serão aprovados no teste apenas os alunos que tirarem nota superior à média de notas do grupo. Quantos alunos passaram no teste?
Exercício de fixação
Estudaremos agora a média aritmética para dados agrupados.
Quando os dados estão agrupados numa distribuição de frequência, usamos a média aritmética dos valores (x1, x2, x3, x4,..., xn) ponderados pelas respectivas frequências absolutas (f1, f2, f3, f4,..., fn). 
Média Aritmética Ponderada
Onde i varia de 1 a n
Calcule a média das idades da tabela 1
Exercício de Fixação
Idade
Frequência
4
4
5
6
6
6
7
4
Tabela 1
Calcule a media de idades representadas na distribuição de frequência da tabela 1.
Calculo dos pontos médios (Pm) das idades
Pm = (Li + Ls)/2
Ex. (18+21)/2 = 19,5
Exercício de Fixação
Idades
frequência
18 |- 21
9
21 |- 24
12
24 |- 27
12
27 |- 30
17
30 |- 33
16
33 |- 36
14
36 |- 39
11
39 |- 42
9
Tabela 1
A média de idade das pessoas deste grupo é de 30 anos
Exercício de Fixação
Tabela 2
Idades
frequência
Pontos Médios (Pm)
18 |- 21
9
19,5
21 |- 24
12
22,5
24 |- 27
12
25,5
27 |- 30
17
28,5
30 |- 33
16
31,5
33 |- 36
14
34,5
36 |- 39
11
37,5
39 |- 42
9
40,5
A mediana de um conjunto de dados é o valor que ocupa a posição central desses dados, desde que estejam colocados em ordem crescente ou decrescente, ou seja, em um rol.
E necessário, entretanto, observar que a quantidade de dados pode ser par ou ímpar. 
Sendo ímpar, o valor da mediana é o valor que está no centro da serie
Sendo par, a mediana será a média aritmética dos dois valores que estão no centro da série.
Mediana (Md)
Exemplo1:
5 , 8, 4, 6, 7, 3, 4
1º passo: ordenar os dados
3, 4, 4, 5, 6, 7, 8
Quantidade de números é 7 (impar)
Md = 5
Exemplo2:
5 , 8, 4, 6, 7, 3, 4, 3
1º passo: ordenar os dados
3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8
Quantidade de números é 8 (par) 
Md = (4+5) / 2 = 9/2 = 4,5
Mediana (Md)
Qual a mediana da altura dos alunos, cujos dados estão listados na tabela ?
n = 50 (par)
25º e 26º elementos
Md = (170+170)/2
Md = 170 cm
Exercícios 
Qual a mediana da altura dos alunos, cujos dados estão listados na tabela?
Os dados estão agrupados em classes.
 
A = Ls-Li 
A = 172-169 = 3
Md = 169+1=170
Exercícios
Como você percebe, andando na rua, que uma roupa está na moda?
Você percebe isso porque vê muitas pessoas com aquela roupa. 
É uma roupa que aparece com muita frequência.
Na estatística, nós definiremos moda como sendo o valor dos resultados de uma pesquisa que acontece com a maior frequência
Moda (Mo) – Valor Modal
Nas distribuições sem o agrupamento em intervalos, a simples observação do valor da coluna da frequência, revela qual é a Moda
Exemplo da tabela
Nota 7 ocorre 10 vezes
Exemplo de Cálculo da Moda
Tabela de Notas dosAlunos
Notas*
Frequencia(f)
3
1
4
4
5
6
6
9
7
10
8
9
9
5
10
6
Nas distribuições com o agrupamento em intervalos, pode-se usar o método de King
Exemplo de Cálculo da Moda
Fórmula de King:
fpost = frequência da classe posterior à classe que contém a moda
fant = frequência da classe anterior à classe que contém a moda
A = amplitude da classe que contém a moda
Li = Limite inferior da classe que contém a moda
Exemplo de Cálculo da Moda
Sendo conhecidas a média aritmética e a mediana de uma série, é possível obtermos o valor da moda pela aplicação da fórmula de Pearson
Pode ser que uma série apresente mais de uma moda. (Plurimodalidade)
Causas: dados pertencentes a populações diferentes, insuficiência de dados, quantidade inadequada de classes
Dica Importante
A significativa importância das medidas de posição está no fato de permitirem reduzir as variáveis de uma série estudada a um ou mais valores. Isso é possível, pois, como você viu, elas nos permitem estabelecer os valores médios.
Para realizar tal processo, precisamos trabalhar com a média aritmética simples, no caso de dados não agrupados, e com a média aritmética ponderada, quando utilizamos dados agrupados. 
Síntese
Livro Estatística Aplicada a Todos os Níveis
Pag 71 a 75
Questões de Revisão
Separatrizes: São valores que ocupam determinados lugares em um distribuição de frequência
Quartil: dividem a distribuição em 4 partes iguais 
Decil: dividem a distribuição em 10 partes iguais 
Percentil: dividem a distribuição em 100 partes iguais 
6. Separatrizes
Qi = quartil i = 1,2,3
Q1 = 1º quartil, valor situado de tal modo que uma quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
Q2 = 2º Quartil = Mediana (Md)
Q3 = 3º quartil, valor situado de tal modo que as três partes (75%) dos dados são menores do que ele e uma quarta parte restante (25%) é maior.
Quartil
Onde temos:
LiQ = limite inferior da classe do quartil
AQ = amplitude de classe do quartil 
fQ = frequência simples absoluta do quartil
faant = frequência acumulada anterior à classe do 
 quartil considerado
F = somatório de todas as Frequências da Tabela
Quartil
Em um acampamento escolar, foram obtidas as seguintes estaturas:
Calcule o 1º Quartil (Q1)
Exemplo
Exemplo
Para calcular Q1 temos que descobrir a classe em que está o valor do primeiro quartil
F/4 = 54/4 = 13,5
A2 = 136-128=8
F2 = 12
Fa2 = 6
Li2 = 128
f fa Pm 
Di = decil i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9
1º Passo: Identificamos em quais classes estão as partes do decil. 
K = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 
2º Passo: utilizamos a fórmula, com os dados
LiD =Limite inferior da classe DK
AD = amplitude de classe do decil 
fD = frequência simples absoluta do decil
faant = frequência acumulada anterior à classe do 
 decil considerado
F = somatório de todas as Frequências da Tabela
Decil
Em um acampamento escolar, foram obtidas as seguintes estaturas:
Calcule o 4º Decil (D4)
Exemplo
Exemplo
Para calcular Q1 temos que descobrir a classe em que está o valor do primeiro quartil
F/4 = 54/4 = 13,5
A2 = 136-128=8
F2 = 12
Fa2 = 6
Li2 = 128
f fa Pm 
As medidas de dispersão (ou de afastamento) são medidas estatísticas utilizadas para verificar o quanto os valores encontrados em uma pesquisa estão dispersos ou afastados em relação à média ou em relação à mediana.
São medidas que servem para verificar com que confiança as medidas de tendência central resumem as informações fornecidas pelos dados obtidos em uma pesquisa.
6. Medidas de Dispersão
Imaginemos, por exemplo, duas pessoas que tenham se submetido a um teste.
Suponhamos duas situações diferentes:
a) as duas pessoas tiraram nota igual a 6,0;
b) as duas pessoas tiraram, respectivamente, nota
2,0 e nota 10,0.
Nos dois casos, as duas pessoas obtiveram média igual a 6,0. 
Em a) os dados se concentraram sobre a média
Em b) os dados dispersaram-se (afastaram-se) da média
6. Medidas de Dispersão
Amplitude Total (Intervalo Total)
Amplitude semi-interquartílica (quartil)
Desvio médio
Variância
Desvio Padrão
Medidas de Dispersão Absoluta
Medidas de Dispersão Absoluta
Amplitude Total
Medidas de Dispersão Absoluta
Quartil
Medidas de Dispersão Absoluta
Desvio Médio
Medidas de Dispersão Absoluta
Variância
Medidas de Dispersão Absoluta
Desvio Padrão
3.5 – Variância 
3.6 - Desvio Padrão
3.7 - Coeficiente de Variação
7. Medidas de Dispersão
4.1 - Assimetria
4.1.1 Definição
4.1.2 Determinação
4.1.3 Aplicação
4.2 - Curtose
4.2.1 Definição
4.2.2 Determinação
4.2.3 Aplicação
8. Medidas de Assimetria e Curtose
O aluno deverá ser capaz de:
Conceituar a teoria das probabilidades
Definir experiência aleatória
Definir espaço amostral
Definir eventos
Definir evento complementar
Interpretar o axioma da probabilidade
Calcular a probabilidade de eventos através do axioma.
9.Probabilidade
Definição Axiomática de Probabilidade
5.1 - Conceitos Básicos
5.1.1 Experiência Aleatória
5.1.2 Espaço amostral
5.1.3 Eventos
5.2 – Definição Axiomática de Probabilidade
Livro: Estatistica Aplicada à Gestão Empresarial
Adriano Leal Bruni
Capítulo 6 - Probabilidade
Sugestão de Leitura:
http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php
http://www.brasilescola.com/matematica/probabilidade.htm
https://pt.khanacademy.org/math/probability
9.Probabilidade
O aluno deverá ser capaz de:
Conhecer os principais teoremas sobre a teoria das probabilidades
Aplicar a teoria do complementar
Calcular problemas envolvendo probabilidade através da soma
5.2 - Definição Axiomática de Probabilidade
5.3 - Teoremas:
5.1.1 Definição
5.1.2 Soma
10. Probabilidade da soma
Conhecer os principais teoremas sobre a teoria das probabilidades
Aplicar a probabilidade condicional
Calcular problemas envolvendo probabilidade condicionais
Definir eventos mutuamente excludentes
Definir eventos independentes
11.Probabilidade condicional
5.2 - Definição Axiomática de Probabilidade
5.3 - Teoremas:
5.1.1 Definição
5.1.2 Soma
5.1.3 probabilidade Condicional
5.1.4 Independência de Eventos
11.Probabilidade condicional
O aluno deverá ser capaz de:
Escrever o teorema da Probabilidade Total
Escrever o teorema da Probabilidade de Bayes
Calcular problemas envolvendo Probabilidade Total
Calcular problemas envolvendo Teorema de Bayes
12. Teorema da Probabilidade Total e Bayes
5.2 - Definição Axiomática de Probabilidade
5.3 - Teoremas:
5.1.5 Produto
5.1.6 Bayes
5.1.7. Aplicações
12. Teorema da Probabilidade Total e Bayes
O aluno deverá ser capaz de:
Definir distribuição de probabilidades
Aplicar a distribuição binomial em casos práticos
Calcular problemas envolvendo Probabilidade Binomial
5.1.8. Função de Probabilidade Binomial
Distribuição de probabilidades
13. A probabilidade Binomial