Topicos de informatica_Unip 2013

Prévia do material em texto

i
!
" ."~.=-->-."""""m·"_·." ~--------- __ .I.J.
. '.. :;.\SOdOld SOPplaX3 - SOp!f\IOsatj SOPPJaX3 - epOal
-
~-"""--a."
-.;-r."W'i"' • ,.._~.p".
·)~j."'i\NHO:lNI30 SOJldOl
- . I
II I,.
I
"
.'\
ópicos de
Informática
Teoria
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
Tarefas
Mirtes Vitória Mariano
Christiane Mazur Lauricella
Alexandre Daliberto Frugal!
-"._-.- ..--_ ..-.--.._._._----_. y••
íNDICE
CAPíTULO 1: EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1, Cálculos algébricos
2, Operadores aritméticos
3, Planilhas, células e fórmulas
4, Funções matemáticas
Tarefa 1: Expressões Numéricas
1
1
1
2
3
5
CAPíTULO 2: FÓRMULAS E APLICAÇÕES
1, Fórmulas e Aplicações
Tarefa 2: Fórmulas e Aplicações
9
9
15
CAPíTULO 3: MATRIZES
1. Definição
2. Soma de matrizes
3. Multiplicação de um escalar por uma matriz
4. Multiplicação de matrizes
Tarefa 3: Matrizes
23
23
23
26
29
33
CAPíTULO 4: FUNÇÕES
1. Definição
2. Representações de uma função
3. Assistente de gráfico
Tarefa 4: Funções
37
37
37
38
47
CAPíTULO 5: FUNÇÃO DO 1º GRAU
1. Equação e gráfico
2. Retas que "passam pela origem"
3. Retas paralelas
4. Exemplos
Tarefa 5: Função do 1º grau
53
53
53
56
57
67
I'"
CAPíTULO 6: FUNÇÃO DO 2º GRAU 75
1. Equação e gráfico 75
2. Raízes da função do 2º grau 76
3. Vértice da parábola 77
4. Cálculos das raízes e do vértice com "fórmulas eletrônicas" 78
5. Construção de gráficos de parábolas 81
6. Funções do tipo y=a,x2 84
Tarefa 6: Função do 2Q grau 87
e
CAPíTULO 7: FUNÇÕES SENO E COSSENO
1. Circunferência Trigonométrica
2. Gráfico da função y-cosx
3. Gráfico da função y=senx
4. Variações na amplitude
5, Variações no período
6. Tabela de exemplos
Tarefa 7: Seno e cosseno
93
93
97
103
109
110
113
115
CAPíTULO 8: FUNÇÃO EXPONENCIAL
1, Função exponencial de base a
2. Função exponencial de base e
Tarefa 8: Funções diversas
123
123
125
131
CAPíTULO 1: EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1. Cálculos algébricos.
Diariamente "fazemos contas": calculamos o troco quar«:
passagem de ônibus, estimamos nossos gastos mensais, tentau
pouco a cada mês...
Podemos fazer "cálculos simples", como 7.10=70, ou resolver
numéricas, como 21.{[5.cos(n/6)+47].(5/11-2/3]+2/5}. 1\1",,'.
devemos respeitar as operações (somar, subtrair, elevar u,,', I[ i
determinado expoente etc) e os parênteses, colchetes e chaves
Dependendo das operações algébricas, precisamos de lI'r1d "iiJU
calcular ou até mesmo um computador para auxiliar nas "contas
também utilizar os recursos de uma planilha eletrônica para ,;-("
algébricos, resolver equações, operar com matrizes, reCO'Ho'
numéricas e apresentar gráficos.
2. Operadores aritméticos.
Os principais operadores algébricos são os citados no quadro ''>:) , .
Operador Algébrico Símbolo1
ADIÇAO + .
SUBTRAÇAO -
MULTIPLlCAÇAO * I
DIVISAO /
EXPONENC IAÇAO 1\
.J _
Os "níveis" de prioridade da execução das operações algébricas são:
• Prioridade 1 - Exponenciação.
• Prioridade 2 - Multiplicação e Divisão.
• Prioridade 3 - Adição e Subtração.
Os cálculos são realizados segundo os níveis de prioridade listados mas, com
o uso de parênteses, você pode estabelecer uma "nova" prioridade de cálculo.
3. Planilhas, células e fórmulas.
O "ambiente" no qual resolveremos as expressões numéricas (no Excel) é a
planilha eletrônica, composta por 16.777.216 células, dispostas em 65.536
linhas e 256 colunas. Cada célula é identificada pelo seu "endereço" (por uma
coluna e uma unha). Na figura 1.1 está identificada com "X" a célula de
endereço A1.
..:..~"..:I' iL_· A_~.~~._:-'..'{::":"','" ~-~-1
Fig. 1.1: Identificação da célula de endereço A1.
Para calcular o resultado de uma expressão numérica, você deve inserir uma
"fórmula" na célula. A digitação de uma fórmula deve iniciar com o sinal de
igual (=). Por exemplo, para exibir o resultado da expressão 53+2.1'3_8.(4/5-6/7)
na célula A1 você deve digitar a seguinte fórmula: A 1=5"3+2*7"-3-8*(4/5-6/7),
conforme ilustrado na figura 1.2.
=5'" 3+Z7A -3-8>\'(415-:6/7)
Fig. 1.2: Exemplo de fórmula inserida na célula A 1.
2
.~
Ao acionar a tecla "enter", o resultado exibido em A1 será 125,46. Caso vocé
não introduza a "fórmula" com o sinal de igual, a informação na célula será
considerada "apenas texto". Ou seja, sem o sinal de igual na "frente" de
5"3+2*7"-3-8*(4/5-6/7), ao teclar "enter" não aparecerá o resultado 125,46. Na
tabela a seguir, encontram-se algumas expressões numéricas e as respectivas
fórmulas.
Expressão Numérica Fórmula
2[30. (1/6-10)-4°] =2* ((3"5)* (1/6-10)-4"3)
2.[3°.1/6-(10-4J)] =2* ((3"5)*(1/6)-(10-4"3))
2 .[3o.\lIb.l0)_4°J =2*(3"(5*( 1/6-10) )-4"3)
13+52 =3"(1/2)+5"2
)3+52 =(3+5
A2) A( 1/2)
13-V3 =3A(1/2)-3A(1/4)
2/Vt1 +2/5 =2/(4"(5/3))+2/5
)125-V2 =(125-2"(1/3))"(1/2)
n/,;; m/
Lembre que: '[a'" = a/li, .c: 31 ?G li~23=2/4 e.J3=~31=y2 r:
4. Funções matemáticas.
Algumas das funções que serão estudas estão sumarizadas na tabela abaixo.
Função Sintaxe
Cosseno COS(argumento)
"-Seno SEN(argumento)
..-
Exponencial de base e -Ó, EXP(argumento)
Logaritmo neperiano LN(argumento)
3
J
Comentário: o argumento pode ser um número ou uma referência a uma
célula (à qual esteja atribuído valor numérico). No caso das funções
trigonométricas, o argumento é um ângulo em radianos.
Para calcularmos o valor da expressão 5.{[7.cos(n/3)+27].[ 1/3-4/5]+ 12/7},
utilizando recursos do Excel, podemos inserir, na célula A31, a fórmula
=S*((7*COS(PI()/3)+2f17)*(1/3-4/S)+12/7), conforme ilustrado na figura 1.3.
~~OMA" , ..... ":":.-iX;'~;";- ';;S*((Y'COS(P10/3)+2A7)*(1/3-4/5}+12J7)
1··::\··,;:/····;·/····· v-.
~~EXP.esSãO.Numé#.iea:· \ -~·T-·_·f··
1....301 . I,--.----.--------t------------T-·.,I:-31:1 =5' ((reo S(P I(ti 3)+2"7)'( 1/3-4/5)+12m[~:~:~=~:~~\:==:~=---~:-:]:-:.~-:32 I I_. '. ...._, __ • ,_ ._ •••• 0'0 _ ou' _ 0.0 I .... 0.0 •••• _.1 o ••••• .1
Fig. 1.3: Exemplo de expressão numérica no Excel.
Acionando a tecla "enter", exibe-se o resultado da expressão, ou seja, -298,26.
Comentários:
e Lembrar de tntroduzlr as fórmulas em células com o sinal de igual;
Usar apenas parênteses (não usar chaves ou colchetes);
A função que "retorna o valor de '/tu no Excel é PIO·
• O "significado" da função cosseno será discutido no capítulo 7.
f\la tabela a seguir, estão expostas algumas expressões numéricas e as
fórmulas a serem digitadas em células do Excel para a sua execução.
~ Expressão Numérica Fórmula no Excel
I-~- =2*(SEN(3115-4f13))2.sen(3 -4 ) .-
5.e3 =S*EXP(3)
2. [3ó.(1/0-1°)_ln5] =2*(311(5*( 1/6-1 O))-LN(5))
-- •.•,~-~ ...•.~••.••~~...,."....<.,.....,.~,.- --
,~
~
;,J'~;i1l{~'\~~;í~~'(t~~~mr.~'1."%,~f~~~,·l~~~~·0{l1~~~.:i4'=L~K~~~V~~~h~~~!:~~)Ç'':'if'' :~J~~~~~~2:JitY~:'?:.~~::;;i.'~:~~~~<."·",
~~~i:il'~Jloa::8!:U!!E!~.o'.V~:!l;'tall.lM!:~~~,Z~"llCtilS.'iftiS:'t~IJr.!'>Yil:;:S:T. ..."""";'.:!~.'.:::::,':;.~',~,:.'.:;:~:.'.
Tarefa 1: Expressões Numéricas.
INome:
INúmero: U ITurma:
7
1. Ana e Luiz deveriam resolver a expressão 4 + 2 + J3 com () éll.i.<'i!i
planilha eletrônica. Na figura 1 abaixo estão mostradas as expres:C:(J!
pela Ana e pelo Luiz.
':::(;Ú~.:'::'):tj},~,;;~~;:Ú~~d~é~~~á~~;~~j~·.",.i;<.;~:i~':'::):{::';i ;x~:,~,:.'!~\I,~~·,..\;;~::,.~;;;~.,.:;".:;.~~i:;t.·:s..._._...~._ ..
Expressãodigitada pela Ana =4+ 7f2+(3YC1/2}:
Expressãodigitada pelo Luiz =4+ 7fC2+(3}"(tí2))
..,
Figura 1. Expressões digitadas para resolver 4 + 2 +~7';'
Ana e Luiz obtiveram os mesmos resultados? Em caso negativo, que!;
obteve a resposta correta? Justificar a sua resposta.
'1
t
1\
.~~.~;
'r:;;
tj;
:'1'\
{,~,
·;1~
iJ t\
'1 .:«:il f(j;;7
'1 '
\1 ' li II (CL'
~
tI
ij
\
.~[
. ;
i{
h .'~,II.s
.{.):
,- 1
.:I U
:""J J".. J.' '. ~,'"~§ • f !~
o. "~J. - \!;\
.~.
~;:
~~"".
f\: .~~}í "j""""
I
b"~i:;'!\!.~'l·.;o;..::::t!,rJ:-':~':í,-":'~".1.~J:rl.;·.i~~~:.~.-..:;,,:.:;:r:.:~.:~..:-,~}:;;,<,,~~~••1.'>!.\·f.'J.:.:i21~4:"'~1
ilmfr~fit~~~~1m~~~ji~~1~,~g~f~~~?~~t~~t1f~[~~~l~If~~
~l',C~;:::~;.:,~,.~l'X~'::'i;-: ;~::.:";..:;;~ ...;;; '~'," ...
!~i1.'.'';:'hP/",;or,,::'':I_W~t~~l;'''\'l.1á~wr.:llJj!;.7.::-..\!:!r.:n.'7.!:~ .•.;':''''"~.J".JL'lZ!\<t.!:.!i!:.N.!.~&>:!ll=!;'i!.:11'~lIt.'~'r~Z.-{."!.~r,:,~i!"~lõll~~~rqIiJ'"'7~,~'!;.i}~~rr;'.;~.o.~~n~·-;.:'/",,:;PJYt:::lr.f:;;'
i~ 2, Completar a tabela a seguir com as fórmulas a serem inseridas em células
,i de uma planilha eletrônica.
,I
i.,: u
[:!
tI
r:j
;J
H
I~
rl
(;
:,i
"
Expressão Numérica IIFórmula
~a) 6 -8-1/3
',11 b)~
c) 5,35_62
d) 5.(35-62)
e) 5,(35.62)+12/32
f) 5.(35-f})+ 12/(§'.2)
g) -!5
h) J.fi2
i) ~h2-1
-
j) ifi2-1
k) 8+sen(3,1t)
~t~
r) .J7 _e2
r:
I) 8+sen(3.1t+ 1t/2)
/,i
".-
'f;
c:
'"L:
m) (1+518).[5 .2 .(2-215)] I -- _u
========111
n) (2+7/8)3,[S4_2a(2-1/4l]
~! o) 27/8-[53.(2~2/5)j:Cos(1tJ2) 111~1 ~===_~=====~!I
p) 3-S.~S" -12 I
q) )125 - .J0.
,/'}"
~l'~
-----~----------------------------_ ...--...•.•~
~~?:I):l5G"~Ib-~.4J~~~~!,q.L:.m~.m:;:,%1>.':"Ã'J'.z.:'ôi:3ii,.<;;':"',,""!w~~~~j,!;",ú!:;'<9;w:r.;j~~>%J:,§~;fiJ~!NI~~·:a"_~.'lo'i!l'I,j.':T,t::<'a.
) ~~':CO$(~~H~~" C I I
I i~
~ ~~
!
u) 3,eÜOS~3-í751 ~--_. - I ~
I ~lr
I v) 4.[2ô,(17:1)-ln4] ======~=====911 ~
w) 4,[2-lnW-5)) r- I ~
~
I';I' ~1~
'1ft Im'.:·: r ~t
~IIIô! ,'.: ~ ~E'i >jL ~ ~L III
~j
;1
!i
. . rllU!;j ..~:; 1, li~: ' . ~',. rI
!-i
(1
\1
M '.
z) 1/5-(1/6) ,ln2+3
~
~
'j
~
'J
n
x) In7-cos(ln5)
y) 1/5-1/(6.ln2-4)+3
li
;~i
ij
;~
:~
3, Elabore uma tabela que sumarize os operadores e as funções estudadas, ~
'::.~
com seus respectivos "símbolos". J
j:,
Operador/Função Símbolo .~
-\
_~~~I! '..-!
'j ,>
\j
f1
H,':
:J
;~,I
~l
'~i
~:~
~)
fin
~j
~l
~
~l
~i
!l
l~':ur
i
11
;,1
n
~t~">;.L'"Z~',o..:::.t,,,:":_:~O:,~ ..;"·;_~;O::-':;.·:~':-:'·:~l."i·,,.i ••,;<,;..:::,;;,.n; •.~:.!.':::~.:.::."t:·""~•.:;;:;::~\-:.:~,:;::t.(.;;'..$.:~er.'Ht
: i-
I
1
1
;~I
-: ;.•..~.":::.. (:,",~~-:::r~;:,:.:'::J'i ...· 'i.:',-:.:.í_il;.:..:ti.; ,;~~":';;,.·..':l:;;-i~b.}'-:<~:~~,';':~'::;.':-'.:;.,'.. ,I~::·,Z,·_'.:H
~~Th~~~..::::::!::~:!:~~:~~~~~:~~~!!!!:~!=:~!~~:!!!~!:::~!!~~~:!::!!l~.riÍ
il I
:; I1
II l'
~ I
'1 i\
ri t
>I !
:i f!i~
l~!
l'~'
"l;
li
~rj
~1
~
\1
P.
"
I
:~.j
:i
~
L-
"l)'
~I
'\
:1
l'l
;.1
'1
:~
'i
::1
..
CAPíTULO 2: FÓRMULAS E APLICAÇÕES
1. Fórmulas e Aplicações.
APLICAÇÃO 1. Dado o valor do lado de um quadrado (em Gl!, i
sua área (em em").
A área de um quadrado é calculada pelo valor do lado
quadrado. Podemos utilizar o formato de planilha ilustrado na
; ;: ;:~. 0'0 ·>:··,'i;\~~:.~~};~~{!~:t\;-0:~:~~;!ii;A~;~~í~:~,:;l::;A*i~!~.!;!R:~.i;:;'fl~>/(;;:rçL::~·.>:I~'
19;; I __._+I;:::;AR:I?A;ºei,\i!M;{ª-\:.IA[jJ:~ÂDO;; ~. --1-
II~ÇJii;o-ladOdo. qua{]r;dõ-(e~'!:!..!=.!!1il L
'::23,~ L-.....lmi.;Área do~~;;:d;;~Te~-'~~n~2):~~:'---L-J:
Fig. 2.1: Área de um quadrado.
Procedimento:
• Atribuir valor à célula 822 (que representa o lado do qUrl.0i'óe:,·
exemplo, 20 em.
-Inserir a fórmula =B22"2 em B24 (vide figura 2.2).
• Acionar a tecla "enter" para visualizar o resultado da área ,:i'J
-w-P- .', ",'. A _. . 1 . B li
2glÁREAOEUMQUADRADO i.;
21 : I
22ºTg-il~-~~~_~!Lo-'~~~~~J~~;~~~il20l.
~. i'
,.24' Ár~;-d'~~ãd;;d~-(~;;;-~;;~;2)~ .--._.. =822"2_. __ .. _. . . . .•... w
Fig. 2.2: Fórmula para cálculo da área de um quadrado
Observe que a "entrada de dado" é o valor atribuído à céluu
caso, 20 em) e a "saída de dado" é o valor calculado pela tórrmu
em B24 (no caso, 400 crrr). Se alterarmos o número associao«
teremos a respectiva mudança no resultado exibido em 824.
9
;~...
APLICAÇÃO 2. Oados os valores do raio (em cm) e da altura (em cm) de
um cilindro, calcule a área lateral do mesmo (em em").
A área lateral de um cilindro é calculada pela "multiplicação" entre o valor
do raio, o valor da altura e o "fator" 2.1t (ou seja, é o produto do perímetro
da base pela altura do cilindro). Lembre que o "n do Excel" é dado pela
"função" PIO. Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.3 .
•'" , "C'A'Y ••••,.cr2i~;,i'B<' ..~2~ 1
:'29· A.REA·LATERALDEUMCILíNnRO[:==~~~_i~~
30: I I .
~
=--"---------,, "--f:~-:.31. Digite o raio do cilindro (em em):~ ._----_.'--------_ .._--". __ ._- ..
3Z 1~=~~:~~~~::~~~I~. ,
Fig. 2.3: Área lateral de um cilindro.
:-.
-:
.'.',
. ).~
Procedimento:
• Atribuir valor à célula 831 (que representa o raio do cilindro), por
exemplo, 15 em.
• Atribuir valor à célula 833 (que representa a altura do cilindro), por
exemplo, 12 em.
• Inserir a fórmula =2*PIO*B31*B33 em B35 (vide figura 2.4),
• Acionar a tecla "enter' para visualizar o resultado da área lateral do
cilindro (o resultado será 1130,97 cm2).;r "'A· r·R' \:
i~AREALATERAL DE UM CILlNDRO[~=--~-_=~_=.~=.=~-~]!
" 30' ! i
I.',~~',~~=~~~~~~f~~~~=~i~~~~:~~:~~~~21.C~~~.F=-15~:
3:r Digite a altura do cilindro (em em)~, =121"34 --------------'---""------1 -----,-
1$, A7~~-I~-;~~~iOCiii~dr~(;;;·~~-:;-2):""'·=2*P I()'B 31"8 33-
----_._-----'_._-"----._--"--,-----,,,,------ Y'
Fig. 2.4: Cálculo daárea lateral de um cilindro.
i~,
10
L
APLICAÇÃO 3. Oado o valor de um ângulo (em graus), calcular o seu
~:
cosseno.
Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.5.
~~"",~\lili~<~;i~~'{.~~:_~
{~;?':o;g~-~-úm_ângul~emQraus:-, l_H H_ -jJ
"'4~' =LI
iÇ1~·;:~~~~~~~Ji~j~=[ dJ
Fig. 2.5: Cosseno de um ângulo.
Procedimento:
" Atribuir valor à célula B40 (que representa o ângulo, em graus), por
exemplo, 60 (graus).
• Inserir a fórmula =COS(B40*PIO/180), sendo que o "fator" PI()/180
transforma o ângulo (inserido em graus) em radianos (vide figura 2.6).
• Acionar a tecla "enter" para visualizar o resultado do cosseno do
ângulo, que, no caso, resultará em 0,5.
37:', _' _". ,, .__ ""_,, ""~_
3é\ ..___ .. __ . _'"_.~" .••••• .... "..,,_.._"" ""+_
39 I I
'40 Q!~~e~~~~..0_g~I;-:~~~@~;~:-·"=C ~_-
4,1 " . ..._.. .. 1 I
42 Cosseno do ângulo digitaclo: =COS(840'PI()i180)
--.----------------'----"., '1'-
Fig. 2.6: Cálculo do cosseno de um ângulo.
APLICAÇÃO 4. Dados dois números reais, elabore uma "calculadora" que
realize as seguintes operações: soma, subtração, muitiplicação e divisão.
Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.7.
{~
11
I
;'
Comentário:
A função "SE" utilizada na fórmula em 859 estabelece uma' CONDi;
para que a divisão dos dois números seja efetuada: se o dcno: '''i'.; .
(valor atribuído a 851) for zero, "aparecerá" ° texto "Impossível ,·il.;':
zero", senão será feita a divisão., Observar o uso dos parên;r<;."
ponto e vírgula. De modo geral, a sintaxe para a função SE é:
=SE(Condição;Verdadeira;Falsa). -; " ':c. ( ;,,:'
Ou seja, dada uma condição, propor primeiramente as instruç'-;s~
caso da condição ser verdadeira (se for uma mensagem de t(:,l·
"Impossível dividir por zero", usar aspas), Em seguida, iJ''':'
instruções para o caso da condição ser falsa.
t'.;l~:r·;:"i;;;(;.,,;.;'.:-~.,;;;:.'\':-;A05~9~:8r\~~~~'H!€~":~lt
~I "CALCULADORA" L~---.------~~l...=
,48. j-I -j
49 piii~-0:-;;;-~~~~~ca.L_=_===J L'
.';~~,f?~!!~_~~~I~~-'~_~e.~~.J~I__=~-__=~~::1 I~,:,
~ iciiii'i.I~~-~-~-r_o..-sJi~EI_:--_-==~~J I=!
;;[i4. . . . J I
';'5!( Subtração dos números(a-b}: I I
~::~~~,~~~~~~·~~~~=-II
}~.;Qi:'i.f!~(~_!!()~~:~.J.~ÊL... 1 1-1
Fig. 2.7: "Calculadora".
Procedimento:
• Atribuir valores às células 849 (por exemplo, 8) e 851 (por exemplo, 2).
Inserir as fórmulas (ilustradas na figura 2.8):
-/ 853=849+851,
-/ 855=849-851,
-/857=849'851,
-/ 859=SE(851=O;"Impossível dividir por zero";849/851)
G Acionar a tecla "enter' em cada "entrada de fórmula" para visualizar os
resultados.
I---·-~A:----C:-;~-· B -li
.~4GI . l. ----..1:~~i~~~~~~!~-~[:B5'::-~::==::. ··-1
54 , i
}I~0~ti~.i~õj.~~:!i;i·~1~~~E~i~~J=849-851 i
56 ! i
~57!~i.~I:ife!i~:~ç:ii~1~i.0_ú!;i~~O~~~_biJ-B49·B51 r
58 i i
'RP.f;!~_~.~~:i~:;,Cr~l~ii~.(a.;bf:~~~~J-SE(B51=O:"lmoossivel dividirDor zero":B49/B51) I.
Fig. 2.8: Fórmulas para a "calculadora".
12 13
:~
'1'
:'
r="'~'"",".~:::':~;~:!:~~~!:::!.:!!.~~;:::~::~:!::!:!~~!:~;~~!~:~~::;~;:!!:~::!~!!:~!;;!~!~:~::::::;E::,··:';;'i81~~
Tarefa 2: Formulas e Apllcaçoes. . :;;.t, i
IN~me, j i~.
Numero: ITurma: :;' i~~;
~1!~
1. Dados três números, desejamos calcular a sua soma e a sua média :i t;';1
:.1 :.(;;~;
arit~ética. Para tanto, considere a situação proposta no trecho de planilha ::l ~j
ilustt ado a seguir. H i'i!;
r~~r~.<,,;!,t.;\'';:~~~(:;}''~ititõ..~Jl?''_;(ú;;r"r.;';;ia'~;;.n,f*~~~i\(\~~.\1!i}jj~~11~tf~~: i! ~ti
.[..+:::. Soma.e ~Ilédia Aritmética de Três Números N t@.l
·2:,··-----····--··--·,-- ..··--·-·---·-·-'r··"--"--,,·--~,= iJ dlU
'2': Digite o primeiro número: . f~...., __.1
,)t~;,Digite o segundo número: :1
5' Digite o terceiro número: j
"'6:~Soma: :~
>;: rvlédia aritmética: ':
':.!
!~
:!
.'
~(
~;';
-s
~.
J.
.:\
:~
:,"
~~:,1
}
:.l~
"o
",
J'.;{
,.,;-
.,;.
i."
;~.
{
:;i
;"
t~•.
',!(
J.:~
~~~
'~i
H
11
Sendo atribuídos valores à célula 83, 84 e 85, escreva as fórmulas a
serem inseridas nas células B6 e B7. Simule os resultados de soma e de
média aritmética para os números 1, 5 e 12.
'.;.,..~
;1
:,[
I
;:j
;:j
~!
.~
l4 "'~
.c: ";, ::~·...A'.·.::~:).;,l.::;: ..•.·:·.;~.,·!!.H;':,::.:;!;'!~::".;;.:.]"".J.!:-":::.:: ;";.:.-:-:;{;,~'..'.::.\::-:';."" .~.,.:'••;\~ ".'.' :: ,,-:..'.·.l.;I.'.•..~."'... ':-':';'.' ; ..•.,-:"'.::'. '.' '~.'1.. :.;.'r.~..Y".;~·.~ :::'
.I
~~1'J:I<~,'t'"",::.w:..~~.l'"!.':"7.:'t~~~;::tt:l.o'1:>1:o!:-~':"-';:l~•.:t;n-:lVlZ7~"':i::~~~art.U-"','t.:I!~-:.'it.'l~Jl:;J;\."Ull~ll'~,ZiTiID'Il!;tli$!~~;m"t>l{Jtj,,'UlJ;;'".afj~:t;r.r,;'{N'Ill'.'l.'I"mi::;'~UJJlS'
~ 2. Dados três números, desejamos calcular a soma dos seus quadrados, o
íl
l) quadrado da sua soma, a soma dos seus inversos e o inverso da sua
I'
I! soma. Para tanto, considere a situação proposta no trecho de planilha
iJ
II
[~
«
i:'l
"f1
i;jr~
ti
li
i·i
~
11
~
fl,I
til~
"-,g~
':1
ilustrado a seguir.
Digite três números:
y
I:'
;.
!~i
~
o
1:\
~
1.
1~
~~
":
'.0
::~'
i,
~
!
f1
I.~
~"
;~
~::' ";' ~~~~i~~i~~it~I~,.~i};~:::..:·;.~.j.:·~>,
:~~~fl!.·.r,~....r&:'.!I:?~~~ll:It,.:waI.hlt.:t.l3'.r..'\.~~:Ji:'::!J:J",,1'"":til!:O~:..~'\._~;;.:;..r..?-;)'.-I".~':;'.':."'"r:;'1,';;', .• :: .:"
3. Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a S',!,:'!
;:
;{i~~
Soma dos quadrados: .. • _
Quadrado da soma:
Soma dos Inversos: --------.------
Inverso da soma:
Sendo atribuídos valores à célula B5, C5 e 05, escreva as fórmulas a
serem inseridas nas células B6, B7, 88 e 89. Simule os resultados para os
números 1, 2 e 3.
r;}l f!
Seno do ângulo digitado:
___ -_-----r-i
-----i-I
~~I
j~i
?~~
'{..~
)~
II
~~;;~;_~i~
Sendo atribuído um valor à célula B65, escreva a fórmula a ser in~;c:-·";:
célula 867.
1_
l~
~
.::~~~::!';:::r.,:;_..;.,,.;-~,;',~:':':;:,.-:..::.':"..
;;;'fit~)~'d:~~':!~:~~!:~::::~!!::!~?!~:':::~!:!~":!~~!::~~~~~~!~:!:~:~!:~!!:~
';;:J, 4. Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir,
'-"".;
. /~
',.~
:~
".,.,
,,:!
::J.;
i'.'
.:~
.~
.~~.l
~'~;
':.-,:
;;
7~,::+",~;;·~:::{,t;;;t·:i~A~,?;;!2:;':V>i~'~!f~t~:;;:;;;pl~(~Stf.f&!;~f}~;\*~Hf;'},.:'.'-',~
fi
. 71.1 ÁREADE~MRE:;rAN:GÚjj'(}.~r!~I--------·-----~"-
tI!
,,,,
I,
I,
I i',
I
I,,
I
I
I
:1
1
, fI,,, .
: [I'
I t;
", .,
11, ~
,'72--- I
73DigE_~~~~I~~~-d_Ú~tã~~~ulo(em ~-;-"J:---C:: I
174 C: I.----------..-----------.----------------. __:J-
.75. Digite outro lado do retângulo (em em):
]6 ------ ·------------1· I--
I -77'F~19:-!~~~~~~~~==~~~=J:::=:r,
Sendo atribuídos valores às células 873 e 875, escreva a fórmula a ser
inserida na célula 877,
i,-
1,,:-
~
.
I
!:~.
~;j~
il':'
a;::
;é.•~~}~~.::,-;i;·:(:;;;~~~;;,:;,;;;;,,~y?,;~;;~~;;;:y;,;;:;~;i;,;;;;;~;.,~
,'~.':..;::;;.;.r:r-'_"al~j',W;!tJ:;!:::JE:!.Jl7.:.'\;,1,-.a4<:': •.~..:71.\!i.. ••~t": ••~1iu,,.a:ticr/i:I!!iif!:..~~..!4':! ••.,~~.<.!.>:"/:\:;'ll.',,;'i_,~,:;;;;;·!~"_...:t:J.~;lli:.:..,~:.!" ••;r!).",.:·._:;.~\!:tJ,..~'!!~:lI·!:·(.'_,~z:,,-:._:_'.'".;.'.i>'••~-,,:.'.;.,;.~~':;·,~:.:;;:-·_~:,:;.,.,·
5, Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir.
~·~·f;,!i3';';"){;:::r,";~t?.ii(~f,!·~g,WA[;:;j\~'!if;!;\'$if!."; I
)
7.d~f:~W}Wri::\:.<. '~}Ei -,' \".'i ';""i; 1:., r-------·--------------..-l--·
------- "---------------l---
i,~~;á("pJ.gfteum nCirr:!..~-ro: --E' :--r'''84' ~,;iijfii~~i~;~d;.ifi~úmero digitado: . 1=
Sendo atribuído um valor à célula 883, escreva a fórmula a ser inserida na
célula 885, Lembre de utilizar a função "SE" para exibir mensagem do tipo
"Digite sempre um número maior ou igual a zero",
:.':':::'-'''';: :....-.~.
.:·i
..'
;!
:.1
t·!
,:.,
:~
",
,':
:1
':!
~:I
J
·ii
"f~
'I
.;.~
!-
;i
:~
~:"j
.~
,~
Wi:i~v~~~'~~·~~~~R~~$Zi1~~~~15i~~iw.J.~~t~m~j~~jfr~~1~~t~~ii~tIm~~iti~l~~~I~§l~R~!~l$~]~~~Wtfi~~~\;~~t~t~it1}Ji&~ji~~r~~
I""'~'~~llf,,",·,w·'6'.'"C'~~;id'~7;"<~"';i~~;~ã';';";;;~~';;'~'~'t~~~h~"d:'·"~'I;~ilh;ii~;;;;do"';"·;;~eA~i,~~··",·'mno""~~:~itl',~ ;:I
~j:;J ~s~íl~:!
t""~ ,I
li
.".,\1 ':,j,~!,I .
l~ll'
li II
:,11
,i
II
,,-}
!11
:.\
Volume da esfera (em cm/l3):
célula 85 .
Sendo atribuído um valor à célula B3, escreva a fórmula a ser inserida na
~
~
I,
.I
l~~,~
~:
~
i
i,
~
~
J
I,;
~
:!
li
iI
~~
"~~l1\~;?l<~~1iii)a"f"j,~~*J~J~.f?~;f;!,(:W;:;,i;~~;'á:· ...•..,·
·1~~~'1i,~,r;'f·::::lilo~:lt:.~.tüAl)lt:r..Y.:D.i:ao~r..W.~c;;.:w..õI~~~1tt'\.'t' .•.~r~·:v.~l.t.l,~·::11:::r.!'.·.'·.I.~··
7. Dados dois números, desejamos calcular seu produto. Se o ::V"('i;,'
maior que 18, desejamos calcular o dobro da soma. SenEle,'l'
calcular o triplo do produto. Para tanto, considere a situação :""r
trecho de planilha ilustrado a seguir.
cl~~;~!r~~lil.A~~~(~~f~~~~~~~~~!~~I~~~%~~~~~-~~i~?::~J?~\;~..
Digite dois números:
Resultado final:
Sendo atribuídos valores às células 814 e C14, escreva a fónTU!;;
lnserida na célula 815. Simule a situação para os números :3 e 7 .1.
números -4 e 8.
.."",o;;;;;::"\~~;;;:*i';\;~";tii,~;~~~~
·'';;::::i..'.:...,.!'::'.;'irt~'.:':''''''!:.';...ei.·;:.;. _' •• J •••••
f&Yi~~~~~~~~~ttj~~l:~!r~·~:~:::':~';'
L
~f)[~~~~~!~!~!~:;,~!::~~!:~:~:!~~:::~!:!:!!!!;~!!!~~::!::!=::::::!:::~::~::@
i~
-,i:.:
..~
~~j
-- ,,-,
-::j -
.'.
"<;'11
-'i
.,"!
~:~
·i
~
--,
"" ..!
," ..
~j
<>
"j-
::~
>~d
::J::
-.:
ti
I
11.
-'<';:
}~.:
31'
~I
í;
··,;,,~r
CAPíTULO 3: MATRIZES
i, Definição.
Uma matriz de ordem mxn (lê-se "m" por "n") é uma tabela de números
reais dispostos em m linhas e n colunas, Cada número é um elemento da
matriz e é identificado pela sua posição (linha e coluna), Exemplo: Matriz
A de ordem 3x2 (3 linhas e 2 colunas):
A=[_34
12 ~L
o elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz A é o número
3, e assim por diante,
De modo geral, uma matriz A "qualquer" de ordem rnxn pode ser
representada por:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A=
am1 am2 am3
a1n
a2n
a3n
amxn mxn
Um elemento qualquer da matriz A é indicado por aij com i=1 ,2,3,_ ..m e
i=1,2,3, ... ,n. O índice i indica a linha em que o elemento está situado e o
índice j indica a coluna que o elemento está situado.
2. Soma de matrizes.
A soma de duas matrizes A e B somente será possível se A e B forem de
mesma ordem. Se A e B são matrizes de 'ordem mxn, então C=A+B é uma
23
matriz de ordem mxn, onde cada elemento da matriz C=A+B é a soma dos
elementos correspondentes de A e B. Ou seja: C = A + B <=> C Ij = ali + bl] .
Exemplo: Considere as seguintes matrizes:
4J.:..1
O
e B=(~5
-2
-t~(- 3A= ~
A soma das matrizes A e B é:
(
-3) + 7
A+B= 6+ (-5)
2+(-2)
4 + <-6)J (4
(-1) -I- 1 == 1
0+8 O -iJ
Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:
e digitar os elementos das matrizes A e B, por exemplo, nas células 02,
E2, 03, E3, 04, E4, H2, 12, H3, 13, H4 e 14 (figura 3.1);
o introduzir a fórmula =02+H2 na célula 06 (figura 3.2);
•• copiar a fórmula em 06 para E6, D7, E7, 08 e E8 (figura 3.3).
Fig. 3.1: Oigitação dos elementos das matrizes A e B.
24
"1,'
B= . "]'
"oI
Fig. 3.2: Inserção de fórmula em 06.
-,.(1
1
-, :8
Fig. 3.3: "Cópia" da fórmula em 06 para E6, 07, E7, De (~b'
Quando "copiamos" da fórmula em 06 para E6, 07, E7, D8 e l:';:_
"atualização" dos endereços de células no deslocamento ci(:
"para a direita e para baixo". A figura 3.4 mostra os resultado:
correspondentes aos elementos da matriz C.
Fig. 3.4: Matriz C=A+8.
25
.JÍIi.
-G
; 1
i3
, o •• ----i ..
;
3. Multiplicação de um escalar por uma matriz.
Dada uma matriz A de ordem mxn, e um escalar a (número real), os
elementos da matriz B=a.A são obtidos pelo produto do número a pelos
correspondentes elementos da matriz A. Considere a matriz
[
-10
A= 6
2
~3 J e o número a·3
A matriz B=a.A=3.A é:
[
3.( -10)
B=3.A= 3.6
3.2
3.5 J (-30
3.(-3) = 18
3.7 6
15 J-- 9
21
Utilizando os recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:
• digitar os elementos da matriz A, por exemplo, nas células 09, E9, 010,
E10, 011, E11 e o escalar a na célula H1O(figura 3.5);
• introduzir a fórmula =$H$10·09 na célula 013 (figura 3.6);
copiar a fórmula em 013 para E13, 014, E14, [115 e E15 (figura 3.7).
I';:f CA=15;.'1~;;~-~-~-r'GJ3 '17 F
.:~::;..-----===" 2" I .. T '1-~---~F===----1---rJ
Fig. 3.5: Elementos da matriz A e escalar a.
26
=-~~~:=~,~r~l------j' .....---...-.-'-''''''--'1-
;<;.,."r-~=: ":~=~~:==~~:~~~~I='
Fig. 3.6: Inserção de fórmula em 013.
SF·JK-----A; .
ii,~Z"::li~jl;*~~ri~.=~:==::~~t~1
15 ·"'$r.l$:1'O*fD1'.1";'"'-'-'$13I$t0*E:lj'; IJE=-~-=--"'='~~l.~~~~----=~~=~_..~=~_~~-=~L=:=
Fig. 3.7: "Cópia" da fórmula em 013 para E13, D14, E14, D15 e E15.
Quando "copiamos" a fórmula em 013 para E13, 014, E14, 015 e E15,
ocorre uma "atualização" dos endereços de células no deslocamento de
posições "para a direita e para baixo", com exceção da referência à célula
H'10, pois utilizamos o recurso do "cifrão" para a fixarmos. A figura 3.8
mostra os resultados numéricos (elementos da matriz B).
t~ft,"r:"iC~;i!;:;'I;~;R~i1t;,ii:~
Fig. 3.8: Matriz B=a.A.
27
;j..
1:'_·'~"YO.d""'""'."",,,__ ~.,~~,,,~,,~-~" .•_-----,-- ...
Podemos efetuar a soma de produtos de matrizes por escalares. Para
exemplificar esta operação, considere as matrizes D e E a seguir:
[
-3 1.J'5 -]
0=
2 O
e [
-2
E= -5
-2
-~61
A matriz F=2.0-5.E é:
(
2.(-3)-5.(-2)
F=2.0-5.E= 2.(5)-5.(-5)
2.2-5.(-2)
2.1- 5.(-6)J [4
2.(-1)-5.1 == 35
2.0-5.8 14
32 J-7
-40
Utilizando os recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:
•• digitar os elementos das matrizes O e E, por exemplo, nas células 019,
E19, 020, E20, 021, E21, H19, 119,H20, 120,H21 e 121(figura 3.9);
•• introduzir a fórmula =2*D19-5'H 19 na célula 023 (figura 3.10);
tO copiar a fórmula em 023 para E23, 024, E24, 025 e E25 (figura 3.11).
~(i:1,l\i;i~cq;%j(Ylf!IWf~fJ;\~:l;'j)i,;%(~~I'!i~~,i;\:t)@1?;'i(:E
I
Fig. 3.9: Oigitação dos elementos das matrizes O e E.
;'2t
'!22
0'23,
':Zi\i;;\ F=2.D-5.E=
/25l;---
Fig. 3.10: Inserção de fórmula em 023.
28
~r~'O'
o·, H::"":
________ .__ ~2.r E= ;"5,:,===r=== '~'l
=--=-I--==-~=~=.. ...
. ~------'''I'''''---''--'si , _
!
Fig. 3.11: "Cópia" da fórmula em 023 para E23, 024, E24, D2'
Quando "copiamos" a fórmula em 023 para E23, 024, E24, D~:.
ocorre uma "atualização" dos endereços de células no deslocarre:»
posições "para a direita e para baixo". A figura 3.12 mostra os i'(::>UI:",-·
numéricos correspondentes aos elementos da matriz F.
c'. F IG I·· H
l, ~~I·__'
-3 1 I -2
5.:' -1 =:=:C='I~. -5
-2":00 o.i.· ",O .::. -----.-1--- ..- . -2
! ,==J~~~·':~~~f·~~~:~.
I ,_-'---_-'-._.-=r= i-'--'--
Fig. 3.12: Matriz F=2.0-5.E.
:~1a:
19;fé}' .------.------.
I
'21: ------- ..-.---
22
'i~~~~f;Z.!
26
4. Multiplicação de matrizes.
o produto da matriz A de ordem mxn pela matriz B de ordem
matriz C=A.B de ordem mxp. Em outras palavras: o produto das 1",1(11,
A e B somente será possível se o número de colunas da matriz i\ ,c;; '.
29
!~
."~."'''''~-'~~~~ ':w;c:"
ao número de linhas da matriz B, Os elementos da matriz C são dados ]5<:':; F,:::,::rG-::EifEI:J.:.:...Jil
271 I !. : ; •~r=-~l:'; ~10 , .F=~t~i;
i
T9T----·· --'-r-'-"
30 : : . l' O,·31 -----1' ..-- - ----- ---;-.- --.- ..- - ;..-. .... .., ,..';".." ,." '.
it.~;~;~;:~á!~~~~~~i~::~~:::.~~~~:~~~~~~:~~~:~~:~~~~r~~~~~~~~~-~~~:~~~--~~..~~:,'~,-~.-
Fig, 3,14: Fórmulas inseridas em D32, E32, D33 e E33.
J= G 53 - ~OJ e [-1 5]K= ~ ~'
n
por: Cik == LalJ,bik = ai1 ,b1k + '" + a., ,bnk
i=1
Para entender o procedimento de multiplicação de matrizes, considere as
matrizes J e K a seguir:
A matriz L=J,K é o produto da matriz J pela matriz K e é dado por:
L=lLC -1) + 5,2 + (-tO), 1 1.5+ 5,3 + (-10)'OJ
2,(-1)+3,2+5,1 2,5+3,3+5,0
A figura 3,15 mostra os resultados numéricos correspondentes aos
elementos da matriz L,
(
-1
L=
9
2°1
19j
'1 C I:' 'u"Fj"";E 'j F IGI H I' I" iJ =B27" I' " "', .. ( ....", ..,'.' 'I i . '1" ::....:.L..._.__ :. __ :
. 28 --.~]' 1 ' 5 '" ·10 1.. ·--\·-· .. · .. ··. ·1 ' 5 ,---1:§.l.._ ,__ ' ._,__, __ _
2g! ' .' . 2 3 5 ; K= 2 3
30'-~==~L_-..--.-l-_.-.-.J--.-.-- ..i:~=r==:=~=~:.· 1 O, ..
31 í i ' " I .
.;~,~~~~~l,~,:~:..,."•..••.;~~;:.•..,'[===1~==C=~:~~~f..=:=.~,·,.._=·:~~·~~_~~::~~:.~
Fig. 3.15: Matriz L=J.K.
Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:
• digitar os elementos das matrizes J e K, por exemplo, nas células D28,
E28, F2S, 029, E29, F29, 128,J28, 129,J29, 130e J30 (figura 3,13);
e introduzir as fórmulas a seguir:
;;o D32=028*128+E28*129+F28'130,
> E32=02S*J28+E28' J29+F28*J30,
~ D33=02.9*128+E29'129+F29*130e
~ E33=029*J28+E29*J29+F29*J30 (figura 3.14),
Pense em uma fórmula que possa ser inserida em 032 é, copiada para
E32, D33 e E33, calcule os elementos da matriz L.
DICA: Pesquise no Excel as "fórmulas matriciais" e, entre elas, a
MATRIZ.MULT, que retorna o produto matricial de duas matrizes,
1 C:' r D«ElfL_;.ê~::1.:JI=J' J< J'<')<I
271 ' i i ; : ! '
I·----...·--·-~'"l'·--! .....----~·, -.28 _._ ..._~..: .'. 1 .' 5,~ , ~1{)' . __, .l .___:_ ,-1 ,. '5.:29",. ._ :<.' ..'2:<··.· .3>" "' -.:5.'.;;::' __. 1 _. K= ;;f:2" ':'!•.30--------i----L-------i---L---J--.--- r 1'0:
Fig. 3.13: Oigitação dos elementos das matrizes J e K.
30 31
,i'--.
I
i
~
1,,
.dr,~~
I
~
Ifi
~'11~. I
j
32
~~~~!tJ.~:'i.&li'VX"~..a;;&::7.~s:;r.!':;~;·.r:~;:;-:<,::::::,·
Tarefa 3: Matrizes.
[Nome:
I ==
1. Considere o trecho de planilha a seguir.
f
····/:E
34 --
'9 ~~- 8,:
-6
4
96
61
-~n
Pedem-se:
a) a fórmula a ser inserida na célula B 11 ;
b)a fórmula a ser inserida na célula G11;
c)a fórmula a ser inserida na célula B 15;
d) a fórmula a ser inserida na célula G15.
'i::i;l;~!~:;>U~·~~!~a..T'.~r:;I"....t~·;:~~.r.a~~'%;z<~'lU't!l\'1d:;;·?;}1
II"~':1 \1
;tl ~;
~"'1'1
j"
Ir~~::.!:::~!:::~~:~~:!~;:!!~5.~~~::::=!:~:!~:~~::~!:~:!~~:~~::::!~r'
;J ~~~.
tI·t4i;~~11..v;f~, ~n.~[
tj~:, if~1 'I*;1 ÍJ
I'hj I!
~lj
~
,I
.l
~i;j
:'1
;";
:[1
1
'i
II
CAPITULO 4: FUNÇÕES
1. Definição.
Função: lei ou "regra" que relaciona a cada elemento de um 'c,. j'.' .
partida" (denominado de domínio da função) um único elemour.
"conjunto de chegada" (denominado de imagem da função).
considere a seguinte "regra": escolha um número, multipiiquf'"
some 3 e observe o resultado. Caso você escolha o número i. ,)Y;:.;;
será 38, pois 7.5+3=38.
2. Representações de uma função.
As funções podem ser representadas por:
• Tabelas,
• Equações.
• Gráficos.
Considere o exemplo anterior e sua representação por tabela, ':'.;
gráfico.
Tabela:
"Partida" "Chegada"
-1 -2
O 3
1 8
2 13
3 18
Equação:
Inicialmente, devemos pensar em símbolos para representar', '. ,I',!
de partida" (domínio) e o "conjunto de chegada" (imagem). t:n ,...
37
I:
I
x: símbolo que representa os elementos do domínio da função. No caso, x
pode assumir o valor de qualquer número real.
y: símbolo que representa os elementos da imagem da função. No caso, y
pode assumir o valor de qualquer número real.
A equação relacionada com a "regra" do exemplo em estudo é: y :: 5.x + 3
Gráfico:
O gráfico da função y ==5.x + 3 é a reta ilustrada na figura 4.1.
Fig. 4.1: Gráfico de y=5.x+3.
3. Assistente de gráfico.
A planilha eletrônica do Excel possui várias ferramentas gráficas, incluindo
tipos de gráficos padronizados e personalizados.
As confecções de gráficos com o auxílio do Excel são simples, por meio
da guia "inserir" destacada na figura 4.2.
38
'~r~>'
;:'.~
~.~
".;:,'
. ~'í
.fb".
Fig. 4.2: Guia "inserir" do Excel.
o tipo de gráfico maís utilizado nesta fase de estudos será "dispersão",
incluindo os subtipos padrões mostrados na figura 4.3 .
.. _ _-_ ..~._ .._ _. ---'.-.- ..--..- _ " ..
-_ _ -... '._--:-- _--- .. _.-_ .._'.
Fig. 4.3: Gráficos do tipo "dispersão".
:~
Para exemplificar, considere a função y==x3. O conjunto domínio é
composto por qualquer número real, assim como o conjunto imagem.
Tomemos alguns valores do domínio de y=x3 e calcule as respectivas
imagens. Isso pode ser feito atribuindo valores nas células da coluna A,
desde a linha 2 até a linha 12, inserindo a fórmula ==A2f\3 na célula 82 e
copiando a fórmula até a célula 812, segundo indicado na figura 4.4.
i~
.":
',~ 39
"Automaticamente", a fórmula será atualizada ao longo da coluna, ou seja,
na célula 83 a fórmula será =A31\3e assim por diante.
x
-1 -- [
O I---i \1
2 =:=l
3 J
4 !
, _.lj I .--J'. -~\
Fig. 4.4: Tabela associada com a função y=x
3
.
-5
I'
D \-~~=JI-2
o conjunto de valores de "y" é igual ao respectivo conjunto de valores de
"x" elevados ao cubo (figura 4.5).
~\:: ~,>.~;.....~;ii~1Ii.i~'i.:..Ç;,*;:;;r ..;;;:!;p :····:.:~l,·
B2 ..• (~$.if~-";;&.~iii',1=A2"3
f:.~~1 -5 I -125
'3;1 -4 I -64
,4'\ -3 \ -27
; 5 I -2 I -8
.6.\ -1 \ -1
"i"
, "i
/7.1 o I o \. . .-_L_._ou. __ t.,
8 I 1 1
'sl 2 I 8
.iol 3 I 27
;1.3
I,.~;J ~ \~5 1-· ....-.. ·· i. ..
__.1-
Fig. 4.5: Pares (x,y) da função y=x
3
.
40
"~f"~'"
,
Selecione o conjunto de valores desde a célula A 1 até a céiulc :;.,
isso, posicione o cursor na célula A i, mantenha o botão eSOUfOl
"mouse" pressionado, mova o cursor para a coluna 8 e desloque -'.
final do intervalo das células). Selecione o tipo de gráfico "dispor.«
subtipo indicado na figura 4.6.
~-;J~~~F~~~~=~t-~······:. ·Ir.~-:---'-, ...- II'.':"/ ....! .1..,... -clk ~LJ :.~~::..~~!I.~:.:_:.:_:~
.._-_ _ ..;, _ _.}- _.-.;_ _ ..---;_ .
-i-'-' -"---.--- -»: .
. -.._ .. ·-1-·_·"-" -'--i" .._-_ _--~-_. __ -:- .
!
Fig. 4.6: Etapa inicial da construção do gráfico da funça.
Obteremos um gráfico simular ao apresentado na figura 4.7.
I
y
---------- ---1-501-...----------....100-1 -»-
.--- -so-l--.--L----
·6 -4/, -2 9 •
/ se \
~ :::t-_------ ..--..-..-
Fig. 4.7: Gráfico "preliminar" da função y==x3.
41
""."<
____ O_o ::h .
A próxima etapa consiste em adicionar título ao qráfico (figura 4.8).
:
!
i
I
i'
I·!~.
--'I l'
i
j'
I:
i'
I:
I
.. 1~
-6
','
Jr ~ _
7
I - .;·:'~::--:;-.::;::;;:;'::::::::7·.:-:':::::::::-7';::::;~:;:;:;::::-::::7.mT:;;:;'::;"::::':: •........•.••..•...-..,........ «c~."•..•••..•.", .. ' '-"::=_::.=.-'~
Fig. 4.8: Inserção de título ao gráfico da função y=.x3.
Após inserção de título e formatação da área de plotagem, podemos ter
como resultado, por exemplo, o gráfico ilustrado na figura 4.9.
Trata-se de uma função crescente (quando "x" aumenta, "y" também
aumenta), que passa pela origem dos eixos coordenados (ponto
(x,y)=(O,O)). Quando atribuímos valores negativos a "x", o resultado de
y=x3 é negativo e quando atribuímos valores positivos a "x", o resultado de
y=x3 é positivo.
42
';;~:\Br'
í
!
:lL
Fig. 4.9: Gráfico da função y=x3.
Agora, considere a função y =..!.. Seu domínio é composto pelos
x
números reais, com exceção do número zero. A figura 4.12 mostra uma
planilha contendo alguns valores do domínio da função, no intervalo de
células de A2 até A16, e a fórmula, em B2, relacionada com a função
1
y=-
X
43
r ~~l ~~~~~~~}tl~ff<%';~'
f:.f~~U1~!:m:t~~:..-:cot.'Jn(Ç~u,~ ..m,w~~...:r:!t~W~~"!:M.'l{;a;.wru·:"!:e.'.~::~'~~~'.;':"0,
I
:~,~"_""\m,_""~,~,,,_.,,;,,,,,""'~'''I'''~"'''U''''''''''''''''''''''.'''''~~'="''''''''''"""""",,"='~'''''EA''''\''~'''''''='~'''-'''7.'1<'J''''_;'''''=O':U'''''='''''~''''''''
tiIj ----------- -- -- -- -- -1,' - .---
11;1 ------------- --------- -+,2 ----ii -- - - - -- .. - --1 - - -- -----------------------1
ti ----------- -------0,8-
1
-------------------
il - - -- -- -- - --0,6 - - - - -- - - -- ..-----------------I '-~~~----•....:=::.-=----~ =-=--=-=
~ -4 -2 2
I~-=/-~t\~=~==~~~=~=~
%;, ----------, ..?-
11
m
f:
"1,1
[\
[:1
~.\ 2. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica,
I---- 35-1 -'
---------------30 -----------
----------25 ----------- --------
» 1-------- ---20-
-----..-----1-5,--1--------1
~--------lO- ---- -----------
----------------5 -----------
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 2 3 4 5 6
x
3. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eíetrôruce
=A2A(lf2)
_w441r.~
'---J~E----ri ;---1--ffi=::..::~~:j-
1~I~-==--~=-r:
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela
fórmula inserida na célula B2 até a célula B14;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos Ilustrado "
.."':~~;"'\:':l:m;.:i:'(;;ur;;.~iE.!J,.'.;::.Q:z,...:;:!!;;tII~:;;t.E!'.l;':!;~7.n:."V6&'!C;t,; ..;u;i''{:f'.ll~2u'ili.c:.'i.'Ii;11~!:.:iIJi'"fE:'i.~.:s..!.a :j'2,;'~.';.•.':.:',;,,·.':;;;,:.··
li
,-I
~~
[:i
:l
~j
:.1
;',1
iJ
'l
~
!~
:,l
~.i
tl
;:j
~:l
(.:j
!L ![~-~~--,
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula B2 até a célula B14;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.
48
~fjq:4~~~~~is~E~~f~'ti1!K~f,~~~~
i' -<": ---",",:;;z=-=--._. --
~'r~":'',:;''~'~;';~.o.!~''l1.':r'''-:''''''-t':X~~!!..\'lI!Z-.:.i'.'.;:v.i7'''''-'~Wt~~''.:i!t~!J:'-l:-..:.::.'It.n~!7~:;:W~:!i)J"n:~~..d:.!:'.1",1..~G"'~~C::·./:~··::C"!:':;~~.:::t~;1.'i.'7.i! •.~.::.m:~:Ó',~'/""z..~.'G'.'~-;:;\·,!~~..,.2'T.oô~::tiI11t<:llliUl~I.'"
:1
i1
!1
~i
11
H
t1
~j
!.j
',i
:1
'1
;;.~
--'I
-.J
.:i
;~
------~.
..~;:c'"".,:.'~::!liã~~".,...":'.~;;:t:~;;!'n..•~é.u.~·~~U'rJillO,\t:_~~~:_~!'~,'l'li·~~'"i!f!t'~,l1';:'bi;:';:e~.'...s.~:5..;:J(ar,;!;~~.;:c.:7rr..;~t.,.l'r.·!'(.'.r~;;:i>>:!'".:L.,,{'f~~!:-:::n~~~):/.';.:~..':,:'.
I - i ~I
-!
FI
a
-- ------"25-4
I 20 I I
,.,
5. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.
:1
~J:.1
-01
-I
;.~
~_i
\~
~:.1
~1
o"·,
:'~~S
r-
:~~;
.:d .1
4 I
0,5
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima'
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula 82 até a célula 810;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.
-,
-:{~
:·~1~~
~~-~
3.5 ~ I
3 ~ -------------
2,5
5-1---
·6 -4 ·2 o
,"i
~~
i"
U
<'i
~i
~1
~i
"9
'\
~!
~ 24 I
1,5 ----------_._--------
o I I I I I I I .I
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
4. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.
. y
:'2' : =2A(A2)
:'J''-- ---
~él ·2
'5;1 ·1
;:'&.:1 O
á:! 1
ii!l-:·I 2
1~91 3
tfó'~1 4
:.111 5
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula 82 até a célula 811;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.
;~;:;;I;",;:·?k·;,;::I:<":;B '
11';'1 x
;:2ir-:S y=(1/2)'(A2) __
"3d ;4
:)vA ·3
's:1 -2
:~':;i ·1
~J o
:,~J 1
~~:;I 2
,1;QI 3
Pedem-se:
51
I;.
'.;r;:.:::.;:.~,,,_ -,=,_,,",,~LSlL: .Lxr-.,;:-"
I' f~W~ill'l'1Y.qr@~_~'l'
r"'-""~r-""'~~.''-'''''''''''''''''I',,"'.'''V''''''''''''''''''''''~I'''''''''<'''''''''''''''~'''U'''''''-''''''''''''W' ••..'"""""'"""',,=="',,, .•"'''';''',,,
~~ li
1
1~'it;) ,
tâ~ -:,.,.]j
[~ II
~~ ij
~~I 1l
;ig~ Ij
*~d'''I,j
~i
'j~l~\
:":i :,j
~~..::'.~. ::
I:
Stl
",--'-'"----------""-----------{30--'-----------
. -__.0_' ..• _ -._ ..• -•.. --------25 ...1-----------------
,--------------------,,--,1-5-'---------,---------
----- ---,------,--,-. ---- -"---",",,,,-"--- -5 -,---- "-,, --- "-----,---,,,,--
>.
- ,----",-- ,-----"----,,---20,,
------------,--,,-,,------,---,--,lO
-2 -1 2,5 -4 -3-6 o
~~tff··
CAPiTULO 5: FUNCÃO DO 12 GRAU
1. Equação e gráfico.
o gráfico da função do 12 grau é uma reta de equação y=a,x-I-b, CHi\~'
• a é o coeficiente angular (sendo a diferente de zero);
• b é o coeficiente linear,
O coeficiente angular a está relacionado com a inclinação dói ~""I
que:
• a>O indica reta "inclinada para a direita";
a<O indica reta "inclinada para a esquerda".
Dados dois pontos Pi=(x1.Y1) e P2=(X2,Y2) de uma reta, s(~u ,~,:""
Y2 - Yt
angular é calculado por a = , onde:
x2 -Xl
• Xl é a abscissa do ponto Pi;
• X2 é a abscissa do ponto P2;
• Y1é a ordenada do ponto Pi ;
• Y2é a ordenada do ponto P2,
O coeficiente linear b é a posição onde a reta intercepta C"::,
(eixo "y"). O domínio da função do 1Q grau é o conjunto ,i'
números reais e sua imagem é o conjunto de todos os nÚI1WllV;
Exemplos de funções do 1 Q grau:
y=2,x-4 (reta inclinada para direita, que intercepta o eixo "y" <n-: .
y=-5.X+ 1 (reta inclinada para esquerda, que intercepta o eixo '
._,
2. Retas que "passam pela origem",
3 4
i ~
: )~
,,1
","
As retas que "passam pela origem" apresentam coeficiente liIl8;'"
(b:::O) , Logo, a equação geral destas retas é: y = a.x.
53
Çf »= §
ç -v "J r / .Tj~ o'J--
j
r -, )I
, I
~ j I f.,/ J
-P' (l
(j { "
Y2 - Yj 4
O coeficiente angular é: a = x _ v- = -2 = 2
'2 '"I
Mesmo que sejam tomados pontos P1 e P2 em outras posições da reta, o
coeficiente angular permanece 2, pois se houver maior variação em x,
esta é "compensada" por maior variação em y e a proporção entre as
variações em y e em x é "fixa".
3. Retas paralelas.
Retas paralelas possuem mesma "inclinação", ou seja, apresentam
mesmo valor de coeficiente angular. No entanto, interceptam o eixo
vertical em pontos distintos, ou seja, possuem diferentes coeficientes
lineares. A figura 5.3 ilustra retas paralelas, de equações yi =3.x, y2=3.x-2
e y3=3.x+2, ou seja, todas com coeficiente angular igual a 3.
-+-y1=3.x
-'!iII-- y2=3. x-2
- -y3=3.K+2
y
x
Fig. 5.3: Retas paralelas.
56
':'r'"T
!
•••
As retas relacionadas com as funções y1=3.x, y2=3.x-2 I'; .<,
mesma "inclinação". No entanto, yi é uma reta que "passa ,.;,.,
y2 intercepta o eixo y na posição -2 e y3 intercepta o eixo v ,;,.
4. Exemplos.
Exemplo 1: Esboce o gráfico da reta que passa pelos pontos P:
P2=(3,4). Escreva a equação da reta.
Foram dados os pontos: P1 = (Xl,Yl) = (-2,-6) e P2 = (X2,Y2) =
Y2 - YI 4-(-6) I'
O coeficiente angular a da reta é a = x
2
_ XI = 3 _ (-2)
O coeficiente linear b da reta pode ser obtido pela :31 'i.;;::.
coordenadas de P1 na equação geral da reta, ou seja:
y = a.x + b -6 = 2.(-2) + b b = -2
Caso você substitua as coordenadas de P2 na equação ,,!f., .
obterá o mesmo valor de b, conforme pode ser observado a Sf!t·. "
Y = a.x + b 4 = 2.(3) + b b = -2
A equação da reta é: Y = 2.x -2. O gráfico da função Y 'c
construído com o auxílio do "assistente de gráfico" ela pl,";'Ii"
Para tanto, elabore uma tabela na planilha contendo as é:h:.~1
e ordenadas (Yl e Y2) dos pontos Pi e P2, similar ao expos: ..' ".
Fig. 5.4: Pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4)
57
~--- .
i'
I
I
I
I
I
I
I
I
I
~
Após clicar em "OK", teremos os pontos P1 =(-2,-6) e P2=(3,4) no plano
xOy, conforme mostrado na fíqura 5.9.
- . -~-~-~_..~..-= "~-"~-:'=~=~··-'l!fF' ---~-~ @ i
\
\
__ _.[ Tl~l!j~dq.G.r.~ttC9"r \-----,--- +------
I -l--- !
\
11 --------------- _ -I"
I ----- ---. , 4 '~y k.~ 1 2 3
\ -3 -2 -1 2
\
'\ ----_. -
. •. -----6.
ll~c~=-==~-
y
_____________ 6 ·__ ·
....__ ..... _..__ ....__ . . ._ .. -4 __ 1__ .._ ..__ ._. .. ---4-------_ ...
... ... · 2·_L- __ -..--------.-- ..-----.------.---.
,· • r · r ·• __ Q __ -l J , ----,-------.--,
3 -2 ·1 1 1 2 3 4_ ----- ----------------_._):- ---- -,,--- ._---
________. ---- .--------4·----- ...------------.-.---
--------~:r--------------6--
1
----- "._- ----.-- --- .. -- --
__ ...._.._ ..... __ ·_·,,·· __.. _· 8·..· · ·• --- ..-- .... - .•• - ..--.-----
Fig. 5.9: Pontos P1 =(-2,-6) e P2=(3,4) no plano antes da formatação.
Dê título ao gráfico, por meio da posição indicada na figura 5.10.
oty
\
__. J
r-rrr
Fig. 5.10: Inserção de título ao gráfico.
60
lr~;[;o
l~
Após formatação, poderemos obter uma situação similar à fiÇJl.Ii:'
I -II,Exemplo 1
-r I
r-
_.
2 3I-2 ·1
••
!t- I J-
-i
Fig. 5.11: Pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4) no plano depois ela ir."".
Pressione o botão direito do "rnouse" na posição do ponte.' ,
posição do ponto P2, se preferir): você visualizará a caixa ~i!I:
figura 5.12. Opte por "Adicionar Linha de Tendência".
:~:-::::: •.:.::~~~'-"-:."';::--:...H.• '-.-- ..~.. __ •.-~'- •••-.=::-"":':;::";:;':-._._;;'_,:-: "~_'~" ........•.. _ ....•... ~~ .... _ .. _ ..
Exemplo 1
~
: I I;:~Ji~~~,;,'-:.~. Reounnn ~>.:!;:;~].\8~;~~~-;·~;fJ{!c!
-2 -1 1 1 2 l!~. SctW<HliH ,.",---------:4-~ ~[;1. rrQt.c:io ·.i:·
... -, \ Adicionar 1I'."!f;"·
&V<i : I I":".: IA~lcionaf lInh[) {f--;;-~:'i~~';-:~'~~
_.;.~~ format.ar Sf-ril.' ·:h'. ' _ --- ....:r-·'-
(Ifó'
Fig. 5.12: Caixa para inserção de "linha de tendêncl~"
61•.,.
fJ
___ .~ ...,..=_.,.. .."..!!!.':.~.,.~•.=-:-::=:-=="...-.~""",,, ..- .•rsc-ww=v=t=v=» •..---_ •..-,--~------_._--
Exemplo 2: Aproxime os dados da tabela abaixo por uma reta.
J
J
F'- ._---y-5 11,5
~-
-3 6
O 1
2 -4,5
3 -5,5
6 -14
Nesse caso, os 6 pontos dados na tabela não estão "perfeitamente"
alinhados. No entanto, é possível aproximar esses "dados" por uma reta.
Para estimar a "melhor" reta adaptada aos pontos, vamos "aproveitar"recursos "internos" do Excel que, baseados em "Métodos Numéricos",
mostram "automaticamente" a equação mais adequada para os pontos da
tabela. Siga os procedimentos já descritos no exemplo 1, conforme
resumido abaixo.
• Digite a tabela na planilha eletrônica do Excel.
• Selecione a faixa de valores que inclui a tabela.
• Vá para a guia "inserir".
Escolha o tipo de gráfico "dispersão";
• Escolha o subtipo de gráfico (no caso, "somente com marcadores",).
• Utilize as sequências de dados em colunas;
• Digite o título do gráfico (pode ser "exemplo 2") e formate a área do
gráfico.
• Pressione o botão direito do "rnouse" na posição de um dos pontos
marcados.
Opte por "Adicionar Linha de Tendência".
1)4
-c~r}r'!
! • Escolha linha de tendência do tipo "Linear", aciono ~I
Equação no Gráfico" e clique em "Fechar".
O gráfico e a respectiva equação, com a formatação e~,'.,·"
mostrados na figura 5.15.
~lr~:·~~%5~~L{~~~-:.~~;~:;~rt~~,~(!;:f;~{.::~~~~~~~:'dl~t~·i%Jr:.~!i~;r~~~\~:i~~~_k~~~:~1;'j;.~;~,lii~~:.!"~~y~):~:.~;.:.: ....._~._..- .-~-
v= -2,2362x + 0,20 I·C
, , o"f" ' , ,...
-4 4-2
.•...
Fig. 5.15: Reta média.
A equação y = -2,2362.x + O ,2014 é uma "tradução aproxuv
tabela de valores do exemplo 2. Dizemos que a reta média
pelos pontos da tabela é a representada na figura 5.15.
•
,!.
6S
"à
~.;:, ..----
u
._------
~j
i:
;;
I'
ti
y
=3"A2-6
Pedem-se:
a} a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula 82 até a célula 814;
c} o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.'.:':
1=:i~;ll>I~~~->~_:_~:.
=::=f~=::~~:==-==- ->. ----- ------~._~
----,---- .. ---r
-<(--.- ·-·--2--'--2 .---.-.-..-...2-.-.--.--..-4-.-------6-.-.----S---1p
-- ..-··----4-- ---.---- ----.-------
-.-'·--_·..-- ..---6- ------.-.-.-----.- ....-.-- ...---.
----·--·--8-·---·------------
-·..-·..--·-·------10 --------
-·-..--------1·2 --.-----------
---------14- -----.----.-- ..----
'--,-,---1,," r--L-----
i~
J
~
-.!
ii
~~.
;~
~:'
~
{
iX;
i- ••·
'(o
'~~~~~~~1t~~~~~~~~f~~rr:hr~f1~D~!~~~1Jlt~~~~f*~iá~y.~~W~K~4r®:{;:b>i~~·::::~;:;?::
·.'L·ll.i~·t~:.~•...,!,'l.·!?n.7.~11!!';~!.!~!lt;;~;:1~!::.~:~').·.;, s ,!~t:...•I;:I.~i.t:T~~~~.:l.:tlil:"'/.!l1'.~~;II'tr.r~;:r~.:u~).m ••".n~.•'~' ...l:tlll:.t.:o.\._:;-::~;;, ;': ,~, :."
3. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eleli'ônw;
~J~~1
y
::i
.~".:
,h5·.,
x
=-2'A2-1-5
-4
-3
-2
-1
o
2
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela ac.:
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos ploi; ..
fórmula inserida na célula 82 até a célula 814;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustracll' .. "
I 19
8
------6
}------·--..-4-1J------
-.---. ··------------2-1·-·------- .. ._
I ~rl~--~~~
·4 ·2
--------·---4-1- _
------·----6 I --j
I 10-t-1-------l
-:»: ·"":··~::..(',·.:·~:.:;~·.~.,.·'.I:'J.'·.:.-·.,·:;-:_..:,;.,:";.:,,~;?<::. , ." ., .•: ;C"l·:•.·' .'.
"
~~"'='.~_"~'---_~- --------- ._..__..._-----
;:1f:J:'~);;;lli:;if;;}':;Vi:!;S%ljii;;Vf:f~t;t::iEBt~;:~~fi:ii!~f.0~ri1(:iíi~~i,j1\)iigiJi}11~~IJ;,pl~~~:\~WI\i0~Si*i;,f~~%!.,~W~~bWr.iêI~1i;lf1]]'
,'6: ',,"'.;';"".;'."'."~o,O".".':C'O"",,,, ,0;,,",'''''0'"''''''.''''''''''''"'':<"'''''"''''''"''''''''''''''''''''''''''."",,,.,,,,,",,,,,••,,,,,,,"!,,,,,;.~,,,.,,·,,,",,.,.,,,,.,m" "","? ...:,,,,,:,.,,!;,,,,",,,,,",.,.
~;'!:'1 ,:: 6. Considere o gráfico a seguir,
:.;'i,! .;I;
;,i; 'i
C~J~~
.U~
:?f;~.~n~;
:""--::
}:1
~~~;:~
.....,
:::~~~
t.
!
\',
j
!
1II
~
. ..~
.:.:} :~
>-
x
Pedem-se:
a) o coeficiente angular a da reta;
b) o coef'lciente linear b da reta;
c) a equação da reta,
,
'í
:;'.1
i
.~
:-.1
',':
7'2
"1"";').:
::':'
:;('r;(ilf.llf~'UUI!>?:"J.·l:l.I~J;I~l~:rI;Y);"JjJ·W:~'f!<~)~t!Q'"~';''';8.t~'l.lIlf,,-~~Jm~~~~~..:!:.""~t:'cl'Ul1:!;.'Ãlo~:.l~';\:t'Utrr.::iO~~:;::;~~~;·:,~'·;-_·.,:···
7. Considere o gráfico a seguir,
·.l:·~:·
IIt.
li'I~·:
Pedem-se:
a) o coeficiente angular a da reta;
b) o coeficiente linear b da reta;
c) a equação da reta,
\'
!(~~~11Ç2":.7'-;;:!J-;j;?;@~~~~-;- 1i.~r?
!
I
I
I
i,
!
i
i
o gráfico de Y =_x2 + 5x - 4 está representado na figura 6.1.
,I:
I!
I',
li\ii
I
i,
'Ir
!:
i
y=-x+5.x-4
>-
l__------Ix
Fig. 6.1: Gráfico de y '" _x2 +5x-4.
2. Raizes da função do 22 grau.
As raizes da função do 2Q grau são geralmente representadas por xi e x2
e indicam as posições onde a parábola "cruza" o eixo x. Inicialmente,
devemos é determinar o "valor de delta" por: 6. = b 2 - 4.a.c. Se o valor
de ;:.,íor negativo (6<0), não há raizes (a parábola não "corta" o eixo x).
São os casos ilustrados na figura 6.2.
u.
76
~
v Vi
/\\ /1
\"'J
x
r>
/'\
I/\.
Fig. 6.2: Parábolas que não interceptam o eixo x ;.\
Se o valor de 6 for positivo ou zero (620), as raizes
calculadas por: xl = - b + .[i;
2.a
x2=-b-.[t;
2.a Rep;;'e
for igual a zero (6=0), as raízes xi e x2 coincidem.
3. Vértice da parábola.
o vértice V é o ponto "extremo" de uma parábola e suas COO!,-:,
V=(xv,yv). O vértice é o ponto máximo de uma parábola ele "
para baixo ou o ponto mínimo de uma parábola de cone:""
cima, A abscissa do vértice (xv) e a ordenada do vél:'
-b ,-i~
calculadas respectivamente por: v ; = 2a e Y v =4~
mostra o vértice de uma parábola "qualquer",
77
r,
i
i~
f
"Ir
i:
~
ji
l.'~'
~
I ç;:ã~~(j:i~~,gfá.U._-=E
1 -21=~-._J~~I.
,- 1 ~
]-- '
-I =l--!
I 16[=-~_==t
I 31=---±
i -11-_~---'-- ±'-=i 1 __ ..
-I 111 ._.L.-I .---4
Fig. 6.5: Raízes e das coordenadas do vértice de uma função do 2º grau.
Se alterarmos os valores de a, b e c para -2, 4 e -5, respectivamente,
obtemos os resultados expressos na figura 6.6.
,.::., j.: :?" ~i:':::'~~~:J~/A{~~\:~r,\::'íB.;;i;/.~:.fa;~j~~~~;t~):r~::'~~~e~?~:..~~.;~'~l~t:::~D::~'~'~'.~.]
~:~~~1~~~Er"<~~i=;=~
G ' I ! ;i:~~~;:;~':~~~~~i :2:[_~~~j
10 i ! I i
, 11·F~~~~i!~~·i~j~~!:.i:~-=:·:=JNaohá raiz[=~~_~.-:-J
12 I i I :
13~~~;~~.~-~-.!~C;-,~.~~:~:·-INãohá raiz[=:::::=~J
II ·~.~.~~~~C~~~~j-i~~~~~=i:~:··111=:~:=~~j
16. I ! I \
II~·~~~-~~~:~J------_...~~J===~]
Fig. 6.6: Função do 2º grau "sem raízes reais",
8!l
r
'·'.,...
. .:,~.~·~.f.f-I_:~~t:":' ..:',;.'
o,:: .
!
,~
5. Construção. de gráficos de parábolas.
Para construir o gráfico de uma função do 22 grau, elabore li:',
planilha do Excel, digitando valores nas células que representara,
do domínio da função e insira fórmulas nas células associarias
respectivas imagens. A figura 6.7 ilustra a função y=x2-2.x-3
=A.2'/2'A2-31 ._--+-~~!
t, -t·-!
------1_·_-·-···1
I -O' li II-~jd
- .__..L.. ._l
I .
1';;::1 ..• li !I---·----l··-·;
I ;
===_~=r·_!
Fig. 6.7: Trecho de planilha com "fórmula" 82 relacionada COI1!
Copie a fórmula da célula 82 até a célula 810 e obtenha
expostos na figura 6.8.
A I.' .. B
1.j x Ir==:
'2,1 -3 Ic=:li
:f'.1 -2 1c=:J::
;4~:::1 -1 1c=::Q,~,I O I1 -3 I
;$/J 1 I1 -4 I.:tU 2 I -3
{si; 3 C]
;~~;~ 4 c=J};rê;~l 5 1112
Fig. 6.8: Pontos do gráfico de y=x2-2x-:3
8\
jr=-=--~---'-------
,
I~
,Ir
i
I
;
I!
11:
I',]
'1'"J
I
f
I
r
Fig. 612: Gráfico de y=x2-2.x-3.
6. Funções do tipo y=a.x'Z.
Os gráficos de funções do tipo y=a.x2 são parábolas cujos vértices
localizam-se na origem. A figura 6.13 compara os gráficos de y1 =x2 (a= 1),
y2=2.x2 (a,=2) e y3=O,5.x2 (a=O,5). São gráficos de concavidade para
cima, mas com diferentes taxas de crescimento.
8'!
Fig. 6.13: Gráficos das funções y1=x2, y2=2.x2 e y3=O,5.x2.
Na figura 6.14 estão exibidos os gráficos de y1 =x2 (a=1) e y2=-.
parábolay1 tem concavidade para cima e a parábola y2 tem r:'
para baixo, sendo simétricas em relação ao eixo x.
85i.
I
~
,
I
II
Iji
I~!
li
J
II
i
i
I1
:~
:1
1,
-}
i
!
\
·:l·"rr.,=~!.•..~:{r...~ .•~·.l<"':"l.:i;J.:~;r",wn':~:,l'r.",·n;:II!I.'(i'")I:l".n'T.õ~~ri.Y.'1W' ••<{,'':;'·!\·I.a.:l!'(.:!t!t~~.lU:!<'.C;ll.\'j ••~n..·n4.'''''t\14'/t'H ••r.nt.n,;:!lJ!fiJfí~.lf~'I!~:l'alU!~~A~Q1r~a~"lrIl'((\!'\"
\i 2. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.
x y
,:~1\~:~~~;;~~J5·1.~{
·1
·:Jlr.i
....,
-2 =2*A2"2-6'A2-8
o 1\ )
'::::;:! ~ !I Ir
3
4
5
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula 82 até a célula 89;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.
iln
:~;,.. '': ~
\1\\
-·.If\
. !
'~-·I-'~ ! .1.. ..- _H!_ I
- ... ·-1--·- --I I '
--- '-I . ,-, i . I ----1-----' - ..I i -" ·-··-·r----..T
\-:: J':-I:---li~~I- -__1 _
1- I I 1 I-r·- I I
:i-j.:l~--i---~.·····l=-+=r_=
'1
1
'- +t::----L\ -l-r=~=t=_-!
~--:-il· :1~=::=--:--iT=\-~~=t~
:~It:,:--J-t:~,-....
- I -L+2- _ -- --- - ----.I---'--·-1
i__ !_\.,_~
"i:ui;
~'{
I~
:1."
.!" .,:. :;:.~ ~!:;f~::'.-.\,::P-.~,';-.,"' ; ..,J; ....!':~~:.;.~!~.i..;..'.H:.:~!..;::",t.' ,'!' .:õ: .1.' .•• : - .' •.•• ": •• , ••.• ..::::. ••r...:...·::.I"••.t.l~,:,'l;.l1~1;~~'U.,.I~u..r:..
!.....
:111.'.
f~
it.~iJ\\11,"tlV,~~~%!í@~).'~il~,là'~~~1~~JM';L•.-,
iolml1h~.'I.I~I:e:m;.-Q.I.\t~fn~l..QJ.!l?\J("Il.,;(-mlta:,;!~.:,n:,.~:z:J~(,nn~~m1'TPu'õ"Gtn;:;"'J:.":".:."ItI'A~:.:t..-...o;r;:';oH%:t •••,\A!:;:a::'-'\~J.\;. ..,:.t~:: ..;:;;..!::!:::; ••. :.;'.
3. Considere a tabela a seguir, extraida de uma planilha eletrôni'>I.
f;;1tl~'f;~
yx
.3 --1*A2A2+A2+6
-2
-1
o
2
4
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela aCII:.
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela
fórmula inserida na célula 82 até a célula 89;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado:
--------J-··--l--------'---6----- ----.--- ----- --- -1---I , I---,- -1-.5 -1-, -
I !. . 1"-';
i ,
r--""!
. I
••~ffir-i' -1---j- _~-o 2 ~ 4-n :r 1 'I .,.{ ----+--.-- ....rt:- .. -------, - 1
I ±.-.-.-------.-..1.-----+------.--.-------1------·------2 . !-J-l-
I I i . -a ! I I
.....·'-1- +.~:::~~-:~-i~~,:::~~~·~
.---.- -----·-1--- '-6 --[---'----1--·--·------_ .._-
I
.R9 ..
I ';lt :lrft,~::::~,;:::~;~j,;':~~~'::::;l:i:i:,~::i:'!~~~~~~~:~~;::~~i!:::~::::~:!.~~!;~:':~!.~!~:!!:!~~;!~~~~~~:'~~:~~~:.:::~:~::!:~~:!
;J:: 'I 6. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica,
i:.:·::~: '.
:.:::;.1
j'j
~,
[
t
'jlI,
~,
I,
~.i~~•,
I•I~
1•
I
: .. ;:~
. 'i::
.":
'!:?Pi' y
---- __ 'l.·;·l~:. • ",:"'..-..:,1
, -, :~
':;.'!
:::;
..-\~
:;,:!
x
'~;eJ -5 --1'A51'2+4
CAPITULO 7: FUNCÕES SENO E COSSENO
1. Circunferência Trigonométrica.
É comum pensarmos em ângulos "em graus", conforme o eSCii i,:
figura 7,1,
Fig, 7,1: Exemplo de "abertura angular" em graus
Podemos "converter" um ângulo de graus para radianos u.:.•,
"equivalência": rr radianos = 180º,
f
Lembre que ti é o símbolo de um número lrraciona:
aproximadamente 3,14, Podemos escolher "x" como (.l.CI.,
representa a medida de um ângulo, As "equivalências" ele C/lu,
de x em graus e em radianos são mostradas na tabela a S8Çil.li·
$2'1 -4
5,3"1 -3~I-2 I I5b:' ·1W!. O
T·
~.~
x (graus) x (radianos)
O O
90 rr/2
180 11:
270 3n:/2
360 2n:
.
93
$!};I 1
5$:,1 2.
'~~:I 3
~q;1 4
(3;1:,,1 5
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula 851 até a célula 861;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir,
..-6·-' •.·-
=~==:~-~:::t-===-=-==
r..--~:;..-.-.~;:.~-..~::r:'~-.;-~~---~~~..=
IAI
-...- ·--8..'-·-
- - ·--10
......•.. -. -·---·-- .. -12
1-.- .. -... -..-.- ..........• -..• -·-1 6··
.. ·..... -- .... -.. --· ..·-·18-
1.. ·- .. ·•... · .. -....• - .. ·- ..-· ..·- .. 20·-·'- .. - .. -- ..---· ..------
··-··..-----··..------22·-1-·-- -------.------
.-.- ....-.-.--.-.-.- ..-----?4-1- ..--..-· ....·---·-··--1
?.?: .. ".,..... ,,',.," ., .._.,... 1".:
í:--
senx,'j.
8
11 900 = TIi2 rad
p
\
i
\ 1800 ="Jl rad
L I 170" - "/,,,'
r
,i
,\
\.
I
!;
1
!
"
,
cosx
360· =}R rad
o
Fig. 7.4: Circunferência trigonométrica.
Os valores de cosseno são tomados ao longo do eixo horizontal, na região
"intema" à circunferência de raio unitário. Logo: -1 S cos x S 1.
Os valores de seno são tomados ao longo do eixo vertical, na região
"interna" à circunferência de raio unitário. Logo: -1 S senx S 1.
A tabela a seguir mostra alguns valores de cosseno e de seno.
90 I rc/2
senxx (graus) Ix (radianos) cosx
o I o 1 I O
. I O I 1 I
- 180 1 n~
[270[_:,/2 h li
[ 360 t 2n 1 I O
96
·~F.ífr
Observe que na "segunda volta" sobre a circunferência \ri(,I!"'"
"passaremos" pelos mesmos pontos, ou seja:
e cosO = cos2n = cos4n = cossn = ... = 1
6 cosn/2 = cos5n/2 = cos9n/2 = cos1371:/2= ... = O
• cosn: = cos3n: = cosôz = cos Zn = ... = -1
• cos3n/2 = cos 771:/2= cos 111t/2 = cos 151(/2 = ... = O
e senO = sen2n: = sen4n = sen6n = ... = O
• senn/2 = sen5n/2 = sen91t/2 = sen 13n/2 = ... = 1
• senn = sen3n = sen5n = sen71t = ... = O
• sen3n/2 = sen711:/2= sen 1111:/2= sen 1511:/2= ... = -1
Dizemos que o cosseno e o seno são funções periódicas. ',l',:-,
"valores" são "repetidos" em intervalos de 2n: (o período vale 2i[
2. Gráfico da função y=cosx.
Para sabermos "como" o cosseno de x varia com x, podemo.
gráfico da função y=cosx. O domínio de y=cosx é o coniunto >:.1'
reais e a imagem é -1::; y ::; I, Ou seja, o "mínimo" valor IX' .
e o "máximo" valor de seno é 1.
Tomemos alguns valores do domínio de y=cosx 8 CdÍ>..·,
respectivas imagens. Isso pode ser feito, por exemplo, atribuino«
nas células da coluna A, desde a linha 2 até a linha 31, Ir;'ól','
fórmula =cos(A2) na célula 82 e copiando a fórmula até <3 CSi,,;'
segundo indicado na figura 7.5. "Automaticamente", a íórru.u
atualizada ao longo da coluna, ou seja, na célula 83 a fó/,!;:I t ,
B3=cos(A3) e assim por diante.
97
r
,~
(Mj~
Na guia "inserir", opte pelo gráfico do tipo dispersão, com o subtipo
indicado na figura 7.7.I
f
i
!
f
I1
'J
11
li
~i
:1~.,
~
I
1
I
I
. i
,. ~:.- ....·..·T .•:=-·~I=~~r=·:~l!~~T:~;;;;';';:;;.=:
L.! I
;
"-T
~...- ... ;..• - ..
!....
Fig. 7.7: Construção do gráfico da função y=cosx.
Será obtida uma figura similar ao gráfico mostrado na figura 7.8.
100
y
--------~~I~.-------
--------jó,5 I '\ '--- ...
,---_ .._ ...- -.
-4
6
I
I
I
.~A,k, .
-----1~1 ~
Fig. 7.8: Gráfico "preliminar" da função y=cosx
A próxima etapa consiste em adicionar título ao gráfico (figura 7.9:
:i~-~'__".'_'M. -~.~--_"""__. -_ ...
-4 6
:i;::...... __ •• ,•• __ • •• •• -;.~----.-.-------.-.-, ... __ .. _,_ •. _ ...
Fig. 7.9: Inserção de título ao gráfico da função y~C()
101
fê.'Z-'·~~"-'··7.-'TE- ,.-;&;t.'iP.~--=~
I
~.j
1
1
!
!
/
',1'r
~
'r
~.
f
l
j
I
~
~:
'1°"
I
Como resultado, temos os pares de valores exibidos na Iiqur ..
conjunto de valores de "y" ("valores de saída" exibidos na colun. .. ~
aos senos dos respectivos valores de "x".
Fig. 7.12: "Fórmula" para o cálculo do seno.
Importante: escrever o argumento ("valor de entrada" atribuído a uma
célula) entre parênteses
104 I
:I.
.~
Fig. 7.12: Pares (x,y) da função y=sellY
105
~~?'?L?~:;::q:q::.:o:;:::u::c
I'
'Ir
j
I
ij
li
I)
~
'I
Após inserção de título e formatação da área de plotagem, podemos ter
como resultado, por exemplo, o gráfico ilustrado na figura 7.16. Trata-se
de uma função periódica, ou seja, "repetitiva" em intervalos de 2n. A
amplitude (valor de pico") de y=senx vale 1, Em alguns trechos, a função
seno é crescente e, em outros, é decrescente. Seu gráfico é chamado de
"senóide". Vale lembrar que a fórmula inserida na célula 82 (vide figura
7.12), e copiada até a célula 831, "interpreta" os argumentos (valores
atribuídos às células A2 a A31) em radianas.
r-------------.-.
\
!
y=senx
y
Fig. 7.16: Gráfico da função y=senx.
10R
"'~I'''''''''·:~:·V!~rí;··...;,~"::Wt
I
I
I
I
I
I
4. Variações na amplitude,
Para variar as amplitudes das funções seno e cosseno
multiplicar as funções originais por um fator. Por exemplo.
y=4.senx tem amplitude igual a 4 e período de 2n. Já a função .
tem amplitude igual a 0,5 e período de 2n. Podemos construir.
sistema de eixos, os gráficos de y1=senx, y2=4.senx e y3=O.:~.:-.··
auxílio do "assistente de gráfico" do Excel. A figura 7.19 mostra L"
de uma tabela, em planilha eletrônica, contendo alguns '.i.:Ii; .•
domínios das funções, no intervalo de células de A2 até .'\,
fórmulas inseridas nas células 82, C2 e 02, 11:::.:
respectivamente, com as funções y1=senx, y2=4.senx e y3=O.~:.
~I A.
.. (~
-2'~
I'" '.. -'.~·,.B,-;· :.•.....
..r:r.sz
_~±-~t1:±
Fig. 7.17: Funções y1 =senx, y2=4.senx e y3=0,5.88r:
Um trecho dos resultados das cópias das fórmulas de 82 ;:1;.1.: .'
de C2 até célula C31 e de 02 até 031 está ilustrado na fi9U1','l
Fig 7.18: Valores das funções y1 =senx, y2=4.senx e y:l~:,
109
..:)~!:.
c
:--~ri"A ;::';'CJi,,,,.:r,"Ní\')'?·;;':'·'·''';'''· :o"::"'f1
,~,,[ooo~ ,.".:':3''','.,'1 -2,7 , V '-"0/"--' 1i;:'.;':.';::".~. li U (Jij'::)",/ 1\ '.:..;: .•......'.[ -2.11< -w , I''4 . , ]'":'5<\ -2.,1
~~'N~~..JI:':6i::~ Ii u,uru/,j./L \L -u,~u_ I
I~ 1, lr
I
'I
J
I.
i
I
1
"~
\1
I
ij
1
·/
I:
··1
:if
!
\
t
~.
r
(;
Fig. 7.21: Valores das funções y1 =cosx e y2=cos(2x).
Os procedimentos a serem adotados são idênticos aos já praticados:
• selecionar no intervalo das células Ai até C31 ;
selecionar a guia "inserir";
escolher o tipo de gráfico (dispersão);
escolher o subtipo de gráfico (dispersão com pontos de dados
conectados por linhas suaves sem marcadores);
A figura 7.21 exibe um exemplo de formatação para os gráflcOS obtidos,
112
;!r~W
-i..-
i
"--' (-~
I
Ir
I
y
x
----_ ...
Fig. 7.21: Gráficos de y1 =cosx e y2=cos(2x)
6. Tabela de exemplos.
A tabela a seguir indica as amplitudes e os períodos das lu: I'
e y-senx, além de algumas variações das referidas íunções.
Lembre que:
• a amplitude é diretamente o "fator" que multiplica
cosseno;
• o período é 271:dividido pelo "fator" que multiplica r) di ".
seno OU do cosseno.
113
~::~·.~I}J!!'.iC",)'1~.I;I!'I:~IC."".:I;õ~mI:\I/II"~l:::::r.r"m.,v;r4.r.'·JLll:'.~/;''1:?t~''''1:.';\ilI:v.I'(~D."l(?tm~J;['''''"T.~~w;n~·,1r·}:r:rrtl''..J',.U;-~'J:a;.'~!.'iXq;(":!o{,";;;0:;~.l':~.tW;:tI~:'!I;''!I~::."CII."!,-:e.lJ~;:'I.i.':I~,,;u::\~~'lrj
~ 2. Considere o gráfico ilustrado a seguir.
tI
fi
<I
"i?!ti
~
;i
~i
~1
I
b.;
~l
i.~
.\
!.li.
1
í
.\
I
~
f :',:.:[,:"1
a) Qual é a amplitude da função representada no gráfico?
b) Qual é o período da função representada no gráfico?
c) Qual é a expressão y=y(x) da função representada no gráfico?
" ,~1:~·";:'.õ;7":•• .;. ~(.'_'.':H.l"';:;:;\',:::";' ':,~ ;,r.1~lU";; .';n': ;-;':"'\~l.. ;;:.I.·~·~::-(.,~~~",~:;":~;":'~1·:,;rn;Ç.l"~'
--
~'~i'!\"M~<.m.lI'{('Z"~lv.\·:tü."'I!l"!r. ••"rnR1Imo'''':!i-~mmlRU1~~LI~ti~W;'''..l.~1<;\~nY"!..:~-:;~~ .•<>!:",y.•,,:';':O;:::":~"'.::'.
3. Considere os gráficos ilustrados a seguir.
I
~
e
"Ij!'
l
5
"'?'
~(
Ei
i
-:'!
. ,
i
j
.. i:
x
Pedem-se:
a) as funções y1 (x) e y2(x) relacionadas com os gráficos aCI· •
I y*). jY2(X):: =
b) o preenchimento da tabela a seguir com os valores eID'; .
dos períodos de y1 (x) e y2(x).
l-o
-Função Amplitude Período
y1 (x)
y2(x)
j
1
j
.J
~
::'!o":'~'::;·:.I,·"\.I:.I:~!"1."<:~;:t·:!>:·,,",,~.;:::..·.:,,~ ••;;!~,.:!~:·(,·.::.,;:;.lh,~,.;"!'.r.t;:!t:r:!.õ\~:õlr't:..::;~_.ll,_;,";;,·~·~.·::.;,::;',.J:!;.O:::::.;':_z:•.::'
I
,I
,I
~
~
.J
I
:1
í,
j
f:
'~
':'1
.._----------------------_.
;.·.<·;I:I ••:.~s\.',r.,~·,~l.·•.·ti',!td;,...~X·,;:'~<: •.L!oi;MI~:i.'l:;r'm'M'!!\:;JI'~i!i:au:;.:lT.lr..~""t·:·,;liV.'L~lI,I.ü;~;·I_'.:t".f.J •.;"I;r.:r"',;.<;.; •.,l~';;.:~.':.ü/;,·,::."!,'i.!:l.·.:.r.li;'lo~St.;:. ••.~'I\~I:_,:,d~I·;!lI.'ül..••?.!.·;~•.;::b.!/'~;I~;~ •••:1~••~'W,;;:;'!:O.•'1.\'••••~~~_~E••I;>;I.1iIi•.w
'J
;.j 6. Considere os gráficos ilustrados a seguir.
:,
rJ,Wl:m;!ltt~a~~U1.luJtt~.!1IR~\(t""'I'.11Ie.a,:l'lI.!~I':iIa";Jl/I..rr.l:o..:1'ttI1tlll.'1!;'IIU~i':~lwli'Nirto:\!e.l'l:"I!':i.~~;..~t;l::;.~:!;:-.:':,.". , .•..
7. Considere os gráficos ilustrados a seguir.
I
~1
a
i"\
-.!
r}
:J
ilill;
I-rfJwç'-"---""-"--1-j--""'w>; ~
,:._-....-.\ .----..-..--0;5-1--I--:J"-------\-----·-·--~·
.;
I
I--Y11--y2
,li
>- 'I,
,'1,
:;1•••.
ij •.:R..f!
('
;'i
Il x------_ .._._----_._---_ . ------------------~I
Pedem-se:
a) as funções y1(x) e y2(x) relacionadas com os gráficos acima:
ti
;
y1(x)", ~
y2(x) '"_._ .._-----
b) o preenchimento da tabela a seguir com os valores das amplitudes e
dos períodos de y1 (x) e y2(x).
Função Amplitude Período
y1 (x)
-
y2(x)
.__ ..•~
....." .J. 3-.0. . .,..-"~ "0 v:,i!. ,. ·tl u;.:•..:J.I!.:;:;:\;,.•.•.::.f...;.'.;. ',~ ~~_:··';d~.~;: .;••..:,_.:j.;;: ..
>-
d:·.
x
Pedem-se:
a) as funções y1 (x), y2(x) e y3(x) relacionadas com os qr-af!( ...
y1(x) '"
y2(x) =
y3(x) '"
I
b) o preenchimento da tabela a seguir com os valores <:)",:_.
dos períodos de y1 (x), y2(x) e y3(x).
Função
.....•.. - ...•.-..
Amplitude Período
_ ..,... ...__ .~..
y1 (x)
..._--
y2(x)
<-----.~-.......
y3(x)
.._- .......
".\
ttD.y;~;i~i~;~~tH~;;i~~);;;_;,~ii;~s~:;~~i~Ji;,,;~i~;f;;!;,;~~';{i;;\,:,:,,','.-'
!
JI
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
o gráfico de y1 =2x mostra uma função crescente que "cruza" o eixo
vertical em y=1 (pois 2°=1),
Caso 2: 0<a<1 (exemplo: y2:::O,5X).
A figura 8.2 ilustra o gráfico de y2:::0,Sx.
Fig. 8.2: Gráfico de y2=O,Sx.
o gráfico de y2=O,5x mostra lima função decrescente que "cruza" o eixo
vertical em y=1 (pois 0,5°=1)
"!!WIi,W'
I~\',.
I
I
I,
I
I
I
I
2. Função exponencial de base e.
A função exponencial de base e é dada por: y:::ex, onde e " .
neperiano (número irracional que vale aproximadamente 2.7~'
Ou seja, é uma função crescente e que "corta" o eixo y l';I.~
eO=1). O domínio da função y=ex é o conjunto de todos o!': !lI;)"
e a imagem é o conjunto dos números maiores que zero.
Atribua valores nas células da coluna A, desde a linha 2 <'I!o'
inserindo a fórmula =EXP(A2) na célula 82 e copie a fórmula .:1",
812, segundo indicado na figura 8.3.
y
=EXP(A2)
I II i'-i "
r
Fig. 8.3: Tabela associada com a função y=r:J"
Como resultado, temos os pares de valores exibidos na fiqUiCo
125
124
I
----,.~ --
I:
;,
!
i
r
I
I
1
,1
II
11\
,1:
'u'
~.1
I
1
!
1
De maneira análoga à apresentada, é possfvel construir "variações" da
função y=e', A tabela a seguir indica alguns exemplos de "variações" e as
fórmulas que devem ser inseridas na célula 82 da figura 8.3.
Função Fórmula
y=2.e' 82=2*EXP(A2)
y=-5,ex 82=-5*EXP(A2)
y=?x 82=EXP(3* A2)
y=e-4X B2=EXP(-4*A2)
y=0,3,ex 82=0,3* EXP(A2)
y=7.e'"x B2=7*EXP(3*A2)
y=4 + eX82=4+EXP(A2)
Comentário:
Uma função logarítmica de grande interesse para diversas para a Física e
para a Engenharia é a função logaritmo neperiano. indicada por: y=lnx,
Esta função é a inversa de y=ex, ou seja, seu gráfico é simétrico ao da
exponencial de base e em relação à reta y=x (vide figura 8.6). No Excel,
atribuindo valor à célula A2. por exemplo, o logaritmo neperiano de A2
será calculado em 82 pela fórmula: =LN(A2). Nessa fórmula, A2 é
denominado de argumento da função e. no caso da função logarítmica,
deve ser um número maior do que zero,
"-I)ll:
i
I
j
I
I
I
I
I
i
\: I
L
I
I
Fig. 8.6: Gráficos de yi =ex, y2=x e y3=lm,
\_1_l18 129
m~.'~'Idffl't~liiI!J1,""1aó'J!l~~"'}.~~J:!h~mk'aJ&.1ii~'i.ii.iiil~i!I.._WtlI'ltl\l!.l!iill'llllll1tIDJ!llmIl"""",_, .
'~'z~,M:t,~:r;\~~il'li!i:il·~W'"'lf,t~r~\W.w.!<I'!;\\"l'l&I'~\~INIIMM!I".nl!I.~!IW"fJl'lNi2!li!tl1!Jlí![\_mli=a1~:0i1~G~I&i~ú!7"..mgd:!'J.l.'P~~'~:
"'l""<o",~",,,rn,,,,,"",,,,,,,",,,,.,-,,,",,,,.,rm,.,-"",,,,,,",,,,m,,,,=",,,m'-'''''1i·,,:r.·"·L~"·Jl''''''''"'''·'
:.i •
j,j
;~
1!
;!',
II
li
;::'-:·.1,>~~.i
'í
jl
f
I,
,
~
'i
-.'....i
..
~;~
,
...•
-.;:"j
'~i_ -------..-.--..-.='...,.",<~.,.'''''".ill''''''I'.~l,tllil!,<\lIit~.t;i,\íti'\lr.wlf.~!•.ij%~a.'i\\f;",;i"(",
.j r-'t..'t!rn:·~~~AZlI)'l~t~!!.Pro:::r.z:tg;:r.z~'W'~:':!2:1J~~I7J~l'6t(l't:!~"'.:TiIM""tõ.~::'r.'i:~:::~c·::~, ..w••:.~., :.t",","'!.:,.!
li! II t'I·i l'"I 1!
li r)I (1
j ~
~ 1.1
J ~j
(i. P,
í ~
II ~
11 ~,') ~
! I
I'! !~.lI J\ ;!
l
i ~
i 1
,.i ~
:1' ~":::-. ~
I '. ~l
'I", n
.: j ~i
1 , ill
: ! 0, f
, " ": ! li
1 : fi
1 I' I~
: ]11j
'i I'i ,
1:11 I
1
i
",.,
,.:',
:1,
",_c,,_;,-",';".""'--.""'''''''''~' "" ..•.-..••.... ".",.;".""" ..~.,, rs-;•• .:--,;"~""" .. '" .,""- , .... ",--, ">J~.~
--.----1----1---24--1---1---.---
-_·--I--I~I-,--I--I--
--·--·---1---48-1--.--._-
I----l---I----I--,&-I-,-I~--
---·--_·_---·--1-<1-1---1---1--
--·--------.-1-2-1--·---1---1----1
---·---·------·--6-·---·---·---
--."--1---1--&-1--1--1--
--·--·---,--+-i--I---I---I
·3., -2 ·1
L- . I
2. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.
-4
- -:::-t-I-t-t-+-f-I
- I-?O~
-- 1·60
1<50
1--1----..,1---1,1-40
I--+-~f---l+fo
1--1---+--'1-1'0-
-- 1-1"
>- 1- -,1.00-
o
--8
--- - 10- -f-- -+-- -f--
1--+-1--1-66 I
1-4-~-~·~o I
- o
I--+--f-~.~o 1
1- 0'- ,
I Iil I
·4 ·3 ·2 -1 6
v
=O.5·EXP(A2)
-3
-2
·1
fi
',!Hb~
,""1J(
~1jji
t;ft;
·1
'1
Pedem-se:
a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;
b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da
fórmula inserida na célula 82 até a célula 814;
c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.
;{
;~
~':",;" .I
132
~:~;;.~;~;~~~~;,;~~:~~~~;~~:~~~·~~~~.:;i;}: