Aplicações de EDOs de 1ª ordem

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – TURMA: B 
 
 
APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
É fundamental não apenas saber resolver a EDO, mas, sobretudo, formular 
matematicamente o fenômeno que dá origem à equação diferencial. Como motivação, 
vamos considerar alguns exemplos-modelos para ilustrar as etapas que vão da situação 
física à formulação matemática. 
 
 Ex.: 1. Problema do Crescimento: Vamos denotar por ( )tN a quantidade de 
substância (ou população) em processo de crescimento ou decrescimento, onde a 
variável t está representando o tempo. Admitindo que a taxa de variação é proporcional 
à quantidade de substância presente, formulamos o seguinte modelo matemático para 
esta situação: 
kN
dt
dN
= ou kNN =′ 
 
 2. Problema da Variação de Temperatura: A lei de variação de 
temperatura de Newton estabelece que: “a taxa de variação de temperatura de um 
corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente”. 
 Denotando por T a temperatura do corpo e por τ a temperatura do meio 
ambiente, a lei de Newton é formulada matematicamente pela seguinte equação 
diferencial: 
( ) 0, >−−= kTk
dt
dT
τ ou 0, >=+′ kkkTT τ 
 O sinal negativo na primeira equação indica um processo de resfriamento. 
Nesse caso, τ>T e, portanto, 0<
dt
dT
. 
 
 3. Problema da Queda de Corpos: Consideremos um corpo de massa m 
em queda vertical, influenciada pela ação da gravidade g e pela resistência do ar. De 
acordo com a Segunda Lei de Newton: 
maF =
 onde F é a resultante das forças que atuam sobre o corpo, m é a massa do corpo e a é a 
aceleração na direção de F, então temos:
 
dt
dv
mF =
 
onde v representa a velocidade do corpo. As forças que atuam no corpo são de duas 
naturezas: o peso mgF =1 e a resistência do ar 0,2 >−= kkvF . 
 
 Então obtemos: 
dt
dv
mkvmg =−
 
ou 
 
gv
m
k
dt
dv
=+
 
 
 4. Trajetórias Ortogonais: Consideremos uma família de curvas a um 
parâmetro no plano xy , definida por: 
( ) 0,, =cyxF (1) 
onde c é o parâmetro. O problema consiste em encontrar outra família de curvas, 
chamadas trajetórias ortogonais da família (1), e dada analiticamente por: 
( ) 0,, =kyxG (2) 
tais que cada curva da família (2) intercepta ortogonalmente cada curva da família 
original (1). 
 Primeiro derivamos implicitamente (1) em relação à variável x ; em seguida, 
eliminamos c entre esta equação derivada e a equação (1). Obtemos uma equação 
envolvendo yx, e y′ , chegando a uma equação diferencial da forma: 
( )yxf
dx
dy
,= (3) 
As trajetórias ortogonais de (1) são as soluções de 
( )yxfdx
dy
,
1
−=