SLIDES AULA TEMA 09 - REVISAO

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Matemática Financeira
Prof. Me. Pedro Hiane
Tema Revisão
Calculadora Científica – Casio 
modelo fx-82ms
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casio_fx-
82MS.jpg?uselang=pt-br
Instruções de como utilizar no Tema 3
Caderno de Atividades
Calculadora Financeira – HP12c
• A HP12c é famosa pela facilidade dos
cálculos financeiros:
Funções Financeiras
Regime de Juros adotados:
Os regimes de juros estudados em Matemática
financeira, são conhecidos como juros simples e
juros compostos.
No regime de juros simples, apenas o capital inicial
rende juros. Os juros não são capitalizados, não
rendem juros sobre juros.
No regime de juros 
compostos, os juros são 
capitalizados e passam a 
render juros, ou seja, 
ocorrerá a incidência de 
juros sobre juros.
Onde: 
C = Capital inicial
M = Montante final
i = Taxa de juros
n = Número de 
períodos
)1( inCM 
No regime de juros simples, usaremos a seguinte
fórmula:
Fórmula de juros compostos:
No regime de juros compostos, usaremos a 
seguinte fórmula:
 ni 1PVFV
PV = Valor Presente
FV = Valor Futuro
i = Taxa de juros
n = Número de 
períodos
Podemos também utilizar as seguintes fórmulas:
Cálculo do prazo da operação: 
Cálculo do valor do Montante: 
Cálculo da taxa de juros: 
Cálculo do valor do Capital: 
niCM )1( 
ni
MC
)1( 

 
110
log
 n
C
M
i
)1log(
log
i
C
M
n








C = Capital inicial
M = Montante final
i = Taxa de juros
n = Número de períodos
Veja a comparação entre juros simples e compostos, para um
capital de R$ 10,00, aplicado durante 40 meses a uma taxa de
juros de 10% ao mês.
Períodos Juros Simples
1 10 x (1 + 0,1) = 11,00
2 10 x (1 + 0,2) = 12,00
3 10 x (1 + 0,3) = 13,00
4 10 x (1 + 0,4) = 14,00
5 10 x (1 + 0,5) = 15,00
10 10 x (1 + 1,0) = 20,00
15 10 x (1 + 1,5) = 25,00
20 10 x (1 + 2,0) = 30,00
25 10 x (1 + 2,5) = 35,00
30 10 x (1 + 3,0) = 40,00
35 10 x (1 + 3,5) = 45,00
40 10 x (1 + 4,0) = 50,00
Veja a comparação entre juros simples e compostos, para um
capital de R$ 10,00, aplicado durante 40 meses a uma taxa de
juros de 10% ao mês.
Períodos Juros Compostos
1 10 x (1 + 0,1) = 11,00
2 10 x (1 + 0,1)2 = 12,10
3 10 x (1 + 0,1)3 = 13,31
4 10 x (1 + 0,1)4 = 14,64
5 10 x (1 + 0,1)5 = 16,10
10 10 x (1 + 0,1)10 = 25,93
15 10 x (1 + 0,1)15 = 41,77
20 10 x (1 + 0,1)20 = 67,27
25 10 x (1 + 0,1)25 = 108,34
30 10 x (1 + 0,1)30 = 174,49
35 10 x (1 + 0,1)35 = 281,02
40 10 x (1 + 0,1)40 = 452,59
 in 1PVFV
JUROS SIMPLES 
PV = 10,00
FV = ?
i = 10 % ao mês
n = 3 meses
 
 
 
 
00,13FV
3,101FV
3,0101FV
31,0100,01FV
1PVFV




 in
 ni 1PVFV
JUROS COMPOSTOS
PV = 10,00
FV = ?
i = 10 % ao mês
n = 3 meses
 
 
 
13,31FV
331,100,01FV
11,00,01FV
1,0100,01FV
1PVFV
3
3




 ni
Um banco concedeu um empréstimo a uma empresa no valor de
R$ 20.000,00, pelo prazo de 72 dias, cobrando um montante de
R$ 26.000,00.
a) Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? 
Teremos: C = 20.000, M = 26.000 e meses. 
Portanto, chamando de i a taxa mensal, teremos: 
4,2
30
72
n
a.m. %55,11
110
110
4,2
000.20
000.26log
log















i
i
i n
C
M
b) Qual a taxa anual de juros compostos do financiamento? 
2,0
360
72
n
 26000 FV 20000 CHS PV 0,2 n i = 271,29% a.a.
26000 FV 20000 CHS PV 2,4 n i = 11,55% a.m.3
Continuando
Revisão
Taxas proporcionais - Juros simples
No regime de juros simples, duas taxas de juros
em períodos diferentes de tempo, são chamadas
de taxas proporcionais quando, a partir de um
mesmo PV (valor presente), resultam no mesmo
FV (valor futuro) no fim do prazo da operação.
Como o regime de juros 
simples é uma função do 
1º grau (linear) com o 
tempo, as fórmulas que 
permitem o cálculo das 
taxas proporcionais são:
Taxas equivalentes – Juros compostos
No regime de juros compostos, duas taxas de
juros em períodos diferentes de tempo, são
chamadas de taxas equivalentes quando, a partir
de um mesmo PV (valor presente), resultam no
mesmo FV (valor futuro) no fim do prazo da
operação.
Como o regime de juros 
compostos é uma função 
exponencial com o tempo, 
as fórmulas que permitem 
o cálculo das taxas 
equivalentes são:
Taxa nominal:
Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade
de tempo não coincide com a unidade de tempo de
capitalização. A seguir, exemplificamos algumas
taxas nominais:
18% a.a, capitalização semestral
25% a.s, capitalização
mensal
13% a.m, capitalização
diária
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a unidade de
tempo coincide com os períodos de capitalização. A
seguir, exemplificamos algumas taxas efetivas:
18% a.a, capitalização
anual
25% a.s, capitalização
semestral
13% a.m, capitalização
mensal
45% a.d, capitalização
diária
Taxa efetiva:
Cálculo da taxa efetiva na 
mesma unidade de tempo, a 
partir de uma taxa nominal: 
Veja os exemplos:
 36% a.a. capitalizados 
semestralmente
 
anual efetiva Taxa 
 a.a. %24,393924,0118%1
semestral efetiva Taxa
a.s. %18
semestres 2
a.a. %36
2



i
É muito comum, as empresas realizarem operações
de desconto para antecipar o pagamento de um
título. Entre os principais títulos usados nessa
operação, destacam-se: Cheque pré-datado,
promissória e duplicata. As operações de
desconto podem ser classificadas em dois tipos:
OPERAÇÃO DE
DESCONTO
Desconto comercial ou bancário (“por
fora”):
a taxa de desconto incide sobre o valor futuro
(FV).
Desconto racional (“por dentro”): a taxa
de desconto incide sobre o valor presente
(PV).
Devemos saber: 
PV FV
Valor FuturoValor Presente
d %
i %
Devemos saber: 
PV FV
Valor FuturoValor Presente
d = –33,33 %
i = +50 %
Desconto comercial ou bancário: 
(“por fora”) Simples 
 dn


1FVPV
PVFVD
ndFVD
Uma loja procurou um banco para descontar
uma nota promissória com valor nominal de
R$ 65.000,00, com vencimento em 8 meses.
Determinar o valor recebido pela loja e o
desconto aplicado, sabendo-se que o banco
cobra uma taxa de
desconto comercial
simples de 3% a.m.
00,400.4900,600.1500,000.65D-FV PV
15.600,0083%65.000,00ndFVD
?
?PV
a.m. %3
meses 8
00,000.65FV







i
d
n
Agora é sua vez
Revisão
SÉRIE UNIFORME – PRESTAÇÕES IGUAIS
O objetivo deste capítulo é utilizar as fórmulas
usadas nas soluções de problemas envolvendo
fluxo de caixa uniforme que contêm um
conjunto de prestações iguais e periódicas.
As anuidades podem ser 
finitas (quando ocorrem 
durante um período 
determinado de tempo) 
ou infinitas (quando 
ocorrem para sempre).
As anuidades podem ser postecipadas (quando
ocorrem no final de cada período) ou antecipadas
(quando ocorrem no começo de cada período).
As anuidades podem ser diferidas (quando ocorre
um prazo de carência para a primeira prestação)
ou imediatas
(quando não existe
período de carência
para a primeira prestação).
Um pai, interessado em fazer uma poupança
para seu filho, resolveu depositar
mensalmente R$ 1.000,00, durante 18 anos,
com o primeiro depósito sendo efetuado
daqui a 1 mês. Determinar o montante
disponível para o filho,
ao final do período,
sabendo que a taxa de
juros é de 1% a.m.
Solução:
PMT = 1.000,00
n = 18 anos = 216 meses
i = 1% a.m.
PV = 0
FV = ?
1.000,00 CHS PMT
1 i
216 n
0,00 PV
FV 757.860,63
Um empresário tomou um financiamento de R$
50.000,00, para ser pago em 12 prestações
mensais,iguais e postecipadas a uma taxa de 2%
a.m. Imediatamente após o sexto pagamento, o
empresário propôs uma renegociação ao banco, que
aceitou refinanciar em 18 prestações mensais
adicionais, todas do mesmo valor, a serem pagas a
partir do final do
sétimo mês. Determinar o 
valor das novas prestações 
mensais, sabendo que a 
taxa de juros da operação 
permanece a mesma. 
Primeiro, deve-se calcular o valor das
prestações do financiamento antes da
renegociação.
PV = 50.000,00
n = 12 meses
i = 2% a.m.
FV = 0,00
PMT = ?
50.000,00 PV
2 i
12 n
0,00 FV
PMT – 4.727,98
Após o pagamento da sexta prestação, o
empresário ainda deve 6 prestações mensais de
R$ 4.727,98. Deve-se calcular a dívida através
do valor presente das 6 prestações
remanescentes, calculadas no momento da
renegociação.
n = 6 meses
i = 2% a.m.
FV = 0,00
PMT = 4.727,98
PV = ?
4.727,98 CHS PMT
6 n
2 i
0,00 FV
PV 26.483,45
A dívida no momento da renegociação é igual
a R$ 26.483,45. Assim, deve-se calcular o
valor das 18 prestações mensais e iguais,
suficientes para quitar essa dívida.
n = 18 meses
i = 2% a.m.
FV = 0,00
PV = 26.483,45
PMT = ?
26.483,45 PV
18 n
2 i
0,00 FV
PMT 1.766,50
Finalizando
Revisão
EMPRÉSTIMO
AMORTIZAÇÃO
Sistemas de Amortização:
Prestação = Juros + Amortização
Sistema Francês (PRICE)  Prestações 
constantes e periódicas. 
1.000,00
334,38 334,38 334,38 334,38 334,38
0 1 2 3 4 5
Ano Juros Amortização Prestação
Saldo 
Devedor
Saldo 
Atual
0 0,00 0,00 0,00 1.000,00 1.000,00
1 200,00 134,38 334,38 865,62 1.200,00
2 173,13 161,25 334,38 704,37 1.038,74
20% a.a.
Fonte; Prof Pedro Hiane
Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor Saldo Atual
3 140,88 193,5 334,38 510,87 845,24
4 102,18 232,20 334,38 278,67 613,04
5 55,71 278,67 334,38 0,00 334,38
Soma 671,90 1.000,00 1.671,90 0,00 0,00
20% a.a.
Fonte; Prof Pedro Hiane
Sistema de Amortização Constante (SAC)  A
dívida assumida é quitada em N parcelas iguais, onde
o valor de cada amortização é igual a . Os
juros sobre o saldo devido são quitados juntamente
com a amortização. O Sistema de Amortização
Constante, começou a ser utilizado no Brasil, a partir
de 1971, pelo Sistema Financeiro de Habitação.
N
principal
Neste sistema, o devedor 
paga sua dívida em 
prestações periódicas e 
postecipadas e o valor das 
amortizações são sempre 
iguais.
1.000,00
200+juros1 200+juros2 200+juros3 200+juros4 200+juros5
0 1 2 3 4 5
Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor
Saldo 
Atual
0 0,00 0,00 0,00 1.000,00 1.000,00
1 200,00 200,00 400,00 800,00 1.200,00
2 160,00 200,00 360,00 600,00 960,00
20% a.a.
Fonte; Prof Pedro Hiane
Ano Juros Amortização Prestação Saldo Devedor
Saldo 
Atual
3 120,00 200,00 320,00 400,00 720,00
4 80,00 200,00 280,00 200,00 480,00
5 40,00 200,00 240,00 0,00 240,00
Soma 600,00 1.000,00 1.600,00 0,00 0,00
20% a.a.
Fonte; Prof Pedro Hiane